삼면체 각도를 사용하여 피라미드의 부피를 구하는 공식입니다. 정삼각형 피라미드의 부피 공식
가장 단순한 3차원 도형 중 하나는 삼각형 피라미드입니다. 왜냐하면 삼각형 피라미드는 공간에서 도형을 형성할 수 있는 가장 작은 수의 면으로 구성되기 때문입니다. 이번 글에서는 정삼각형 피라미드의 부피를 구하는 공식을 살펴보겠습니다.
삼각뿔
일반적인 정의에 따르면, 피라미드는 다각형이며, 모든 정점은 이 다각형의 평면에 위치하지 않는 한 점에 연결됩니다. 후자가 삼각형이면 전체 도형을 삼각뿔이라고 합니다.
문제의 피라미드는 밑면(삼각형)과 세 개의 측면(삼각형)으로 구성됩니다. 세 개의 측면이 연결된 점을 도형의 꼭지점이라고 합니다. 이 꼭지점에서 밑면까지 떨어진 수직선이 피라미드의 높이입니다. 밑면과 수직선의 교차점이 밑면에 있는 삼각형의 중앙값의 교차점과 일치하면 일반 피라미드를 말합니다. 그렇지 않으면 기울어질 것입니다.
언급한 바와 같이, 삼각뿔의 밑면은 일반적인 유형의 삼각형일 수 있습니다. 그러나 그것이 정변이고 피라미드 자체가 직선이라면 그들은 일반적인 3차원 인물을 말합니다.
어떤 면이든 4개의 면, 6개의 모서리, 4개의 꼭지점을 갖습니다. 모든 모서리의 길이가 같으면 이러한 도형을 사면체라고 합니다.
일반형
정삼각형 피라미드를 작성하기 전에 일반형 피라미드에 대한 이 물리량에 대한 표현을 제공합니다. 이 표현식은 다음과 같습니다.
여기서 S o는 밑면의 면적, h는 그림의 높이입니다. 이 동등성은 원뿔뿐만 아니라 모든 유형의 피라미드 다각형 밑면에 유효합니다. 밑면에 변 길이 a와 높이 h o가 낮은 삼각형이 있으면 볼륨 공식은 다음과 같이 작성됩니다.
정삼각형 피라미드의 부피 공식
삼각형은 밑면에 정삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 높이는 등식에 의해 변의 길이와 관련이 있는 것으로 알려져 있습니다.
이 식을 이전 단락에서 작성한 삼각뿔의 부피 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
밑면이 삼각형인 정뿔의 부피는 밑변의 길이와 그림의 높이의 함수입니다.
모든 정다각형은 원 안에 내접할 수 있고, 원의 반지름은 다각형 측면의 길이를 고유하게 결정하므로 이 공식은 해당 반지름 r로 작성할 수 있습니다.
이 공식은 삼각형의 변 a의 길이를 통한 외접원의 반경 r이 다음 식에 의해 결정된다는 점을 고려하면 이전 공식에서 쉽게 얻을 수 있습니다.
정사면체의 부피를 결정하는 문제
특정 기하학 문제를 해결할 때 위 공식을 사용하는 방법을 보여 드리겠습니다.
정사면체의 모서리 길이는 7cm인 것으로 알려져 있습니다. 정삼각형 사면체의 부피를 구하십시오.
사면체는 모든 밑면이 서로 동일한 정삼각형 피라미드라는 것을 기억하십시오. 정삼각형 피라미드의 부피 공식을 사용하려면 두 가지 수량을 계산해야 합니다.
- 삼각형의 변의 길이;
- 그림의 높이.
첫 번째 수량은 문제 조건을 통해 알 수 있습니다.
높이를 결정하려면 그림에 표시된 그림을 고려하십시오.
표시된 삼각형 ABC는 각도 ABC가 90°인 직각삼각형입니다. 변 AC는 빗변이고 길이는 a입니다. 간단한 기하학적 추론을 사용하여 변 BC의 길이는 다음과 같습니다.
길이 BC는 삼각형 주위에 외접하는 원의 반지름입니다.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
이제 h와 a를 해당 부피 공식에 대체할 수 있습니다.
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
따라서 우리는 사면체의 부피에 대한 공식을 얻었습니다. 부피는 모서리의 길이에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 문제 조건의 값을 표현식으로 대체하면 답을 얻습니다.
V = √2/12*7 3 ≒ 40.42cm 3.
이 값을 동일한 모서리를 가진 정육면체의 부피와 비교하면 사면체의 부피가 8.5배 더 작다는 것을 알 수 있습니다. 이는 사면체가 일부 자연 물질에서 나타나는 컴팩트한 도형임을 나타냅니다. 예를 들어, 메탄 분자는 사면체 모양을 하고 있으며, 다이아몬드의 각 탄소 원자는 4개의 다른 원자와 연결되어 사면체를 형성합니다.
동질 피라미드 문제
흥미로운 기하학적 문제 하나를 풀어보겠습니다. 특정 부피 V 1을 갖는 정삼각형 피라미드가 있다고 가정합니다. 원본보다 3배 작은 부피의 동형 피라미드를 얻으려면 이 그림의 크기를 몇 번 줄여야 합니까?
원래의 정규 피라미드에 대한 공식을 작성하여 문제 해결을 시작해 보겠습니다.
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
문제의 조건에 필요한 그림의 부피는 해당 매개변수에 계수 k를 곱하여 얻습니다. 우리는:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
그림의 부피 비율은 조건에서 알려져 있으므로 계수 k의 값을 얻습니다.
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ∛ 0.693.
일반적인 삼각형 피라미드뿐만 아니라 모든 유형의 피라미드에 대해 계수 k에 대해 유사한 값을 얻을 수 있습니다.
정의. 측면 가장자리- 이것은 하나의 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.
정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.
정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:
피라미드의 속성
모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.
모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.
측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.
측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심에 투영됩니다.
측면이 동일한 각도로 밑면에 대해 기울어지면 측면의 변위가 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.
4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.
6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.
8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.
피라미드와 구의 연결
피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.
삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.
피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.
피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.
피라미드와 원통의 관계
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.
원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.
사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.
각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.
정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).
바이미디어닿지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.
사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.
정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.
정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.
정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체는 꼭지점의 세 모서리 사이에 직각을 이루는 사면체입니다(모서리는 수직입니다). 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.
정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.
정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.
정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 불린다.
피라미드의 부피를 구하려면 몇 가지 공식을 알아야 합니다. 그들을 살펴보자.
피라미드의 부피를 구하는 방법 - 첫 번째 방법
피라미드의 부피는 밑면의 높이와 면적을 사용하여 알 수 있습니다. V = 1/3*S*h. 예를 들어 피라미드의 높이가 10cm이고 밑면의 면적이 25cm 2이면 부피는 V = 1/3*25*10 = 1/3*250과 같습니다. = 83.3cm 3
피라미드의 부피를 구하는 방법 - 두 번째 방법
정다각형이 피라미드의 밑면에 있는 경우, 그 부피는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다: V = na 2 h/12*tg(180/n), 여기서 a는 밑면에 있는 다각형의 변입니다. , n은 변의 수입니다. 예: 밑면은 정육각형, 즉 n = 6입니다. 정육각형이므로 모든 변이 동일합니다. 즉, 모든 a가 동일합니다. a = 10, h - 15라고 가정합니다. 공식에 숫자를 삽입하고 대략적인 답을 얻습니다 - 1299 cm 3
피라미드의 부피를 구하는 방법 - 세 번째 방법
정삼각형이 피라미드의 밑면에 있으면 그 부피는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다: V = ha 2 /4√3, 여기서 a는 정삼각형의 변입니다. 예를 들어 피라미드의 높이는 10cm이고 밑면의 한 변은 5cm입니다. 부피는 V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3과 같습니다. 일반적으로 분모는 무엇입니까? 계산되지 않고 동일한 형태로 남습니다. 분자와 분모에 4√3을 곱할 수도 있습니다. 1000√3/48을 얻습니다. 줄이면 125√ 3/6 cm 3이 됩니다.
피라미드의 부피를 구하는 방법 - 네 번째 방법
피라미드 밑면에 정사각형이 있는 경우 그 부피는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다: V = 1/3*h*a 2, 여기서 a는 정사각형의 변입니다. 예: 높이 – 5cm, 정사각형 변 – 3cm V = 1/3*5*9 = 15cm 3
피라미드의 부피 구하는 방법 - 다섯 번째 방법
피라미드가 사면체, 즉 모든 면이 정삼각형인 경우 다음 공식을 사용하여 피라미드의 부피를 찾을 수 있습니다. V = a 3 √2/12, 여기서 a는 사면체의 가장자리입니다. 예: 사면체 모서리 = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3
"피라미드"라는 단어는 파라오의 평화를 충실히 수호하는 이집트의 장엄한 거인과 무의식적으로 연관되어 있습니다. 어쩌면 그것이 바로 모든 사람, 심지어 어린이조차도 피라미드를 틀림없이 인식하는 이유일 것입니다.
그럼에도 불구하고, 그것에 기하학적 정의를 내려보도록 합시다. 평면의 여러 점(A1, A2,..., An)과 평면에 속하지 않는 하나 더(E)를 상상해 보겠습니다. 따라서 점 E(꼭지점)가 점 A1, A2,..., An(밑면)으로 구성된 다각형의 꼭지점에 연결되면 피라미드라고 불리는 다면체를 얻게 됩니다. 분명히 피라미드 밑면의 다각형은 여러 개의 꼭지점을 가질 수 있으며 그 수에 따라 피라미드는 삼각형, 사각형, 오각형 등으로 불릴 수 있습니다.
피라미드를 자세히 살펴보면 밑면에 다각형이 있고 측면이 공통 꼭지점으로 결합된 삼각형이 있는 기하학적 도형으로 정의된 이유가 분명해집니다.
피라미드는 공간적 수치이기 때문에 피라미드 밑면과 높이의 곱의 3분의 1로 잘 알려진 양적 특성도 가지고 있습니다.
공식을 유도할 때 피라미드의 부피는 처음에 삼각형에 대해 계산되며, 이 값을 밑면과 높이가 동일한 삼각 프리즘의 부피와 연결하는 일정한 비율을 기본으로 사용합니다. 이 양의 3배입니다.
그리고 모든 피라미드는 삼각형으로 나뉘어져 있고 그 부피는 증명 중에 수행된 구성에 의존하지 않기 때문에 주어진 부피 공식의 타당성은 분명합니다.
모든 피라미드 중에서 눈에 띄는 것은 밑면에 있는 올바른 피라미드입니다. 즉, 밑면 중앙에서 "끝나야" 합니다.
밑면에 불규칙한 다각형이 있는 경우 밑면의 면적을 계산하려면 다음이 필요합니다.
- 그것을 삼각형과 사각형으로 나누십시오.
- 각각의 면적을 계산하십시오.
- 수신된 데이터를 합산합니다.
피라미드 밑면의 정다각형의 경우 미리 만들어진 공식을 사용하여 면적을 계산하므로 정다각형의 부피는 매우 간단하게 계산됩니다.
예를 들어 사각뿔의 부피를 계산하려면 정사각형의 밑면에 있는 변의 길이를 제곱하고 피라미드의 높이를 곱하여 결과 곱을 다음과 같이 나눕니다. 삼.
피라미드의 부피는 다른 매개변수를 사용하여 계산할 수 있습니다.
- 피라미드에 새겨진 공의 반경과 전체 표면적의 곱의 1/3로;
- 임의로 선택한 두 개의 교차 모서리 사이의 거리와 나머지 네 모서리의 중간점을 형성하는 평행사변형의 면적을 곱한 값의 2/3입니다.
피라미드의 부피는 높이가 측면 가장자리 중 하나와 일치하는 경우, 즉 직사각형 피라미드의 경우 간단히 계산됩니다.
피라미드에 관해 말하면 밑면과 평행한 평면으로 피라미드를 절단하여 얻은 잘린 피라미드를 무시할 수 없습니다. 그들의 부피는 전체 피라미드의 부피와 잘린 상단의 부피 차이와 거의 같습니다.
Democritus는 피라미드의 부피를 처음으로 발견했지만 현대적인 형태는 아니지만 우리에게 알려진 프리즘 부피의 1/3에 해당합니다. 아르키메데스는 자신의 계산 방법을 "증거 없는"이라고 불렀습니다. 데모크리토스가 피라미드를 무한히 얇고 유사한 판으로 구성된 인물로 접근했기 때문입니다.
벡터 대수학은 또한 정점의 좌표를 사용하여 피라미드의 부피를 찾는 문제를 "해결"했습니다. 세 개의 벡터 a, b, c 위에 구축된 피라미드는 주어진 벡터의 혼합 곱 계수의 1/6과 같습니다.
여기서는 볼륨 개념과 관련된 예를 살펴보겠습니다. 이러한 문제를 해결하려면 피라미드 부피 공식을 알아야 합니다.
에스
h - 피라미드의 높이
베이스는 어떤 다각형이라도 될 수 있습니다. 그러나 통합 상태 시험의 대부분의 문제에서 조건은 일반적으로 일반 피라미드에 관한 것입니다. 그 속성 중 하나를 상기시켜 드리겠습니다.
일반 피라미드의 꼭대기는 밑면의 중앙에 투영됩니다.
정삼각형, 사각뿔, 육각형 피라미드의 투영을 살펴보세요(TOP VIEW):
피라미드의 부피를 찾는 것과 관련된 문제가 논의된 블로그에서 할 수 있습니다.작업을 고려해 봅시다:
27087. 밑변이 1이고 높이가 3의 루트인 정삼각형 피라미드의 부피를 구하십시오.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
피라미드 밑면의 넓이를 구해 봅시다. 이것은 정삼각형입니다. 공식을 사용해 봅시다 - 삼각형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인의 절반과 같습니다. 즉, 다음을 의미합니다.
답: 0.25
27088. 밑변이 2이고 부피가 3의 루트인 정삼각형 피라미드의 높이를 구하십시오.
피라미드의 높이와 밑면의 특성과 같은 개념은 부피 공식과 관련되어 있습니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
우리는 부피 자체를 알고 밑변인 삼각형의 변을 알고 있기 때문에 밑변의 넓이를 찾을 수 있습니다. 표시된 값을 알면 높이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
밑면의 면적을 찾으려면 공식을 사용합니다. 삼각형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인의 절반과 같습니다. 즉, 다음을 의미합니다.
따라서 이 값을 부피 공식에 대입하면 피라미드의 높이를 계산할 수 있습니다.
높이는 3입니다.
답: 3
27109. 정사각형 피라미드에서 높이는 6이고 측면 가장자리는 10입니다. 부피를 찾으십시오.
피라미드의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
우리는 높이를 알고 있습니다. 기지의 면적을 찾아야합니다. 일반 피라미드의 꼭대기가 밑면 중앙에 투영되어 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 정사각형 피라미드의 밑면은 정사각형입니다. 우리는 대각선을 찾을 수 있습니다. 직각 삼각형(파란색으로 강조 표시)을 생각해 보세요.
정사각형의 중심과 점 B를 연결하는 선분은 정사각형 대각선의 절반에 해당하는 다리입니다. 피타고라스 정리를 사용하여 이 다리를 계산할 수 있습니다.
이는 BD = 16을 의미합니다. 사변형 면적 공식을 사용하여 정사각형의 면적을 계산해 보겠습니다.
따라서:
따라서 피라미드의 부피는 다음과 같습니다.
답: 256
27178. 정사각형 피라미드에서 높이는 12이고 부피는 200입니다. 이 피라미드의 측면 가장자리를 구하십시오.
피라미드의 높이와 부피가 알려져 있으므로 밑면이 되는 정사각형의 면적을 알 수 있습니다. 정사각형의 면적을 알면 대각선을 찾을 수 있습니다. 다음으로 피타고라스 정리를 사용하여 직각 삼각형을 고려하여 측면 가장자리를 계산합니다.
정사각형(피라미드의 밑면)의 면적을 구해 봅시다:
정사각형의 대각선을 계산해 봅시다. 면적이 50이므로 변은 피타고라스 정리에 따라 50의 루트와 같습니다.
점 O는 대각선 BD를 반으로 나눕니다. 이는 직각 삼각형 OB = 5의 다리를 의미합니다.
따라서 피라미드의 측면 가장자리가 무엇인지 계산할 수 있습니다.
답: 13
245353. 그림에 표시된 피라미드의 부피를 구하십시오. 밑면은 다각형이며 인접한 측면은 수직이고 측면 가장자리 중 하나는 밑면 평면에 수직이며 3과 같습니다.
여러 번 말했듯이 피라미드의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
밑면에 수직인 측면 가장자리는 3과 같습니다. 이는 피라미드의 높이가 3임을 의미합니다. 피라미드의 밑면은 다음과 같은 면적을 갖는 다각형입니다.
따라서:
답: 27
27086. 피라미드의 밑면은 변 3과 4가 있는 직사각형입니다. 부피는 16입니다. 이 피라미드의 높이를 구하십시오.
