Znajdowanie macierzy odwrotnej poprzez macierz jednostkową. Wyższa matematyka

Podobny do odwrotności w wielu właściwościach.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ Jak znaleźć odwrotność macierzy - bezbotvy

✪ Odwrotna macierz (2 sposoby znalezienia)

✪ Odwrotna macierz nr 1

✪ 28.01.2015. Odwrotna macierz 3x3

✪ 27.01.2015. Odwrotna macierz 2x2

Napisy na filmie obcojęzycznym

Własności macierzy odwrotnej

• det ZA - 1 = 1 det ZA (\ Displaystyle \ det A ^ (-1) = (\ Frac (1) (\ det A)}), Gdzie det (\ displaystyle \\ det) oznacza wyznacznik.
• (A B) - 1 = b - 1 ZA - 1 (\ Displaystyle \ (AB) ^ (-1) = B ^ (-1) A ^ (-1)} dla dwóch kwadratowych odwracalnych macierzy A (\ displaystyle A) I B (\ displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\ Displaystyle \ (A ^ (T)) ^ (-1) = (A ^ (-1)) ^ (T)}, Gdzie (. . .) T (\ displaystyle (...) ^ (T)) oznacza transponowaną macierz.
• (k ZA) - 1 = k - 1 ZA - 1 (\ Displaystyle \ (kA) ^ (-1) = k ^ (-1) A ^ (-1)} dla dowolnego współczynnika k ≠ 0 (\ displaystyle k \ nie = 0).
• mi - 1 = mi (\ displaystyle \ E ^ (-1) = E).
• Jeśli konieczne jest rozwiązanie układu równań liniowych, (b jest wektorem niezerowym), gdzie x (\ displaystyle x) jest pożądanym wektorem i if ZA - 1 (\ displaystyle A ^ (-1)) istnieje zatem x = ZA - 1 b (\ Displaystyle x = A ^ (-1) b). W przeciwnym razie albo wymiar przestrzeni rozwiązań jest większy od zera, albo w ogóle nie ma rozwiązań.

Metody znajdowania macierzy odwrotnej

Jeśli macierz jest odwracalna, to aby znaleźć macierz odwrotną, można zastosować jedną z następujących metod:

Metody dokładne (bezpośrednie).

Metoda Gaussa-Jordana

Weźmy dwie macierze: the A i singiel mi. Przedstawmy macierz A do macierzy jednostkowej metodą Gaussa-Jordana, stosując przekształcenia wzdłuż wierszy (można też zastosować przekształcenia wzdłuż kolumn, ale nie zmieszane). Po zastosowaniu każdej operacji do pierwszej macierzy, zastosuj tę samą operację do drugiej. Kiedy redukcja pierwszej macierzy do postaci jednostkowej zostanie zakończona, druga macierz będzie równa A-1.

Przy zastosowaniu metody Gaussa pierwsza macierz zostanie pomnożona po lewej stronie przez jedną z macierzy elementarnych Λ ja (\ Displaystyle \ Lambda _ (i))(macierz transwekcji lub diagonalna z jedynkami na głównej przekątnej, z wyjątkiem jednej pozycji):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ ZA = Λ ZA = mi ⇒ Λ = ZA - 1 (\ Displaystyle \ Lambda _ (1) \ cdot \ kropki \ cdot \ Lambda _ (n) \ cdot A = \ Lambda A = E \Strzałka w prawo \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − za 1 m / za m m 0 … 0 … 0 … 1 − za m - 1 m / za m m 0 … 0 0 … 0 1 / za m m 0 … 0 0 … 0 − za m + 1 m / za m m 1 … 0 … 0 … 0 - za n m / za m m 0 … 1 ] (\ Displaystyle \ Lambda _ (m) = (\ początek (bmatrix) 1 i \ kropki & 0 i - a_ (1 m) / a_ (mm) & 0 i \ kropki & 0 \\ &&&\kropki &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Druga macierz po zastosowaniu wszystkich operacji będzie równa Λ (\ displaystyle \ Lambda), czyli będzie pożądany. Złożoność algorytmu - O (n 3) (\ displaystyle O (n ^ (3))).

Korzystanie z macierzy dopełnienia algebraicznego

Macierz odwrotna macierzy A (\ displaystyle A), można przedstawić w postaci

ZA - 1 = przym (A) det (A) (\ Displaystyle (A) ^ (-1) = ({{\ mbox (adj)) (A)) \ ponad (\ det (A))))

Gdzie przym (A) (\ Displaystyle (\ mbox (przym)) (A))- macierz sprzężona;

Złożoność algorytmu zależy od złożoności algorytmu obliczania wyznacznika O det i jest równa O(n²)·O det.

Korzystanie z rozkładu LU/LUP

Równanie macierzowe ZA X = ja n (\ displaystyle AX = I_ (n)) dla macierzy odwrotnej X (\ displaystyle X) można uznać za zbiór n (\ displaystyle n) systemy formularza ZA x = b (\ displaystyle Ax = b). Oznaczmy ja (\ displaystyle ja) kolumna macierzy X (\ displaystyle X) Poprzez X ja (\ displaystyle X_ (i)); Następnie ZA X ja = mi ja (\ Displaystyle AX_ (i) = e_ (i)), ja = 1 , … , n (\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n),ponieważ ja (\ displaystyle ja) kolumna macierzy ja n (\ displaystyle I_ (n)) jest wektorem jednostkowym mi ja (\ displaystyle e_ (i)). innymi słowy, znalezienie macierzy odwrotnej sprowadza się do rozwiązania n równań z tą samą macierzą i różnymi prawymi stronami. Po wykonaniu rozkładu LUP (czas O(n³)) rozwiązanie każdego z n równań zajmuje czas O(n²), więc ta część pracy również wymaga czasu O(n³).

Jeżeli macierz A nie jest osobliwa, to można dla niej obliczyć rozkład LUP P ZA = L U (\ displaystyle PA = LU). Pozwalać P ZA = b (\ displaystyle PA = B), B - 1 = re (\ displaystyle B ^ (-1) = D). Następnie z własności macierzy odwrotnej możemy napisać: re = U - 1 L - 1 (\ Displaystyle D = U ^ (-1) L ^ (-1)). Jeśli pomnożysz tę równość przez U i L, możesz otrzymać dwie równości postaci U re = L - 1 (\ Displaystyle UD = L ^ (-1)) I re L = U - 1 (\ Displaystyle DL = U ^ (-1)). Pierwsza z tych równości jest układem n² równań liniowych dla n (n + 1) 2 (\ Displaystyle (\ Frac (n (n + 1)) (2))} z których znane są prawe strony (z własności macierzy trójkątnych). Drugi reprezentuje również układ n² równań liniowych dla n (n - 1) 2 (\ Displaystyle (\ Frac (n (n-1)) (2))} z których znane są prawe strony (również z własności macierzy trójkątnych). Razem reprezentują system n² równości. Korzystając z tych równości możemy rekurencyjnie wyznaczyć wszystkie n² elementów macierzy D. Następnie z równości (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. otrzymujemy równość ZA - 1 = re P. (\ displaystyle A ^ (-1) = DP).

W przypadku zastosowania rozkładu LU nie jest wymagana permutacja kolumn macierzy D, jednak rozwiązanie może być rozbieżne nawet jeśli macierz A nie jest osobliwa.

Złożoność algorytmu wynosi O(n³).

Metody iteracyjne

Metody Schultza

( Ψ k = mi - ZA U k , U k + 1 = U k ∑ ja = 0 n Ψ k ja (\ Displaystyle (\ początek (przypadki) \ Psi _ (k) = E-AU_ (k), \\ U_ ( k+1)=U_(k)\suma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(przypadki)))

Oszacowanie błędu

Wybór wstępnego przybliżenia

Problem wyboru przybliżenia początkowego w rozważanych tu iteracyjnych procesach inwersji macierzy nie pozwala na traktowanie ich jako niezależnych metod uniwersalnych, konkurujących z metodami bezpośredniej inwersji, bazującymi na przykład na dekompozycji LU macierzy. Istnieje kilka zaleceń dotyczących wyboru U 0 (\ displaystyle U_ (0)), zapewniający spełnienie warunku ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (promień widmowy macierzy jest mniejszy od jedności), co jest konieczne i wystarczające dla zbieżności procesu. Jednak w tym przypadku po pierwsze trzeba znać z góry oszacowanie widma odwracalnej macierzy A lub macierzy ZA T (\ displaystyle AA ^ (T))(mianowicie, jeśli A jest symetryczną macierzą dodatnio określoną i ρ (A) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (A) \ równoważnik \ beta), to możesz wziąć U 0 = α mi (\ Displaystyle U_ (0) = (\ alfa) E), Gdzie ; jeśli A jest dowolną macierzą nieosobliwą i ρ (A A T) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ równoważnik \ beta), wtedy wierzą U 0 = α ZA T (\ Displaystyle U_ (0) = (\ alfa) A ^ (T)), gdzie też α ∈ (0 , 2 β) (\ Displaystyle \ alfa \ w \ lewo (0, (\ Frac (2) (\ beta)) \ prawo)); Można oczywiście uprościć sytuację i wykorzystać fakt, że ρ (A A T) ≤ k ZA ZA T k (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ równoważnik (\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k)}), umieścić U 0 = ZA T ‖ ZA ZA T ‖ (\ Displaystyle U_ (0) = (\ Frac (A ^ (T)) (\|AA ^ (T) \|))}). Po drugie, określając w ten sposób macierz początkową, nie ma takiej gwarancji ‖ Ψ 0 ‖ (\ Displaystyle \|\ Psi _ (0) \|) będzie niewielki (a może nawet taki się okaże ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\ Displaystyle \|\ Psi _ (0) \|> 1)), a wysoki stopień konwergencji nie zostanie ujawniony od razu.

Przykłady

Matryca 2x2

ZA - 1 = [ za b do re ] - 1 = 1 det (A) [ re - b - do za ] = 1 za re - b do [ re - b - do za ] .

(\ Displaystyle \ mathbf (A) ^ (-1) = (\ początek (bmatrix) a i b \\ c i d \\\ koniec (bmatrix)) ^ (-1) = (\ Frac (1) (\ det (\ mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Odwrócenie macierzy 2x2 jest możliwe tylko pod warunkiem, że.

za re - b do = det ZA ≠ 0 (\ displaystyle ad-bc = \ det A \ neq 0) Macierzą odwrotną dla danej macierzy jest taka macierz, mnożąc pierwotną macierz przez co otrzymuje się macierz jednostkową: Obowiązkowym i wystarczającym warunkiem istnienia macierzy odwrotnej jest to, że wyznacznik macierzy pierwotnej jest nierówny zero (co z kolei oznacza, że ​​macierz musi być kwadratowa). Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy zeru, to nazywa się ją liczbą pojedynczą i taka macierz nie ma odwrotności. W matematyce wyższej macierze odwrotne są ważne i służą do rozwiązywania wielu problemów. Na przykład na znalezienie macierzy odwrotnej skonstruowano macierzową metodę rozwiązywania układów równań. Nasza strona serwisowa na to pozwala oblicz macierz odwrotną online

.

dwie metody: metoda Gaussa-Jordana i wykorzystanie macierzy dodatków algebraicznych. Pierwsza polega na dużej liczbie elementarnych przekształceń wewnątrz macierzy, druga polega na obliczeniu wyznacznika i dodatkach algebraicznych do wszystkich elementów. Aby obliczyć wyznacznik macierzy online, możesz skorzystać z naszej innej usługi - Obliczanie wyznacznika macierzy online

Znajdź macierz odwrotną dla miejsca strona internetowa pozwala znaleźć odwrotna macierz online szybko i za darmo. Na stronie obliczenia są wykonywane za pomocą naszego serwisu, a wynik podany jest ze szczegółowym rozwiązaniem do znalezienia odwrotna macierz . Serwer zawsze podaje tylko dokładną i poprawną odpowiedź. W zadaniach z definicji odwrotna macierz online , konieczne jest wyznacznik matryce Znajdź macierz odwrotną dla miejsca była różna od zera, w przeciwnym razie szybko i za darmo. Na stronie obliczenia są wykonywane za pomocą naszego serwisu, a wynik podany jest ze szczegółowym rozwiązaniem do znalezienia zgłosi niemożność znalezienia macierzy odwrotnej ze względu na fakt, że wyznacznik macierzy pierwotnej jest równy zero. Zadanie znalezienia występujący w wielu gałęziach matematyki, będący jednym z najbardziej podstawowych pojęć algebry i narzędziem matematycznym w problematyce stosowanej. Niezależny definicja macierzy odwrotnej wymaga dużego wysiłku, dużej ilości czasu, obliczeń i dużej staranności, aby uniknąć literówek lub drobnych błędów w obliczeniach. Dlatego nasz serwis znacznie ułatwi Ci zadanie i stanie się niezbędnym narzędziem do rozwiązywania problemów matematycznych. Nawet jeśli ty znajdź macierz odwrotną samodzielnie, zalecamy sprawdzenie rozwiązania na naszym serwerze. Wprowadź oryginalną macierz na naszej stronie internetowej. Oblicz macierz odwrotną online i sprawdź swoją odpowiedź. Nasz system nigdy nie popełnia błędów i nie znajduje odwrotna macierz dany wymiar w trybie w Internecie natychmiast! Na stronie internetowej Znajdź macierz odwrotną dla miejsca W elementach dozwolone są wpisy znakowe matryce, w tym przypadku odwrotna macierz online zostaną przedstawione w ogólnej formie symbolicznej.

Definicja 1: macierz nazywa się liczbą pojedynczą, jeśli jej wyznacznik wynosi zero.

Definicja 2: macierz nazywa się nieosobliwą, jeśli jej wyznacznik nie jest równy zero.

Nazywa się macierz „A”. odwrotna macierz, jeśli warunek A*A-1 = A-1 *A = E (macierz jednostkowa) jest spełniony.

Macierz kwadratowa jest odwracalna tylko wtedy, gdy nie jest pojedyncza.

Schemat obliczania macierzy odwrotnej:

1) Oblicz wyznacznik macierzy „A” jeżeli ∆ A = 0, to macierz odwrotna nie istnieje.

2) Znajdź wszystkie uzupełnienia algebraiczne macierzy „A”.

3) Utwórz macierz dodatków algebraicznych (Aij)

4) Transponuj macierz dopełnień algebraicznych (Aij )T

5) Pomnóż transponowaną macierz przez odwrotność wyznacznika tej macierzy.

6) Wykonaj kontrolę:

Na pierwszy rzut oka może się to wydawać skomplikowane, ale w rzeczywistości wszystko jest bardzo proste. Wszystkie rozwiązania opierają się na prostych operacjach arytmetycznych, przy rozwiązywaniu najważniejsze jest, aby nie pomylić się ze znakami „-” i „+” i ich nie zgubić.

Rozwiążmy teraz wspólnie praktyczne zadanie, obliczając macierz odwrotną.

Zadanie: znajdź macierz odwrotną „A” pokazaną na poniższym obrazku:

Rozwiązujemy wszystko dokładnie tak, jak wskazano w planie obliczenia macierzy odwrotnej.

1. Pierwszą rzeczą do zrobienia jest znalezienie wyznacznika macierzy „A”:

Wyjaśnienie:

Uprościliśmy nasz wyznacznik wykorzystując jego podstawowe funkcje. Najpierw dodaliśmy do drugiej i trzeciej linii elementy pierwszej linii pomnożone przez jedną liczbę.

Po drugie, zmieniliśmy drugą i trzecią kolumnę wyznacznika i zgodnie z jego właściwościami zmieniliśmy znak przed nim.

Po trzecie, usunęliśmy wspólny czynnik (-1) drugiej linii, ponownie zmieniając w ten sposób znak i stał się on dodatni. Uprościliśmy również linię 3 w taki sam sposób, jak na samym początku przykładu.

Mamy wyznacznik trójkątny, którego elementy poniżej przekątnej są równe zeru i zgodnie z właściwością 7 jest on równy iloczynowi elementów przekątnych. W końcu dostaliśmy ∆ A = 26, zatem istnieje macierz odwrotna.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Kolejnym krokiem jest zestawienie macierzy z otrzymanych domieszek:

5. Pomnóż tę macierz przez odwrotność wyznacznika, czyli przez 1/26:

6. Teraz musimy tylko sprawdzić:

W trakcie testu otrzymaliśmy macierz tożsamości, zatem rozwiązanie zostało przeprowadzone absolutnie poprawnie.

2 sposoby obliczania macierzy odwrotnej.

1. Elementarna transformacja macierzy

2. Odwrotność macierzy poprzez elementarny konwerter.

Transformacja macierzy elementarnej obejmuje:

1. Mnożenie ciągu przez liczbę różną od zera.

2. Dodanie do dowolnej linii kolejnej linii pomnożonej przez liczbę.

3. Zamień wiersze macierzy.

4. Stosując łańcuch przekształceń elementarnych otrzymujemy kolejną macierz.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Spójrzmy na to na praktycznym przykładzie z liczbami rzeczywistymi.

Ćwiczenia: Znajdź macierz odwrotną.

Rozwiązanie:

Sprawdźmy:

Małe wyjaśnienie rozwiązania:

Najpierw przestawiliśmy wiersze 1 i 2 macierzy, a następnie pomnożyliśmy pierwszy wiersz przez (-1).

Następnie pomnożyliśmy pierwszy wiersz przez (-2) i dodaliśmy go do drugiego wiersza macierzy. Następnie pomnożyliśmy linię 2 przez 1/4.

Ostatnim etapem transformacji było pomnożenie drugiej linii przez 2 i dodanie jej do pierwszej. W rezultacie mamy macierz jednostkową po lewej stronie, zatem macierzą odwrotną jest macierz po prawej stronie.

Po sprawdzeniu utwierdziliśmy się w przekonaniu, że decyzja była słuszna.

Jak widać obliczenie macierzy odwrotnej jest bardzo proste.

Na koniec tego wykładu chciałbym również poświęcić trochę czasu właściwościom takiej macierzy.

Algebra macierzy - macierz odwrotna

Odwrotna macierz

Odwrotna macierz jest macierzą, która pomnożona zarówno po prawej, jak i po lewej stronie przez daną macierz daje macierz jednostkową.
Oznaczmy macierz odwrotną macierzy A poprzez , to zgodnie z definicją otrzymujemy:

Gdzie mi– macierz tożsamości.
Macierz kwadratowa zwany nie specjalne (niezdegenerowany), jeśli jego wyznacznik nie jest zerem. Inaczej się to nazywa specjalny (zdegenerowany) Lub liczba pojedyncza.

Twierdzenie głosi: Każda macierz nieosobliwa ma macierz odwrotną.

Nazywa się operację znajdowania macierzy odwrotnej odwołanie matryce. Rozważmy algorytm inwersji macierzy. Niech będzie dana macierz nieosobliwa N-ta kolejność:

gdzie Δ = det A ≠ 0.

Algebraiczne dodawanie elementu matryce N-ta kolejność A nazywa się wyznacznikiem macierzy wziętej z pewnym znakiem ( N–1) zamówienie uzyskane poprzez skreślenie I-ta linia i J kolumna macierzy A:

Stwórzmy tzw przyłączony matryca:

gdzie są uzupełnieniami algebraicznymi odpowiednich elementów macierzy A.
Należy pamiętać, że algebraiczne dodawanie elementów wiersza macierzy A umieszczone są w odpowiednich kolumnach macierzy à , czyli macierz jest transponowana w tym samym czasie.
Dzieląc wszystkie elementy macierzy à przez Δ – wartość wyznacznika macierzy A, w rezultacie otrzymujemy macierz odwrotną:

Zwróćmy uwagę na szereg specjalnych właściwości macierzy odwrotnej:
1) dla danej macierzy A jej macierz odwrotna jest jedyny;
2) jeśli istnieje macierz odwrotna, to prawy tył I lewy bieg wsteczny macierze pokrywają się z nim;
3) specjalna (pojedyncza) macierz kwadratowa nie ma macierzy odwrotnej.

Podstawowe własności macierzy odwrotnej:
1) wyznacznik macierzy odwrotnej i wyznacznik macierzy pierwotnej są odwrotnością;
2) macierz odwrotna iloczynu macierzy kwadratowych jest równa iloczynowi odwrotnej macierzy czynników, w odwrotnej kolejności:

3) transponowana macierz odwrotna jest równa macierzy odwrotnej danej transponowanej macierzy:

PRZYKŁAD Oblicz odwrotność podanej macierzy.

Macierz A -1 nazywana jest macierzą odwrotną w stosunku do macierzy A, jeśli A*A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu. Macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych.

Cel usługi. Korzystając z tej usługi online, możesz znaleźć dopełnienia algebraiczne, macierz transponowaną A T, macierz pokrewną i macierz odwrotną. Decyzja wydawana jest bezpośrednio na stronie internetowej (online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń prezentowane są w raporcie w formacie Word i Excel (tzn. istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązania). zobacz przykład projektu.

Instrukcje. Aby otrzymać rozwiązanie konieczne jest określenie wymiaru macierzy. Następnie wypełnij macierz A w nowym oknie dialogowym.

Wymiar matrycy 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zobacz także macierz odwrotna przy użyciu metody Jordano-Gaussa

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

1. Znalezienie transponowanej macierzy A T .
2. Definicja uzupełnień algebraicznych. Zastąp każdy element macierzy jego dopełnieniem algebraicznym.
3. Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element wynikowej macierzy jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.

Następny algorytm znajdowania macierzy odwrotnej podobny do poprzedniego, z pewnymi zmianami: najpierw obliczane są uzupełnienia algebraiczne, a następnie wyznaczana jest pokrewna macierz C.

1. Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
2. Obliczanie wyznacznika macierzy A. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
3. Definicja uzupełnień algebraicznych.
4. Wypełnianie macierzy unii (wzajemnej, sprzężonej) C .
5. Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodawania algebraicznego: każdy element macierzy sprzężonej C jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
6. Sprawdzają: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.

Przykład nr 1. Zapiszmy macierz w postaci: