Podstawowe wzory planimetrii. Jak znaleźć obszar kształtów geometrycznych

Pola figur geometrycznych są wartościami liczbowymi charakteryzującymi ich wielkość w przestrzeni dwuwymiarowej. Wartość tę można mierzyć w jednostkach systemowych i niesystemowych. Na przykład niesystemową jednostką powierzchni jest setna część hektara. Dzieje się tak w przypadku, gdy mierzona powierzchnia jest kawałkiem ziemi. Systemową jednostką powierzchni jest kwadrat długości. W układzie SI jednostką powierzchni płaskiej jest metr kwadratowy. W GHS jednostka powierzchni wyrażana jest w centymetrze kwadratowym.

Geometria i wzory na pole są ze sobą nierozerwalnie powiązane. Związek ten polega na tym, że obliczanie pól figur płaskich opiera się właśnie na ich zastosowaniu. Dla wielu figur wyprowadza się kilka opcji, z których obliczane są ich wymiary kwadratowe. Na podstawie danych zawartych w opisie problemu możemy określić najprostsze możliwe rozwiązanie. Ułatwi to obliczenia i zredukuje do minimum prawdopodobieństwo błędów obliczeniowych. Aby to zrobić, rozważ główne obszary figur w geometrii.

Wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta są prezentowane w kilku opcjach:

1) Pole trójkąta oblicza się z podstawy a i wysokości h. Za podstawę uważa się bok figury, na którym obniżona jest wysokość. Zatem pole trójkąta wynosi:

2) Pole trójkąta prostokątnego oblicza się w ten sam sposób, jeśli przeciwprostokątną uważa się za podstawę. Jeśli przyjmiemy nogę jako podstawę, wówczas obszar prawego trójkąta będzie równy iloczynowi nóg o połowę.

Na tym nie kończą się formuły obliczania pola dowolnego trójkąta. Inne wyrażenie zawiera boki a, b i sinusoidalną funkcję kąta γ pomiędzy a i b. Wartość sinusa można znaleźć w tabelach. Można to również sprawdzić za pomocą kalkulatora. Zatem pole trójkąta wynosi:

Korzystając z tej równości, możesz również upewnić się, że obszar trójkąta prostokątnego jest określony przez długości nóg. Ponieważ kąt γ jest kątem prostym, dlatego pole trójkąta prostokątnego oblicza się bez mnożenia przez funkcję sinus.

3) Rozważmy szczególny przypadek - regularny trójkąt, którego bok a jest znany z warunku lub jego długość można znaleźć podczas rozwiązywania. Nic więcej nie wiadomo na temat figury w zadaniu geometrycznym. Jak więc znaleźć obszar pod tym warunkiem? W tym przypadku stosuje się wzór na pole regularnego trójkąta:

Prostokąt

Jak znaleźć pole prostokąta i wykorzystać wymiary boków mających wspólny wierzchołek? Wyrażenie do obliczeń to:

Jeśli chcesz użyć długości przekątnych do obliczenia pola prostokąta, będziesz potrzebować funkcji sinusa kąta utworzonego podczas ich przecięcia. Ten wzór na pole prostokąta to:

Kwadrat

Pole kwadratu określa się jako drugą potęgę długości boku:

Dowód wynika z definicji, że kwadrat jest prostokątem. Wszystkie boki tworzące kwadrat mają te same wymiary. Zatem obliczenie pola takiego prostokąta sprowadza się do pomnożenia jednego przez drugi, czyli do drugiej potęgi boku. A wzór na obliczenie pola kwadratu przyjmie pożądaną formę.

Pole kwadratu można znaleźć w inny sposób, na przykład, jeśli użyjesz przekątnej:

Jak obliczyć pole figury utworzonej przez część płaszczyzny ograniczonej okręgiem? Aby obliczyć pole, stosuje się następujące wzory:

Równoległobok

W przypadku równoległoboku wzór zawiera wymiary liniowe boku, wysokość i operację matematyczną - mnożenie. Jeśli wysokość nie jest znana, jak znaleźć obszar równoległoboku? Jest inny sposób obliczeń. Wymagana będzie pewna wartość, którą przyjmie funkcja trygonometryczna kąta utworzonego przez sąsiednie boki, a także ich długość.

Wzory na pole równoległoboku to:

Romb

Jak znaleźć pole czworokąta zwanego rombem? Pole rombu określa się za pomocą prostej matematyki z przekątnymi. Dowód opiera się na fakcie, że odcinki ukośne w d1 i d2 przecinają się pod kątem prostym. Z tabeli sinusów wynika, że ​​dla kąta prostego funkcja ta jest równa jedności. Dlatego powierzchnię rombu oblicza się w następujący sposób:

Obszar rombu można również znaleźć w inny sposób. Nie jest to również trudne do udowodnienia, biorąc pod uwagę, że jego boki mają tę samą długość. Następnie zastąp ich iloczyn podobnym wyrażeniem równoległoboku. Przecież szczególnym przypadkiem tej konkretnej figury jest romb. Tutaj γ jest kątem wewnętrznym rombu. Pole rombu określa się w następujący sposób:

Trapez

Jak znaleźć pole trapezu poprzez podstawy (a i b), jeśli zadanie wskazuje ich długości? Tutaj bez znanej wartości długości wysokości h nie będzie możliwe obliczenie pola takiego trapezu. Ponieważ ta wartość zawiera wyrażenie do obliczeń:

W ten sam sposób można również obliczyć kwadratowy rozmiar trapezu prostokątnego. Bierze się pod uwagę, że w prostokątnym trapezie łączone są pojęcia wysokości i boku. Dlatego w przypadku trapezu prostokątnego zamiast wysokości należy określić długość boku bocznego.

Cylinder i równoległościan

Zastanówmy się, co jest potrzebne do obliczenia powierzchni całego cylindra. Pole tej figury to para okręgów zwanych podstawami i powierzchnia boczna. Okręgi tworzące koła mają promienie o długości r. Dla powierzchni cylindra przeprowadza się następujące obliczenia:

Jak znaleźć obszar równoległościanu składającego się z trzech par ścian? Jego wymiary odpowiadają konkretnej parze. Przeciwległe ściany mają te same parametry. Najpierw znajdź S(1), S(2), S(3) - kwadratowe wymiary nierównych ścian. Następnie pole powierzchni równoległościanu wynosi:

Pierścień

Dwa koła o wspólnym środku tworzą pierścień. Ograniczają także powierzchnię pierścienia. W tym przypadku oba wzory obliczeniowe uwzględniają wymiary każdego koła. Pierwszy z nich, obliczający pole pierścienia, zawiera większy promień R i mniejszy r. Częściej nazywane są zewnętrznymi i wewnętrznymi. W drugim wyrażeniu obszar pierścienia jest obliczany na podstawie większej średnicy D i mniejszej średnicy d. Zatem obszar pierścienia na podstawie znanych promieni oblicza się w następujący sposób:

Pole pierścienia, korzystając z długości średnic, określa się w następujący sposób:

Wielokąt

Jak znaleźć obszar wielokąta, którego kształt nie jest regularny? Nie ma ogólnego wzoru na pole takich figur. Ale jeśli jest to przedstawione na płaszczyźnie współrzędnych, na przykład może to być papier w kratkę, to jak w tym przypadku znaleźć pole powierzchni? Tutaj stosują metodę, która nie wymaga przybliżonego pomiaru figury. Robią to: jeśli znajdą punkty wpadające w róg komórki lub mające całe współrzędne, to tylko one są brane pod uwagę. Aby następnie dowiedzieć się, jakie jest pole, skorzystaj ze wzoru sprawdzonego przez Peake'a. Należy dodać liczbę punktów znajdujących się wewnątrz linii łamanej, na której leży połowa punktów, i odjąć jeden, czyli oblicza się to w następujący sposób:

gdzie B, G - liczba punktów znajdujących się odpowiednio wewnątrz i na całej linii łamanej.

Wszystkie wzory na pole figur płaskich

Powierzchnia trapezu równoramiennego

1. Wzór na pole trapezu równoramiennego za pomocą boków i kątów

a - dolna podstawa

b - górna podstawa

c - równe boki

α - kąt przy dolnej podstawie

Wzór na pole trapezu równoramiennego przez boki, (S):

Wzór na pole trapezu równoramiennego przy użyciu boków i kątów, (S):

2. Wzór na pole trapezu równoramiennego w funkcji promienia okręgu wpisanego

R - promień okręgu wpisanego

D - średnica okręgu wpisanego

O - środek okręgu wpisanego

H - wysokość trapezu

α, β - kąty trapezowe

Wzór na pole trapezu równoramiennego w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego, (S):

DOKŁADNY, dla okręgu wpisanego w trapez równoramienny:

3. Wzór na pole trapezu równoramiennego przechodzącego przez przekątne i kąt między nimi

d- przekątna trapezu

α,β- kąty między przekątnymi

Wzór na pole trapezu równoramiennego przechodzącego przez przekątne i kąt między nimi, (S):

4. Wzór na pole trapezu równoramiennego przez linię środkową, bok boczny i kąt u podstawy

strona c

m - linia środkowa trapezu

α, β - kąty u podstawy

Wzór na pole trapezu równoramiennego z wykorzystaniem linii środkowej, boku bocznego i kąta podstawy,

(S):

5. Wzór na pole trapezu równoramiennego z wykorzystaniem podstaw i wysokości

a - dolna podstawa

b - górna podstawa

h - wysokość trapezu

Wzór na pole trapezu równoramiennego przy użyciu podstaw i wysokości, (S):

Pole trójkąta na podstawie boku i dwóch kątów, wzór.

a, b, c - boki trójkąta

α, β, γ - przeciwne kąty

Pole trójkąta przechodzące przez bok i dwa kąty (S):

Wzór na pole wielokąta foremnego

a - bok wielokąta

n - liczba boków

Powierzchnia wielokąta foremnego, (S):

Wzór (Czapla) na pole trójkąta przez półobwód (S):

Pole trójkąta równobocznego wynosi:

Wzory do obliczania pola trójkąta równobocznego.

a - bok trójkąta

h – wysokość

Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego?

b - podstawa trójkąta

a - równe boki

h – wysokość

3. Wzór na pole trapezu z wykorzystaniem czterech boków

a - dolna podstawa

b - górna podstawa

c, d - boki

Promień okręgu opisanego na trapezie wzdłuż boków i przekątnych

a - boczne boki trapezu

c - dolna podstawa

b - górna podstawa

d - przekątna

h - wysokość

Wzór na promień trapezu, (R)

znajdź promień obwodu trójkąta równoramiennego, korzystając z boków

Znając boki trójkąta równoramiennego, możesz skorzystać ze wzoru, aby znaleźć promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

a, b - boki trójkąta

Promień okręgu trójkąta równoramiennego (R):

Promień okręgu wpisanego w sześciokąt

a - bok sześciokąta

Promień okręgu wpisanego w sześciokąt, (r):

Promień okręgu wpisanego w romb

r - promień okręgu wpisanego

a - bok rombu

D, d - przekątne

h - wysokość rombu

Promień okręgu wpisanego w trapez równoboczny

c - dolna podstawa

b - górna podstawa

a - boki

h - wysokość

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

a, b - nogi trójkąta

c - przeciwprostokątna

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny

a, b - boki trójkąta

Udowodnić, że pole wpisanego czworokąta wynosi

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

gdzie p jest półobwodem, a a, b, c i d są bokami czworoboku.

Udowodnić, że pole czworokąta wpisanego w okrąg jest równe

1/2 (ab + cb) · sin α, gdzie a, b, c i d są bokami czworoboku, a α jest kątem pomiędzy bokami a i b.

S = √[ a ƀ do re] grzech ½ (α + β). - Przeczytaj więcej na FB.ru:

Obszar dowolnego czworoboku (ryc. 1.13) można wyrazić poprzez jego boki a, b, c oraz sumę pary przeciwnych kątów:

gdzie p jest półobwodem czworoboku.

Pole czworoboku wpisanego w okrąg () (ryc. 1.14, a) oblicza się za pomocą wzoru Brahmagupty

i opisane (ryc. 1.14, b) () - zgodnie ze wzorem

Jeśli czworokąt zostanie wpisany i opisany jednocześnie (ryc. 1.14, c), wówczas wzór staje się bardzo prosty:

Wzór Picka

Aby oszacować powierzchnię wielokąta na papierze w kratkę, wystarczy policzyć, ile komórek obejmuje ten wielokąt (powierzchnię komórki przyjmujemy jako jeden). Dokładniej, jeśli S jest obszarem wielokąta, jest liczbą komórek znajdujących się całkowicie wewnątrz wielokąta i jest liczbą komórek, które mają co najmniej jeden punkt wspólny z wnętrzem wielokąta.

Poniżej rozważymy tylko te wielokąty, których wszystkie wierzchołki leżą w węzłach kartki papieru w kratkę - te, w których przecinają się linie siatki. Okazuje się, że dla takich wielokątów można podać następujący wzór:

gdzie jest obszarem, r jest liczbą węzłów leżących ściśle wewnątrz wielokąta.

Formuła ta nazywa się „formułą Pick” – od nazwiska matematyka, który ją odkrył w 1899 roku.

Co to jest obszar?

Pole jest cechą zamkniętej figury geometrycznej (okrąg, kwadrat, trójkąt itp.), która określa jej wielkość. Powierzchnię mierzy się w centymetrach kwadratowych, metrach itp. Oznaczone literą S(kwadrat).

Jak znaleźć obszar trójkąta?

S= A H

Gdzie A– długość podstawy, H– wysokość trójkąta dociągniętego do podstawy.

Co więcej, podstawa nie musi znajdować się na dole. To też wystarczy.

Jeśli trójkąt rozwarty, następnie wysokość jest obniżana do kontynuacji podstawy:

Jeśli trójkąt prostokątny, to podstawa i wysokość to jego nogi:

2. Kolejna formuła, nie mniej przydatna, ale z jakiegoś powodu zawsze zapominana:

S= a b sinα

Gdzie A I B- dwa boki trójkąta, sinα jest sinusem kąta między tymi bokami.

Głównym warunkiem jest przyjęcie kąta pomiędzy dwoma znanymi bokami.

3. Wzór na pole powierzchni trzech boków (wzór Herona):

S=

Gdzie A, B I Z są bokami trójkąta, i R - półobwodowy P = (a+b+c)/2.

4. Wzór na pole trójkąta w odniesieniu do promienia opisanego koła:

S=

Gdzie A, B I Z są bokami trójkąta, i R - promień okręgu opisanego.

5. Wzór na pole trójkąta w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego:

S= p · r

Gdzie R - półobwód trójkąta i R - promień okręgu wpisanego.

Jak znaleźć obszar prostokąta?

1. Pole prostokąta można znaleźć po prostu:

S=A B

Żadnych sztuczek.

Jak znaleźć pole kwadratu?

1. Ponieważ kwadrat jest prostokątem o równych bokach, obowiązuje dla niego ten sam wzór:

S=A · a = a 2

2. Ponadto pole kwadratu można znaleźć poprzez jego przekątną:

S= D 2

Jak znaleźć obszar równoległoboku?

1. Obszar równoległoboku określa się według wzoru:

S=A H

Wynika to z faktu, że jeśli wytniesz z niego trójkąt prostokątny po prawej stronie i umieścisz go po lewej stronie, otrzymasz prostokąt:

2. Ponadto obszar równoległoboku można znaleźć poprzez kąt między dwoma bokami:

S=A · b · sinα

Jak znaleźć obszar rombu?

Romb jest zasadniczo równoległobokiem, którego wszystkie boki są równe. Dlatego obowiązują dla niego te same wzory na pole.

1. Powierzchnia rombu przez wysokość:

S=A H

Aby rozwiązać problemy z geometrią, musisz znać wzory - takie jak pole trójkąta lub pole równoległoboku - a także proste techniki, które omówimy.

Najpierw nauczmy się wzorów na pola figur. Specjalnie zebraliśmy je w wygodnym stoliku. Drukuj, ucz się i aplikuj!

Oczywiście nie wszystkie wzory geometrii znajdują się w naszej tabeli. Na przykład, aby rozwiązać problemy z geometrii i stereometrii w drugiej części profilu Unified State Exam z matematyki, stosuje się inne wzory na pole trójkąta. Na pewno o nich opowiemy.

Ale co, jeśli chcesz znaleźć nie obszar trapezu lub trójkąta, ale obszar jakiejś złożonej figury? Istnieją uniwersalne sposoby! Pokażemy je na przykładach z banku zadań FIPI.

1. Jak znaleźć obszar niestandardowej figury? Na przykład dowolny czworokąt? Prosta technika - podzielmy tę figurę na te, o których wiemy wszystko i znajdźmy jej pole - jako sumę pól tych figur.

Podziel ten czworokąt linią poziomą na dwa trójkąty o wspólnej podstawie równej . Wysokości tych trójkątów są równe i . Następnie pole czworoboku jest równe sumie pól dwóch trójkątów: .

Odpowiedź: .

2. W niektórych przypadkach obszar figury można przedstawić jako różnicę niektórych obszarów.

Nie jest łatwo obliczyć, ile wynosi podstawa i wysokość tego trójkąta! Ale możemy powiedzieć, że jego powierzchnia jest równa różnicy między polami kwadratu o boku i trzech trójkątów prostokątnych. Czy widzisz je na zdjęciu? Otrzymujemy: .

Odpowiedź: .

3. Czasami w zadaniu trzeba znaleźć obszar nie całej figury, ale jej część. Zwykle mówimy o obszarze sektora - części koła. Znajdź obszar sektora koła o promieniu, którego długość łuku jest równa .

Na tym zdjęciu widzimy część koła. Pole całego koła jest równe. Pozostaje dowiedzieć się, która część koła jest przedstawiona. Ponieważ długość całego koła jest równa (ponieważ) i długość łuku danego sektora jest równa, dlatego długość łuku jest współczynnikiem mniejszym niż długość całego koła. Kąt, pod którym spoczywa ten łuk, jest również czynnikiem mniejszym niż pełne koło (to znaczy stopni). Oznacza to, że powierzchnia sektora będzie kilkakrotnie mniejsza niż powierzchnia całego koła.