고유벡터와 고유값은 무엇입니까? 고유값(숫자) 및 고유벡터 솔루션의 예

웹사이트에 수학 공식을 삽입하는 방법은 무엇입니까?

웹 페이지에 하나 또는 두 개의 수학 공식을 추가해야 하는 경우 가장 쉬운 방법은 기사에 설명된 대로입니다. 수학 공식은 Wolfram Alpha에서 자동으로 생성된 그림 형식으로 사이트에 쉽게 삽입됩니다. . 단순함 외에도 이 보편적인 방법은 검색 엔진에서 사이트의 가시성을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 그것은 오랫동안 작동해 왔지만(제 생각에는 영원히 작동할 것입니다) 이미 도덕적으로 구식입니다.

사이트에서 수학 공식을 정기적으로 사용하는 경우 MathML, LaTeX 또는 ASCIIMathML 마크업을 사용하여 웹 브라우저에 수학 표기법을 표시하는 특수 JavaScript 라이브러리인 MathJax를 사용하는 것이 좋습니다.

MathJax 사용을 시작하는 방법에는 두 가지가 있습니다: (1) 간단한 코드를 사용하여 MathJax 스크립트를 웹사이트에 빠르게 연결할 수 있습니다. 이 스크립트는 적시에 원격 서버에서 자동으로 로드됩니다(서버 목록). (2) MathJax 스크립트를 원격 서버에서 귀하의 서버로 다운로드하고 이를 귀하 사이트의 모든 페이지에 연결하십시오. 더 복잡하고 시간이 많이 걸리는 두 번째 방법은 사이트 페이지 로딩 속도를 높이고, 어떤 이유로 상위 MathJax 서버를 일시적으로 사용할 수 없게 되더라도 이는 귀하의 사이트에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 이러한 장점에도 불구하고 저는 첫 번째 방법이 더 간단하고 빠르며 기술이 필요하지 않기 때문에 선택했습니다. 내 예를 따르면 단 5분 안에 귀하의 사이트에서 MathJax의 모든 기능을 사용할 수 있게 될 것입니다.

기본 MathJax 웹사이트나 문서 페이지에서 가져온 두 가지 코드 옵션을 사용하여 원격 서버에서 MathJax 라이브러리 스크립트를 연결할 수 있습니다.

이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지 코드에 붙여넣어야 합니다. 태그 사이나 태그 바로 뒤에 붙여넣는 것이 좋습니다. 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도가 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 모니터링하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 정기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 삽입하면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.

MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress에 있는 것입니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위에 제시된 다운로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분까지(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML의 마크업 구문을 배우고 사이트의 웹 페이지에 수학 공식을 삽입할 준비가 되었습니다.

모든 프랙탈은 무제한으로 일관되게 적용되는 특정 규칙에 따라 구성됩니다. 이러한 각 시간을 반복이라고 합니다.

멩거 스펀지를 구성하기 위한 반복 알고리즘은 매우 간단합니다. 측면이 1인 원래 정육면체는 면에 평행한 평면에 의해 27개의 동일한 정육면체로 나뉩니다. 하나의 중앙 큐브와 면을 따라 인접한 6개의 큐브가 제거됩니다. 결과는 나머지 20개의 작은 큐브로 구성된 세트입니다. 각 큐브에 동일한 작업을 수행하면 400개의 작은 큐브로 구성된 세트가 생성됩니다. 이 과정을 끝없이 계속하면 Menger 스폰지가 생깁니다.

동차 선형 방정식 시스템

동차 선형 방정식 시스템은 다음 형식의 시스템입니다.

이 경우에는 분명하다. , 왜냐하면 이러한 행렬식에 있는 열 중 하나의 모든 요소는 0과 같습니다.

미지수는 공식에 따라 발견되므로 , Δ ≠ 0인 경우 시스템은 고유한 영점 솔루션을 갖습니다. 엑스 = 와이 = 지= 0. 그러나 많은 문제에서 흥미로운 질문은 동종 시스템에 0이 아닌 해가 있는지 여부입니다.

정리. 선형 균질 방정식 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 Δ ≠ 0이면 충분합니다.

따라서 행렬식 Δ ≠ 0이면 시스템은 고유한 해를 갖습니다. Δ ≠ 0이면 선형 동차 방정식 시스템에는 무한한 수의 해가 있습니다.

예.

행렬의 고유벡터와 고유값

정사각 행렬이 주어지자 , 엑스– 높이가 행렬의 순서와 일치하는 일부 행렬 열 ㅏ. .

많은 문제에서 우리는 방정식을 고려해야 합니다. 엑스

여기서 λ는 특정 숫자입니다. 모든 λ에 대해 이 방정식의 해는 0이라는 것이 분명합니다.

이 방정식에 0이 아닌 해가 있는 숫자 λ를 호출합니다. 고유값행렬 ㅏ, ㅏ 엑스그러한 λ는 다음과 같이 불린다. 고유벡터행렬 ㅏ.

행렬의 고유벡터를 구해보자 ㅏ. 왜냐하면 이자형∙엑스 = 엑스이면 행렬 방정식은 다음과 같이 다시 작성될 수 있습니다. 또는 . 확장된 형태에서 이 방정식은 선형 방정식 시스템으로 다시 작성될 수 있습니다. 정말 .

따라서

그래서 우리는 좌표를 결정하기 위한 균질 선형 방정식 시스템을 얻었습니다. x 1, x 2, x 3벡터 엑스. 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 시스템의 행렬식이 0과 같아야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

이것은 λ에 대한 3차 방정식입니다. 그것은 ~라고 불린다 특성 방정식행렬 ㅏλ의 고유값을 결정하는 역할을 합니다.

각 고유값 λ는 고유벡터에 해당합니다. 엑스, 그 좌표는 해당 값 λ의 시스템에서 결정됩니다.

예.

벡터 대수학. 벡터의 개념

물리학의 다양한 분야를 연구할 때 길이, 면적, 질량, 온도 등과 같은 수치를 지정하여 완전히 결정되는 양이 있습니다. 이러한 양을 스칼라라고 합니다. 그러나 그 외에도 숫자 값 외에도 신체에 작용하는 힘, 속도 및 가속도와 같이 공간에서의 방향을 알아야 하는 수량도 있습니다. 신체가 우주에서 움직일 때, 우주의 특정 지점에서의 자기장 강도 등. 이러한 수량을 벡터 수량이라고 합니다.

엄격한 정의를 소개하겠습니다.

방향성 세그먼트어느 쪽이 첫 번째이고 어느 쪽이 두 번째인지 알 수 있는 끝 부분을 기준으로 세그먼트를 호출해 보겠습니다.

벡터특정 길이를 갖는 방향성 세그먼트라고 합니다. 이것은 특정 길이의 세그먼트로, 이를 제한하는 지점 중 하나가 시작으로 간주되고 두 번째 지점이 끝으로 간주됩니다. 만약에 ㅏ– 벡터의 시작, 비끝인 경우 벡터는 기호로 표시되며, 벡터는 종종 단일 문자로 표시됩니다. 그림에서 벡터는 선분으로 표시되고 방향은 화살표로 표시됩니다.

기준 치수또는 길이벡터는 이를 정의하는 방향이 지정된 세그먼트의 길이라고 합니다. ||로 표시됨 또는 ||.

또한 시작과 끝이 일치하는 소위 제로 벡터도 벡터로 포함합니다. 지정되어 있습니다. 영 벡터에는 특정 방향이 없으며 해당 계수는 0 ||=0입니다.

벡터가 호출됩니다. 동일선상의, 같은 선상에 있거나 평행선 상에 있는 경우. 또한, 벡터 와 가 같은 방향이면 , 반대라고 씁니다.

같은 평면에 평행한 직선 위에 있는 벡터를 벡터라고 합니다. 동일 평면상의.

두 벡터는 다음과 같이 불린다. 동일한, 동일 선상에 있으면 방향이 같고 길이가 같습니다. 이 경우 그들은 .

벡터의 동일성 정의에 따르면 벡터는 벡터 자체에 평행하게 전송될 수 있으며 그 원점은 공간의 어느 지점에나 배치됩니다.

예를 들어 .

벡터에 대한 선형 연산

벡터에 숫자를 곱합니다.

벡터와 숫자 λ의 곱은 다음과 같은 새로운 벡터입니다.

벡터와 숫자 의 곱은 으로 표시됩니다.

예를 들어, 벡터와 동일한 방향을 향하고 길이가 벡터의 절반인 벡터가 있습니다.

도입된 작업에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

벡터 추가.

와 를 두 개의 임의의 벡터로 둡니다. 임의의 점을 취하자 영형그리고 벡터를 구성합니다. 그 이후 시점부터 ㅏ벡터를 제쳐두자. 첫 번째 벡터의 시작 부분과 두 번째 벡터의 끝 부분을 연결하는 벡터를 호출합니다. 양이들 벡터 중 다음과 같이 표시됩니다. .

벡터 덧셈의 정식 정의는 다음과 같습니다. 평행사변형 법칙, 동일한 벡터의 합은 다음과 같이 얻을 수 있기 때문입니다. 그 시점부터 미루자 영형벡터와 . 이 벡터들에 대해 평행사변형을 만들어 봅시다 OABC. 벡터이므로 꼭지점에서 그린 평행사변형의 대각선인 벡터입니다. 영형, 분명히 벡터의 합이 될 것입니다.

벡터 덧셈의 다음과 같은 성질을 확인하는 것은 쉽습니다.

벡터 차이.

주어진 벡터와 동일선상에 있고 길이가 같고 방향이 반대인 벡터를 호출합니다. 반대벡터는 벡터에 대한 것이며 로 표시됩니다. 반대 벡터는 벡터에 숫자 λ = –1을 곱한 결과로 간주될 수 있습니다.

정사각 행렬의 고유 벡터는 주어진 행렬을 곱할 때 공선 벡터가 되는 벡터입니다. 간단히 말해서, 행렬에 고유 벡터를 곱하면 후자는 동일하게 유지되지만 특정 숫자가 곱해집니다.

정의

고유벡터는 0이 아닌 벡터 V이며, 정사각 행렬 M을 곱하면 그 자체가 특정 숫자 λ만큼 증가합니다. 대수 표기법에서는 다음과 같습니다.

M × V = λ × V,

여기서 λ는 행렬 M의 고유값입니다.

수치적인 예를 살펴보겠습니다. 쉽게 기록할 수 있도록 매트릭스의 숫자는 세미콜론으로 구분됩니다. 행렬을 하나 만들어 보겠습니다.

M = 0; 4;
6; 10.

여기에 열 벡터를 곱해 보겠습니다.

V = -2;

행렬에 열 벡터를 곱하면 열 벡터도 얻습니다. 엄격한 수학 언어에서 2 × 2 행렬에 열 벡터를 곱하는 공식은 다음과 같습니다.

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 × V11 + M22 × V21.

M11은 행렬 M의 첫 번째 행과 첫 번째 열에 위치한 요소를 의미하고, M22는 두 번째 행과 두 번째 열에 위치한 요소를 의미합니다. 행렬의 경우 이러한 요소는 M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10과 같습니다. 열 벡터의 경우 이러한 값은 V11 = –2, V21 = 1과 같습니다. 이 공식에 따르면, 벡터에 의한 정사각 행렬의 곱의 결과는 다음과 같습니다.

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

편의상 열 벡터를 행으로 작성해 보겠습니다. 따라서 정사각 행렬에 벡터(-2; 1)를 곱하여 벡터(4; -2)가 생성됩니다. 분명히 이것은 동일한 벡터에 λ = -2를 곱한 것입니다. 이 경우 람다는 행렬의 고유값을 나타냅니다.

행렬의 고유벡터는 동일선상 벡터, 즉 행렬을 곱해도 공간상에서 위치가 변하지 않는 객체이다. 벡터 대수학의 공선성 개념은 기하학의 평행성 용어와 유사합니다. 기하학적 해석에서 동일선상 벡터는 서로 다른 길이의 평행 방향 세그먼트입니다. 유클리드 시대 이후로 우리는 하나의 선에 평행한 선의 개수가 무한하다는 것을 알고 있으므로 각 행렬에 고유벡터의 개수가 무한하다고 가정하는 것이 논리적입니다.

이전 예에서 고유벡터는 (-8; 4), (16; -8), (32, -16)일 수 있다는 것이 분명합니다. 이들은 모두 고유값 λ = -2에 해당하는 공선형 벡터입니다. 원본 행렬에 이러한 벡터를 곱하면 원본과 2배 차이가 나는 벡터가 생성됩니다. 그렇기 때문에 고유벡터를 찾는 문제를 해결할 때 선형 독립 벡터 객체만 찾는 것이 필요합니다. n × n 행렬의 경우 대부분 n개의 고유벡터가 있습니다. 우리 계산기는 2차 정사각 행렬 분석을 위해 설계되었으므로 일치하는 경우를 제외하고 거의 항상 결과는 두 개의 고유 벡터를 찾습니다.

위의 예에서 우리는 원래 행렬의 고유 벡터를 미리 알고 있었고 람다 수를 명확하게 결정했습니다. 그러나 실제로는 모든 일이 반대 방향으로 발생합니다. 고유값이 먼저 발견되고 그다음에 고유벡터가 발견됩니다.

솔루션 알고리즘

원래 행렬 M을 다시 살펴보고 두 고유벡터를 모두 찾아보겠습니다. 따라서 행렬은 다음과 같습니다.

M = 0; 4;
6; 10.

먼저 고유값 λ를 결정해야 하며, 이를 위해서는 다음 행렬의 행렬식을 계산해야 합니다.

(0 - λ); 4;
6; (10 – λ).

이 행렬은 주대각선의 요소에서 알려지지 않은 λ를 빼서 얻습니다. 행렬식은 표준 공식을 사용하여 결정됩니다.

detA = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

벡터는 0이 아니어야 하므로 결과 방정식을 선형 종속으로 받아들이고 행렬식 detA를 0으로 동일시합니다.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

괄호를 열고 행렬의 특성 방정식을 얻습니다.

람다 2 − 10 람다 − 24 = 0

이것은 판별식을 사용하여 풀어야 하는 표준 이차 방정식입니다.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

판별식의 근은 sqrt(D) = 14이므로 λ1 = -2, λ2 = 12입니다. 이제 각 람다 값에 대해 고유벡터를 찾아야 합니다. λ = -2에 대한 시스템 계수를 표현해 보겠습니다.

M – λ × E = 2; 4;
6; 12.

이 공식에서 E는 단위 행렬입니다. 결과 행렬을 기반으로 선형 방정식 시스템을 만듭니다.

2x + 4년 = 6x + 12년,

여기서 x와 y는 고유벡터 요소입니다.

왼쪽에 있는 모든 X와 오른쪽에 있는 모든 Y를 수집해 봅시다. 분명히 - 4x = 8y입니다. 표현식을 - 4로 나누고 x = –2y를 얻습니다. 이제 미지수의 값을 취하여 행렬의 첫 번째 고유벡터를 결정할 수 있습니다(선형 종속 고유벡터의 무한대를 기억하세요). y = 1, x = –2라고 가정하겠습니다. 따라서 첫 번째 고유벡터는 V1 = (–2; 1)과 같습니다. 기사의 시작 부분으로 돌아갑니다. 고유벡터의 개념을 보여주기 위해 행렬에 곱한 것이 바로 이 벡터 객체였습니다.

이제 λ = 12에 대한 고유벡터를 찾아보겠습니다.

M - λ × E = -12; 4
6; -2.

동일한 선형 방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6년
3x = y.

이제 x = 1이므로 y = 3입니다. 따라서 두 번째 고유벡터는 V2 = (1; 3)과 같습니다. 원본 행렬에 주어진 벡터를 곱하면 결과는 항상 동일한 벡터에 12를 곱한 값이 됩니다. 여기서 솔루션 알고리즘이 끝납니다. 이제 행렬의 고유벡터를 수동으로 결정하는 방법을 알았습니다.

결정자;
추적, 즉 주대각선에 있는 요소의 합입니다.
순위, 즉 선형 독립 행/열의 최대 수입니다.

프로그램은 위의 알고리즘에 따라 작동하여 풀이 과정을 최대한 단축합니다. 프로그램에서 람다는 문자 "c"로 지정된다는 점을 지적하는 것이 중요합니다. 수치적인 예를 살펴보겠습니다.

프로그램 작동 방식의 예

다음 행렬의 고유벡터를 결정해 보겠습니다.

남 = 5; 13;
4; 14.

이 값을 계산기의 셀에 입력하고 다음 형식으로 답을 얻으십시오.

매트릭스 순위: 2;
행렬식: 18;
매트릭스 추적: 19;
고유벡터 계산: c 2 − 19.00c + 18.00(특성 방정식);
고유벡터 계산: 18(첫 번째 람다 값);
고유벡터 계산: 1(두 번째 람다 값);
벡터 1의 방정식 시스템: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
벡터 2의 방정식 시스템: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
고유벡터 1: (1; 1);
고유벡터 2: (-3.25; 1).

따라서 우리는 두 개의 선형 독립 고유 벡터를 얻었습니다.

결론

선형 대수학과 해석 기하학은 모든 신입생 공학 전공의 표준 과목입니다. 벡터와 행렬의 수가 너무 많아서 무섭고, 이렇게 번거로운 계산을 하다 보면 실수하기 쉽습니다. 우리 프로그램을 통해 학생들은 계산을 확인하거나 고유벡터를 찾는 문제를 자동으로 해결할 수 있습니다. 우리 카탈로그에는 다른 선형 대수 계산기가 있습니다. 학습이나 업무에 사용하세요.

정의 9.3.벡터 엑스행렬의 고유벡터라고 합니다. ㅏ, 그런 숫자가 있다면 λ, 평등은 다음과 같습니다. Ах = λх,즉, 신청한 결과 엑스행렬로 지정된 선형 변환 ㅏ는 이 벡터에 숫자를 곱한 것입니다. λ . 숫자 그 자체 λ 행렬의 고유값이라고 함 ㅏ.

공식(9.3)으로 대체 x` j = λx j ,고유벡터의 좌표를 결정하기 위한 방정식 시스템을 얻습니다.

. (9.5)

이 선형 동차 시스템은 주 행렬식이 0(크래머의 법칙)인 경우에만 중요한 해를 갖게 됩니다. 이 조건을 다음 형식으로 작성하면 됩니다.

고유값을 결정하기 위한 방정식을 얻습니다. λ , 특성 방정식이라고 합니다. 간략하게는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

| A - λE | = 0, (9.6)

왜냐하면 왼쪽에는 행렬의 행렬식이 포함되어 있기 때문입니다. A-λE. 다항식 상대 λ | A - λE| 를 행렬 A의 특성 다항식이라고 합니다.

특성 다항식의 속성:

1) 선형 변환의 특성 다항식은 기저 선택에 의존하지 않습니다. 증거. ((9.4) 참조), 그러나 따라서, . 따라서 기초 선택에 의존하지 않습니다. 이는 다음을 의미합니다 | A-λE| 새로운 기반으로 이동해도 변경되지 않습니다.

2) 매트릭스의 경우 ㅏ선형 변환은 대칭입니다(즉, 그리고 ij=aji), 특성 방정식 (9.6)의 모든 근은 실수입니다.

고유값과 고유벡터의 속성:

1) 고유벡터에서 기저를 선택하는 경우 1개, 2개, 3개, 고유값에 해당 람다 1, 람다 2, 람다 3행렬 ㅏ, 이 기초에서 선형 변환 A는 대각선 형식의 행렬을 갖습니다.

(9.7) 이 속성의 증명은 고유벡터의 정의에서 나옵니다.

2) 변환의 고유값이 다음과 같은 경우 ㅏ서로 다르면 해당 고유벡터는 선형독립입니다.

3) 행렬의 특성 다항식의 경우 ㅏ세 가지 다른 근을 갖고, 어떤 기준에서는 행렬이 ㅏ대각선 모양을 가지고 있습니다.

행렬의 고유값과 고유벡터를 구해 보겠습니다. 특성 방정식을 만들어 보겠습니다. (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.