읽는 동안 덧셈의 속성을 나열해 보세요. 정수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈의 속성

체크무늬 종이에 한 변의 길이가 5cm와 3cm인 직사각형을 그려보세요. 한 변의 길이가 1cm인 정사각형으로 나누어 보세요(그림 143). 직사각형에 위치한 셀의 수를 세어 봅시다. 예를 들어 다음과 같이 할 수 있습니다.

한 변의 길이가 1cm인 정사각형의 개수는 5*3입니다. 각 사각형은 4개의 셀로 구성됩니다. 따라서 총 셀 수는 (5 * 3) * 4입니다.

같은 문제도 다르게 해결될 수 있습니다. 직사각형의 5개 열 각각은 한 변의 길이가 1cm인 정사각형 3개로 구성됩니다. 따라서 한 열에는 3 * 4개의 셀이 포함됩니다. 따라서 총 5 * (3 * 4) 개의 셀이 있습니다.

그림 143의 셀 계산은 두 가지 방식으로 설명됩니다. 곱셈의 결합 성질숫자 5, 3, 4의 경우. (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4)가 있습니다.

두 숫자의 곱에 세 번째 숫자를 곱하려면 첫 번째 숫자에 두 번째 숫자와 세 번째 숫자의 곱을 곱하면 됩니다.

(ab)c = a(bc)

곱셈의 교환 및 결합 특성으로 인해 여러 숫자를 곱할 때 인수를 교환하고 괄호 안에 배치하여 계산 순서를 결정할 수 있습니다.

예를 들어, 다음 등식은 참입니다.

ABC = CBA,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

그림 144에서 세그먼트 AB는 위에서 설명한 직사각형을 직사각형과 정사각형으로 나눕니다.

두 가지 방법으로 한 변이 1cm인 정사각형의 수를 세어봅시다.

한편으로 결과 정사각형에는 3 * 3이 포함되고 직사각형에는 3 * 2가 포함됩니다. 전체적으로 우리는 3 * 3 + 3 * 2 정사각형을 얻습니다. 반면에 이 직사각형의 세 줄에는 각각 3 + 2개의 정사각형이 있습니다. 그러면 총 개수는 3 * (3 + 2)입니다.

3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2와 같습니다. 덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙.

숫자에 두 숫자의 합을 곱하려면 이 숫자에 각 가수를 곱하고 결과를 더하면 됩니다.

리터럴 형식에서 이 속성은 다음과 같이 작성됩니다.

a(b + c) = ab + ac

덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙으로부터 다음이 도출됩니다:

ab + ac = a(b + c).

이러한 동일성을 통해 공식 P = 2 a + 2 b를 사용하여 직사각형의 둘레를 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

P = 2(a + b).

분포 속성은 세 개 이상의 항에 대해 유효합니다. 예를 들어:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

뺄셈에 대한 곱셈의 분배 속성도 참입니다. 즉, b > c 또는 b = c이면

a(b − c) = ab − ac

예 1 . 편리한 방법으로 계산하세요.

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) 우리는 곱셈의 교환 속성과 결합 속성을 사용합니다.

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) 우리는:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

예 2 . 표현을 단순화합니다:

1) 4a * 3b;

2) 18m~13m.

1) 곱셈의 교환 및 결합 특성을 사용하여 다음을 얻습니다.

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) 뺄셈에 대한 곱셈의 분배 특성을 사용하여 다음을 얻습니다.

18m − 13m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5m.

예 3 . 괄호가 포함되지 않도록 식 5(2m + 7)를 작성합니다.

덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙에 따르면 다음과 같습니다.

5 (2m + 7) = 5 * 2m + 5 * 7 = 10m + 35.

이 변환을 여는 괄호.

예 4 . 125 * 24 * 283 표현식의 값을 편리한 방법으로 계산하세요.

해결책. 우리는:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

예 5 . 곱셈을 수행합니다: 3일 18시간 * 6.

해결책. 우리는:

3일 18시간 * 6 = 18일 108시간 = 22일 12시간.

예제를 풀 때 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성이 사용되었습니다.

3일 18시간 * 6 = (3일 + 18시간) * 6 = 3일 * 6 + 18시간 * 6 = 18일 + 108시간 = 18일 + 96시간 + 12시간 = 18일 + 4일 + 12시간 = 22일 12시간.

이 조치에 내재된 여러 가지 결과를 확인할 수 있습니다. 이러한 결과를 자연수의 덧셈의 성질. 이 기사에서는 자연수 추가의 속성을 자세히 분석하고 문자를 사용하여 작성하고 설명 예를 제공합니다.

페이지 탐색.

자연수의 덧셈의 결합 성질.

이제 자연수를 더하는 결합 속성을 보여주는 예를 들어 보겠습니다.

상황을 상상해 봅시다. 첫 번째 사과나무에서 사과 1개가 떨어졌고, 두 번째 사과나무에서 사과 2개와 사과 4개가 더 떨어졌습니다. 이제 다음 상황을 생각해 보십시오. 첫 번째 사과나무에서는 사과 1개와 사과 2개가 더 떨어졌고, 두 번째 사과나무에서는 사과 4개가 떨어졌습니다. 첫 번째와 두 번째 경우 모두 땅에 동일한 수의 사과가 있을 것이 분명합니다(확인할 수 있음). 재계산). 즉, 숫자 2와 숫자 4의 합에 숫자 1을 더한 결과는 숫자 1과 숫자 2의 합에 숫자 4를 더한 결과와 같습니다.

고려된 예를 통해 자연수를 더하는 결합 속성을 공식화할 수 있습니다. 두 숫자의 주어진 합을 주어진 숫자에 더하기 위해 주어진 합의 첫 번째 항을 이 숫자에 더하고 두 번째 항을 더할 수 있습니다. 결과 결과에 합계를 제공합니다. 이 속성은 다음과 같은 문자를 사용하여 작성할 수 있습니다. a+(b+c)=(a+b)+c, 여기서 a, b 및 c는 임의의 자연수입니다.

a+(b+c)=(a+b)+c 등식에는 괄호 "(" 및 ")"가 포함되어 있습니다. 괄호는 작업이 수행되는 순서를 나타내기 위해 표현식에 사용됩니다. 괄호 안의 작업이 먼저 수행됩니다(자세한 내용은 해당 섹션에 설명되어 있습니다). 즉, 값이 먼저 평가되는 표현식은 괄호 안에 표시됩니다.

이 단락의 결론에서 우리는 덧셈의 결합 속성을 통해 우리가 명확하게 결정할 수 있다는 점에 주목합니다. 3개, 4개 이상의 자연수의 덧셈.

0과 자연수를 더하는 성질, 0과 0을 더하는 성질.

우리는 0이 자연수가 아니라는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 우리는 왜 이 글에서 0과 자연수를 더하는 성질을 살펴보기로 결정했을까요? 여기에는 세 가지 이유가 있습니다. 첫째: 이 속성은 다음과 같은 경우에 사용됩니다. 열에 자연수 추가하기. 둘째: 이 속성은 다음과 같은 경우에 사용됩니다. 자연수 빼기. 셋째 : 0이 무언가가 없음을 의미한다고 가정하면 0과 자연수를 더하는 의미는 다음과 일치합니다. 두 개의 자연수를 더하는 것의 의미.

0과 자연수를 더하는 속성을 공식화하는 데 도움이 되는 몇 가지 추론을 수행해 보겠습니다. 상자 안에 물건이 없고(즉, 상자 안에 물건이 0개 있음) 그 안에 물건이 놓여 있다고 가정해 봅시다. 여기서 a는 임의의 자연수입니다. 즉, 0과 객체를 추가했습니다. 이 작업 후에는 상자에 물건이 있다는 것이 분명합니다. 따라서 0+a=a 등식은 참입니다.

마찬가지로, 상자에 항목이 포함되어 있고 상자에 항목이 0개 추가된 경우(즉, 항목이 추가되지 않은 경우) 이 작업 후에는 상자에 항목이 있게 됩니다. 따라서 a+0=a 입니다.

이제 우리는 0과 자연수를 더하는 속성을 공식화할 수 있습니다. 두 숫자 중 하나가 0인 두 숫자의 합은 두 번째 숫자와 같습니다.. 수학적으로 이 속성은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 0+아=아또는 a+0=a, 여기서 a는 임의의 자연수입니다.

이와 별도로, 자연수와 0을 더할 때 덧셈의 교환 속성은 그대로 유지된다는 사실, 즉 a+0=0+a에 주목합시다.

마지막으로, 0에 0을 더하는 속성을 공식화해 보겠습니다(매우 명확하며 추가 설명이 필요하지 않습니다). 각각 0인 두 숫자의 합은 0과 같습니다.. 그건, 0+0=0 .

이제 어떻게 해야 할지 알아볼 차례입니다. 자연수의 덧셈.

서지.

• 수학. 일반교육기관 1, 2, 3, 4학년의 모든 교과서.
• 수학. 일반교육기관 5학년 교과서.

이번 단원에서 다루는 주제는 "덧셈의 속성"입니다. 이 수업에서는 구체적인 예를 통해 덧셈의 교환 및 결합 속성을 익히게 됩니다. 어떤 경우에 이를 사용하여 계산 과정을 더 쉽게 만들 수 있는지 알아보세요. 테스트 예제는 학습한 자료를 얼마나 잘 숙지했는지 판단하는 데 도움이 됩니다.

단원: 덧셈의 속성

다음 표현을 주의 깊게 살펴보세요.

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

우리는 그 가치를 찾아야 합니다. 해보자.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

표현식의 결과는 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40입니다.
계산하는 것이 편리했습니까? 계산하기가 그리 편리하지 않았습니다. 이 표현의 숫자를 다시 살펴보세요. 계산이 더 편리하도록 서로 바꿀 수 있습니까?

숫자를 다르게 재배열하면 다음과 같습니다.

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

표현식의 최종 결과는 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40입니다.
표현식의 결과가 동일함을 알 수 있습니다.

계산이 편리한 경우 용어를 바꿀 수 있으며 합계 값은 변경되지 않습니다.

수학에는 법칙이 있습니다. 덧셈의 ​​교환법칙. 용어를 재배열해도 합계가 변경되지 않는다고 명시되어 있습니다.

Fyodor 삼촌과 Sharik은 논쟁을 벌였습니다. Sharik은 쓰여진 표현의 의미를 찾았고 Fyodor 삼촌은 또 다른 더 편리한 계산 방법을 알고 있다고 말했습니다. 더 나은 계산 방법이 보이시나요?

Sharik은 쓰여진대로 표현을 풀었습니다. 그리고 표도르 삼촌은 용어 교환을 허용하는 법칙을 알고 있으며 숫자 25와 3을 교환했다고 말했습니다.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

결과는 동일하지만 계산이 훨씬 쉬워졌습니다.

다음 표현을 보고 읽어보세요.

6 + (24 + 51) = 81 (6에 24와 51의 합을 더함)
편리하게 계산할 수 있는 방법이 있나요?
6과 24를 더하면 어림수를 얻는다는 것을 알 수 있습니다. 어림수에 무언가를 추가하는 것이 항상 더 쉽습니다. 숫자 6과 24의 합을 괄호 안에 넣어 보겠습니다.
(6 + 24) + 51 = …
(6과 24의 합에 51을 더함)

수식의 값을 계산해서 수식의 값이 바뀌었는지 확인해 볼까요?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

우리는 표현의 의미가 동일하게 유지된다는 것을 알 수 있습니다.

한 가지 예를 더 들어 연습해 보겠습니다.

(27 + 19) + 1 = 47 (27과 19의 합에 1을 더함)
편리한 방법을 구성하기 위해 그룹화하는 데 편리한 숫자는 무엇입니까?
여러분은 이것이 숫자 19와 1이라고 추측했습니다. 숫자 19와 1의 합을 괄호 안에 넣어 보겠습니다.
27 + (19 + 1) = …
(27에는 19와 1의 합을 더함)
이 표현의 의미를 찾아보겠습니다. 괄호 안의 작업이 먼저 수행된다는 것을 기억합니다.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

우리 표현의 의미는 동일하게 유지됩니다.

덧셈의 ​​결합 법칙: 인접한 두 항을 합으로 대체할 수 있습니다.

이제 두 법칙을 모두 사용하여 연습해 보겠습니다. 표현식의 값을 계산해야 합니다.

38 + 14 + 2 + 6 = …

먼저, 가수를 교환할 수 있게 해주는 덧셈의 교환 속성을 사용해 보겠습니다. 14항과 2항을 바꿔 보겠습니다.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

이제 인접한 두 항을 합으로 대체할 수 있는 결합 속성을 사용해 보겠습니다.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

먼저 38과 2의 합의 값을 알아봅니다.

이제 합은 14와 6입니다.

3. 교육적 아이디어 축제 "공개 수업"().

집에서 만들어 보세요

1. 다양한 방법으로 항의 합을 계산합니다.

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. 표현식 결과를 평가합니다.

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. 편리한 방법으로 금액을 계산하세요.

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

우리는 정수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈을 정의했습니다. 이러한 작업(작업)에는 속성이라고 하는 여러 가지 특징적인 결과가 있습니다. 이 기사에서는 이러한 작업의 다른 모든 속성이 따르는 정수 덧셈과 곱셈의 기본 속성과 정수 뺄셈 및 나눗셈의 속성을 살펴보겠습니다.

페이지 탐색.

정수의 추가에는 몇 가지 다른 매우 중요한 속성이 있습니다.

그 중 하나는 0의 존재와 관련이 있습니다. 이 정수 덧셈의 속성은 다음과 같습니다. 정수에 0을 추가해도 해당 숫자는 변경되지 않습니다.. 문자를 사용하여 이 덧셈 속성을 작성해 보겠습니다. a+0=a 및 0+a=a(이 평등은 덧셈의 교환 속성으로 인해 참입니다), a는 임의의 정수입니다. 또한 정수 0을 중립 요소라고 들을 수도 있습니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 정수 -78과 0의 합은 -78입니다. 양의 정수 999를 0에 더하면 결과는 999입니다.

이제 우리는 정수에 대한 반대 숫자의 존재와 관련된 정수 덧셈의 또 다른 속성에 대한 공식화를 제공할 것입니다. 정수와 반대 숫자의 합은 0입니다. 이 속성을 문자 그대로 작성해 보겠습니다. a+(−a)=0, 여기서 a와 −a는 반대 정수입니다. 예를 들어, 합 901+(−901)은 0입니다. 마찬가지로, 반대 정수 -97과 97의 합은 0입니다.

정수 곱셈의 기본 속성

정수의 곱셈은 자연수의 곱셈의 모든 속성을 갖습니다. 이러한 속성의 주요 내용을 나열하겠습니다.

0이 덧셈에 있어서 중립 정수인 것처럼, 1도 정수 곱셈에 있어서 중립 정수입니다. 그건, 정수에 1을 곱해도 곱해지는 숫자는 변경되지 않습니다.. 따라서 1·a=a, 여기서 a는 임의의 정수입니다. 마지막 등식은 a·1=a로 다시 쓸 수 있으며, 이를 통해 곱셈의 교환 속성을 만들 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다. 정수 556과 1의 곱은 556입니다. 1과 음의 정수 −78의 곱은 −78과 같습니다.

정수 곱셈의 다음 속성은 0을 곱하는 것과 관련이 있습니다. 임의의 정수 a에 0을 곱한 결과는 0입니다.즉, a ·0=0 입니다. 정수 곱셈의 교환 특성으로 인해 0·a=0 등식도 참입니다. a=0인 특별한 경우에는 0과 0의 곱은 0과 같습니다.

정수 곱셈의 경우 이전 속성의 반대 속성도 마찬가지입니다. 그것은 다음과 같이 주장한다 인수 중 하나 이상이 0인 경우 두 정수의 곱은 0과 같습니다.. 리터럴 형식에서 이 속성은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. a=0이거나 b=0이거나 a와 b가 동시에 0인 경우 a·b=0입니다.

덧셈에 대한 정수 곱셈의 분포 특성

정수의 결합 덧셈과 곱셈을 통해 우리는 표시된 두 동작을 연결하는 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 고려할 수 있습니다. 덧셈과 곱셈을 함께 사용하면 곱셈과 별도로 덧셈을 고려할 때 놓칠 수 있는 추가 가능성이 열립니다.

따라서 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성은 정수 a와 두 정수 a와 b의 합이 a b와 a c의 곱의 합과 같다고 말합니다. 즉, a·(b+c)=a·b+a·c. 동일한 속성을 다른 형식으로 작성할 수 있습니다. (a+b)c=ac+bc .

덧셈에 대한 정수 곱셈의 분배 속성은 덧셈의 결합 속성과 함께 정수에 세 개 이상의 정수의 합을 곱한 다음 정수의 합에 합을 곱하는 것을 결정할 수 있게 해줍니다.

또한 정수의 덧셈과 곱셈의 다른 모든 속성은 우리가 지정한 속성에서 얻을 수 있습니다. 즉, 위에 표시된 속성의 결과입니다.

정수 빼기의 속성

결과 평등과 정수의 덧셈 및 곱셈 속성에서 다음과 같은 정수 뺄셈 속성이 따릅니다(a, b 및 c는 임의의 정수입니다).

• 일반적으로 정수의 뺄셈에는 교환 속성(a−b≠b−a)이 없습니다.
• 동일한 정수의 차이는 0입니다: a−a=0.
• 주어진 정수에서 두 정수의 합을 빼는 속성: a−(b+c)=(a−b)−c .
• 두 정수의 합에서 정수를 빼는 속성: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• 뺄셈에 대한 곱셈의 분포 속성: a·(b−c)=a·b−a·c 및 (a−b)·c=a·c−b·c.
• 그리고 정수 빼기의 다른 모든 속성.

정수 나눗셈의 속성

정수 나누기의 의미를 논의하면서 우리는 정수 나누기가 곱셈의 역작용이라는 것을 알게 되었습니다. 우리는 다음과 같은 정의를 내렸습니다. 정수를 나누는 것은 알려진 곱과 알려진 요소에서 알려지지 않은 요소를 찾는 것입니다. 즉, 곱 c·b가 a와 같을 때 정수 a를 정수 b로 나눈 몫을 정수 c라고 부릅니다.

위에서 논의된 정수에 대한 연산의 모든 속성뿐만 아니라 이 정의를 통해 정수 나누기의 다음 속성에 대한 타당성을 확립할 수 있습니다.

• 어떤 정수도 0으로 나눌 수 없습니다.
• 0이 아닌 임의의 정수 a로 0을 나누는 성질: 0:a=0.
• 동일한 정수를 나누는 속성: a:a=1, 여기서 a는 0이 아닌 정수입니다.
• 임의의 정수 a를 1로 나누는 속성: a:1=a.
• 일반적으로 정수의 나눗셈에는 교환 속성( a:b≠b:a )이 없습니다.
• 두 정수의 합과 차이를 정수로 나누는 속성: (a+b):c=a:c+b:c 및 (a−b):c=a:c−b:c, 여기서 a, b , c는 a와 b가 모두 c로 나누어지고 c가 0이 아닌 정수입니다.
• 두 정수 a와 b의 곱을 0이 아닌 정수 c로 나누는 성질: (a·b):c=(a:c)·b, a가 c로 나누어지면; (a·b):c=a·(b:c) , b가 c로 나누어지면; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , a와 b가 모두 c로 나누어지는 경우.
• 정수 a를 두 정수 b와 c의 곱으로 나누는 특성(숫자 a , b 및 c는 a를 b c로 나누는 것이 가능함): a:(bc)=(a:b)c=(a :c)·b .
• 정수 나누기의 다른 속성입니다.