Rodzaje trójkątów, kątów i boków. Właściwości trójkąta

Dziś wybieramy się do krainy geometrii, gdzie zapoznamy się z różnymi rodzajami trójkątów.

Rozważ kształty geometryczne i znajdź wśród nich ten „dodatkowy” (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

Widzimy, że figury nr 1, 2, 3, 5 są czworokątami. Każdy z nich ma swoją nazwę (ryc. 2).

Ryż. 2. Czworoboki

Oznacza to, że „dodatkową” figurą jest trójkąt (ryc. 3).

Ryż. 3. Ilustracja na przykład

Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech odcinków łączących te punkty parami.

Punkty to tzw wierzchołki trójkąta, segmenty - jego imprezy. Tworzą się boki trójkąta W wierzchołkach trójkąta znajdują się trzy kąty.

Główne cechy trójkąta to trzy boki i trzy rogi. W zależności od wielkości kąta, trójkąty są ostry, prostokątny i tępy.

Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90° (ryc. 4).

Ryż. 4. Ostry trójkąt

Trójkąt nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów wynosi 90° (ryc. 5).

Ryż. 5. Trójkąt prawy

Trójkąt nazywa się rozwartym, jeśli jeden z jego kątów jest rozwarty, czyli większy niż 90° (ryc. 6).

Ryż. 6. Trójkąt rozwarty

Na podstawie liczby równych boków trójkąty są równoboczne, równoramienne i skalenowe.

Trójkąt równoramienny to taki, w którym dwa boki są równe (ryc. 7).

Ryż. 7. Trójkąt równoramienny

Te strony nazywają się boczny, Trzecia strona - podstawa. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Istnieją trójkąty równoramienne ostry i tępy(ryc. 8) .

Ryż. 8. Trójkąty równoramienne ostre i rozwarte

Trójkąt równoboczny to taki, w którym wszystkie trzy boki są równe (ryc. 9).

Ryż. 9. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe. Trójkąty równoboczne Zawsze ostry kąt.

Skalen to trójkąt, w którym wszystkie trzy boki mają różną długość (ryc. 10).

Ryż. 10. Trójkąt skalenowy

Wykonać zadanie. Podziel te trójkąty na trzy grupy (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja do zadania

Najpierw rozdzielmy według wielkości kątów.

Ostre trójkąty: nr 1, nr 3.

Trójkąty prostokątne: nr 2, nr 6.

Trójkąty rozwarte: nr 4, nr 5.

Podzielimy te same trójkąty na grupy według liczby równych boków.

Trójkąty skalenowe: nr 4, nr 6.

Trójkąty równoramienne: nr 2, nr 3, nr 5.

Trójkąt równoboczny: nr 1.

Patrz na obrazki.

Zastanów się, z jakiego kawałka drutu został wykonany każdy trójkąt (ryc. 12).

Ryż. 12. Ilustracja do zadania

Możesz tak myśleć.

Pierwszy kawałek drutu jest podzielony na trzy równe części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoboczny. Na zdjęciu jest on pokazany jako trzeci.

Drugi kawałek drutu jest podzielony na trzy różne części, dzięki czemu można go wykorzystać do wykonania trójkąta skalenowego. Jest on pokazany jako pierwszy na zdjęciu.

Trzeci kawałek drutu dzieli się na trzy części, przy czym dwie części mają tę samą długość, co oznacza, że ​​można z niego ułożyć trójkąt równoramienny. Na zdjęciu jest on pokazany jako drugi.

Dzisiaj na zajęciach poznaliśmy różne rodzaje trójkątów.

Bibliografia

1. MI. Moreau, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 1. - M.: „Oświecenie”, 2012.
2. MI. Moreau, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 2. - M.: „Oświecenie”, 2012.
3. MI. Moro. Lekcje matematyki: Zalecenia metodyczne dla nauczycieli. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
4. Dokument regulacyjny. Monitorowanie i ewaluacja efektów uczenia się. - M.: „Oświecenie”, 2011.
5. „Szkoła Rosji”: Programy dla szkół podstawowych. - M.: „Oświecenie”, 2011.
6. SI. Wołkowa. Matematyka: Praca testowa. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
7. V.N. Rudnicka. Testy. - M.: „Egzamin”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Praca domowa

1. Uzupełnij wyrażenia.

a) Trójkąt to figura złożona z... które nie leżą na tej samej prostej i... które łączą te punkty parami.

b) Punkty są nazywane … , segmenty - jego … . Boki trójkąta tworzą się w wierzchołkach trójkąta ….

c) W zależności od wielkości kąta trójkąty to ... , ... , ... .

d) Na podstawie liczby równych boków trójkąty to ... , ... , ... .

2. Narysuj

a) trójkąt prostokątny;

b) ostry trójkąt;

c) trójkąt rozwarty;

d) trójkąt równoboczny;

e) trójkąt skalenowy;

e) trójkąt równoramienny.

3. Utwórz zadanie na temat lekcji dla swoich znajomych.

Najprostszym wielokątem, którego uczy się w szkole, jest trójkąt. Jest bardziej zrozumiały dla uczniów i napotyka mniej trudności. Pomimo tego, że istnieją różne typy trójkątów, które mają specjalne właściwości.

Jaki kształt nazywa się trójkątem?

Utworzony przez trzy punkty i segmenty. Pierwsze z nich nazywane są wierzchołkami, drugie bokami. Ponadto wszystkie trzy segmenty muszą być połączone, aby między nimi utworzyły się kąty. Stąd nazwa figury „trójkąt”.

Różnice w nazwach w rogach

Ponieważ mogą być ostre, tępe i proste, rodzaje trójkątów są określone przez te nazwy. W związku z tym istnieją trzy grupy takich postaci.

• Pierwszy. Jeśli wszystkie kąty trójkąta są ostre, wówczas nazwiemy go ostrym. Wszystko jest logiczne.

• Drugi. Jeden z kątów jest rozwarty, co oznacza, że ​​trójkąt jest rozwarty. To nie mogłoby być prostsze.

• Trzeci. Istnieje kąt równy 90 stopniom, który nazywa się kątem prostym. Trójkąt staje się prostokątny.

Różnice w nazwach po bokach

W zależności od charakterystyki boków wyróżnia się następujące typy trójkątów:

ogólnym przypadkiem jest skalen, w którym wszystkie boki mają dowolną długość;

równoramienne, których dwa boki mają te same wartości liczbowe;

równoboczny, długości wszystkich jego boków są takie same.

Jeśli problem nie określa konkretnego typu trójkąta, musisz narysować dowolny. W którym wszystkie rogi są ostre, a boki mają różną długość.

Właściwości wspólne dla wszystkich trójkątów

1. Jeśli dodasz wszystkie kąty trójkąta, otrzymasz liczbę równą 180°. I nie ma znaczenia, jaki to rodzaj. Ta zasada obowiązuje zawsze.
2. Wartość liczbowa dowolnego boku trójkąta jest mniejsza niż pozostałe dwa dodane do siebie. Co więcej, jest większa niż ich różnica.
3. Każdy kąt zewnętrzny ma wartość, którą uzyskuje się przez dodanie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują. Co więcej, jest zawsze większy niż sąsiadujący z nim wewnętrzny.
4. Najmniejszy kąt leży zawsze naprzeciwko mniejszego boku trójkąta. I odwrotnie, jeśli bok jest duży, kąt będzie największy.

Te właściwości są zawsze ważne, niezależnie od tego, jakie typy trójkątów są brane pod uwagę w zadaniach. Cała reszta wynika z konkretnych funkcji.

Właściwości trójkąta równoramiennego

• Kąty przylegające do podstawy są równe.
• Wysokość narysowana do podstawy jest jednocześnie medianą i dwusieczną.
• Wysokości, środkowe i dwusieczne zbudowane na bokach trójkąta są sobie odpowiednio równe.

Właściwości trójkąta równobocznego

Jeśli istnieje taka liczba, wówczas wszystkie właściwości opisane nieco powyżej będą prawdziwe. Ponieważ równobok zawsze będzie równoramienny. Ale nie odwrotnie; trójkąt równoramienny niekoniecznie będzie równoboczny.

• Wszystkie jego kąty są sobie równe i mają wartość 60°.
• Dowolna środkowa trójkąta równobocznego to jego wysokość i dwusieczna. Co więcej, wszyscy są sobie równi. Aby określić ich wartości, istnieje wzór składający się z iloczynu boku i pierwiastka kwadratowego z 3 podzielonego przez 2.

Właściwości trójkąta prostokątnego

• Dwa kąty ostre sumują się do 90°.
• Długość przeciwprostokątnej jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg.
• Wartość liczbowa mediany poprowadzonej do przeciwprostokątnej jest równa jej połowie.
• Noga ma tę samą wartość, jeśli leży naprzeciwko kąta 30°.
• Wysokość, która jest pobierana z wierzchołka o wartości 90°, ma pewną matematyczną zależność od nóg: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Tutaj: a, b - nogi, n - wysokość.

Zadania z różnymi typami trójkątów

nr 1. Biorąc pod uwagę trójkąt równoramienny. Jego obwód jest znany i wynosi 90 cm, musimy znaleźć jego boki. Jako dodatkowy warunek: bok boczny jest 1,2 razy mniejszy od podstawy.

Wartość obwodu zależy bezpośrednio od ilości, które należy znaleźć. Suma wszystkich trzech boków da 90 cm Teraz musisz zapamiętać znak trójkąta, zgodnie z którym jest to równoramienny. Oznacza to, że obie strony są równe. Możesz utworzyć równanie z dwiema niewiadomymi: 2a + b = 90. Tutaj a to bok, b to podstawa.

Teraz czas na dodatkowy warunek. Następnie otrzymuje się drugie równanie: b = 1,2a. Możesz zastąpić to wyrażenie pierwszym. Okazuje się, że: 2a + 1,2a = 90. Po przekształceniach: 3,2a = 90. Stąd a = 28,125 (cm). Teraz łatwo jest znaleźć podstawę. Najlepiej zrobić to z drugiego warunku: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Aby to sprawdzić, możesz dodać trzy wartości: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Zgadza się.

Odpowiedź: Boki trójkąta mają długość 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr 2. Bok trójkąta równobocznego ma 12 cm, musisz obliczyć jego wysokość.

Rozwiązanie. Aby znaleźć odpowiedź, wystarczy wrócić do momentu, w którym opisano właściwości trójkąta. To jest wzór na znalezienie wysokości, środkowej i dwusiecznej trójkąta równobocznego.

n = a * √3 / 2, gdzie n to wysokość, a a to bok.

Podstawienie i obliczenia dają następujący wynik: n = 6 √3 (cm).

Nie ma potrzeby zapamiętywania tej formuły. Wystarczy pamiętać, że wysokość dzieli trójkąt na dwa prostokątne. Co więcej, okazuje się, że jest to noga, a przeciwprostokątna w niej jest stroną pierwotnej, druga noga to połowa znanego boku. Teraz musisz zapisać twierdzenie Pitagorasa i wyprowadzić wzór na wysokość.

Odpowiedź: wysokość wynosi 6 √3 cm.

Nr 3. Biorąc pod uwagę, że MKR jest trójkątem, w którym kąt K ma 90 stopni, znane są boki MR i KR, które wynoszą odpowiednio 30 i 15 cm. Musimy znaleźć wartość kąta P.

Rozwiązanie. Jeśli wykonasz rysunek, stanie się jasne, że MR jest przeciwprostokątną. Ponadto jest dwukrotnie większy od boku KR. Ponownie musisz zwrócić się do właściwości. Jeden z nich dotyczy kątów. Z tego jasno wynika, że ​​kąt KMR wynosi 30°. Oznacza to, że pożądany kąt P będzie równy 60°. Wynika to z innej własności, która mówi, że suma dwóch kątów ostrych musi wynosić 90°.

Odpowiedź: kąt P wynosi 60°.

Nr 4. Musimy znaleźć wszystkie kąty trójkąta równoramiennego. Wiadomo o tym, że kąt zewnętrzny od kąta przy podstawie wynosi 110°.

Rozwiązanie. Ponieważ podany jest tylko kąt zewnętrzny, należy go użyć. Tworzy kąt rozłożony z kątem wewnętrznym. Oznacza to, że w sumie dadzą 180°. Oznacza to, że kąt u podstawy trójkąta będzie równy 70°. Ponieważ jest to równoramienny, drugi kąt ma tę samą wartość. Pozostaje obliczyć trzeci kąt. Zgodnie z właściwością wspólną dla wszystkich trójkątów suma kątów wynosi 180°. Oznacza to, że trzeci będzie zdefiniowany jako 180° - 70° - 70° = 40°.

Odpowiedź: kąty wynoszą 70°, 70°, 40°.

Nr 5. Wiadomo, że w trójkącie równoramiennym kąt leżący naprzeciwko podstawy wynosi 90°. Na podstawie jest zaznaczony punkt. Odcinek łączący go pod kątem prostym dzieli go w stosunku od 1 do 4. Musisz znaleźć wszystkie kąty mniejszego trójkąta.

Rozwiązanie. Można natychmiast wyznaczyć jeden z kątów. Ponieważ trójkąt jest prostokątny i równoramienny, te leżące u jego podstawy będą miały po 45° każdy, czyli 90°/2.

Drugi z nich pomoże Ci znaleźć zależność znaną w warunku. Ponieważ jest równy 1 do 4, części, na które jest podzielony, wynosi tylko 5. Oznacza to, że aby znaleźć mniejszy kąt trójkąta, potrzebujesz 90°/5 = 18°. Pozostaje dowiedzieć się trzeciego. Aby to zrobić, należy odjąć 45° i 18° od 180° (suma wszystkich kątów trójkąta). Obliczenia są proste i otrzymujesz: 117°.

Dziś wybieramy się do krainy geometrii, gdzie zapoznamy się z różnymi rodzajami trójkątów.

Rozważ kształty geometryczne i znajdź wśród nich ten „dodatkowy” (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

Widzimy, że figury nr 1, 2, 3, 5 są czworokątami. Każdy z nich ma swoją nazwę (ryc. 2).

Ryż. 2. Czworoboki

Oznacza to, że „dodatkową” figurą jest trójkąt (ryc. 3).

Ryż. 3. Ilustracja na przykład

Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech odcinków łączących te punkty parami.

Punkty to tzw wierzchołki trójkąta, segmenty - jego imprezy. Tworzą się boki trójkąta W wierzchołkach trójkąta znajdują się trzy kąty.

Główne cechy trójkąta to trzy boki i trzy rogi. W zależności od wielkości kąta, trójkąty są ostry, prostokątny i tępy.

Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90° (ryc. 4).

Ryż. 4. Ostry trójkąt

Trójkąt nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów wynosi 90° (ryc. 5).

Ryż. 5. Trójkąt prawy

Trójkąt nazywa się rozwartym, jeśli jeden z jego kątów jest rozwarty, czyli większy niż 90° (ryc. 6).

Ryż. 6. Trójkąt rozwarty

Na podstawie liczby równych boków trójkąty są równoboczne, równoramienne i skalenowe.

Trójkąt równoramienny to taki, w którym dwa boki są równe (ryc. 7).

Ryż. 7. Trójkąt równoramienny

Te strony nazywają się boczny, Trzecia strona - podstawa. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Istnieją trójkąty równoramienne ostry i tępy(ryc. 8) .

Ryż. 8. Trójkąty równoramienne ostre i rozwarte

Trójkąt równoboczny to taki, w którym wszystkie trzy boki są równe (ryc. 9).

Ryż. 9. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe. Trójkąty równoboczne Zawsze ostry kąt.

Skalen to trójkąt, w którym wszystkie trzy boki mają różną długość (ryc. 10).

Ryż. 10. Trójkąt skalenowy

Wykonać zadanie. Podziel te trójkąty na trzy grupy (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja do zadania

Najpierw rozdzielmy według wielkości kątów.

Ostre trójkąty: nr 1, nr 3.

Trójkąty prostokątne: nr 2, nr 6.

Trójkąty rozwarte: nr 4, nr 5.

Podzielimy te same trójkąty na grupy według liczby równych boków.

Trójkąty skalenowe: nr 4, nr 6.

Trójkąty równoramienne: nr 2, nr 3, nr 5.

Trójkąt równoboczny: nr 1.

Patrz na obrazki.

Zastanów się, z jakiego kawałka drutu został wykonany każdy trójkąt (ryc. 12).

Ryż. 12. Ilustracja do zadania

Możesz tak myśleć.

Pierwszy kawałek drutu jest podzielony na trzy równe części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoboczny. Na zdjęciu jest on pokazany jako trzeci.

Drugi kawałek drutu jest podzielony na trzy różne części, dzięki czemu można go wykorzystać do wykonania trójkąta skalenowego. Jest on pokazany jako pierwszy na zdjęciu.

Trzeci kawałek drutu dzieli się na trzy części, przy czym dwie części mają tę samą długość, co oznacza, że ​​można z niego ułożyć trójkąt równoramienny. Na zdjęciu jest on pokazany jako drugi.

Dzisiaj na zajęciach poznaliśmy różne rodzaje trójkątów.

Bibliografia

1. MI. Moreau, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 1. - M.: „Oświecenie”, 2012.
2. MI. Moreau, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 2. - M.: „Oświecenie”, 2012.
3. MI. Moro. Lekcje matematyki: Zalecenia metodyczne dla nauczycieli. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
4. Dokument regulacyjny. Monitorowanie i ewaluacja efektów uczenia się. - M.: „Oświecenie”, 2011.
5. „Szkoła Rosji”: Programy dla szkół podstawowych. - M.: „Oświecenie”, 2011.
6. SI. Wołkowa. Matematyka: Praca testowa. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
7. V.N. Rudnicka. Testy. - M.: „Egzamin”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Praca domowa

1. Uzupełnij wyrażenia.

a) Trójkąt to figura złożona z... które nie leżą na tej samej prostej i... które łączą te punkty parami.

b) Punkty są nazywane … , segmenty - jego … . Boki trójkąta tworzą się w wierzchołkach trójkąta ….

c) W zależności od wielkości kąta trójkąty to ... , ... , ... .

d) Na podstawie liczby równych boków trójkąty to ... , ... , ... .

2. Narysuj

a) trójkąt prostokątny;

b) ostry trójkąt;

c) trójkąt rozwarty;

d) trójkąt równoboczny;

e) trójkąt skalenowy;

e) trójkąt równoramienny.

3. Utwórz zadanie na temat lekcji dla swoich znajomych.

Standardowe oznaczenia

Trójkąt z wierzchołkami A, B I C jest oznaczony jako (patrz rysunek). Trójkąt ma trzy boki:

Długości boków trójkąta są oznaczone małymi literami łacińskimi (a, b, c):

Trójkąt ma następujące kąty:

Wartości kątów w odpowiednich wierzchołkach tradycyjnie oznacza się greckimi literami (α, β, γ).

Znaki równości trójkątów

Trójkąt na płaszczyźnie euklidesowej można jednoznacznie wyznaczyć (aż do zgodności) za pomocą następujących trójek elementów podstawowych:

1. a, b, γ (równość po obu stronach i kąt między nimi);
2. a, β, γ (równość boku i dwóch sąsiednich kątów);
3. a, b, c (równość z trzech stron).

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

1. wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
2. na dwóch nogach;
3. wzdłuż nogi i kąta ostrego;
4. wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego.

Niektóre punkty trójkąta są „sparowane”. Na przykład istnieją dwa punkty, z których wszystkie boki są widoczne pod kątem 60° lub 120°. Nazywają się kropki Torricellego. Istnieją również dwa punkty, których rzuty na boki leżą w wierzchołkach regularnego trójkąta. Ten - Apoloniusz wskazuje. Punkty i tym podobne nazywane są Punkty Brocarda.

Bezpośredni

W każdym trójkącie środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego leżą na tej samej prostej, zwanej Linia Eulera.

Nazywa się linię prostą przechodzącą przez środek okręgu opisanego i punkt Lemoine'a Oś Brocarda. Leżą na nim punkty Apoloniusza. Punkt Torricellego i punkt Lemoine'a również leżą na tej samej prostej. Podstawy zewnętrznych dwusiecznych kątów trójkąta leżą na tej samej prostej, tzw oś dwusiecznych zewnętrznych. Punkty przecięcia prostych zawierających boki ortotrójkąta z liniami zawierającymi boki trójkąta również leżą na tej samej prostej. Ta linia nazywa się oś ortocentryczna, jest prostopadła do prostej Eulera.

Jeśli weźmiemy punkt na okręgu opisanym na trójkącie, to jego rzuty na boki trójkąta będą leżały na tej samej prostej, zwanej Simson ma rację ten punkt. Linie Simsona punktów diametralnie przeciwnych są prostopadłe.

Trójkąty

• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki są u podstaw poprowadzone przez dany punkt trójkąt Ceviana ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w rzutach danego punktu na boki darń Lub trójkąt pedałowy ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w drugich punktach przecięcia prostych przechodzących przez wierzchołki i danego punktu z opisanym okręgiem trójkąt obwodowy. Trójkąt obwodowy jest podobny do trójkąta darniowego.

Kręgi

• Wpisane koło- okrąg dotykający wszystkich trzech boków trójkąta. Ona jest jedyna. Nazywa się środek okręgu wpisanego w centrum.
• Okrąg- okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Okrąg opisany jest również wyjątkowy.
• Wykreślić- okrąg dotykający jednego boku trójkąta i kontynuacja pozostałych dwóch boków. W trójkącie są trzy takie okręgi. Ich radykalnym środkiem jest środek okręgu wpisanego w trójkąt przyśrodkowy, tzw Punkt Spikera.

Środki trzech boków trójkąta, podstawy jego trzech wysokości i środki trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na jednym okręgu zwanym okrąg złożony z dziewięciu punktów Lub Koło Eulera. Środek dziewięciopunktowego okręgu leży na linii Eulera. Okrąg złożony z dziewięciu punktów styka się z okręgiem wpisanym i trzema okręgami. Nazywa się punkt styczności między okręgiem wpisanym a okręgiem dziewięciu punktów Punkt Feuerbacha. Jeśli z każdego wierzchołka położymy na zewnątrz trójkąta proste linie zawierające boki, ortozy o długości równej długości przeciwległym bokom, to wynikowe sześć punktów leży na tym samym okręgu - Koło Conwaya. W dowolny trójkąt można wpisać trzy okręgi w taki sposób, aby każde z nich stykało się z dwoma bokami trójkąta i dwoma innymi okręgami. Takie kręgi nazywane są Kręgi Malfattiego. Środki okręgów opisanych w sześciu trójkątach, na które trójkąt jest podzielony środkowymi, leżą na jednym okręgu, zwanym obwód Lamuna.

Trójkąt ma trzy okręgi, które stykają się z dwoma bokami trójkąta i okręgiem opisanym. Takie kręgi nazywane są półwpisany Lub Kręgi Verriera. Odcinki łączące punkty styczności okręgów Verriera z okręgiem opisanym przecinają się w jednym punkcie zwanym Punkt Verriera. Służy jako środek jednorodności, która przekształca okrąg opisany w okrąg wpisany. Punkty styku okręgów Verriera z bokami leżą na linii prostej przechodzącej przez środek okręgu wpisanego.

Odcinki łączące punkty styczności okręgu wpisanego z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie zwanym Punkt Gergonne, a odcinki łączące wierzchołki z punktami styczności okręgów są w Punkt Nagela.

Elipsy, parabole i hiperbole

Wpisany stożek (elipsa) i jego perspektywa

W trójkąt można wpisać nieskończoną liczbę stożków (elips, paraboli i hiperboli). Jeśli w trójkąt wpiszemy dowolny stożek i połączymy punkty styczne z przeciwległymi wierzchołkami, to powstałe proste przetną się w jednym punkcie zwanym perspektywa prycze. W każdy punkt płaszczyzny, który nie leży na boku ani na jego przedłużeniu, w tym miejscu wpisany jest stożek z perspektywą.

Opisana elipsa Steinera i ceviany przechodzące przez jej ogniska

W trójkąt można wpisać elipsę, która styka się bokami w środku. Taka elipsa nazywa się wpisana elipsa Steinera(jego perspektywą będzie środek ciężkości trójkąta). Nazywa się elipsą ograniczoną, która styka się z liniami przechodzącymi przez wierzchołki równoległe do boków opisane przez elipsę Steinera. Jeśli przekształcimy trójkąt w trójkąt foremny za pomocą transformacji afinicznej („skosu”), to jego wpisana i ograniczona elipsa Steinera przekształci się w wpisany i opisany okrąg. Linie Cheviana poprowadzone przez ogniska opisanej elipsy Steinera (punkty Scutina) są równe (twierdzenie Scutina). Ze wszystkich opisanych elips opisana elipsa Steinera ma najmniejsze pole, a ze wszystkich elips wpisanych największe pole ma wpisana elipsa Steinera.

Elipsa Brocarda i jej perspektywa – punkt Lemoine’a

Nazywa się elipsę z ogniskami w punktach Brocarda Elipsa Brocarda. Jej perspektywą jest punkt Lemoine’a.

Właściwości paraboli wpisanej

Parabola Kieperta

Perspektywy wpisanych parabol leżą na opisanej elipsie Steinera. Ognisko paraboli wpisanej leży na okręgu opisanym, a kierownica przechodzi przez ortocentrum. Nazywa się parabolą wpisaną w trójkąt, której kierownicą jest kierownica Eulera Parabola Kieperta. Jego perspektywą jest czwarty punkt przecięcia opisanego okręgu i opisanej elipsy Steinera, zwanej Punkt Steinera.

Hiperbola Kieperta

Jeżeli opisana hiperbola przechodzi przez punkt przecięcia wysokości, to jest równoboczna (to znaczy jej asymptoty są prostopadłe). Punkt przecięcia asymptot hiperboli równobocznej leży na okręgu dziewięciu punktów.

Transformacje

Jeśli linie przechodzące przez wierzchołki i jakiś punkt nie leżący na bokach oraz ich przedłużenia zostaną odbite względem odpowiednich dwusiecznych, to ich obrazy również przetną się w jednym punkcie, co nazywa się sprzężony izogonalnie pierwotny (jeżeli punkt leży na okręgu opisanym, to powstałe linie będą równoległe). Wiele par niezwykłych punktów jest sprzężonych izogonalnie: środek okręgu opisanego i ortocentrum, środek ciężkości i punkt Lemoine'a, punkty Brocarda. Punkty Apoloniusza są izogonalnie sprzężone z punktami Torricellego, a środek wpisanego okręgu jest izogonalnie sprzężony z samym sobą. Pod wpływem koniugacji izogonalnej linie proste przekształcają się w opisane stożki, a ograniczone stożki w linie proste. Zatem hiperbola Kieperta i oś Brocarda, hiperbola Jenzabeka i linia prosta Eulera, hiperbola Feuerbacha oraz linia środków okręgów wpisanych i opisanych są sprzężone izogonalnie. Okręgi opisane na trójkątach punktów sprzężonych izogonalnie pokrywają się. Ogniska elips wpisanych są sprzężone izogonalnie.

Jeśli zamiast ceviana symetrycznego weźmiemy ceviana, którego podstawa jest tak samo oddalona od środka boku jak podstawa pierwotnego, to takie ceviany również przetną się w jednym punkcie. Powstała w ten sposób transformacja nazywa się koniugacja izotomiczna. Konwertuje także linie proste na opisane stożki. Punkty Gergonne i Nagel są izotomicznie sprzężone. W przypadku transformacji afinicznych punkty sprzężone izotomicznie przekształcają się w punkty sprzężone izotomicznie. Przy koniugacji izotomicznej opisana elipsa Steinera przejdzie w nieskończenie odległą linię prostą.

Jeśli w odcinki odcięte bokami trójkąta od okręgu opisanego wpiszemy okręgi stykające się z bokami u podstaw cewiana poprowadzonego przez pewien punkt, a następnie połączymy punkty styczne tych okręgów z okręgiem opisanym o przeciwnych wierzchołkach, wtedy takie proste przetną się w jednym punkcie. Nazywa się transformację płaszczyzny, która dopasowuje punkt pierwotny do punktu wynikowego transformacja izokolowa. Skład koniugatów izogonalnych i izotomicznych jest kompozycją transformacji izokołowej samą w sobie. Ta kompozycja jest transformacją rzutową, która pozostawia boki trójkąta na miejscu i przekształca oś dwusiecznych zewnętrznych w linię prostą w nieskończoności.

Jeśli będziemy kontynuować boki trójkąta Cheviana pewnego punktu i weźmiemy ich punkty przecięcia z odpowiednimi bokami, wówczas powstałe punkty przecięcia będą leżeć na jednej prostej, zwanej trójliniowy polarny punkt wyjścia. Oś ortocentryczna jest trójliniowym biegunem ortocentrum; trójliniowy biegun środka okręgu wpisanego jest osią dwusiecznych zewnętrznych. Trójliniowe bieguny punktów leżących na opisanym stożku przecinają się w jednym punkcie (dla opisanego okręgu jest to punkt Lemoine'a, dla opisanej elipsy Steinera jest to środek ciężkości). Skład koniugatu izogonalnego (lub izotomicznego) i trójliniowego bieguna jest transformacją dualności (jeśli punkt izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowym biegunie punktu, wówczas trójliniowy biegun punktu jest izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowym biegunie punktu).

Kostki

Stosunki w trójkącie

Notatka: w tej sekcji, , są długościami trzech boków trójkąta, i , to kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych trzech boków (kąty przeciwległe).

Nierówność trójkąta

W trójkącie niezdegenerowanym suma długości jego dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku, w trójkącie zdegenerowanym jest równa. Innymi słowy, długości boków trójkąta są powiązane przez następujące nierówności:

Nierówność trójkąta jest jednym z aksjomatów metryk.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Twierdzenie o sinusach

,

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie. Z twierdzenia wynika, że ​​jeśli a< b < c, то α < β < γ.

Twierdzenie cosinus

Twierdzenie styczne

Inne proporcje

Stosunki metryczne w trójkącie podano dla:

Rozwiązywanie trójkątów

Obliczanie nieznanych boków i kątów trójkąta na podstawie znanych było historycznie nazywane „rozwiązywaniem trójkątów”. Stosowane są powyższe ogólne twierdzenia trygonometryczne.

Pole trójkąta

Przypadki szczególne Notacja

Dla obszaru obowiązują następujące nierówności:

Obliczanie pola trójkąta w przestrzeni za pomocą wektorów

Niech wierzchołki trójkąta będą w punktach , , .

Przedstawmy wektor powierzchniowy . Długość tego wektora jest równa powierzchni trójkąta i jest skierowana prostopadle do płaszczyzny trójkąta:

Ustalmy , gdzie , , to rzuty trójkąta na płaszczyzny współrzędnych. W której

i podobnie

Pole trójkąta wynosi .

Alternatywą jest obliczenie długości boków (z twierdzenia Pitagorasa), a następnie skorzystanie ze wzoru Herona.

Twierdzenia o trójkącie

Twierdzenie Desarguesa: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne (linie przechodzące przez odpowiednie wierzchołki trójkątów przecinają się w jednym punkcie), to odpowiadające im boki przecinają się na tej samej linii.

Twierdzenie Sondy: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne i ortologiczne (prostopadłe poprowadzone od wierzchołków jednego trójkąta do boków przeciwnych odpowiednim wierzchołkom trójkąta i odwrotnie), to oba środki ortologii (punkty przecięcia tych prostopadłych) i środek perspektywy leżą na tej samej linii prostej, prostopadłej do osi perspektywy (prosta z twierdzenia Desarguesa).