მარტივი განმეორებითი მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისათვის (სლაუ). წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების რიცხვითი ამოხსნა

მარტივი განმეორების მეთოდი ეფუძნება ორიგინალური განტოლების ეკვივალენტური განტოლებით შეცვლას:

დაე, ცნობილი იყოს ფესვთან საწყისი მიახლოება x = x 0. მისი (2.7) განტოლების მარჯვენა მხარეში ჩანაცვლებით, მივიღებთ ახალ მიახლოებას , შემდეგ ანალოგიურად ვიღებთ და ა.შ.:

. (2.8)

არა ყველა პირობებში, განმეორებითი პროცესი გადადის განტოლების ძირთან X. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესს. ნახაზი 2.6 გვიჩვენებს ცალმხრივი კონვერგენციული და განსხვავებული პროცესის გრაფიკულ ინტერპრეტაციას. სურათი 2.7 გვიჩვენებს ორმხრივ კონვერგენციულ და დივერგენციულ პროცესებს. განსხვავებული პროცესი ხასიათდება არგუმენტისა და ფუნქციის მნიშვნელობების სწრაფი ზრდით და შესაბამისი პროგრამის არანორმალური შეწყვეტით.

ორმხრივი პროცესით შესაძლებელია ველოსიპედით მოძრაობა, ანუ იგივე ფუნქციისა და არგუმენტის მნიშვნელობების გაუთავებელი გამეორება. მარყუჟი განასხვავებს განსხვავებულ პროცესს კონვერგენციისგან.

გრაფიკებიდან ირკვევა, რომ როგორც ცალმხრივი, ასევე ორმხრივი პროცესებისთვის, ფესვთან კონვერგენცია განისაზღვრება ფესვთან მრუდის დახრილობით. რაც უფრო მცირეა დახრილობა, მით უკეთესია კონვერგენცია. როგორც ცნობილია, მრუდის დახრილობის ტანგენსი უდრის მრუდის წარმოებულს მოცემულ წერტილში.

ამიტომ, რაც უფრო მცირეა რიცხვი ფესვთან, მით უფრო სწრაფად იყრის პროცესი.

იმისათვის, რომ გამეორების პროცესი იყოს კონვერგენტული, ფესვის სიახლოვეს უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი უტოლობა:

(2.1) განტოლებიდან (2.7) განტოლებაზე გადასვლა შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გზით, ფუნქციის ტიპის მიხედვით. f(x).ასეთ გადასვლისას აუცილებელია ფუნქციის აგება ისე, რომ დაკმაყოფილდეს კონვერგენციის პირობა (2.9).

განვიხილოთ განტოლებიდან (2.1) (2.7) განტოლებაზე გადასვლის ერთ-ერთი ზოგადი ალგორითმი.

გავამრავლოთ (2.1) განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები თვითნებურ მუდმივზე ბდა დაამატეთ უცნობი ორივე ნაწილს X.ამ შემთხვევაში, ორიგინალური განტოლების ფესვები არ შეიცვლება:

შემოვიღოთ აღნიშვნა და გადავიდეთ (2.10) მიმართებიდან (2.8) განტოლებაზე.

მუდმივის თვითნებური არჩევანი ბუზრუნველყოფს კონვერგენციის (2.9) პირობის შესრულებას. განმეორებითი პროცესის დასრულების კრიტერიუმი იქნება პირობა (2.2). ნახაზი 2.8 გვიჩვენებს მარტივი გამეორების მეთოდის გრაფიკულ ინტერპრეტაციას წარმოდგენის აღწერილი მეთოდის გამოყენებით (მასშტაბები X და Y ღერძების გასწვრივ განსხვავებულია).

თუ ფუნქცია არჩეულია ფორმაში, მაშინ ამ ფუნქციის წარმოებული იქნება. კონვერგენციის უმაღლესი სიჩქარე იქნება მაშინ და გამეორების ფორმულა (2.11) შედის ნიუტონის ფორმულაში. ამრიგად, ნიუტონის მეთოდს აქვს ყველა განმეორებითი პროცესის კონვერგენციის უმაღლესი ხარისხი.

მარტივი გამეორების მეთოდის პროგრამული დანერგვა ხდება ქვეპროცედურის სახით იტერასი(პროგრამა 2.1).

მთელი პროცედურა პრაქტიკულად შედგება ერთი გამეორებისგან ... ციკლამდე, ფორმულის დანერგვა (2.11) განმეორებითი პროცესის შეჩერების პირობის გათვალისწინებით (ფორმულა (2.2)).

პროცედურას აქვს ჩაშენებული მარყუჟის დაცვა მარყუჟების რაოდენობის დათვლით Niter ცვლადის გამოყენებით. პრაქტიკულ გაკვეთილებზე პროგრამის გაშვებით უნდა დარწმუნდეთ, თუ როგორ მოქმედებს კოეფიციენტის არჩევანი ბდა საწყისი დაახლოება ფესვის ძიების პროცესში. კოეფიციენტის შეცვლისას ბიცვლება შესასწავლი ფუნქციის განმეორებითი პროცესის ხასიათი. ჯერ ხდება ორმხრივი, შემდეგ კი მარყუჟები (ნახ. 2.9). ღერძის სასწორები Xდა იგანსხვავებულები არიან. b მოდულის კიდევ უფრო დიდი მნიშვნელობა იწვევს განსხვავებულ პროცესს.

განტოლებათა სავარაუდო ამოხსნის მეთოდების შედარება

განტოლებების რიცხვითი ამოხსნისთვის ზემოთ აღწერილი მეთოდების შედარება განხორციელდა პროგრამის გამოყენებით, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააკვირდეთ კომპიუტერის ეკრანზე ფესვის გრაფიკული ფორმით პოვნის პროცესს. ამ პროგრამაში შემავალი პროცედურები და შედარებული მეთოდების განხორციელება მოცემულია ქვემოთ (პროგრამა 2.1).

ბრინჯი. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 არის კომპიუტერის ეკრანის ასლები გამეორების პროცესის ბოლოს.

ყველა შემთხვევაში, კვადრატული განტოლება x 2 -x-6 = 0 იქნა მიღებული, როგორც შესასწავლი ფუნქცია, რომელსაც აქვს ანალიტიკური ამონახსნები x 1 = -2 და x 2 = 3. შეცდომა და საწყისი მიახლოებები მიჩნეული იყო ტოლი ყველა მეთოდისთვის. ძირეული ძიების შედეგები x= 3, წარმოდგენილი ფიგურებში, შემდეგია. დიქოტომიის მეთოდი აერთიანებს ყველაზე ნელს - 22 გამეორებას, ყველაზე სწრაფი არის მარტივი გამეორების მეთოდი b = -0.2 - 5 გამეორებით. აქ არ არის წინააღმდეგობა იმ განცხადებასთან, რომ ნიუტონის მეთოდი ყველაზე სწრაფია.

შესწავლილი ფუნქციის წარმოებული წერტილში X= 3 უდრის -0,2-ს, ანუ გამოთვლა ამ შემთხვევაში განხორციელდა პრაქტიკულად ნიუტონის მეთოდით წარმოებულის მნიშვნელობით განტოლების ფესვის წერტილში. კოეფიციენტის შეცვლისას ბკონვერგენციის სიჩქარე ეცემა და თანდათან კონვერგენციული პროცესი ჯერ ციკლურად მიდის, შემდეგ კი დივერგენციული ხდება.

ლექცია ალგებრული წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის განმეორებითი მეთოდები.

იტერაციული პროცესის კონვერგენციის პირობა

მარტივი გამეორების მეთოდი

განიხილება წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

განმეორებითი მეთოდების გამოსაყენებლად, სისტემა უნდა შემცირდეს ეკვივალენტურ ფორმამდე

შემდეგ არჩეულია განტოლებათა სისტემის ამოხსნის საწყისი მიახლოება და აღმოჩენილია ფესვთან მიახლოების თანმიმდევრობა.

განმეორებითი პროცესის დაახლოებისთვის საკმარისია პირობის დაკმაყოფილება
(მატრიცული ნორმა). გამეორებების დასრულების კრიტერიუმი დამოკიდებულია გამოყენებული იტერაციულ მეთოდზე.

ჯაკობის მეთოდი .

სისტემის გამეორებისთვის მოსახერხებელ ფორმაში მოყვანის უმარტივესი გზა შემდეგია:

სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ უცნობის x 1, სისტემის მეორე განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ x 2 და ა.შ.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებათა სისტემას B მატრიცით, რომელშიც არის ნულოვანი ელემენტები მთავარ დიაგონალზე, ხოლო დარჩენილი ელემენტები გამოითვლება ფორმულების გამოყენებით:

ვექტორის d კომპონენტები გამოითვლება ფორმულების გამოყენებით:

მარტივი გამეორების მეთოდის გაანგარიშების ფორმულა არის:

ან კოორდინატულ ნოტაციაში ასე გამოიყურება:

იტერაციების დასრულების კრიტერიუმს Jacobi მეთოდით აქვს ფორმა:

თუ
, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ უფრო მარტივი კრიტერიუმი გამეორებების დასასრულისთვის

მაგალითი 1.წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჯაკობის მეთოდით.

მოდით, მოცემული იყოს განტოლებათა სისტემა:

საჭიროა სისტემის გადაწყვეტის სიზუსტით მოძიება

მოდით შევიყვანოთ სისტემა გამეორებისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე:

მოდით ავირჩიოთ საწყისი მიახლოება, მაგალითად,

- მარჯვენა მხარის ვექტორი.

მაშინ პირველი გამეორება ასე გამოიყურება:

ანალოგიურად მიიღება ხსნარის შემდეგი მიახლოებები.

ვიპოვოთ B მატრიცის ნორმა.

ჩვენ გამოვიყენებთ ნორმას

ვინაიდან თითოეულ რიგში ელემენტების მოდულების ჯამი არის 0.2, მაშინ
, ასე რომ, ამ პრობლემაში გამეორებების დასრულების კრიტერიუმია

გამოვთვალოთ ვექტორული განსხვავებების ნორმები:

იმიტომ რომ
მითითებული სიზუსტე მიღწეული იქნა მეოთხე გამეორებაზე.

პასუხი: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

სეიდელის მეთოდი .

მეთოდი შეიძლება ჩაითვალოს ჯაკობის მეთოდის მოდიფიკაციად. მთავარი იდეა ისაა, რომ შემდეგი გაანგარიშებისას (n+1)-უცნობთან მიდგომა x მეზე მე > 1გამოიყენეთ უკვე ნაპოვნი (n+1)-ე უახლოვდება უცნობს x 1 ,x 2 , ...,xმე - 1 და არა ნმიახლოება, როგორც ჯაკობის მეთოდში.

მეთოდის გაანგარიშების ფორმულა კოორდინატულ ნოტაციაში ასე გამოიყურება:

კონვერგენციის პირობები და გამეორებების დასრულების კრიტერიუმი შეიძლება იქნას მიღებული ისევე, როგორც ჯაკობის მეთოდში.

მაგალითი 2.წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა სეიდელის მეთოდით.

პარალელურად განვიხილოთ განტოლებების 3 სისტემის ამოხსნა:

მოდით შევიყვანოთ სისტემები გამეორებისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე:

გაითვალისწინეთ, რომ კონვერგენციის პირობა
შესრულებულია მხოლოდ პირველი სისტემისთვის. მოდით გამოვთვალოთ ამონახსნის 3 პირველი მიახლოება თითოეულ შემთხვევაში.

1 სისტემა:

ზუსტი გამოსავალი იქნება შემდეგი მნიშვნელობები: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . განმეორებითი პროცესი იყრის თავს.

მე-2 სისტემა:

ჩანს, რომ განმეორების პროცესი განსხვავდება.

ზუსტი გამოსავალი x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

მე-3 სისტემა:

ჩანს, რომ გამეორების პროცესი ციკლურად მიმდინარეობს.

ზუსტი გამოსავალი x 1 = 1, x 2 = 2 .

A განტოლებათა სისტემის მატრიცა იყოს სიმეტრიული და დადებითი განსაზღვრული. შემდეგ, საწყისი მიახლოების ნებისმიერი არჩევანისთვის, სეიდელის მეთოდი კონვერგირდება. დამატებითი პირობები არ არის დაწესებული გარკვეული მატრიცის ნორმის სიმცირეზე.

მარტივი გამეორების მეთოდი.

თუ A არის სიმეტრიული და დადებითი განსაზღვრული მატრიცა, მაშინ განტოლებათა სისტემა ხშირად მცირდება ეკვივალენტურ ფორმამდე:

x=x-τ (ა x- ბ), τ – გამეორების პარამეტრი.

მარტივი გამეორების მეთოდის გაანგარიშების ფორმულა ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა:

x (n+1) =x ნ- τ (ა x (ნ) - ბ).

და პარამეტრი τ > 0 არჩეულია ისე, რომ შემცირდეს, თუ ეს შესაძლებელია, მნიშვნელობა

მოდით λ min და λ max იყოს A მატრიცის მინიმალური და მაქსიმალური საკუთარი მნიშვნელობები. პარამეტრის ოპტიმალური არჩევანია

Ამ შემთხვევაში
იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას ტოლი:

მაგალითი 3. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მარტივი გამეორების მეთოდით. (MathCAD-ში)

მოცემული იყოს განტოლებათა სისტემა Ax = b

განმეორებითი პროცესის ასაგებად, ჩვენ ვპოულობთ A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებს:

- იყენებს ჩაშენებულ ფუნქციას საკუთარი მნიშვნელობების საპოვნელად.

გამოვთვალოთ გამეორების პარამეტრი და შევამოწმოთ კონვერგენციის მდგომარეობა

კონვერგენციის პირობა დაკმაყოფილებულია.

ავიღოთ საწყისი მიახლოება - ვექტორი x0, დავაყენოთ სიზუსტე 0,001-ზე და ვიპოვოთ საწყისი მიახლოებები ქვემოთ მოცემული პროგრამის გამოყენებით:

ზუსტი გამოსავალი

კომენტარი. თუ პროგრამა დააბრუნებს rez მატრიცას, მაშინ შეგიძლიათ ნახოთ ყველა ნაპოვნი გამეორება.

განმეორებითი მეთოდების უპირატესობაა მათი გამოყენებადობა არაკონდიცირებულ სისტემებზე და მაღალი დონის სისტემებზე, მათი თვითშესწორება და კომპიუტერზე განხორციელების სიმარტივე. გამოთვლების დასაწყებად, განმეორებითი მეთოდები მოითხოვს სასურველ გადაწყვეტას გარკვეული საწყისი მიახლოების დაზუსტებას.

უნდა აღინიშნოს, რომ განმეორებითი პროცესის კონვერგენციის პირობები და სიჩქარე მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული მატრიცის თვისებებზე. ასისტემა და საწყისი მიახლოებების არჩევის შესახებ.

გამეორების მეთოდის გამოსაყენებლად, ორიგინალური სისტემა (2.1) ან (2.2) უნდა შემცირდეს ფორმამდე.

რის შემდეგაც განმეორებითი პროცესი ხორციელდება განმეორებითი ფორმულების მიხედვით

, კ = 0, 1, 2, ... . (2.26ა)

მატრიცა გდა ვექტორი მიიღება სისტემის ტრანსფორმაციის შედეგად (2.1).

კონვერგენციისთვის (2.26 ა) აუცილებელი და საკმარისია იმისთვის, რომ |ლ მე(გ)| < 1, где lმე(გ) - მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობა გ. კონვერგენცია ასევე მოხდება, თუ || გ|| < 1, так как |lმე(გ)| < " ||გ||, სადაც " არის ნებისმიერი.

სიმბოლო || ... || ნიშნავს მატრიცის ნორმას. მისი მნიშვნელობის დადგენისას, ისინი ყველაზე ხშირად ჩერდებიან ორი პირობის შემოწმებაზე:

||გ|| = ან || გ|| = , (2.27)

სად . კონვერგენცია ასევე გარანტირებულია თუ ორიგინალური მატრიცაა ააქვს დიაგონალური დომინირება, ე.ი.

. (2.28)

თუ (2.27) ან (2.28) დაკმაყოფილებულია, გამეორების მეთოდი ერთდება ნებისმიერი საწყისი მიახლოებისთვის. ყველაზე ხშირად, ვექტორი აღებულია ნულიდან ან ერთეულიდან, ან თავად ვექტორი აღებულია (2.26).

ორიგინალური სისტემის (2.2) მატრიცით გარდაქმნის მრავალი მიდგომა არსებობს არათა უზრუნველყოს ფორმა (2.26) ან დააკმაყოფილოს კონვერგენციის პირობები (2.27) და (2.28).

მაგალითად, (2.26) შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად.

დაე ა = IN+ თან, დეტ IN#0; მერე ( ბ+ თან)= Þ ბ= −C+ Þ Þ ბ –1 ბ= −ბ –1 C+ ბ–1, საიდანაც= − ბ –1 C+ ბ –1 .

Აყენებს - ბ –1 C = გ, ბ–1 = , ვიღებთ (2.26).

კონვერგენციის პირობებიდან (2.27) და (2.28) ირკვევა, რომ წარმომადგენლობა ა = IN+ თანარ შეიძლება იყოს თვითნებური.

თუ მატრიცა ააკმაყოფილებს პირობებს (2.28), შემდეგ მატრიცას INშეგიძლიათ აირჩიოთ ქვედა სამკუთხედი:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

a პარამეტრის არჩევით შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ || გ|| = ||ე+ა ა|| < 1.

თუ (2.28) ჭარბობს, მაშინ ტრანსფორმაცია (2.26) შეიძლება განხორციელდეს თითოეულის ამოხსნით მესისტემის (2.1) განტოლება მიმართ x iშემდეგი განმეორებადი ფორმულების მიხედვით:

(2.28ა)

თუ მატრიცაში აარ არსებობს დიაგონალური დომინირება.

მაგალითად, განვიხილოთ სისტემა

(2.29)

როგორც ხედავთ, (1) და (2) განტოლებებში არ არის დიაგონალური დომინირება, მაგრამ (3) არის, ამიტომ მას უცვლელად ვტოვებთ.

მოდით მივაღწიოთ დიაგონალურ დომინირებას (1) განტოლებაში. გავამრავლოთ (1) a-ზე, (2) b-ზე, დავამატოთ ორივე განტოლება და მიღებულ განტოლებაში ავირჩიოთ a და b ისე, რომ იყოს დიაგონალური დომინირება:

(2a + 3b) X 1 + (–1.8a + 2b) X 2 +(0.4a – 1.1b) X 3 = ა.

თუ ავიღებთ a = b = 5, მივიღებთ 25-ს X 1 + X 2 – 3,5X 3 = 5.

განტოლების (2) გარდაქმნისთვის (1) უპირატესობით გავამრავლოთ g-ზე, (2) გავამრავლოთ d-ზე და გამოვაკლოთ (1) (2). ვიღებთ

(3d – 2g) X 1 + (2 დღე + 1,8 გ) X 2 + (–1,1 დღე – 0,4 გ) X 3 = −გ.

თუ d = 2, g = 3, მივიღებთ 0-ს X 1 + 9,4 X 2 – 3,4 X 3 = −3. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას

(2.30)

ეს ტექნიკა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მატრიცების ფართო კლასის გადაწყვეტილებების მოსაძებნად.

ან

ვექტორი = (0.2; –0.32; 0) საწყისი მიახლოების სახით თ, ჩვენ ამ სისტემას მოვაგვარებთ ტექნოლოგიის გამოყენებით (2.26 ა):

კ = 0, 1, 2, ... .

გამოთვლის პროცესი ჩერდება, როცა ამონახსნის ვექტორის ორი მეზობელი მიახლოება ემთხვევა სიზუსტით, ე.ი.

.

ფორმის განმეორებითი ამოხსნის ტექნოლოგია (2.26 ა) დაასახელა მარტივი გამეორების მეთოდი .

შეცდომის აბსოლუტური შეფასება მარტივი გამეორების მეთოდისთვის:

სად არის სიმბოლო || ... || ნორმალურს ნიშნავს.

მაგალითი 2.1. მარტივი გამეორების მეთოდის გამოყენებით e = 0.001 სიზუსტით ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

საფეხურების რაოდენობა, რომელიც იძლევა ზუსტ პასუხს e = 0.001-ზე, შეიძლება განისაზღვროს მიმართებიდან

0,001 ფუნტი.

მოდით შევაფასოთ კონვერგენცია ფორმულის გამოყენებით (2.27). აქ || გ|| = = მაქსიმალური (0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

როგორც საწყისი მიახლოება, ვიღებთ თავისუფალი ტერმინების ვექტორს, ანუ = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) თ. მოდით ჩავანაცვლოთ ვექტორული მნიშვნელობები (2.26 ა):

გამოთვლების განგრძობით, შედეგებს შევიყვანთ ცხრილში:

კ	X 1	X 2	X 3	X 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

მეათასედებში კონვერგენცია უკვე მე-10 საფეხურზე ხდება.

უპასუხე: X 1 » 3.571; X 2"-0.957; X 3 » 1.489; X 4"-0.836.

ამ ხსნარის მიღება ასევე შესაძლებელია ფორმულების გამოყენებით (2.28 ა).

მაგალითი 2.2. ალგორითმის ილუსტრირება ფორმულების გამოყენებით (2.28 ა) განიხილეთ სისტემის ამოხსნა (მხოლოდ ორი გამეორება):

; . (2.31)

მოდით გადავიტანოთ სისტემა ფორმაში (2.26) (2.28) მიხედვით ა):

Þ (2.32)

ავიღოთ საწყისი მიახლოება = (0; 0; 0) თ. შემდეგ ამისთვის კ= 0 აშკარაა, რომ მნიშვნელობა = (0.5; 0.8; 1.5) თ. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობები (2.32), ანუ როდის კ= 1 ვიღებთ = (1.075; 1.3; 1.175) თ.

შეცდომა e 2 = = max(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

SLAE-ზე ამოხსნის პოვნის ალგორითმის ბლოკ-სქემა სამუშაო ფორმულების მიხედვით მარტივი გამეორებების მეთოდის გამოყენებით (2.28 ა) ნაჩვენებია ნახ. 2.4.

ბლოკ-სქემის განსაკუთრებული მახასიათებელია შემდეგი ბლოკების არსებობა:

– ბლოკი 13 – მისი დანიშნულება განხილულია ქვემოთ;

– ბლოკი 21 – შედეგების ჩვენება ეკრანზე;

– ბლოკი 22 – კონვერგენციის შემოწმება (ინდიკატორი).

მოდით გავაანალიზოთ შემოთავაზებული სქემა სისტემის მაგალითის გამოყენებით (2.31) ( ნ= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

დაბლოკვა 1. შეიყვანეთ საწყისი მონაცემები ა,,ვ,ე, ნ: ნ= 3, w = 1, e = 0.001.

ციკლი I. დააყენეთ ვექტორების საწყისი მნიშვნელობები x 0მედა x i (მე = 1, 2, 3).

დაბლოკვა 5. გადატვირთეთ გამეორების მრიცხველი.

დაბლოკვა 6. დააყენეთ მიმდინარე შეცდომების მრიცხველი ნულზე.

IN II ციკლი, იცვლება მატრიცის მწკრივების ნომრები ადა ვექტორი.

II ციკლი:მე = 1: ს = ბ 1 = 2 (ბლოკი 8).

გადადით III ბლოკზე, მე-9 ბლოკში – მატრიცის სვეტის ნომრის მრიცხველი ა: ჯ = 1.

დაბლოკვა 10: ჯ = მე, შესაბამისად, ვუბრუნდებით მე-9 ბლოკს და ვზრდით ჯერთეულზე: ჯ = 2.

მე-10 ბლოკში ჯ ¹ მე(2 ¹ 1) - გადავდივართ მე-11 ბლოკზე.

დაბლოკვა 11: ს= 2 – (–1) × X 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, გადადით 9 ბლოკზე, რომელშიც ჯგაზარდეთ ერთით: ჯ = 3.

მე-10 ბლოკში მდგომარეობა ჯ ¹ მეშესრულებულია, ამიტომ გადავიდეთ მე-11 ბლოკზე.

დაბლოკვა 11: ს= 2 – (–1) × X 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, რის შემდეგაც გადავდივართ მე-9 ბლოკზე, რომელშიც ჯგაზარდეთ ერთით ( ჯ= 4). მნიშვნელობა ჯმეტი ნ (ნ= 3) - ვასრულებთ ციკლს და გადავდივართ მე-12 ბლოკზე.

დაბლოკვა 12: ს = ს / ა 11 = 2 / 4 = 0,5.

დაბლოკვა 13: w = 1; ს = ს + 0 = 0,5.

დაბლოკვა 14: დ = | x i – ს | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

დაბლოკვა 15: x i = 0,5 (მე = 1).

დაბლოკვა 16. მდგომარეობის შემოწმება დ > დე: 0.5 > 0, მაშასადამე, გადადით მე-17 ბლოკზე, რომელშიც ჩვენ ვანიჭებთ დე= 0.5 და დაბრუნდით ბმულის გამოყენებით " ა» II ციკლის მომდევნო საფეხურამდე – მე-7 ბლოკამდე, რომელშიც მეგაზარდეთ ერთით.

II ციკლი: მე = 2: ს = ბ 2 = 4 (ბლოკი 8).

ჯ = 1.

მე-10 ბლოკის გავლით ჯ ¹ მე(1 ¹ 2) - გადავდივართ ბლოკში 11.

დაბლოკვა 11: ს= 4 – 1 × 0 = 4, გადადით მე-9 ბლოკზე, რომელშიც ჯგაზარდეთ ერთით: ჯ = 2.

მე-10 ბლოკში პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ამიტომ გადავდივართ მე-9 ბლოკზე, რომელშიც ჯგაზარდეთ ერთით: ჯ= 3. ანალოგიით გადავდივართ მე-11 ბლოკზე.

დაბლოკვა 11: ს= 4 – (–2) × 0 = 4, რის შემდეგაც ვასრულებთ III ციკლს და გადავდივართ მე-12 ბლოკზე.

დაბლოკვა 12: ს = ს/ ა 22 = 4 / 5 = 0,8.

დაბლოკვა 13: w = 1; ს = ს + 0 = 0,8.

დაბლოკვა 14: დ = | 1 – 0,8 | = 0,2.

დაბლოკვა 15: x i = 0,8 (მე = 2).

დაბლოკვა 16. მდგომარეობის შემოწმება დ > დე: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ა» II ციკლის მომდევნო საფეხურამდე - მე-7 ბლოკამდე.

II ციკლი: მე = 3: ს = ბ 3 = 6 (ბლოკი 8).

გადადით III ბლოკზე, ბლოკში 9: ჯ = 1.

დაბლოკვა 11: ს= 6 – 1 × 0 = 6, გადადით 9 ბლოკზე: ჯ = 2.

მე-10 ბლოკის გამოყენებით გადავდივართ მე-11 ბლოკზე.

დაბლოკვა 11: ს= 6 – 1 × 0 = 6. ვასრულებთ III ციკლს და გადავდივართ მე-12 ბლოკზე.

დაბლოკვა 12: ს = ს/ ა 33 = 6 / 4 = 1,5.

დაბლოკვა 13: ს = 1,5.

დაბლოკვა 14: დ = | 1 – 1,5 | = 0,5.

დაბლოკვა 15: x i = 1,5 (მე = 3).

მე-16 ბლოკის მიხედვით (მათ შორის მითითებები " ა"და" თან”) ვტოვებთ II ციკლს და გადავდივართ მე-18 ბლოკზე.

დაბლოკვა 18. გამეორებების რაოდენობის გაზრდა ის = ის + 1 = 0 + 1 = 1.

IV ციკლის 19 და 20 ბლოკებში ჩვენ ვცვლით საწყის მნიშვნელობებს X 0მემიღებული ღირებულებები x i (მე = 1, 2, 3).

დაბლოკვა 21. ჩვენ ვბეჭდავთ მიმდინარე გამეორების შუალედურ მნიშვნელობებს, ამ შემთხვევაში: = (0.5; 0.8; 1.5) თ, ის = 1; დე = 0,5.

მივდივართ II ციკლზე მე-7 ბლოკზე და ვასრულებთ განხილულ გამოთვლებს ახალი საწყისი მნიშვნელობებით X 0მე (მე = 1, 2, 3).

რის შემდეგაც ვიღებთ X 1 = 1,075; X 2 = 1,3; X 3 = 1,175.

აი, მაშ, სეიდელის მეთოდი ერთმანეთს ემთხვევა.

ფორმულების მიხედვით (2.33)

კ	X 1	X 2	X 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

პასუხი: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

კომენტარი. თუ მარტივი გამეორება და სეიდელის მეთოდები ერთმანეთს ემთხვევა ერთი და იგივე სისტემისთვის, მაშინ სასურველია სეიდელის მეთოდი. თუმცა, პრაქტიკაში, ამ მეთოდების კონვერგენციის სფეროები შეიძლება იყოს განსხვავებული, ანუ მარტივი გამეორების მეთოდი იყრის თავს, მაგრამ სეიდელის მეთოდი განსხვავდება და პირიქით. ორივე მეთოდისთვის, თუ || გ|| ახლოს ერთეული, კონვერგენციის სიჩქარე ძალიან დაბალია.

კონვერგენციის დასაჩქარებლად გამოიყენება ხელოვნური ტექნიკა - ე.წ დასვენების მეთოდი . მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ შემდეგი მნიშვნელობა მიღებულია გამეორების მეთოდით x i (კ) ხელახლა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

სადაც w ჩვეულებრივ იცვლება 0-დან 2-მდე (0< w £ 2) с каким-либо шагом (თ= 0.1 ან 0.2). პარამეტრი w შეირჩევა ისე, რომ მეთოდის კონვერგენცია მიღწეული იყოს გამეორებების მინიმალურ რაოდენობაში.

რელაქსაცია– სხეულის ნებისმიერი მდგომარეობის თანდათანობითი შესუსტება ამ მდგომარეობის გამომწვევი ფაქტორების შეწყვეტის შემდეგ (ფიზიკური ინჟინერია).

მაგალითი 2.4. განვიხილოთ მეხუთე გამეორების შედეგი რელაქსაციის ფორმულის გამოყენებით. ავიღოთ w = 1.5:

როგორც ხედავთ, თითქმის მეშვიდე გამეორების შედეგი იქნა მიღებული.

მარტივი გამეორების მეთოდი, რომელსაც ასევე უწოდებენ თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდს, არის მათემატიკური ალგორითმი უცნობი სიდიდის მნიშვნელობის პოვნის მიზნით მისი თანდათანობითი დახვეწით. ამ მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ, როგორც სახელწოდება გვთავაზობს, თანდათანობით გამოხატავს შემდგომს საწყისი მიახლოებით, უფრო და უფრო დახვეწილი შედეგები მიიღება. ეს მეთოდი გამოიყენება მოცემულ ფუნქციაში ცვლადის მნიშვნელობის საპოვნელად, ასევე განტოლებათა სისტემების ამოხსნისას, როგორც წრფივი, ისე არაწრფივი.

მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ ხორციელდება ეს მეთოდი SLAE-ების ამოხსნისას. მარტივი გამეორების მეთოდს აქვს შემდეგი ალგორითმი:

1. თავდაპირველ მატრიცაში კონვერგენციის პირობის შესრულების შემოწმება. კონვერგენციის თეორემა: თუ სისტემის თავდაპირველ მატრიცას აქვს დიაგონალური დომინირება (ანუ თითოეულ მწკრივში მთავარი დიაგონალის ელემენტები აბსოლუტური სიდიდით მეტი უნდა იყოს, ვიდრე მეორადი დიაგონალების ელემენტების ჯამი აბსოლუტურ მნიშვნელობაში), მაშინ მარტივია. გამეორების მეთოდი კონვერგენტულია.

2. ორიგინალური სისტემის მატრიცას ყოველთვის არ აქვს დიაგონალური უპირატესობა. ასეთ შემთხვევებში შესაძლებელია სისტემის კონვერტაცია. განტოლებები, რომლებიც აკმაყოფილებენ კონვერგენციის პირობას, ხელუხლებელი რჩება და წრფივი კომბინაციები მზადდება მათთან, რომელიც არ აკმაყოფილებს, ე.ი. გავამრავლოთ, გამოვაკლოთ, დავამატოთ განტოლებები ერთმანეთს სასურველი შედეგის მიღებამდე.

თუ მიღებულ სისტემაში არის არასასიამოვნო კოეფიციენტები მთავარ დიაგონალზე, მაშინ i * x i ფორმის ტერმინები ემატება ასეთი განტოლების ორივე მხარეს, რომლის ნიშნები უნდა ემთხვეოდეს დიაგონალური ელემენტების ნიშანს.

3. შედეგად მიღებული სისტემის ტრანსფორმაცია ნორმალურ ფორმაში:

x - =β - +α*x -

ეს შეიძლება გაკეთდეს მრავალი გზით, მაგალითად, ასე: პირველი განტოლებიდან გამოხატეთ x 1 სხვა უცნობის მიხედვით, მეორედან - x 2, მესამედან - x 3 და ა.შ. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
თქვენ კვლავ უნდა დარწმუნდეთ, რომ მიღებული ნორმალური ფორმის სისტემა აკმაყოფილებს კონვერგენციის პირობას:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, ხოლო i= 1,2,...n

4. ვიწყებთ, ფაქტობრივად, თავად თანმიმდევრული მიახლოებების მეთოდის გამოყენებას.

x (0) არის საწყისი მიახლოება, ჩვენ გამოვხატავთ x (1) მისი მეშვეობით, შემდეგ გამოვხატავთ x (2) x (1-მდე). ზოგადი ფორმულა მატრიცის სახით ასე გამოიყურება:

x (n) = β - +α*x (n-1)

ჩვენ ვიანგარიშებთ მანამ, სანამ არ მივაღწევთ საჭირო სიზუსტეს:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

ასე რომ, მოდით გამოვიყენოთ მარტივი გამეორების მეთოდი პრაქტიკაში. მაგალითი:
გადაჭრით SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 სიზუსტით ε=10 -3

ვნახოთ, ჭარბობს თუ არა დიაგონალური ელემენტები მოდულში.

ჩვენ ვხედავთ, რომ მხოლოდ მესამე განტოლება აკმაყოფილებს კონვერგენციის პირობას. გადავცვალოთ პირველი და მეორე, ხოლო მეორე დავუმატოთ პირველ განტოლებას:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

მესამეს გამოვაკლებთ პირველს:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

ჩვენ გადავაქციეთ ორიგინალური სისტემა ეკვივალენტად:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

ახლა მოდით მივიყვანოთ სისტემა ნორმალურ ფორმაში:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

ჩვენ ვამოწმებთ განმეორებითი პროცესის კონვერგენციას:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, ე.ი. პირობა შესრულებულია.

0,3947
საწყისი გამოცნობა x(0) = 0.4762
0,8511

ამ მნიშვნელობების ნორმალური ფორმის განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

ახალი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

ჩვენ ვაგრძელებთ გამოთვლებს მანამ, სანამ არ მივუახლოვდებით იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც აკმაყოფილებს მოცემულ პირობას.

x (7) = 0.441091

მოდით შევამოწმოთ მიღებული შედეგების სისწორე:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

ნაპოვნი მნიშვნელობების თავდაპირველ განტოლებებში ჩანაცვლებით მიღებული შედეგები სრულად აკმაყოფილებს განტოლების პირობებს.

როგორც ვხედავთ, მარტივი გამეორების მეთოდი იძლევა საკმაოდ ზუსტ შედეგებს, მაგრამ ამ განტოლების ამოსახსნელად ბევრი დრო დაგვჭირდა და რთული გამოთვლების გაკეთება.