선에 대해 대칭인 점을 찾는 방법.

공간의 직선은 항상 평행하지 않은 두 평면의 교차선으로 정의될 수 있습니다. 한 평면의 방정식이 두 번째 평면의 방정식이면 선의 방정식은 다음과 같이 주어집니다.

여기 비공선적
. 이러한 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 일반 방정식 바로 우주에서.

선의 정식 방정식

주어진 선에 있거나 그에 평행한 0이 아닌 벡터를 이 선의 방향 벡터라고 합니다.

요점이 알려지면
직선과 그 방향 벡터
, 그러면 선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (9)

선의 매개변수 방정식

직선의 표준 방정식을 제시해 보겠습니다.

.

여기에서 우리는 선의 매개변수 방정식을 얻습니다.

(10)

이 방정식은 선과 평면의 교차점을 찾는 데 유용합니다.

두 점을 지나는 직선의 방정식
그리고
형식은 다음과 같습니다.

.

직선 사이의 각도

직선 사이의 각도

그리고

방향 벡터 사이의 각도와 같습니다. 따라서 공식 (4)를 사용하여 계산할 수 있습니다.

평행선의 조건:

.

평면이 수직이 되는 조건:

선에서 점까지의 거리

피 요점이 주어 졌다고 가정 해 봅시다
그리고 똑바로

.

직선의 표준 방정식으로부터 우리는 점을 알고 있습니다
, 선에 속함 및 방향 벡터
. 그러면 점의 거리가
직선으로부터의 높이는 벡터 위에 만들어진 평행사변형의 높이와 같습니다 그리고
. 따라서,

.

선의 교차 조건

평행하지 않은 두 개의 선

,

교차하는 경우와 경우에만

.

직선과 평면의 상대적인 위치.

직선을 주자
그리고 비행기. 모서리 그 사이는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다

.

문제 73.직선의 표준 방정식을 작성하세요

(11)

해결책. 직선 (9)의 정준 방정식을 적으려면 직선에 속하는 임의의 점과 직선의 방향 벡터를 알아야 합니다.

벡터를 찾아보자 , 이 선과 평행합니다. 이는 이들 평면의 법선 벡터에 수직이어야 하기 때문에, 즉

,
, 저것

.

직선의 일반 방정식으로부터 우리는 다음을 얻습니다.
,
. 그 다음에

.

시점부터
선 위의 임의의 점의 좌표는 선의 방정식을 충족해야 하며 그 중 하나를 지정할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
, 시스템 (11)에서 다른 두 좌표를 찾습니다.

여기에서,
.

따라서 원하는 라인의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는
.

문제 74.

그리고
.

해결책.첫 번째 줄의 표준 방정식에서 점의 좌표가 알려져 있습니다.
, 선에 속하고 방향 벡터의 좌표
. 두 번째 줄의 표준 방정식에서 점의 좌표도 알려져 있습니다.
방향 벡터의 좌표
.

평행선 사이의 거리는 점의 거리와 같습니다
두 번째 직선에서. 이 거리는 공식으로 계산됩니다.

.

벡터의 좌표를 구해보자
.

벡터곱을 계산해보자
:

.

문제 75.포인트 찾기 대칭점
비교적 직선

.

해결책. 주어진 직선에 수직이고 한 점을 통과하는 평면의 방정식을 적어 보겠습니다. . 법선 벡터로 직선의 방향 벡터를 취할 수 있습니다. 그 다음에
. 따라서,

점을 찾아보자
이 선과 평면 P의 교차점. 이를 위해 방정식 (10)을 사용하여 선의 매개 변수 방정식을 작성하면 다음과 같습니다.

따라서,
.

허락하다
점과 대칭인 점
이 라인에 상대적입니다. 그럼 가리켜
중간점
. 점의 좌표를 찾으려면 세그먼트의 중간점 좌표에 대한 공식을 사용합니다.

,
,
.

그래서,
.

문제 76.선을 통과하는 평면의 방정식을 쓰세요
그리고

a) 지점을 통해
;

b) 평면에 수직.

해결책.이 선의 일반 방정식을 적어 보겠습니다. 이렇게 하려면 다음 두 가지 평등을 고려하세요.

이는 원하는 평면이 생성기가 포함된 평면 묶음에 속하며 해당 방정식은 다음 형식(8)으로 작성될 수 있음을 의미합니다.

가) 찾아보자
그리고 비행기가 그 점을 통과한다는 조건에서
, 그러므로 그 좌표는 평면의 방정식을 만족해야 합니다. 점의 좌표를 대입해보자
여러 평면의 방정식으로:

발견된 값
이를 식 (12)에 대입해보자. 원하는 평면의 방정식을 얻습니다.

b) 찾아보자
그리고 원하는 평면이 평면에 수직이라는 조건에서. 주어진 평면의 법선 벡터
, 원하는 평면의 법선 벡터(평면 묶음의 방정식(12) 참조)

두 벡터는 내적이 0인 경우에만 수직입니다. 따라서,

찾은 값을 대체하자
여러 평면의 방정식으로 들어가십시오 (12). 원하는 평면의 방정식을 얻습니다.

독립적으로 해결해야 할 문제

문제 77.선 방정식의 표준 형식을 가져옵니다.

1)
2)

문제 78.선의 매개변수 방정식 작성
, 만약에:

1)
,
; 2)
,
.

문제 79. 점을 지나는 평면의 방정식을 쓰시오.
직선에 수직

문제 80.한 점을 통과하는 선의 방정식을 작성하세요.
평면에 수직.

문제 81.직선 사이의 각도를 구합니다.

1)
그리고
;

2)
그리고

문제 82.평행선 증명:

그리고
.

문제 83.선의 직각성을 증명하십시오.

그리고

문제 84.포인트 거리 계산
직선에서:

1)
; 2)
.

문제 85.평행선 사이의 거리를 계산합니다.

그리고
.

문제 86. 직선의 방정식에서
매개변수 정의 이 선이 선과 교차하고 교차점을 찾으십시오.

문제 87. 직선임을 보여라
평면과 평행
, 그리고 직선
이 비행기에 누워 있어요.

문제 88. 포인트 찾기 대칭점 비행기에 비해
, 만약에:

1)
, ;

2)
, ;.

문제 89.한 점에서 떨어진 수직선의 방정식을 쓰세요
곧장
.

문제 90. 포인트 찾기 대칭점
비교적 직선
.

오오오오오... 글쎄요, 혼자 문장을 읽는 것처럼 힘들어요 =) 하지만 휴식은 나중에 도움이 될 것입니다. 특히 오늘은 적절한 액세서리를 구입했기 때문에 더욱 그렇습니다. 그러므로 첫 번째 섹션으로 넘어가서 기사가 끝날 때까지 밝은 분위기를 유지하기를 바랍니다.

두 선의 상대적 위치

청중이 합창으로 따라 부를 때의 경우이다. 직선 2개 가능:

1) 일치;

2) 평행하다: ;

3) 또는 단일 지점에서 교차: .

인형을 위한 도움말 : 수학적 교차 기호를 기억하세요. 매우 자주 나타납니다. 표기법은 선이 점 에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.

두 선의 상대적 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까?

첫 번째 사례부터 시작해 보겠습니다.

해당 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 일치합니다.즉, 등식이 충족되는 숫자 "람다"가 있습니다.

직선을 고려하고 해당 계수로부터 세 가지 방정식을 만들어 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선이 일치합니다.

실제로 방정식의 모든 계수가 –1(변경 부호)을 곱하고 방정식의 모든 계수 2로 자르면 동일한 방정식을 얻게 됩니다.

두 번째 경우는 선이 평행한 경우입니다.

변수의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. , 하지만.

예를 들어 두 개의 직선을 생각해 보세요. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다.

그러나 그것은 매우 분명합니다.

세 번째 경우는 선이 교차하는 경우입니다.

변수의 계수가 비례하지 않는 경우에만 두 선이 교차합니다.즉, 등식이 충족되는 "람다" 값이 없습니다.

따라서 직선의 경우 시스템을 만듭니다.

첫 번째 방정식에서는 , 두 번째 방정식에서는 다음과 같습니다. 시스템이 일관성이 없다(솔루션 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.

결론: 선이 교차한다

실제 문제에서는 방금 논의한 해결 방법을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 이것은 우리가 수업 시간에 살펴본 벡터의 공선성을 확인하는 알고리즘과 매우 유사합니다. 벡터의 선형(비)의존성의 개념. 벡터의 기초. 그러나 좀 더 문명화된 포장이 있습니다.

실시예 1

선의 상대적 위치를 알아보세요.

해결책직선의 벡터 방향에 대한 연구를 기반으로:

a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. .

, 이는 벡터가 동일 선상에 있지 않고 선이 교차함을 의미합니다.

혹시라도 교차로에 표지판이 있는 돌을 놓겠습니다.

나머지는 돌을 뛰어 넘어 불멸의 카쉬 체이를 향해 곧장 따라갑니다 =)

b) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

선은 방향 벡터가 동일합니다. 이는 평행하거나 일치함을 의미합니다. 여기서는 행렬식을 계산할 필요가 없습니다.

미지수의 계수가 비례한다는 것은 명백합니다.

평등이 사실인지 알아 보겠습니다.

따라서,

c) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.
따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.

비례 계수 "람다"는 동일선상 방향 벡터의 비율에서 직접 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. .

이제 평등이 사실인지 알아 보겠습니다. 두 자유 조건 모두 0이므로 다음과 같습니다.

결과 값은 이 방정식을 만족합니다(일반적으로 임의의 숫자가 이를 만족함).

따라서 선이 일치합니다.

답변:

곧 당신은 구두로 논의된 문제를 문자 그대로 몇 초 만에 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공하는 데 아무런 의미가 없다고 생각합니다. 기하학적 기초에 또 다른 중요한 벽돌을 놓는 것이 좋습니다.

주어진 선과 평행한 선을 만드는 방법은 무엇입니까?

이 간단한 작업에 대한 무지로 인해 강도 나이팅게일은 가혹하게 처벌됩니다.

실시예 2

직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 통과하는 평행선의 방정식을 작성하십시오.

해결책: 알 수 없는 행을 문자로 표시합시다. 그 상태는 그녀에 대해 무엇을 말해주는가? 직선이 점을 통과합니다. 그리고 선들이 평행하다면 직선 "tse"의 방향 벡터가 직선 "de"를 구성하는 데에도 적합하다는 것이 분명합니다.

방정식에서 방향 벡터를 가져옵니다.

답변:

예제의 기하학은 단순해 보입니다.

분석 테스트는 다음 단계로 구성됩니다.

1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터가 동일선상에 위치하게 됩니다).

2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.

대부분의 경우 분석 테스트는 구두로 쉽게 수행할 수 있습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림을 그리지 않고도 선의 평행성을 빠르게 결정할 수 있습니다.

오늘날 독립적인 솔루션의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 ​​​​Baba Yaga와 경쟁해야하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.

실시예 3

다음과 같은 경우 직선과 평행한 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하세요.

합리적이고 합리적이지 않은 해결 방법이 있습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.

우리는 평행선에 대해 약간 작업했으며 나중에 다시 설명하겠습니다. 일치하는 선의 경우에는 별 관심이 없으므로 학교 커리큘럼에서 매우 친숙한 문제를 고려해 보겠습니다.

두 선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까?

직선이라면 점에서 교차하면 그 좌표가 해가 됩니다. 선형 방정식 시스템

선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까? 시스템을 해결합니다.

여기요 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 선형 방정식 시스템의 기하학적 의미- 이것은 평면에서 교차하는 두 개의 (가장 자주) 선입니다.

실시예 4

선의 교차점 찾기

해결책: 해결 방법에는 그래픽과 분석의 두 가지 방법이 있습니다.

그래픽 방법은 단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다.

우리의 요점은 다음과 같습니다. 확인하려면 해당 좌표를 선의 각 방정식으로 대체해야 하며 거기 저기 모두 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템에 대한 해입니다. 기본적으로 우리는 그래픽 솔루션을 살펴보았습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식과 두 개의 미지수가 있습니다.

물론 그래픽 방식은 나쁘지 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요, 요점은 7학년 학생들이 이런 식으로 결정한다는 것이 아니라 정확하고 정확한 그림을 만드는 데 시간이 걸린다는 것입니다. 또한 일부 직선은 구성하기가 쉽지 않으며 교차점 자체가 노트 시트 외부의 제30왕국 어딘가에 위치할 수도 있습니다.

따라서 분석적 방법을 사용하여 교차점을 검색하는 것이 더 편리합니다. 시스템을 해결해 봅시다:

시스템을 해결하기 위해 방정식을 항별로 추가하는 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 수업을 들어보세요. 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

답변:

검사는 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.

실시예 5

선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 작업을 여러 단계로 나누는 것이 편리합니다. 상태를 분석하면 다음이 필요하다는 것을 알 수 있습니다.
1) 직선의 방정식을 적어보세요.
2) 직선의 방정식을 적어보세요.
3) 선의 상대적인 위치를 알아보세요.
4) 선이 교차하는 경우 교차점을 찾습니다.

동작 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에서 일반적이며 이에 대해 반복적으로 집중하겠습니다.

전체 솔루션 및 답변은 ​​강의 마지막 부분에 나와 있습니다.

우리가 수업의 두 번째 부분에 도달할 때까지 신발 한 켤레도 닳지 않았습니다.

수직선. 점에서 선까지의 거리.
직선 사이의 각도

일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 이 직선과 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠으며 이제 닭다리가 달린 오두막이 90도 회전합니다.

주어진 선에 수직인 선을 만드는 방법은 무엇입니까?

실시예 6

직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 지나는 선에 수직인 방정식을 쓰세요.

해결책: 조건에 따르면 . 선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 요령은 간단합니다.

방정식에서 법선 벡터를 "제거"합니다. 이는 직선의 방향 벡터가 됩니다.

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.

답변:

기하학적 스케치를 확장해 보겠습니다.

흠... 주황색 ​​하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.

솔루션의 분석적 검증:

1) 방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다. 그리고 도움으로 벡터의 스칼라 곱우리는 선이 실제로 수직이라는 결론에 도달합니다.

그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있습니다. 훨씬 더 쉽습니다.

2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다. .

테스트는 구두로 수행하기 쉽습니다.

실시예 7

방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 그리고 기간.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제에는 여러 가지 조치가 있으므로 솔루션을 하나씩 공식화하는 것이 편리합니다.

우리의 흥미로운 여정은 계속됩니다:

점에서 선까지의 거리

우리 앞에는 강이 직선으로 뻗어 있고 우리의 임무는 최단 경로로 그곳에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직을 따라 이동하는 것입니다. 즉, 점에서 선까지의 거리가 수직 선분의 길이입니다.

기하학에서의 거리는 전통적으로 그리스 문자 "rho"로 표시됩니다. 예를 들어 – 점 "em"에서 직선 "de"까지의 거리입니다.

점에서 선까지의 거리 공식으로 표현

실시예 8

점에서 선까지의 거리 구하기

해결책: 여러분이 해야 할 일은 조심스럽게 숫자를 공식에 대입하고 계산을 수행하는 것입니다.

답변:

그림을 그려보자:

점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 선분의 길이입니다. 체크무늬 종이에 1단위 단위로 그림을 그리는 경우. = 1cm(2셀)이면 일반 눈금자로 거리를 측정할 수 있습니다.

동일한 도면을 기반으로 다른 작업을 고려해 보겠습니다.

과제는 직선을 기준으로 점과 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. . 단계를 직접 수행하는 것이 좋지만 중간 결과가 포함된 솔루션 알고리즘을 개략적으로 설명하겠습니다.

1) 직선과 수직인 직선을 찾아라.

2) 선의 교차점을 찾으십시오. .

이 단원에서는 두 가지 작업에 대해 자세히 설명합니다.

3) 지점은 세그먼트의 중간 지점입니다. 우리는 중앙과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간점 좌표에 대한 공식우리는 찾는다 .

거리도 2.2단위인지 확인해보시면 좋을 것 같습니다.

여기에서는 계산이 어려울 수 있지만 마이크로 계산기는 탑에서 큰 도움이 되어 일반 분수를 계산할 수 있습니다. 제가 여러번 조언해드렸고, 또 추천해드리겠습니다.

두 평행선 사이의 거리를 구하는 방법은 무엇입니까?

실시예 9

두 평행선 사이의 거리 찾기

이것은 스스로 결정할 수 있는 또 다른 예입니다. 작은 힌트를 드리겠습니다. 이 문제를 해결하는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝나면보고를하지만 스스로 추측하는 것이 더 낫습니다. 독창성이 잘 발달했다고 생각합니다.

두 직선 사이의 각도

모든 구석이 잼입니다.


기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며, 이로부터 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 원호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 그의 "친환경" 이웃 또는 반대 방향"라즈베리" 코너.

선이 수직인 경우 네 각도 중 하나를 두 각도 사이의 각도로 사용할 수 있습니다.

각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 각도가 "스크롤"되는 방향이 근본적으로 중요합니다. 둘째, 음수 방향의 각도는 빼기 기호로 작성됩니다(예: if ).

내가 왜 이것을 말했습니까? 각도에 대한 일반적인 개념으로 해결할 수 있는 것 같습니다. 사실 우리가 각도를 찾는 공식은 쉽게 부정적인 결과를 초래할 수 있으며 이는 놀랄 일이 아닙니다. 빼기 기호가 있는 각도도 나쁘지 않으며 매우 특정한 기하학적 의미를 갖습니다. 도면에서 음각의 경우 화살표(시계 방향)로 방향을 표시해야 합니다.

두 직선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?두 가지 작업 공식이 있습니다:

실시예 10

선 사이의 각도 찾기

해결책그리고 방법 1

일반적인 형태의 방정식으로 정의된 두 개의 직선을 고려해 보겠습니다.

직선이라면 수직이 아닌, 저것 지향그들 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

분모에 세심한 주의를 기울이자. 이것이 바로 스칼라 곱직선 벡터 방향 지정:

이면 공식의 분모는 0이 되고 벡터는 직교하고 선은 수직이 됩니다. 이것이 공식화에서 직선의 비수직성에 대한 유보가 이루어진 이유입니다.

위의 내용을 바탕으로 두 단계로 솔루션을 공식화하는 것이 편리합니다.

1) 선의 방향 벡터의 스칼라 곱을 계산해 보겠습니다.
, 이는 선이 수직이 아님을 의미합니다.

2) 다음 공식을 사용하여 직선 사이의 각도를 구합니다.

역함수를 이용하면 각도 자체를 쉽게 구할 수 있습니다. 이 경우 아크탄젠트의 홀수를 사용합니다(참조. 기본 함수의 그래프 및 속성):

답변:

귀하의 답변에는 계산기를 사용하여 계산된 정확한 값과 대략적인 값(도와 라디안이 바람직함)이 표시됩니다.

글쎄, 마이너스, 마이너스, 별거 아니야. 다음은 기하학적 그림입니다.

문제 설명에서 첫 번째 숫자는 직선이고 각도의 "나사 풀기"가 정확하게 시작되었기 때문에 각도가 음의 방향으로 판명된 것은 놀라운 일이 아닙니다.

정말로 양의 각도를 얻으려면 선을 바꿔야 합니다. 즉, 두 번째 방정식에서 계수를 가져와야 합니다. , 첫 번째 방정식에서 계수를 가져옵니다. 간단히 말해서, 직접 시작해야 합니다. .

문제의 공식화. 한 점에 대칭인 점의 좌표 찾기 비행기에 비해.

솔루션 계획.

1. 주어진 평면에 수직이고 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다. . 직선은 주어진 평면에 수직이므로 평면의 법선 벡터를 방향 벡터로 사용할 수 있습니다.

.

따라서 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

.

2. 포인트 찾기 직선의 교차점 그리고 비행기(문제 13 참조).

3. 포인트 점이 있는 세그먼트의 중간점입니다. 점에 대칭인 점이다 , 그렇기 때문에

문제 14. 평면을 기준으로 점과 대칭인 점을 찾습니다.

주어진 평면에 수직인 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

.

선과 평면의 교점을 찾아봅시다.

어디 – 선분과 평면의 교차점은 선분의 중앙입니다.

저것들. .

동종 평면 좌표. 평면에서의 아핀 변환.

허락하다 중 엑스그리고 ~에

중(엑스, ~에매 (엑스, ~에, 1) 우주에서 (그림 8).

매 (엑스, ~에

매 (엑스, ~에 후.

(hx, hy, h), h  0,

논평

시간(예를 들어, 시간

사실 고려해보면 시간

논평

예시 1.

비) 각도로 (그림 9).

1단계.

2단계.각도별로 회전 

해당 변환의 행렬.

3단계.벡터 A(a, 비)

해당 변환의 행렬.

실시예 3

 x축을 따라 그리고

1단계.

해당 변환의 행렬.

2단계.

3단계.

우리는 마침내 그것을 얻을 것이다

논평

[R],[D],[M],[T],

허락하다 중- 좌표가 있는 평면의 임의 지점 엑스그리고 ~에, 주어진 직선 좌표계를 기준으로 계산됩니다. 이 점의 동차 좌표는 다음 관계에 의해 주어진 숫자 x 및 y와 관련된 동시에 0이 아닌 숫자 x 1, x 2, x 3의 삼중입니다.

컴퓨터 그래픽 문제를 해결할 때 동차 좌표는 일반적으로 다음과 같이 입력됩니다. 임의의 지점까지 중(엑스, ~에) 평면에 점이 지정됩니다 매 (엑스, ~에, 1) 우주에서 (그림 8).

원점인 0(0, 0, 0)과 그 점을 연결하는 선상의 임의의 점에 주목하세요. 매 (엑스, ~에, 1)은 (hx, hy, h) 형식의 세 개의 숫자로 표시될 수 있습니다.

좌표 hx, hy를 갖는 벡터는 점 0(0, 0, 0)과 점 0을 연결하는 직선의 방향 벡터입니다. 매 (엑스, ~에, 1). 이 선은 좌표 평면의 점 (x, y)를 고유하게 정의하는 점 (x, y, 1)에서 z = 1 평면과 교차합니다. 후.

따라서 좌표 (x, y)가 있는 임의의 점과 형식의 세 개의 숫자 집합 사이

(hx, hy, h), h  0,

숫자 hx, hy, h를 이 점의 새 좌표로 간주할 수 있는 (일대일) 대응이 설정됩니다.

논평

투영 기하학에서 널리 사용되는 동차 좌표를 사용하면 소위 부적절한 요소(본질적으로 투영 평면이 친숙한 유클리드 평면과 다른 요소)를 효과적으로 설명할 수 있습니다. 도입된 동차 좌표가 제공하는 새로운 가능성에 대한 자세한 내용은 이 장의 네 번째 섹션에서 논의됩니다.

동차 좌표에 대한 투영 기하학에서는 다음 표기법이 허용됩니다.

x:y:1 또는 더 일반적으로는 x1:x2:x3

(여기서 숫자 x 1, x 2, x 3이 동시에 0으로 바뀌지 않는 것이 절대적으로 필요하다는 것을 기억하십시오).

동차 좌표를 사용하면 가장 간단한 문제를 해결할 때에도 편리한 것으로 나타났습니다.

예를 들어 규모 변화와 관련된 문제를 생각해 보세요. 디스플레이 장치가 정수로만 작동하는 경우(또는 정수로만 작업해야 하는 경우) 임의의 값에 대해 시간(예를 들어, 시간= 1) 동종 좌표를 갖는 점

상상할 수 없습니다. 그러나 h를 합리적으로 선택하면 이 점의 좌표가 정수임을 보장할 수 있습니다. 특히, 고려중인 예에서 h = 10에 대해 우리는

또 다른 경우를 생각해 봅시다. 변환 결과가 산술 오버플로로 이어지는 것을 방지하려면 좌표(80000 40000 1000)가 있는 점의 경우 예를 들어 h=0.001을 사용할 수 있습니다. 결과적으로 (80 40 1)을 얻습니다.

주어진 예는 계산을 수행할 때 동차 좌표를 사용하는 것의 유용성을 보여줍니다. 그러나 컴퓨터 그래픽에 동차 좌표를 도입하는 주요 목적은 기하학적 변환에 적용할 때 의심할 여지 없는 편리함입니다.

3중 동차 좌표와 3차 행렬을 사용하여 평면의 모든 아핀 변환을 설명할 수 있습니다.

사실 고려해보면 시간= 1, 두 항목을 비교합니다. 기호 *로 표시되고 다음 행렬이 표시됩니다.

마지막 관계의 오른쪽에 있는 표현식을 곱한 후 공식(*)과 올바른 수치 동등성 1=1을 모두 얻는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

논평

때로는 문헌에서 또 다른 표기법인 열 표기법이 사용됩니다.

이 표기법은 위의 한 줄씩 표기법과 동일합니다(전치를 통해 얻습니다).

임의의 아핀 변환 행렬의 요소는 명시적인 기하학적 의미를 갖지 않습니다. 따라서 특정 매핑을 구현하려면, 즉 주어진 기하학적 설명에 따라 해당 행렬의 요소를 찾으려면 특별한 기술이 필요합니다. 일반적으로 이 매트릭스의 구성은 고려 중인 문제의 복잡성과 위에서 설명한 특수 사례에 따라 여러 단계로 나뉩니다.

각 단계에서 잘 정의된 기하학적 특성을 갖는 위의 사례 A, B, C 또는 D 중 하나 또는 다른 사례에 해당하는 행렬이 검색됩니다.

이에 대응하는 3차 행렬을 적어 보겠습니다.

A. 회전 행렬

B. 팽창 행렬

B. 반사 매트릭스

D. 전달 매트릭스(번역)

평면의 아핀 변환의 예를 고려해 봅시다.

예시 1.

점 A(a,비) 각도로 (그림 9).

1단계.벡터로 전송 - A(-a, -b)를 사용하여 회전 중심을 좌표 원점과 정렬합니다.

해당 변환의 행렬.

2단계.각도별로 회전 

해당 변환의 행렬.

3단계.벡터 A(a, 비)회전 중심을 이전 위치로 되돌립니다.

해당 변환의 행렬.

작성된 순서와 동일한 순서로 행렬을 곱해 보겠습니다.

결과적으로 원하는 변환(행렬 표기법)은 다음과 같습니다.

결과 행렬의 요소(특히 마지막 행)는 기억하기 쉽지 않습니다. 동시에, 세 개의 곱셈 행렬 각각은 해당 매핑의 기하학적 설명으로부터 쉽게 구성될 수 있습니다.

실시예 3

신축 계수를 사용하여 신축 행렬 생성 x축을 따라 그리고 세로축을 따라 점 A(a, b)를 중심으로 합니다.

1단계.스트레칭 중심을 좌표 원점과 정렬하기 위해 벡터 -A(-a, -b)로 전송합니다.

해당 변환의 행렬.

2단계.각각 계수  및 를 사용하여 좌표축을 따라 늘어납니다. 변환 행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

3단계.장력 중심을 이전 위치로 되돌리기 위해 벡터 A(a, b)로 이동합니다. 해당 변환의 행렬 -

동일한 순서로 행렬 곱하기

우리는 마침내 그것을 얻을 것이다

논평

비슷한 방식으로 추론합니다. 즉, 제안된 변환을 행렬이 지원하는 단계로 나누는 것입니다.[R],[D],[M],[T], 기하학적 설명으로부터 어떤 아핀 변환의 행렬도 구성할 수 있습니다.

이동은 덧셈으로 구현되고, 크기 조정 및 회전은 곱셈으로 구현됩니다.

스케일링 변환 (팽창) 원점에 상대적인 형식은 다음과 같습니다.

또는 행렬 형태로:

어디 디엑스,디와이축을 따른 배율 인수입니다.

- 스케일링 매트릭스.

D > 1이면 확장이 발생하고 0이면 확장이 발생합니다.<=D<1- сжатие

회전 변환 원점에 상대적인 형식은 다음과 같습니다.

또는 행렬 형태로:

여기서 Φ는 회전 각도이고,

- 회전 행렬.

논평:회전 행렬의 열과 행은 서로 직교하는 단위 벡터입니다. 실제로 행 벡터 길이의 제곱은 1과 같습니다.

cosΦ cosΦ+sinΦ sinΦ = 1 및 (-sinΦ) (-sinΦ)+cosΦ cosΦ = 1,

행 벡터의 스칼라 곱은 다음과 같습니다.

cosΦ (-sinΦ) + sinΦ cosΦ= 0.

벡터의 스칼라 곱 이후 ㅏ · 비 = |ㅏ| ·| 비| ·cosψ, 여기서 | ㅏ| - 벡터 길이 ㅏ, |비| - 벡터 길이 비, 그리고 ψ는 그들 사이의 가장 작은 양의 각도이고, 길이가 1인 두 행 벡터의 스칼라 곱의 동등성 0으로부터 그들 사이의 각도는 90°가 됩니다.

선형 방정식으로 정의된 특정 직선과 좌표(x0, y0)로 정의되고 이 선 위에 있지 않은 점이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 직선을 중심으로 주어진 점과 대칭이 되는 점, 즉 평면이 이 직선을 따라 정신적으로 반으로 구부러지면 그 점과 일치하는 점을 찾는 것이 필요합니다.

지침

1. 주어진 점과 원하는 점 모두 동일한 선에 있어야 하며 이 선은 주어진 점과 수직이어야 한다는 것이 분명합니다. 따라서 문제의 첫 번째 부분은 주어진 선에 수직이면서 동시에 주어진 점을 통과하는 선의 방정식을 찾는 것입니다.

2. 직선은 두 가지 방법으로 지정할 수 있습니다. 직선의 표준 방정식은 다음과 같습니다: Ax + By + C = 0, 여기서 A, B 및 C는 상수입니다. 선형 함수를 사용하여 직선을 결정할 수도 있습니다. y = kx + b, 여기서 k는 각도 지수, b는 변위입니다. 이 두 가지 방법은 서로 바꿔 사용할 수 있습니다. Ax + By + C = 0이면 y = – (Ax + C)/B입니다. 즉, 선형 함수 y = kx + b에서 각도 지수 k = -A/B, 변위 b = -C/B입니다. 당면한 작업의 경우 직선의 표준 방정식을 기반으로 추론하는 것이 더 편안합니다.

3. 두 선이 서로 수직이고 첫 번째 선의 방정식이 Ax + By + C = 0이면 두 번째 선의 방정식은 Bx – Ay + D = 0과 같아야 합니다. 여기서 D는 상수입니다. 특정 D값을 검출하기 위해서는 수직선이 어느 지점을 통과하는지 추가적으로 알아야 한다. 이 경우 이는 점 (x0, y0)입니다. 결과적으로 D는 Bx0 – Ay0 + D = 0, 즉 D = Ay0 – Bx0을 충족해야 합니다.

4. 수직선을 찾은 후에는 주어진 수직선과의 교차점 좌표를 계산해야 합니다. 이렇게 하려면 선형 방정식 시스템을 풀어야 합니다: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. 해당 솔루션은 좌표 역할을 하는 숫자 (x1, y1)를 제공합니다. 선의 교차점.

5. 원하는 점은 감지된 선 위에 있어야 하며, 교차점까지의 거리는 교차점에서 점(x0, y0)까지의 거리와 같아야 합니다. 따라서 점 (x0, y0)에 대칭인 점의 좌표는 방정식 시스템을 풀어서 찾을 수 있습니다: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. 하지만 더 쉽게 할 수 있습니다. 점 (x0, y0)과 (x, y)가 점 (x1, y1)에서 동일한 거리에 있고 세 점이 모두 동일한 직선 위에 있는 경우 x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. 결과적으로 x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0입니다. 이 값을 첫 번째 시스템의 두 번째 방정식에 대입하고 식을 단순화하면 오른쪽이 왼쪽과 같아지는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다. 또한, 첫 번째 방정식을 더 이상 고려할 필요가 없습니다. 왜냐하면 점 (x0, y0)과 (x1, y1)이 이를 만족하고 점 (x, y)가 분명히 같은 선 위에 있다는 것을 알 수 있기 때문입니다. .