Konstruujemy przedział ufności w programie MS EXCEL w celu oszacowania wartości średniej rozkładu w przypadku znanej wartości dyspersji.

Oczywiście, że wybór poziom zaufania całkowicie zależy od rozwiązywanego problemu. Zatem stopień zaufania pasażera lotniczego do niezawodności samolotu powinien być niewątpliwie wyższy niż stopień zaufania kupującego do niezawodności żarówki elektrycznej.

Sformułowanie problemu

Załóżmy, że od populacja zostały podjęte próbka rozmiar nr. Zakłada się, że odchylenie standardowe ten rozkład jest znany. Na tej podstawie jest to konieczne próbki ocenić nieznane średnia dystrybucji(μ, ) i skonstruuj odpowiednie dwustronne przedział ufności.

Oszacowanie punktowe

Jak wiadomo z statystyka(oznaczmy to X średnio) Jest bezstronne oszacowanie średniej Ten populacja i ma rozkład N(μ;σ 2 /n).

Notatka: Co zrobić, jeśli musisz zbudować przedział ufności w przypadku dystrybucji nie jest normalna? W tym przypadku na ratunek przychodzi stwierdzenie, że ma on odpowiednio duży rozmiar próbki n z dystrybucji nie być normalna, przykładowy rozkład statystyk X śr będzie około odpowiadać rozkład normalny o parametrach N(μ;σ 2 /n).

Więc, ocena punktowa przeciętny wartości dystrybucji mamy - to średnia próbki, tj. X średnio. Teraz zacznijmy przedział ufności.

Konstruowanie przedziału ufności

Zwykle znając rozkład i jego parametry, możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z określonego przez nas przedziału. Teraz zróbmy odwrotnie: znajdź przedział, w którym zmienna losowa będzie przypadać z danym prawdopodobieństwem. Na przykład z właściwości rozkład normalny wiadomo, że z prawdopodobieństwem 95% rozłożona jest zmienna losowa normalne prawo, będzie mieścić się w przedziale około +/- 2 od średnia wartość(patrz artykuł o). Ten przedział będzie dla nas prototypem przedział ufności.

Zobaczmy teraz, czy znamy rozkład , obliczyć ten odstęp? Aby odpowiedzieć na pytanie, należy wskazać kształt rozkładu i jego parametry.

Znamy formę dystrybucji - to jest rozkład normalny(pamiętaj, że mówimy o rozkład próbek statystyka X średnio).

Parametr μ nie jest nam znany (wystarczy go oszacować za pomocą przedział ufności), ale mamy jego szacunki X średnio, obliczone na podstawie próbki, które można wykorzystać.

Drugi parametr - odchylenie standardowe średniej próbki uznamy to za znane, jest równe σ/√n.

Ponieważ nie wiemy μ, to zbudujemy przedział +/- 2 odchylenia standardowe nie od średnia wartość oraz na podstawie znanych szacunków X średnio. Te. przy obliczaniu przedział ufności NIE założymy tego X średnio mieści się w przedziale +/- 2 odchylenia standardowe od μ z prawdopodobieństwem 95% i założymy, że przedział wynosi +/- 2 odchylenia standardowe z X średnio z 95% prawdopodobieństwem obejmie μ – średnia dla populacji ogólnej, z którego zostało wzięte próbka. Te dwa stwierdzenia są równoważne, ale drugie stwierdzenie pozwala nam skonstruować przedział ufności.

Dodatkowo wyjaśnijmy sobie przedział: zmienną losową rozłożoną na przestrzeni normalne prawo, z prawdopodobieństwem 95% mieści się w przedziale +/- 1,960 odchylenia standardowe, nie +/- 2 odchylenia standardowe. Można to obliczyć za pomocą wzoru =NORMALNY.ST.REV((1+0,95)/2), cm. przykładowy plik Przedział arkusza.

Teraz możemy sformułować stwierdzenie probabilistyczne, które posłuży nam do uformowania przedział ufności:
„Prawdopodobieństwo, że średnia populacji położony od średnia próbki w ciągu 1960" odchylenia standardowe średniej próbki” równy 95%”.

Wartość prawdopodobieństwa wymieniona w zestawieniu ma specjalną nazwę , z czym się wiąże poziom istotności α (alfa) za pomocą prostego wyrażenia poziom zaufania =1 -α . W naszym przypadku poziom istotności α =1-0,95=0,05 .

Teraz, w oparciu o to probabilistyczne stwierdzenie, piszemy wyrażenie do obliczeń przedział ufności:

gdzie Z α/2 – standard rozkład normalny(ta wartość zmiennej losowej z, Co P(z>=Z α/2 )=α/2).

Notatka: Górny kwantyl α/2 określa szerokość przedział ufności V odchylenia standardowe średnia próbki. Górny kwantyl α/2 standard rozkład normalny zawsze większa niż 0, co jest bardzo wygodne.

W naszym przypadku, przy α=0,05, górny kwantyl α/2 wynosi 1,960. Dla pozostałych poziomów istotności α (10%; 1%) górny kwantyl α/2 Z α/2 można obliczyć za pomocą wzoru =NORMAL.ST.REV(1-α/2) lub, jeśli jest znany poziom zaufania, =NORMALNY.ST.OBR((1+poziom zaufania)/2).

Zwykle podczas budowy przedziały ufności dla oszacowania średniej używać tylko górna alfa/2-kwantyl i nie używaj niższe α/2-kwantyl. Jest to możliwe, ponieważ standard rozkład normalny symetrycznie względem osi x ( jego gęstość dystrybucji symetryczny w przybliżeniu średni, tj. 0). Dlatego nie ma potrzeby obliczania dolny kwantyl α/2(nazywa się to po prostu α /2-kwantyl), ponieważ jest równe górna alfa/2-kwantyl ze znakiem minus.

Przypomnijmy, że niezależnie od kształtu rozkładu wartości x, odpowiada jej zmienna losowa X średnio dystrybuowane około Cienki N(μ;σ 2 /n) (patrz artykuł na temat). Dlatego ogólnie powyższe wyrażenie dla przedział ufności jest jedynie przybliżeniem. Jeśli wartość x jest rozłożona na normalne prawo N(μ;σ 2 /n), wówczas wyrażenie na przedział ufności jest dokładny.

Obliczanie przedziału ufności w programie MS EXCEL

Rozwiążmy problem.
Czas reakcji elementu elektronicznego na sygnał wejściowy jest ważną cechą urządzenia. Inżynier chce skonstruować przedział ufności dla średniego czasu reakcji na poziomie ufności 95%. Z wcześniejszych doświadczeń inżynier wie, że odchylenie standardowe czasu odpowiedzi wynosi 8 ms. Wiadomo, że do oceny czasu reakcji inżynier wykonał 25 pomiarów, średnia wartość wyniosła 78 ms.

Rozwiązanie: Inżynier chce poznać czas reakcji urządzenia elektronicznego, ale rozumie, że czas reakcji nie jest wartością stałą, ale zmienną losową, która ma swój własny rozkład. Jedyne, na co może więc liczyć, to określenie parametrów i kształtu tego rozkładu.

Niestety z uwarunkowań problemu nie znamy kształtu rozkładu czasu odpowiedzi (nie musi tak być normalna). , rozkład ten jest również nieznany. Znany jest tylko on odchylenie standardoweσ=8. Dlatego chociaż nie możemy obliczyć prawdopodobieństw i skonstruować przedział ufności.

Jednak pomimo tego, że nie znamy dystrybucji czas osobna odpowiedź, wiemy, że wg CPT, rozkład próbek średni czas reakcji jest w przybliżeniu normalna(założymy, że warunki CPT są realizowane, ponieważ rozmiar próbki dość duży (n=25)) .

Ponadto, przeciętny rozkład ten jest równy średnia wartość dystrybucja pojedynczej odpowiedzi, tj. μ. A odchylenie standardowe tego rozkładu (σ/√n) można obliczyć ze wzoru =8/ROOT(25) .

Wiadomo również, że inżynier otrzymał ocena punktowa parametr μ równy 78 ms (X śr.). Dlatego teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwa, ponieważ znamy formę dystrybucji ( normalna) i jego parametry (X avg i σ/√n).

Inżynier chce wiedzieć oczekiwanie matematyczne rozkłady czasu odpowiedzi μ. Jak stwierdzono powyżej, to μ jest równe matematyczne oczekiwanie rozkładu próbki średniego czasu odpowiedzi. Jeśli użyjemy rozkład normalny N(X avg; σ/√n), to pożądane μ będzie mieściło się w przedziale +/-2*σ/√n z prawdopodobieństwem około 95%.

Poziom istotności równa się 1-0,95=0,05.

Na koniec znajdźmy lewą i prawą granicę przedział ufności.
Lewa granica: =78-NORMALNY.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Prawa granica: =78+NORMALNY.ROOT.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136

Lewa granica: =NORMALNY.OBRÓT(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Prawa granica: =NORMALNY.OBROT(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))

Odpowiedź: przedział ufności Na Poziom ufności 95% i σ=8msek równa się 78+/-3,136 ms.

W przykładowy plik na arkuszu Sigma wiadomo, stworzono formularz do obliczeń i konstrukcji dwustronne przedział ufności za dowolne próbki z danym σ i poziom znaczenia.

Funkcja UFNOŚĆ.NORMALNA().

Jeśli wartości próbki są w zasięgu B20:B79 , A poziom istotności równy 0,05; następnie formuła MS EXCEL:
=ŚREDNIA(B20:B79)-NORMA UFNOŚCI(0,05;σ; LICZBA(B20:B79))
zwróci lewą granicę przedział ufności.

Ten sam limit można obliczyć korzystając ze wzoru:
=ŚREDNIA(B20:B79)-NORMAL.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(LICZBA(B20:B79))

Notatka: Funkcja CONFIDENCE.NORM() pojawiła się w MS EXCEL 2010. We wcześniejszych wersjach MS EXCEL używana była funkcja TRUST().

Przedział ufności dla oczekiwań matematycznych - jest to przedział obliczony na podstawie danych, który ze znanym prawdopodobieństwem zawiera matematyczne oczekiwanie populacji ogólnej. Naturalnym oszacowaniem oczekiwania matematycznego jest średnia arytmetyczna jego zaobserwowanych wartości. Dlatego podczas całej lekcji będziemy używać terminów „średnia” i „wartość średnia”. W przypadku problemów związanych z obliczaniem przedziału ufności najczęściej wymagana jest odpowiedź w stylu: „Przedział ufności średniej liczby [wartości w konkretnym problemie] wynosi od [mniejsza wartość] do [większa wartość]”. Korzystając z przedziału ufności, można ocenić nie tylko wartości średnie, ale także wagę właściwą określonej cechy populacji ogólnej. Na lekcji omawiane są wartości średnie, rozrzut, odchylenie standardowe i błąd, dzięki którym dotrzemy do nowych definicji i wzorów Charakterystyka próby i populacji .

Punktowe i przedziałowe oszacowanie średniej

Jeżeli średnią wartość populacji szacuje się liczbą (punktem), to za oszacowanie nieznanej średniej wartości populacji przyjmuje się konkretną średnią, obliczoną z próby obserwacji. W tym przypadku wartość średniej próby – zmiennej losowej – nie pokrywa się ze średnią wartością populacji ogólnej. Dlatego też, wskazując średnią próbki, należy jednocześnie wskazać błąd próbkowania. Miarą błędu próbkowania jest błąd standardowy, który wyraża się w tych samych jednostkach co średnia. Dlatego często stosuje się następującą notację: .

Jeżeli oszacowanie średniej trzeba wiązać z pewnym prawdopodobieństwem, to interesujący w populacji parametr należy szacować nie jedną liczbą, ale przedziałem. Przedział ufności to przedział, w którym z pewnym prawdopodobieństwem P znaleziono wartość szacowanego wskaźnika populacji. Przedział ufności, w którym jest to prawdopodobne P = 1 - α znaleziona zostanie zmienna losowa, obliczona w następujący sposób:

,

α = 1 - P, który można znaleźć w dodatku do niemal każdej książki o statystyce.

W praktyce średnia i wariancja populacji nie są znane, dlatego wariancję populacji zastępuje się wariancją z próby, a średnią z populacji – średnią z próby. Zatem przedział ufności w większości przypadków oblicza się w następujący sposób:

.

Do oszacowania średniej populacji można zastosować wzór na przedział ufności

• znane jest odchylenie standardowe populacji;
• lub odchylenie standardowe populacji jest nieznane, ale wielkość próby jest większa niż 30.

Średnia z próby jest obiektywnym oszacowaniem średniej populacji. Z kolei wariancja próbki nie jest obiektywnym oszacowaniem wariancji populacji. Aby uzyskać obiektywne oszacowanie wariancji populacji we wzorze na wariancję próbki, wielkość próby N należy zastąpić N-1.

Przykład 1. Ze 100 losowo wybranych kawiarni w pewnym mieście zebrano informację, że średnia liczba pracowników w nich wynosi 10,5 przy odchyleniu standardowym 4,6. Określ 95% przedział ufności dla liczby pracowników kawiarni.

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Zatem 95% przedział ufności dla średniej liczby pracowników kawiarni wahał się od 9,6 do 11,4.

Przykład 2. Dla próby losowej z populacji 64 obserwacji wyliczono następujące sumaryczne wartości:

suma wartości w obserwacjach,

suma kwadratów odchyleń wartości od średniej .

Oblicz 95% przedział ufności dla oczekiwań matematycznych.

Obliczmy odchylenie standardowe:

,

Obliczmy średnią wartość:

.

Podstawiamy wartości do wyrażenia przedziału ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Otrzymujemy:

Zatem 95% przedział ufności dla oczekiwań matematycznych tej próbki wahał się od 7,484 do 11,266.

Przykład 3. Dla losowej próby populacji składającej się ze 100 obserwacji obliczona średnia wynosi 15,2, a odchylenie standardowe wynosi 3,2. Oblicz 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej, a następnie 99% przedział ufności. Jeśli moc próbki i jej zmienność pozostaną niezmienione, a współczynnik ufności wzrośnie, czy przedział ufności zwęży się czy rozszerzy?

Podstawiamy te wartości do wyrażenia przedziału ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Otrzymujemy:

.

Zatem 95% przedział ufności dla średniej tej próby wahał się od 14,57 do 15,82.

Ponownie podstawiamy te wartości do wyrażenia przedziału ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,01 .

Otrzymujemy:

.

Zatem 99% przedział ufności dla średniej tej próby wahał się od 14,37 do 16,02.

Jak widzimy, wraz ze wzrostem współczynnika ufności wzrasta również wartość krytyczna standardowego rozkładu normalnego, w związku z czym punkty początkowe i końcowe przedziału znajdują się dalej od średniej, a tym samym wzrasta przedział ufności dla oczekiwań matematycznych .

Punktowe i przedziałowe szacunki ciężaru właściwego

Udział jakiegoś atrybutu próbki można interpretować jako punktowe oszacowanie udziału P o tej samej charakterystyce w populacji ogólnej. Jeżeli wartość tę trzeba powiązać z prawdopodobieństwem, należy obliczyć przedział ufności ciężaru właściwego P charakterystyczne w populacji z prawdopodobieństwem P = 1 - α :

.

Przykład 4. W pewnym mieście jest dwóch kandydatów A I B kandydują na burmistrza. W badaniu losowym wzięło udział 200 mieszkańców miasta, z czego 46% odpowiedziało, że oddałoby głos na danego kandydata A, 26% - dla kandydata B a 28% nie wie, na kogo będzie głosować. Określ 95% przedział ufności dla odsetka mieszkańców miasta popierających kandydata A.

Cel usługi. Korzystając z tej usługi możesz określić:

• przedział ufności dla średniej ogólnej, przedział ufności dla wariancji;
• przedział ufności dla odchylenia standardowego, przedział ufności dla udziału ogólnego;

Przykład nr 1. W kołchozowym stadzie liczącym 1000 owiec 100 owiec zostało poddanych selektywnemu strzyżeniu kontrolnemu. W rezultacie ustalono średni strzyżenie wełny na owcę na poziomie 4,2 kg. Wyznaczyć z prawdopodobieństwem 0,99 średni błąd kwadratowy próbki przy wyznaczaniu średniego strzyżenia wełny na owcę oraz granice, w jakich mieści się wartość strzyżenia, jeżeli wariancja wynosi 2,5. Próbka nie jest powtarzalna.
Przykład nr 2. Z partii importowanych produktów na placówce Moskiewskiego Północnego Urzędu Celnego pobrano 20 próbek produktu „A” w drodze losowego, powtarzanego pobierania próbek. W wyniku badania ustalono średnią wilgotność produktu „A” w próbce, która okazała się równa 6% przy odchyleniu standardowym 1%.
Wyznacz z prawdopodobieństwem 0,683 granice średniej wilgotności produktu w całej partii importowanych produktów.
Przykład nr 3. Badanie przeprowadzone na 36 studentach wykazało, że średnia liczba podręczników przeczytanych przez nich w ciągu roku akademickiego wyniosła 6. Zakładając, że liczba podręczników przeczytanych przez studenta w semestrze ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym równym 6, znajdź : A) z wiarygodnością oszacowania przedziałowego 0,99 dla matematycznego oczekiwania tej zmiennej losowej; B) z jakim prawdopodobieństwem można powiedzieć, że obliczona na podstawie tej próby średnia liczba podręczników przeczytanych przez studenta w semestrze będzie odbiegać od oczekiwań matematycznych w wartości bezwzględnej nie więcej niż o 2.

Klasyfikacja przedziałów ufności

Według typu próbki:

1. Przedział ufności dla nieskończonej próbki;
2. Przedział ufności dla próbki końcowej;

Obliczanie średniego błędu próbkowania dla losowego doboru próby

Wzory średniego błędu próbkowania
ponowny wybór		powtórzyć wybór
dla przeciętnego	za udział	dla przeciętnego	za udział

Wzory do obliczania liczebności próby przy zastosowaniu metody doboru czysto losowego