Utwórz szereg rozkładów zmienności przedziałowej. Podsumowanie statystyczne i grupowanie

Jeżeli badana zmienna losowa ma charakter ciągły, to rankingowanie i grupowanie obserwowanych wartości często nie pozwala na identyfikację charakterystycznych cech zmienności jej wartości. Wyjaśnia to fakt, że poszczególne wartości zmiennej losowej mogą różnić się od siebie tak mało, jak jest to pożądane, dlatego w sumie obserwowanych danych rzadko mogą wystąpić identyczne wartości wielkości, a częstotliwości warianty niewiele się od siebie różnią.

Niepraktyczne jest również konstruowanie szeregu dyskretnego dla dyskretnej zmiennej losowej, której liczba możliwych wartości jest duża. W takich przypadkach powinieneś budować szereg zmian interwałowych dystrybucje.

Aby skonstruować taką serię, cały przedział zmienności obserwowanych wartości zmiennej losowej dzieli się na serię częściowe interwały i zliczanie częstotliwości występowania wartości wartości w każdym przedziale cząstkowym.

Seria zmian interwałowych wywołać uporządkowany zbiór przedziałów różnych wartości zmiennej losowej z odpowiednimi częstotliwościami lub względnymi częstotliwościami wartości zmiennej przypadającej na każdą z nich.

Aby zbudować serię interwałową potrzebujesz:

1. określić rozmiar częściowe przerwy;
2. określić szerokość interwały;
3. ustaw go dla każdego interwału szczyt I dolna granica ;
4. pogrupuj wyniki obserwacji.

1 . Kwestię wyboru liczby i szerokości przedziałów grupujących należy rozstrzygać w każdym konkretnym przypadku na podstawie cele badania, tom próbki i stopień zmienności charakterystyczny w próbce.

Przybliżona liczba interwałów k można oszacować jedynie na podstawie wielkości próby N w jeden z następujących sposobów:

• według formuły Sturges : k = 1 + 3,32 log n ;
• korzystając z tabeli 1.

Tabela 1

2 . Ogólnie preferowane są przestrzenie o równej szerokości. Aby określić szerokość odstępów H obliczać:

• zakres zmienności R - przykładowe wartości: R = x maks. - x min ,

Gdzie xmaks I xmin - maksymalne i minimalne opcje pobierania próbek;

• szerokość każdego interwału H wyznaczany za pomocą następującego wzoru: h = R/k .

3 . Dolny limit pierwsza przerwa x godz1 dobiera się tak, aby opcja minimalnej próbki xmin spadł mniej więcej w połowie tego przedziału: x h1 = x min - 0,5 godz .

Interwały pośrednie uzyskuje się przez dodanie długości przedziału częściowego do końca poprzedniego przedziału H :

x hi = x hi-1 + godz.

Konstrukcja skali przedziałowej w oparciu o obliczenie granic przedziałów trwa aż do wartości x cześć spełnia zależność:

x cześć< x max + 0,5·h .

4 . Zgodnie ze skalą przedziałową wartości charakterystyczne są grupowane – dla każdego przedziału cząstkowego obliczana jest suma częstotliwości n ja opcja zawarta w I interwał. W tym przypadku przedział obejmuje wartości zmiennej losowej, które są większe lub równe dolnej granicy i mniejsze niż górna granica przedziału.

Wielokąt i histogram

Dla przejrzystości konstruuje się różne wykresy rozkładu statystycznego.

Na podstawie danych dyskretnego szeregu zmian konstruują wielokąt częstotliwości lub częstotliwości względne.

Wielokąt częstotliwości x 1 ; nr 1 ), (x 2 ; nr 2 ), ..., (x k ; n k ). Aby skonstruować wielokąt częstotliwości, opcje są wykreślane na osi odciętych. x ja , a na rzędnej - odpowiednie częstotliwości n ja . Punkty ( x ja ; n ja ) łączy się odcinkami prostymi i uzyskuje się wielokąt częstotliwości (ryc. 1).

Wielokąt częstotliwości względnych nazywana linią łamaną, której odcinki łączą punkty ( x 1 ; W 1 ), (x 2 ; W 2 ), ..., (x k ; tydz ). Aby skonstruować wielokąt częstotliwości względnych, opcje są wykreślane na osi odciętych x ja , a na rzędnej - odpowiadające im częstotliwości względne W ja . Punkty ( x ja ; W ja ) są połączone odcinkami prostymi i uzyskuje się wielokąt częstotliwości względnych.

Na wszelki wypadek znak ciągły warto budować histogram .

Histogram częstotliwości nazywana figurą schodkową składającą się z prostokątów, których podstawy są częściowymi odcinkami długości H , a wysokości są równe stosunkowi n i/godz (gęstość częstotliwości).

Aby skonstruować histogram częstotliwości, na osi odciętych rozmieszczone są częściowe odstępy, a nad nimi w pewnej odległości narysowane są segmenty równoległe do osi odciętych n i/godz .

Liczba grup (interwałów) jest w przybliżeniu określona wzorem Sturgessa:

m = 1 + 3,322 × log(n)

gdzie n to całkowita liczba jednostek obserwacyjnych (całkowita liczba elementów w populacji itp.), log(n) to logarytm dziesiętny z n.

Otrzymane zgodnie ze wzorem Sturgessa wartość jest zwykle zaokrąglana do najbliższej liczby całkowitej liczb, ponieważ liczba grup nie może być liczbą ułamkową.

Jeżeli szereg przedziałowy o tak dużej liczbie grup nie jest zadowalający dla niektórych kryteriów, można zbudować kolejny szereg przedziałowy poprzez zaokrąglenie M na mniejszą liczbę całkowitą i wybierz bardziej odpowiednią z dwóch wierszy.

Liczba grup nie powinna być większa niż 15.

Możesz także skorzystać z poniższej tabeli, jeśli w ogóle nie jest możliwe obliczenie logarytmu dziesiętnego.

Wyznaczanie szerokości przedziału

Szerokość interwału dla szeregu zmian przedziałowych o równych odstępach wyznacza się ze wzoru:

gdzie X max jest maksimum wartości x i, X min jest minimum wartości x i; m - liczba grup (interwałów).

Rozmiar interwału (I ) jest zwykle zaokrąglane do najbliższej liczby całkowitej, jedynymi wyjątkami są przypadki, gdy badane są najmniejsze wahania cechy (na przykład podczas grupowania części według wielkości odchyleń od wartości nominalnej, mierzonej w ułamkach milimetra).

Często stosowana jest następująca zasada:

Liczba miejsc po przecinku	Liczba miejsc po przecinku	Przykład szerokości przedziału przy użyciu wzoru	Do jakiego znaku zaokrąglamy?	Przykład zaokrąglonej szerokości rozstawu

Wyznaczanie granic przedziałów

Dolny limit pierwsza przerwa przyjmuje się wartość równą minimalnej wartości atrybutu (najczęściej jest ona najpierw zaokrąglana do mniejszej liczby całkowitej o tej samej cyfrze, co szerokość przedziału). Przykładowo x min = 15, i=130, x n pierwszego przedziału = 10.

x n1 ≈ x min

Górna granica pierwszy przedział odpowiada wartości (Xmin + I).

Dolna granica drugiego przedziału jest zawsze równa górnej granicy pierwszego przedziału. Dla kolejnych grup granice wyznaczane są analogicznie, czyli sukcesywnie dodawana jest wartość przedziału.

X V I = x N I +ja

X N I = x V i-1

Wyznaczanie częstotliwości przedziałów.

Liczymy, ile wartości mieści się w każdym przedziale. Jednocześnie pamiętamy, że jeśli jednostka ma wartość charakterystyczną równą wartości górnej granicy przedziału, to należy ją przypisać do następnego przedziału.

Budujemy szereg przedziałowy w formie tabeli.

Wyznacz punkty środkowe przedziałów.

W celu dalszej analizy serii przedziałów należy wybrać wartość charakterystyczną dla każdego przedziału. Ta wartość atrybutu będzie wspólna dla wszystkich jednostek obserwacyjnych mieszczących się w tym przedziale. Te. poszczególne elementy „tracą” swoje indywidualne wartości atrybutów i przypisuje się im jedną wspólną wartość atrybutu. To ogólne znaczenie jest środek interwału, co jest oznaczone X" I .

Na przykładzie wzrostu dzieci przyjrzyjmy się, jak skonstruować szereg przedziałowy o równych odstępach.

Dostępne są wstępne dane.

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 , 92, 93, 94, 95, 96, 98 , , 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109 , 100, 101, 102, 104 , 110, 112, 114, 116, 117, 120, 122, 123, 124, 129, 110, 111, 113, 115, 116, 117, 121, 125, 126, 127 , 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129 , 111, 113, 116, 127 , 123, 122, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150 , 131, 133, 135, 136, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148

W wielu przypadkach, gdy populacja statystyczna obejmuje dużą, a tym bardziej nieskończoną liczbę wariantów, co najczęściej ma miejsce przy zmienności ciągłej, utworzenie grupy jednostek dla każdego wariantu jest praktycznie niemożliwe i niepraktyczne. Łączenie jednostek statystycznych w grupy jest wówczas możliwe jedynie na podstawie przedziału, tj. taka grupa, która ma pewne ograniczenia dla wartości zmiennej cechy. Granice te są oznaczone dwiema liczbami wskazującymi górną i dolną granicę każdej grupy. Użycie przedziałów prowadzi do powstania szeregu rozkładów przedziałowych.

Interwał rad jest serią wariacyjną, której warianty prezentowane są w postaci przedziałów.

Szereg przedziałowy można utworzyć z przedziałów równych i nierównych, przy czym wybór zasady konstruowania tego szeregu zależy głównie od stopnia reprezentatywności i wygody populacji statystycznej. Jeżeli populacja jest wystarczająco duża (reprezentatywna) pod względem liczby jednostek i jest całkowicie jednorodna w swoim składzie, wówczas warto oprzeć tworzenie szeregu przedziałowego na równości przedziałów. Zwykle, korzystając z tej zasady, tworzy się szereg przedziałowy dla tych populacji, w których zakres zmienności jest stosunkowo mały, tj. opcje maksymalne i minimalne zwykle różnią się od siebie kilkukrotnie. W tym przypadku wartość przedziałów równych oblicza się ze stosunku zakresu zmienności cechy do zadanej liczby utworzonych przedziałów. Aby określić równe I przedziału można zastosować wzór Sturgessa (zwykle przy niewielkiej zmienności charakterystyki przedziału i dużej liczbie jednostek w populacji statystycznej):

gdzie x i - równa wartość przedziału; X max, X min – opcje maksymalne i minimalne w agregacie statystycznym; N . - liczba jednostek w agregacie.

Przykład. Wskazane jest obliczenie wielkości równego przedziału według gęstości skażenia radioaktywnego cezem - 137 w 100 osadach obwodu krasnopolskiego obwodu mohylewskiego, jeśli wiadomo, że opcja początkowa (minimalna) jest równa I km / km 2, finał ( maksymalnie) - 65 ki/km 2. Korzystając ze wzoru 5.1. otrzymujemy:

W związku z tym, aby utworzyć szereg przedziałowy o równych odstępach pod względem gęstości skażenia cezem - 137 osad w rejonie Krasnopolskim, wielkość równego przedziału może wynosić 8 ki/km 2 .

W warunkach nierównomiernego rozkładu, tj. gdy opcje maksymalne i minimalne są setki razy, tworząc serię przedziałów, możesz zastosować tę zasadę nierówny interwały. Nierówne odstępy zwykle rosną w miarę przechodzenia do większych wartości cechy.

Kształt przedziałów może być zamknięty lub otwarty. Zamknięte Zwyczajowo nazywa się przedziały, które mają zarówno dolną, jak i górną granicę. Otwarte Przedziały mają tylko jedną granicę: w pierwszym przedziale znajduje się górna granica, w ostatnim dolna granica.

Wskazane jest, aby oceniać szeregi interwałowe, zwłaszcza z nierównymi przedziałami, biorąc pod uwagę gęstość dystrybucji, najprostszym sposobem obliczenia jest stosunek częstotliwości lokalnej (lub częstotliwości) do rozmiaru przedziału.

Aby praktycznie utworzyć szereg przedziałowy, można skorzystać z układu tabelarycznego. 5.3.

Tabela 5.3. Procedura tworzenia szeregu interwałowego osadnictwa w regionie Krasnopolskim według gęstości skażenia radioaktywnego cezem –137

Główną zaletą serii interwałowej jest jej maksimum ścisłość. jednocześnie w szeregach rozkładów przedziałowych poszczególne warianty cechy ukryte są w odpowiednich przedziałach

Podczas graficznego przedstawiania szeregu przedziałów w układzie współrzędnych prostokątnych, górne granice przedziałów są wykreślane na osi odciętych, a częstości lokalne szeregu na osi rzędnych. Graficzna konstrukcja szeregu przedziałowego różni się od konstrukcji wielokąta rozkładu tym, że każdy przedział ma dolną i górną granicę, a dwie odcięte odpowiadają jednej wartości rzędnej. Dlatego na wykresie szeregu przedziałowego nie zaznacza się punktu, jak w wielokącie, ale linię łączącą dwa punkty. Te poziome linie łączą się ze sobą liniami pionowymi i uzyskuje się figurę wielokąta schodkowego, co jest powszechnie nazywane histogram dystrybucja (ryc. 5.3).

Podczas graficznego konstruowania szeregu przedziałowego dla wystarczająco dużej populacji statystycznej zbliża się histogram symetryczny forma dystrybucji. W przypadkach, gdy populacja statystyczna jest z reguły niewielka, asymetryczny histogram.

W niektórych przypadkach wskazane jest utworzenie szeregu skumulowanych częstotliwości, tj. łączny wiersz. Szereg skumulowany można utworzyć na podstawie szeregu rozkładu dyskretnego lub przedziałowego. Podczas graficznego przedstawiania serii skumulowanej w układzie współrzędnych prostokątnych warianty są wykreślane na osi odciętych, a skumulowane częstotliwości (częstotliwości) są wykreślane na osi współrzędnych. Powstała zakrzywiona linia jest zwykle nazywana łączny dystrybucja (ryc. 5.4).

Tworzenie i graficzna reprezentacja różnych typów szeregów zmienności przyczynia się do uproszczenia obliczeń głównych cech statystycznych, które szczegółowo omówiono w temacie 6, i pomaga lepiej zrozumieć istotę praw dystrybucji populacji statystycznej. Analiza szeregu zmian nabiera szczególnego znaczenia w przypadkach, gdy konieczne jest zidentyfikowanie i prześledzenie zależności pomiędzy opcjami a częstotliwościami (częstotliwościami). Zależność ta przejawia się w tym, że liczba przypadków przypadająca na opcję jest w pewien sposób powiązana z wielkością tej opcji, tj. wraz ze wzrostem wartości zmiennej charakterystyki częstotliwości (częstotliwości) tych wartości ulegają pewnym, systematycznym zmianom. Oznacza to, że liczby w kolumnie częstotliwości (częstotliwości) nie zmieniają się chaotycznie, ale zmieniają się w określonym kierunku, w określonej kolejności i sekwencji.

Jeśli częstotliwości wykazują pewną systematyczność w swoich zmianach, oznacza to, że jesteśmy na dobrej drodze do zidentyfikowania prawidłowości. Układ, porządek, kolejność zmian częstotliwości jest odzwierciedleniem ogólnych przyczyn, ogólnych warunków charakterystycznych dla całej populacji.

Nie należy zakładać, że schemat rozkładu podawany jest zawsze w formie gotowej. Istnieje całkiem sporo serii odmian, w których częstotliwości dziwnie przeskakują, czasem rosną, czasem maleją. W takich przypadkach warto dowiedzieć się, z jakim rozkładem ma do czynienia badacz: albo rozkład ten nie ma w ogóle żadnych wzorców, albo jego natura nie została jeszcze ujawniona: Pierwszy przypadek jest rzadki, ale drugi przypadek jest zjawiskiem dość powszechnym i bardzo powszechnym.

Zatem przy tworzeniu serii przedziałów całkowita liczba jednostek statystycznych może być niewielka, a każdy przedział zawiera niewielką liczbę wariantów (na przykład 1-3 jednostki). W takich przypadkach nie można liczyć na przejaw jakiegokolwiek schematu. Aby na podstawie losowych obserwacji można było uzyskać naturalny wynik, musi zadziałać prawo wielkich liczb, czyli tzw. tak, że dla każdego przedziału byłoby nie kilka, ale dziesiątki i setki jednostek statystycznych. W tym celu musimy starać się maksymalnie zwiększać liczbę obserwacji. To najpewniejszy sposób wykrywania wzorców w procesach masowych. Jeśli nie ma realnej możliwości zwiększenia liczby obserwacji, identyfikację prawidłowości można osiągnąć poprzez zmniejszenie liczby przedziałów w szeregach dystrybucyjnych. Zmniejszając liczbę przedziałów w szeregu zmian, zwiększa się w ten sposób liczba częstotliwości w każdym przedziale. Oznacza to, że losowe wahania każdej jednostki statystycznej nakładają się na siebie, „wygładzają”, tworząc wzór.

Tworzenie i konstrukcja szeregów zmienności pozwala uzyskać jedynie ogólny, przybliżony obraz rozkładu populacji statystycznej. Na przykład histogram tylko w przybliżonej formie wyraża związek między wartościami cechy a jej częstotliwościami (częstotliwościami). Dlatego serie zmian są w zasadzie jedynie podstawą do dalszych, dogłębnych badań wewnętrznej regularności statyki dystrybucja.

PYTANIA TESTOWE DO TEMATU 5

1. Czym jest zmienność? Co powoduje zmienność cechy w populacji statystycznej?

2. Jakie rodzaje zmiennych cech mogą występować w statystyce?

3. Co to jest szereg zmian? Jakie mogą być rodzaje szeregów wariacyjnych?

4. Co to jest seria rankingowa? Jakie są jego zalety i wady?

5. Co to jest szereg dyskretny i jakie są jego zalety i wady?

6. Jak wygląda procedura tworzenia szeregu przedziałowego, jakie są jego zalety i wady?

7. Jaka jest graficzna reprezentacja uporządkowanych, dyskretnych szeregów o rozkładzie przedziałowym?

8. Czym jest kumulacja podziału i czym się charakteryzuje?

Statystyka matematyczna- dział matematyki zajmujący się matematycznymi metodami przetwarzania, systematyzowania i wykorzystywania danych statystycznych do wniosków naukowych i praktycznych.

3.1. PODSTAWOWE POJĘCIA STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

W przypadku problemów medycznych i biologicznych często konieczne jest zbadanie rozkładu określonej cechy dla bardzo dużej liczby osób. Cecha ta ma różne znaczenie dla różnych osób, jest więc zmienną losową. Na przykład każdy lek terapeutyczny ma różną skuteczność, gdy jest stosowany u różnych pacjentów. Jednak, aby mieć pojęcie o skuteczności tego leku, nie ma potrzeby go stosować wszyscy chory. Można prześledzić skutki stosowania leku na stosunkowo małej grupie pacjentów i na podstawie uzyskanych danych zidentyfikować istotne cechy (skuteczność, przeciwwskazania) procesu leczenia.

Populacja- zbiór jednorodnych elementów charakteryzujących się jakąś cechą podlegającą badaniu. Ten znak jest ciągły zmienna losowa z gęstością rozkładu f(x).

Na przykład, jeśli interesuje nas częstość występowania choroby w danym regionie, to populacja ogólna to cała populacja regionu. Jeśli chcemy osobno zbadać podatność kobiet i mężczyzn na tę chorobę, powinniśmy rozważyć dwie ogólne populacje.

Aby zbadać właściwości populacji ogólnej, wybiera się pewną część jej elementów.

Próbka- część populacji ogólnej wybrana do badania (leczenia).

Jeśli nie powoduje to zamieszania, próbkę nazywa się jako zbiór obiektów, wybranych do badania oraz całość

wartości badana cecha uzyskana podczas badania. Wartości te można przedstawić na kilka sposobów.

Proste szeregi statystyczne - wartości badanej cechy, zapisane w kolejności, w jakiej zostały uzyskane.

Przykład prostego szeregu statystycznego uzyskanego poprzez pomiar prędkości fali powierzchniowej (m/s) w skórze czoła u 20 pacjentów przedstawiono w tabeli. 3.1.

Tabela 3.1.Proste szeregi statystyczne

Prosty szereg statystyczny jest głównym i najpełniejszym sposobem rejestrowania wyników ankiety. Może zawierać setki elementów. Bardzo trudno na pierwszy rzut oka przyjrzeć się takiej całości. Dlatego duże próbki są zwykle dzielone na grupy. Aby to zrobić, obszar zmiany charakterystyki dzieli się na kilka (N) interwały równej szerokości i obliczyć względne częstotliwości (n/n) atrybutu mieszczącego się w tych przedziałach. Szerokość każdego przedziału wynosi:

Granice przedziałów mają następujące znaczenie:

Jeżeli dowolny element próbki stanowi granicę pomiędzy dwoma sąsiednimi przedziałami, wówczas jest on klasyfikowany jako lewy interwał. Dane pogrupowane w ten sposób nazywane są przedziałowe serie statystyczne.

to tabela pokazująca przedziały wartości atrybutów i względne częstotliwości występowania atrybutu w tych przedziałach.

W naszym przypadku możemy ułożyć np. następujący przedziałowy szereg statystyczny (N=5, D= 4), tabela. 3.2.

Tabela 3.2.Przedziałowe serie statystyczne

Tutaj przedział 28-32 zawiera dwie wartości równe 28 (tabela 3.1), a przedział 32-36 zawiera wartości 32, 33, 34 i 35.

Przedziałową serię statystyczną można przedstawić graficznie. Aby to zrobić, wzdłuż osi odciętych wykreśla się odstępy wartości atrybutów i na każdym z nich, podobnie jak na podstawie, budowany jest prostokąt o wysokości równej częstotliwości względnej. Powstały wykres słupkowy nazywa się histogram.

Ryż. 3.1. Histogram

Na histogramie statystyczne wzorce rozkładu cechy są dość wyraźnie widoczne.

Przy dużej liczebności próby (kilka tysięcy) i małych szerokościach kolumn kształt histogramu jest zbliżony do kształtu wykresu gęstość dystrybucji podpisać.

Liczbę kolumn histogramu można wybrać za pomocą następującego wzoru:

Ręczne tworzenie histogramu to długi proces. Dlatego opracowano programy komputerowe, które automatycznie je konstruują.

3.2. CHARAKTERYSTYKA NUMERYCZNA SZEREGÓW STATYSTYCZNYCH

Wiele procedur statystycznych wykorzystuje szacunki próbek dla oczekiwań i wariancji populacji (lub MSE).

Przykładowa średnia(X) jest średnią arytmetyczną wszystkich elementów prostego szeregu statystycznego:

Dla naszego przykładu X= 37,05 (m/s).

Średnia próbka wynosinajlepszeogólne średnie oszacowanieM.

Wariancja próbki s 2 równa sumie kwadratów odchyleń elementów od średniej próbki podzielonej przez N- 1:

W naszym przykładzie s 2 = 25,2 (m/s) 2.

Należy pamiętać, że przy obliczaniu wariancji próbki mianownikiem wzoru nie jest liczebność próby n, ale n-1. Wynika to z faktu, że przy obliczaniu odchyleń we wzorze (3.3) zamiast nieznanego oczekiwania matematycznego stosuje się jego oszacowanie - średnia próbki.

Wariancja próbki wynosi najlepsze estymacja wariancji ogólnej (σ 2).

Przykładowe odchylenie standardowe(s) jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji próbki:

Dla naszego przykładu S= 5,02 (m/s).

Selektywny średnia kwadratowa odchylenie jest najlepszym oszacowaniem ogólnego odchylenia standardowego (σ).

Przy nieograniczonym wzroście liczebności próby wszystkie cechy próby mają tendencję do odpowiadania cechom populacji ogólnej.

Do obliczenia charakterystyki próbki stosuje się wzory komputerowe. W programie Excel te obliczenia wykonują funkcje statystyczne ŚREDNIA, Wariancja. ODCHYLENIE STANDARDOWE

3.3. OCENA INTERWAŁOWA

Wszystkie cechy próbki są zmienne losowe. Oznacza to, że dla innej próbki o tej samej wielkości wartości charakterystyk próbki będą inne. Zatem wybiórczo

cechy są tylko szacunki odpowiednie cechy populacji.

Wady oceny selektywnej są kompensowane przez estymacja interwałowa, reprezentowanie przedział numeryczny wewnątrz którego z danym prawdopodobieństwem R zm znaleziono prawdziwą wartość szacowanego parametru.

Pozwalać U r - jakiś parametr populacji ogólnej (średnia ogólna, ogólna wariancja itp.).

Estymacja przedziałowa parametr Ur nazywany jest przedziałem (U 1, U 2), spełniający warunek:

P(U < Ur < U2) = Рд. (3.5)

Prawdopodobieństwo R zm zwany prawdopodobieństwo pewności.

Prawdopodobieństwo ufności PD - prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość szacowanej ilości wynosi wewnątrz podany interwał.

W tym przypadku interwał (U 1, U 2) zwany przedział ufności dla szacowanego parametru.

Często zamiast prawdopodobieństwa ufności stosuje się powiązaną wartość α = 1 - Р d, która jest tzw poziom znaczenia.

Poziom istotności jest prawdopodobieństwem, że prawdziwa wartość szacowanego parametru wynosi poza przedział ufności.

Czasami α i Pd wyraża się jako wartości procentowe, na przykład 5% zamiast 0,05 i 95% zamiast 0,95.

W estymacji przedziałowej najpierw wybierz odpowiedni prawdopodobieństwo pewności(zwykle 0,95 lub 0,99), a następnie znaleźć odpowiedni zakres wartości dla szacowanego parametru.

Zwróćmy uwagę na pewne ogólne właściwości oszacowań przedziałowych.

1. Im niższy poziom istotności (tym więcej R d), im szersze jest oszacowanie przedziału. Tak więc, jeśli na poziomie istotności 0,05 oszacowanie przedziałowe średniej ogólnej wynosi 34,7< M< 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < M< 40,25.

2. Im większy rozmiar próbki N, im węższy jest estymator przedziału z wybranym poziomem istotności. Niech np. 5 będzie procentowym oszacowaniem średniej ogólnej (β = 0,05) uzyskanej z próby 20 elementów, wówczas 34,7< M< 39,4.

Zwiększając wielkość próby do 80, otrzymujemy dokładniejsze oszacowanie na tym samym poziomie istotności: 35,5< M< 38,6.

Ogólnie rzecz biorąc, konstrukcja wiarygodnych szacunków ufności wymaga znajomości prawa, zgodnie z którym oszacowany atrybut losowy rozkłada się w populacji. Przyjrzyjmy się, jak konstruowane jest oszacowanie przedziału ogólna średnia cecha, która jest dystrybuowana w populacji według normalna prawo.

3.4. OSZACOWANIE PRZEDZIAŁOWE OGÓLNEJ ŚREDNIEJ DLA PRAWA PODZIAŁU NORMALNEGO

Konstrukcja estymatora przedziałowego średniej ogólnej M dla populacji z prawem rozkładu normalnego opiera się na następującej własności. Dla objętości próbkowania N postawa

przestrzega rozkładu Studenta z liczbą stopni swobody ν = N- 1.

Tutaj X- średnia próbki i S- selektywne odchylenie standardowe.

Korzystając z tablic rozkładu Studenta lub ich odpowiednika komputerowego, można znaleźć wartość brzegową taką, że przy danym prawdopodobieństwie ufności zachodzi nierówność:

Nierówność ta odpowiada nierówności dla M:

Gdzie ε - połowa szerokości przedziału ufności.

Zatem konstrukcję przedziału ufności dla M przeprowadza się w następującej kolejności.

1. Wybierz prawdopodobieństwo ufności Р d (zwykle 0,95 lub 0,99) i dla niego, korzystając z tablicy rozkładu Studenta, znajdź parametr t

2. Oblicz połowę szerokości przedziału ufności ε:

3. Uzyskaj estymację przedziałową średniej ogólnej z wybranym prawdopodobieństwem ufności:

W skrócie jest to napisane tak:

Opracowano procedury komputerowe w celu znalezienia szacunków przedziałowych.

Wyjaśnijmy, jak korzystać z tabeli rozkładu Studenta. Ta tabela ma dwa „wejścia”: lewą kolumnę, zwaną liczbą stopni swobody ν = N- 1, a górna linia to poziom istotności α. Na przecięciu odpowiedniego wiersza i kolumny znajdź współczynnik Studenta T.

Zastosujmy tę metodę do naszej próbki. Poniżej zaprezentowano fragment tabeli rozkładu Studenta.

Tabela 3.3. Fragment tabeli rozkładu Studentów

Prosty szereg statystyczny dla próby 20 osób (N= 20, ν =19) przedstawiono w tabeli. 3.1. Dla tej serii obliczenia z wykorzystaniem wzorów (3.1-3.3) dają: X= 37,05; S= 5,02.

Wybierzmy α = 0,05 (Р d = 0,95). Na przecięciu wiersza „19” i kolumny „0,05” znajdujemy T= 2,09.

Obliczmy dokładność oszacowania korzystając ze wzoru (3.6): ε = 2,09?5,02/λ /20 = 2,34.

Skonstruujmy oszacowanie przedziałowe: z prawdopodobieństwem 95% nieznana średnia ogólna spełnia nierówność:

37,05 - 2,34 < M< 37,05 + 2,34, или M= 37,05 ± 2,34 (m/s), Rd = 0,95.

3.5. METODY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Hipotezy statystyczne

Przed sformułowaniem hipotezy statystycznej rozważmy następujący przykład.

Aby porównać dwie metody leczenia określonej choroby, wybrano dwie grupy pacjentów po 20 osób każda i leczono tymi metodami. Dla każdego pacjenta był on rejestrowany liczba procedur, po czym uzyskano pozytywny efekt. Na podstawie tych danych dla każdej grupy znaleziono średnie z próbek (X) i wariancje próbek (s 2) i przykładowe odchylenia standardowe (S).

Wyniki przedstawiono w tabeli. 3.4.

Tabela 3.4

Liczba zabiegów niezbędnych do uzyskania pozytywnego efektu jest zmienną losową, o której wszystkie informacje zawarte są aktualnie w danej próbie.

Ze stołu Z ryc. 3.4 wynika, że ​​średnia próby w pierwszej grupie jest mniejsza niż w drugiej.< М 2 ? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает Czy to oznacza, że ​​ta sama zależność zachodzi dla średnich ogólnych: M 1

statystyczne sprawdzanie hipotez.- Hipoteza statystyczna

jest to założenie dotyczące właściwości populacji. Rozważymy hipotezy dotyczące właściwości dwa

populacje ogólne. Jeśli populacje mają sławny, identyczny rozkład szacowanej wartości, a założenia dotyczą tych wartości jakiś parametr tego rozkładu, wówczas nazywane są hipotezy parametryczny. Na przykład próbki są pobierane z populacji z normalne prawo rozkład i równa wariancja. Muszę się dowiedzieć czy są takie same

średnie ogólne dla tych populacji. Jeśli nic nie wiadomo o prawach dystrybucji populacji ogólnych, wówczas wywoływane są hipotezy dotyczące ich właściwości nieparametryczny. rozkład i równa wariancja. Muszę się dowiedzieć Na przykład,

prawa rozkładu populacji ogólnej, z której pobierane są próbki.

Hipotezy zerowe i alternatywne.

Zadanie testowania hipotez. Poziom istotności

Zapoznajmy się z terminologią stosowaną przy testowaniu hipotez. H 0 - hipoteza zerowa (hipoteza sceptyka) jest hipotezą o braku różnic

pomiędzy porównywanymi próbkami. Sceptyk uważa, że ​​różnice pomiędzy szacunkami próbek uzyskanymi na podstawie wyników badań są przypadkowe; H 1

- hipoteza alternatywna (hipoteza optymistyczna) to hipoteza o występowaniu różnic pomiędzy porównywanymi próbami. Optymista uważa, że ​​różnice między szacunkami próbek wynikają z przyczyn obiektywnych i odpowiadają różnicom w populacjach ogólnych. rozmiar Testowanie hipotez statystycznych jest możliwe tylko wtedy, gdy możliwe jest ich skonstruowanie (kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości H 0 znany. Następnie dla tej ilości możemy określić w które z określonym prawdopodobieństwem R zm jego wartość spada. Ten przedział nazywa się obszar krytyczny. Jeżeli wartość kryterium mieści się w obszarze krytycznym, hipoteza zostaje przyjęta N 0. W przeciwnym razie przyjmuje się hipotezę H 1.

W badaniach medycznych stosuje się P d = 0,95 lub P d = 0,99. Wartości te odpowiadają poziomy istotnościα = 0,05 lub α = 0,01.

Podczas testowania hipotez statystycznychpoziom znaczenia(α) jest prawdopodobieństwem odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa.

Należy pamiętać, że w swej istocie celem jest procedura testowania hipotez wykrywanie różnic i nie potwierdzać ich nieobecności. Kiedy wartość kryterium wykracza poza obszar krytyczny, z czystym sercem możemy powiedzieć „sceptykowi” - cóż, czego jeszcze chcesz?! Jeżeli nie byłoby różnic, to z prawdopodobieństwem 95% (lub 99%) obliczona wartość mieściłaby się w określonych granicach. Ale nie!..

Otóż, jeśli wartość kryterium mieści się w obszarze krytycznym, to nie ma podstaw sądzić, że hipoteza H 0 jest poprawna. Najprawdopodobniej wskazuje to na jedną z dwóch możliwych przyczyn.

1. Wielkość próbek nie jest wystarczająco duża, aby wykryć różnice. Jest prawdopodobne, że dalsze eksperymenty przyniosą sukces.

2. Istnieją różnice. Są one jednak tak małe, że nie mają praktycznego znaczenia. W takim przypadku kontynuowanie eksperymentów nie ma sensu.

Przejdźmy teraz do rozważenia niektórych hipotez statystycznych stosowanych w badaniach medycznych.

3.6. TESTOWANIE HIPOTEZ O RÓWNOŚCI Wariancji, KRYTERIUM F FISCHERA

W niektórych badaniach klinicznych pozytywny efekt wykazano nie tyle ogrom badanego parametru, jaka jego część stabilizacja, zmniejszenie jego wahań. W tym przypadku pojawia się pytanie o porównanie dwóch ogólnych wariancji na podstawie wyników badania reprezentacyjnego. Problem ten można rozwiązać za pomocą Próba Fishera.

Oświadczenie o problemie

Na przykład próbki są pobierane z populacji z dystrybucje. Przykładowe rozmiary -

nr 1 I n2, A przykładowe odchylenia równy s 1 i s 2 2 ogólne rozbieżności.

Testowalne hipotezy:

(kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości- ogólne różnice są takie same;

H 1- ogólne różnice są różne.

Wyświetlane, jeśli próbki zostały pobrane z populacji z Na przykład próbki są pobierane z populacji z rozkładu, to jeśli hipoteza jest prawdziwa (kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości stosunek wariancji próbki jest zgodny z rozkładem Fishera. Dlatego też jako kryterium sprawdzenia rzetelności (kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości wartość jest brana F, obliczane według wzoru:

Gdzie s 1 i s 2 to wariancje próbek.

Stosunek ten jest zgodny z rozkładem Fishera z liczbą stopni swobody licznika ν 1 = nr 1- 1 i liczbę stopni swobody mianownika ν 2 = n 2 - 1. Granice obszaru krytycznego wyznacza się za pomocą tablic rozkładów Fishera lub za pomocą funkcji komputerowej BRASPOBR.

Dla przykładu przedstawionego w tabeli. 3.4 otrzymujemy: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; F= 2,16/4,05 = 0,53. Przy α = 0,05 granice obszaru krytycznego wynoszą odpowiednio: = 0,40, = 2,53.

Wartość kryterium mieści się w obszarze krytycznym, zatem hipoteza zostaje przyjęta H0: ogólne wariancje próbek są takie same.

3.7. TESTOWANIE HIPOTEZ DOTYCZĄCYCH RÓWNOŚCI ŚREDNICH, KRYTERIUM t-STUDENTA

Zadanie porównawcze przeciętny dwie ogólne populacje powstają, gdy znaczenie praktyczne jest właśnie określone ogrom badana cecha. Np. porównując czas trwania leczenia dwiema różnymi metodami lub liczbę powikłań wynikających z ich stosowania. W takim przypadku można zastosować test t-Studenta.

Oświadczenie o problemie

Otrzymano dwie próbki (X 1) i (X 2), wyekstrahowane z populacji ogólnej Na przykład próbki są pobierane z populacji z dystrybucja i identyczne odchylenia. Wielkości próbek - n 1 i n 2, przykładowe środki są równe X 1 i X 2 oraz przykładowe odchylenia- s 1 2 i s 2 2 odpowiednio. Trzeba porównać średnie ogólne.

Testowalne hipotezy:

(kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości- średnie ogólne są takie same;

H 1- średnie ogólne są różne.

Wykazano, że jeśli hipoteza jest prawdziwa (kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości wartość t obliczona ze wzoru:

rozłożone zgodnie z prawem Studenta z liczbą stopni swobody ν = ν 1 + + ν2 - 2.

Tutaj gdzie ν 1 = N 1 - 1 - liczba stopni swobody dla pierwszej próbki; ν 2 = N 2 - 1 - liczba stopni swobody dla drugiej próbki.

Granice obszaru krytycznego wyznacza się za pomocą tablic rozkładu t lub funkcji komputerowej STUDRIST. Rozkład Studenta jest symetryczny względem zera, więc lewa i prawa granica obszaru krytycznego mają identyczną wielkość i przeciwny znak: -i

Dla przykładu przedstawionego w tabeli. 3.4, otrzymujemy:

ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; ν = 38, T= -2,51. Przy α = 0,05 = 2,02.

Wartość kryterium wykracza poza lewą granicę obszaru krytycznego, zatem przyjmujemy hipotezę H1:średnie ogólne są różne. Jednocześnie średnia populacji pierwsza próbka MNIEJ.

Zastosowanie testu t-Studenta

Test t-Studenta ma zastosowanie wyłącznie do próbek z normalna agregaty z identyczne ogólne różnice. Jeżeli choćby jeden z warunków zostanie naruszony, wówczas możliwość zastosowania kryterium stoi pod znakiem zapytania. Wymóg normalności ogółu społeczeństwa jest zwykle ignorowany, cytując Rzeczywiście różnicę między średnimi z próby w liczniku (3.10) można uznać za mającą rozkład normalny dla ν > 30. Nie można jednak zweryfikować kwestii równości wariancji i nie można przyjmować odniesień do faktu, że test Fishera nie wykrył różnic pod uwagę. Jednakże test t jest szeroko stosowany do wykrywania różnic w średnich populacji, choć bez wystarczających dowodów.

Poniżej omówiono kryterium nieparametryczne, który jest z powodzeniem używany do tych samych celów i który nie wymaga żadnych normalność,żaden równość wariancji.

3.8. NIEPARAMETRYCZNE PORÓWNANIE DWÓCH PRÓBEK: KRYTERIUM MANN-WHITNEYA

Testy nieparametryczne mają na celu wykrycie różnic w prawach rozkładu dwóch populacji. Kryteria wrażliwe na różnice w ogóle przeciętny, zwane kryteriami zmiana Kryteria wrażliwe na różnice w ogóle dyspersje, zwane kryteriami skala. Test Manna-Whitneya odnosi się do kryteriów zmiana i służy do wykrywania różnic w średnich dwóch populacji, z których próbki są prezentowane w skala rankingowa. Zmierzone cechy umieszczane są na tej skali w kolejności rosnącej, a następnie numerowane liczbami całkowitymi 1, 2... Liczby te nazywane są szeregi. Równym ilościom przypisuje się równe rangi. Nie liczy się sama wartość atrybutu, ale tylko ona miejsce porządkowe które zalicza do innych wielkości.

W tabeli 3.5. pierwszą grupę z tabeli 3.4 przedstawiono w formie rozszerzonej (wiersz 1), uszeregowano (wiersz 2), a następnie szeregi identycznych wartości zastępuje się średnimi arytmetycznymi. Przykładowo pozycje 4 i 4 w pierwszym rzędzie otrzymały rangi 2 i 3, które następnie zastąpiono tymi samymi wartościami 2,5.

Tabela 3.5

Oświadczenie o problemie

Niezależne próbki (X 1) I (X 2) wyodrębnione z populacji ogólnych o nieznanych prawach dystrybucji. Przykładowe rozmiary nr 1 I nr 2 odpowiednio. Wartości przykładowych elementów przedstawiono w skala rankingowa. Należy sprawdzić, czy te populacje ogólne różnią się od siebie?

Testowalne hipotezy:

(kryterium), którego prawo dystrybucji w przypadku uczciwości- próbki należą do tej samej populacji ogólnej; H 1- próbki należą do różnych populacji ogólnych.

Aby przetestować takie hipotezy, stosuje się test (/-Manna-Whitneya.

Najpierw z dwóch próbek tworzona jest próbka łączona (X), której elementy są uszeregowane. Następnie znajduje się suma rang odpowiadających elementom pierwszej próbki. Kwota ta stanowi kryterium testowania hipotez.

U= Suma rang pierwszej próbki. (3.11)

Dla niezależnych próbek, których objętość jest większa niż 20, wartość U przestrzega rozkładu normalnego, którego oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe są równe:

Dlatego granice obszaru krytycznego wyznacza się zgodnie z tablicami rozkładu normalnego.

Dla przykładu przedstawionego w tabeli. 3.4 otrzymujemy: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19, U= 339, μ = 410, σ = 37. Dla α = 0,05 otrzymujemy: lewy = 338 i prawy = 482.

Wartość kryterium wykracza poza lewą granicę obszaru krytycznego, dlatego przyjęto hipotezę H 1: populacje ogólne mają różne prawa rozkładu. Jednocześnie średnia populacji pierwsza próbka MNIEJ.

Konstruując szereg rozkładów przedziałowych, rozwiązuje się trzy pytania:

• 1. Ile interwałów powinienem wykonywać?
• 2. Jaka jest długość przerw?
• 3. Jaka jest procedura włączania jednostek populacji w granice przedziałów?
• 1. Liczba interwałów można określić przez Formuła Sturgessa:

2. Długość interwału lub krok interwału, zwykle określane za pomocą wzoru

Gdzie R- zakres zmienności.

3. Kolejność włączania jednostek populacji do granic przedziału

może być różny, ale konstruując szereg przedziałowy, rozkład musi być ściśle określony.

Na przykład to: [), w którym jednostki populacji są zawarte w dolnych granicach, ale nie są uwzględnione w górnych granicach, ale są przenoszone do następnego przedziału. Wyjątkiem od tej reguły jest ostatni interwał, którego górna granica obejmuje ostatnią liczbę z rankingu.

Granice przedziału to:

• zamknięte - z dwiema skrajnymi wartościami atrybutu;
• open - z jedną skrajną wartością atrybutu (Do taki a taki numer lub nad taki i taki numer).

W celu przyswojenia materiału teoretycznego wprowadzamy informacje podstawowe rozwiązać zadanie od końca do końca.

Istnieją dane warunkowe dotyczące średniej liczby menedżerów sprzedaży, ilości sprzedawanych przez nich podobnych towarów, indywidualnej ceny rynkowej tego produktu, a także wielkości sprzedaży 30 firm w jednym z regionów Federacji Rosyjskiej w pierwszym kwartale roku sprawozdawczego (tabela 2.1).

Tabela 2.1

Informacje wstępne do zadania przekrojowego

	Numer menedżerowie,		Cena, tysiąc rubli	Wielkość sprzedaży, miliony rubli.

	Numer menedżerowie,	Ilość sprzedanego towaru, szt.	Cena, tysiąc rubli	Wielkość sprzedaży, miliony rubli.

Na podstawie informacji wstępnych, a także informacji dodatkowych ustalimy poszczególne zadania. Następnie przedstawimy metodologię ich rozwiązywania i same rozwiązania.

Zadanie przekrojowe. Zadanie 2.1

Korzystając z początkowych danych z tabeli. Wymagany 2.1 skonstruować dyskretny szereg rozkładu firm według ilości sprzedanych towarów (tabela 2.2).

Rozwiązanie:

Tabela 2.2

Dyskretne szeregi rozkładu firm według ilości towarów sprzedanych w jednym z regionów Federacji Rosyjskiej w pierwszym kwartale roku sprawozdawczego

Zadanie przekrojowe. Zadanie 2.2

wymagany skonstruuj ranking 30 firm według średniej liczby menedżerów.

Rozwiązanie:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

Zadanie przekrojowe. Zadanie 2.3

Korzystając z początkowych danych z tabeli. 2.1, wymagany:

• 1. Skonstruuj szereg przedziałowy rozkładu firm według liczby menedżerów.
• 2. Oblicz częstości szeregów rozkładowych firm.
• 3. Wyciągnij wnioski.

Rozwiązanie:

Obliczmy, korzystając ze wzoru Sturgessa (2.5) liczba interwałów:

Zatem bierzemy 6 interwałów (grup).

Długość interwału, Lub krok interwałowy, oblicz korzystając ze wzoru

Notatka. Kolejność włączania jednostek populacji do granic przedziału jest następująca: I), w którym jednostki populacji są włączane do dolnych granic, ale nie są włączane do górnych granic, lecz przenoszone do następnego przedziału. Wyjątkiem od tej reguły jest ostatni przedział I ], którego górna granica obejmuje ostatnią liczbę szeregowanego szeregu.

Budujemy szereg interwałowy (tabela 2.3).

Przedziałowe szeregi rozkładu firm i średnia liczba menedżerów w jednym z regionów Federacji Rosyjskiej w pierwszym kwartale roku sprawozdawczego

Wniosek. Największą grupę firm stanowi grupa, w której średnia liczba menedżerów wynosi 25-30 osób, w której znajduje się 8 firm (27%); Najmniejsza grupa, w której średnia liczba menedżerów wynosi 40-45 osób, obejmuje tylko jedną firmę (3%).

Korzystając z początkowych danych z tabeli. 2.1, a także szereg przedziałowy rozkładu firm według liczby menedżerów (tabela 2.3), wymagany zbuduj analityczne grupowanie zależności między liczbą menedżerów a wielkością sprzedaży firm i na tej podstawie wyciągnij wniosek o istnieniu (lub braku) związku między tymi cechami.

Rozwiązanie:

Grupowanie analityczne opiera się na charakterystyce czynników. W naszym zadaniu cechą czynnikową (x) jest liczba menedżerów, a cechą wypadkową (y) jest wielkość sprzedaży (tabela 2.4).

Budujmy teraz grupowanie analityczne(Tabela 2.5).

Wniosek. Na podstawie danych skonstruowanego grupowania analitycznego można stwierdzić, że wraz ze wzrostem liczby kierowników sprzedaży wzrasta także średni wolumen sprzedaży przedsiębiorstwa w grupie, co wskazuje na istnienie bezpośredniego związku pomiędzy tymi cechami.

Tabela 2.4

Tabela pomocnicza do konstruowania grupowania analitycznego

	Liczba menedżerów, osób,	Numer firmy	Wielkość sprzedaży, miliony rubli, r
			" = 59 f = 9,97
			Ja-™ 4 - Yu.22
			74 '25 1PY1 U4 = 7 = 10,61

			Na = ’ =10,31 30

Tabela 2.5

Zależność wielkości sprzedaży od liczby menadżerów firm w jednym z regionów Federacji Rosyjskiej w pierwszym kwartale roku sprawozdawczego

PYTANIA TESTOWE

• 1. Jaka jest istota obserwacji statystycznej?
• 2. Nazwij etapy obserwacji statystycznej.
• 3. Jakie są formy organizacyjne obserwacji statystycznej?
• 4. Wymień rodzaje obserwacji statystycznych.
• 5. Co to jest podsumowanie statystyczne?
• 6. Wymień rodzaje raportów statystycznych.
• 7. Co to jest grupowanie statystyczne?
• 8. Wymień rodzaje grup statystycznych.
• 9. Co to jest szereg dystrybucyjny?
• 10. Nazwij elementy konstrukcyjne rzędu dystrybucji.
• 11. Jaka jest procedura konstruowania szeregu dystrybucyjnego?