Przedstaw liczby i 2 w formie trygonometrycznej. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Niech wektor będzie dany na płaszczyźnie zespolonej przez liczbę .

Oznacz przez φ kąt między dodatnią półosią Ox a wektorem (kąt φ jest uważany za dodatni, jeśli jest liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a ujemny w przeciwnym razie).

Oznacz długość wektora przez r. Następnie . Oznaczamy również

Zapisywanie niezerowej liczby zespolonej z as

nazywana jest formą trygonometryczną liczby zespolonej z. Liczbę r nazywamy modułem liczby zespolonej z, a liczbę nazywamy argumentem tej liczby zespolonej i oznaczamy Arg z.

Forma trygonometryczna zapisywania liczby zespolonej - (wzór Eulera) - wykładnicza forma zapisywania liczby zespolonej:

Liczba zespolona z ma nieskończenie wiele argumentów: jeśli φ0 jest dowolnym argumentem liczby z, to wszystkie pozostałe można znaleźć według wzoru

W przypadku liczby zespolonej argument i forma trygonometryczna nie są zdefiniowane.

Zatem argumentem niezerowej liczby zespolonej jest dowolne rozwiązanie układu równań:

(3)

Wartość φ argumentu liczby zespolonej z spełniającej nierówności nazywamy wartością główną i oznaczamy arg z.

Argumenty Arg z i arg z są powiązane równością

, (4)

Formuła (5) jest konsekwencją systemu (3), więc wszystkie argumenty liczby zespolonej spełniają równość (5), ale nie wszystkie rozwiązania φ równania (5) są argumentami liczby z.

Główną wartość argumentu niezerowej liczby zespolonej można znaleźć za pomocą formuł:

Wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej są następujące:

. (7)

Podnosząc liczbę zespoloną do potęgi naturalnej, stosuje się wzór de Moivre'a:

Podczas wydobywania pierwiastka z liczby zespolonej stosuje się wzór:

, (9)

gdzie k=0, 1, 2, …, n-1.

Zadanie 54. Oblicz , gdzie .

Zaprezentujmy rozwiązanie tego wyrażenia w postaci wykładniczej zapisu liczby zespolonej: .

Jeśli następnie .

Następnie , . Dlatego więc oraz , gdzie .

Odpowiadać: , w .

Zadanie 55. Zapisz liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

a) ; b) ; w) ; G) ; e) ; mi) ; oraz) .

Ponieważ postać trygonometryczna liczby zespolonej to , to:

a) W liczbie zespolonej: .

,

Dlatego

b) , gdzie ,

G) , gdzie ,

mi) .

oraz) , a , następnie .

Dlatego

Odpowiadać: ; 4; ; ; ; ; .

Zadanie 56. Znajdź postać trygonometryczną liczby zespolonej

.

Wynajmować , .

Następnie , , .

Ponieważ i , , to , i

Dlatego więc

Odpowiadać: , gdzie .

Zadanie 57. Korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej wykonaj następujące czynności: .

Wyobraź sobie liczby i w formie trygonometrycznej.

1) , gdzie następnie

Znalezienie wartości głównego argumentu:

Podstawiamy wartości i do wyrażenia , otrzymujemy

2) gdzie wtedy?

Następnie

3) Znajdź iloraz

Zakładając k=0, 1, 2 otrzymujemy trzy różne wartości pożądanego pierwiastka:

Jeśli następnie

Jeśli następnie

Jeśli następnie .

Odpowiadać: :

:

: .

Zadanie 58. Niech , , , będą różnymi liczbami zespolonymi oraz . Udowodnij to

numer jest liczbą dodatnią;

b) równość ma miejsce:

a) Przedstawmy te liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

Dlatego .

Udawajmy, że . Następnie

.

Ostatnie wyrażenie jest liczbą dodatnią, ponieważ pod znakami sinusów znajdują się liczby z przedziału.

ponieważ liczba prawdziwe i pozytywne. Rzeczywiście, jeśli a i b są liczbami zespolonymi i są rzeczywiste i większe od zera, to .

Oprócz,

stąd wymagana równość jest udowodniona.

Zadanie 59. Zapisz liczbę w postaci algebraicznej .

Liczbę reprezentujemy w postaci trygonometrycznej, a następnie znajdujemy jej postać algebraiczną. Mamy . Do otrzymujemy system:

Z tego wynika równość: .

Stosując wzór De Moivre'a:

dostajemy

Znaleziono postać trygonometryczną podanej liczby.

Teraz zapisujemy tę liczbę w formie algebraicznej:

.

Odpowiadać: .

Zadanie 60. Znajdź sumę , ,

Rozważ sumę

Stosując formułę De Moivre, stwierdzamy

Ta suma jest sumą n wyrazów postępu geometrycznego z mianownikiem i pierwszy członek .

Stosując wzór na sumę warunków takiej progresji, mamy

Oddzielając część urojoną w ostatnim wyrażeniu, znajdujemy

Oddzielając część rzeczywistą otrzymujemy również następujący wzór: , , .

Zadanie 61. Znajdź sumę:

a) ; b) .

Zgodnie z formułą Newtona na podniesienie do potęgi, mamy

Zgodnie ze wzorem De Moivre'a znajdujemy:

Porównując części rzeczywiste i urojone otrzymanych wyrażeń dla , mamy:

oraz .

Formuły te można zapisać w zwięzłej formie w następujący sposób:

,

, gdzie jest częścią całkowitą liczby a.

Problem 62. Znajdź wszystkie dla których .

Ponieważ , a następnie stosując wzór

, Aby wydobyć korzenie, otrzymujemy ,

W konsekwencji, , ,

, .

Punkty odpowiadające numerom znajdują się na wierzchołkach kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 2 wyśrodkowany w punkcie (0;0) (rys. 30).

Odpowiadać: , ,

, .

Zadanie 63. Rozwiąż równanie , .

Według warunku ; dlatego to równanie nie ma pierwiastka i dlatego jest równoważne równaniu.

Aby liczba z była pierwiastkiem tego równania, liczba musi być n-tym pierwiastkiem liczby 1.

Stąd wnioskujemy, że pierwotne równanie ma pierwiastki określone z równości

,

W ten sposób,

,

tj. ,

Odpowiadać: .

Zadanie 64. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych.

Ponieważ liczba nie jest pierwiastkiem tego równania, to dla tego równania jest równoznaczne z równaniem

To znaczy równanie.

Wszystkie pierwiastki tego równania otrzymujemy ze wzoru (patrz problem 62):

; ; ; ; .

Zadanie 65. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów, które spełniają nierówności: . (2. sposób rozwiązania problemu 45)

Wynajmować .

Liczby zespolone o tych samych modułach odpowiadają punktom płaszczyzny leżącej na okręgu o środku w punkcie początkowym, więc nierówność spełniają wszystkie punkty otwartego pierścienia ograniczonego okręgami o wspólnym środku w początku i promieniach oraz (ryc. 31). Niech jakiś punkt płaszczyzny zespolonej odpowiada liczbie w0. Numer , ma moduł razy mniejszy niż moduł w0, argument, który jest większy niż argument w0. Z geometrycznego punktu widzenia punkt odpowiadający w1 można uzyskać za pomocą jednorodności wyśrodkowanej na początku i współczynnika , a także obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem początku. W wyniku zastosowania tych dwóch przekształceń do punktów pierścienia (ryc. 31), ten ostatni zamieni się w pierścień ograniczony kołami o tym samym środku i promieniach 1 i 2 (ryc. 32).

transformacja jest zaimplementowana przy użyciu translacji równoległej na wektorze. Przenosząc pierścień wyśrodkowany w punkcie do wskazanego wektora, otrzymujemy pierścień o tej samej wielkości wyśrodkowany w punkcie (ryc. 22).

Zaproponowana metoda, wykorzystująca ideę przekształceń geometrycznych płaszczyzny, jest prawdopodobnie mniej wygodna w opisie, ale za to bardzo elegancka i efektowna.

Problem 66. Sprawdź, czy .

Niech więc i . Pierwotna równość przybierze formę . Z warunku równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy , , skąd , . W ten sposób, .

Zapiszmy liczbę z w postaci trygonometrycznej:

, gdzie , . Zgodnie ze wzorem De Moivre'a znajdujemy .

Odpowiedź: - 64.

Zadanie 67. Dla liczby zespolonej znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że , oraz .

Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej:

. Stąd , . Dla liczby, którą otrzymujemy, może być równa albo .

W pierwszym przypadku , w sekundę

.

Odpowiadać: , .

Zadanie 68. Znajdź sumę liczb taką, że . Podaj jeden z tych numerów.

Zauważ, że już z samego sformułowania problemu można zrozumieć, że sumę pierwiastków równania można znaleźć bez obliczania samych pierwiastków. Rzeczywiście, suma pierwiastków równania jest współczynnikiem , wziętym ze znakiem przeciwnym (uogólnione twierdzenie Vieta), tj.

Uczniowie, dokumentacja szkolna, wyciągają wnioski o stopniu przyswojenia tej koncepcji. Podsumuj badanie cech myślenia matematycznego i procesu tworzenia pojęcia liczby zespolonej. Opis metod. Diagnostyka: I etap. Wywiad został przeprowadzony z nauczycielem matematyki, który w 10 klasie uczy algebry i geometrii. Rozmowa odbyła się po pewnym czasie...

Rezonans „(!)), który obejmuje również ocenę własnego zachowania. 4. Krytyczna ocena własnego zrozumienia sytuacji (wątpliwości). 5. Wreszcie korzystanie z zaleceń psychologii prawa (uwzględnienie aspektów psychologicznych czynności zawodowe wykonywane przez prawnika - przygotowanie psychologiczne zawodowe. Rozważmy teraz psychologiczną analizę faktów prawnych....

Matematyka podstawienia trygonometrycznego i weryfikacja skuteczności opracowanej metodyki nauczania. Etapy pracy: 1. Opracowanie ze studentami zajęć fakultatywnych na temat: „Zastosowanie podstawienia trygonometrycznego do rozwiązywania problemów algebraicznych” na zajęciach z pogłębionej nauki matematyki. 2. Prowadzenie opracowanego kursu fakultatywnego. 3. Przeprowadzenie kontroli diagnostycznej...

Zadania poznawcze mają na celu jedynie uzupełnienie istniejących pomocy dydaktycznych i powinny być w odpowiednim połączeniu ze wszystkimi tradycyjnymi środkami i elementami procesu edukacyjnego. Różnica między problemami edukacyjnymi w nauczaniu humanistyki od ścisłych, matematycznych problemów polega tylko na tym, że w problemach historycznych nie ma formuł, sztywnych algorytmów itp., co komplikuje ich rozwiązanie. ...

Wykład

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Plan

1.Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych.

2.Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.

3. Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych.

a) Liczby zespolone są reprezentowane przez punkty płaszczyzny według następującej zasady: a + bi = M ( a ; b ) (rys. 1).

Obrazek 1

b) Liczbę zespoloną można przedstawić jako wektor rozpoczynający się w punkcieO i kończy się w danym punkcie (rys. 2).

Rysunek 2

Przykład 7. Wykreśl punkty reprezentujące liczby zespolone:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (rys. 3).

Rysunek 3

Notacja trygonometryczna liczb zespolonych.

Liczba zespolonaz = a + bi można ustawić za pomocą promienia - wektora ze współrzędnymi( a ; b ) (rys. 4).

Rysunek 4

Definicja . Długość wektora reprezentujący liczbę zespolonąz , nazywa się modułem tej liczby i jest oznaczony lubr .

Dla dowolnej liczby zespolonejz jego modułr = | z | jest określana jednoznacznie przez formułę .

Definicja . Wartość kąta między dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej a wektorem reprezentujący liczbę zespoloną jest nazywany argumentem tej liczby zespolonej i jest oznaczonyALE rg z lubφ .

Argument liczby zespolonejz = 0 niezdeterminowany. Argument liczby zespolonejz≠ 0 jest wielkością wielowartościową i jest określana do terminu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = argumentować z + 2πk , gdzieargumentować z - główna wartość argumentu zawarta w przedziale(-π; π] , to znaczy-π < argumentować z ≤ π (czasami za główną wartość argumentu przyjmowana jest wartość należąca do przedziału) .

Ta formuła dlar =1 często określany jako formuła De Moivre'a:

(cos φ + i grzech φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Przykład 11 Oblicz(1 + i ) 100 .

Napiszmy liczbę zespoloną1 + i w formie trygonometrycznej.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , grzech φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (sałata + grzeszę )] 100 = ( ) 100 (sałata 100 + grzeszę 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej.

Podczas wyciągania pierwiastka kwadratowego z liczby zespoloneja + bi mamy dwa przypadki:

jeślib > o , następnie ;

Działania na liczbach zespolonych zapisane w formie algebraicznej

Postać algebraiczna liczby zespolonej z =(a,b) nazywamy wyrażeniem algebraicznym postaci

z = a + bi.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych z 1 = a 1 +b 1 i oraz z 2 = a 2 +b 2 i, napisane w formie algebraicznej, wykonuje się w następujący sposób.

1. Suma (różnica) liczb zespolonych

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)i,

tych. dodawanie (odejmowanie) odbywa się zgodnie z zasadą dodawania wielomianów z redukcją podobnych członów.

2. Iloczyn liczb zespolonych

z 1 z 2 = (a 1 a 2 -b 1 b 2) + (a 1 b 2 +a 2 b 1)i,

tych. mnożenie odbywa się według zwykłej zasady mnożenia wielomianów, biorąc pod uwagę fakt, że i 2 = 1.

3. Podziału dwóch liczb zespolonych dokonuje się według następującej zasady:

, (z 2 ≠ 0),

tych. podział odbywa się poprzez pomnożenie dzielnej i dzielnika przez liczbę sprzężoną dzielnika.

Potęgowanie liczb zespolonych definiuje się następująco:

Łatwo to pokazać

Przykłady.

1. Znajdź sumę liczb zespolonych z 1 = 2 – i oraz z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Znajdź iloczyn liczb zespolonych z 1 = 2 – 3i oraz z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ja 5ja = 7+22i.

3. Znajdź prywatny z z dywizji z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Rozwiąż równanie:, x oraz tak Î R.

(2x+y) + (x+y)ja = 2 + 3i.

Z racji równości liczb zespolonych mamy:

gdzie x=–1 , tak= 4.

5. Oblicz: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Oblicz, czy .

.

7. Oblicz odwrotność liczby z=3-i.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej

złożony samolot nazywana jest płaszczyzną o współrzędnych kartezjańskich ( x, y), jeśli każdy punkt o współrzędnych ( a, b) ma przypisaną liczbę zespoloną z = a + bi. W tym przypadku nazywa się oś odciętych oś rzeczywista, a oś y to wyimaginowany. Wtedy każda liczba zespolona a+bi geometrycznie reprezentowane na płaszczyźnie jako punkt A (a, b) lub wektor .

Dlatego pozycja punktu ALE(i stąd liczba zespolona z) można ustawić przez długość wektora | | = r i kąt j utworzony przez wektor | | z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej. Długość wektora nazywa się moduł liczby zespolonej i jest oznaczony przez | z|=r, a kąt j nazywa liczba zespolona argument i oznaczone j = argz.

Oczywiste jest, że | z| ³ 0 i | z | = 0 Û z= 0.

Z ryc. 2 pokazuje, że .

Argument liczby zespolonej jest definiowany niejednoznacznie i do 2 pk, kÎ Z.

Z ryc. 2 pokazuje również, że jeśli z=a+bi oraz j=argz, następnie

sałata j = grzech j =, tg j = .

Jeśli zR oraz z > 0 wtedy argz = 0 +2pk;

jeśli zR oraz z< 0 wtedy argz = p + 2pk;

jeśli z= 0,argz niezdeterminowany.

Główna wartość argumentu jest określona na przedziale 0 argz 2 zł p,

lub -p£ arg z £ p.

Przykłady:

1. Znajdź moduł liczb zespolonych z 1 = 4 – 3i oraz z 2 = –2–2i.

2. Określ na płaszczyźnie zespolonej obszary określone warunkami:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 funtów; 3) | z – (2+i) | 3 zł; 4) 6 zł | z – i| 7 funtów.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1) | z| = 5 Û Û jest równaniem okręgu o promieniu 5 i wyśrodkowanym na początku.

2) Okrąg o promieniu 6 wyśrodkowany na początku.

3) Okrąg o promieniu 3 wyśrodkowany w punkcie z0 = 2 + i.

4) Pierścień ograniczony okręgami o promieniach 6 i 7 wyśrodkowanych w punkcie z 0 = i.

3. Znajdź moduł i argument liczb: 1) ; 2).

1) ; a = 1, b = Þ ,

j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 ,

.

Uwaga: Definiując główny argument, użyj płaszczyzny zespolonej.

W ten sposób: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

LICZBY ZŁOŻONE XI

§ 256. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Niech liczba zespolona a + bi odpowiada wektorowi OA> ze współrzędnymi ( a, b ) (patrz rys. 332).

Oznacz długość tego wektora przez r i kąt, jaki tworzy z osią X , poprzez φ . Z definicji sinusa i cosinusa:

a / r = cos φ , b / r = grzech φ .

Dlatego a = r sałata φ , b = r grzech φ . Ale w tym przypadku liczba zespolona a + bi można zapisać jako:

a + bi = r sałata φ + Ir grzech φ = r (sałata φ + i grzech φ ).

Jak wiecie, kwadrat długości dowolnego wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych. Dlatego r 2 = a 2 + b 2 , skąd r = a 2 + b 2

Więc, dowolna liczba zespolona a + bi można przedstawić jako :

a + bi = r (sałata φ + i grzech φ ), (1)

gdzie jesteś = a 2 + b 2 i kąt φ określona na podstawie warunku:

Ta forma pisania liczb zespolonych nazywa się trygonometryczny.

Numer r we wzorze (1) nazywa się moduł, a kąt φ - argument, Liczba zespolona a + bi .

Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, to jego moduł jest dodatni; jeśli a + bi = 0, to a = b = 0 i wtedy r = 0.

Moduł dowolnej liczby zespolonej jest jednoznacznie określony.

Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, to jego argument określają formuły (2) Zdecydowanie do kąta wielokrotności 2 π . Jeśli a + bi = 0, to a = b = 0. W tym przypadku r = 0. Ze wzoru (1) łatwo zrozumieć, że jako argument φ w tym przypadku możesz wybrać dowolny kąt: w końcu dla każdego φ

0 (cos φ + i grzech φ ) = 0.

Dlatego argument zerowy nie jest zdefiniowany.

Moduł liczb zespolonych r czasami oznaczają | z |, a argument arg z . Spójrzmy na kilka przykładów reprezentacji liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Przykład. jeden. 1 + i .

Znajdźmy moduł r i argument φ ten numer.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Dlatego grzech φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , skąd φ = π / 4 + 2nπ .

W ten sposób,

1 + i = √ 2 ,

gdzie P - dowolna liczba całkowita. Zwykle z nieskończonego zestawu wartości argumentu liczby zespolonej wybierana jest jedna z wartości od 0 do 2 π . W tym przypadku ta wartość to π / cztery . Dlatego

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i grzech π / 4)

Przykład 2 Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną √ 3 - i . Mamy:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , grzech φ = - 1 / 2

Dlatego aż do kąta podzielnego przez 2 π , φ = 11 / 6 π ; W konsekwencji,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i grzech 11 / 6 π ).

Przykład 3 Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną i .

Liczba zespolona i odpowiada wektorowi OA> kończący się w punkcie A osi w z rzędną 1 (ryc. 333). Długość takiego wektora jest równa 1, a kąt jaki tworzy z osią odciętych jest równy π / 2. Dlatego

i = cos π / 2 + i grzech π / 2 .

Przykład 4 Napisz liczbę zespoloną 3 w formie trygonometrycznej.

Liczba zespolona 3 odpowiada wektorowi OA > X odcięta 3 (ryc. 334).

Długość takiego wektora wynosi 3, a kąt, jaki tworzy z osią x, wynosi 0. Dlatego

3 = 3 (cos 0 + i grzech 0),

Przykład 5 Zapisz w formie trygonometrycznej liczbę zespoloną -5.

Liczba zespolona -5 odpowiada wektorowi OA> kończący się w punkcie osi X z odciętą -5 (ryc. 335). Długość takiego wektora wynosi 5, a kąt, jaki tworzy z osią x, wynosi π . Dlatego

5 = 5(cos π + i grzech π ).

Ćwiczenia

2047. Zapisz te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, określając ich moduły i argumenty:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Wskaż na płaszczyźnie zbiory punktów reprezentujących liczby zespolone, których moduły r i argumenty φ spełniają warunki:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Czy liczby mogą być jednocześnie modułem liczby zespolonej? r oraz - r ?

2050. Czy argumentem liczby zespolonej mogą być jednocześnie kąty? φ oraz - φ ?

Przedstaw te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, definiując ich moduły i argumenty:

2051*. 1 + cos α + i grzech α . 2054*. 2(co 20° - i grzech 20°).

2052*. grzech φ + i sałata φ . 2055*. 3(- co 15° - i grzech 15°).