Jaki jest węzeł liczb względnie pierwszych. Największy wspólny dzielnik

Liczby naturalne a i b nazywają się pierwotna, jeśli ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1 (gcd(a ; b ) = 1). Innymi słowy, jeśli liczby a i b nie mają wspólnych dzielników innych niż 1, to są względnie pierwsze.

Przykłady par liczb względnie pierwszych: 2 i 5, 13 i 16, 35 i 88 itd. Możesz określić kilka liczb względnie pierwszych, na przykład liczby 7, 9, 16 są względnie pierwsze.

Często liczby względnie pierwsze są oznaczane w następujący sposób: (a, b) \u003d 1. Na przykład (23, 30) \u003d 1. Ten wpis jest niejako skrótem oznaczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb (NWD (23, 30) \u003d 1) i mówi, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1.

Dwie sąsiadujące liczby naturalne zawsze będą względnie pierwsze. Na przykład 15 i 16 są parą liczb względnie pierwszych, podobnie jak 16 i 17. Łatwo to zrozumieć, jeśli weźmiemy pod uwagę „zasadę”, że jeśli dwie liczby naturalne a i b są podzielne przez tę samą liczbę naturalną większą niż 1 ( n > 1), to ich różnica również musi być podzielna przez tę liczbę n (tu mamy na myśli, że a, b i ich różnica są podzielone przez liczbę całkowitą, czyli są wielokrotnościami liczby n). Ale jeśli a i b są dwiema sąsiadującymi liczbami (niech a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Wynika to również z definicji liczb względnie pierwszych i liczb pierwszych, które różne liczby pierwsze są zawsze względnie pierwsze. W końcu jedynymi dzielnikami dowolnej liczby pierwszej są sama i 1.

Własności liczb względnie pierwszych

• Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) pary liczb względnie pierwszych jest równa ich iloczynowi. Na przykład (3, 8) = 1 (co oznacza względnie pierwszą), więc ich LCM wynosi 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Rzeczywiście, nie znajdziesz liczby mniejszej niż 24, która jest wielokrotnością zarówno 3, jak i 8.
• Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, a liczba c jest wielokrotnością zarówno a, jak i b, to ta liczba będzie również wielokrotnością iloczynu ab. Można to zapisać w następujący sposób: jeśli c a i c b , to c ab . Na przykład (3, 10) = 1, liczba 60 jest wielokrotnością zarówno 3, jak i 10, a także jest wielokrotnością 30 (3 × 10).
• Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, a liczba c jest wielokrotnością b (c b ), to iloczyn ac będzie również wielokrotnością b (ac b ). Na przykład (2, 17) = 1, niech c = 34. Liczba 34 jest wielokrotnością b = 17, a następnie ac = 2 × 34 = 68. Sprawdź: 68 ÷ 17 = 4, czyli jest podzielna, co oznacza, że ​​68 to wielokrotność 17.

Zwykle jest więcej nieruchomości niż tutaj wymienionych. Ponadto własności liczb względnie pierwszych są formułowane na różne sposoby. Czasami wymagane jest również udowodnienie tych właściwości (w tym przypadku nie podaje się dowodów).

Największym wspólnym dzielnikiem liczb względnie pierwszych jest zawsze jeden.

Przykłady węzłów liczb względnie pierwszych.

NWD liczb 11 i 7

Liczby 11 i 7 są względnie pierwsze i jednocześnie pierwsze.

Liczby 11 i 7 nie mają innych wspólnych dzielników poza 1.

gcd(11, 7) = 1

NWD liczb 11 i 15

Liczby 11 i 15 są względnie pierwsze. W tym przypadku 11 to liczba pierwsza, a 15 to liczba złożona.

Dzielniki 11 to 1 i 11.

Dzielniki 15 to 1, 3, 5, 15.

Jak widać, jedynym wspólnym dzielnikiem liczb 11 i 15 jest liczba 1. Zatem jednostką jest NWD liczb 11 i 15:

gcd(11, 15) = 1

NWD liczb 10 i 21

Liczby 10 i 21 są względnie pierwsze. W tym przypadku zarówno liczba 10, jak i 21 są złożone.

Dzielniki 10 to 1, 2, 5, 10.

Dzielniki liczby 21 to 1, 3, 7, 21.

Jak widać, jedynym wspólnym dzielnikiem liczb 10 i 21 jest liczba 1. Zatem jednostką jest NWD liczb 10 i 21:

gcd(21, 10) = 1

NWD o numerach 16 i 23

Liczby 16 i 23 są względnie pierwsze. W tym przypadku 23 to liczba pierwsza, a 16 to liczba złożona.

Zadanie: Znajdź NWD i LCM liczb w najwygodniejszy sposób:

a) 12 i 40; b) 9 i 40; c) 12 i 72.

Na zadanie przeznacza się 5 minut.

Jak najlepiej wykonywać każde ćwiczenie?

Podział slajdów.

a) Wygodniej jest rozwiązywać metodą dekompozycji na czynniki pierwsze

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

NWD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Czy liczby 9 i 40 mają wspólne dzielniki? (jest, 1.)

Jak nazywają się te numery? ? (Pierwotny.)

Jaki jest NWD tych liczb ? (gcd(9;40) = 1)

Jaki jest LCM tych liczb? ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

c) Co możesz powiedzieć o liczbach 12 i 72? ? (72 podzielone przez 12) Jaką zasadę znamy? (jeśli jedna liczba jest podzielna przez drugą, to GCD = najmniejsza liczba, a LCM - największa)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Sprawdź dane, które uzyskałeś ze standardem, który leży na stole nauczyciela.

FO: Oceniają się według kryteriów zapisanych w arkuszu standardowym. Zaznaczenie obok kryterium.

7 kleszczy - wysoki poziom

6-4 kleszczy - średni poziom

1-3 kleszcze - niski poziom

Fizminówka

Szybko wstałem, uśmiechnąłem się,

Podciągnięty wyżej.

Cóż, wyprostuj ramiona

Podnieś, opuść.

Skręć w prawo, skręć w lewo

Dotykaj rąk kolanami.

Usiądź, wstań, usiądź, wstawaj

I pobiegli na miejscu.

Pytanie nauczyciela: Gdzie już wykorzystujemy naszą wiedzę o liczbach GCD i LCM?

Podczas rozwiązywania problemów.

Przed nimi, na stole nauczycielskim, znajduje się „rumianek zadań” składający się z 21 płatków.

Czerwony płatek - zadania poziomu C.

Żółty płatek - zadania poziomu B.

Zielony płatek - zadania poziomu A.

	Masza kupiła w sklepie jajka dla Niedźwiedzia. W drodze do lasu zorientowała się, że liczba jaj jest podzielna przez 2,3,5,10 i 15. Ile jaj kupiła Masza?
	Spośród 210 bordowych, 126 białych, 294 czerwonych róż zebrano bukiety, a w każdym bukiecie liczba róż tego samego koloru jest taka sama. Jaka jest największa liczba bukietów wykonanych z tych róż i ile róż z każdego koloru znajduje się w jednym bukiecie?
	Arkusz tektury ma kształt prostokąta o długości 48 cm i szerokości 40 cm, który należy bezodpadowo pociąć na równe kwadraty. Jakie są największe kwadraty, które można uzyskać z tego arkusza i ile?
	Ilu żołnierzy maszeruje na placu apelowym, jeśli maszerują w szyku po 12 osób w szeregu i zmieniają się w kolumnę po 18 osób?
	W mieście portowym rozpoczynają się trzy rejsy statkiem turystycznym, z których pierwsza trwa 15 dni, druga – 20, a trzecia – 12 dni. Wracając do portu, statki tego samego dnia ponownie wyruszają w rejs. Statki motorowe opuściły dziś port na wszystkich trzech trasach. Za ile dni popłyną razem po raz pierwszy?Ile podróży wykona każdy statek?
	Kominek w pokoju musi być wyłożony płytkami wykończeniowymi w kształcie kwadratu. Ile płytek potrzeba do kominka o wymiarach 195 ͯ 156 cm i jakie są największe rozmiary płytek?
	Krok Wołodii wynosi 75 cm, a krok Katii 60 cm W jakiej minimalnej odległości oboje wykonają całkowitą liczbę kroków?
	Na prezenty noworoczne kupiliśmy 180 jabłek, 90 pomarańczy i 900 słodyczy. Wszystkie dzieci otrzymały te same prezenty. Jaka jest największa liczba identycznych prezentów składających się z tych owoców i słodyczy?
	Działka ogrodowa o wymiarach 54 ͯ 48 m na całym obwodzie musi być ogrodzona, w tym celu w regularnych odstępach należy ustawić betonowe słupy. Ile kijów trzeba przywieźć na miejsce i w jakiej maksymalnej odległości od siebie kijki staną?
	Znajdź: LCM(360;252).
	Na prezenty noworoczne zakupiono 78 tabliczek czekolady, 156 pierników, 52 opakowania ciastek, 104 pomarańcze i 130 jabłek. Jaka jest największa liczba identycznych prezentów, które możesz zebrać?
	Wymagane jest wykonanie pudełka z kwadratowym dnem do układania pudełek o wymiarach 16 ͯ 20 cm. Jaki powinien być najkrótszy bok kwadratowego dna, aby pudełka zmieściły się w pudle?
	Oblicz GCD(720.216), LCM(720.216).
	Jaki jest stosunek LCM (308.264) do GCM (308.264)?
	Do aranżacji choinki kupili orzechy, słodycze i pierniki – łącznie 760 sztuk. Wzięli 80 więcej orzechów niż słodyczy i 120 mniej pierników niż orzechów. Jaka jest największa liczba identycznych prezentów dla dzieci, które można wykonać z tego magazynu?
	Znajdź LCM (84,160,96),
	Znajdź iloraz LCM(24, 2004) podzielony przez NWD tych samych liczb.
	Znajdź najmniejszą liczbę naturalną będącą wielokrotnością 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Znajdź GCD (56, 72).
	Na stole są książki, których jest mniej niż 100. Ile jest książek, jeśli wiadomo, że można je łączyć w paczki po 3, 4 i 5 sztuk?
	Sklep przyniósł niecałe 600, ale ponad 500 płyt. Kiedy zaczęli układać je w dziesiątki, to 3 talerze nie wystarczały, aby osiągnąć pełną liczbę dziesiątek, a gdy zaczęli je układać w dziesiątki (po 12 talerzy), to pozostało 7 talerzy. Ile talerzy przyniosłeś do sklepu?

DR: Przeważająca liczba płatków w kolorze czerwonym wskazuje na wysoki poziom asymilacji, żółty - średni poziom asymilacji, a zielony - niski poziom asymilacji.