Jak rozwiązywać nierówności logarytmiczne o różnych podstawach. Wszystko o nierównościach logarytmicznych

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z równaniami logarytmicznymi i teraz wiemy, czym są i jak je rozwiązać. Dzisiejsza lekcja poświęcona będzie badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównością?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, w których zmienna pojawia się pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to nierówność, w której jej nieznana wartość, jak w równaniu logarytmicznym, pojawi się pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne mają postać:

gdzie f(x) i g(x) to pewne wyrażenia zależne od x.

Spójrzmy na to na przykładzie: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że po rozwiązaniu są one podobne do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy także porównać podstawę logarytmu z jednością;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności ze względu na zmianę, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale ty i ja rozważaliśmy podobne aspekty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Zwróćmy teraz uwagę na dość istotną różnicę. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną dziedzinę definicji, dlatego przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy wziąć pod uwagę zakres wartości dopuszczalnych (ADV).

Oznacza to, że należy wziąć pod uwagę, że rozwiązując równanie logarytmiczne, ty i ja możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie będzie działać w ten sposób, ponieważ przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Ponadto warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z liczb rzeczywistych, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczby 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, należy zastosować następującą notację: a >0. W tym przypadku zarówno suma, jak i iloczyn tych liczb również będą dodatnie.

Główną zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze jest to, że jest ona równoważna podanej. Ponadto uzyskaliśmy również nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją inną, która ma prostszą formę itp.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to nierówności takie są równoważne, pod warunkiem, że ich rozwiązania są zbieżne.

Wykonując zadania dotyczące rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1 to funkcja logarytmiczna rośnie, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom stosowanym przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wszyscy wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V – jest jednym z następujących znaków nierówności:<,>, ≤ lub ≥.

Gdy podstawa danego logarytmu jest większa niż jeden (a>1), dokonując przejścia od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności zostaje zachowany i nierówność będzie miała postać:

co jest równoważne temu systemowi:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to równoważne temu systemowi:

Przyjrzyjmy się kolejnym przykładom rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązywanie przykładów

Ćwiczenia. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Rozwiązywanie zakresu wartości dopuszczalnych.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy wymyślić:

Przejdźmy teraz do konwersji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawa logarytmu wynosi 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I z tego wynika, że ​​uzyskany przez nas przedział w całości należy do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź jaką otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Najpierw skoncentruj całą swoją uwagę i staraj się nie popełnić błędów podczas wykonywania przekształceń podanych w tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy unikać rozszerzania i kurczenia się nierówności, co może prowadzić do utraty lub nabycia obcych rozwiązań.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, trzeba nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między pojęciami takimi jak system nierówności i zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DL.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie właściwości funkcji elementarnych i dobrze rozumieć ich znaczenie. Do takich funkcji należą nie tylko logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., Jednym słowem wszystkie te, których uczyłeś się podczas szkolnej algebry.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych, nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że będziesz ostrożny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby uniknąć problemów w rozwiązywaniu nierówności, należy jak najwięcej ćwiczyć przy rozwiązywaniu różnych zadań, a jednocześnie pamiętać o podstawowych metodach rozwiązywania takich nierówności i ich układach. Jeśli nie uda Ci się rozwiązać nierówności logarytmicznej, powinieneś dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich ponownie w przyszłości.

Praca domowa

Aby lepiej zrozumieć temat i utrwalić przerobiony materiał, rozwiąż następujące nierówności:

Często przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych pojawiają się problemy ze zmienną podstawą logarytmu. Zatem nierówność formy

jest standardową nierównością szkolną. Z reguły, aby go rozwiązać, stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów:

Wadą tej metody jest konieczność rozwiązania siedmiu nierówności, nie licząc dwóch układów i jednej populacji. Już przy tych funkcjach kwadratowych rozwiązanie populacji może zająć dużo czasu.

Można zaproponować alternatywny, mniej czasochłonny sposób rozwiązania tej nierówności standardowej. Aby to zrobić, bierzemy pod uwagę następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. Niech na zbiorze X istnieje funkcja ciągła rosnąca. Wtedy na tym zbiorze znak przyrostu funkcji będzie pokrywał się ze znakiem przyrostu argumentu, tj. , Gdzie .

Uwaga: jeśli funkcja ciągła malejąca na zbiorze X, to .

Wróćmy do nierówności. Przejdźmy do logarytmu dziesiętnego (możesz przejść do dowolnego o stałej podstawie większej niż jeden).

Teraz możesz skorzystać z twierdzenia, zauważając przyrost funkcji w liczniku i w mianowniku. Więc to prawda

W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi zmniejsza się w przybliżeniu o połowę, co oszczędza nie tylko czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i nieostrożnych.

Przykład 1.

Porównując z (1) znajdujemy , , .

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 2.

Porównując z (1) znajdujemy , , .

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 3.

Ponieważ lewa strona nierówności jest funkcją rosnącą jako i , wtedy odpowiedzi będzie wiele.

Liczne przykłady zastosowania Tematu 1 można łatwo rozszerzyć, biorąc pod uwagę Temat 2.

Niech na planie X funkcje , , , są zdefiniowane i na tym ustawiają znaki i pokrywają się, tj. , wtedy będzie sprawiedliwie.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przy standardowym podejściu przykład rozwiązuje się według następującego schematu: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają różne znaki. Te. rozważany jest zbiór dwóch systemów nierówności, w których, jak wskazano na początku, każda nierówność rozkłada się na siedem kolejnych.

Jeśli weźmiemy pod uwagę twierdzenie 2, to każdy z czynników, biorąc pod uwagę (2), można zastąpić inną funkcją o tym samym znaku w tym przykładzie O.D.Z.

Sposób zastąpienia przyrostu funkcji przyrostem argumentu, uwzględniając Twierdzenie 2, okazuje się bardzo wygodny przy rozwiązywaniu standardowych problemów C3 Unified State Examination.

Przykład 6.

Przykład 7.

. Oznaczmy . Dostajemy

. Należy pamiętać, że zamiana oznacza: . Wracając do równania, otrzymujemy .

Przykład 8.

W stosowanych przez nas twierdzeniach nie ma ograniczeń co do klas funkcji. W tym artykule, jako przykład, twierdzenia zostały zastosowane do rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Poniższe kilka przykładów wykaże, że metoda rozwiązywania innych typów nierówności jest obiecująca.

Spośród całej gamy nierówności logarytmicznych osobno bada się nierówności o zmiennej podstawie. Rozwiązuje się je za pomocą specjalnej formuły, której z jakiegoś powodu rzadko uczy się w szkole:

log k (x) fa (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Zamiast checkboxa „∨” można wstawić dowolny znak nierówności: mniej więcej. Najważniejsze jest to, że w obu nierównościach znaki są takie same.

W ten sposób pozbywamy się logarytmów i sprowadzamy problem do nierówności racjonalnej. To drugie jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania, ale po odrzuceniu logarytmów mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki. Aby je odciąć, wystarczy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. Jeśli zapomniałeś ODZ logarytmu, zdecydowanie zalecam powtórzenie tego - zobacz „Co to jest logarytm”.

Wszystko, co dotyczy zakresu dopuszczalnych wartości, należy zapisać i rozwiązać osobno:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Te cztery nierówności tworzą system i muszą być spełnione jednocześnie. Gdy zostanie znaleziony zakres dopuszczalnych wartości, pozostaje tylko przeciąć go rozwiązaniem nierówności racjonalnej - i odpowiedź jest gotowa.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Najpierw zapiszmy ODZ logarytmu:

Dwie pierwsze nierówności są spełnione automatycznie, ale ostatnią trzeba będzie zapisać. Ponieważ kwadrat liczby wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero, mamy:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Okazuje się, że ODZ logarytmu to wszystkie liczby z wyjątkiem zera: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz rozwiązujemy główną nierówność:

Dokonujemy przejścia od nierówności logarytmicznej do nierówności racjonalnej. Oryginalna nierówność ma znak „mniej niż”, co oznacza, że ​​wynikająca z niej nierówność również musi mieć znak „mniej niż”. Mamy:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zera tego wyrażenia to: x = 3; x = −3; x = 0. Ponadto x = 0 jest pierwiastkiem drugiej krotności, co oznacza, że ​​przy przejściu przez nią znak funkcji się nie zmienia. Mamy:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Zbiór ten jest całkowicie zawarty w ODZ logarytmu, co oznacza, że ​​jest to odpowiedź.

Przeliczanie nierówności logarytmicznych

Często pierwotna nierówność różni się od powyższej. Można to łatwo skorygować, stosując standardowe zasady pracy z logarytmami - patrz „Podstawowe właściwości logarytmów”. Mianowicie:

1. Dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm o danej podstawie;
2. Sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zastąpić jednym logarytmem.

Osobno chciałbym przypomnieć o zakresie dopuszczalnych wartości. Ponieważ w pierwotnej nierówności może być kilka logarytmów, konieczne jest znalezienie VA każdego z nich. Zatem ogólny schemat rozwiązywania nierówności logarytmicznych jest następujący:

1. Znajdź VA każdego logarytmu uwzględnionego w nierówności;
2. Zmniejsz nierówność do standardowej, korzystając ze wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów;
3. Rozwiąż powstałą nierówność, korzystając ze schematu podanego powyżej.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Znajdźmy dziedzinę definicji (DO) pierwszego logarytmu:

Rozwiązujemy metodą przedziałową. Znajdowanie zer licznika:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Następnie - zera mianownika:

x - 1 = 0;
x = 1.

Na strzałce współrzędnych zaznaczamy zera i znaki:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logarytm będzie miał tę samą wartość VA. Jeśli nie wierzysz, możesz to sprawdzić. Teraz przekształcamy drugi logarytm tak, aby podstawa wynosiła dwa:

Jak widać, trójki u podstawy i przed logarytmem zostały zmniejszone. Mamy dwa logarytmy o tej samej podstawie. Dodajmy je:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Otrzymaliśmy standardową nierówność logarytmiczną. Pozbywamy się logarytmów za pomocą wzoru. Ponieważ pierwotna nierówność zawiera znak „mniej niż”, wynikowe wyrażenie wymierne również musi być mniejsze od zera. Mamy:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Dostaliśmy dwa zestawy:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odpowiedź kandydata: x ∈ (−1; 3).

Pozostaje przeciąć te zbiory - otrzymujemy prawdziwą odpowiedź:

Nas interesuje przecięcie zbiorów, dlatego wybieramy przedziały, które są zacienione na obu strzałkach. Otrzymujemy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - wszystkie punkty są przebite.

Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od, z wyjątkiem dwóch rzeczy.

Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, należy podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.

Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1$, to przy przejściu od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych znak nierówności zostaje zachowany, natomiast jeśli jest mniejszy niż 1$, to zmienia się na przeciwny .

Po drugie, rozwiązaniem dowolnej nierówności jest przedział, dlatego na końcu rozwiązywania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest utworzenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.

Ćwiczyć.

Rozwiążmy nierówności:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Podstawą logarytmu jest $2>1$, więc znak się nie zmienia. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )