System kolejkowy, jego odmiany i podstawy naukowe. Modele systemów kolejkowych

Najprostszy przepływ i zastosowanie problemów praktycznych.

Niestabilne przepływy Poissona.

Przepływy z ograniczonymi konsekwencjami (przepływy Palmy).

Wątki odzyskiwania.

1. Wstęp.

1.1. Odniesienie historyczne.

Większość systemów, z którymi ma do czynienia człowiek, ma charakter stochastyczny. Próba ich matematycznego opisu za pomocą modeli deterministycznych prowadzi do zgrubienia prawdziwego stanu rzeczy. Rozwiązując problemy analizy i projektowania takich systemów, należy wziąć pod uwagę stan rzeczy, kiedy Losowość jest decydująca dla procesów zachodzących w systemach. Jednocześnie zaniedbywanie losowości i próba „wciśnięcia” rozwiązania wymienionych problemów w ramy deterministyczne prowadzi do wypaczeń i błędów we wnioskach i praktycznych zaleceniach.

Pierwsze problemy teorii systemów kolejkowych (TSMS) rozważał pracownik Kopenhaskiej Spółki Telefonicznej, duński naukowiec A.K. Erlanga (1878-1929) w latach 1908-1922. Zadania te zostały powołane do życia z chęci usprawnienia pracy sieci telefonicznej i opracowania metod, które pozwolą na proaktywne podnoszenie jakości obsługi klientów w zależności od liczby wykorzystywanych urządzeń. Okazało się, że sytuacje powstające w centralach telefonicznych są typowe nie tylko dla komunikacji telefonicznej. Eksploatacja lotnisk, portów morskich i rzecznych, sklepów, klas terminali, elektronicznych systemów komputerowych, stacji radarowych itp. można opisać w ramach TSMO.

1.2. Przykłady systemów kolejkowych. Analiza zadań TSMO.

Przykład 1. Komunikacja telefoniczna w czasach Erlanga była centralą telefoniczną podłączoną do dużej liczby abonentów. Operatorzy telefoniczni stacji łączyli ze sobą numery telefonów w miarę przychodzących połączeń.

Problem: Ilu operatorów telefonicznych (zakładając, że są zatrudnieni w pełnym wymiarze czasu pracy) powinno pracować na stacji, aby utrata żądań była minimalna.

Przykład 2. System pogotowia ratunkowego danego obszaru miejskiego składa się z punktu (w którym przyjmowane są prośby o realizację), określonej liczby ambulansów i kilku zespołów medycznych.

Zadanie: Ustalić liczbę lekarzy, personelu pomocniczego i samochodów tak, aby czas oczekiwania na wezwanie był dla pacjentów optymalny, przy minimalizacji kosztów obsługi systemu i maksymalizacji jakości obsługi.

Przykład 3. Ważnym zadaniem jest organizacja transportu towarów drogą morską i rzeczną. W tym względzie szczególne znaczenie ma optymalne wykorzystanie statków i obiektów portowych.

Cel: Zapewnienie określonej wielkości transportu przy minimalnych kosztach. Jednocześnie skróć przestoje statku podczas operacji załadunku i rozładunku.

Przykład 4. System przetwarzania informacji zawiera kanał multipleksowy i kilka komputerów. Sygnały z czujników trafiają do kanału multipleksowego, gdzie są buforowane i wstępnie przetwarzane. Następnie udają się do komputera, gdzie kolejka jest minimalna.

Cel: Zapewnienie przyspieszenia przetwarzania sygnału dla danej całkowitej długości kolejki.

Przykład 5. Na ryc. 1.1. pokazuje schemat blokowy typowego systemu kolejkowego - przedsiębiorstwa naprawczego (na przykład naprawa komputerów PC). Kolejność jego działania jest jasna ze schematu i nie wymaga objaśnień.

Rysunek 1.1.

Nietrudno przytoczyć wiele innych przykładów z różnych dziedzin działalności.

Charakterystyczne dla takich zadań jest:

1. warunki „podwójnej” losowości –

• moment otrzymania zamówienia na usługę jest losowy (w centrali telefonicznej, na stacji pogotowia ratunkowego, na wejściu przetwórcy, losowy jest czas przybycia statku morskiego do załadunku itp.);
• Długość trwania usługi jest losowa.

2) problem plagi naszych czasów - kolejki: statki przed śluzami, samochody przed ladami, zadania na wejściu procesorów kompleksu komputerowego itp.

AK Erlang zwrócił uwagę na fakt, że QS można podzielić na dwa typy, a mianowicie: systemy z oczekiwaniem i systemy ze stratami. W pierwszym przypadku wniosek otrzymany na wejście systemowe „oczekuje” na realizację; w drugim zostaje odrzucony ze względu na zajęty kanał serwisowy i przepada dla QS.

W przyszłości zobaczymy, że do klasycznych problemów Erlanga dodane zostaną nowe problemy:

Rzeczywiste systemy, z którymi trzeba mieć do czynienia w praktyce, są zazwyczaj bardzo złożone i obejmują szereg etapów (etapów) konserwacji (rysunek 1.1.). Ponadto na każdym etapie może zaistnieć możliwość niespełnienia tego warunku lub może zaistnieć sytuacja usługi priorytetowej w stosunku do innych wymagań. W takim przypadku poszczególne jednostki serwisowe mogą przestać działać (w celu naprawy, regulacji itp.) lub można podłączyć dodatkowe środki. Może zaistnieć sytuacja, w której odrzucone wymagania zostaną zwrócone do systemu (może się to zdarzyć w systemach informatycznych).

1.3. Pojęcia, definicje, terminologia.

Wszystkie QS mają dobrze zdefiniowaną strukturę, pokazaną na ryc. 1.2

Ryc. 1.2

Definicje, terminy

• Przepływ to sekwencja zdarzeń. Przepływ wymagań dotyczących usług nazywany jest przepływem popytu.
• Strumień żądań wchodzących do systemu obsługi nazywany jest przepływem przychodzącym.
• Strumień obsługiwanych żądań nazywany jest strumieniem wyjściowym.
• Zbiór kolejek i urządzeń usługowych (kanałów) nazywany jest systemem usług.
• Każde żądanie dociera własnym kanałem, gdzie przechodzi operację serwisową.
• Każda QS ma pewne zasady dotyczące kolejkowania i zasad dyscypliny usług.

1.4. Klasyfikacja SMO.

1.4.1. Ze względu na charakter źródła wymagań wyróżnia się systemy QS o skończonej i nieskończonej liczbie wymagań wejściowych.

W pierwszym przypadku w systemie krąży skończona, zwykle stała liczba żądań, które po zakończeniu obsługi są zwracane do źródła.

W drugim przypadku źródło generuje nieskończoną liczbę żądań.

Przykład 1. Warsztat ze stałą liczbą maszyn lub określoną liczbą komputerów PC w klasie terminalowej, wymagający stałych przeglądów zapobiegawczych i napraw.

Przykład 2. Internet z niekończącymi się żądaniami przy wejściu, w każdym sklepie, u fryzjera itp.

Pierwszy typ QS nazywa się zamkniętym, drugi - otwartym.

Wyróżnia się SMO:

1.4.2. Według dyscypliny służby:

1. Kto pierwszy, ten lepszy;
2. obsługa w kolejności losowej (zgodnie z danym prawem dystrybucyjnym);
3. usługa priorytetowa.

1.4.3. ze względu na charakter organizacji:

1. z awariami;
2. z oczekiwaniami;
3. z ograniczeniem oczekiwania.

W pierwszym przypadku aplikacja zostaje odrzucona, gdy kanał jest zajęty. W drugim przypadku zostaje on umieszczony w kolejce i czeka na zwolnienie kanału. W trzecim przypadku wprowadzane są ograniczenia dotyczące czasu oczekiwania.

1.4.4. Według liczby jednostek usługowych:

1. pojedynczy kanał;
2. dwukanałowy;
3. wielokanałowy.

1.4.5. Według liczby etapów (faz) usługi - jednofazowe i wielofazowe. (Przykładem wielofazowego systemu kolejkowego może być dowolna linia produkcyjna).

1.4.6. Według właściwości kanału: na jednorodne, gdy kanały mają tę samą charakterystykę, i na niejednorodne w przeciwnym razie.

Zastosowanie różnych metod matematycznych do formalizacji. Nacisk na złożony system - nieprzewidywalny. Przewoźnik niepewność jest osobą.

Typowym przykładem problemów stochastycznych (losowych, probabilistycznych) są modele systemów kolejkowych.

QS są wszechobecne. Należą do nich sieci telefoniczne, stacje benzynowe, punkty usług konsumenckich, kasy biletowe, wydarzenia handlowe itp.

Z punktu widzenia modelowania procesu kolejkowania sytuacje, w których tworzą się kolejki wniosków (zapotrzebowań) na usługę, wyglądają następująco. Po dotarciu do systemu obsługującego żądanie dołączane jest do kolejki innych (wcześniej otrzymanych) żądań. Kanał serwisowy wybiera żądanie spośród znajdujących się w kolejce, aby rozpocząć jego obsługę. Po zakończeniu procedury obsługi kolejnego żądania kanał serwisowy rozpoczyna obsługę kolejnego żądania, jeśli takie znajduje się w bloku oczekującym. Cykl pracy tego rodzaju systemu QS powtarza się wielokrotnie w ciągu całego okresu eksploatacji systemu serwisowego. Zakłada się, że przejście systemu do obsługi kolejnego żądania po zakończeniu obsługi poprzedniego żądania następuje natychmiastowo, w losowych momentach.

Przykładami QS mogą być:

stacje obsługi pojazdów;

stacje naprawy samochodów;

firmy audytorskie itp.

Twórcą teorii kolejek, w szczególności teorii kolejek, jest słynny duński naukowiec A.K. Erlang (1878-1929), który badał procesy obsługi w centralach telefonicznych.

Systemy, w których odbywają się procesy usługowe, nazywane są systemami kolejkowymi (QS).

Aby opisać system kolejkowy, należy określić:

- przepływ wejściowy aplikacji;

- dyscyplina służby;

- czas naprawy

- liczba kanałów obsługi.

Strumień wejściowy wymagania (zastosowania) opisuje się poprzez określenie ich jako probabilistycznych prawo dystrybucyjne momenty, w których wymagania trafiają do systemu, oraz ilość wymagań w każdym przybyciu.

Podczas ustawiania dyscypliny usługowe(DO) należy opisać zasady kolejkowania żądań i obsługi ich w systemie. W takim przypadku długość kolejki może być ograniczona lub nieograniczona. W przypadku ograniczeń długości kolejki wniosek otrzymany przy wejściu do QS zostaje odrzucony. Najczęściej stosowane DO są zdefiniowane przez następujące zasady:

kto pierwszy ten lepszy;

Przybył ostatni, pierwszy do obsłużenia; (pudełko na piłki tenisowe, stos w technologii)

losowy wybór aplikacji;

selekcja wniosków w oparciu o kryteria priorytetowe.

Czas naprawyżądania do QS jest zmienną losową. Najbardziej powszechnym prawem dystrybucji jest prawo wykładnicze.  - szybkość obsługi. =liczba zgłoszeń serwisowych/jednostka. czas.

Kanały usług, mogą być ułożone równolegle lub szeregowo. Przy sekwencyjnym ułożeniu kanałów każde żądanie jest obsługiwane sekwencyjnie na wszystkich kanałach. Przy równoległym ułożeniu kanałów konserwacja odbywa się na wszystkich kanałach jednocześnie, gdy tylko staną się dostępne.

Uogólnioną strukturę QS pokazano na ryc.

Temat Teoria kolejkowania polega na ustaleniu związku pomiędzy czynnikami determinującymi funkcjonalność QS a efektywnością jego funkcjonowania.

Problemy projektowania QS.

Do zadań określenia charakterystyki struktury QS należy zadanie doboru liczby kanałów obsługi (podstawowe elementy (F I)), zadanie określenia sposobu łączenia kanałów (zestaw elementów łączących (Hj)), a także problem określenia przepustowości kanału.

1). Wybór konstrukcji. Jeżeli kanały działają równolegle, problem wyboru Str sprowadza się do określenia liczby kanałów w części obsługującej na podstawie warunku zapewnienia funkcjonalności QS. (Chyba, że ​​kolejka rośnie w nieskończoność).

Należy pamiętać, że przy ustalaniu liczby kanałów systemowych, w przypadku ich równoległego ułożenia, należy zwrócić uwagę stan sprawności systemu. Oznaczmy:  - średnia liczba wniosków otrzymanych w jednostce czasu, tj. natężenie przepływu wejściowego;  – średnia liczba zrealizowanych wniosków w jednostce czasu, tj. intensywność usług; S - liczba kanałów obsługi. Następnie zostanie zapisany warunek działania QS

Lub
. Spełnienie tego warunku pozwala obliczyć dolną granicę liczby kanałów.

Jeśli
, system nie radzi sobie z kolejką. Kolejka rośnie niemiłosiernie.

2). Konieczne jest określenie kryterium efektywności działania QS uwzględniający koszty zmarnowanego czasu zarówno po stronie aplikacji, jak i części serwisowej.

Za wskaźniki efektywności funkcjonowania QS uważa się następujące trzy główne grupy wskaźników:

1. Wskaźniki efektywności stosowania QS.

Bezwzględna wydajność QS to średnia liczba żądań, które QS może obsłużyć w jednostce czasu.

Względna wydajność QS to stosunek średniej liczby wniosków obsłużonych przez QS w jednostce czasu do średniej liczby wniosków otrzymanych w tym czasie.

Średni czas trwania zatrudnienia OZZ.

Stopień wykorzystania QS to średni odsetek czasu, w którym QS jest zajęty obsługą żądań.

2. Wskaźniki jakości zgłoszeń serwisowych.

Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce.

Średni czas przebywania aplikacji w CMO.

Prawdopodobieństwo odmowy obsługi żądania bez oczekiwania.

Prawdopodobieństwo, że otrzymany wniosek zostanie natychmiast przyjęty do obsługi.

Prawo rozkładu czasu oczekiwania na wniosek w kolejce.

Prawo rozkładu czasu przebywania aplikacji w QS.

Średnia liczba aplikacji w kolejce.

Średnia liczba wniosków w CMO.

3. Wskaźniki efektywności funkcjonowania pary „OZM – konsument”.

Wybierając kryterium efektywności działania QS, należy wziąć pod uwagę dualne podejście do rozpatrywania systemów kolejkowych. Na przykład na pracę supermarketu, takiego jak CMO, można spojrzeć z przeciwnych stron. Z jednej strony tradycyjnie przyjęte, że kupujący oczekujący w kolejce do kasy reprezentuje żądanie obsługi, a kasjer jest kanałem obsługi. Natomiast kasjera oczekującego na klienta można uznać za żądanie usługi, a nabywcę za urządzenie usługowe zdolne do zaspokojenia żądania, tj. udaj się do kasy i zatrzymaj przymusowy przestój kasjera. (tradycyjnie - kupujący > niż kasjerzy, jeśli kasjerzy > niż kupujący, czekają na kupujących).

Z
Biorąc to pod uwagę, wskazane jest zminimalizowanie obu części QS jednocześnie.

Zastosowanie takiego dualnego podejścia zakłada konieczność uwzględnienia przy formułowaniu kryterium efektywności nie tylko wskaźników wymienionych powyżej oddzielnie, ale jednocześnie kilku wskaźników odzwierciedlających interesy zarówno obsługującego, jak i obsługiwanego podsystemu QS. Wykazano na przykład, że najważniejszym kryterium efektywności w problemach z kolejkowaniem jest z jednej strony całkowity czas, jaki klient spędza w kolejce, a z drugiej – czas bezczynności kanałów obsługi.

Klasyfikacja systemów kolejkowych

1. Ze względu na charakter usługi wyróżnia się następujące rodzaje QS:

1.1. Systemy oczekujące lub systemy kolejkowe. Zgłoszenia, które trafiają do systemu i nie są od razu przyjęte do obsługi, gromadzą się w kolejce. Jeśli kanały są wolne, żądanie jest obsługiwane. Jeżeli w chwili otrzymania żądania wszystkie kanały są zajęte, kolejne żądanie zostanie obsłużone po zrealizowaniu poprzedniego. Taki system nazywa się w pełni dostępnym (z nieograniczoną kolejką).

Istnieją systemy z autonomiczną konserwacją, w których konserwacja rozpoczyna się w określonych momentach;

Systemy z ograniczoną kolejką. (naprawa w garażu)

Systemy z awariami. Wszystkie wnioski, które napłyną w momencie ich doręczenia, zostaną odrzucone. (OWT)

Systemy z grupowym przepływem danych wejściowych i obsługą grupową. W takich systemach żądania docierają grupami w określonych momentach, a obsługa również odbywa się w grupach.

2. Ze względu na liczbę kanałów obsługi QS dzieli się na następujące grupy.

Jednokanałowy SMO.

Wielokanałowy QS. Obsługa kolejnego zgłoszenia może rozpocząć się przed zakończeniem obsługi poprzedniego zgłoszenia. Każdy kanał pełni funkcję niezależnego urządzenia serwisowego.

3. Ze względu na zakres obsługiwanych obiektów wyróżnia się dwa typy.

Zamknięte QS. Zamknięty system kolejkowy to system kolejkowy, w którym obsłużone żądania mogą zostać zwrócone do systemu i ponownie wprowadzone do obsługi. Przykładami zamkniętego QS są warsztaty naprawcze i kasy oszczędnościowe.

Otwórz SMO.

4. Ze względu na liczbę etapów obsługi wyróżnia się jednofazowe i wielofazowe systemy QS.

Jednofazowy QS to jednorodne systemy, które wykonują tę samą operację serwisową.

Polifazowy QS to systemy, w których kanały usługowe są ułożone sekwencyjnie i realizują różne operacje serwisowe. Przykładem wielofazowego QS są stacje obsługi samochodów.

Podana klasyfikacja QS jest warunkowa. W praktyce najczęściej QS działają jako systemy mieszane. Na przykład żądania czekają na rozpoczęcie usługi do pewnego momentu, po którym system zaczyna działać jak system z awariami.

Podstawy modelowania matematycznego

procesy społeczno-gospodarcze

Wykład 3

Temat wykładu: „Modele systemów kolejkowych”

1. Modele struktur zarządzania organizacją (OMS).

2. Systemy i modele kolejkowe. Klasyfikacja systemów kolejkowych (QS).

3.Modele SMO. Wskaźniki jakości funkcjonowania QS.

1. MODELE STRUKTURY ZARZĄDZANIA ORGANIZACYJNEGO (OMS).

Wiele problemów ekonomicznych wiąże się z systemami kolejkowymi (QS), czyli z takimi systemami, w których z jednej strony powstają masowe żądania (wymagania) na wykonanie jakichkolwiek usług, z drugiej strony - żądania te są zaspokajane.

QS obejmuje następujące elementy: źródło wymagań, przychodzący przepływ wymagań, kolejkę, urządzenia obsługujące (kanały usług), wychodzący przepływ wymagań. Badanie takich systemów odbywa się za pomocą teorii kolejek (QST).

Stosując metody teorii kolejek (QST) można rozwiązać wiele problemów związanych z badaniem procesów zachodzących w gospodarce. Zatem w organizacji handlu metody te pozwalają określić optymalną liczbę punktów sprzedaży detalicznej o danym profilu, liczbę sprzedawców, częstotliwość dostaw towarów i inne parametry. Innym typowym przykładem systemów kolejkowych mogą być magazyny lub bazy organizacji zaopatrzeniowych i dystrybucyjnych. A zadanie teorii kolejkowania w tym przypadku sprowadza się do ustalenia optymalnego stosunku liczby zgłoszeń serwisowych docierających do bazy do liczby urządzeń serwisowych, przy którym całkowite koszty utrzymania i straty z tytułu przestojów transportu byłyby minimalne. Teorię kolejkowania można zastosować także przy obliczaniu powierzchni pomieszczeń magazynowych, przy czym powierzchnię magazynową traktuje się jako urządzenie usługowe, a przyjazd pojazdów na rozładunek traktuje się jako wymóg.

Modele teorii kolejkowania wykorzystuje się także przy rozwiązywaniu szeregu problemów organizacji i racjonowania pracy oraz innych problemów społeczno-ekonomicznych. Przejście na rynek wymaga od wszystkich podmiotów gospodarczych zwiększenia niezawodności i efektywności działalności produkcyjnej, elastyczności i przeżywalności w odpowiedzi na dynamiczne zmiany w zewnętrznym otoczeniu biznesowym, ograniczenia rodzajów ryzyk i strat wynikających z spóźnionych i niekompetentnych decyzji zarządczych.

SYSTEMY OBSŁUGI KOLEJEK (QS) SĄ MODELAMI MATEMATYCZNYMI STRUKTURY ZARZĄDZANIA ORGANIZACYJNEGO (OCS).

STRUKTURY ZARZĄDZANIA ORGANIZACYJNEGO (OSS) są powołani do szybkiego monitorowania wahań rynkowych i podejmowania kompetentnych decyzji zarządczych w zależności od rozwijającej się sytuacji.

Staje się zatem jasne, że uwagę, jaką podmioty rynkowe (korporacje transnarodowe, przedsiębiorstwa przemysłowe, banki komercyjne, firmy, organizacje, małe przedsiębiorstwa itp.) przywiązują do wyboru efektywnie funkcjonujących struktur zarządzania organizacją (OMS).

Zamiast powszechnych w latach 90. XX w. systemów operacyjnych przedsiębiorstw (hierarchicznych, macierzowych, dualnych, równoległych itp.), dziś świat skutecznie wykorzystuje ALTERNATYWNE FORMY STRUKTURY WIELOFUNKCYJNYCH oparte na zasady samoorganizacji, adaptacji, autonomii poszczególnych jednostek z miękkimi powiązaniami między nimi.

Podobną strukturę posiada wiele wiodących firm zagranicznych, w skład których wchodzi wiele grup roboczych, pomiędzy którymi istnieją powiązania sieciowe. Ostatnio popularne są organizacje skupione na minimalizacji zużycia zasobów, posiadające jasno określoną formę horyzontalną, z koordynacją prowadzoną nie na zasadzie hierarchicznej, ale przez same grupy robocze, zorganizowane w sieć.

Alternatywnymi modelami kontrastującymi z modelami OSU tworzonymi w oparciu o logikę organizacyjną i ścisłe regulacje są: struktury rozmyte, bez poziomów hierarchicznych i podziałów strukturalnych, w oparciu o koordynację odpowiedzialności osobistej i profilowanie grup samorządowych o następujących cechach:

a) obecność stosunkowo niezależnych grup roboczych z udziałem przedstawicieli różnych działów, utworzonych w celu rozwiązywania konkretnych projektów i problemów, o dużej swobodzie działania i autonomii w zakresie koordynacji zadań i podejmowania decyzji;

b) eliminowanie sztywnych powiązań pomiędzy działami OSU poprzez wprowadzenie elastycznych relacji.

Nowoczesna koncepcja produkcji minimalizującej zasoby opiera się na podobnych zasadach: w takich przedsiębiorstwach grupy robocze o szerokich kompetencjach i większych możliwościach samorządności wykorzystuje się jako jednostki organizacyjne, których ostatecznym celem jest stworzenie rozsądnej, elastycznej organizacji pracy, opartej na samodzielnie działający performerzy, a nie na zsyntetyzowanych przez specjalistów strukturach racjonalnych; pracownicy oceniają pojawiające się problemy i identyfikują możliwości kontaktu ze specjalistami wewnątrz i na zewnątrz systemu. Personel samozarządzający kładzie główny nacisk na samoorganizację, zastępując wprowadzoną z zewnątrz sztywną, uporządkowaną strukturę (ustawioną od góry).

Skrajnym przypadkiem takiego podejścia jest utworzenie nieorganizacyjnej, stale „odmrożonej” struktury o następujących właściwościach:

Szeroka, kreatywna dyskusja na temat wszelkich przetworzonych procedur i sygnałów płynących z zewnątrz, bez uwzględnienia szablonowych rozwiązań i dotychczasowych doświadczeń;

Autonomiczna praca członków zespołu z samodzielną organizacją relacji tymczasowych i umów produkcyjnych pomiędzy partnerami w zakresie niezbędnym do rozwiązywania pojawiających się problemów.

Należy pamiętać, że nadmierne skupianie się na jednej funkcji systemu – elastyczności, przy całkowitym ignorowaniu innych funkcji – integracji, identyfikacji, rozliczania i kontroli, jest zawsze niebezpieczne dla stabilnie funkcjonujących systemów, gdyż trudno zapewnić skuteczną koordynację w ramach danej organizacji bez wysoko wykwalifikowanych pracowników i ich zdolność do szkolenia i doskonalenia, do nawiązywania efektywnych kontaktów i koordynacji. Przy tej formie organizacji główną uwagę należy zwrócić na stworzenie warunków dla maksymalnego wykorzystania inteligencji zasobów ludzkich i doskonalenia ich umiejętności, identyfikując wysoko wykwalifikowanych specjalistów – specjalistów systemowych. którzy łączą działania członków organizacji, aby osiągnąć ostateczny cel. Jednocześnie w obszarze koordynacji systemu istnieje możliwość możliwych awarii, konfliktów i negatywnych konsekwencji, ponieważ skupienie się na zdolności personelu do samoorganizacji i samokoordynacji jest zbyt ogólne. Chociaż wysokie kompetencje, inicjatywa i siła woli każdego pracownika wpływają na rentowność każdej zdecentralizowanej organizacji, generalnie nie mogą zastąpić funkcji regulacyjnej całej struktury organizacyjnej.

Obecnie na świecie intensywnie rozwija się nowy kierunek syntezy systemów operacyjnych jako systemów uczących się, charakteryzujący się następującymi charakterystycznymi cechami:

a) angażowanie wysoko wykwalifikowanych ekspertów w procesy postrzegania i gromadzenia informacji oraz w szkolenie i poszerzanie umiejętności personelu;

b) ciągłe zmiany w procesie funkcjonowania, poszerzanie możliwości interakcji z otaczającym środowiskiem biznesowym i szybkie dostosowywanie się do stale zmieniających się warunków zewnętrznych i wewnętrznych;

c) szeroka dystrybucja otwartych sieci komputerowych, obejmująca nie tylko pojedyncze organizacje, przedsiębiorstwa lub ich konglomeraty, ale także całe duże regiony, a nawet zestawy krajów (EEC, SWIFT itp.), co zapewnia nowe możliwości organizowania i zwiększania wydajności przedsiębiorstw i branż w skali krajowej, a nawet globalnej.

Uważa się, że OSU powinna być tworzona w oparciu o zasady wielofunkcyjności i wielowymiarowości, pozwalającej na skuteczną kontrolę złożonych rynków i dystrybucję dostępnych zasobów. Z analizy światowych doświadczeń w funkcjonowaniu OSU w warunkach rynkowych w odniesieniu do rosyjskiej gospodarki i jej podmiotów gospodarczych można wskazać następujące rekomendacje:

1) hierarchiczne OSU można utrzymać i stosować przy minimalnym ryzyku dla przedsiębiorstwa, jeśli najwyższe kierownictwo firmy potrafi pełnić rolę koordynatorów problemów, a ich podwładni jak „mali przedsiębiorcy”; jednocześnie inicjatywa i odpowiedzialność przedsiębiorcza przenoszą się z wyższych na niższe szczeble władzy korporacyjnej, gdy hierarchowie pełnią prawdziwie koordynujące funkcje;

2) macierz OSU może zostać utrzymana, jeżeli w przedsiębiorstwie nie występuje mechaniczne dublowanie poziomów usług oraz istnieje organiczna struktura sieci z optymalną komunikacją;

3) dualne OSU powinny być stosowane z zachowaniem przejrzystości i sterowalności zarówno kluczowych połączeń pomiędzy strukturą główną i towarzyszącą, jak i przejrzystości funkcji samego systemu towarzyszących struktur drugorzędnych oraz powinny być wielofunkcyjne i wielozadaniowe (np. „ośrodki szkoleniowe”), a nie wyspecjalizowane, nastawione wyłącznie na własne potrzeby;

4) równoległe OSU należy stosować, gdy ukształtowała się konstruktywna kultura rywalizacji, współpraca partnerów opiera się na zaufaniu, tolerancji, gotowości do rozwiązywania konfliktów, a w sytuacjach ostrych posiada neutralną władzę „arbitrażową”.

W obecności średnich przedsiębiorstw składających się ze słabo zintegrowanych jednostek funkcjonalnych rozwiązywanie problemów integracyjnych można powierzyć strukturom drugorzędnym, jednak efekt wdrożenia tego mechanizmu zostanie uzyskany, jeśli kierownictwo jednostek będzie rozumieć tworzenie nadbudowy strukturalnej jako sposób na poparcie własnego stanowiska, a nie jako zagrożenie dla ich istnienia.

Rozwój na styku cybernetyki, sieci komputerowych, zarządzania i psychologii społecznej kierunku Groupware (USA), związany z elektronicznymi systemami informacyjnymi, lokalnymi sieciami dialogu i środkami ich wspierania, zapewnia rozproszoną pracę dużych zespołów ludzi w bezpośrednim dostępie tryb, pozwalający na przechowywanie w pamięci komputera ogromnej ilości danych (dowolna dokumentacja biznesowa, produkcyjna, techniczna i inna, spotkania, negocjacje organizacji, a nawet zwykłe rozmowy jej pracowników, a także cała przeszłość i doświadczenie zawodowe), wykorzystanie jej w razie potrzeby do dostosowania struktury, funkcji, zadań, strategii i taktyki zarządzania w działalności specyficznej organizacji. Podejście to w nowy sposób odsłania koncepcję organizacji uczącej się i dostarcza analogii pomiędzy procesami zachodzącymi w żywych i interaktywnych systemach komputerowych.

Jeśli uczenie się i pamięć decydują o przetrwaniu żywych systemów, to w podobny sposób uczenie się i pamięć organizacyjna wpływają na wydajność każdej organizacji, gdy zmienia się zewnętrzne środowisko biznesowe. Poznanie zarówno systemów żywych, jak i organizacyjnych nieuchronnie prowadzi do zmian strukturalnych. Poprawnie zorganizowana sieć komputerowa może spowodować jakościową zmianę w doskonaleniu działań przedsiębiorstwa. Elastyczność i szerokość funkcjonalności grup roboczych realizujących zarządzanie projektami przy minimalnych kosztach koordynacji ich pracy determinują rozwój i jakość realizacji głównych zadań stojących przed przedsiębiorstwami, potrzebę optymalizacji jednostek funkcjonalnych i struktur organizacyjnych jako całości, zmiany w powiązania pomiędzy jednostkami funkcjonalnymi w zależności od pojawiających się sytuacji.

Jakość restrukturyzacji systemów życiowych i organizacyjnych zależy od całości odziedziczonych i nabytych zachowań, efektywności uczenia się i pamięci oraz organizacji infrastruktury, która zapewnia poprawę relacji i dialogu między ludźmi. Poprawa szybkości uczenia się i wydajności pamięci organizacji zależy od sposobu, w jaki zarządza ona relacjami i dialogiem między ludźmi. Dziś komunikacja polega na koordynowaniu działań, a nie na przekazywaniu informacji. Infrastruktura organizacyjna powinna poszerzać możliwości nawiązywania i wspierania dialogu między ludźmi, niezależnie od ich tradycji, kultury itp. Przykładem tego jest organizacja i dystrybucja Internetu i tym podobnych.

Uwzględnienie specyfiki modeli odmian QS w praktycznej działalności podmiotów rynkowych pozwala na:

Przeprowadź bardziej dogłębną analizę cech funkcjonowania złożonych systemów, oceń ich jakość i wydajność, uzyskując konkretne szacunki ilościowe;

Ujawnić istniejące rezerwy i możliwości optymalizacji bieżących procesów, oszczędzać zasoby finansowe i inne, ograniczać ryzyko w warunkach niepewności w zewnętrznym i wewnętrznym otoczeniu biznesowym.

Przyjrzyjmy się tym pytaniom bardziej szczegółowo.

2. SYSTEMY I MODELE SŁUŻBY MASOWEJ. KLASYFIKACJA SYSTEMÓW OBSŁUGI KOLEJEK (QS).

Teoria kolejkowania opiera się na teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej. Początkowy rozwój teorii kolejek wiąże się z nazwiskiem duńskiego naukowca A. K. Erlanga (1878-1929), z jego pracami z zakresu projektowania i eksploatacji central telefonicznych.

Teoria kolejkowania to dziedzina matematyki stosowanej zajmująca się analizą procesów w systemach produkcyjnych, usługowych i zarządzania, w których jednorodne zdarzenia powtarzają się wielokrotnie, np. w przedsiębiorstwach świadczących usługi konsumenckie; w systemach odbioru, przetwarzania i przesyłania informacji; automatyczne linie produkcyjne itp.

Rosyjscy matematycy A. Ya. Khinchin, B. V. Gnedenko, A. N. Kołmogorow, E. S. Ventzel i inni wnieśli ogromny wkład w rozwój tej teorii.

Przedmiotem teorii kolejkowania jest ustalenie zależności pomiędzy charakterem przepływu żądań, liczbą kanałów obsługi, wydajnością pojedynczego kanału i efektywną obsługą w celu znalezienia najlepszych sposobów zarządzania tymi procesami. Problematyka teorii kolejek ma charakter optymalizacyjny i docelowo obejmuje aspekt ekonomiczny ustalenia opcji systemu, która zapewni minimum kosztów całkowitych z tytułu oczekiwania na obsługę, straty czasu i zasobów na obsługę oraz przestojów kanałów obsługi.

Zadania organizacji obsługi masowej powstają w niemal wszystkich sferach działalności człowieka, na przykład w obsłudze klientów w sklepach przez sprzedawców, obsłudze gości w placówkach gastronomicznych, obsłudze klientów w przedsiębiorstwach świadczących usługi konsumenckie, prowadzeniu rozmów telefonicznych w centrali telefonicznej, zapewnianiu opieki medycznej. pomoc pacjentom w klinice itp. We wszystkich powyższych przykładach istnieje potrzeba zaspokojenia potrzeb dużej liczby konsumentów.

Wymienione problemy można z powodzeniem rozwiązać wykorzystując specjalnie stworzone do tych celów metody i modele teorii kolejkowania (QST). Teoria ta wyjaśnia, że ​​konieczne jest służenie komuś lub czemuś, co definiuje się poprzez koncepcję „żądania (wymagania) usługi”, a operacje usługowe są wykonywane przez osobę lub coś zwane kanałami usług (węzłami).

Wnioski, ze względu na ogromną liczbę kwitów za usługę, tworzą przepływy, które przed wykonaniem operacji serwisowych nazywane są przychodzącymi, a po ewentualnym oczekiwaniu na start usługi, tj. czas bezczynności w kolejce usług przepływa w kanałach, a następnie tworzony jest wychodzący strumień żądań. Ogólnie rzecz biorąc, połączenie elementów napływu wniosków, kolejki, kanałów obsługi i wychodzącego przepływu wniosków tworzy najprostszy system kolejkowy – QS.

Jednym z parametrów wejściowego przepływu żądań jest intensywność napływu wniosków λ ;

Parametry kanałów obsługi zgłoszeń obejmują: intensywność obsługi μ , liczba kanałów obsługi N .

Parametry kolejki to: maksymalna liczba miejsc w kolejce Lmaks ; dyscyplina kolejkowa D („pierwszy na wejściu, pierwszy na wyjściu” (FIFO); „ostatni na wejściu, pierwszy na wyjściu” (LIFO); z priorytetami; losowy wybór z kolejki).

Procedurę serwisową uznaje się za zakończoną, gdy zgłoszenie serwisowe opuści system. Długość przedziału czasowego niezbędnego do realizacji procedury serwisowej zależy głównie od charakteru zgłoszenia serwisowego, stanu samego systemu obsługi oraz kanału obsługi.

Rzeczywiście na przykład czas pobytu kupującego w supermarkecie zależy z jednej strony od cech osobistych kupującego, jego żądań, od asortymentu towarów, które zamierza kupić, a z drugiej strony od: od formy organizacji obsługi i personelu obsługującego, co może mieć jednak istotny wpływ na czas przebywania kupującego w supermarkecie i intensywność obsługi.

Obsługując żądania zrozumiemy proces zaspokajania potrzeby. Usługi mają zróżnicowany charakter. Jednak we wszystkich przykładach otrzymane żądania wymagają obsługi przez jakieś urządzenie.

W niektórych przypadkach obsługa jest wykonywana przez jedną osobę (obsługa klienta przez jednego sprzedawcę), w niektórych przypadkach przez grupę osób (obsługa klienta w restauracji), a w niektórych przypadkach za pomocą urządzeń technicznych (sprzedaż wody gazowanej, kanapek poprzez automaty maszyny).

Zbiór środków, z których składane są żądania obsługi, nazywany jest kanał serwisowy.

Jeżeli kanały serwisowe są w stanie zaspokoić identyczne żądania, wówczas wywoływane są kanały serwisowe jednorodny.

Zbiór jednorodnych kanałów usług nazywany jest systemem usług.

System kolejkowy otrzymuje dużą liczbę żądań w losowych momentach, których czas trwania usługi jest również zmienną losową. Nazywa się sekwencyjne przyjmowanie żądań do systemu usług przychodzący napływ wniosków , a sekwencja żądań opuszczających system usług jest następująca strumień wychodzący .

Jeśli maksymalna długość kolejki Lmaks. = 0 , to QS jest systemem bez kolejek.

Jeśli Lmaks. = N0, gdzie N 0 > 0 jest pewną liczbą dodatnią, wówczas QS jest systemem z ograniczoną kolejką.

Jeśli Lmaks → ∞, wówczas QS jest systemem z nieskończoną kolejką.

Losowy charakter rozkładu czasu trwania operacji serwisowych, w połączeniu z losowym charakterem otrzymania zgłoszeń o usługę, powoduje, że w kanałach obsługi zachodzi proces losowy, który można wywołać (analogicznie do wejścia przepływ zgłoszeń) przepływ zgłoszeń serwisowych lub po prostu przepływ usług .

Należy pamiętać, że aplikacje wchodzące do systemu serwisowego mogą go opuścić bez obsługi. Przykładowo, jeśli klient nie znajdzie w sklepie pożądanego produktu, opuszcza sklep bez obsługi. Kupujący może również opuścić sklep, jeśli żądany produkt jest dostępny, ale kolejka jest długa, a kupujący nie ma czasu.

Teoria kolejkowania zajmuje się badaniem procesów związanych z kolejkowaniem i rozwojem metod rozwiązywania typowych problemów związanych z kolejkowaniem.

W badaniu efektywności systemu usług ważną rolę odgrywają różne sposoby lokalizowania kanałów usług w systemie.

Na równoległy układ kanałów obsługi żądanie może zostać obsłużone dowolnym bezpłatnym kanałem.

Przykładem takiego systemu obsługi jest centrum płatnicze w sklepach samoobsługowych, gdzie liczba kanałów obsługi pokrywa się z liczbą kasjerów-kontrolerów.

W praktyce często serwisowana jest jedna aplikacja sekwencyjnie poprzez kilka kanałów obsługi .

W takim przypadku kolejny kanał serwisowy rozpoczyna pracę nad obsługą zgłoszenia po zakończeniu pracy poprzedniego kanału. W takich systemach proces konserwacji jest charakter wielofazowy, nazywa się obsługą aplikacji przez jeden kanał faza konserwacji . Na przykład, jeśli sklep samoobsługowy ma działy ze sprzedawcami, klienci są najpierw obsługiwani przez sprzedawców, a następnie przez kasjerów-kontrolerów.

Organizacja systemu usług zależy od woli człowieka. Jakość funkcjonowania systemu w teorii kolejkowania rozumieją nie tyle, jak dobrze usługa jest wykonywana, ale jak w pełni obciążony jest system obsługi, czy kanały obsługi są nieczynne lub czy tworzy się kolejka.

Działanie systemu usług charakteryzuje się takimi wskaźnikami jak czas oczekiwania na rozpoczęcie usługi, długość kolejki, możliwość odmowy usługi, możliwość przestoju kanałów obsługi, koszt usługi i ostatecznie zadowolenie z jakości usług.

Aby poprawić jakość działania systemu obsługi, należy określić, w jaki sposób rozdzielać przychodzące żądania pomiędzy kanały obsługi, ile kanałów obsługi powinno być dostępnych, jak organizować lub grupować kanały obsługi lub urządzenia usługowe w celu poprawy wydajności. Aby rozwiązać te problemy, istnieje skuteczna metoda modelowania, która uwzględnia i łączy osiągnięcia różnych nauk, w tym matematyki.

Strumienie wydarzeń.

Przejścia QS z jednego stanu do drugiego zachodzą pod wpływem bardzo specyficznych zdarzeń – przyjmowania wniosków i ich obsługi. Sekwencja występowania zdarzeń następujących po sobie w przypadkowych momentach czasu tworzy tzw strumień wydarzeń.

Przykładami takich przepływów są przepływy o różnym charakterze – przepływy towarów, pieniędzy, dokumentów; przepływy ruchu; przepływy klientów, nabywców; przepływy rozmów telefonicznych, negocjacji itp. O zachowaniu systemu decyduje zwykle nie jeden, ale kilka strumieni zdarzeń jednocześnie. Na przykład obsługa klienta w sklepie zależy od przepływu klientów i przepływu usług; w tych przepływach momenty pojawienia się klientów, czas oczekiwania w kolejce i czas spędzony na obsłudze każdego klienta są losowe.

W tym przypadku główną cechą charakterystyczną przepływów jest probabilistyczny rozkład czasu pomiędzy sąsiednimi zdarzeniami. Istnieją różne strumienie różniące się charakterystyką.

Strumień zdarzeń nazywa się regularny , jeśli w nim zdarzenia następują po sobie w z góry określonych i ściśle określonych odstępach czasu. Przepływ ten jest idealny i bardzo rzadko spotykany w praktyce. Częściej zdarzają się przepływy nieregularne, które nie mają właściwości regularności.

Strumień zdarzeń nazywa się stacjonarny, jeżeli prawdopodobieństwo dowolnej liczby zdarzeń mieszczących się w przedziale czasu zależy tylko od długości tego przedziału i nie zależy od tego, jak daleko ten przedział znajduje się od początku naliczania czasu.

To jest przepływ nazywa się stacjonarnym , dla którego matematyczne oczekiwanie liczby żądań wchodzących do systemu w jednostce czasu (oznaczonej przez λ) nie zmienia się w czasie. Zatem prawdopodobieństwo pojawienia się określonej liczby żądań w danym okresie czasu zależy od jego wartości, a nie od początku jego naliczania na osi czasu.

Stacjonarność przepływu oznacza, że ​​jego charakterystyki probabilistyczne są niezależne od czasu; w szczególności intensywność takiego przepływu jest średnią liczbą zdarzeń w jednostce czasu i pozostaje stała. W praktyce przepływy można zazwyczaj uznać za stacjonarne jedynie w pewnym ograniczonym okresie czasu. Zwykle przepływ klientów np. w sklepie zmienia się znacząco w ciągu dnia pracy. Można jednak wskazać pewne przedziały czasowe, w których przepływ ten można uznać za stacjonarny, o stałym natężeniu.

Żadnych następstw oznacza, że ​​liczba wymagań otrzymanych przez system przed momentem t nie determinuje, ile wymagań trafi do systemu w okresie od t do t+?t.

Na przykład, jeśli w danej chwili na krośnie tkackim nastąpi zerwanie nitki i zostanie ono naprawione przez tkacza, to nie przesądza to o tym, czy w następnej chwili na tym krośnie nastąpi nowe zerwanie, czy nie, a tym bardziej o tym, czy ma to wpływ prawdopodobieństwo wystąpienia awarii na innych maszynach.

Strumień zdarzeń nazywa się przepływ bez konsekwencji , jeżeli liczba zdarzeń przypadających na jeden z dowolnie wybranych przedziałów czasu nie zależy od liczby zdarzeń przypadających na inny, także dowolnie wybrany przedział, pod warunkiem, że przedziały te nie przecinają się.

W przepływie bez konsekwencji zdarzenia zachodzą po sobie, niezależnie od siebie. Przykładowo napływ klientów wchodzących do sklepu można uznać za przepływ bez konsekwencji, ponieważ przyczyny, które zadecydowały o przybyciu każdego z nich, nie są powiązane z podobnymi powodami dla pozostałych klientów.

Strumień zdarzeń nazywa się zwykły , jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch lub więcej zdarzeń jednocześnie w bardzo krótkim czasie jest znikome w porównaniu z prawdopodobieństwem wystąpienia tylko jednego zdarzenia.

Innymi słowy , płynna zwyczajność oznacza praktyczną niemożność jednoczesnego otrzymania dwóch lub więcej żądań. Przykładowo, prawdopodobieństwo, że z grupy maszyn serwisowanych przez zespół mechaników, ulegnie awarii kilka maszyn jednocześnie, jest niewielkie. W zwykłym przepływie zdarzenia dzieją się jedno po drugim, a nie dwa (lub więcej) na raz.

Jeśli strumień jednocześnie ma właściwości stacjonarność, zwyczajność i brak konsekwencji, wówczas taki przepływ nazywa się najprostszy (lub Poissona) przepływ zdarzeń .

Matematyczny opis wpływu takiego przepływu na układy okazuje się najprostszy. Dlatego w szczególności przepływ najprostszy odgrywa szczególną rolę wśród innych istniejących przepływów.

Metody i modele stosowane w teorii kolejek (QST) można podzielić na analityczne i symulacyjne.

Analityczne metody teorii kolejkowania pozwalają uzyskać charakterystykę systemu jako pewne funkcje parametrów jego funkcjonowania. Dzięki temu możliwe staje się przeprowadzenie jakościowej analizy wpływu poszczególnych czynników na efektywność QS.

Metody symulacyjne opierają się na modelowaniu procesów kolejkowych na komputerze i stosowane są w przypadku braku możliwości wykorzystania modeli analitycznych.

Obecnie najbardziej rozwinięte teoretycznie i wygodne w praktycznych zastosowaniach są metody rozwiązywania takich problemów kolejkowych, w których przychodzący przepływ wymagań jest najprostszy (Poissona).

Dla najprostszego przepływu częstotliwość żądań wchodzących do systemu jest zgodna z prawem Poissona, tj. prawdopodobieństwo dotarcia w określonym czasieTgładkikwymagania jest dana wzorem:

Ważną cechą QS jest czas potrzebny na spełnienie wymagań serwisowych w systemie.

Czas obsługi jednego żądania jest z reguły zmienną losową i dlatego można go opisać prawem dystrybucji.

Najbardziej rozpowszechniona w teorii, a zwłaszcza w zastosowaniach praktycznych prawo rozkładu wykładniczego czasu pracy. Funkcja dystrybucji dla tego prawa ma postać:

F(t) = 1 - e - μ t , (2)

te. prawdopodobieństwo, że czas obsługi nie przekroczy pewnej wartości t, określa wzór (2), gdzie μ jest parametrem wykładniczego prawa rozkładu czasu obsługi dla wymagań w systemie. Oznacza to, że μ jest odwrotnością średniego czasu obsługi ? o6 . :

µ = 1/ ? o6 . (3)

Oprócz koncepcji najprostszego przepływu zdarzeń często konieczne jest skorzystanie z koncepcji przepływów innych typów.

Nazywa się tokiem zdarzeń Strumień Palmy , gdy w tym przepływie odstępy czasowe pomiędzy kolejnymi zdarzeniami T1, T2, ..., Tn są niezależnymi, jednakowo rozłożonymi zmiennymi losowymi, ale w przeciwieństwie do najprostszego przepływu nie koniecznie mają rozkład wykładniczy.

Najprostszy przepływ jest szczególnym przypadkiem przepływu Palmowego.

Ważnym szczególnym przypadkiem potoku Palma jest tzw Strumień Erlanga . Przepływ ten uzyskuje się poprzez „rozrzedzenie” najprostszego przepływu. To „przerzedzenie” odbywa się poprzez wybieranie zdarzeń z najprostszego przepływu według określonej reguły. Przykładowo, zgadzając się na uwzględnienie tylko co drugiego zdarzenia tworzącego najprostszy przepływ, otrzymujemy przepływ Erlanga drugiego rzędu. Jeśli weźmiemy tylko co trzecie zdarzenie, wówczas powstanie przepływ Erlanga trzeciego rzędu itd. Możliwe jest uzyskanie strumieni Erlanga dowolnego k-tego rzędu. Oczywiście najprostszym przepływem jest przepływ Erlanga pierwszego rzędu.

KLASYFIKACJA SYSTEMÓW OBSŁUGI KOLEJEK.

Każde badanie systemu kolejkowego (QS) rozpoczyna się od badania tego, co należy obsłużyć, a zatem od badania przychodzącego przepływu żądań i jego charakterystyki.

1. W zależności od warunków oczekiwania na uruchomienie usługi wyróżnić:

QS ze stratami (awariami),

SMO z niecierpliwością.

W QS z awariamiżądania przychodzące, gdy wszystkie kanały usług są zajęte, są odrzucane i tracone. Klasycznym przykładem systemu, w którym występują awarie, jest centrala telefoniczna. Jeżeli wywoływany abonent jest zajęty, wówczas prośba o połączenie z nim zostaje odrzucona i utracona.

W CMO z niecierpliwościążądanie, stwierdzając, że wszystkie obsługujące kanały są zajęte, trafia do kolejki i czeka, aż jeden z obsługujących kanałów będzie wolny.

QS umożliwiające kolejkowanie ale z ograniczoną liczbą wymagań, nazywane są systemami z ograniczoną długością kolejki .

QS, który pozwala na kolejkę, ale z ograniczonym okresem obowiązywania każdego wymagania, nazywane są systemami z ograniczonym czasem oczekiwania.

2. Według liczby kanałów obsługi QS dzielą się na

- pojedynczy kanał ;

- wielokanałowy .

3. Według lokalizacji źródła wymagań

SMO dzielą się na:

- otwarty gdy źródło wymagania znajduje się poza systemem;

- Zamknięte , gdy źródło znajduje się w samym systemie.

Przykładem systemu z otwartą pętlą jest warsztat serwisowy i naprawczy sprzętu AGD. W tym przypadku wadliwe urządzenia są źródłem wymagań dotyczących ich konserwacji; znajdują się one poza samym systemem. Liczba wymagań może być uznana za nieograniczoną.

Zamknięty QS obejmuje np. sekcję maszyny, w której maszyny sąźródłem usterek i dlatego źródło wymagań dotyczących ich utrzymania na przykład zespół regulatorów.

Mogą występować inne oznaki klasyfikacji QS, na przykład: przez dyscyplinę służby , jednofazowe i wielofazowe systemy kolejkowe itd.

3. MODELE SMO. WSKAŹNIKI JAKOŚCI JAKOŚCI FUNKCJONOWANIA.

Rozważmy modele analityczne najczęstszego QS z oczekiwaniami, tj. taki QS, w którym żądania otrzymane w czasie, gdy wszystkie obsługujące kanały są zajęte, są umieszczane w kolejce i obsługiwane, gdy kanały stają się wolne.

OGÓLNY OPIS PROBLEMU JEST NASTĘPUJĄCY.

System ma Nobsługujące kanały, z których każdy może spełniać tylko jedno wymaganie w danym momencie.

System odbiera najprostszy (Poissona) przepływ wymagań z parametremλ .

Jeżeli w momencie otrzymania kolejnego żądania system jest już w fazie konserwacji nie mniej Nwymagania(tj. wszystkie kanały są zajęte), wówczas żądanie to jest umieszczane w kolejce i oczekuje na rozpoczęcie usługi.

Czas obsługi według wymagań t wersja- zmienna losowa zgodna z prawem rozkładu wykładniczego z parametremμ .

CMO Z OCZEKIWANIAMI MOŻNA PODZIELIĆ NA DWIE DUŻE GRUPY: ZAMKNIĘTE I OTWARTY.

DO Zamknięte obejmują systemy, w których napływający strumień żądań ma swój początek w samym systemie i jest ograniczony.

Przykładowo majster, którego zadaniem jest ustawianie maszyn w warsztacie, musi je okresowo serwisować. Każda zainstalowana maszyna staje się potencjalnym źródłem wymagań dotyczących nakładek. W takich systemach całkowita liczba krążących wymagań jest skończona i najczęściej stała.

Jeśli źródło prądu ma nieskończoną liczbę wymagań, wówczas nazywane są systemy otwarty.

Przykładami takich systemów są sklepy, kasy biletowe na stacjach kolejowych, w portach itp. W przypadku tych systemów przepływ przychodzącego zapotrzebowania można uznać za nieograniczony.

Wskazane cechy funkcjonowania układów tych dwóch typów nakładają pewne warunki na stosowany aparat matematyczny. Obliczenia charakterystyk eksploatacyjnych różnych typów QS można przeprowadzić na podstawie obliczenia prawdopodobieństw stanów QS (tzw. Wzory Erlanga).

1. 1. OTWARTY SYSTEM KOLEJOWANIA Z OCZEKIWANIEM.

Rozważmy algorytmy obliczania wskaźników jakości funkcjonowania QS w otwartej pętli z oczekiwaniem.

Badając takie systemy, oblicza się różne wskaźniki efektywności systemu usług. Głównymi wskaźnikami mogą być prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są wolne lub zajęte, matematyczne oczekiwanie dotyczące długości kolejki (średnia długość kolejki), obłożenie i wskaźniki przestojów kanałów usługowych itp.

Wprowadźmy parametr α = λ/μ . Zauważ, że jeśli nierówność α / N < 1, wtedy kolejka nie może rosnąć w nieskończoność.

Warunek ten ma następujące znaczenie: λ — średnia liczba otrzymanych wniosków za jednostka czasu, 1/μ to zatem średni czas obsługi jednego żądania przez jeden kanał α = λ (1/ μ) — średnia liczba kanałów, które musisz obsłużyć na jednostkę czasu wszystkie przychodzące żądania. Następnie μ jest średnią liczbą żądań obsługiwanych przez jeden kanał w jednostce czasu.

Dlatego warunek: α / N < 1, oznacza, że ​​liczba obsługiwanych kanałów musi być większa niż średnia liczba kanałów wymaganych do obsługi wszystkich przychodzących żądań w jednostce czasu.

WAŻNE CECHY DZIAŁANIA SMO ( dla otwartego systemu kolejkowego z oczekiwaniem):

1. PrawdopodobieństwoP 0 że wszystkie udostępniane kanały są bezpłatne:

2. PrawdopodobieństwoPk fakt, że zajętych jest dokładnie k kanałów obsługujących, pod warunkiem, że łączna liczba obsługiwanych żądań nie przekracza liczby urządzeń obsługujących, czyli gdy 1 ≤ k≤ N:

3. PrawdopodobieństwoPk fakt, że w systemie istnieje k wymagań w przypadku, gdy ich liczba jest większa od liczby obsługiwanych kanałów, czyli gdy k > N:

4. PrawdopodobieństwoPnże wszystkie obsługujące kanały są zajęte:

5. Średni czas oczekiwania na żądanie uruchomienia obsługi w systemie:

6. Średnia długość kolejki:

7. Średnia liczba kanałów bezpłatnych:

8. Współczynnik przestoju kanału:

9. Średnia liczba kanałów zajętych przez obsługę:

10. Współczynnik obciążenia kanału

Firma zajmująca się konserwacją i naprawą sprzętu AGD i RTV posiada oddział: warsztat naprawy telefonów komórkowych, w którym działa N = 5 doświadczeni rzemieślnicy. Ludność otrzymuje naprawy średnio w ciągu dnia roboczego. λ =10 telefony komórkowe. Całkowita liczba telefonów komórkowych używanych przez populację jest bardzo duża i ulegają one awariom niezależnie od siebie w różnym czasie. Dlatego istnieją powody, aby sądzić, że przepływ wniosków o naprawę sprzętu jest losowy, Poisson. Z kolei każdy telefon komórkowy, w zależności od charakteru awarii, wymaga również innego, losowego czasu naprawy. Czas potrzebny na przeprowadzenie naprawy zależy w dużej mierze od ciężkości otrzymanych uszkodzeń, kwalifikacji technika i wielu innych powodów. Niech statystyki pokażą, że czas naprawy jest zgodny z prawem wykładniczym; Co więcej, średnio w ciągu dnia roboczego każdemu z rzemieślników udaje się dokonać naprawy μ = 2,5 telefony komórkowe.

Wymagana jest ocena pracy oddziału firmy zajmującej się naprawą sprzętu AGD i RTV poprzez obliczenie szeregu podstawowych cech tej GMO.

Za jednostkę czasu przyjmujemy 1 dzień roboczy (7 godzin).

1. Zdefiniuj parametr

α = λ / μ = 10/ 2,5 = 4.

Ponieważ α< n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

2. Prawdopodobieństwo P 0, że wszyscy technicy będą wolni od napraw sprzętu, jest równe według (4):

P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5!(1- 4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.

3. Prawdopodobieństwo P5, że wszyscy rzemieślnicy są zajęci naprawami, wyznaczamy ze wzoru (7) (Pn dla n=5):

P5 = P0 1024 /5! (1-4/5) = P0 256 /6 ≈ 0,554.

Oznacza to, że przez 55,4% czasu brygadziści są w pełni obciążeni pracą.

4. Średni czas serwisu (naprawy) jednego urządzenia według wzoru (3):

? o6. = 1/μ = 7/2,5 = 2,8 godz./urządzenie (ważne: jednostką czasu jest 1 dzień roboczy, czyli 7 godzin).

5. Średni czas oczekiwania każdego wadliwego telefonu komórkowego na naprawę jest równy wzorowi (8):

Oż. = Pn/(μ (n-α)) = 0,554 2,8/(5 - 4) = 1,55 godziny.

6. Bardzo ważną cechą jest średnia długość kolejki, który określa wymaganą przestrzeń do przechowywania sprzętu wymagającego naprawy; znajdujemy to korzystając ze wzoru (9):

Bardzo dobry = 4 P5/ (5-4) ≈ 2,2 mobilne. telefon.

7. Wyznaczmy średnią liczbę rzemieślników wolnych od pracy korzystając ze wzoru (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 master.

Zatem średnio czterech na pięciu rzemieślników zajmuje się naprawami w ciągu dnia roboczego.

1. 2. ZAMKNIĘTY SYSTEM KOLEJKOWY.

Przejdźmy do rozważenia algorytmów obliczania charakterystyk funkcjonowania systemów QS w zamkniętej pętli.

Ponieważ system jest zamknięty, do opisu problemu należy dodać warunek: przepływ napływających wymagań jest ograniczony, tj. w systemie obsługi nie może jednocześnie przebywać więcej osób M wymagania ( M— liczba obsługiwanych obiektów).

Jako kryterium charakteryzujące jakość funkcjonowania rozpatrywanego systemu wybierzemy stosunek średniej długości kolejki do największej liczby żądań znajdujących się jednocześnie w systemie obsługującym - współczynnik przestoju obsługiwanego obiektu .

Jako kolejne kryterium przyjmujemy stosunek średniej liczby niezajętych kanałów obsługujących do ich całkowitej liczby - współczynnik przestoju obsługiwanego kanału .

Pierwsze z tych kryteriów charakteryzuje strata czasu w związku z oczekiwaniem na rozpoczęcie usługi; drugie pokazuje pełne załadowanie systemu serwującego.

Oczywiście kolejka może powstać tylko wtedy, gdy liczba kanałów obsługi jest mniejsza niż największa liczba żądań jednocześnie znajdujących się w obsługującym systemie (n< m).

Przedstawiamy kolejność obliczeń charakterystyk zamkniętego QS oraz niezbędne wzory.

PARAMETRY ZAMKNIĘTYCH SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH.

1. Zdefiniuj parametrα = λ / μ — wskaźnik obciążenia systemu, czyli matematyczne oczekiwanie liczby żądań wchodzących do systemu w czasie równym średniemu czasowi trwania usługi (1/μ = ?o6.).

2. PrawdopodobieństwoPk zajętych jest k kanałów obsługujących, pod warunkiem, że liczba żądań w systemie nie przekracza liczby kanałów obsługujących systemu (tzn. M≤ N) :

3. PrawdopodobieństwoPk fakt, że w systemie istnieje k wymagań w przypadku, gdy ich liczba jest większa od liczby obsługiwanych kanałów (czyli gdy k> N, w którejk≤ M):

4. PrawdopodobieństwoP 0 że wszystkie kanały obsługujące są bezpłatne, ustalamy na podstawie oczywistości stan : schorzenie:

Wtedy wartość P 0 będzie równa:

5. ŚredniaMbardzo dobrywymagania oczekujące na uruchomienie usługi (średnia długość kolejki):

Lub biorąc pod uwagę wzór (15)

6. Wskaźnik przestojów obsługiwanego zapotrzebowania (obiektu):

7. ŚredniaMwymagania znajdujące się w systemie obsługującym, będącym w serwisie i oczekującym na obsługę:

gdzie wzory (14) i (15) służą do obliczenia odpowiednio pierwszej i drugiej sumy.

8. Średnia liczba bezpłatnych kanałów

gdzie P k oblicza się ze wzoru (14).

9. Wskaźnik przestojów kanału serwisowego

Rozważmy przykład obliczenia charakterystyki QS w pętli zamkniętej.

Pracownik obsługuje grupę maszyn składającą się z 3 maszyn. Strumień przychodzących żądań konserwacji maszyny to Poissona z parametrem λ = 2 st./h.

Serwisowanie jednej maszyny zajmuje pracownikowi średnio 12 minut, a czas obsługi podlega prawu wykładniczemu.

Wtedy 1/μ = 0,2 godziny/st., tj. μ = 5 st./h., Parametr α = λ/μ = 0,4.

Należy określić średnią liczbę maszyn oczekujących na obsługę, współczynnik przestoju maszyn i współczynnik przestoju pracowników.

Kanałem usługowym jest tutaj pracownik; ponieważ maszyny obsługuje jeden pracownik N = 1 . Łączna liczba wymagań nie może przekroczyć liczby maszyn, tj. M = 3 .

System może znajdować się w czterech różnych stanach: 1) wszystkie maszyny pracują; 2) jeden stoi i jest obsługiwany przez pracownika, a dwóch pracuje; 3) dwie stoją, jedna jest obsługiwana, druga oczekuje na obsługę; 4) trzech stoi, jeden jest obsługiwany, a dwóch czeka w kolejce.

Aby odpowiedzieć na postawione pytania, możesz skorzystać ze wzorów (14) i (15).

P1 = P0 6 0,4/2 = 1,2 P0;

P2 = P0 6 0,4 0,4 ​​= 0,96 P0;

P3 = P0 6 0,4 0,4 ​​0,4= 0,384 P0;

Podsumujmy obliczenia w tabeli (ryc. 1).

		∑P k /P 0 = 3,5440		∑ (k-n)P k = 0,4875	∑k P k = 1,2053

Ryż. 1. Obliczanie charakterystyk QS w pętli zamkniętej.

W tej tabeli najpierw obliczana jest trzecia kolumna, tj. stosunki P. k /P 0 przy k = 0,1,2,3.

Następnie sumując wartości w trzeciej kolumnie i biorąc pod uwagę, że ∑ P k = 1, otrzymujemy 1/P 0 = 3,544. Skąd P 0 ≈ 0,2822.

Mnożąc wartości w trzeciej kolumnie przez P 0, otrzymujemy wartości czwartej kolumny w odpowiednich wierszach.

Wartość P 0 = 0,2822, równa prawdopodobieństwu, że wszystkie maszyny pracują, można interpretować jako prawdopodobieństwo, że pracownik jest wolny. Okazuje się, że w rozpatrywanym przypadku pracownik będzie wolny ponad 1/4 całego wymiaru czasu pracy. Nie oznacza to jednak, że zawsze nie będzie „kolejki” maszyn oczekujących na obsługę. Matematyczne oczekiwanie na liczbę maszyn stojących w kolejce jest równe

Sumując wartości w piątej kolumnie tabeli, otrzymujemy średnią długość kolejki M bardzo. = 0,4875. W rezultacie średnio na trzy maszyny 0,49 maszyn będzie stać bezczynnie, czekając, aż pracownik stanie się wolny.

Sumując wartości w szóstej kolumnie tabeli, otrzymujemy matematyczne oczekiwanie liczby maszyn nieużywanych (naprawianych i oczekujących na naprawę): M = 1,2053. Oznacza to, że średnio 1,2 maszyny nie będzie wytwarzać produktów.

Współczynnik przestoju maszyny jest równy K pr.ob. = M. bardzo dobrze /3 = 0,1625. Oznacza to, że każda maszyna pozostaje bezczynna przez około 0,16 czasu pracy, czekając, aż pracownik stanie się wolny.

Współczynnik przestoju pracownika w tym przypadku pokrywa się z P 0, ponieważ n = 1 (wszystkie obsługujące kanały są bezpłatne), zatem

Do Ave. Canal = N0/n = 0,2822.

Abczuk V.A. Metody ekonomiczne i matematyczne: Elementarna matematyka i logika. Metody badań operacyjnych. - St. Petersburg: Unia, 1999. - 320.

Eltarenko E.A. Badania operacyjne (systemy kolejkowe, teoria gier, modele zarządzania zapasami). Instruktaż. - M.: MEPhI, 2007. - s. 157.

Fomin G.P. Metody i modele matematyczne w działaniach komercyjnych: Podręcznik. — wyd. 2, poprawione. i dodatkowe - M.: Finanse i Statystyka, 2005. - 616 s.: il.

Shelobaev S.I. Metody i modele matematyczne w ekonomii, finansach, biznesie: Podręcznik. podręcznik dla uniwersytetów. - M.: UNITIDANA, 2001. - 367 s.

Metody ekonomiczne i matematyczne oraz stosowane modele: Podręcznik dla uniwersytetów / V.V. Fedoseev, A.N. Garmash, D.M. Dayitbegov i inni; wyd. V.V. Fedosejewa. - M.: JEDNOŚĆ, 1999. - 391 s.

Klasyfikacja, podstawowe pojęcia, elementy modelu, obliczanie podstawowych charakterystyk.

Przy rozwiązywaniu problemów racjonalnej organizacji handlu, usług konsumenckich, magazynowania itp. Bardzo przydatne jest interpretowanie działań struktury produkcyjnej jako systemy kolejkowe, tj. system, w którym z jednej strony stale pojawiają się prośby o wykonanie jakiejś pracy, a z drugiej strony te prośby są stale zaspokajane.

Każdy QS zawiera cztery elementy: strumień przychodzący, kolejka, serwer, strumień wychodzący.

Wymóg(klient, aplikacja) w QS to każde indywidualne zlecenie wykonania jakiejkolwiek pracy.

Praca- jest to wykonanie pracy w celu zaspokojenia otrzymanego wymagania. Obiekt realizujący obsługę żądań nazywany jest urządzeniem serwisowym (urządzeniem) lub kanałem serwisowym.

Czas obsługi to okres, w którym zgłoszenie serwisowe jest spełnione, tj. okres od rozpoczęcia świadczenia usługi do jej zakończenia. Okres od momentu pojawienia się żądania w systemie do momentu uruchomienia usługi nazywany jest czasem oczekiwania na usługę. Czas oczekiwania na obsługę wraz z czasem obsługi stanowi czas przebywania zgłoszenia w systemie.

SMO są klasyfikowane według różnych kryteriów.

1. Ze względu na liczbę kanałów usług QS dzieli się na jednokanałowe i wielokanałowe.

2. W zależności od warunków oczekiwania i konieczności rozpoczęcia serwisowania rozróżnia się QS ze stratami (awariami) i QS z oczekiwaniem.

W QS z wymaganiami dotyczącymi strat, otrzymane w momencie, gdy wszystkie urządzenia są zajęte serwisowaniem, są odrzucane, przepadają dla tego systemu i nie mają żadnego wpływu na dalszy proces serwisowania. Klasycznym przykładem wadliwego systemu jest centrala telefoniczna – żądanie połączenia jest odrzucane, jeśli abonent wywoływany jest zajęty.

W przypadku systemu, w którym występują awarie, główną cechą efektywności operacyjnej jest prawdopodobieństwo awarii lub średni odsetek aplikacji pozostających bez obsługi.

W QS z oczekiwaniem wymagań przybywający w momencie, gdy wszystkie urządzenia są zajęte obsługą, nie opuszcza systemu, lecz ustawia się w kolejce i czeka, aż jeden z kanałów będzie wolny. Gdy kolejne urządzenie stanie się dostępne, jedno z żądań oczekujących w kolejce zostanie natychmiast przyjęte do obsługi.

W przypadku QS z oczekiwaniem głównymi cechami są matematyczne oczekiwania dotyczące długości kolejki i czasu oczekiwania.

Przykładem systemu oczekującego jest proces renowacji telewizorów w warsztacie naprawczym.

Istnieją systemy leżące pomiędzy tymi dwiema grupami ( mieszane SMO). Charakteryzują się występowaniem pewnych warunków pośrednich: ograniczeniami mogą być ograniczenia czasu oczekiwania na rozpoczęcie usługi, długości kolejki itp.

Charakterystykę wydajności można zastosować do prawdopodobieństwa awarii zarówno w systemach stratnych (lub charakterystykach opóźnień), jak i systemach oczekujących.

3. Ze względu na dyscyplinę utrzymania systemy QS dzielą się na systemy z priorytetem w utrzymaniu i systemy bez pierwszeństwa w utrzymaniu.

Żądania mogą być obsługiwane w kolejności ich otrzymania, losowo lub w oparciu o ustalone priorytety.

4. SMO może być jednofazowe i wielofazowe.

W jednofazowy w systemach wymagania są obsługiwane przez kanały jednego typu (na przykład pracownicy tego samego zawodu) bez przenoszenia ich z jednego kanału do drugiego, w wielozakresowy systemów takie transfery są możliwe.

5. Ze względu na lokalizację źródła wymagań systemy QS dzieli się na otwarte (gdy źródło wymagania znajduje się poza systemem) i zamknięte (gdy źródło znajduje się w samym systemie).

DO Zamknięte Należą do nich systemy, w których napływający strumień zapotrzebowania jest ograniczony. Przykładowo majster, którego zadaniem jest ustawianie maszyn w warsztacie, musi je okresowo serwisować. Każda wyregulowana maszyna staje się potencjalnym źródłem wymagań regulacyjnych w przyszłości. W takich systemach całkowita liczba krążących wymagań jest skończona i najczęściej stała.

Jeżeli źródło zaopatrzenia ma nieskończoną liczbę wymagań, wówczas systemy są wywoływane otwarty. Przykładami takich systemów są sklepy, kasy biletowe na stacjach kolejowych, w portach itp. W przypadku tych systemów napływ przychodzących żądań można uznać za nieograniczony.

Metody i modele badania QS można podzielić na analityczne i statystyczne (modelowanie symulacyjne procesów kolejkowych).

Metody analityczne pozwalają uzyskać charakterystykę systemu w postaci pewnych funkcji parametrów jego funkcjonowania. Dzięki temu możliwe staje się przeprowadzenie jakościowej analizy wpływu poszczególnych czynników na efektywność QS.

Niestety, tylko dość ograniczony zakres problemów teorii kolejek można rozwiązać analitycznie. Pomimo ciągłego rozwoju metod analitycznych, w wielu rzeczywistych przypadkach rozwiązanie analityczne jest albo niemożliwe do uzyskania, albo powstałe zależności okazują się na tyle złożone, że ich analiza sama w sobie staje się trudnym zadaniem. Aby więc móc zastosować analityczne metody rozwiązywania problemów, należy uciekać się do różnych założeń upraszczających, co w pewnym stopniu jest rekompensowane możliwością zastosowania jakościowej analizy końcowych zależności (w tym przypadku jest to oczywiście konieczne, aby przyjęte założenia nie zniekształcały rzeczywistego obrazu procesu).

Obecnie najbardziej rozwinięte teoretycznie i wygodne w praktycznych zastosowaniach są metody rozwiązywania problemów kolejkowych, w których przepływ wymagań jest najprostszy ( Poissona).

Dla najprostszego przepływu częstotliwość pojawiania się wymagań w systemie jest zgodna z prawem Poissona, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo nadejścia wymagań w czasie t równe k wymaganiom wyraża się wzorem:

gdzie λ jest parametrem przepływu (patrz poniżej).

Najprostszy przepływ ma trzy główne właściwości: zwyczajny, stacjonarny i brak następstw.

Pospolitość przepływ oznacza praktyczną niemożność jednoczesnego wystąpienia dwóch lub więcej żądań. Przykładowo, prawdopodobieństwo, że z grupy maszyn serwisowanych przez zespół mechaników, ulegnie awarii kilka maszyn jednocześnie, jest niewielkie.

Stacjonarny zwany przepływ, dla którego matematyczne oczekiwanie liczby żądań wchodzących do systemu w jednostce czasu (oznaczonej przez λ) nie zmienia się w czasie. Zatem prawdopodobieństwo pojawienia się określonej liczby żądań w danym okresie czasu Δt zależy od jego wartości i nie zależy od początku jego naliczania na osi czasu.

Żadnych następstw oznacza, że ​​liczba żądań otrzymanych do systemu przed czasem t nie określa, ile żądań wpłynie do systemu w czasie t + Δt.

Jeśli np. w danym momencie na krośnie tkackim nastąpi zerwanie nitki i zostanie ono przez tkacza naprawione, to nie przesądza to o tym, czy w następnej chwili na tym krośnie nastąpi nowe zerwanie, czy też nie, a tym bardziej wpływają na prawdopodobieństwo wystąpienia pęknięcia na innych krosnach.

Ważną cechą QS jest czas potrzebny na spełnienie wymagań serwisowych w systemie. Czas obsługi jest z reguły zmienną losową i dlatego można go opisać prawem dystrybucji. Najszerzej stosowanym w teorii, a zwłaszcza w zastosowaniach praktycznych, jest prawo wykładnicze. Dla tego prawa funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma postać:

F(t) = 1 – e -μt,

te. prawdopodobieństwo, że czas obsługi nie przekroczy określonej wartości t, określa wzór (1 – e -μt), gdzie μ jest parametrem wykładniczego prawa czasu obsługi dla wymagań w systemie – odwrotnością średniej służby czas, tj. .

Rozważmy modele analityczne QS z oczekiwaniami(najpopularniejsza metoda QS, w której żądania otrzymane, gdy wszystkie jednostki usługowe są zajęte, są umieszczane w kolejce i obsługiwane po zwolnieniu jednostek usługowych).

Zadania z kolejkami są typowe w środowiskach produkcyjnych, na przykład przy organizacji prac regulacyjnych i naprawczych, podczas konserwacji wielu maszyn itp.

Ogólne sformułowanie problemu jest następujące.

System składa się z n kanałów obsługujących. Każdy z nich może w danym momencie służyć tylko jednemu wymaganiu. System otrzymuje prosty (Poissona) przepływ wymagań z parametrem λ. Jeżeli w chwili nadejścia kolejnego żądania w systemie znajduje się już co najmniej n żądań obsługi (tj. wszystkie kanały są zajęte), wówczas żądanie to zostaje umieszczone w kolejce i oczekuje na rozpoczęcie obsługi.

Czas obsługi każdego żądania t jest zmienną losową spełniającą prawo rozkładu wykładniczego z parametrem μ.

Jak wspomniano powyżej, QS z oczekiwaniami można podzielić na dwie duże grupy: zamkniętą i otwartą.

Specyfika funkcjonowania każdego z tych dwóch typów systemów narzuca swój własny odcień stosowanemu aparatowi matematycznemu. Obliczenia charakterystyk eksploatacyjnych różnych typów QS można przeprowadzić na podstawie obliczenia prawdopodobieństw stanów QS (wzory Erlanga).

Ponieważ system jest zamknięty, do opisu problemu należy dodać warunek: przepływ napływających wymagań jest ograniczony, tj. w systemie obsługi nie może być jednocześnie więcej niż m wymagań (m to liczba obsługiwanych obiektów).

Jako główne kryteria charakteryzujące jakość funkcjonowania rozpatrywanego systemu wybierzemy: 1) stosunek średniej długości kolejki do największej liczby żądań znajdujących się jednocześnie w obsługującym systemie – współczynnik przestojów obsługiwanego obiektu; 2) stosunek średniej liczby nieobsługiwanych kanałów do ich całkowitej liczby – współczynnik niewykorzystania obsługiwanego kanału.

Rozważmy obliczenie niezbędnych cech probabilistycznych (wskaźników wydajności) zamkniętego QS.

1. Prawdopodobieństwo, że w systemie występuje k wymagań, pod warunkiem, że ich liczba nie przekracza liczby urządzeń usługowych n:

P. k = α k P. 0 , (1 ≤ k ≤ n),

Gdzie

λ to częstotliwość (natężenie) wymagań wprowadzanych do systemu z jednego źródła;

Średni czas obsługi jednego zgłoszenia;

m jest największą możliwą liczbą wymagań znajdujących się jednocześnie w systemie obsługującym;

n - liczba urządzeń serwisowych;

P 0 to prawdopodobieństwo, że wszystkie urządzenia serwisowe są wolne.

2. Prawdopodobieństwo, że w systemie występuje k żądań, pod warunkiem, że ich liczba jest większa od liczby urządzeń usługowych:

P. k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

Gdzie

3. Na podstawie warunku określa się prawdopodobieństwo, że wszystkie urządzenia serwisowe będą wolne

stąd,

4. Średnia liczba żądań oczekujących na uruchomienie usługi (średnia długość kolejki):

5. Poproś o stawkę za przestój w oczekiwaniu na usługę:

6. Prawdopodobieństwo, że wszystkie urządzenia serwisowe są zajęte:

7. Średnia liczba wymagań w systemie obsługującym (obsługiwanych i oczekujących na obsługę):

8. Wskaźnik całkowitego przestoju wymagań w zakresie konserwacji i oczekiwania na konserwację:

9. Średni czas przestoju zgłoszenia w kolejce do obsługi:

10. Średnia liczba urządzeń objętych bezpłatną usługą:

11. Wskaźnik przestojów urządzeń serwisowych:

12. Prawdopodobieństwo, że liczba żądań oczekujących na obsługę jest większa od pewnej liczby B (prawdopodobieństwo, że w kolejce do obsługi jest więcej niż B żądań):

Losowy proces Markowa o stanach dyskretnych i czasie ciągłym, omawiany w poprzednim wykładzie, odbywa się w systemach kolejkowych (QS).

Systemy kolejkowe – są to systemy, które otrzymują zgłoszenia o obsługę w losowych momentach, a otrzymane zgłoszenia są obsługiwane za pomocą dostępnych w systemie kanałów obsługi.

Przykładowe systemy kolejkowe obejmują:

• jednostki rozliczeniowe w bankach i przedsiębiorstwach;
• komputery osobiste obsługujące przychodzące aplikacje lub wymagania dotyczące rozwiązywania określonych problemów;
• stacje obsługi samochodów; stacja paliw;
• firmy audytorskie;
• wydziały kontroli podatkowej odpowiedzialne za przyjmowanie i weryfikację bieżącej sprawozdawczości przedsiębiorstw;
• centrale telefoniczne itp.

	Węzły	Wymagania
Szpital	Sanitariusze	Pacjenci
Produkcja
Lotnisko	Wyjścia na pasy startowe Punkty rejestracyjne	Pasażerowie

Rozważmy schemat działania QS (ryc. 1). System składa się z generatora zgłoszeń, dyspozytora i jednostki serwisowej, jednostki rozliczania awarii (terminator, niszczyciel zleceń). Ogólnie rzecz biorąc, węzeł usługowy może mieć kilka kanałów usługowych.

Ryż. 1

1. Generator aplikacji – żądania generujące obiekty: ulica, warsztat z zainstalowanymi urządzeniami. Wejście jest przepływ aplikacji(napływ klientów do sklepu, napływ uszkodzonych jednostek (maszyn, maszyn) do naprawy, napływ gości do garderoby, napływ samochodów na stację benzynową itp.).
2. Dyspozytor – osoba lub urządzenie, które wie, co zrobić z aplikacją. Węzeł regulujący i kierujący żądaniami do kanałów usługowych. Dyspozytor:

• przyjmuje wnioski;
• tworzy kolejkę, jeśli wszystkie kanały są zajęte;
• kieruje ich do kanałów usługowych, jeśli są darmowe;
• odrzuca wnioski (z różnych powodów);
• otrzymuje informacje od węzła serwisowego o bezpłatnych kanałach;
• monitoruje czas pracy systemu.

1. Kolejka – akumulator aplikacji. Może nie być kolejki.
2. Punkt serwisowy składa się ze skończonej liczby kanałów usług. Każdy kanał ma 3 stany: wolny, zajęty, niepracujący. Jeśli wszystkie kanały są zajęte, możesz opracować strategię dotyczącą tego, do kogo przekazać żądanie.
3. Odmowa z usługi następuje, gdy wszystkie kanały są zajęte (niektóre z nich mogą nie działać).

Oprócz tych podstawowych elementów QS, niektóre źródła podkreślają również następujące elementy:

terminator – niszczyciel transakcji;

magazyn – magazynowanie surowców i wyrobów gotowych;

rachunek księgowy – do dokonywania transakcji typu „księgowanie”;

menadżer – menadżer zasobów;

Klasyfikacja SMO

Pierwszy podział (ze względu na obecność kolejek):

• QS z awariami;
• SMO z kolejką.

W QS z awariami wniosek otrzymany w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, zostaje odrzucony, opuszcza QS i nie jest obsługiwany w przyszłości.

W Kolejka z kolejką aplikacja, która przychodzi w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, nie wychodzi, tylko ustawia się w kolejce i czeka na możliwość obsłużenia.

QS z kolejkami są podzielone na różne typy w zależności od sposobu organizacji kolejki - ograniczone lub nieograniczone. Ograniczenia mogą dotyczyć zarówno długości kolejki, jak i czasu oczekiwania, „dyscypliny obsługi”.

Rozważane są na przykład następujące QS:

• CMO z niecierpliwymi prośbami (długość kolejki i czas obsługi są ograniczone);
• QS z obsługą priorytetową, czyli część zgłoszeń obsługiwana jest poza kolejnością itp.

Rodzaje ograniczeń kolejek można łączyć.

Inna klasyfikacja dzieli CMO ze względu na źródło wniosków. Aplikacje (wymagania) mogą być generowane przez sam system lub przez jakieś środowisko zewnętrzne, istniejące niezależnie od systemu.

Oczywiście przepływ żądań generowanych przez sam system będzie zależał od systemu i jego stanu.

Ponadto QS są podzielone na otwarty CMO i Zamknięte SMO.

W otwartym QS charakterystyka przepływu aplikacji nie zależy od stanu samego QS (ile kanałów jest zajętych). W zamkniętym QS - zależą. Przykładowo, jeśli jeden pracownik obsługuje grupę maszyn, które od czasu do czasu wymagają regulacji, to intensywność przepływu „zapotrzebowań” ze strony maszyn zależy od tego, ile z nich jest już sprawnych i czeka na regulację.

Przykład systemu zamkniętego: kasjer wydający płace w przedsiębiorstwie.

Ze względu na liczbę kanałów QS dzielą się na:

• pojedynczy kanał;
• wielokanałowy.

Charakterystyka systemu kolejkowego

Główne cechy każdego rodzaju systemu kolejkowego to:

• strumień wejściowy przychodzących wymagań lub próśb o usługę;
• dyscyplina kolejkowa;
• mechanizm serwisowy.

Strumień wymagań wejściowych

Aby opisać strumień wejściowy, musisz określić prawo probabilistyczne określające kolejność momentów otrzymania prośby o doręczenie, i wskazać liczbę takich wymagań w każdym kolejnym paragonie. W tym przypadku z reguły operują koncepcją „probabilistycznego rozkładu momentów otrzymania wymagań”. Tutaj mogą wykonać następujące czynności: wymagania indywidualne i grupowe (liczbę takich wymagań w każdym regularnym paragonie). W tym drugim przypadku zwykle mówimy o systemie kolejkowym z obsługą grup równoległych.

A ja– czas przybycia pomiędzy wymaganiami – niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie;

E(A)– średni (MO) czas przybycia;

λ=1/E(A)– intensywność otrzymywania żądań;

Charakterystyka strumienia wejściowego:

1. Prawo probabilistyczne określające kolejność momentów otrzymania prośby o usługę.
2. Liczba żądań w każdym kolejnym przybyciu dla przepływów grupowych.

Dyscyplina kolejkowa

Kolejka – zbiór wymagań oczekujących na obsługę.

Kolejka ma swoją nazwę.

Dyscyplina kolejkowa definiuje zasadę, zgodnie z którą wymagania docierające na wejście systemu obsługującego są łączone z kolejki do procedury serwisowej. Najczęściej stosowane dyscypliny kolejek definiowane są przez następujące reguły:

• kto pierwszy ten lepszy;

pierwsze weszło, pierwsze wyszło (FIFO)

najczęstszy typ kolejki.

Jaka struktura danych jest odpowiednia do opisania takiej kolejki? Tablica jest zła (ograniczona). Możesz użyć struktury LIST.

Lista ma początek i koniec. Lista składa się z wpisów. Rekord to komórka listy. Aplikacja trafia na koniec listy, a do obsługi wybierana jest z początku listy. Rekord składa się z charakterystyki aplikacji oraz linku (wskaźnika tego, kto za nią stoi). Dodatkowo, jeżeli kolejka posiada limit czasu oczekiwania, wówczas należy wskazać także maksymalny czas oczekiwania.

Jako programiści powinniście umieć tworzyć listy dwukierunkowe i jednokierunkowe.

Lista działań:

• włóż do ogona;
• brać od początku;
• usuń z listy po upływie limitu czasu.
• Ostatni, który przybył - pierwszy, który zostanie obsłużony LIFO (zacisk do naboju, ślepy zaułek na stacji kolejowej, wszedł do zatłoczonego wagonu).

Struktura znana jako STACK. Można opisać za pomocą struktury tablicowej lub listowej;

• losowy wybór aplikacji;
• selekcja wniosków w oparciu o kryteria priorytetowe.

Każdy wniosek charakteryzuje się m.in. poziomem priorytetu i po wpłynięciu trafia nie na koniec kolejki, ale na koniec swojej grupy priorytetowej. Dyspozytor sortuje według priorytetów.

Charakterystyka kolejki

• ograniczenieczas oczekiwania moment obsługi (istnieje kolejka z ograniczonym czasem oczekiwania na obsługę, co wiąże się z pojęciem „dopuszczalnej długości kolejki”);
• długość kolejki.

Mechanizm serwisowy

Mechanizm serwisowy zdeterminowane charakterystyką samej procedury serwisowej i strukturą systemu usług. Charakterystyka procedury konserwacji obejmuje:

• liczba kanałów obsługi ( N);
• czas trwania procedury serwisowej (probabilistyczny rozkład czasu na potrzeby serwisowe);
• liczbę wymagań spełnionych w wyniku każdego takiego postępowania (w przypadku wniosków grupowych);
• prawdopodobieństwo awarii kanału usługowego;
• strukturę systemu usług.

Aby analitycznie opisać charakterystykę procedury serwisowej, stosuje się koncepcję „probabilistycznego rozkładu czasu na potrzeby obsługi”.

S- czas naprawy I-ty wymóg;

E(S)– średni czas obsługi;

μ=1/E(S)– szybkość obsługi zgłoszeń.

Należy zaznaczyć, że czas potrzebny na obsługę aplikacji jest zależny od charakteru samej aplikacji lub wymagań Klienta oraz od stanu i możliwości systemu serwisowego. W niektórych przypadkach należy również wziąć to pod uwagę prawdopodobieństwo awarii kanału serwisowego po pewnym ograniczonym czasie. Cechę tę można modelować jako strumień błędów wchodzących do QS i mających pierwszeństwo przed wszystkimi innymi żądaniami.

Wskaźnik wykorzystania QS

N·μ – prędkość serwisowa w systemie, gdy wszystkie urządzenia serwisowe są zajęte.

ρ=λ/( Nμ) – tzw współczynnik wykorzystania QS , pokazuje, ile zasobów systemowych jest używanych.

Struktura systemu usług

Strukturę systemu obsługi wyznacza liczba i względne rozmieszczenie kanałów obsługi (mechanizmy, urządzenia itp.). Przede wszystkim należy podkreślić, że system usług może posiadać więcej niż jeden kanał obsługi, ale kilka; System tego typu jest w stanie zaspokoić wiele wymagań jednocześnie. W tym przypadku wszystkie kanały usług oferują te same usługi i dlatego można tak argumentować usługa równoległa .

Przykład. Kasy fiskalne w sklepie.

System usług może składać się z kilku różnych typów kanałów usług, przez które musi przejść każde obsługiwane zapotrzebowanie, tj. w systemie usług procedury obsługi wymagań są konsekwentnie wdrażane . Mechanizm obsługi określa charakterystykę wychodzącego (obsługiwanego) przepływu żądań.

Przykład. Komisja lekarska.

Usługa łączona – obsługa lokat w kasie oszczędnościowej: najpierw kontroler, potem kasjer. Z reguły 2 kontrolerów na jednego kasjera.

Więc, funkcjonalność dowolnego systemu kolejkowego zależy od następujących głównych czynników :

• probabilistyczny rozkład momentów otrzymania wniosków o usługę (pojedynczych lub grupowych);
• moc źródła wymagań;
• probabilistyczny rozkład czasu trwania usługi;
• konfiguracja systemu obsługującego (usługa równoległa, sekwencyjna lub równoległo-sekwencyjna);
• liczba i produktywność kanałów obsługi;
• dyscyplina kolejkowa.

Główne kryteria efektywności funkcjonowania QS

Jak główne kryteria efektywności systemów kolejkowych W zależności od charakteru rozwiązywanego problemu mogą pojawić się następujące informacje:

• prawdopodobieństwo natychmiastowej obsługi przychodzącego wniosku (P obsl = K obs / K post);
• prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku przychodzącego (P open = K open / K post);

Oczywiście P obsl + P open =1.

Przepływy, opóźnienia, konserwacja. Wzór Pollachecka-Khinchina

Opóźnienie – jednym z kryteriów obsługi QS jest czas oczekiwania aplikacji na obsługę.

D ja– opóźnienie w kolejce wniosków I;

W i = D ja + S i– czas wymagany w systemie I.

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalone średnie opóźnienie żądania w kolejce;

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalony średni czas przebywania wymagania w QS (oczekiwania).

Q(T) - liczba żądań w kolejce jednocześnie T;

L(T)– liczbę wymagań w systemie jednocześnie T(Q(T) plus liczba wymagań, które są obsługiwane jednocześnie T.

Następnie wskaźniki (jeśli istnieją)

(z prawdopodobieństwem 1) – stała średnia liczba żądań w kolejce w czasie;

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalona średnia liczba żądań w systemie w czasie.

Zauważ, że ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q I L w systemie kolejkowym.

Jeśli pamiętamy, że ρ= λ/( Nμ), to jasne jest, że jeśli intensywność przyjmowania wniosków jest większa niż Nμ, to ρ>1 i jest rzeczą naturalną, że system nie będzie w stanie poradzić sobie z takim napływem wniosków, dlatego nie możemy mówić o ilościach d, w, Q I L.

Najbardziej ogólne i niezbędne wyniki dla systemów kolejkowych obejmują równania zachowania

Należy zaznaczyć, że powyższe kryteria oceny wydajności systemu można obliczyć analitycznie dla systemów kolejkowych M/M/N(N>1), czyli systemy z przepływami Markowa żądań i usług. Dla M/G/ l dla dowolnej dystrybucji G i dla niektórych innych systemów. Ogólnie rzecz biorąc, rozkład czasu między przyjazdami, rozkład czasu obsługi lub oba muszą być wykładnicze (lub jakiś rodzaj wykładniczego rozkładu Erlanga k-tego rzędu), aby możliwe było rozwiązanie analityczne.

Ponadto możemy mówić również o cechach takich jak:

• bezwzględna wydajność systemu – А=Р obsl *λ;
• względna wydajność systemu –

Kolejny ciekawy (i ilustracyjny) przykład rozwiązania analitycznego – obliczanie średniego opóźnienia w stanie ustalonym w kolejce dla systemu kolejkowego M/G/ 1 według wzoru:

.

W Rosji wzór ten znany jest jako wzór Pollacka – Khinchin, za granicą ta formuła jest kojarzona z imieniem Rossa.

Zatem jeśli E(S) jest większa, to przeciążenie (w tym przypadku mierzone jako D) będzie większy; czego należy się spodziewać. Ze wzoru wynika także mniej oczywisty fakt: zatory rosną także wtedy, gdy wzrasta zmienność rozkładu czasu obsługi, nawet jeśli średni czas obsługi pozostaje taki sam. Intuicyjnie można to wytłumaczyć w następujący sposób: wariancja zmiennej losowej czasu obsługi może przyjąć dużą wartość (bo musi być dodatnia), czyli jedyne urządzenie serwisowe będzie przez dłuższy czas zajęte, co doprowadzi do wzrost kolejki.

Przedmiot teorii kolejek polega na ustaleniu związku pomiędzy czynnikami decydującymi o funkcjonalności systemu kolejkowego a efektywnością jego działania. W większości przypadków wszystkie parametry opisujące systemy kolejkowe są zmiennymi lub funkcjami losowymi, dlatego też systemy te należą do systemów stochastycznych.

Losowy charakter przepływu wniosków (wymagań), a także w ogólnym przypadku czas trwania usługi powoduje, że w systemie kolejkowym zachodzi proces losowy. Z natury procesu losowego Wyróżnia się , występujące w systemie kolejkowym (QS). Systemy Markowskie i nieMarkowskie . W systemach Markowa przychodzący przepływ wymagań i wychodzący przepływ obsługiwanych wymagań (aplikacje) to Poissona. Przepływy Poissona ułatwiają opisanie i zbudowanie modelu matematycznego systemu kolejkowego. Modele te mają dość proste rozwiązania, dlatego większość znanych zastosowań teorii kolejek wykorzystuje schemat Markowa. W przypadku procesów nieMarkowskich problematyka badania systemów kolejkowych staje się znacznie bardziej skomplikowana i wymaga zastosowania modelowania statystycznego oraz metod numerycznych z wykorzystaniem komputera.