Poziom wejścia

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W określeniu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam x) podniesiony do kwadratu i nie powinno być xów do trzeciej (lub większej) potęgi.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych.

Nauczmy się ustalać, że jest to równanie kwadratowe, a nie jakieś inne równanie.

Przykład 1.

Pozbądźmy się mianownika i pomnóżmy każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i ułóżmy wyrazy w malejącej kolejności potęg X

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2.

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, choć pierwotnie w nim występowało, nie jest kwadratowe!

Przykład 3.

Pomnóżmy wszystko przez:

Straszny? Czwarty i drugi stopień... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4.

Wydaje się, że tak jest, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przesuńmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, zostało to zredukowane - i teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj samodzielnie ustalić, które z poniższych równań są równaniami kwadratowymi, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

1. kwadrat;
2. kwadrat;
3. nie kwadratowy;
4. nie kwadratowy;
5. nie kwadratowy;
6. kwadrat;
7. nie kwadratowy;
8. kwadrat.

Matematycy tradycyjnie dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

• Uzupełnij równania kwadratowe- równania, w których współczynniki i oraz człon wolny c są różne od zera (jak w przykładzie). Ponadto wśród pełnych równań kwadratowych istnieją dany- są to równania, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko pełne, ale i zredukowane!)

• Niekompletne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

  Są niekompletne, bo brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu!!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wpadli na taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i OK. Podział ten wyznaczają metody rozwiązania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Istnieją typy niekompletnych równań kwadratowych:

1. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
2. , w tym równaniu wolny termin jest równy.
3. , w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

1. ja Ponieważ wiemy, jak obliczyć pierwiastek kwadratowy, użyjmy tego równania do wyrażenia

Wyrażenie może być ujemne lub dodatnie. Liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, więc: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymujemy dwa pierwiastki. Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejsze jest to, że musisz wiedzieć i zawsze pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiąż równanie

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z lewej i prawej strony. W końcu pamiętasz, jak wyodrębnić korzenie?

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiąż równanie

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiąż równanie

Oh! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni!

Dla takich równań, które nie mają pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zbiór). A odpowiedź można zapisać w ten sposób:

Odpowiedź:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy katalogu głównego.
Przykład 8:

Rozwiąż równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Zatem,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Najprostszy rodzaj niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Obejdziemy się tutaj bez przykładów.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.

Pamiętać Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste; najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.

Jeśli, to równanie ma pierwiastek. Należy zwrócić szczególną uwagę na krok. Dyskryminator () informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiąż równanie

Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3.

Odpowiedź:

Przykład 10:

Rozwiąż równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11:

Rozwiąż równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Równanie nie ma pierwiastków.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.

Odpowiedź:żadnych korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):

Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiąż równanie

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A iloczyn jest równy:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13:

Rozwiąż równanie

Odpowiedź:

Przykład 14:

Rozwiąż równanie

Podane jest równanie, które oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. POZIOM ŚREDNI

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.

Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - wolny członek.

Dlaczego? Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zeru. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są spełnione, oznacza to, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Wyróżniamy następujące typy równań:

I. w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.

Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni.

Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązania, używamy ikony pustego zestawu.

Odpowiedź:

Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki? Ale dyskryminator może być ujemny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
• Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego możliwa jest różna liczba korzeni? Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykresem funkcji jest parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej. Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Odpowiedź: .

Odpowiedź:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Korzystanie z twierdzenia Viety jest bardzo proste: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi, wziętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład nr 1:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania wynosi:

A iloczyn jest równy:

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Zatem i są pierwiastkami naszego równania.

Odpowiedź: ; .

Przykład nr 2:

Rozwiązanie:

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

i: dają w sumie.

i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.

Odpowiedź:

Przykład nr 3:

Rozwiązanie:

Wolny wyraz równania jest ujemny, dlatego iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.

Wybierzmy takie pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:

i: ich różnica jest równa - nie pasuje;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład nr 4:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład nr 5:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście pierwiastkami są liczby i.

Odpowiedź:

Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.

Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków. Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:

Nie nadaje się ze względu na ilość;

: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.

Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:

Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.

OK, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach. Najpierw musisz podać równanie. Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż problem w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację). Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego z:

Świetnie. Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.

Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 4.

Wolny członek jest ujemny. Co jest w tym specjalnego? Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy. Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 5.

Co powinieneś zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że ​​minus będzie miał większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; .

Podsumuję:

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie zostanie podane lub nie zostanie znaleziona odpowiednia para czynników terminu wolnego, wówczas nie ma pełnych pierwiastków i należy je rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).

3. Metoda wyboru całego kwadratu

Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – ​​to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiąż równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2:

Rozwiąż równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Ogólnie transformacja będzie wyglądać następująco:

Wynika z tego: .

Nic Ci nie przypomina? To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
• jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
• jeśli i, równanie wygląda następująco: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyraźmy niewiadomą: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator

1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,

2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.

2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu

Jeżeli równanie kwadratowe postaci ma pierwiastki, to można je zapisać w postaci: .

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywać, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁĄ żywotność witryny.

I podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu Koniecznie musi być x kwadrat. Oprócz tego równanie może (ale nie musi!) zawierać tylko X (do pierwszej potęgi) i tylko liczbę (członek wolny). I nie powinno być żadnych X do potęgi większej niż dwa.

Z matematycznego punktu widzenia równanie kwadratowe jest równaniem w postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie dowolne, ale A– cokolwiek innego niż zero. Na przykład:

Tutaj A =1; B = 3; C = -4

Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2

Tutaj A =-3; B = 6; C = -18

Cóż, rozumiesz...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest pełny zestaw członkowie. X do kwadratu ze współczynnikiem A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I wolny członek s.

Takie równania kwadratowe nazywane są pełny.

A co jeśli B= 0, co otrzymamy? Mamy X zniknie w pierwszym stopniu. Dzieje się tak po pomnożeniu przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Itp. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zeru, to jest jeszcze prościej:

2x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywane są niekompletne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Proszę zauważyć, że x kwadrat występuje we wszystkich równaniach.

Swoją drogą, dlaczego A nie może być równe zeru? I zamiast tego zastępujesz A zero.) Nasz kwadrat X zniknie! Równanie stanie się liniowe. A rozwiązanie jest zupełnie inne...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletne i niekompletne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasnych, prostych zasad. W pierwszym etapie należy doprowadzić dane równanie do postaci standardowej, tj. do formularza:

Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, A, B I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć X, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zamień wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastąpmy z własnymi znakami! Na przykład w równaniu:

A =1; B = 3; C= -4. Tutaj to zapisujemy:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

To bardzo proste. I co, myślisz, że nie da się popełnić błędu? No właśnie, jak...

Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie się pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczenie pierwiastków. Pomocne jest tutaj szczegółowe zapisanie wzoru z konkretnymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj A = -6; B = -5; C = -1

Załóżmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie około 30 sekund i liczbę błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:

Wydaje się, że pisanie z taką starannością jest niezwykle trudne. Ale tylko tak się wydaje. Spróbuj. Cóż, albo wybierz. Co jest lepsze, szybko czy dobrze?

Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie już potrzeby tak dokładnego zapisywania wszystkiego. To się sprawdzi samo z siebie. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki opisane poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów można rozwiązać łatwo i bez błędów!

Często jednak równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak: Czy rozpoznałeś?) Tak! Ten.

niekompletne równania kwadratowe

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych. a, b i c.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie zrozumieć, czym są tutaj równe. Czy już to wymyśliłeś? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; C A ? W ogóle go tam nie ma! Cóż, tak, to prawda. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zamiast tego wstaw zero do wzoru C, i odniesiemy sukces. To samo z drugim przykładem. Tylko, że u nas nie ma zera Z B !

, A

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie prościej. Bez żadnych formuł. Rozważmy pierwsze niekompletne równanie. Co możesz zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.
I co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz mi? OK, w takim razie wymyśl dwie liczby niezerowe, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? To wszystko... Dlatego śmiało możemy napisać:, x 1 = 0.

x2 = 4 Wszystko. Będą to pierwiastki naszego równania. Oba są odpowiednie. Podstawiając którekolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać rozwiązanie jest znacznie prostsze niż użycie wzoru ogólnego. Przy okazji zauważę, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Wygodnie jest pisać w kolejności, x 1 - co jest mniejsze i x 2

– to, co jest większe.

Drugie równanie można również rozwiązać w prosty sposób. Przesuń 9 w prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z 9 i to wszystko. Okaże się: . Oraz dwa korzenie, x 1 = -3.

W ten sposób rozwiązuje się wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo umieszczając X poza nawiasami, albo po prostu przesuwając liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek X, co jest w jakiś sposób niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma nic do wyjmowania z nawiasów...

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

Magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadko się zdarza, żeby licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „rozwiązujemy poprzez dyskryminację” budzi pewność i pewność. Ponieważ od dyskryminującego nie trzeba oczekiwać sztuczek! Jest prosty i bezproblemowy w obsłudze.) Przypominam najbardziej ogólny wzór na rozwiązanie każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminatorem. Zazwyczaj wyróżnik jest oznaczony literą D. Wzór dyskryminacyjny:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego niezwykłego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasłużył na specjalną nazwę? Co znaczenie wyróżnika? Mimo wszystko -B, Lub 2a w tej formule nie nazywają tego specjalnie... Litery i litery.

Oto rzecz. Jest to możliwe przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego wzoru tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że można z niego wydobyć korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń został wycięty dobrze czy źle. Ważne jest to, co w zasadzie zostało wydobyte. Zatem twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator wynosi zero. Wtedy będziesz miał jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odejmowanie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to jeden korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwykle się o tym mówi jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest ujemny. Nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. No cóż. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych koncepcja dyskryminatora nie jest tak naprawdę potrzebna. Podstawiamy wartości współczynników do wzoru i liczymy. Wszystko dzieje się tam samo z siebie, dwa korzenie, jeden i żaden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła wyróżnika nie mogę się dostać. Zwłaszcza w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla Egzaminu Państwowego i Ujednoliconego Egzaminu Państwowego!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez rozróżnianie, które zapamiętałeś. Albo się nauczyłeś, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie określić a, b i c. Czy wiesz jak? uważnie podstaw je do wzoru głównego i uważnie policz wynik. Rozumiesz, że słowo klucz jest tutaj uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które wynikają z nieuwagi... Dla których później staje się to bolesne i obraźliwe...

Pierwsze spotkanie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego i doprowadź je do standardowej postaci. Co to oznacza?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymamy następujące równanie:

Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Tak:

I jeszcze raz: nie spiesz się! Minus przed kwadratem X może naprawdę Cię zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu. Zdecyduj sam.

Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1. Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie bój się, wszystko wyjaśnię! Kontrola ostatni równanie. Te. ten, którego użyliśmy do zapisania wzoru na pierwiastek. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1 , sprawdzenie korzeni jest łatwe. Wystarczy je pomnożyć. Rezultatem powinien być wolny członek, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Bezpłatny członek ze swoim znakiem

. Jeśli to nie zadziała, oznacza to, że już gdzieś schrzanili. Poszukaj błędu. B Jeśli to zadziała, musisz dodać korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Współczynnik powinien być Z naprzeciwko B znajomy. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik
, który jest przed X, jest równy -1. Zatem wszystko się zgadza! Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x kwadrat jest czyste, ze współczynnikiem a = 1.

Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Błędów będzie coraz mniej. Recepcja trzecia

. Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Przekształcenia tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami z jakiegoś powodu wkradają się błędy...

Swoją drogą obiecałem uprościć zły przykład garścią minusów. Proszę! Oto on.

Aby nie pomylić minusów, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Rozwiązywanie to przyjemność!

Podsumujmy zatem temat.

Praktyczne wskazówki: 1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je.

Prawidłowy

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo zweryfikować, korzystając z twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możemy podjąć decyzję.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

Dlatego śmiało możemy napisać:
x2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - dowolna liczba

Oraz dwa korzenie
x 1 = -3

żadnych rozwiązań

x 1 = 0,25
x2 = 0,5

Czy wszystko pasuje? Świetnie! Równania kwadratowe nie przyprawiają cię o ból głowy. Pierwsze trzy zadziałały, ale reszta nie? Zatem problem nie dotyczy równań kwadratowych. Problem polega na identycznych przekształceniach równań. Zerknij na link, jest pomocny.

Nie do końca się sprawdza? A może w ogóle to nie wychodzi? W takim razie sekcja 555 będzie dla Ciebie pomocna. Wszystkie te przykłady są tam omówione. Pokazano główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mówimy również o zastosowaniu identycznych przekształceń w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Dzięki temu programowi matematycznemu jest to możliwe rozwiązać równanie kwadratowe.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- użycie dyskryminatora
- korzystając z twierdzenia Viety (jeśli to możliwe).

Co więcej, odpowiedź jest wyświetlana jako dokładna, a nie przybliżona.
Przykładowo dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w postaci:

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry.

A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Niekompletne równania kwadratowe

Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
wygląda
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x jest zmienną, a, b i c są liczbami.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania nazywane są równania kwadratowe.

Definicja.
Równanie kwadratowe nazywa się równaniem w postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to niektóre liczby, a \(a \neq 0 \).

Liczby a, b i c są współczynnikami równania kwadratowego. Liczbę a nazywa się pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.

W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a \neq 0 \), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.

Należy zauważyć, że równanie kwadratowe nazywane jest również równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik x 2 jest równy 1 dane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 chociaż jeden ze współczynników b lub c jest równy zero, to takie równanie nazywa się niekompletne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.

Istnieją trzy typy niekompletnych równań kwadratowych:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór 2 =0.

Rozważmy rozwiązanie równań każdego z tych typów.

Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), przesuń jego wolny wyraz na prawą stronę i podziel obie strony równania przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ponieważ \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jeśli \(-\frac(c)(a)>0\), to równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli \(-\frac(c)(a) Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 z \(b \neq 0 \) uwzględnij jego lewą stronę i otrzymaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right.

Oznacza to, że niepełne równanie kwadratowe w postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) zawsze ma dwa pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe w postaci ax 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0 i dlatego ma pojedynczy pierwiastek 0.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Zastanówmy się teraz, jak rozwiązać równania kwadratowe, w których zarówno współczynniki niewiadomych, jak i składnik wolny są różne od zera.

Rozwiążmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej i w rezultacie otrzymamy wzór na pierwiastki. Wzór ten można następnie wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Rozwiążmy równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0

Dzieląc obie strony przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Przekształćmy to równanie, wybierając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strzałka w prawo \)

Radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminator równania kwadratowego ax 2 +bx+c=0 („różniący” po łacinie – dyskryminator). Jest on oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz, stosując notację dyskryminacyjną, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)

To oczywiste, że:
1) Jeżeli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości dyskryminatora, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D. Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego formułę, zaleca się wykonanie następującego sposobu:
1) obliczyć dyskryminator i porównać go z zerem;
2) jeśli dyskryminator jest dodatni lub równy zero, użyj wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest ujemny, zapisz, że nie ma pierwiastków;

Twierdzenie Viety

Dane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn wynosi 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnej strony znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.

Suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu.

Te. Twierdzenie Viety stwierdza, że ​​pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają właściwość:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)