Ce este o ecuație exponențială și cum se rezolvă. Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale

În etapa de pregătire pentru testul final, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească temeinic teoria, să-și amintească formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de problemă, absolvenții pot conta pe scoruri mari la promovarea Examenului de stat unificat la matematică.

Pregătește-te pentru testarea examenului cu Shkolkovo!

La trecerea în revistă a materialelor pe care le-au abordat, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, veți putea identifica lacunele în cunoștințe și veți putea acorda atenție acelor sarcini care provoacă cele mai multe dificultăți.

Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului de stat unificat în cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Teoretică”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor. Examinați cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați să efectuați sarcini în secțiunea „Directoare”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care v-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. În acest fel, le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul dumneavoastră.

Pentru a promova cu succes examenul de stat unificat, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Ecuațiile exponențiale sunt acelea în care necunoscutul este conținut în exponent. Cea mai simplă ecuație exponențială are forma: a x = a b, unde a> 0, a 1, x este necunoscut.

Principalele proprietăți ale puterilor prin care se transformă ecuațiile exponențiale: a>0, b>0.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc și următoarele proprietăți ale funcției exponențiale: y = a x, a > 0, a1:

Pentru a reprezenta un număr ca putere, utilizați identitatea logaritmică de bază: b = , a > 0, a1, b > 0.

Probleme și teste pe tema „Ecuații exponențiale”

• Ecuații exponențiale

  Lecții: 4 Teme: 21 Teste: 1

• Ecuații exponențiale - Subiecte importante pentru revizuirea Examenului Unificat de Stat la matematică

  Sarcini: 14

• Sisteme de ecuații exponențiale și logaritmice - Funcții exponențiale și logaritmice gradul 11

  Lecții: 1 Teme: 15 Teste: 1

• §2.1. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

  Lecții: 1 Sarcini: 27

• §7 Ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice - Sectiunea 5. Functii exponentiale si logaritmice, nota 10

  Lecții: 1 Sarcini: 17

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoașteți proprietățile de bază ale puterilor, proprietățile funcției exponențiale și identitatea logaritmică de bază.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc două metode principale:

1. trecerea de la ecuația a f(x) = a g(x) la ecuația f(x) = g(x);
2. introducerea de noi linii.

Exemple.

1. Ecuații reduse la cele mai simple. Ele se rezolvă prin reducerea ambelor părți ale ecuației la o putere cu aceeași bază.

3 x = 9 x – 2.

Soluţie:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Răspuns: 4.

2. Ecuații rezolvate prin scoaterea din paranteze a factorului comun.

Soluţie:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Răspuns: 3.

3. Ecuații rezolvate folosind o schimbare de variabilă.

Soluţie:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Notăm 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ecuația nu are soluții, deoarece 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Răspuns: log 2 3.

4. Ecuații care conțin puteri cu două baze diferite (nereductibile una la alta).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Răspuns: 2.

5. Ecuații care sunt omogene față de a x și b x.

Forma generală: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Soluţie:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Să notăm (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Răspuns: log 3/2 2; - jurnal 3/2 2.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x+3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. ÎN indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Dacă, brusc, un X apare în ecuație în altă parte decât un indicator, de exemplu:

aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom lua în considerare.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.

Mai întâi, să rezolvăm ceva foarte simplu. De exemplu:

Chiar și fără teorii, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nicio altă valoare a lui X nu funcționează. Acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? Noi, de fapt, am aruncat pur și simplu aceleași baze (triple). Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit în cui!

Într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta aceeași numere în orice putere, aceste numere pot fi eliminate și exponenții pot fi egalați. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim cu fermitate: Puteți elimina bazele numai atunci când numerele de bază din stânga și dreapta sunt într-o izolare splendidă! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x+1 = 2 3 sau

doi nu pot fi eliminati!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.

„Acestea sunt vremurile!” - tu spui. „Cine ar da o lecție atât de primitivă despre teste și examene!?”

Trebuie să fiu de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să țintești atunci când rezolvi exemple dificile. Trebuie adus la forma în care se află același număr de bază în stânga și în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este un clasic al matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit S.U.A minte. După regulile matematicii, desigur.

Să ne uităm la exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt acţiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Așa că le căutăm în exemplu în formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ni se dea un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire atentă este la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a te descuraja. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din operații cu grade:

(a n) m = a nm ,

asta merge grozav:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original a început să arate astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x = 2 3(x+1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt există un criptat doi. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile exponențiale! Da, și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe hârtie, și atât. De exemplu, oricine poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 va merge dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci invers... Aflați ce număr în ce măsură este ascuns în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu vă va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, nu... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mult mai multe răspunsuri decât sarcini! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 - asta sunt tot 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre familiaritatea cu numerele.) Permiteți-mi să vă reamintesc și că pentru a rezolva ecuații exponențiale folosim toate stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv cei din clasele junioare și mijlocii. Nu ai mers direct la liceu, nu?)

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze ajută adesea (bună ziua a 7-a!). Să ne uităm la un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire este către fundații! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Dar vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz dorința este complet împlinită!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Folosind aceleași reguli pentru a trata grade:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Este grozav, o poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Nu poți să arunci trei... O fundătură?

Deloc. Amintiți-vă de cea mai universală și puternică regulă de decizie toata lumea sarcini de matematica:

Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!

Uite, totul se va rezolva).

Ce este în această ecuație exponențială Poate sa do? Da, în partea stângă se roagă doar să fie scos din paranteze! Multiplicatorul general de 3 2x indică clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Ne amintim că pentru a elimina temeiuri avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Hopa! Totul a devenit mai bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, însă, să se realizeze taximetrie pe aceeași bază, dar eliminarea lor nu este posibilă. Acest lucru se întâmplă în alte tipuri de ecuații exponențiale. Să stăpânim acest tip.

Înlocuirea unei variabile în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la o bază. La un doi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici stăm. Tehnicile anterioare nu vor funcționa, indiferent de modul în care le privești. Va trebui să scoatem din arsenalul nostru o altă metodă puternică și universală. Se numeste înlocuire variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x) scriem alta, mai simplă (de exemplu - t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Atunci 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

În ecuația noastră înlocuim toate puterile cu x cu t:

Ei bine, ți se pare?) Ai uitat încă ecuațiile pătratice? Rezolvând prin discriminant, obținem:

Principalul lucru aici este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Să revenim la X, adică. facem o înlocuire inversă. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:

Hm... 2 x în stânga, 1 în dreapta... Problemă? Deloc! Este suficient să ne amintim (din operațiuni cu puteri, da...) că o unitate este orice număr la puterea zero. Orice. Orice este nevoie, îl vom instala. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Asta e acum. Avem 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, uneori, ajungi cu un fel de expresie incomodă. Tip:

Șapte nu pot fi convertiți în doi printr-o simplă putere. Nu sunt rude... Cum putem fi? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” la examenul unificat de stat. Acolo este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” este ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să subliniem punctele principale.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Ne întrebăm dacă este posibil să le facem identic. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ acţiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără x pot fi, de asemenea, convertite în puteri!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când în stânga și în dreapta sunt aceeași numere în orice putere. Folosim acţiuni cu gradeȘi factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în cifre, noi numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu funcționează, încercați să utilizați înlocuirea variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care poate fi rezolvată cu ușurință. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să te hotărăști puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3 + 2 x = 9

S-a întâmplat?

Ei bine, atunci un exemplu foarte complex (deși poate fi rezolvat în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de tentant pentru dificultate crescută. Permiteți-mi să vă sugerez că, în acest exemplu, ceea ce vă salvează este ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor problemelor matematice.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. De ce să le luați în considerare, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, ai nevoie de ingeniozitate... Și să te ajute clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

1; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.

Este totul reușit? Grozav.

Există o problemă? Nici o problemă! Secțiunea specială 555 rezolvă toate aceste ecuații exponențiale cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu doar acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.