Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą wariacyjną. Przykłady metod wariacji dowolnej stałej

Rozważmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe ze stałymi współczynnikami dowolnego n-tego rzędu:
(1) .
Metodę wariancji stałej, którą rozważaliśmy dla równania pierwszego rzędu, można zastosować także w przypadku równań wyższego rzędu.

Rozwiązanie przeprowadza się w dwóch etapach. W pierwszym kroku odrzucamy prawą stronę i rozwiązujemy równanie jednorodne. W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie zawierające n dowolnych stałych. W drugim etapie zmieniamy stałe. Oznacza to, że uważamy, że te stałe są funkcjami zmiennej niezależnej x i znajdujemy postać tych funkcji.

Chociaż rozważamy tutaj równania ze stałymi współczynnikami, ale Metodę Lagrange'a można również zastosować do rozwiązywania dowolnych liniowych równań niejednorodnych. Aby to jednak zrobić, trzeba znać podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego.

Krok 1. Rozwiązanie równania jednorodnego

Podobnie jak w przypadku równań pierwszego rzędu, najpierw szukamy ogólnego rozwiązania równania jednorodnego, przyrównując prawą stronę niejednorodną do zera:
(2) .
Ogólne rozwiązanie tego równania to:
(3) .
Oto dowolne stałe; - n liniowo niezależnych rozwiązań równania jednorodnego (2), które tworzą podstawowy układ rozwiązań tego równania.

Krok 2. Wariacja stałych - zastępowanie stałych funkcjami

W drugim etapie zajmiemy się zmiennością stałych. Innymi słowy, stałe zastąpimy funkcjami zmiennej niezależnej x:
.
Oznacza to, że szukamy rozwiązania pierwotnego równania (1) w następującej postaci:
(4) .

Jeśli podstawimy (4) do (1), otrzymamy jedno równanie różniczkowe dla n funkcji. W takim przypadku możemy połączyć te funkcje dodatkowymi równaniami. Otrzymujesz wówczas n równań, z których można wyznaczyć n funkcji. Dodatkowe równania można zapisać na różne sposoby. Ale zrobimy to tak, aby rozwiązanie miało najprostszą postać. Aby to zrobić, różniczkując, należy przyrównać do zera wyrazy zawierające pochodne funkcji. Zademonstrujmy to.

Aby podstawić zaproponowane rozwiązanie (4) do pierwotnego równania (1), należy znaleźć pochodne pierwszych n rzędów funkcji zapisanej w postaci (4). Różniczkujemy (4) za pomocą zasady różnicowania kwot i działa:
.
Zgrupujmy członków. Najpierw zapisujemy terminy z pochodnymi , a następnie terminy z pochodnymi :

.
Nałóżmy pierwszy warunek na funkcje:
(5.1) .
Wtedy wyrażenie na pierwszą pochodną względem will będzie miało prostszą postać:
(6.1) .

W ten sam sposób znajdujemy drugą pochodną:

.
Nałóżmy na funkcje drugi warunek:
(5.2) .
Następnie
(6.2) .
I tak dalej. W dodatkowych warunkach przyrównujemy wyrazy zawierające pochodne funkcji do zera.

Jeśli więc wybierzemy następujące dodatkowe równania dla funkcji:
(5.k) ,
wówczas pierwsze pochodne względem woli będą miały najprostszą postać:
(6.k) .
Tutaj .

Znajdź n-tą pochodną:
(6.n)
.

Podstaw do pierwotnego równania (1):
(1) ;






.
Weźmy pod uwagę, że wszystkie funkcje spełniają równanie (2):
.
Wtedy suma wyrazów zawierających zero daje zero. W rezultacie otrzymujemy:
(7) .

W rezultacie otrzymaliśmy układ równań liniowych dla pochodnych:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rozwiązując ten układ, znajdujemy wyrażenia na pochodne jako funkcję x. Całkując otrzymujemy:
.
Oto stałe, które nie zależą już od x. Podstawiając do (4) otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania.

Należy pamiętać, że do określenia wartości pochodnych nigdy nie korzystaliśmy z faktu, że współczynniki a i są stałe. Dlatego Metodę Lagrange'a można zastosować do rozwiązywania dowolnych równań niejednorodnych liniowo, jeśli znany jest podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego (2).

Przykłady

Rozwiązywać równania metodą wariacji stałych (Lagrange'a).

Metoda wariacji dowolnych stałych

Metoda wariacji dowolnych stałych do konstruowania rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego

A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = F(T)

polega na zastąpieniu dowolnych stałych C k w rozwiązaniu ogólnym

z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)

odpowiadające równanie jednorodne

A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = 0

dla funkcji pomocniczych C k (T) , których pochodne spełniają liniowy układ algebraiczny

Wyznacznikiem układu (1) jest Wrońskian funkcji z 1 ,z 2 ,...,z N , co zapewnia jego wyjątkową rozwiązywalność w odniesieniu do .

Jeśli są funkcjami pierwotnymi dla , przyjęte przy ustalonych wartościach stałych całkowania, to funkcja

jest rozwiązaniem pierwotnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego. Całkowanie niejednorodnego równania w obecności ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego sprowadza się zatem do kwadratur.

Metoda wariacji dowolnych stałych do konstruowania rozwiązań układu liniowych równań różniczkowych w postaci normalnej wektorowej

polega na skonstruowaniu określonego rozwiązania (1) w postaci

Gdzie Z(T) jest podstawą rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego zapisanego w postaci macierzy, a funkcję wektorową , która zastąpiła wektor dowolnych stałych, definiuje relacja . Wymagane konkretne rozwiązanie (z zerowymi wartościami początkowymi przy T = T 0 wygląda

W przypadku układu o stałych współczynnikach ostatnie wyrażenie jest uproszczone:

Matryca Z(T)Z- 1 (τ) zwany Macierz Cauchy’ego operator L = A(T) .

Linki zewnętrzne

• exponenta.ru - Informacje teoretyczne z przykładami

Fundacja Wikimedia. 2010.

Przejdźmy do rozważenia liniowych niejednorodnych równań różniczkowych postaci

Gdzie - wymagana funkcja argumentu i funkcje



są dane i ciągłe w pewnym przedziale
.

Wprowadźmy pod uwagę liniowe równanie jednorodne, którego lewa strona pokrywa się z lewą stroną równania niejednorodnego (2.31),

Nazywa się równanie postaci (2.32). równanie jednorodne odpowiadające równaniu niejednorodnemu (2.31).

Poniższe twierdzenie dotyczy struktury ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania liniowego (2.31).

Twierdzenie 2.6. Ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego (2.31) w regionie

jest sumą dowolnego jego rozwiązania szczególnego i rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego (2.32) w dziedzinie (2.33), tj.

Gdzie - szczególne rozwiązanie równania (2.31),
jest podstawowym układem rozwiązań równania jednorodnego (2.32), oraz
- dowolne stałe.

Dowód tego twierdzenia znajdziesz w.

Na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu przedstawimy metodę, za pomocą której można znaleźć szczególne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego. Ta metoda nazywa się Metoda Lagrange'a wariacji dowolnych stałych.

Otrzymamy więc niejednorodne równanie liniowe

(2.35)

gdzie są współczynniki
i prawa strona
ciągły w pewnym przedziale
.

Oznaczmy przez
I
podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego

(2.36)

Wtedy jego rozwiązanie ogólne ma postać

(2.37)

Gdzie I - dowolne stałe.

Będziemy szukać rozwiązania równania (2.35) w tej samej postaci , jak również ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, zastępując dowolne stałe pewnymi funkcjami różniczkowalnymi (zmieniamy dowolne stałe), te.

Gdzie
I
- niektóre funkcje różniczkowalne z , które są jeszcze nieznane i które będziemy starali się wyznaczyć tak, aby funkcja (2.38) była rozwiązaniem niejednorodnego równania (2.35). Różniczkując obie strony równości (2.38) otrzymujemy

Tak przy obliczaniu pochodne drugiego rzędu
I
, wymagamy tego wszędzie w
warunek został spełniony

Potem dla będzie miał

Obliczmy drugą pochodną

Zastępowanie wyrażeń ,,z (2.38), (2.40), (2.41) do równania (2.35) otrzymujemy

Wyrażenia w nawiasach kwadratowych są wszędzie równe zeru
, ponieważ I - częściowe rozwiązania równania (2.36). W tym przypadku (2.42) przyjmie postać Łącząc ten warunek z warunkiem (2.39) otrzymujemy układ równań do wyznaczania
I

(2.43)

Ostatni układ to układ dwóch algebraicznych liniowych równań niejednorodnych względem
I
. Wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego dla podstawowego układu rozwiązań ,i dlatego jest niezerowe wszędzie
. Oznacza to, że układ (2.43) ma rozwiązanie unikalne. Po rozwiązaniu tego w jakikolwiek sposób stosunkowo
,
znajdziemy

Gdzie
I
- znane funkcje.

Wykonanie integracji i uwzględnienie tego jako
,
powinniśmy wziąć jedną parę funkcji i ustawić stałe całkowania na zero. Dostajemy

Podstawiając wyrażenia (2.44) do relacji (2.38) możemy zapisać pożądane rozwiązanie równania niejednorodnego (2.35) w postaci

Metodę tę można uogólnić, aby znaleźć szczególne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego -ta kolejność.

Przykład 2.6. Rozwiązać równanie
Na
jeśli działa

tworzą podstawowy układ rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego.

Znajdźmy szczególne rozwiązanie tego równania. Aby to zrobić, zgodnie z metodą Lagrange'a, musimy najpierw rozwiązać układ (2.43), który w naszym przypadku ma postać
Redukując obie strony każdego równania o dostajemy

Odejmując pierwsze równanie wyraz po wyrazie od drugiego równania, znajdujemy
a następnie z pierwszego równania wynika
Wykonując całkowanie i ustawiając stałe całkowania na zero, będziemy mieli

Szczególne rozwiązanie tego równania można przedstawić jako

Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać

Gdzie I - dowolne stałe.

Na koniec zwróćmy uwagę na jedną niezwykłą właściwość, która często nazywana jest zasadą superpozycji rozwiązań i opisana jest następującym twierdzeniem.

Twierdzenie 2.7. Jeśli pomiędzy
funkcjonować
- szczególne rozwiązanie funkcji równania
szczególnym rozwiązaniem równania w tym samym przedziale jest funkcja
równanie ma szczególne rozwiązanie

Aby znaleźć rozwiązanie ogólne y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x), konieczne jest znalezienie rozwiązania szczególnego.

Można to znaleźć na podstawie ogólnego rozwiązania równania y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 niektórych odmian dowolnych stałych

Podstawmy w (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = fa (x)

+ + + + (x) +

(x) + = fa (x)

Całkując znajdujemy i

Następnie korzystając ze wzoru (5.6) tworzymy rozwiązanie ogólne

Twierdzenie (5.2): o narzucanie rozwiązania

Jeżeli prawa strona równania y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) jest sumą 2 funkcji:

f(x) = (x) + (x) ,

i u jest szczególnym rozwiązaniem równania

+ (x) y’ + (x) y = (x)

+ (x) y’ + (x) y = (x)

Taka jest funkcja

Jest rozwiązaniem tego równania

() „” + ) „ + ) „= „” + + + () „” + ) „ + = (x) + (x) = f(x)

10. Równanie Bernoulliego.

11. Równanie Riccatiego:

Równanie Riccatiego jest jednym z najciekawszych nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Zapisuje się to w postaci:

Gdzie A(X), B(X), C(X) - funkcje ciągłe zależne od zmiennej X.

Równanie Riccatiego można znaleźć w różnych obszarach matematyki (na przykład geometrii algebraicznej i teorii odwzorowań konforemnych) i fizyki. Często pojawia się również w stosowanych problemach matematycznych.

Powyższe równanie nazywa się ogólne równanie Riccatiego. Jego rozwiązanie opiera się na następującym twierdzeniu:

Twierdzenie: Jeśli znane jest konkretne rozwiązanie y 1 równania Riccatiego, wówczas jego ogólne rozwiązanie wyznacza wzór

Rzeczywiście, zastępując rozwiązanie y = y 1 + ty do równania Riccatiego mamy:

Podkreślone terminy po lewej i prawej stronie można skrócić, ponieważ y 1 jest szczególnym rozwiązaniem spełniającym równanie. W rezultacie otrzymujemy równanie różniczkowe funkcji ty(X):

Druga wersja Riccati (napisz tylko jedną z nich)

Ogólnie rzecz biorąc, nie jest integrowany w kwadraturach

Jeśli jednak znane jest jedno konkretne rozwiązanie, wówczas równanie Riccatiego można sprowadzić do równania Bernoulliego

Aby to zrobić, dokonajmy zamiany:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = fa (x)

P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

n=2 Bernouli

12. Równanie Lagrange'a.:

13. Równanie Clairauta:

14. Równania różniczkowe rzędu wyższego od pierwszego. Przypadki degradacji.

15. Liniowe równania różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Podstawowy system rozwiązań:

16. Równania różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach. Równanie charakterystyczne:

Szczególny przypadek liniowych jednorodnych rozważanych powyżej

równania różniczkowe to LODE ze stałymi

współczynniki.

17. Równania niejednorodne liniowe. Znalezienie konkretnego rozwiązania w przypadku równania z quasi-wielomianem:

Quasiwielomian Eulera: Rozważmy LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) Możesz wyszukać konkretne rozwiązanie za pomocą metody Lagrange'a, ale w niektórych przypadkach można je znaleźć w prostszy sposób. Rozważ następujące przypadki: 1. f(x) = , jest wielomianem stopnia n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). W takich przypadkach f(x) nazywa się quasi-wielomianem EULERa. W takich przypadkach należy zapisać oczekiwaną postać rozwiązania o nieokreślonych współczynnikach i podstawić ją do równania (5.1). Z powstałej tożsamości znajduje się wartość współczynników. Przypadek 1 : prawa strona (5.7) ma postać: f(x) = α R jest wielomianem stopnia n. Równanie (5.7) zostanie zapisane w postaci: y’’ + p y’ + q y = (5.8) W tym przypadku szukamy konkretnego rozwiązania w postaci: = Qn (x) (5.9) gdzie r jest liczbą = krotnością α jako pierwiastkiem poziomu charakterystycznego + p k + q = 0, tj. r – liczba pokazująca, ile razy α jest pierwiastkiem z ur + p k + q = 0, ponadto Qn (x) = + + …. + An jest wielomianem stopnia n, zapisanym z nieokreślonymi współczynnikami Ai (i = 0, 1, 2,...n) A) Niech α nie będzie pierwiastkiem poziomu charakterystycznego: + p k + q = 0, tj. α , r = 0 i szukamy rozwiązania w postaci = Q n (x) B) Niech α będzie pojedynczym (prostym) pierwiastkiem równania charakterystycznego + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) B) Niech α = będzie 2-krotnym pierwiastkiem poziomu charakterystycznego + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Przypadek 2: Prawa strona (5.7) ma postać: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , Gdzie ) i Qm (x) są wielomianami stopnia odpowiednio n i m, α i β są liczbami rzeczywistymi, wówczas równanie (5.7) zostanie zapisane w postaci y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) W tym przypadku szczególne rozwiązanie: = * (Ml ( x) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-liczba równa krotności (α + βi) jako pierwiastek równania: + pk + q = 0, Me (x) i Ne (x) są wielomianami stopnia l o nieokreślonych współczynnikach. l to najwyższy stopień wielomianu ) oraz Qm (x), l =max(n,m). Notatka 1: Po podstawieniu funkcji (5.11) do (5.10) przyrównuje się wielomiany przed trygonem o tej samej nazwie. funkcje po lewej i prawej stronie ur-i. Uwaga 2 : Wzór (5.11) pozostaje taki sam dla ) 0 i Qm (x) 0. Uwaga 3 : Jeżeli prawa strona równania (5.7) jest sumą funkcji postaci 1 i 2, to aby ją znaleźć, należy skorzystać z twierdzenia (5.2) o narzucaniu rozwiązań. Twierdzenie (5.2): o narzucaniu rozwiązań: Jeżeli prawe strony równania (5.1) reprezentują sumę 2 funkcji: f(x) = (x) + (x), a u są rozwiązaniami cząstkowymi równania + (x) y ' + (x) y = (x) + (x) y ' + (x) y = (x)To jest rozwiązanie tego równania. Całkowanie n-tego rzędu LNDDE (n stały współczynnik i specjalna prawa strona. Rozważmy n-ty rząd LDDE + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) gdzie (x) , …, (x) , f(x) są określone przez funkcję ciągłą na przedziale (a, b). Odp. równanie jednorodne + (x) + … + (x)y = 0 . Rozwiązanie ogólne y n-tego rzędu LNDDE = suma rozwiązania szczególnego NU i rozwiązania ogólnego OUy = . można znaleźć, jeśli znane jest rozwiązanie ogólne systemu operacyjnego = + + … + gdzie yi(x) jest rozwiązaniem szczególnym tworzącym podstawowy system rozwiązań systemu operacyjnego. Aby znaleźć Ci(x), należy zastosować system ur + + … + = 0 + + … + = jest kompilowane 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) Jednakże dla LDDE n-tego rzędu o stałych współczynnikach, którego prawa strona f(x) ma specjalną postać, można znaleźć metodą współczynników nieoznaczonych. Metoda wyboru konkretnego rozwiązania równania y'' + + … + y = f (x) R, gdzie f (x) jest quasi-wielomianem Eulera. jak dla n=2.

Rozważmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu:
(1) .
Istnieją trzy sposoby rozwiązania tego równania:

• metoda wariacji stałej (Lagrange'a).

Rozważmy rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu za pomocą metody Lagrange'a.

Metoda zmiany stałej (Lagrange'a)

W wariancie metody stałej rozwiązujemy równanie w dwóch etapach. W pierwszym kroku upraszczamy pierwotne równanie i rozwiązujemy równanie jednorodne. W drugim etapie stałą całkowania otrzymaną w pierwszym etapie rozwiązania zastępujemy funkcją. Następnie szukamy ogólnego rozwiązania pierwotnego równania.

Rozważ równanie:
(1)

Krok 1 Rozwiązywanie równania jednorodnego

Szukamy rozwiązania równania jednorodnego:

Jest to równanie rozłączne

Rozdzielamy zmienne - mnożymy przez dx, dzielimy przez y:

Zintegrujmy:

Całka po y - tabelaryczna:

Następnie

Wzmocnijmy:

Zamieńmy stałą e C na C i usuńmy znak modułu, co sprowadza się do pomnożenia przez stałą ±1, które umieścimy w C:

Krok 2 Zastąp stałą C funkcją

Zastąpmy teraz stałą C funkcją x:
C → u (X)
Oznacza to, że będziemy szukać rozwiązania pierwotnego równania (1) Jak:
(2)
Znalezienie pochodnej.

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Zgodnie z zasadą różnicowania produktów:

.
Podstaw do pierwotnego równania (1) :
(1) ;

.
Redukcja dwóch członków:
;
.
Zintegrujmy:
.
Zastąp w (2) :
.
W rezultacie otrzymujemy ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu:
.

Przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu metodą Lagrange'a

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie

Rozwiązujemy równanie jednorodne:

Rozdzielamy zmienne:

Pomnożyć przez:

Zintegrujmy:

Całki tabelaryczne:

Wzmocnijmy:

Zamieńmy stałą e C na C i usuńmy znaki modułu:

Stąd:

Zastąpmy stałą C funkcją x:
C → u (X)

Znajdowanie pochodnej:
.
Podstaw do pierwotnego równania:
;
;
Lub:
;
.
Zintegrujmy:
;
Rozwiązanie równania:
.