Równanie prostej przechodzącej przez kalkulator dwóch punktów. Ogólne równanie prostej na płaszczyźnie

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prosta przechodzi przez początek

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prosta równoległa do osi Wółu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy

B = C = 0, A ≠0 – prosta pokrywa się z osią Oy

A = C = 0, B ≠0 – prosta pokrywa się z osią Wółu

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do ​​prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadłej do (3, -1).

Rozwiązanie. Przy A = 3 i B = -1 ułóżmy równanie prostej: 3x – y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia.Otrzymujemy: 3 – 2 + C = 0, zatem C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x – y – 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik powinien być równy zero.Na płaszczyźnie równanie prostej zapisanej powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Nazywa się ułamek = k nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej z punktu i nachylenia

Jeżeli suma Ax + Bu + C = 0 prowadzi do postaci:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego

Przez analogię do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, można wprowadzić definicję prostej przechodzącej przez punkt oraz wektor kierunkowy prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), którego składowe spełniają warunek A α 1 + B α 2 = 0, nazywany jest wektorem kierującym linii

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej prostej będziemy szukać w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0, czyli x + y + C / A = 0. Dla x = 1, y = 2 otrzymujemy C/ A = -3, tj. wymagane równanie:

Równanie prostej w odcinkach

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: Lub

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x – y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii

Jeśli obie strony równania Ax + By + C = 0 zostaną pomnożone przez liczbę który jest nazywany czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalne równanie linii. Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Przykład. Podano równanie ogólne prostej 12x – 5y – 65 = 0. Należy napisać dla tej prostej różnego rodzaju równania.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej linii z nachyleniem: (podziel przez 5)

; cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie prostej, jeśli pole trójkąta utworzonego przez te odcinki wynosi 8 cm 2.

Rozwiązanie. Równanie prostej ma postać: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-2, -3) i początek.

Rozwiązanie. Równanie prostej to: , gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Kąt pomiędzy liniami prostymi na płaszczyźnie

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

(1)

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: ; 4 x = 6 lat – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Lekcja z cyklu „Algorytmy geometryczne”

Witaj drogi czytelniku!

Dzisiaj zaczniemy uczyć się algorytmów związanych z geometrią. Faktem jest, że problemów olimpijskich w informatyce związanych z geometrią obliczeniową jest dość dużo, a rozwiązanie takich problemów często powoduje trudności.

W ciągu kilku lekcji rozważymy szereg elementarnych podzadań, na których opiera się rozwiązanie większości problemów geometrii obliczeniowej.

Na tej lekcji utworzymy program dla znalezienie równania prostej, przechodząc przez dane dwa punkty. Aby rozwiązać problemy geometryczne, potrzebujemy pewnej wiedzy z geometrii obliczeniowej. Część lekcji poświęcimy na ich poznanie.

Spostrzeżenia z geometrii obliczeniowej

Geometria obliczeniowa to dziedzina informatyki zajmująca się badaniem algorytmów rozwiązywania problemów geometrycznych.

Danymi początkowymi dla takich problemów może być zbiór punktów na płaszczyźnie, zbiór odcinków, wielokąt (określony na przykład przez listę jego wierzchołków w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara) itp.

Wynikiem może być albo odpowiedź na jakieś pytanie (np. czy punkt należy do odcinka, czy dwa odcinki przecinają się, ...), albo jakiś obiekt geometryczny (na przykład najmniejszy wielokąt wypukły łączący dane punkty, pole powierzchni wielokąt itp.).

Zagadnienia geometrii obliczeniowej będziemy rozpatrywać tylko na płaszczyźnie i tylko w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Wektory i współrzędne

Aby zastosować metody geometrii obliczeniowej, konieczne jest przełożenie obrazów geometrycznych na język liczb. Zakładamy, że płaszczyzna ma dany kartezjański układ współrzędnych, w którym kierunek obrotu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara nazywany jest dodatnim.

Teraz obiekty geometryczne otrzymują analityczny wyraz. Aby więc określić punkt, wystarczy podać jego współrzędne: parę liczb (x; y). Segment można określić podając współrzędne jego końców, linię prostą można określić podając współrzędne pary jej punktów.

Ale naszym głównym narzędziem do rozwiązywania problemów będą wektory. Przypomnę zatem kilka informacji na ich temat.

Odcinek AB, co ma rację A jest uważany za początek (punkt zastosowania) i punkt W– koniec, zwany wektorem AB i jest oznaczony na przykład jedną lub pogrubioną małą literą A .

Aby oznaczyć długość wektora (czyli długość odpowiedniego odcinka), użyjemy symbolu modułu (na przykład ).

Dowolny wektor będzie miał współrzędne równe różnicy między odpowiednimi współrzędnymi jego końca i początku:

,

oto punkty A I B mają współrzędne odpowiednio.

Do obliczeń użyjemy pojęcia zorientowany kąt, czyli kąt uwzględniający względne położenie wektorów.

Kąt zorientowany pomiędzy wektorami A I B dodatnie, jeśli obrót pochodzi od wektora A do wektora B odbywa się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), a w drugim przypadku ujemnym. Patrz ryc. 1a, ryc. 1b. Mówi się również, że para wektorów A I B zorientowany pozytywnie (negatywnie).

Zatem wartość zorientowanego kąta zależy od kolejności, w jakiej wektory są wymienione i może przyjmować wartości z przedziału.

Wiele problemów geometrii obliczeniowej wykorzystuje koncepcję iloczynów wektorowych (skośnych lub pseudoskalarnych) wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów aib jest iloczynem długości tych wektorów i sinusa kąta między nimi:

.

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych:

Wyrażenie po prawej stronie jest wyznacznikiem drugiego rzędu:

W przeciwieństwie do definicji podanej w geometrii analitycznej, jest to skalar.

Znak iloczynu wektorowego określa położenie wektorów względem siebie:

A I B pozytywnie zorientowany.

Jeśli wartość wynosi , to para wektorów A I B zorientowany negatywnie.

Iloczyn krzyżowy niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one współliniowe ( ). Oznacza to, że leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych.

Przyjrzyjmy się kilku prostym problemom, które są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej złożonych.

Wyznaczmy równanie prostej ze współrzędnych dwóch punktów.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty określone przez ich współrzędne.

Niech na prostej zostaną dane dwa nie pokrywające się punkty: o współrzędnych (x1; y1) i o współrzędnych (x2; y2). Odpowiednio wektor mający początek w punkcie i koniec w punkcie ma współrzędne (x2-x1, y2-y1). Jeżeli P(x, y) jest dowolnym punktem na naszej prostej, to współrzędne wektora są równe (x-x1, y – y1).

Korzystając z iloczynu wektorowego, warunek kolinearności wektorów i można zapisać w następujący sposób:

Te. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ostatnie równanie przepisujemy w następujący sposób:

topór + o + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Zatem linię prostą można określić za pomocą równania postaci (1).

Zadanie 1. Podano współrzędne dwóch punktów. Znajdź jego reprezentację w postaci ax + by + c = 0.

Na tej lekcji poznaliśmy pewne informacje na temat geometrii obliczeniowej. Rozwiązaliśmy problem znalezienia równania linii na podstawie współrzędnych dwóch punktów.

Na następnej lekcji utworzymy program, który znajdzie punkt przecięcia dwóch prostych podanych przez nasze równania.

Własności prostej w geometrii euklidesowej.

Przez dowolny punkt można poprowadzić nieskończoną liczbę linii prostych.

Przez dowolne dwa nie pokrywające się punkty można poprowadzić pojedynczą linię prostą.

Dwie rozbieżne linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są

równolegle (wynika z poprzedniego).

W przestrzeni trójwymiarowej istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:

• linie przecinają się;

• linie są równoległe;

• linie proste przecinają się.

Prosty linia— krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: linia prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych

jest dana na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równaniem liniowym).

Ogólne równanie prostej.

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

i stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny

równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B I Z Możliwe są następujące szczególne przypadki:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia prosta przechodzi przez początek

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Jednostka organizacyjna

. B = C = 0, A ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Jednostka organizacyjna

. A = C = 0, B ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Oh

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od danego

warunki początkowe.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego.

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B)

prostopadle do prostej określonej równaniem

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).

Rozwiązanie. Mając A = 3 i B = -1, ułóżmy równanie prostej: 3x - y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C

Do powstałego wyrażenia podstawiamy współrzędne danego punktu A. Otrzymujemy zatem: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x - y - 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech w przestrzeni będą dane dwa punkty M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Następnie równanie linii,

przechodząc przez te punkty:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero. NA

płaszczyźnie, równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

Jeśli x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Jeśli x 1 = x 2 .

Frakcja = k zwany nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.

Jeśli ogólne równanie linii Topór + Wu + C = 0 prowadzić do:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się

równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, możesz wprowadzić zadanie

linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), których elementy spełniają warunek

Aα 1 + Ba 2 = 0 zwany wektor kierujący linii prostej.

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej linii będziemy szukać w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją,

współczynniki muszą spełniać następujące warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, Lub x + y + C / A = 0.

Na x = 1, y = 2 dostajemy C/A = -3, tj. wymagane równanie:

x + y - 3 = 0

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez -С, otrzymujemy:

czy gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia

proste z osią Oh, A B- współrzędna punktu przecięcia linii z osią Jednostka organizacyjna.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii.

Jeśli obie strony równania Topór + Wu + C = 0 podzielić przez liczbę który jest nazywany

czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie linii.

Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby: µ*C< 0.

R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do prostej,

A φ - kąt utworzony przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagane do pisania różnych typów równań

tę linię prostą.

Równanie tej prostej w odcinkach:

Równanie tej prostej z nachyleniem: (podziel przez 5)

Równanie prostej:

cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w postaci odcinków, np. linie proste,

równolegle do osi lub przechodząc przez początek układu współrzędnych.

Kąt między prostymi na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podano dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, a następnie kąt ostry między tymi liniami

zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe

Jeśli k 1 = -1/ k 2 .

Twierdzenie.

Bezpośredni Topór + Wu + C = 0 I ZA 1 x + B 1 y + C 1 = 0 równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne

ZA 1 = λA, B 1 = λB. Jeśli także С 1 = λС, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii

znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b

reprezentowane przez równanie:

Odległość punktu od linii.

Twierdzenie. Jeśli zostanie przyznany punkt M(x 0, y 0), następnie odległość do linii prostej Topór + Wu + C = 0 zdefiniowana jako:

Dowód. Niech chodzi M 1 (x 1, y 1)- podstawa prostopadłej rzucona z punktu M dla danego

bezpośredni. Następnie odległość między punktami M I M 1:

(1)

Współrzędne x 1 I o 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle

dana linia prosta. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

W artykule przedstawiono wyprowadzenie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych położonym na płaszczyźnie. Wyprowadźmy równanie linii prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. W przejrzysty sposób pokażemy i rozwiążemy kilka przykładów związanych z omawianym materiałem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed otrzymaniem równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty należy zwrócić uwagę na kilka faktów. Istnieje aksjomat, który mówi, że przez dwa rozbieżne punkty na płaszczyźnie można poprowadzić linię prostą i tylko jedną. Innymi słowy, dwa dane punkty na płaszczyźnie są określone przez linię prostą przechodzącą przez te punkty.

Jeśli płaszczyznę definiuje prostokątny układ współrzędnych Oxy, wówczas każda przedstawiona na niej linia prosta będzie odpowiadać równaniu linii prostej na płaszczyźnie. Istnieje także powiązanie z wektorem kierunkowym prostej.Dane te wystarczą do ułożenia równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Spójrzmy na przykład rozwiązania podobnego problemu. Należy utworzyć równanie na prostą a przechodzącą przez dwa rozbieżne punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), znajdujące się w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W równaniu kanonicznym linii na płaszczyźnie, mającej postać x - x 1 a x = y - y 1 a y, prostokątny układ współrzędnych O x y jest określony linią, która przecina się z nim w punkcie o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) z wektorem prowadzącym a → = (a x , a y) .

Należy utworzyć równanie kanoniczne prostej a, która przejdzie przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Prosta a ma wektor kierunkowy M 1 M 2 → ze współrzędnymi (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ponieważ przecina punkty M 1 i M 2. Uzyskaliśmy niezbędne dane, aby przekształcić równanie kanoniczne ze współrzędnymi wektora kierunku M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i współrzędnymi leżących na nich punktów M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Otrzymujemy równanie postaci x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Rozważ poniższy rysunek.

Po obliczeniach zapisujemy równania parametryczne prostej na płaszczyźnie przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Otrzymujemy równanie postaci x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ lub x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Przyjrzyjmy się bliżej rozwiązaniu kilku przykładów.

Przykład 1

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez 2 dane punkty o współrzędnych M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Rozwiązanie

Równanie kanoniczne prostej przecinającej się w dwóch punktach o współrzędnych x 1, y 1 i x 2, y 2 ma postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Zgodnie z warunkami zadania mamy, że x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Konieczne jest podstawienie wartości liczbowych do równania x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Stąd otrzymujemy, że równanie kanoniczne ma postać x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odpowiedź: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jeśli chcesz rozwiązać problem za pomocą równania innego typu, najpierw możesz przejść do równania kanonicznego, ponieważ łatwiej jest z niego przejść do dowolnego innego.

Przykład 2

Ułóż ogólne równanie linii prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) w układzie współrzędnych Oxy.

Rozwiązanie

Najpierw należy zapisać równanie kanoniczne danej prostej przechodzącej przez dane dwa punkty. Otrzymujemy równanie postaci x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Doprowadźmy równanie kanoniczne do pożądanej postaci, a następnie otrzymamy:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odpowiedź: x - 3 y + 2 = 0 .

Przykłady takich zadań omawiane były w podręcznikach szkolnych na lekcjach algebry. Zadania szkolne różniły się tym, że znane było równanie prostej ze współczynnikiem kąta, mające postać y = k x + b. Jeśli chcesz znaleźć wartość nachylenia k i liczbę b, dla której równanie y = k x + b definiuje prostą w układzie O x y przechodzącą przez punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdzie x 1 ≠ x 2. Kiedy x 1 = x 2 , wówczas współczynnik kątowy przyjmuje wartość nieskończoności, a linię prostą M 1 M 2 definiuje ogólne niepełne równanie postaci x - x 1 = 0 .

Ponieważ punkty M 1 I M 2 leżą na linii prostej, to ich współrzędne spełniają równanie y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Konieczne jest rozwiązanie układu równań y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b dla k i b.

Aby to zrobić, znajdujemy k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Przy tych wartościach k i b równanie linii przechodzącej przez dane dwa punkty przyjmuje postać y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Niemożliwe jest zapamiętanie tak ogromnej liczby formuł na raz. Aby to zrobić, konieczne jest zwiększenie liczby powtórzeń w rozwiązywaniu problemów.

Przykład 3

Zapisz równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym przechodzącym przez punkty o współrzędnych M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, używamy wzoru ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k x + b. Współczynniki k i b muszą przyjmować taką wartość, aby równanie to odpowiadało linii prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Zwrotnica M 1 I M 2 leżą na linii prostej, to ich współrzędne muszą sprawić, że równanie y = k x + b będzie prawdziwą równością. Z tego otrzymujemy, że - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Połączmy równanie w układ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i rozwiążmy.

Po podstawieniu otrzymamy to

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz wartości k = 2 3 i b = - 1 3 są podstawione do równania y = k x + b. Stwierdzamy, że wymagane równanie przechodzące przez dane punkty będzie równaniem postaci y = 2 3 x - 1 3 .

Ta metoda rozwiązania z góry przesądza o stracie dużej ilości czasu. Istnieje sposób, w jaki zadanie rozwiązuje się dosłownie w dwóch etapach.

Zapiszmy równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), mające postać x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Przejdźmy teraz do równania nachylenia. Otrzymujemy, że: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odpowiedź: y = 2 3 x - 1 3 .

Jeżeli w przestrzeni trójwymiarowej istnieje prostokątny układ współrzędnych O x y z z dwoma danymi, nie pokrywającymi się punktami o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to prosta M przechodząca przez nie 1 M 2 , należy otrzymać równanie tej prostej.

Mamy równania kanoniczne w postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z oraz równania parametryczne w postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ potrafią zdefiniować prostą w układzie współrzędnych O x y z, przechodzącą przez punkty posiadające współrzędne (x 1, y 1, z 1) z wektorem kierunku a → = (a x, a y, a z).

Proste M 1 M 2 ma wektor kierunkowy postaci M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdzie prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stąd równanie kanoniczne może mieć postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, z kolei parametryczne x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ lub x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Rozważmy rysunek przedstawiający 2 dane punkty w przestrzeni i równanie linii prostej.

Przykład 4

Napisz równanie prostej określonej w prostokątnym układzie współrzędnych O x y z przestrzeni trójwymiarowej, przechodzącej przez dane dwa punkty o współrzędnych M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie równania kanonicznego. Ponieważ mówimy o przestrzeni trójwymiarowej, oznacza to, że gdy prosta przechodzi przez dane punkty, pożądane równanie kanoniczne będzie miało postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Pod warunkiem mamy, że x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Wynika z tego, że niezbędne równania zostaną zapisane w następujący sposób:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpowiedź: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie to jedna z najprostszych figur geometrycznych, znana Państwu ze szkoły podstawowej, a dziś nauczymy się sobie z nią radzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Informacje te można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla Mathana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom tworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię im elementarne i ważne fakty, techniki techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych sekcjach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy geometryczne znaczenie tego współczynnika i wpływ jego wartości na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik za pomocą funkcji odwrotnej - arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste oznaczono małymi literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

W razie trudności przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwonił ostatni dzwonek, zakończyła się uroczystość wręczenia dyplomów, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej prawie zawsze będzie podane w formie ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym incydencie z dzieciństwa, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą, wektor jest dowolny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do jego ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo prosta:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie za pomocą omówionego właśnie algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w formie, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, gdyż konstruujemy linię prostą i sprawdzamy, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro właściwie już rozwiązaliśmy ten problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? Krótko mówiąc, normalna jest prostopadłą. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (jak również wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, przystąpimy do drugiej, łatwiejszej części zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale także ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zero i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.