ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური მნიშვნელობა ეწოდება. ტესტები მიმდინარე ცოდნის კონტროლისთვის

მესამე მწკრივი გავყოთ საკვანძო ელემენტზე 5-ის ტოლი, მივიღებთ ახალი ცხრილის მესამე რიგს.

ძირითადი სვეტები შეესაბამება ერთეულ სვეტებს.

ცხრილის სხვა მნიშვნელობების გაანგარიშება:

"BP - ძირითადი გეგმა":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

ინდექსის სტრიქონის მნიშვნელობები არაუარყოფითია, ამიტომ ვიღებთ ოპტიმალურ გადაწყვეტას: , ; .

პასუხი:წარმოებული პროდუქციის რეალიზაციიდან მაქსიმალურ მოგებას, 160/3 ერთეულის ტოლი, უზრუნველყოფილია მხოლოდ მეორე ტიპის პროდუქციის 80/9 ერთეულის წარმოებით.

დავალება No2

მოცემულია არაწრფივი პროგრამირების ამოცანა. იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი გრაფიკულ-ანალიტიკური მეთოდით. შეადგინეთ ლაგრანჟის ფუნქცია და აჩვენეთ, რომ უკიდურეს წერტილებში საკმარისი პირობებია მინიმუმისთვის (მაქსიმუმი).

იმიტომ რომ შიფრის ბოლო ციფრი არის 8, შემდეგ A=2; B=5.

იმიტომ რომ შიფრის ბოლო ციფრი არის 1, მაშინ უნდა აირჩიოთ დავალება No1.

გამოსავალი:

1) დავხატოთ უტოლობათა სისტემით განსაზღვრული ფართობი.

ეს ფართობი არის ABC სამკუთხედი წვეროების კოორდინატებით: A(0; 2); B(4; 6) და C(16/3; 14/3).

ობიექტური ფუნქციის დონეებია წრეები ცენტრით წერტილში (2; 5). რადიუსების კვადრატები იქნება ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები. შემდეგ ნახაზი აჩვენებს, რომ ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა H წერტილში, მაქსიმალური - ან A წერტილში ან C წერტილში.

ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა A წერტილში: ;

ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა C წერტილში: ;

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის უმაღლესი მნიშვნელობა მიიღწევა A(0; 2) წერტილში და უდრის 13-ს.

ვიპოვოთ H წერტილის კოორდინატები.

ამისათვის განიხილეთ სისტემა:

ó

ó

წრფე არის ტანგენსი წრეზე, თუ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები. კვადრატულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ დისკრიმინანტი არის 0.

მერე ; ; - ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა.

2) შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია მინიმალური ამოხსნის საპოვნელად:

ზე x 1 =2.5; x 2 =4.5 ჩვენ ვიღებთ:

ó

სისტემას აქვს გამოსავალი ზე, ე.ი. ექსტრემისთვის საკმარისი პირობები დაკმაყოფილებულია.

მოდით შევადგინოთ Lagrange ფუნქცია მაქსიმალური ამოხსნის მოსაძებნად:

საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის:

ზე x 1 =0; x 2 =2 ჩვენ ვიღებთ:

ó ó

სისტემას აქვს გამოსავალიც, ე.ი. ექსტრემისთვის საკმარისი პირობები დაკმაყოფილებულია.

პასუხი:ობიექტური ფუნქციის მინიმუმი მიიღწევა როცა ; ; მიზნობრივი ფუნქციის მაქსიმუმი მიიღწევა ; .

დავალება No3

თანხა ორ საწარმოს გამოეყო დერთეულები. პირველი საწარმოს ერთი წლით გამოყოფისას xსახსრების ერთეულები ის უზრუნველყოფს შემოსავალს კ 1 xერთეულები და მეორე საწარმოს გამოყოფისას წსახსრების ერთეულები, ის უზრუნველყოფს შემოსავალს კ 1 წერთეულები. პირველი საწარმოსთვის წლის ბოლოს სახსრების ნაშთი უდრის nxდა მეორესთვის ჩემი. როგორ გავანაწილოთ ყველა თანხა 4 წლის განმავლობაში ისე, რომ მთლიანი შემოსავალი იყოს ყველაზე დიდი? პრობლემის გადაჭრა დინამიური პროგრამირების მეთოდით.

i=8, k=1.

A=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0.2; მ=0.5.

გამოსავალი:

4 წლის მთელ პერიოდს ვყოფთ 4 ეტაპად, რომელთაგან თითოეული უდრის ერთ წელს. ეტაპები დავთვალოთ პირველი წლიდან დაწყებული. დავუშვათ, რომ X k და Y k არის A და B საწარმოებისთვის, შესაბამისად, გამოყოფილი სახსრები k-ე ეტაპზე. მაშინ ჯამი X k + Y k = a k არის k-ის საფეხურზე გამოყენებული სახსრების ჯამური რაოდენობა, ხოლო წინა ეტაპის k-1 დარჩენილი თანხა. პირველ ეტაპზე გამოყენებულია ყველა გამოყოფილი თანხა და 1 = 2200 ერთეული. . შემოსავალი, რომელიც მიიღება k - იმ ეტაპზე, X k და Y k ერთეულების გამოყოფით იქნება 6X k + 1Y k. კ-დან დაწყებული ბოლო ეტაპებზე მიღებული მაქსიმალური შემოსავალი იყოს f k (a k) ერთეული. მოდით ჩამოვწეროთ ბელმანის ფუნქციური განტოლება, რომელიც გამოხატავს ოპტიმალურობის პრინციპს: როგორიც არ უნდა იყოს საწყისი მდგომარეობა და საწყისი ამონახსნი, შემდგომი ამონახსნი უნდა იყოს ოპტიმალური საწყისი მდგომარეობის შედეგად მიღებული მდგომარეობის მიმართ:

თითოეული ეტაპისთვის თქვენ უნდა აირჩიოთ მნიშვნელობა X k და მნიშვნელობა იკ=აკ- Xკ. ამის გათვალისწინებით შემოსავალს k-ე ეტაპზე ვიპოვით:

ბელმანის ფუნქციური განტოლება იქნება:

მოდით შევხედოთ ყველა ეტაპს, ბოლოდან დაწყებული.

(რადგან წრფივი ფუნქციის მაქსიმუმი მიიღწევა სეგმენტის ბოლოს x 4 = a 4-ზე);

მოდით ავაშენოთ სიბრტყეზე წრფივი უტოლობების სისტემის შესაძლო ამონახსნების ნაკრები და გეომეტრიულად ვიპოვოთ ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა.

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზებს x 1 x 2 კოორდინატთა სისტემაში

ჩვენ ვპოულობთ სისტემის მიერ განსაზღვრულ ნახევრად სიბრტყეებს. ვინაიდან სისტემის უტოლობები დაკმაყოფილებულია შესაბამისი ნახევრად სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, საკმარისია მათი შემოწმება რომელიმე ერთი წერტილისთვის. ჩვენ ვიყენებთ წერტილს (0;0). მოდით ჩავანაცვლოთ მისი კოორდინატები სისტემის პირველ უტოლობაში. იმიტომ რომ , მაშინ უტოლობა განსაზღვრავს ნახევრად სიბრტყეს, რომელიც არ შეიცავს წერტილს (0;0). ჩვენ ანალოგიურად განვსაზღვრავთ დარჩენილ ნახევრად თვითმფრინავებს. ჩვენ ვპოულობთ შესაძლებელი გადაწყვეტილებების ერთობლიობას, როგორც მიღებული ნახევრად სიბრტყეების საერთო ნაწილს - ეს არის დაჩრდილული ტერიტორია.

ჩვენ ვაშენებთ ვექტორს და მასზე პერპენდიკულარულ ნულოვანი დონის ხაზს.

ვმოძრაობთ სწორი ხაზი (5) ვექტორის მიმართულებით და ვხედავთ, რომ რეგიონის მაქსიმალური წერტილი იქნება სწორი ხაზის (3) და სწორი ხაზის (2) გადაკვეთის A წერტილში. ჩვენ ვპოულობთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნას:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მივიღეთ წერტილი (13;11) და.

ვმოძრაობთ სწორი ხაზით (5) ვექტორის მიმართულებით და ვხედავთ, რომ რეგიონის მინიმალური წერტილი იქნება სწორი ხაზის (1) და სწორი ხაზის (4) გადაკვეთის B წერტილში. ჩვენ ვპოულობთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნას:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მივიღეთ წერტილი (6;6) და.

2. ავეჯის კომპანია აწარმოებს კომბინირებულ კარადებს და კომპიუტერის მაგიდებს. მათი წარმოება შეზღუდულია ნედლეულის ხელმისაწვდომობით (მაღალი ხარისხის დაფები, ფიტინგები) და მათი გადამამუშავებელი მანქანების მუშაობის დრო. თითოეული კაბინეტისთვის საჭიროა 5 მ2 დაფა, მაგიდისთვის - 2 მ2. ფიტინგები 10 დოლარი ღირს ერთი კაბინეტისთვის და 8 დოლარი ერთი მაგიდა. კომპანიას შეუძლია თავისი მომწოდებლებისგან მიიღოს თვეში 600 მ2-მდე დაფა და 2000 აშშ დოლარის ღირებულების აქსესუარები. თითოეულ კაბინეტს 7 საათი სჭირდება მანქანა, ხოლო მაგიდას - 3 საათი. თვეში შესაძლებელია მანქანების მხოლოდ 840 სამუშაო საათის გამოყენება.

რამდენი კომბინირებული კაბინეტი და კომპიუტერის მაგიდა უნდა აწარმოოს კომპანიამ თვეში მაქსიმალური მოგების მისაღებად, თუ ერთი კაბინეტი გამოიმუშავებს $100 მოგებას და თითოეული მაგიდა გამოიმუშავებს $50?

• 1. შექმენით ამოცანის მათემატიკური მოდელი და ამოიღეთ იგი სიმპლექსის მეთოდით.
• 2. შექმენით ორმაგი ამოცანის მათემატიკური მოდელი, ჩამოწერეთ მისი ამოხსნა საწყისი ამოხსნის საფუძველზე.
• 3. დაადგინეთ გამოყენებული რესურსების სიმცირის ხარისხი და დაასაბუთეთ ოპტიმალური გეგმის მომგებიანობა.
• 4. გამოიკვლიეთ წარმოების წარმოების შემდგომი გაზრდის შესაძლებლობები თითოეული ტიპის რესურსის გამოყენების მიხედვით.
• 5. შეაფასეთ ახალი ტიპის პროდუქტის - წიგნების თაროების დანერგვის მიზანშეწონილობა, თუ ერთი თაროს დამზადება ღირს 1 მ 2 დაფები და აქსესუარები 5 აშშ დოლარის ღირებულების, და საჭიროა დახარჯოთ 0,25 საათი მანქანა და გაყიდვიდან მიღებული მოგება. ერთი თარო არის $20.
• 1. ავაშენოთ ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელი:

x 1-ით ავღნიშნოთ კარადების წარმოების მოცულობა, ხოლო x 2 - მაგიდების წარმოების მოცულობა. მოდით შევქმნათ შეზღუდვების სისტემა და მიზნის ფუნქცია:

პრობლემას ვხსნით სიმპლექსის მეთოდით. მოდით დავწეროთ იგი კანონიკური ფორმით:

დავალების მონაცემები დავწეროთ ცხრილის სახით:

ცხრილი 1

იმიტომ რომ ახლა ყველა დელტა არის ნულზე მეტი, მაშინ f ფუნქციის მნიშვნელობის შემდგომი ზრდა შეუძლებელია და მივიღეთ ოპტიმალური გეგმა.

შესავალი

კაცობრიობის განვითარების ამჟამინდელი ეტაპი გამოირჩევა იმით, რომ ენერგეტიკის ეპოქა იცვლება კომპიუტერული მეცნიერების ხანით. მიმდინარეობს ახალი ტექნოლოგიების ინტენსიური დანერგვა ადამიანის საქმიანობის ყველა სფეროში. არსებობს ინფორმაციულ საზოგადოებაზე გადასვლის რეალური პრობლემა, რისთვისაც განათლების განვითარება პრიორიტეტული უნდა გახდეს. იცვლება საზოგადოებაში ცოდნის სტრუქტურაც. ფუნდამენტური ცოდნა, რომელიც ხელს უწყობს ინდივიდის შემოქმედებით განვითარებას, სულ უფრო მნიშვნელოვანი ხდება პრაქტიკული ცხოვრებისთვის. ასევე მნიშვნელოვანია მიღებული ცოდნის კონსტრუქციულობა და მისი მიზნის შესაბამისად სტრუქტურირების უნარი. ცოდნის საფუძველზე ყალიბდება საზოგადოების ახალი საინფორმაციო რესურსები. ახალი ცოდნის ჩამოყალიბება და შეძენა უნდა ეფუძნებოდეს სისტემური მიდგომის მკაცრ მეთოდოლოგიას, რომელშიც განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს სამოდელო მიდგომას. მოდელის მიდგომის შესაძლებლობები უკიდურესად მრავალფეროვანია, როგორც გამოყენებული ფორმალური მოდელების, ასევე მოდელირების მეთოდების დანერგვის მეთოდებში. ფიზიკური მოდელირება საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ საიმედო შედეგები საკმაოდ მარტივი სისტემებისთვის.

ამჟამად შეუძლებელია ადამიანის საქმიანობის სფეროს დასახელება, რომელშიც მოდელირების მეთოდები ამა თუ იმ ხარისხით არ იქნება გამოყენებული. ეს განსაკუთრებით ეხება სხვადასხვა სისტემის მენეჯმენტს, სადაც ძირითადი პროცესები არის მიღებული ინფორმაციის საფუძველზე გადაწყვეტილების მიღება.

1. პრობლემის განცხადება

მინიმალური მიზნობრივი ფუნქცია

ამოხსნის მრავალკუთხედით განსაზღვრული შეზღუდვების სისტემისთვის ობიექტური ფუნქციის მინიმალური პოვნის ამოცანის ამოხსნა ამოცანის No16 ვარიანტის შესაბამისად. ამოხსნის პოლიგონი ნაჩვენებია ნახაზ 1-ში:

სურათი 1 - პრობლემის გადაწყვეტილებების პოლიგონი

შეზღუდვების სისტემა და პრობლემის ობიექტური ფუნქცია წარმოდგენილია ქვემოთ:

პრობლემის გადაჭრა აუცილებელია შემდეგი მეთოდების გამოყენებით:

LP ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი;

LP ამოცანების ამოხსნის ალგებრული მეთოდი;

LP ამოცანების გადაჭრის მარტივი მეთოდი;

LP პრობლემების დასაშვები გადაწყვეტის პოვნის მეთოდი;

ორმაგი LP პრობლემის გადაჭრა;

ტოტი და შეკრული მეთოდი მთელი რიცხვი LP ამოცანების ამოხსნისათვის;

გომორის მეთოდი მთელი რიცხვი LP ამოცანების ამოხსნისათვის;

ბალაზის მეთოდი ლოგიკური LP ამოცანების გადასაჭრელად.

შეადარეთ ამოხსნის შედეგები სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით და გამოიტანეთ შესაბამისი დასკვნები სამუშაოს შესახებ.

2. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის გრაფიკული ამოხსნა

ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც უცნობის რაოდენობა არ აღემატება სამს. მოსახერხებელია ამონახსნების თვისებების ხარისხობრივი კვლევისთვის და გამოიყენება სხვა მეთოდებთან ერთად (ალგებრული, განშტოება და შეკრული და ა.შ.). მეთოდის იდეა ემყარება წრფივი უტოლობების სისტემის გრაფიკულ გადაწყვეტას.

ბრინჯი. 2 LP პრობლემის გრაფიკული გადაწყვეტა

მინიმალური ქულა

წრფის განტოლება, რომელიც გადის ორ A1 და A2 წერტილებზე:

AB: (0;1); (3;3)

VS: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

შეზღუდვებით:

წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა ალგებრული სიმპლექსის მეთოდით

პრობლემის გადასაჭრელად ალგებრული მეთოდის გამოყენება მოითხოვს LP პრობლემის წარმოდგენის განზოგადებას. შეზღუდვების ორიგინალური სისტემა, რომელიც მითითებულია უტოლობების სახით, გარდაიქმნება სტანდარტულ აღნიშვნაში, როდესაც შეზღუდვები მითითებულია თანასწორობის სახით. შეზღუდვების სისტემის სტანდარტულ ფორმად გადაქცევა მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

გადააქციეთ უტოლობები ისე, რომ მარცხნივ იყოს ცვლადები და თავისუფალი ტერმინები, ხოლო მარჯვნივ 0, ე.ი. ისე, რომ მარცხენა მხარე ნულის მეტი ან ტოლია;

შემოიტანეთ დამატებითი ცვლადები, რომელთა რაოდენობა უდრის შეზღუდვების სისტემაში არსებული უტოლობების რაოდენობას;

დამატებული ცვლადების არანეგატიურობის შესახებ დამატებითი შეზღუდვების შემოღებით, უტოლობის ნიშნები ჩაანაცვლეთ მკაცრი ტოლობის ნიშნებით.

ალგებრული მეთოდის გამოყენებით LP ამოცანის ამოხსნისას ემატება პირობა: ობიექტური ფუნქცია მინიმუმამდე უნდა იყოს მიდრეკილი. თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილდა, საჭიროა ობიექტური ფუნქციის შესაბამისად გარდაქმნა (გამრავლება -1-ზე) და მინიმიზაციის პრობლემის გადაჭრა. ამოხსნის აღმოჩენის შემდეგ, ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობები თავდაპირველ ფუნქციაში და გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა.

ალგებრული მეთოდის გამოყენებით პრობლემის გადაწყვეტა ოპტიმალურად ითვლება, როდესაც ყველა ძირითადი ცვლადის მნიშვნელობები არაუარყოფითია, ხოლო თავისუფალი ცვლადების კოეფიციენტები ობიექტური ფუნქციის განტოლებაში ასევე არაუარყოფითია. თუ ეს პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, აუცილებელია უტოლობების სისტემის ტრანსფორმაცია, ზოგიერთი ცვლადის გამოხატვა სხვების (თავისუფალი და ძირითადი ცვლადების შეცვლა) ზემოაღნიშნული შეზღუდვების შესრულების მისაღწევად. ყველა თავისუფალი ცვლადის მნიშვნელობა ითვლება ნულის ტოლად.

წრფივი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის ალგებრული მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური მეთოდია მცირე ზომის ამოცანების ხელით გადასაჭრელად, რადგან არ საჭიროებს არითმეტიკული გამოთვლების დიდ რაოდენობას. ამ მეთოდის მანქანური განხორციელება უფრო რთულია, ვიდრე, მაგალითად, სიმპლექსის მეთოდისთვის, რადგან ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ამოხსნის ალგორითმი გარკვეულწილად ევრისტიკულია და ამოხსნის ეფექტურობა დიდწილად დამოკიდებულია პირად გამოცდილებაზე.

უფასო ცვლადები

ჩიხი ქ - დამატებითი ნაკრები

არაუარყოფითი პირობები დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, ნაპოვნია ოპტიმალური გადაწყვეტა.

3. წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა სიმპლექსის ცხრილის გამოყენებით

ამოხსნა: მოდით, პრობლემა გადავიტანოთ სტანდარტულ ფორმაში გადაჭრისთვის, მარტივი ცხრილის გამოყენებით.

მოდით შევამციროთ სისტემის ყველა განტოლება ფორმაზე:

ჩვენ ვაშენებთ სიმპლექსის ცხრილს:

ცხრილის თითოეული უჯრედის ზედა კუთხეში შევიყვანთ კოეფიციენტებს განტოლებათა სისტემიდან;

ჩვენ ვირჩევთ მაქსიმალურ დადებით ელემენტს F მწკრივში, გარდა იმისა, რომ ეს იქნება ზოგადი სვეტი;

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ზოგადი ელემენტი, ჩვენ ვაშენებთ ურთიერთობას ყველა პოზიტიურისთვის. 3/3; 9/1;- მინიმალური თანაფარდობა ხაზში x3. ამიტომ - ზოგადი სტრიქონი და =3 - ზოგადი ელემენტი.

ჩვენ ვპოულობთ =1/=1/3. ჩვენ მას მიგვაქვს უჯრედის ქვედა კუთხეში, სადაც განლაგებულია ზოგადი ელემენტი;

ზოგადი ხაზის ყველა ცარიელ ქვედა კუთხეში ჩვენ შევიყვანთ მნიშვნელობის ნამრავლს უჯრედის ზედა კუთხეში;

აირჩიეთ ზოგადი ხაზის ზედა კუთხეები;

ზოგადი სვეტის ყველა ქვედა კუთხეში შევიყვანთ მნიშვნელობის ნამრავლს ზედა კუთხეში - და ვირჩევთ მიღებულ მნიშვნელობებს;

ცხრილის დარჩენილი უჯრები ივსება, როგორც შესაბამისი შერჩეული ელემენტების პროდუქტები;

შემდეგ ვაშენებთ ახალ ცხრილს, რომელშიც შეცვლილია ზოგადი სვეტისა და მწკრივის ელემენტების უჯრედების აღნიშვნები (x2 და x3);

მნიშვნელობები, რომლებიც ადრე იყო ქვედა კუთხეში, იწერება ყოფილი ზოგადი მწკრივისა და სვეტის ზედა კუთხეში;

წინა ცხრილის ამ უჯრედების ზედა და ქვედა კუთხის მნიშვნელობების ჯამი იწერება დარჩენილი უჯრედების ზედა კუთხეში.

4. წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა დასაშვები ამოხსნის მოძიებით

მოდით მივცეთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა:

შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ყველაფერი ასეა, წინააღმდეგ შემთხვევაში შესაბამის განტოლებას ვამრავლებთ -1-ზე.

ჩვენ შემოგთავაზებთ დამხმარე ცვლადებს:

ჩვენ ასევე შემოგთავაზებთ დამხმარე ფუნქციას

ჩვენ შევამცირებთ სისტემას შეზღუდვების (2) და პირობების მიხედვით.

დასაშვები გადაწყვეტის პოვნის წესი: სისტემის (1) დასაშვები გადაწყვეტის საპოვნელად, ჩვენ ვამცირებთ ფორმას (3) შეზღუდვების ქვეშ (2), ვიღებთ xj როგორც თავისუფალ უცნობებს და ვიღებთ xj-ს საფუძვლად.

პრობლემის გადაჭრისას სიმპლექსის მეთოდით შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა:

min f=0, მაშინ ყველა i უნდა იყოს ნულის ტოლი. და xj-ის შედეგად მიღებული მნიშვნელობები იქნება სისტემის დასაშვები გადაწყვეტა (1).

min f>0, ე.ი. თავდაპირველ სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

წყაროს სისტემა:

გამოყენებულია პრობლემის პირობა წინა თემიდან.

მოდით შემოვიტანოთ დამატებითი ცვლადები:

ნაპოვნია ორიგინალური ამოცანის დასაშვები გამოსავალი: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. მიღებული განხორციელებული გადაწყვეტის საფუძველზე ჩვენ ვიპოვით საწყისი პრობლემის ოპტიმალურ გადაწყვეტას სიმპლექსის მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ავაშენებთ ახალ სიმპლექს ცხრილს ზემოთ მიღებული ცხრილიდან, ამოვიღებთ მწკრივს და სტრიქონს დამხმარე ამოცანის სამიზნე ფუნქციით:

აგებული სიმპლექსის ცხრილის გაანალიზებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ საწყისი პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტა უკვე ნაპოვნია (ობიექტური ფუნქციის შესაბამისი მწკრივის ელემენტები უარყოფითია). ამრიგად, დამხმარე პრობლემის გადაჭრისას ნაპოვნი შესაძლებელი გადაწყვეტა ემთხვევა თავდაპირველი პრობლემის ოპტიმალურ გადაწყვეტას:

6. ორმაგი წრფივი პროგრამირების პრობლემა

შეზღუდვების ორიგინალური სისტემა და პრობლემის ობიექტური ფუნქცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შეზღუდვებით:

გამოსავალი: მოდით მივიყვანოთ შეზღუდვების სისტემა სტანდარტულ ფორმამდე:

ამ პრობლემის ორმაგი ფორმა ექნება:

ორმაგი პრობლემის გადაწყვეტა განხორციელდება მარტივი სიმპლექსის მეთოდით.

მოდით გადავცვალოთ ობიექტური ფუნქცია ისე, რომ მინიმიზაციის პრობლემა გადაიჭრას და დავწეროთ შეზღუდვების სისტემა სტანდარტული ფორმით, ამოსახსნელად სიმპლექსის მეთოდით.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??წთ

მოდით ავაშენოთ საწყისი სიმპლექსის ცხრილი ორმაგი LP პრობლემის გადასაჭრელად.

სიმპლექსის მეთოდის მეორე ნაბიჯი

ასე რომ, სიმპლექსის მეთოდის მესამე საფეხურზე მინიმიზაციის პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტა იქნა ნაპოვნი შემდეგი შედეგებით: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. ორმაგი პრობლემის ობიექტური ფუნქცია, ჩვენ ვცვლით ძირითადი და თავისუფალი ცვლადების ნაპოვნი მნიშვნელობებს მაქსიმიზაციის ფუნქციაში:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

ვინაიდან პირდაპირი და ორმაგი ამოცანების ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა ემთხვევა, პირდაპირი ამოცანის ამოხსნა ნაპოვნია და უდრის 12-ს.

Fmin = Фmax = -12

7. მთელი რიცხვითი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა განშტოება და შეკრული მეთოდით

მოდით გადავიტანოთ თავდაპირველი ამოცანა ისე, რომ მთელი რიცხვის პირობა არ დაკმაყოფილდეს ჩვეულებრივი მეთოდების გამოყენებით გადაჭრისას.

მთელი რიცხვითი პროგრამირების ამოცანის ამონახსნების საწყისი პოლიგონი.

გადაწყვეტილებების ტრანსფორმირებული მრავალკუთხედისთვის ჩვენ ავაშენებთ შეზღუდვების ახალ სისტემას.

ჩავწეროთ შეზღუდვების სისტემა ტოლობების სახით ალგებრული მეთოდის გამოყენებით.

ამოხსნის შედეგად აღმოჩნდა პრობლემის ოპტიმალური გეგმა: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. ეს გამოსავალი არ აკმაყოფილებს პრობლემაში დაყენებულ მთელ რიცხვს. მოდით გავყოთ თავდაპირველი ამოხსნის პოლიგონი ორ ნაწილად, მისგან 3 ფართობის გამოკლებით

შეცვლილი პრობლემის გადაწყვეტის პოლიგონი

მოდით შევქმნათ შეზღუდვების ახალი სისტემები ამოხსნის მრავალკუთხედის შედეგად მიღებული უბნებისთვის. მარცხენა მხარე არის ოთხკუთხედი (ტრაპეცია). ხსნარის პოლიგონის მარცხენა რეგიონის შეზღუდვების სისტემა წარმოდგენილია ქვემოთ.

შეზღუდვის სისტემა მარცხენა ზონისთვის

მარჯვენა უბანი წარმოადგენს C წერტილს.

სწორი გადაწყვეტილების რეგიონისთვის შეზღუდვების სისტემა წარმოდგენილია ქვემოთ.

ახალი შეზღუდვის სისტემები წარმოადგენს ორ დამხმარე პრობლემას, რომლებიც უნდა გადაიჭრას ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. მოდით გადავჭრათ ამოხსნის მრავალკუთხედის მარცხენა რეგიონის პროგრამირების მთელი რიცხვი.

ამოხსნის შედეგად აღმოჩნდა პრობლემის ოპტიმალური გეგმა: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. ეს გეგმა აკმაყოფილებს იმ პირობას, რომ პრობლემის ცვლადები არის მთელი რიცხვი და შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც ოპტიმალური საცნობარო გეგმა თავდაპირველი მთელი რიცხვის წრფივი პროგრამირების პრობლემისთვის. აზრი არ აქვს სწორი გადაწყვეტის რეგიონის მოგვარებას. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ხის სახით მთელი რიცხვითი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნის პროგრესს.

გომორის მეთოდით მთელი რიცხვითი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნის პროგრესი.

ბევრ პრაქტიკულ გამოყენებაში დიდი ინტერესია მთელი რიცხვების პროგრამირების პრობლემა, რომელშიც მოცემულია წრფივი უტოლობების სისტემა და წრფივი ფორმა.

საჭიროა (1) სისტემის მთელი რიცხვის ამოხსნის პოვნა, რომელიც ამცირებს ობიექტურ ფუნქციას F და ყველა კოეფიციენტი არის მთელი რიცხვები.

მთელი რიცხვების პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის ერთ-ერთი მეთოდი შემოგვთავაზა გომორმა. მეთოდის იდეაა უწყვეტი ხაზოვანი პროგრამირების მეთოდების გამოყენება, კერძოდ, სიმპლექსის მეთოდი.

1) სიმპლექსის მეთოდის გამოყენებით დგინდება ამოცანის (1), (2) ამოხსნა, რისთვისაც მოხსნილია მოთხოვნა მთელი რიცხვის ამონახსნის შესახებ; თუ ამონახსნი მთელი რიცხვი აღმოჩნდება, მაშინ მოიძებნება მთელი ამოცანის სასურველი ამოხსნაც;

2) წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ რომელიმე კოორდინატი არ არის მთელი რიცხვი, პრობლემის შედეგად მიღებული გადაწყვეტა მოწმდება მთელი რიცხვის ამოხსნის არსებობის შესაძლებლობისთვის (მთლიანი წერტილების არსებობა დასაშვებ პოლიედრონში):

თუ რომელიმე მწკრივში წილადი თავისუფალი წევრით, ყველა სხვა კოეფიციენტი აღმოჩნდება მთელი რიცხვები, მაშინ დასაშვებ პოლიედრონში არ არის მთელი რიცხვები ან წერტილები და მთელი რიცხვის პროგრამირების პრობლემას არ აქვს გამოსავალი;

წინააღმდეგ შემთხვევაში, დაინერგება დამატებითი წრფივი შეზღუდვა, რომელიც წყვეტს დასაშვებ პოლიედრონის ნაწილს, რომელიც არაპერსპექტიულია მთელი რიცხვითი პროგრამირების პრობლემის გადაწყვეტის მოსაძებნად;

3) დამატებითი წრფივი შეზღუდვის ასაგებად, აირჩიეთ მე-1 მწკრივი წილადი თავისუფალი წევრით და ჩაწერეთ დამატებითი შეზღუდვა

სადაც და შესაბამისად არის კოეფიციენტების წილადი ნაწილები და თავისუფალი

წევრი. მოდით შემოვიტანოთ დამხმარე ცვლადი შეზღუდვაში (3):

მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები და შედის შეზღუდვაში (4):

სადაც და არის უახლოესი მთელი რიცხვები ქვემოდან და შესაბამისად.

გომორმა დაამტკიცა, რომ მსგავსი ნაბიჯების სასრული რაოდენობა იწვევს ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემას, რომლის ამოხსნა არის მთელი რიცხვი და, შესაბამისად, სასურველი.

ამოხსნა: მოდით მივიყვანოთ წრფივი შეზღუდვების სისტემა და მიზნის ფუნქცია კანონიკურ ფორმამდე:

მოდით განვსაზღვროთ წრფივი შეზღუდვების სისტემის ოპტიმალური გადაწყვეტა, დროებით გამოვრიცხოთ მთელი რიცხვი. ამისთვის ვიყენებთ სიმპლექსის მეთოდს. ქვემოთ, თანმიმდევრულად, ცხრილებში წარმოდგენილია პრობლემის ორიგინალური გადაწყვეტა და მოცემულია საწყისი ცხრილის გარდაქმნები, რათა მივიღოთ პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტა:

ლოგიკური LP ამოცანების ამოხსნა ბალაზის მეთოდით.

შექმენით თქვენი საკუთარი ვერსია მთელი რიცხვითი წრფივი პროგრამირების პრობლემისთვის ლოგიკური ცვლადებით, შემდეგი წესების გათვალისწინებით: პრობლემა იყენებს მინიმუმ 5 ცვლადს, მინიმუმ 4 შეზღუდვას, შეზღუდვების კოეფიციენტები და ობიექტური ფუნქცია არჩეულია თვითნებურად, მაგრამ ასეთში. ისე, რომ შეზღუდვების სისტემა თავსებადია. ამოცანაა ლოგიკური ცვლადებით LCLP-ის ამოხსნა ბალაზის ალგორითმის გამოყენებით და ამომწურავი ძიების მეთოდით ამომწურავი ძიების მეთოდით ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით გამოთვლითი სირთულის შემცირება.

შეზღუდვების შესრულება

F მნიშვნელობა

ფილტრაციის შეზღუდვა:

გამოთვლითი ძალისხმევის შემცირების განსაზღვრა

ამომწურავი ძიების მეთოდით პრობლემის გადაწყვეტა არის 6*25=192 გამოთვლილი გამონათქვამი. პრობლემის გადაწყვეტა ბალაზის მეთოდით არის 3*6+(25-3)=47 გამოთვლილი გამოხატულება. ამომწურავი ძიების მეთოდით პრობლემის გადაჭრასთან დაკავშირებით გამოთვლების სირთულის მთლიანი შემცირება არის:

დასკვნა

მუდმივად იხვეწება ახალი საინფორმაციო ტექნოლოგიების დანერგვის საინფორმაციო სისტემების დიზაინის პროცესი. სისტემების ინჟინრების ყურადღება სულ უფრო მეტად კეთდება რთულ სისტემებზე, რაც ართულებს ფიზიკური მოდელების გამოყენებას და ზრდის მათემატიკური მოდელების და სისტემების მანქანური სიმულაციის მნიშვნელობას. მანქანების სიმულაცია გახდა ეფექტური ინსტრუმენტი რთული სისტემების შესწავლისა და დიზაინისთვის. მათემატიკური მოდელების აქტუალობა მუდმივად იზრდება მათი მოქნილობის, რეალურ პროცესებთან ადეკვატურობისა და თანამედროვე კომპიუტერების ბაზაზე დანერგვის დაბალი ღირებულების გამო. უფრო და უფრო მეტი შესაძლებლობა ეძლევა მომხმარებელს, ანუ კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენებით სისტემების მოდელირების სპეციალისტს. მოდელირების გამოყენება განსაკუთრებით ეფექტურია ავტომატური სისტემების დიზაინის ადრეულ ეტაპებზე, როდესაც მცდარი გადაწყვეტილებების ღირებულება ყველაზე მნიშვნელოვანია.

თანამედროვე გამოთვლითი ინსტრუმენტების საშუალებით შესაძლებელი გახდა სისტემების შესწავლისას გამოყენებული მოდელების სირთულის შექმნა, შესაძლებელი გახდა კომბინირებული, ანალიტიკური და სიმულაციური მოდელების შექმნა, რომლებიც ითვალისწინებენ რეალურ სისტემებში მომხდარ ფაქტორების მთელ მრავალფეროვნებას, ე.ი. , მოდელების გამოყენება, რომლებიც უფრო ადეკვატურია შესასწავლი ფენომენების მიმართ.

ლიტერატურა:

1. ლიაშჩენკო ი.ნ. ხაზოვანი და არაწრფივი პროგრამირება / I.N.Lyashchenko, E.A.Chernikova, N.Z. - კ.: „უმაღლესი სკოლა“, 1975, 372 გვ.

2. დისციპლინაში „გამოყენებითი მათემატიკა“ საკურსო პროექტის დასრულების გზამკვლევი სწავლის სრულ განაკვეთზე და ნახევარ განაკვეთზე სწავლის ფორმების „კომპიუტერული სისტემები და ქსელები“ ​​/ შედგენილი: I.A.Skatkov - Sevastopol გამომცემლობა, 2003. - 15გვ.

3. დისციპლინის „გამოყენებითი მათემატიკა“ შესწავლის სახელმძღვანელო განყოფილება „გლობალური ძიების და ერთგანზომილებიანი მინიმიზაციის მეთოდები“ / შედ. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - Sevastopol: SevGTU Publishing House, 2000. - 31 გვ.

4. დისციპლინის შესწავლის გზამკვლევი „გამოყენებითი მათემატიკა“ სპეციალობის „კომპიუტერული სისტემები და ქსელები“ ​​განყოფილება „მთლიანი წრფივი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრა“ სრულ განაკვეთზე და ნახევარ განაკვეთზე / შემდგენლები: ი.ა : SevNTU-ს გამომცემლობა, 2000. - 13გვ.

5. აკულიჩ ი.ლ. მათემატიკური პროგრამირება მაგალითებში და ამოცანებში:

6. სახელმძღვანელო შემწეობა ეკონომიკის სტუდენტებისთვის. სპეციალისტი. უნივერსიტეტები.-მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1986.- 319გვ., ილ.

7. ანდრონოვი ს.ა. ოპტიმალური დიზაინის მეთოდები: ლექციების ტექსტი / SPbSUAP. პეტერბურგი, 2001. 169 გვ.: ილ.

მსგავსი დოკუმენტები

წრფივი პროგრამირების ამოცანების ამოხსნის ალგორითმი სიმპლექსის მეთოდით. წრფივი პროგრამირების ამოცანის მათემატიკური მოდელის აგება. Excel-ში ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრა. მოგების პოვნა და ოპტიმალური წარმოების გეგმა.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 03/21/2012


გრაფიკული პრობლემის გადაჭრა. მათემატიკური მოდელის შედგენა. ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა. ამოხსნა სიმპლექსის მეთოდით კანონიკური წრფივი პროგრამირების პრობლემის ხელოვნური საფუძვლით. გადაწყვეტის ოპტიმალურობის შემოწმება.

ტესტი, დამატებულია 04/05/2016


ხაზოვანი პროგრამირების თეორიული საფუძველი. წრფივი პროგრამირების ამოცანები, ამოხსნის მეთოდები. ოპტიმალური გადაწყვეტის ანალიზი. ერთინდექსის წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა. პრობლემის განცხადება და მონაცემების შეყვანა. მოდელის აგების და გადაწყვეტის ეტაპები.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 12/09/2008


მათემატიკური მოდელის აგება. პირდაპირი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნის მეთოდის შერჩევა, დასაბუთება და აღწერა სიმპლექსის მეთოდით, სიმპლექსის ცხრილის გამოყენებით. ორმაგი პრობლემის ფორმულირება და გადაწყვეტა. მოდელის მგრძნობელობის ანალიზი.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 10/31/2014


საწარმოსთვის მაქსიმალური მოგების მისაღებად მათემატიკური მოდელის აგება, პრობლემის გრაფიკული გადაწყვეტა. პრობლემის გადაჭრა SOLVER დანამატის გამოყენებით. რესურსების რეზერვების ცვლილებების ანალიზი. ობიექტური ფუნქციის კოეფიციენტების შეცვლის ლიმიტების განსაზღვრა.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 17/12/2014


მათემატიკური პროგრამირება. ხაზოვანი პროგრამირება. ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემები. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის ეკონომიკური ფორმულირება. მათემატიკური მოდელის აგება.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 13/10/2008


ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრა გრაფიკული მეთოდით, შემოწმება MS Excel-ში. პროგრამაში პრობლემის გადაჭრის შიდა სტრუქტურის ანალიზი. წარმოების გეგმის ოპტიმიზაცია. პრობლემის გადაჭრა სიმპლექსის მეთოდით. მრავალარხიანი რიგის სისტემა.

ტესტი, დამატებულია 05/02/2012


წრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა სიმპლექსის მეთოდით: ამოცანის გამოთქმა, ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელის აგება. სატრანსპორტო პრობლემის გადაჭრა პოტენციური მეთოდის გამოყენებით: საწყისი საცნობარო გეგმის აგება, მისი ოპტიმალური მნიშვნელობის დადგენა.

ტესტი, დამატებულია 04/11/2012


ფორმულირება არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის შესახებ. სტაციონარული წერტილების და მათი ტიპის განსაზღვრა. დონის ხაზების აგება, ობიექტური ფუნქციის სამგანზომილებიანი გრაფიკი და შეზღუდვები. პრობლემის გრაფიკული და ანალიტიკური გადაწყვეტა. მომხმარებლის სახელმძღვანელო და ალგორითმის დიაგრამა.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 17/12/2012


ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნის ანალიზი. მარტივი მეთოდი მარტივი ცხრილების გამოყენებით. LP ამოცანების მოდელირება და გადაჭრა კომპიუტერზე. პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტის ეკონომიკური ინტერპრეტაცია. სატრანსპორტო პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება.

თუ ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემას აქვს მხოლოდ ორი ცვლადი, მაშინ მისი გადაჭრა შესაძლებელია გრაფიკულად.

განვიხილოთ ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა ორი ცვლადით და:
(1.1) ;
(1.2)
აქ არის თვითნებური ნომრები. ამოცანა შეიძლება იყოს ან მაქსიმალურის (მაქსიმალური) პოვნა ან მინიმალური (მინის) პოვნა. შეზღუდვების სისტემა შეიძლება შეიცავდეს როგორც ნიშნებს, ასევე ნიშნებს.

შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონის მშენებლობა

(1) პრობლემის გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი ასეთია.
ჯერ ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს და ვირჩევთ მასშტაბს. შეზღუდვათა სისტემის ყოველი უტოლობა (1.2) განსაზღვრავს ნახევრად სიბრტყეს, რომელიც შემოიფარგლება შესაბამისი სწორი ხაზით.

ასე რომ, პირველი უთანასწორობა
(1.2.1)
განსაზღვრავს წრფით შემოსაზღვრულ ნახევრად სიბრტყეს. ამ სწორი ხაზის ერთ მხარეს და მეორე მხარეს. ძალიან სწორ ხაზზე. იმის გასარკვევად, თუ რომელ მხარეს არის უტოლობა (1.2.1), ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს, რომელიც არ დევს წრფეზე. შემდეგი, ჩვენ ამ წერტილის კოორდინატებს ვცვლით (1.2.1). თუ უტოლობა ძალაშია, მაშინ ნახევრად სიბრტყე შეიცავს არჩეულ წერტილს. თუ უტოლობა არ არის დაცული, მაშინ ნახევრად სიბრტყე მდებარეობს მეორე მხარეს (არ შეიცავს არჩეულ წერტილს). დაჩრდილეთ ნახევარსიბრტყე, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა (1.2.1).

იგივეს ვაკეთებთ სისტემის დარჩენილ უტოლობაზე (1.2). ამ გზით ვიღებთ დაჩრდილულ ნახევრად თვითმფრინავებს. შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონის წერტილები აკმაყოფილებს ყველა უტოლობას (1.2). მაშასადამე, გრაფიკულად, დასაშვები ამონახსნების რეგიონი (ADA) არის ყველა აგებული ნახევრად სიბრტყის კვეთა. ODR-ის დაჩრდილვა. ეს არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომლის სახეები მიეკუთვნება აგებულ სწორ ხაზებს. ასევე, ODF შეიძლება იყოს შეუზღუდავი ამოზნექილი ფიგურა, სეგმენტი, სხივი ან სწორი ხაზი.

შეიძლება ასევე წარმოიშვას ის შემთხვევა, რომ ნახევრად სიბრტყეები არ შეიცავდეს საერთო წერტილებს. მაშინ შესაძლებელი გადაწყვეტილებების დომენი არის ცარიელი ნაკრები. ამ პრობლემას გამოსავალი არ აქვს.

მეთოდი შეიძლება გამარტივდეს. თქვენ არ გჭირდებათ თითოეული ნახევრად სიბრტყის დაჩრდილვა, მაგრამ ჯერ ააწყვეთ ყველა სწორი ხაზი
(2)
შემდეგი, აირჩიეთ თვითნებური წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის არცერთ ამ ხაზს. ჩაანაცვლეთ ამ წერტილის კოორდინატები უტოლობათა სისტემაში (1.2). თუ ყველა უტოლობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონი შემოიფარგლება აგებული სწორი ხაზებით და მოიცავს შერჩეულ წერტილს. ჩვენ ვჩრდილავთ შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონს ხაზების საზღვრების გასწვრივ ისე, რომ იგი მოიცავს შერჩეულ წერტილს.

თუ ერთი უტოლობა მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ აირჩიეთ სხვა წერტილი. და ასე შემდეგ, სანამ არ მოიძებნება ერთი წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს სისტემას (1.2).

ობიექტური ფუნქციის ექსტრემის პოვნა

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს შესაძლებელი გადაწყვეტილებების დაჩრდილული რეგიონი (ADA). იგი შემოიფარგლება გატეხილი ხაზით, რომელიც შედგება სეგმენტებისა და სხივებისგან, რომლებიც მიეკუთვნება აგებულ სწორ ხაზებს (2). ODS ყოველთვის ამოზნექილი ნაკრებია. ეს შეიძლება იყოს შეზღუდული კომპლექტი ან არა შემოსაზღვრული ზოგიერთი მიმართულებით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მოვძებნოთ ობიექტური ფუნქციის ექსტრემუმი
(1.1) .

ამისათვის აირჩიეთ ნებისმიერი რიცხვი და შექმენით სწორი ხაზი
(3) .
შემდგომი პრეზენტაციის მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს სწორი ხაზი გადის ODR-ზე. ამ ხაზზე ობიექტური ფუნქცია მუდმივია და ტოლია. ასეთ სწორ ხაზს ფუნქციის დონის ხაზს უწოდებენ. ეს სწორი ხაზი ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყედ. ერთ ნახევრად თვითმფრინავზე
.
სხვა ნახევრად თვითმფრინავზე
.
ანუ სწორი ხაზის ერთ მხარეს (3) იზრდება ობიექტური ფუნქცია. და რაც უფრო შორს გადავიტანთ წერტილს სწორი ხაზიდან (3), მით უფრო დიდი იქნება მნიშვნელობა. სწორი ხაზის მეორე მხარეს (3), ობიექტური ფუნქცია მცირდება. და რაც უფრო შორს გადავიტანთ წერტილს სწორი ხაზიდან (3) მეორე მხარეს, მით უფრო მცირე იქნება მნიშვნელობა. თუ (3) წრფის პარალელურად გავავლებთ წრფეს, მაშინ ახალი წრფე ასევე იქნება ობიექტური ფუნქციის დონის ხაზი, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელობით.

ამრიგად, ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის საპოვნელად აუცილებელია სწორი ხაზის (3) პარალელურად დახაზვა, მისგან შეძლებისდაგვარად შორს მნიშვნელობების გაზრდის მიმართულებით და გაივლის მინიმუმ ერთ წერტილს. ოდდ-ის. ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა სწორი ხაზის (3) პარალელურად და მისგან შემცირების მიმართულებით და ODD-ის მინიმუმ ერთი წერტილის გავლის მიმართულებით დახაზვა.

თუ ODR შეუზღუდავია, მაშინ შეიძლება წარმოიშვას შემთხვევა, როდესაც ასეთი პირდაპირი ხაზის დახატვა შეუძლებელია. ანუ, როგორც არ უნდა ამოვიღოთ სწორი ხაზი დონის ხაზიდან (3) გაზრდის (შემცირების) მიმართულებით, სწორი ხაზი ყოველთვის გაივლის ODR-ს. ამ შემთხვევაში, ის შეიძლება იყოს თვითნებურად დიდი (პატარა). აქედან გამომდინარე, არ არსებობს მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობა. პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც (3) ფორმის თვითნებური ხაზის პარალელურად უკიდურესი ხაზი გადის ODR მრავალკუთხედის ერთ წვეროზე. გრაფიკიდან განვსაზღვრავთ ამ წვეროს კოორდინატებს. შემდეგ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობა განისაზღვრება ფორმულით:
.
პრობლემის გამოსავალი არის
.

ასევე შეიძლება იყოს შემთხვევა, როდესაც სწორი ხაზი პარალელურია ODR-ის ერთ-ერთი სახის მიმართ. შემდეგ სწორი ხაზი გადის ODR მრავალკუთხედის ორ წვეროზე. ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ წვეროების კოორდინატებს. ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რომელიმე ამ წვეროების კოორდინატები:
.
პრობლემას უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი აქვს. გამოსავალი არის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მდებარეობს სეგმენტზე წერტილებს შორის და , წერტილებისა და საკუთარი თავის ჩათვლით.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის მაგალითი გრაფიკული მეთოდით

Ამოცანა

კომპანია აწარმოებს ორი მოდელის A და B კაბებს. გამოყენებულია სამი სახის ქსოვილი. A მოდელის ერთი კაბის გასაკეთებლად საჭიროა პირველი ტიპის ქსოვილი 2 მ, მეორე ტიპის ქსოვილი 1 მ, მესამე ტიპის ქსოვილი 2 მ. B მოდელის ერთი კაბის გასაკეთებლად საჭიროა პირველი ტიპის ქსოვილი 3 მ, მეორე ტიპის ქსოვილი 1 მ, მესამე ტიპის ქსოვილი 2 მ. პირველი ტიპის ქსოვილის მარაგი არის 21 მ, მეორე ტიპის - 10 მ, მესამე ტიპის - 16 მ. ერთი A ტიპის პროდუქტის შემოსავალი მოაქვს 400 დენს. ერთეული, ერთი პროდუქტის ტიპი B - 300 დენ. ერთეულები

შეადგინეთ წარმოების გეგმა, რომელიც უზრუნველყოფს კომპანიას ყველაზე დიდ შემოსავალს. ამოიღეთ პრობლემა გრაფიკულად.

გამოსავალი

მოდით ცვლადები და აღვნიშნოთ წარმოებული კაბების რაოდენობა, მოდელები A და B, შესაბამისად. მაშინ მოხმარებული პირველი ტიპის ქსოვილის რაოდენობა იქნება:
(მ)
მოხმარებული მეორე ტიპის ქსოვილის რაოდენობა იქნება:
(მ)
მოხმარებული მესამე ტიპის ქსოვილის რაოდენობა იქნება:
(მ)
ვინაიდან წარმოებული კაბების რაოდენობა არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, მაშინ
და .
წარმოებული კაბებიდან შემოსავალი იქნება:
(დენ. ერთეული)

მაშინ პრობლემის ეკონომიკურ-მათემატიკურ მოდელს აქვს ფორმა:

ჩვენ მას გრაფიკულად ვხსნით.
ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს და .

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 7) და (10.5; 0).

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 10) და (10; 0).

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 8) და (8; 0).

უბანს ვჩრდილავთ ისე, რომ წერტილი (2; 2) მოხვდეს დაჩრდილულ ნაწილში. ვიღებთ ოთხკუთხედს OABC.

(A1.1) .
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 4) და (3; 0).

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ვინაიდან ობიექტური ფუნქციის და ფუნქციის კოეფიციენტები დადებითია (400 და 300), ის იზრდება და იზრდება. ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზს (A1.1) პარალელურად სწორი ხაზის, მისგან რაც შეიძლება შორს გაზრდის მიმართულებით და გადის ოთხკუთხედის OABC მინიმუმ ერთ წერტილში. ასეთი ხაზი გადის C წერტილში. კონსტრუქციიდან განვსაზღვრავთ მის კოორდინატებს.
.

პრობლემის გადაწყვეტა: ;

უპასუხე

.
ანუ ყველაზე დიდი შემოსავლის მისაღებად საჭიროა მოდელი A-ს 8 კაბის დამზადება. შემოსავალი იქნება 3200 დენ. ერთეულები

მაგალითი 2

Ამოცანა

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრა გრაფიკულად.

გამოსავალი

ჩვენ მას გრაფიკულად ვხსნით.
ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს და .

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 6) და (6; 0).

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
აქედან.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი (3; 0) და (7; 2) წერტილებში.

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ვაშენებთ სწორ ხაზს (აბსცისის ღერძი).

დასაშვები ხსნარების რეგიონი (ADA) შემოიფარგლება აგებული სწორი ხაზებით. რომელ მხარეს გავარკვიოთ, ჩვენ შევნიშნავთ, რომ წერტილი ეკუთვნის ODR-ს, რადგან ის აკმაყოფილებს უტოლობების სისტემას:

ჩვენ ვჩრდილავთ ტერიტორიას აგებული ხაზების საზღვრების გასწვრივ ისე, რომ წერტილი (4; 1) მოხვდეს დაჩრდილულ ნაწილში. ვიღებთ სამკუთხედს ABC.

ჩვენ ვაშენებთ ობიექტური ფუნქციის დონის თვითნებურ ხაზს, მაგალითად,
.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი დონის ხაზი წერტილებში (0; 6) და (4; 0).
ვინაიდან ობიექტური ფუნქცია იზრდება ერთად და , ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზს დონის წრფის პარალელურად და მისგან რაც შეიძლება შორს გაზრდის მიმართულებით და გადის ABC სამკუთხედის მინიმუმ ერთ წერტილში. ასეთი ხაზი გადის C წერტილში. კონსტრუქციიდან განვსაზღვრავთ მის კოორდინატებს.
.

პრობლემის გადაწყვეტა: ;

უპასუხე

გამოსავლის არარსებობის მაგალითი

Ამოცანა

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრა გრაფიკულად. იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა.

გამოსავალი

პრობლემას გრაფიკულად ვაგვარებთ.
ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს და .

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 8) და (2.667; 0).

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 3) და (6; 0).

ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს.
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი (3; 0) და (6; 3) წერტილებში.

სწორი ხაზები არის კოორდინატთა ღერძი.

დასაშვები გადაწყვეტილებების რეგიონი (ADA) შემოიფარგლება აგებული სწორი ხაზებით და კოორდინატთა ღერძებით. რომელ მხარეს გავარკვიოთ, ჩვენ შევნიშნავთ, რომ წერტილი ეკუთვნის ODR-ს, რადგან ის აკმაყოფილებს უტოლობების სისტემას:

უბანს ვჩრდილავთ ისე, რომ წერტილი (3; 3) მოხვდეს დაჩრდილულ ნაწილში. ჩვენ ვიღებთ შეუზღუდავ ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება გატეხილი ხაზით ABCDE.

ჩვენ ვაშენებთ ობიექტური ფუნქციის დონის თვითნებურ ხაზს, მაგალითად,
(A3.1) .
ზე.
ზე.
დახაზეთ სწორი ხაზი წერტილებში (0; 7) და (7; 0).
ვინაიდან და არის დადებითი კოეფიციენტები, ის იზრდება მატებასთან ერთად და.

მაქსიმუმის საპოვნელად საჭიროა პარალელური ხაზის დახაზვა, რომელიც მაქსიმალურად შორს არის გაზრდის მიმართულებით და გადის ABCDE რეგიონის მინიმუმ ერთ წერტილში. თუმცა, ვინაიდან ფართობი შეუზღუდავია და დიდი მნიშვნელობების მხარეს, ასეთი სწორი ხაზის დახატვა შეუძლებელია. რა ხაზიც არ უნდა გავავლოთ, რეგიონში ყოველთვის იქნება წერტილები, რომლებიც უფრო შორს არიან გაზრდის მიმართულებით და . ამიტომ მაქსიმუმი არ არის. შეგიძლიათ გააკეთოთ ის იმდენი, რამდენიც გსურთ.

ჩვენ ვეძებთ მინიმუმს. ვხატავთ სწორ ხაზს სწორი ხაზის პარალელურად (A3.1) და რაც შეიძლება შორს მისგან კლების მიმართულებით და გადის ABCDE რეგიონის მინიმუმ ერთ წერტილში. ასეთი ხაზი გადის C წერტილში. კონსტრუქციიდან განვსაზღვრავთ მის კოორდინატებს.
.
ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა:

უპასუხე

მაქსიმალური მნიშვნელობა არ არის.
მინიმალური ღირებულება
.