გაანგარიშების თანმიმდევრობა მაგალითებში. მოქმედებების შესრულების წესი, წესები, მაგალითები

ეს გაკვეთილი დეტალურად განიხილავს არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების პროცედურას გამონათქვამებში ფრჩხილების გარეშე და ფრჩხილებით. მოსწავლეებს ეძლევათ შესაძლებლობა დავალების შესრულებისას დაადგინონ, დამოკიდებულია თუ არა გამონათქვამების მნიშვნელობა არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობაზე, გაარკვიონ განსხვავებულია თუ არა არითმეტიკული მოქმედებების თანმიმდევრობა გამონათქვამებში ფრჩხილების გარეშე და ფრჩხილებით, ივარჯიშონ გამოყენებაში. ნასწავლი წესი, მოქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას დაშვებული შეცდომების პოვნა და გამოსწორება.

ცხოვრებაში ჩვენ მუდმივად ვასრულებთ რაიმე სახის მოქმედებას: დავდივართ, ვსწავლობთ, ვკითხულობთ, ვწერთ, ვითვლით, ვიღიმებით, ვჩხუბობთ და ვმშვიდდებით. ჩვენ ვასრულებთ ამ მოქმედებებს სხვადასხვა თანმიმდევრობით. ზოგჯერ მათი გაცვლა შესაძლებელია, ზოგჯერ არა. მაგალითად, დილით სკოლისთვის მომზადებისას, ჯერ შეგიძლიათ გააკეთოთ ვარჯიშები, შემდეგ გაასწოროთ საწოლი ან პირიქით. მაგრამ ჯერ სკოლაში წასვლა და შემდეგ ტანსაცმელი არ შეიძლება.

მათემატიკაში აუცილებელია არითმეტიკული მოქმედებების გარკვეული თანმიმდევრობით შესრულება?

შევამოწმოთ

მოდით შევადაროთ გამონათქვამები:
8-3+4 და 8-3+4

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე გამოთქმა ზუსტად ერთნაირია.

მოდით შევასრულოთ მოქმედებები ერთ გამოსახულებაში მარცხნიდან მარჯვნივ, ხოლო მეორეში მარჯვნიდან მარცხნივ. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვები მოქმედებების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. პროცედურა

პირველ გამონათქვამში ჩვენ ჯერ შევასრულებთ გამოკლების ოპერაციას და შემდეგ შედეგს დავამატებთ რიცხვს 4.

მეორე გამონათქვამში ჯერ ვპოულობთ ჯამის მნიშვნელობას და შემდეგ გამოვაკლებთ მიღებულ შედეგს 7 8-ს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ გამონათქვამების მნიშვნელობები განსხვავებულია.

მოდით დავასკვნათ: არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა არ შეიძლება შეიცვალოს.

ვისწავლოთ არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების წესი გამონათქვამებში ფრჩხილების გარეშე.

თუ გამონათქვამი ფრჩხილების გარეშე მოიცავს მხოლოდ შეკრებას და გამოკლებას ან მხოლოდ გამრავლებას და გაყოფას, მაშინ მოქმედებები შესრულებულია იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება.

Მოდი ვივარჯიშოთ.

განიხილეთ გამოხატულება

ეს გამოხატულება შეიცავს მხოლოდ შეკრების და გამოკლების ოპერაციებს. ეს ქმედებები ე.წ პირველი ეტაპის მოქმედებები.

მოქმედებებს ვასრულებთ მარცხნიდან მარჯვნივ თანმიმდევრობით (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. პროცედურა

განვიხილოთ მეორე გამოთქმა

ეს გამოხატულება შეიცავს მხოლოდ გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციებს - ეს არის მეორე ეტაპის მოქმედებები.

მოქმედებებს ვასრულებთ მარცხნიდან მარჯვნივ თანმიმდევრობით (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. პროცედურა

რა თანმიმდევრობით სრულდება არითმეტიკული მოქმედებები, თუ გამონათქვამი შეიცავს არა მხოლოდ შეკრებას და გამოკლებას, არამედ გამრავლებას და გაყოფას?

თუ გამონათქვამი ფრჩხილების გარეშე მოიცავს არა მხოლოდ შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციებს, არამედ გამრავლებას და გაყოფას, ან ორივე ამ ოპერაციებს, მაშინ ჯერ შეასრულეთ რიგითი (მარცხნიდან მარჯვნივ) გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება.

მოდით შევხედოთ გამოხატვას.

მოდით ვიფიქროთ ასე. ეს გამოხატულება შეიცავს შეკრებისა და გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციებს. ჩვენ ვმოქმედებთ წესის მიხედვით. ჯერ ვასრულებთ (მარცხნიდან მარჯვნივ) გამრავლებას და გაყოფას, შემდეგ შეკრებას და გამოკლებას. მოვაწყოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

მოდით გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

რა თანმიმდევრობით სრულდება არითმეტიკული მოქმედებები, თუ გამოსახულებაში არის ფრჩხილები?

თუ გამონათქვამი შეიცავს ფრჩხილებს, პირველ რიგში ფასდება ფრჩხილებში მოცემული გამონათქვამების მნიშვნელობა.

მოდით შევხედოთ გამოხატვას.

30 + 6 * (13 - 9)

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ გამონათქვამში არის მოქმედება ფრჩხილებში, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვასრულებთ ჯერ ამ მოქმედებას, შემდეგ გამრავლებას და მიმატებას თანმიმდევრობით. მოვაწყოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

30 + 6 * (13 - 9)

მოდით გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

როგორ უნდა დადგინდეს არითმეტიკული მოქმედებების რიგითობა რიცხვით გამოსახულებაში?

გამოთვლების დაწყებამდე უნდა დაათვალიეროთ გამოხატულება (გაარკვიეთ შეიცავს თუ არა ფრჩხილებს, რა მოქმედებებს შეიცავს) და მხოლოდ ამის შემდეგ შეასრულეთ მოქმედებები შემდეგი თანმიმდევრობით:

1. ფრჩხილებში ჩაწერილი მოქმედებები;

2. გამრავლება და გაყოფა;

3. შეკრება და გამოკლება.

დიაგრამა დაგეხმარებათ დაიმახსოვროთ ეს მარტივი წესი (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4. პროცედურა

Მოდი ვივარჯიშოთ.

განვიხილოთ გამონათქვამები, დავადგინოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და შევასრულოთ გამოთვლები.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

ჩვენ ვიმოქმედებთ წესის მიხედვით. გამოთქმა 43 - (20 - 7) +15 შეიცავს მოქმედებებს ფრჩხილებში, ასევე შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებებს. დავადგინოთ პროცედურა. პირველი მოქმედება არის ფრჩხილებში ჩასმული მოქმედების შესრულება, შემდეგ კი, მარცხნიდან მარჯვნივ, გამოკლება და შეკრება.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

გამოთქმა 32 + 9 * (19 - 16) შეიცავს მოქმედებებს ფრჩხილებში, ასევე გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციებს. წესის მიხედვით, ჯერ ვასრულებთ მოქმედებას ფრჩხილებში, შემდეგ ვამრავლებთ (9 რიცხვს ვამრავლებთ გამოკლებით მიღებულ შედეგზე) და შეკრებას.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

გამოთქმაში 2*9-18:3 არ არის ფრჩხილები, მაგრამ არის გამრავლების, გაყოფის და გამოკლების მოქმედებები. ჩვენ ვმოქმედებთ წესის მიხედვით. ჯერ ვასრულებთ გამრავლებას და გაყოფას მარცხნიდან მარჯვნივ, შემდეგ კი გაყოფით მიღებულ შედეგს გამოვაკლებთ გამრავლებით მიღებულ შედეგს. ანუ პირველი მოქმედება არის გამრავლება, მეორე გაყოფა და მესამე გამოკლება.

2*9-18:3=18-6=12

მოდით გავარკვიოთ, სწორად არის თუ არა განსაზღვრული მოქმედებების თანმიმდევრობა შემდეგ გამონათქვამებში.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

მოდით ვიფიქროთ ასე.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

ამ გამონათქვამში არ არის ფრჩხილები, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჯერ ვასრულებთ გამრავლებას ან გაყოფას მარცხნიდან მარჯვნივ, შემდეგ შეკრება ან გამოკლება. ამ გამოთქმაში პირველი მოქმედება არის გაყოფა, მეორე - გამრავლება. მესამე მოქმედება უნდა იყოს შეკრება, მეოთხე - გამოკლება. დასკვნა: პროცედურა სწორად არის განსაზღვრული.

მოდი ვიპოვოთ ამ გამოთქმის მნიშვნელობა.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

გავაგრძელოთ საუბარი.

მეორე გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ვასრულებთ მოქმედებას ფრჩხილებში, შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ გავამრავლებთ ან გაყოფას, შეკრებას ან გამოკლებას. ჩვენ ვამოწმებთ: პირველი მოქმედება არის ფრჩხილებში, მეორე არის გაყოფა, მესამე არის დამატება. დასკვნა: პროცედურა არასწორად არის განსაზღვრული. გამოვასწოროთ შეცდომები და მოვძებნოთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

ეს გამოთქმა ასევე შეიცავს ფრჩხილებს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ვასრულებთ მოქმედებას ფრჩხილებში, შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ გამრავლება ან გაყოფა, შეკრება ან გამოკლება. ვამოწმებთ: პირველი მოქმედება ფრჩხილებშია, მეორე – გამრავლება, მესამე – გამოკლება. დასკვნა: პროცედურა არასწორად არის განსაზღვრული. გამოვასწოროთ შეცდომები და მოვძებნოთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

დავასრულოთ დავალება.

გამონათქვამში მოქმედებების თანმიმდევრობა დავალაგოთ ნასწავლი წესის გამოყენებით (სურ. 5).

ბრინჯი. 5. პროცედურა

ჩვენ ვერ ვხედავთ რიცხვით მნიშვნელობებს, ამიტომ ჩვენ ვერ ვიპოვით გამონათქვამების მნიშვნელობას, მაგრამ ჩვენ ვივარჯიშებთ ნასწავლი წესის გამოყენებაში.

ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით.

პირველი გამონათქვამი შეიცავს ფრჩხილებს, რაც ნიშნავს, რომ პირველი მოქმედება არის ფრჩხილებში. შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ გამოკლება და შეკრება.

მეორე გამონათქვამი ასევე შეიცავს ფრჩხილებს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვასრულებთ პირველ მოქმედებას ფრჩხილებში. ამის შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ გამრავლება და გაყოფა, ამის შემდეგ გამოკლება.

შევამოწმოთ საკუთარი თავი (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. პროცედურა

დღეს კლასში გავეცანით გამონათქვამებში მოქმედებების თანმიმდევრობის წესს ფრჩხილების გარეშე და ფრჩხილებით.

ბიბლიოგრაფია

1. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 1. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
2. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 2. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
3. მ.ი. მორო. მათემატიკის გაკვეთილები: მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები მასწავლებლებისთვის. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
4. მარეგულირებელი დოკუმენტი. სწავლის შედეგების მონიტორინგი და შეფასება. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
5. "რუსეთის სკოლა": პროგრამები დაწყებითი სკოლისთვის. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
6. ს.ი. ვოლკოვა. მათემატიკა: სატესტო ნაშრომები. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
7. ვ.ნ. რუდნიცკაია. ტესტები. - მ.: „გამოცდა“, 2012 წ.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Საშინაო დავალება

1. განსაზღვრეთ ამ გამონათქვამებში მოქმედებათა თანმიმდევრობა. იპოვნეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა.

2. დაადგინეთ რა გამონათქვამშია შესრულებული მოქმედებების ეს თანმიმდევრობა:

1. გამრავლება; 2. გაყოფა;. 3. დამატება; 4. გამოკლება; 5. დამატება. იპოვნეთ ამ გამოთქმის მნიშვნელობა.

3. შეადგინეთ სამი გამონათქვამი, რომლებშიც შესრულებულია მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა:

1. გამრავლება; 2. დამატება; 3. გამოკლება

1. დამატება; 2. გამოკლება; 3. დამატება

1. გამრავლება; 2. გაყოფა; 3. დამატება

იპოვნეთ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობა.

დაწყებითი სკოლა დასასრულს უახლოვდება და მალე ბავშვი მათემატიკის მოწინავე სამყაროში გადავა. მაგრამ უკვე ამ პერიოდში სტუდენტი აწყდება მეცნიერების სირთულეებს. მარტივი დავალების შესრულებისას ბავშვი იბნევა და იკარგება, რაც საბოლოოდ უარყოფით კვალს იწვევს შესრულებული სამუშაოსთვის. ასეთი პრობლემების თავიდან ასაცილებლად, მაგალითების ამოხსნისას თქვენ უნდა შეძლოთ ნავიგაცია იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც გჭირდებათ მაგალითის ამოხსნა. მოქმედებების არასწორად განაწილების შემდეგ ბავშვი სწორად არ ასრულებს დავალებას. სტატიაში მოცემულია მაგალითების ამოხსნის ძირითადი წესები, რომლებიც შეიცავს მათემატიკური გამოთვლების მთელ სპექტრს, ფრჩხილების ჩათვლით. პროცედურა მათემატიკაში მე-4 კლასის წესები და მაგალითები.

დავალების შესრულებამდე სთხოვეთ თქვენს შვილს დანომროს ის მოქმედებები, რომელთა შესრულებასაც აპირებს. თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გთხოვთ დამეხმაროთ.

რამდენიმე წესი, რომელიც უნდა დაიცვან მაგალითების ფრჩხილების გარეშე ამოხსნისას:

თუ დავალება მოითხოვს რამდენიმე მოქმედების შესრულებას, ჯერ უნდა შეასრულოთ გაყოფა ან გამრავლება, შემდეგ . ყველა მოქმედება შესრულებულია ასოს პროგრესირებისას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვეტილების შედეგი არ იქნება სწორი.

თუ მაგალითში გჭირდებათ შესრულება, ჩვენ ამას ვაკეთებთ თანმიმდევრობით, მარცხნიდან მარჯვნივ.

27-5+15=37 (მაგალითის ამოხსნისას ვხელმძღვანელობთ წესით. ჯერ ვასრულებთ გამოკლებას, შემდეგ შეკრებას).

ასწავლეთ თქვენს შვილს ყოველთვის დაგეგმოს და დათვალოს შესრულებული მოქმედებები.

თითოეული ამოხსნილი მოქმედების პასუხები მოცემულია მაგალითის ზემოთ. ეს ბევრად გაუადვილებს ბავშვს ქმედებებში ნავიგაციას.

განვიხილოთ კიდევ ერთი ვარიანტი, სადაც აუცილებელია მოქმედებების განაწილება თანმიმდევრობით:

როგორც ხედავთ, ამოხსნისას დაცულია წესი: ჯერ ვეძებთ პროდუქტს, შემდეგ ვეძებთ განსხვავებას.

ეს არის მარტივი მაგალითები, რომლებიც საჭიროებენ ფრთხილად განხილვას მათი გადაჭრისას. ბევრი ბავშვი გაოგნებულია, როდესაც ხედავს ამოცანას, რომელიც შეიცავს არა მხოლოდ გამრავლებას და გაყოფას, არამედ ფრჩხილებსაც. მოსწავლეს, რომელმაც არ იცის მოქმედებების შესრულების პროცედურა, აქვს კითხვები, რომლებიც ხელს უშლის დავალების შესრულებაში.

როგორც წესშია ნათქვამი, ჯერ ვპოულობთ პროდუქტს ან კოეფიციენტს, შემდეგ კი ყველაფერს. მაგრამ არის ფრჩხილები! რა უნდა გააკეთოს ამ შემთხვევაში?

მაგალითების ამოხსნა ფრჩხილებით

მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს:

• ამ ამოცანის შესრულებისას პირველ რიგში ვპოულობთ ფრჩხილებში ჩასმული გამოხატვის მნიშვნელობას.
• თქვენ უნდა დაიწყოთ გამრავლებით, შემდეგ დაამატოთ.
• ფრჩხილებში გამოთქმის ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ მოქმედებებს მათ გარეთ.
• საპროცესო წესების მიხედვით, შემდეგი ნაბიჯი არის გამრავლება.
• ფინალური ეტაპი იქნება.

როგორც ვიზუალურ მაგალითში ვხედავთ, ყველა მოქმედება დანომრილია. თემის გასამყარებლად, მოიწვიე შენი შვილი დამოუკიდებლად გადაჭრას რამდენიმე მაგალითი:

თანმიმდევრობა, რომლითაც უნდა გამოითვალოს გამოხატვის მნიშვნელობა, უკვე დალაგებულია. ბავშვს მოუწევს მხოლოდ გადაწყვეტილების პირდაპირ შესრულება.

დავალება გავართულოთ. ნება მიეცით ბავშვს დამოუკიდებლად იპოვნოს გამონათქვამების მნიშვნელობა.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

ასწავლეთ თქვენს შვილს ამოხსნას ყველა დავალება მონახაზის სახით. ამ შემთხვევაში მოსწავლეს ექნება შესაძლებლობა შეასწოროს არასწორი გადაწყვეტილება ან ბლოტი. სამუშაო წიგნში შესწორებები დაუშვებელია. დავალებების დამოუკიდებლად შესრულებით ბავშვები ხედავენ თავიანთ შეცდომებს.

მშობლებმა, თავის მხრივ, ყურადღება უნდა მიაქციონ შეცდომებს, დაეხმარონ ბავშვს მათ გააზრებასა და გამოსწორებაში. არ უნდა გადატვირთოთ მოსწავლის ტვინი დიდი რაოდენობით დავალებებით. ასეთი ქმედებებით თქვენ დაუკარგავთ ბავშვს ცოდნის სურვილს. ყველაფერში პროპორციის გრძნობა უნდა იყოს.

Შესვენება. ბავშვს უნდა მოეშალოს ყურადღება და დაისვენოს გაკვეთილებზე. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ყველას არ აქვს მათემატიკური გონება. შესაძლოა თქვენი შვილი გაიზარდოს ცნობილ ფილოსოფოსად.

როდესაც ჩვენ ვმუშაობთ სხვადასხვა გამონათქვამებთან, რომლებიც მოიცავს რიცხვებს, ასოებს და ცვლადებს, ჩვენ გვიწევს დიდი რაოდენობით არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება. როდესაც ჩვენ ვაკეთებთ კონვერტაციას ან ვიანგარიშებთ მნიშვნელობას, ძალიან მნიშვნელოვანია ამ მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის დაცვა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკულ ოპერაციებს აქვთ შესრულების განსაკუთრებული რიგი.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ამ სტატიაში ჩვენ გეტყვით, რომელი მოქმედებები უნდა გაკეთდეს ჯერ და რომელი შემდეგ. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მარტივ გამონათქვამს, რომლებიც შეიცავს მხოლოდ ცვლადებს ან ციფრულ მნიშვნელობებს, აგრეთვე გაყოფის, გამრავლების, გამოკლების და მიმატების ნიშნებს. შემდეგ ავიღოთ მაგალითები ფრჩხილებით და განვიხილოთ რა თანმიმდევრობით უნდა გამოვთვალოთ ისინი. მესამე ნაწილში მივცემთ გარდაქმნებისა და გამოთვლების აუცილებელ თანმიმდევრობას იმ მაგალითებში, რომლებიც მოიცავს ფესვების, ძალების და სხვა ფუნქციების ნიშნებს.

განმარტება 1

ფრჩხილების გარეშე გამონათქვამების შემთხვევაში მოქმედებების თანმიმდევრობა განისაზღვრება ცალსახად:

1. ყველა მოქმედება შესრულებულია მარცხნიდან მარჯვნივ.
2. ჯერ ვასრულებთ გაყოფას და გამრავლებას, ხოლო მეორეში გამოკლებას და შეკრებას.

ამ წესების მნიშვნელობა ადვილი გასაგებია. ტრადიციული მარცხნიდან მარჯვნივ წერის თანმიმდევრობა განსაზღვრავს გამოთვლების ძირითად თანმიმდევრობას და პირველ რიგში გამრავლების ან გაყოფის აუცილებლობა აიხსნება ამ ოპერაციების არსებით.

მოდით ავიღოთ რამდენიმე დავალება სიცხადისთვის. ჩვენ გამოვიყენეთ მხოლოდ უმარტივესი რიცხვითი გამონათქვამები, რათა ყველა გამოთვლა გონებრივად განხორციელებულიყო. ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად დაიმახსოვროთ სასურველი შეკვეთა და სწრაფად შეამოწმოთ შედეგები.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რამდენი იქნება 7 − 3 + 6 .

გამოსავალი

ჩვენს გამოსახულებაში არ არის ფრჩხილები, ასევე არ არის გამრავლება და გაყოფა, ამიტომ ყველა მოქმედებას ვასრულებთ მითითებული თანმიმდევრობით. ჯერ შვიდს გამოვაკლებთ სამს, შემდეგ დანარჩენს ვამატებთ ექვს და ვამთავრებთ ათს. აქ არის მთელი გადაწყვეტის ჩანაწერი:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

პასუხი: 7 − 3 + 6 = 10 .

მაგალითი 2

მდგომარეობა:რა თანმიმდევრობით უნდა შესრულდეს გამოთვლები გამონათქვამში? 6:2 8:3?

გამოსავალი

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ხელახლა წავიკითხოთ გამონათქვამების წესი, რომელიც ადრე ჩამოვაყალიბეთ. აქ მხოლოდ გამრავლება და გაყოფა გვაქვს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიცავთ გამოთვლების წერილობით თანმიმდევრობას და თანმიმდევრობით ვითვლით მარცხნიდან მარჯვნივ.

პასუხი:ჯერ ექვსს ვყოფთ ორზე, შედეგს ვამრავლებთ რვაზე და მიღებულ რიცხვს ვყოფთ სამზე.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რამდენი იქნება 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

გამოსავალი

ჯერ განვსაზღვროთ მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობა, ვინაიდან აქ გვაქვს არითმეტიკული მოქმედებების ყველა ძირითადი ტიპი - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა. პირველი რაც უნდა გავაკეთოთ არის გაყოფა და გამრავლება. ამ მოქმედებებს არ აქვთ პრიორიტეტი ერთმანეთზე, ამიტომ ვასრულებთ მათ წერილობითი თანმიმდევრობით მარჯვნიდან მარცხნივ. ანუ 5 უნდა გავამრავლოთ 6-ზე, რომ მივიღოთ 30, შემდეგ 30 გავყოთ სამზე, რომ მივიღოთ 10. ამის შემდეგ გაყავით 4 2-ზე, ეს არის 2. მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი მნიშვნელობები თავდაპირველ გამოსახულებაში:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

აქ აღარ არის გაყოფა ან გამრავლება, ამიტომ დარჩენილ გამოთვლებს ვაკეთებთ თანმიმდევრობით და ვიღებთ პასუხს:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

პასუხი:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

სანამ მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა მყარად არ დაიმახსოვრებთ, შეგიძლიათ რიცხვები დააყენოთ არითმეტიკული ოპერაციების ნიშნებზე, რომლებიც მიუთითებენ გაანგარიშების თანმიმდევრობას. მაგალითად, ზემოთ მოცემული პრობლემისთვის შეგვიძლია დავწეროთ ასე:

თუ გვაქვს ასოების გამონათქვამები, მაშინ მათთანაც იგივეს ვაკეთებთ: ჯერ ვამრავლებთ და ვყოფთ, შემდეგ ვამატებთ და ვაკლებთ.

რა არის პირველი და მეორე ეტაპის მოქმედებები?

ზოგჯერ საცნობარო წიგნებში ყველა არითმეტიკული ოპერაცია იყოფა პირველი და მეორე ეტაპების მოქმედებებად. მოდით ჩამოვაყალიბოთ საჭირო განმარტება.

პირველი ეტაპის მოქმედებები მოიცავს გამოკლებას და შეკრებას, მეორე - გამრავლებას და გაყოფას.

ამ სახელების ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ადრე მოცემული წესი მოქმედებების თანმიმდევრობის შესახებ შემდეგნაირად:

განმარტება 2

გამონათქვამში, რომელიც არ შეიცავს ფრჩხილებს, ჯერ უნდა შეასრულოთ მეორე ეტაპის მოქმედებები მარცხნიდან მარჯვნივ, შემდეგ პირველი ეტაპის მოქმედებები (იმავე მიმართულებით).

გამოთვლების თანმიმდევრობა გამოსახულებებში ფრჩხილებით

თავად ფრჩხილები არის ნიშანი, რომელიც გვეუბნება მოქმედებების სასურველ თანმიმდევრობას. ამ შემთხვევაში, საჭირო წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

განმარტება 3

თუ გამონათქვამში არის ფრჩხილები, მაშინ პირველი ნაბიჯი არის მათში ოპერაციის შესრულება, რის შემდეგაც ვამრავლებთ და ვყოფთ, შემდეგ ვამატებთ და ვაკლებთ მარცხნიდან მარჯვნივ.

რაც შეეხება თავად ფრჩხილებში გამოსახულებას, ის შეიძლება ჩაითვალოს მთავარი გამონათქვამის შემადგენელ ნაწილად. ფრჩხილებში გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლისას ჩვენ ვიცავთ ჩვენთვის ცნობილ იგივე პროცედურას. მოდით ილუსტრაციით ჩვენი იდეა მაგალითით.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რამდენი იქნება 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

გამოსავალი

ამ გამოთქმაში არის ფრჩხილები, ამიტომ დავიწყოთ მათით. პირველ რიგში, გამოვთვალოთ რამდენი იქნება 7 − 2 · 3. აქ უნდა გავამრავლოთ 2 3-ზე და გამოვაკლოთ შედეგი 7-ს:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

ჩვენ ვიანგარიშებთ შედეგს მეორე ფრჩხილებში. ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი მოქმედება: 6 − 4 = 2 .

ახლა ჩვენ უნდა ჩავანაცვლოთ მიღებული მნიშვნელობები თავდაპირველ გამოხატულებაში:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

დავიწყოთ გამრავლებით და გაყოფით, შემდეგ შევასრულოთ გამოკლება და მივიღოთ:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

ამით მთავრდება გამოთვლები.

პასუხი: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

არ ინერვიულოთ, თუ ჩვენი მდგომარეობა შეიცავს გამონათქვამს, რომელშიც ზოგიერთი ფრჩხილები ათავსებს სხვებს. ჩვენ მხოლოდ უნდა გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული წესი თანმიმდევრულად ყველა გამონათქვამზე ფრჩხილებში. ავიღოთ ეს პრობლემა.

მაგალითი 5

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რამდენი იქნება 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

გამოსავალი

ჩვენ გვაქვს ფრჩხილები ფრჩხილებში. ჩვენ ვიწყებთ 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), კერძოდ 2 + 3. 5 იქნება. მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს გამოსახულებაში და გამოითვალოს, რომ 3 + 1 + 4 · 5. ჩვენ გვახსოვს, რომ ჯერ უნდა გავამრავლოთ და შემდეგ დავამატოთ: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. ნაპოვნი მნიშვნელობების ორიგინალურ გამოსახულებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ გამოვთვლით პასუხს: 4 + 24 = 28 .

პასუხი: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთვლების მნიშვნელობის გამოთვლისას, რომელიც მოიცავს ფრჩხილებს ფრჩხილებში, ვიწყებთ შიდა ფრჩხილებით და მივდივართ გარესკენ.

ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ რამდენი იქნება (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. ვიწყებთ გამონათქვამით შიდა ფრჩხილებში. ვინაიდან 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, ორიგინალური გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც (4 + (4 + 1) − 1) − 1. ისევ შევხედე შიდა ფრჩხილებს: 4 + 1 = 5. გამოთქმამდე მივედით (4 + 5 − 1) − 1 . ჩვენ ვითვლით 4 + 5 − 1 = 8 და შედეგად ვიღებთ სხვაობას 8 - 1, რომლის შედეგი იქნება 7.

გამოთვლების თანმიმდევრობა გამონათქვამებში ხარისხებით, ფესვებით, ლოგარითმებით და სხვა ფუნქციებით

თუ ჩვენი მდგომარეობა შეიცავს გამოხატულებას სიმძლავრის, ფესვის, ლოგარითმის ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციით (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი) ან სხვა ფუნქციებით, მაშინ პირველ რიგში ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას. ამის შემდეგ ჩვენ ვმოქმედებთ წინა პუნქტებში მითითებული წესების მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციები მნიშვნელობით თანაბარია ფრჩხილებში ჩასმული გამონათქვამთან.

მოდით შევხედოთ ასეთი გაანგარიშების მაგალითს.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:იპოვეთ რამდენია (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

გამოსავალი

ჩვენ გვაქვს გამონათქვამი ხარისხით, რომლის მნიშვნელობა ჯერ უნდა მოიძებნოს. ჩვენ ვითვლით: 6 2 = 36. ახლა ჩავანაცვლოთ შედეგი გამოსახულებით, რის შემდეგაც ის მიიღებს ფორმას (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

პასუხი: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ცალკეულ სტატიაში, რომელიც ეძღვნება გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლას, ჩვენ გთავაზობთ გამოთვლების სხვა, უფრო რთულ მაგალითებს ფესვებით, გრადუსით და ა.შ. გამოთვლების შემთხვევაში. გირჩევთ გაეცნოთ მას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ალფა ნიშნავს რეალურ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით:

ნათლად დასამტკიცებლად, რომ ისინი მართალი იყვნენ, მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. პირადად მე, ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც ტამბურებთან მოცეკვავე შამანებს. არსებითად, ყველა მათგანი ემყარება იმ ფაქტს, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაუსახლებელია და ახალი სტუმრები შემოდიან, ან რომ ზოგიერთი სტუმარი დერეფანში გააგდებს სტუმრებისთვის ადგილს (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადატანას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ ოთახს სტუმრისთვის, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ მისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორი შეიძლება სულელურად იგნორირებული იყოს, მაგრამ ეს იქნება კატეგორიაში "არავითარი კანონი არ არის დაწერილი სულელებისთვის". ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? უსასრულო სასტუმრო არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ცარიელი საწოლი, მიუხედავად იმისა, თუ რამდენი ნომერია დაკავებული. თუ გაუთავებელი „ვიზიტორის“ დერეფნის ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სასტუმრო“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. უფრო მეტიც, "უსასრულო სასტუმროს" აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის სამყაროებში, რომლებიც შექმნილია ღმერთების უსასრულო რაოდენობით. მათემატიკოსები ვერ ახერხებენ დისტანცირებას ბანალური ყოველდღიური პრობლემებისგან: ყოველთვის არის მხოლოდ ერთი ღმერთი-ალაჰ-ბუდა, არის მხოლოდ ერთი სასტუმრო, არის მხოლოდ ერთი დერეფანი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ, რომ შესაძლებელია "შეუძლებელის ჩახშობა".

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ თქვენ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: რამდენი ნატურალური რიცხვების სიმრავლეა - ერთი ან ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები ბუნებაში. დიახ, ბუნება შესანიშნავია დათვლაში, მაგრამ ამისათვის ის იყენებს სხვა მათემატიკურ ინსტრუმენტებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. მე გეტყვით რას ფიქრობს ბუნება სხვა დროს. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განვიხილოთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერებს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და არსად წასაყვანი. ამ კომპლექტს ვერ დავამატებთ, რადგან უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ერთი ავიღოთ და დავამატოთ რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ მივიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტების დეტალური ჩამონათვალით. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე ერთეული დაემატება.

ვარიანტი ორი. ჩვენს თაროზე ნატურალური რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები გვაქვს. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ავიღოთ ერთ-ერთი ასეთი ნაკრები. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. ეს არის ის, რაც ჩვენ ვიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ დაუმატებთ კიდევ ერთ უსასრულო სიმრავლეს ერთ უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი იქნება ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს იქნება განსხვავებული ხაზი, რომელიც არ არის ორიგინალის ტოლი.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე შეგხვდებათ მათემატიკური პრობლემები, დაფიქრდით, მიჰყვებით თუ არა მათემატიკოსთა თაობების მიერ გავლილი ცრუ მსჯელობის გზას. მათემატიკის სწავლა ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ მატებს ჩვენს გონებრივ შესაძლებლობებს (ან, პირიქით, გვართმევს თავისუფალ აზროვნებას).

კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ

ვასრულებდი სტატიის პოსტსკრიპტს და ვნახე ეს მშვენიერი ტექსტი ვიკიპედიაში:

ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილ იქნა განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. გვიჭირს თანამედროვე მათემატიკას იმავე კონტექსტში შევხედოთ? ზემოხსენებული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, მე პირადად მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარი თეორიული საფუძველი არ არის ყოვლისმომცველი ბუნებით და დაყვანილია განსხვავებული სექციებით, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი სერია მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ

როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

შეიძლება ბევრი გვქონდეს აშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით აღვნიშნოთ ამ ნაკრების ელემენტები ასოებით ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის სერიულ ნომერზე. შემოვიღოთ ახალი საზომი ერთეული „სქესი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს ასქესიდან გამომდინარე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი „ადამიანების“ ნაკრები ახლა გახდა „გენდერული მახასიათებლების მქონე ადამიანების“ ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები დავყოთ მამაკაცებად ბმდა ქალთა ბვსექსუალური მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ერთ-ერთ ამ სექსუალურ მახასიათებელს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია - მამაკაცი თუ ქალი. თუ ადამიანს აქვს, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ კი ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას ვიყენებთ. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ ჩვენ მივიღეთ ორი ქვეჯგუფი: კაცების ქვეჯგუფი ბმდა ქალების ქვეჯგუფი Bw. მათემატიკოსები დაახლოებით ერთნაირად მსჯელობენ, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვეუბნებიან დეტალებს, მაგრამ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს - "ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების და ქალების ქვეჯგუფისგან". ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რამდენად სწორად იქნა გამოყენებული მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ არსებითად ყველაფერი გაკეთდა, საკმარისია არითმეტიკის, ლოგიკური ალგებრის და მათემატიკის სხვა დარგების მათემატიკური საფუძვლების ცოდნა. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ორი კომპლექტი ერთ სუპერკომპლექტში ამ ორი ნაკრების ელემენტებში არსებული საზომი ერთეულის არჩევით.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და ჩვეულებრივი მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულის რელიქვიად აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსები ისე მოქმედებდნენ, როგორც ერთხელ შამანები. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ისინი გვასწავლიან ამ "ცოდნას".

დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები.

ორშაბათი, 7 იანვარი, 2019 წ

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია „აქილევსი და კუს“ აპორია. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გარბის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიას. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები დღემდე გრძელდება სამეცნიერო საზოგადოებამ პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე მისვლა... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები; ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა..."[ვიკიპედია, "ზენონის აპორია". ყველას ესმის, რომ მათ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რისგან შედგება მოტყუება.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა რაოდენობიდან . ეს გადასვლა გულისხმობს განაცხადს მუდმივის ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციიდან გამომდინარე, ვაკეთებთ დროის მუდმივ ერთეულებს საპასუხო მნიშვნელობაზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ გაჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ ასწრებს კუს.

თუ ჩვენ ჩვეულ ლოგიკას შევაბრუნებთ, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი კუს უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ ორმხრივ ერთეულებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადადგმა იმავე მიმართულებით. პირველის ტოლი შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით დაცოცავს. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას "აქილევსი და კუს". ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. იმის დასადგენად, მოძრაობს თუ არა მანქანა, გჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული ერთი და იგივე წერტილიდან დროის სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან მანძილს. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, დაგჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან დროის ერთ მომენტში, მაგრამ მათგან ვერ განსაზღვრავთ მოძრაობის ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ ). რაზეც მინდა გავამახვილო განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი სხვადასხვა შესაძლებლობებს იძლევა კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

მე უკვე გითხარით, რისი დახმარებითაც შამანები ცდილობენ „რეალობის“ დახარისხებას. როგორ აკეთებენ ამას? როგორ ხდება რეალურად ნაკრების ფორმირება?

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ კომპლექტის განმარტებას: „სხვადასხვა ელემენტების კრებული, ჩაფიქრებული როგორც ერთიანი მთლიანობა“. ახლა იგრძენით განსხვავება ორ ფრაზას შორის: „მთლიანად წარმოსადგენი“ და „მთლიანად წარმოდგენა“. პირველი ფრაზა არის საბოლოო შედეგი, ნაკრები. მეორე ფრაზა არის წინასწარი მომზადება სიმრავლის ფორმირებისთვის. ამ ეტაპზე რეალობა იყოფა ცალკეულ ელემენტებად („მთელი“), საიდანაც შემდეგ ჩამოყალიბდება სიმრავლე („ერთი მთლიანობა“). ამავდროულად, ის ფაქტორი, რომელიც შესაძლებელს ხდის "მთლიანობის" "ერთ მთლიანობაში" გაერთიანებას, ყურადღებით აკვირდება, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები წარმატებას ვერ მიაღწევენ. შამანებმა ხომ წინასწარ იციან ზუსტად რა კომპლექტი უნდა გვაჩვენონ.

მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სქელს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები მშვილდით არის და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ, ჩვენ ვირჩევთ "მთლიანობის" ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს "მშვილდით". ასე იღებენ შამანები საკვებს თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკით მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთვლები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა საბოლოო კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული ნაკრები? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო სწორად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასე იქნება.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი ერთად pimple და მშვილდი." ფორმირება მოხდა ოთხი სხვადასხვა საზომი ერთეულით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკა), დეკორაცია (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები გვაძლევს საშუალებას ადეკვატურად აღვწეროთ რეალური ობიექტები მათემატიკის ენაზე. ასე გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში მონიშნულია საზომი ერთეულები, რომლებითაც „მთელი“ გამოირჩევა წინასწარ ეტაპზე. საზომი ერთეული, რომლითაც კომპლექტი იქმნება, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ გაზომვის ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვა ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ „ინტუიტიურად“ მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ, რომ ეს „აშკარაა“, რადგან საზომი ერთეულები არ არის მათი „მეცნიერული“ არსენალის ნაწილი.

საზომი ერთეულების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ერთი ნაკრების გაყოფა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.

შაბათი, 30 ივნისი, 2018 წ

თუ მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ცნების სხვა ცნებებზე დაყვანა, მაშინ მათ მათემატიკის არაფერი ესმით. მე ვპასუხობ: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? პასუხი ძალიან მარტივია: რიცხვები და საზომი ერთეულები.

დღეს ყველაფერი, რასაც ჩვენ არ ვიღებთ, რაღაც კომპლექტს ეკუთვნის (როგორც მათემატიკოსები გვარწმუნებენ). სხვათა შორის, შენს შუბლზე სარკეში ნახე იმ კომპლექტების სია, რომლებსაც შენ ეკუთვნი? და მე არ მინახავს ასეთი სია. მეტსაც ვიტყვი - რეალობაში არც ერთ ნივთს არ აქვს ტეგი იმ კომპლექტების ჩამონათვალით, რომლებსაც ეს ნივთი ეკუთვნის. ნაკრები შამანების გამოგონებაა. როგორ აკეთებენ ამას? მოდით, ცოტა ღრმად ჩავიხედოთ ისტორიაში და ვნახოთ, როგორ გამოიყურებოდა ნაკრების ელემენტები, სანამ მათემატიკოსი შამანები მათ ნაკრებებში მიიღებდნენ.

დიდი ხნის წინ, როდესაც მათემატიკაზე არავის სმენია და მხოლოდ ხეებს და სატურნს ჰქონდათ რგოლები, კომპლექტების ველური ელემენტების უზარმაზარი ნახირი ტრიალებდა ფიზიკურ ველებზე (ბოლოს და ბოლოს, შამანებს ჯერ არ ჰქონდათ გამოგონილი მათემატიკური ველები). ისინი ასე გამოიყურებოდნენ.

დიახ, ნუ გაგიკვირდებათ, მათემატიკის თვალსაზრისით, კომპლექტების ყველა ელემენტი ყველაზე მეტად ჰგავს ზღვის ზღარბებს - ერთი წერტილიდან, ნემსების მსგავსად, საზომი ერთეულები ყველა მიმართულებით გამოდის. მათთვის, ვინც შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი საზომი ერთეული შეიძლება გეომეტრიულად იყოს წარმოდგენილი, როგორც თვითნებური სიგრძის სეგმენტი, ხოლო რიცხვი, როგორც წერტილი. გეომეტრიულად, ნებისმიერი რაოდენობა შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც სეგმენტების თაიგული, რომლებიც გამოდიან სხვადასხვა მიმართულებით ერთი წერტილიდან. ეს წერტილი არის ნულოვანი წერტილი. მე არ დავხატავ გეომეტრიული ხელოვნების ამ ნიმუშს (შთაგონების გარეშე), მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად წარმოიდგინოთ იგი.

რა საზომი ერთეულები ქმნიან კომპლექტის ელემენტს? ყველა სახის ნივთი, რომელიც აღწერს მოცემულ ელემენტს სხვადასხვა თვალსაზრისით. ეს არის უძველესი საზომი ერთეულები, რომლებსაც ჩვენი წინაპრები იყენებდნენ და რომელიც ყველას დიდი ხანია დავიწყებული აქვს. ეს არის თანამედროვე საზომი ერთეულები, რომლებსაც ახლა ვიყენებთ. ესეც ჩვენთვის უცნობი საზომი ერთეულებია, რომლებსაც ჩვენი შთამომავლები მოიგონებენ და რომლებსაც რეალობის აღსაწერად გამოიყენებენ.

ჩვენ დავახარისხეთ გეომეტრია - ნაკრების ელემენტების შემოთავაზებულ მოდელს აქვს მკაფიო გეომეტრიული წარმოდგენა. რაც შეეხება ფიზიკას? საზომი ერთეულები არის პირდაპირი კავშირი მათემატიკასა და ფიზიკას შორის. თუ შამანები არ აღიარებენ გაზომვის ერთეულებს მათემატიკური თეორიების სრულფასოვან ელემენტად, ეს მათი პრობლემაა. მე პირადად ვერ წარმომიდგენია მათემატიკის რეალური მეცნიერება საზომი ერთეულების გარეშე. სწორედ ამიტომ, სიმრავლეების თეორიის შესახებ მოთხრობის დასაწყისში მე ვსაუბრობდი მასზე, როგორც ქვის ხანაში.

მაგრამ გადავიდეთ ყველაზე საინტერესოზე - სიმრავლეთა ელემენტების ალგებრაზე. ალგებრულად, სიმრავლის ნებისმიერი ელემენტი არის სხვადასხვა სიდიდის ნამრავლი (გამრავლების შედეგი).

მე განზრახ არ გამოვიყენე სიმრავლეების თეორიის კონვენციები, ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ სიმრავლის ელემენტს მის ბუნებრივ ჰაბიტატში სიმრავლეების თეორიის მოსვლამდე. ფრჩხილებში თითოეული წყვილი ასო აღნიშნავს ცალკეულ რაოდენობას, რომელიც შედგება ასოთი მითითებული რიცხვისგან. ნ"და ასოთი მითითებული საზომი ერთეული" აასოების გვერდით ინდექსები მიუთითებს, რომ რიცხვები და საზომი ერთეულები განსხვავებულია. ნაკრების ერთი ელემენტი შეიძლება შედგებოდეს უსასრულო რაოდენობის რაოდენობით (რამდენი გვაქვს ჩვენ და ჩვენს შთამომავლებს საკმარისი ფანტაზია). თითოეული ფრჩხილი გეომეტრიულად არის გამოსახული. ცალკე სეგმენტი ზღვის ჭინჭრის მაგალითში ერთი სამაგრი არის ერთი ნემსი.

როგორ ქმნიან შამანები კომპლექტს სხვადასხვა ელემენტისგან? სინამდვილეში, საზომი ერთეულებით ან რიცხვებით. მათემატიკის არაფერი ესმით, ისინი იღებენ სხვადასხვა ზღვის ზღარბებს და გულდასმით იკვლევენ მათ იმ ერთი ნემსის საძიებლად, რომლის გასწვრივაც ისინი ქმნიან კომპლექტს. თუ არსებობს ასეთი ნემსი, მაშინ ეს ელემენტი ეკუთვნის კომპლექტს, თუ ასეთი ნემსი არ არის, მაშინ ეს ელემენტი არ არის ამ ნაკრებიდან. შამანები მოგვითხრობენ ზღაპრებს აზროვნების პროცესებზე და მთლიანობაზე.

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, ერთი და იგივე ელემენტი შეიძლება ეკუთვნოდეს ძალიან განსხვავებულ კომპლექტს. შემდეგ მე გაჩვენებთ როგორ იქმნება სიმრავლეები, ქვესიმრავლეები და სხვა შამანური სისულელეები. როგორც ხედავთ, „ნაკრებში არ შეიძლება იყოს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპლექტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ ასეთ აბსურდულ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომლებსაც არ აქვთ ინტელექტი სიტყვიდან "სრულიად". მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც ჩვეულებრივი ტრენერები და გვაქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის ქვეშ ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის გამოცდის დროს. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

არ აქვს მნიშვნელობა, როგორ იმალებიან მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, "იგონე, მე სახლში ვარ", უფრო სწორად, "მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს", არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვაძლევთ. ასე რომ, მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ ვითვლით მას მთელ თანხას და ვაწყობთ მას ჩვენს მაგიდაზე სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ვათავსებთ იმავე ნომინალის კუპიურებს. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ თითო კუპიურას თითოეული წყობიდან და ვაძლევთ მათემატიკოსს „ხელფასის მათემატიკურ კომპლექტს“. მოდით ავუხსნათ მათემატიკოსს, რომ ის მიიღებს დარჩენილ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. აქედან იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „ეს შეიძლება სხვებზეც გავრცელდეს, ჩემზე კი არა! შემდეგ ისინი დაიწყებენ ჩვენს დარწმუნებას, რომ ერთი და იგივე ნომინალის კუპიურებს განსხვავებული ნომრები აქვთ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთსა და იმავე ელემენტებად. კარგი, მოდით დავთვალოთ ხელფასები მონეტებში - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი დაიწყებს ფიზიკის გაბრაზებულ გახსენებას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, ატომების კრისტალური სტრუქტურა და განლაგება უნიკალურია თითოეული მონეტისთვის...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის ხაზი, რომლის მიღმაც მულტიკომპლექტის ელემენტები გადაიქცევა კომპლექტის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქ ტყუილთან ახლოსაც არ არის.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების არეები იგივეა - რაც ნიშნავს, რომ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ თუ გადავხედავთ იმავე სტადიონების სახელებს, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთი და იგივე ნაკრები არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. Რომელია სწორი? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შარფისტი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტის ან მულტისეტის შესახებ. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არ წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

თუ შევადარებთ შეკრება და გამოკლების ფუნქციებს გამრავლებასა და გაყოფას, მაშინ გამრავლება და გაყოფა ყოველთვის პირველ რიგში გამოითვლება.

მაგალითში ორი ფუნქცია, როგორიცაა შეკრება და გამოკლება, ასევე გამრავლება და გაყოფა, ერთმანეთის ექვივალენტია. შესრულების თანმიმდევრობა განისაზღვრება მარცხნიდან მარჯვნივ.

უნდა გვახსოვდეს, რომ მაგალითში განსაკუთრებული პრიორიტეტი აქვს ფრჩხილებში ჩადებულ მოქმედებებს. ამრიგად, თუნდაც ფრჩხილების გარეთ გამრავლება იყოს და ფრჩხილებში შეკრება, ჯერ უნდა დაამატოთ და შემდეგ გაამრავლოთ.

ამ თემის გასაგებად, შეგიძლიათ ყველა შემთხვევა სათითაოდ განიხილოთ.

დაუყოვნებლივ გავითვალისწინოთ, რომ ჩვენს გამონათქვამებს არ აქვთ ფრჩხილები.

ასე რომ, თუ მაგალითში პირველი მოქმედება არის გამრავლება, ხოლო მეორე გაყოფა, მაშინ ჯერ ვასრულებთ გამრავლებას.

თუ მაგალითში პირველი მოქმედება არის გაყოფა, ხოლო მეორე - გამრავლება, მაშინ ჯერ ვაკეთებთ გაყოფას.

ასეთ მაგალითებში მოქმედებები შესრულებულია თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ, მიუხედავად იმისა, თუ რომელი რიცხვია გამოყენებული.

თუ მაგალითებში გამრავლებისა და გაყოფის გარდა არის შეკრება და გამოკლება, მაშინ ჯერ კეთდება გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება.

შეკრებისა და გამოკლების შემთხვევაში, ასევე არ აქვს მნიშვნელობა, რომელი მოქმედებები კეთდება პირველი, თანმიმდევრობა დაცულია მარცხნიდან მარჯვნივ.

განვიხილოთ სხვადასხვა ვარიანტები:

ამ მაგალითში პირველი მოქმედება, რომელიც უნდა შესრულდეს, არის გამრავლება და შემდეგ შეკრება.

ამ შემთხვევაში, თქვენ ჯერ ამრავლებთ მნიშვნელობებს, შემდეგ ყოფთ და მხოლოდ ამის შემდეგ უმატებთ.

ამ შემთხვევაში ჯერ უნდა შეასრულოთ ფრჩხილებში ჩასმული ყველა ოპერაცია, შემდეგ კი მხოლოდ გამრავლება და გაყოფა.

ასე რომ, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერ ფორმულაში ჯერ შესრულებულია ოპერაციები, როგორიცაა გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ კი მხოლოდ გამოკლება და შეკრება.

ასევე, ფრჩხილებში მყოფი რიცხვებით, თქვენ უნდა დათვალოთ ისინი ფრჩხილებში და მხოლოდ ამის შემდეგ გააკეთოთ სხვადასხვა მანიპულაციები, დაიმახსოვროთ ზემოთ აღწერილი თანმიმდევრობა.

პირველი მოქმედებები იქნება: გამრავლება და გაყოფა.

მხოლოდ ამის შემდეგ ხდება შეკრება და გამოკლება.

თუმცა, თუ არსებობს ფრჩხილები, მაშინ პირველ რიგში შესრულდება მათში არსებული მოქმედებები. თუნდაც შეკრება და გამოკლება.

Მაგალითად:

ამ მაგალითში ჯერ გავამრავლებთ, შემდეგ 4-ს 5-ზე, შემდეგ დავამატებთ 4-ს 20-ს. მივიღებთ 24-ს.

მაგრამ თუ ასეა: (4+5)*4, მაშინ ჯერ ვასრულებთ შეკრებას, მივიღებთ 9. შემდეგ ვამრავლებთ 9-ს 4-ზე. მივიღებთ 36-ს.

თუ მაგალითი შეიცავს ოთხივე ოპერაციას, მაშინ ჯერ არის გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება.

ან 3 განსხვავებული მოქმედების მაგალითში, მაშინ პირველი იქნება ან გამრავლება (ან გაყოფა), შემდეგ კი შეკრება (ან გამოკლება).

როდესაც არ არის ფრჩხილები.

მაგალითი: 4-2*5:10+8=11,

1 ქმედება 2*5 (10);

საქმე 2 10:10 (1);

3 ქმედება 4-1 (3);

4 ქმედება 3+8 (11).

ოთხივე ოპერაცია შეიძლება დაიყოს ორ ძირითად ჯგუფად, ერთში - შეკრება და გამოკლება, მეორეში - გამრავლება და გაყოფა. პირველი იქნება მოქმედება, რომელიც მაგალითში პირველია, ანუ ყველაზე მარცხენა.

მაგალითი: 60-7+9=62, ჯერ საჭიროა 60-7, შემდეგ რაც ხდება არის (53) +9;

მაგალითი: 5*8:2=20, ჯერ საჭიროა 5*8, შემდეგ რაც ხდება არის (40) :2.

როდესაც მაგალითში არსებობს ფრჩხილები, მოქმედებები ფრჩხილში ჯერ სრულდება (ზემოთ მოყვანილი წესების მიხედვით), შემდეგ კი დანარჩენი კეთდება ჩვეულებრივად.

მაგალითი: 2+(9-8)*10:2=7.

1 ქმედება 9-8 (1);

მე-2 აქცია 1*10 (10);

საქმეები 3 10:2 (5);

4 მოქმედება 2+5 (7).

ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ იწერება გამოთქმა, მოდით შევხედოთ უმარტივეს ციფრულ გამონათქვამს:

18 - 6:3 + 10x2 =

ჯერ ვასრულებთ მოქმედებებს გაყოფით და გამრავლებით, შემდეგ რიგრიგობით, მარცხნიდან მარჯვნივ, გამოკლებით და შეკრებით: 18-2+20 = 36

თუ ეს არის გამონათქვამი ფრჩხილებით, მაშინ შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში, შემდეგ გამრავლება ან გაყოფა და ბოლოს შეკრება/გამოკლება, მაგალითად:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

ყველაფერი სწორია: ჯერ შეასრულეთ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება.

თუ მაგალითში არ არის ფრჩხილები, მაშინ ჯერ შესრულებულია გამრავლება და გაყოფა თანმიმდევრობით, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება, იგივე თანმიმდევრობით.

თუ მაგალითი შეიცავს მხოლოდ გამრავლებას და გაყოფას, მაშინ მოქმედებები შესრულდება თანმიმდევრობით.

თუ მაგალითი შეიცავს მხოლოდ შეკრებას და გამოკლებას, მაშინ მოქმედებებიც შესრულდება თანმიმდევრობით.

უპირველეს ყოვლისა, ფრჩხილებში მოქმედებები შესრულებულია იგივე წესებით, ანუ ჯერ გამრავლება და გაყოფა და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება და გამოკლება.

22-(11+3X2)+14=19

არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა მკაცრად არის დადგენილი, რომ არ იყოს შეუსაბამობები სხვადასხვა ადამიანების მიერ ერთი და იგივე ტიპის გამოთვლების შესრულებისას. უპირველეს ყოვლისა, სრულდება გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება, თუ ერთი და იგივე რიგის მოქმედებები მოდის მარცხნიდან მარჯვნივ.

თუ მათემატიკური გამოთქმის ჩაწერისას გამოიყენება ფრჩხილები, მაშინ პირველ რიგში უნდა შეასრულოთ ფრჩხილებში მითითებული მოქმედებები. ფრჩხილები ხელს უწყობს რიგის შეცვლას, როდესაც საჭიროა ჯერ შეკრება ან გამოკლება, შემდეგ კი გამრავლება და გაყოფა.

ნებისმიერი ფრჩხილის გაფართოება შესაძლებელია და შემდეგ შესრულების თანმიმდევრობა ისევ სწორი იქნება:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

უმჯობესია დაუყოვნებლივ მაგალითებში:

• 1+2*3/4-5=?

ამ შემთხვევაში ჯერ ვასრულებთ გამრავლებას, რადგან ის გაყოფის მარცხნივ არის. შემდეგ გაყოფა. შემდეგ მიმატება, უფრო მარცხენა მდებარეობის გამო და ბოლოს გამოკლება.

• 1*3/(2+4)?

ჯერ ფრჩხილებში ვაკეთებთ გამოთვლას, შემდეგ გამრავლებას და გაყოფას.

• 1+2*(3-1*5)=?

ჯერ ვაკეთებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში: გამრავლება, შემდეგ გამოკლება. ამას მოჰყვება ფრჩხილების გარეთ გამრავლება და ბოლოს შეკრება.

ჯერ გამრავლება და გაყოფა მოდის. თუ მაგალითში არის ფრჩხილები, მაშინ ფრჩხილებში მოქმედება განიხილება დასაწყისში. როგორიც არ უნდა იყოს ნიშანი!

აქ თქვენ უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე ძირითადი წესი:

1. თუ მაგალითში არ არის ფრჩხილები და არის მოქმედებები - მხოლოდ შეკრება და გამოკლება, ან მხოლოდ გამრავლება და გაყოფა - ამ შემთხვევაში ყველა მოქმედება ხორციელდება თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.

მაგალითად, 5+8-5=8 (ყველაფერს ვაკეთებთ თანმიმდევრობით - 8-ს ვუმატებთ 5-ს, შემდეგ გამოვაკლებთ 5-ს)

1. თუ მაგალითი შეიცავს შერეულ მოქმედებებს - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა, მაშინ პირველ რიგში ვასრულებთ გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებებს და შემდეგ მხოლოდ შეკრება ან გამოკლება.

მაგალითად, 5+8*3=29 (ჯერ გაამრავლეთ 8 3-ზე და შემდეგ დაამატეთ 5)

1. თუ მაგალითი შეიცავს ფრჩხილებს, პირველ რიგში შესრულებულია ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები.

მაგალითად, 3*(5+8)=39 (ჯერ 5+8 და შემდეგ გავამრავლოთ 3-ზე)