როგორ გავყოთ წილადები სვეტის გამოყენებით. დაყოფა ათობითი წილადით – ცოდნის ჰიპერმარკეტი

სკოლაში ამ მოქმედებებს სწავლობენ მარტივიდან რთულამდე. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ამ ოპერაციების შესრულების ალგორითმის საფუძვლიანად გაგება მარტივი მაგალითების გამოყენებით. ასე რომ, მოგვიანებით არ იქნება სირთულეები ათობითი წილადების სვეტად დაყოფით. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის ასეთი ამოცანების ყველაზე რთული ვერსია.

ეს საგანი მოითხოვს თანმიმდევრულ შესწავლას. ცოდნის ხარვეზები აქ მიუღებელია. ყველა მოსწავლემ ეს პრინციპი უკვე პირველ კლასში უნდა ისწავლოს. ამიტომ, თუ ზედიზედ რამდენიმე გაკვეთილს გამოტოვებთ, თავად მოგიწევთ მასალის ათვისება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოგვიანებით პრობლემები წარმოიქმნება არა მხოლოდ მათემატიკასთან, არამედ მასთან დაკავშირებულ სხვა საგნებთანაც.

მათემატიკის წარმატებით შესწავლის მეორე წინაპირობაა გრძელი გაყოფის მაგალითებზე გადასვლა მხოლოდ შეკრების, გამოკლების და გამრავლების ათვისების შემდეგ.

ბავშვს გაუჭირდება გაყოფა, თუ გამრავლების ცხრილი არ ისწავლა. სხვათა შორის, უმჯობესია მისი სწავლება პითაგორას ცხრილის გამოყენებით. ზედმეტი არაფერია და გამრავლების სწავლა ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია.

როგორ მრავლდება ნატურალური რიცხვები სვეტში?

თუ გაყოფისა და გამრავლების სვეტში მაგალითების ამოხსნა უჭირს, მაშინ პრობლემის გადაჭრა უნდა დაიწყოთ გამრავლებით. ვინაიდან გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული მოქმედება:

1. ორი რიცხვის გამრავლებამდე საჭიროა ყურადღებით დაათვალიეროთ ისინი. აირჩიეთ მეტი ციფრი (გრძელი) და ჯერ ჩამოწერეთ. მოათავსეთ მეორე მის ქვეშ. უფრო მეტიც, შესაბამისი კატეგორიის ნომრები უნდა იყოს იმავე კატეგორიაში. ანუ, პირველი რიცხვის ყველაზე მარჯვენა ციფრი უნდა იყოს მეორის ყველაზე მარჯვენა ციფრის ზემოთ.
2. გაამრავლეთ ქვედა რიცხვის ყველაზე მარჯვენა ციფრი ზედა რიცხვის თითოეულ ციფრზე, დაწყებული მარჯვნიდან. დაწერეთ პასუხი ხაზის ქვემოთ ისე, რომ მისი ბოლო ციფრი იყოს იმ რიცხვის ქვეშ, რომელზეც თქვენ გაამრავლეთ.
3. იგივე გაიმეორეთ ქვედა ნომრის სხვა ციფრით. მაგრამ გამრავლების შედეგი უნდა გადაიტანოს ერთი ციფრი მარცხნივ. ამ შემთხვევაში, მისი ბოლო ციფრი იქნება იმ რიცხვის ქვეშ, რომლითაც იგი გამრავლდა.

გააგრძელეთ ეს გამრავლება სვეტში, სანამ არ ამოიწურება მეორე ფაქტორის რიცხვები. ახლა ისინი უნდა დაიკეცონ. ეს იქნება პასუხი, რომელსაც ეძებთ.

ათწილადების გამრავლების ალგორითმი

პირველ რიგში, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ, რომ მოცემული წილადები არ არის ათწილადები, არამედ ბუნებრივი. ანუ, ამოიღეთ მძიმეები მათგან და შემდეგ გააგრძელეთ წინა შემთხვევაში აღწერილი.

განსხვავება იწყება მაშინ, როდესაც პასუხი ჩაიწერება. ამ მომენტში აუცილებელია ყველა რიცხვის დათვლა, რომელიც ორივე წილადში ჩნდება ათობითი წერტილების შემდეგ. პასუხის ბოლოდან ზუსტად ასე უნდა დაითვალოს და იქ მძიმით დადო.

მოსახერხებელია ამ ალგორითმის ილუსტრირება მაგალითის გამოყენებით: 0.25 x 0.33:

სად დავიწყოთ სწავლის განყოფილება?

გრძელი გაყოფის მაგალითების ამოხსნამდე, თქვენ უნდა გახსოვდეთ რიცხვების სახელები, რომლებიც ჩანს გრძელი გაყოფის მაგალითში. პირველი მათგანი (რომელიც იყოფა) იყოფა. მეორე (გაყოფილი) არის გამყოფი. პასუხი პირადია.

ამის შემდეგ, მარტივი ყოველდღიური მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ ავხსნით ამ მათემატიკური ოპერაციის არსს. მაგალითად, თუ აიღებთ 10 ტკბილეულს, მაშინ ადვილია მათი თანაბრად გაყოფა დედასა და მამას შორის. მაგრამ რა მოხდება, თუ ისინი მშობლებსა და ძმას უნდა აჩუქო?

ამის შემდეგ შეგიძლიათ გაეცნოთ გაყოფის წესებს და დაეუფლოთ მათ კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით. ჯერ მარტივი, შემდეგ კი გადადით უფრო და უფრო რთულზე.

რიცხვების სვეტად დაყოფის ალგორითმი

ჯერ წარმოგიდგენთ ნატურალური რიცხვების პროცედურას, რომლებიც იყოფა ერთნიშნა რიცხვზე. ისინი ასევე იქნება მრავალნიშნა გამყოფების ან ათობითი წილადების საფუძველი. მხოლოდ ამის შემდეგ უნდა შეიტანოთ მცირე ცვლილებები, მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით:

• ხანგრძლივი გაყოფის გაკეთებამდე უნდა გაარკვიოთ სად არის დივიდენდი და გამყოფი.
• ჩაწერეთ დივიდენდი. მის მარჯვნივ არის გამყოფი.
• დახაზეთ კუთხე მარცხენა და ქვედა ბოლო კუთხის მახლობლად.
• განსაზღვრეთ არასრული დივიდენდი, ანუ რიცხვი, რომელიც მინიმალური იქნება გაყოფისთვის. ჩვეულებრივ, ის შედგება ერთი ციფრისგან, მაქსიმუმ ორი.
• აირჩიეთ ნომერი, რომელიც პირველ რიგში ჩაიწერება პასუხში. ეს უნდა იყოს გამყოფის ჯდება დივიდენდში.
• ჩაწერეთ ამ რიცხვის გამყოფზე გამრავლების შედეგი.
• ჩაწერეთ არასრული დივიდენდის ქვეშ. შეასრულეთ გამოკლება.
• დანარჩენს დაამატეთ პირველი ციფრი უკვე გაყოფილი ნაწილის შემდეგ.
• კვლავ აირჩიეთ პასუხის ნომერი.
• გაიმეორეთ გამრავლება და გამოკლება. თუ ნაშთი არის ნული და დივიდენდი დასრულდა, მაშინ მაგალითი შესრულებულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გაიმეორეთ ნაბიჯები: ამოიღეთ რიცხვი, აიღეთ რიცხვი, გაამრავლეთ, გამოკლეთ.

როგორ ამოხსნათ გრძელი გაყოფა, თუ გამყოფს აქვს ერთზე მეტი ციფრი?

თავად ალგორითმი მთლიანად ემთხვევა იმას, რაც ზემოთ იყო აღწერილი. განსხვავება იქნება არასრული დივიდენდის ციფრების რაოდენობა. ახლა მინიმუმ ორი უნდა იყოს, მაგრამ თუ ისინი გამყოფზე ნაკლები აღმოჩნდებიან, მაშინ პირველ სამ ციფრთან უნდა იმუშაოთ.

ამ დაყოფაში კიდევ ერთი ნიუანსია. ფაქტია, რომ ნაშთი და მასზე დამატებული რიცხვი ზოგჯერ არ იყოფა გამყოფზე. შემდეგ თქვენ უნდა დაამატოთ სხვა ნომერი თანმიმდევრობით. მაგრამ პასუხი უნდა იყოს ნული. თუ სამნიშნა რიცხვებს ყოფთ სვეტად, შეიძლება დაგჭირდეთ ორზე მეტი ციფრის ამოღება. შემდეგ შემოღებულია წესი: პასუხში უნდა იყოს ერთი ნული ნაკლები, ვიდრე ამოღებული ციფრები.

თქვენ შეგიძლიათ განიხილოთ ეს დაყოფა მაგალითის გამოყენებით - 12082: 863.

• მასში არასრული დივიდენდი გამოდის რიცხვი 1208. რიცხვი 863 მოთავსებულია მასში მხოლოდ ერთხელ. ამიტომ, პასუხი უნდა იყოს 1, ხოლო 1208-ში ჩაწერეთ 863.
• გამოკლების შემდეგ დარჩენილია 345.
• თქვენ უნდა დაამატოთ მას ნომერი 2.
• რიცხვი 3452 შეიცავს 863 ოთხჯერ.
• ოთხი უნდა ჩაიწეროს პასუხად. უფრო მეტიც, 4-ზე გამრავლებისას სწორედ ეს არის მიღებული რიცხვი.
• დარჩენილი გამოკლების შემდეგ არის ნული. ანუ დაყოფა დასრულებულია.

მაგალითში პასუხი იქნება ნომერი 14.

რა მოხდება, თუ დივიდენდი მთავრდება ნულში?

ან რამდენიმე ნული? ამ შემთხვევაში, ნაშთი არის ნული, მაგრამ დივიდენდი კვლავ შეიცავს ნულებს. არ არის საჭირო სასოწარკვეთა, ყველაფერი უფრო მარტივია, ვიდრე შეიძლება ჩანდეს. საკმარისია პასუხს უბრალოდ დავუმატოთ ყველა ის ნული, რომელიც განუყოფელია.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაყოთ 400 5-ზე. არასრული დივიდენდი არის 40. ხუთი ჯდება მასში 8-ჯერ. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი უნდა დაიწეროს როგორც 8. გამოკლებისას ნაშთი არ რჩება. ანუ, გაყოფა დასრულებულია, მაგრამ დივიდენდში რჩება ნული. პასუხს უნდა დაემატოს. ამრიგად, 400-ის 5-ზე გაყოფა უდრის 80-ს.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ თქვენ გჭირდებათ ათობითი წილადის გაყოფა?

ისევ ეს რიცხვი ჰგავს ბუნებრივ რიცხვს, თუ არა მძიმით, რომელიც მთელ ნაწილს წილადისგან გამოყოფს. ეს ვარაუდობს, რომ ათობითი წილადების დაყოფა სვეტად მსგავსია ზემოთ აღწერილის.

განსხვავება მხოლოდ მძიმით იქნება. ის უნდა იყოს ჩასმული პასუხში, როგორც კი წილადი ნაწილის პირველი ციფრი ამოღებულია. ამის თქმის კიდევ ერთი გზაა: თუ დაასრულეთ მთლიანი ნაწილის გაყოფა, ჩაწერეთ მძიმით და განაგრძეთ ამოხსნა.

ათწილადი წილადებით გრძელი გაყოფის მაგალითების ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რაოდენობის ნულები შეიძლება დაემატოს ნაწილს ათობითი წერტილის შემდეგ. ზოგჯერ ეს აუცილებელია ნომრების დასასრულებლად.

ორი ათწილადის გაყოფა

შეიძლება რთულად ჩანდეს. მაგრამ მხოლოდ დასაწყისში. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორ გავყოთ წილადების სვეტი ნატურალურ რიცხვზე, უკვე გასაგებია. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა დავიყვანოთ ეს მაგალითი უკვე ნაცნობ ფორმამდე.

ამის გაკეთება ადვილია. თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორივე წილადი 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე ან 10000-ზე და შესაძლოა მილიონზე, თუ პრობლემა ამას მოითხოვს. მულტიპლიკატორი უნდა შეირჩეს იმის მიხედვით, თუ რამდენი ნული არის გამყოფის ათობითი ნაწილში. ანუ შედეგი იქნება ის, რომ მოგიწევთ წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

და ეს იქნება ყველაზე უარესი სცენარი. ყოველივე ამის შემდეგ, შეიძლება მოხდეს, რომ დივიდენდი ამ ოპერაციიდან მთელი რიცხვი გახდეს. შემდეგ მაგალითის ამოხსნა წილადების სვეტის გაყოფით დაიყვანება უმარტივეს ვარიანტზე: მოქმედებები ნატურალური რიცხვებით.

მაგალითად: გაყავით 28.4 3.2-ზე:

• ისინი ჯერ უნდა გამრავლდეს 10-ზე, რადგან მეორე რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი ციფრი ათობითი წერტილის შემდეგ. გამრავლებით მივიღებთ 284 და 32.
• ისინი უნდა დაშორდნენ. უფრო მეტიც, მთელი რიცხვი არის 284 32-ზე.
• პასუხისთვის არჩეული პირველი რიცხვია 8. მისი გამრავლებით მიიღება 256. დარჩენილი არის 28.
• მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულდა და პასუხში მძიმია.
• ამოღება დარჩენილ 0-მდე.
• აიღე ისევ 8.
• დარჩენილი: 24. დაამატეთ მას კიდევ 0.
• ახლა თქვენ უნდა აიღოთ 7.
• გამრავლების შედეგია 224, დარჩენილია 16.
• ამოიღეთ კიდევ ერთი 0. აიღეთ თითო 5 და მიიღებთ ზუსტად 160-ს. დარჩენილი არის 0.

დაყოფა დასრულებულია. მაგალითი 28.4:3.2 შედეგი არის 8.875.

რა მოხდება, თუ გამყოფი არის 10, 100, 0.1 ან 0.01?

ისევე, როგორც გამრავლებისას, აქაც გრძელი გაყოფა არ არის საჭირო. საკმარისია უბრალოდ მძიმის გადატანა სასურველი მიმართულებით ციფრების გარკვეული რაოდენობისთვის. უფრო მეტიც, ამ პრინციპის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ მაგალითები როგორც მთელი რიცხვებით, ასევე ათობითი წილადებით.

ასე რომ, თუ თქვენ გჭირდებათ გაყოფა 10-ზე, 100-ზე ან 1000-ზე, მაშინ ათობითი წერტილი გადაინაცვლებს მარცხნივ იმავე რაოდენობის ციფრებით, რამდენიც არის ნულები გამყოფში. ანუ, როდესაც რიცხვი იყოფა 100-ზე, ათობითი წერტილი მარცხნივ უნდა გადავიდეს ორი ციფრით. თუ დივიდენდი ნატურალური რიცხვია, მაშინ ვარაუდობენ, რომ მძიმით არის ბოლოს.

ეს მოქმედება იძლევა იგივე შედეგს, თითქოს რიცხვი უნდა გამრავლდეს 0.1-ზე, 0.01-ზე ან 0.001-ზე. ამ მაგალითებში მძიმით ასევე მარცხნივ გადაადგილდება წილადი ნაწილის სიგრძის ტოლი რიცხვი.

0.1-ზე (და ა.შ.) გაყოფისას ან 10-ზე გამრავლებისას (ა.შ.), ათობითი წერტილი მარჯვნივ უნდა გადავიდეს ერთი ციფრით (ან ორი, სამი, ნულების რაოდენობის ან წილადი ნაწილის სიგრძის მიხედვით).

აღსანიშნავია, რომ დივიდენდში მოცემული ციფრები შეიძლება არ იყოს საკმარისი. შემდეგ დაკარგული ნულები შეიძლება დაემატოს მარცხნივ (მთელ ნაწილში) ან მარჯვნივ (ათწილადის წერტილის შემდეგ).

პერიოდული წილადების დაყოფა

ამ შემთხვევაში ზუსტი პასუხის მიღება ვერ ხერხდება სვეტად დაყოფისას. როგორ ამოხსნათ მაგალითი, თუ შეხვდებით წილადს წერტილით? აქ ჩვენ უნდა გადავიდეთ ჩვეულებრივ წილადებზე. შემდეგ კი დაყავით ისინი ადრე ნასწავლი წესების მიხედვით.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაყოთ 0.(3) 0.6-ზე. პირველი წილადი პერიოდულია. ის გარდაიქმნება წილადად 3/9, რომელიც შემცირებისას იძლევა 1/3-ს. მეორე წილადი არის საბოლოო ათწილადი. ჩვეულებისამებრ მისი ჩაწერა კიდევ უფრო ადვილია: 6/10, რაც უდრის 3/5-ს. ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესი მოითხოვს გაყოფის შეცვლას გამრავლებით და გამყოფის შეცვლას ორმხრივით. ანუ, მაგალითი მოდის 1/3-ის 5/3-ზე გამრავლებაზე. პასუხი იქნება 5/9.

თუ მაგალითი შეიცავს სხვადასხვა წილადებს...

შემდეგ შესაძლებელია რამდენიმე გამოსავალი. პირველ რიგში, შეგიძლიათ სცადოთ საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევა. შემდეგ გაყავით ორი ათწილადი ზემოთ მოყვანილი ალგორითმის გამოყენებით.

მეორეც, ყველა საბოლოო ათობითი წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც საერთო წილადი. მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი. ყველაზე ხშირად, ასეთი ფრაქციები უზარმაზარია. და პასუხები რთულია. ამიტომ, პირველი მიდგომა უფრო სასურველია.

§ 107. ათობითი წილადების შეკრება.

ათწილადების დამატება იგივეა, რაც მთელი რიცხვების შეკრება. ვნახოთ ეს მაგალითებით.

1) 0.132 + 2.354. მოდით დავასახელოთ ტერმინები ერთმანეთის ქვემოთ.

აი, 2 მეათასედს 4 მეათასედს დავუმატებთ 6 მეათასედს;
3 მეასედის 5 მეასედთან მიმატებიდან შედეგი არის 8 მეასედი;
1 მეათედის 3 მეათედთან მიმატებიდან -4 მეათედი და
2 რიცხვით 0 მთელი რიცხვის მიმატებიდან - 2 მთელი რიცხვი.

2) 5,065 + 7,83.

მეორე ტერმინში მეათასედი არ არის, ამიტომ მნიშვნელოვანია, რომ არ დაუშვათ შეცდომები ერთმანეთის მიყოლებით ტერმინების მარკირებისას.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

აქ, მეათასედების შეკრებისას, შედეგი არის 21 მეათასედი; მეათასედების ქვეშ დავწერეთ 1, მეასედებს კი დავუმატეთ 2, ასე რომ მეასედებში მივიღეთ შემდეგი ტერმინები: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; ჯამში 19 მეასედს აძლევენ, 9 მეასედზე მოვაწერეთ ხელი და 1 მეათედად ჩაითვალა და ა.შ.

ამრიგად, ათობითი წილადების დამატებისას უნდა დაიცვან შემდეგი თანმიმდევრობა: მოაწერეთ წილადებს ერთმანეთის ქვემოთ ისე, რომ ყველა ტერმინში ერთი და იგივე ციფრები იყოს ერთმანეთის ქვეშ და ყველა მძიმეები ერთსა და იმავე ვერტიკალურ სვეტში; ზოგიერთი ტერმინის ათწილადის მარცხნივ, ასეთი რაოდენობის ნულები ემატება, სულ მცირე, გონებრივად, ისე, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა წევრს აქვს ერთი და იგივე რიცხვი. შემდეგ ისინი ასრულებენ შეკრებას ციფრებით, დაწყებული მარჯვენა მხრიდან და მიღებულ ჯამში აყენებენ მძიმით იმავე ვერტიკალურ სვეტში, რომელშიც ის მდებარეობს ამ ტერმინებში.

§ 108. ათობითი წილადების გამოკლება.

ათწილადების გამოკლება მუშაობს ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითებით.

1) 9.87 - 7.32. მოდი ხელი მოვაწეროთ ქვეტრაჰენდს მინუენდის ქვეშ ისე, რომ ერთი და იგივე ციფრის ერთეულები ერთმანეთის ქვეშ იყოს:

2) 16.29 - 4.75. მოდით ხელი მოვაწეროთ ქვეტრაჰენდს მინუენდის ქვეშ, როგორც პირველ მაგალითში:

მეათედების გამოსაკლებლად, თქვენ უნდა აეღოთ ერთი მთლიანი ერთეული 6-დან და გაგეყოთ მეათედებად.

3) 14.0213- 5.350712. მოდი, ხელი მოვაწეროთ სუბტრაჰენდს მინიუენდის ქვეშ:

გამოკლება შესრულდა შემდეგნაირად: რადგან 0-ს 2 მემილიონედს ვერ გამოვაკლებთ, უნდა მივმართოთ მარცხნივ უახლოეს ციფრს, ანუ ას მეათასედს, მაგრამ ასეული მეათასედების ადგილზე ასევე არის ნული, ამიტომ ავიღებთ 1 მეათასედს. 3 ათი მეათასედად და ვყოფთ მას ას მეათასედებად, მივიღებთ 10 ას მეათასედს, საიდანაც ვტოვებთ 9 ას მეათასედს ასი მეათასედების კატეგორიაში და 1ას მეათასედს ვყოფთ მემილიონედებად, მივიღებთ 10 მემილიონედს. ამრიგად, ბოლო სამ ციფრში მივიღეთ: მემილიონედები 10, ასეული მეათასედები 9, ათი მეათასედები 2. მეტი სიცხადისა და მოხერხებულობისთვის (რომ არ დაგავიწყდეს), ეს რიცხვები იწერება მინუენდის შესაბამისი წილადი ციფრების ზემოთ. ახლა შეგიძლიათ დაიწყოთ გამოკლება. 10 მემილიონედს გამოვაკლებთ 2 მემილიონედს, მივიღებთ 8 მემილიონედს; 9 ასეული მეათასედს გამოვაკლებთ ას მეათასედს, ვიღებთ 8 ას მეათასედს და ა.შ.

ამრიგად, ათობითი წილადების გამოკლებისას დაცულია შემდეგი თანმიმდევრობა: მოაწერეთ ქვეტრაჰენდი მინუენდის ქვეშ ისე, რომ ერთი და იგივე ციფრები იყოს ერთმანეთის ქვეშ და ყველა მძიმეები ერთსა და იმავე ვერტიკალურ სვეტში; მარჯვნივ ისინი ამატებენ, სულ მცირე, გონებრივად, იმდენ ნულს მინუენდში ან ქვეტრაჰენდში ისე, რომ მათ აქვთ ერთი და იგივე რიცხვი, შემდეგ აკლებენ ციფრებით, დაწყებული მარჯვენა მხრიდან და შედეგად განსხვავებაში სვამენ მძიმით. იგივე ვერტიკალური სვეტი, რომელშიც ის მდებარეობს minuend და subtract.

§ 109. ათობითი წილადების გამრავლება.

მოდით შევხედოთ ათობითი წილადების გამრავლების რამდენიმე მაგალითს.

ამ რიცხვების ნამრავლის საპოვნელად შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: თუ კოეფიციენტი გაზრდილია 10-ჯერ, მაშინ ორივე ფაქტორი იქნება მთელი რიცხვები და შეგვიძლია გავამრავლოთ ისინი მთელი რიცხვების გამრავლების წესების მიხედვით. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი რამდენჯერმე იზრდება, პროდუქტი იმავე რაოდენობით იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი, რომელიც მიიღება მთელი ფაქტორების გამრავლებით, ანუ 28-ზე 23-ზე, 10-ჯერ მეტია ნამდვილ ნამრავლზე, ხოლო ჭეშმარიტი ნამრავლის მისაღებად, ნაპოვნი ნამრავლი უნდა შემცირდეს 10-ჯერ. აქედან გამომდინარე, აქ მოგიწევთ ერთხელ 10-ზე გამრავლება და ერთხელ 10-ზე გაყოფა, მაგრამ გამრავლება და 10-ზე გაყოფა ხდება ათობითი წერტილის მარჯვნივ და მარცხნივ ერთი ადგილით გადაადგილებით. მაშასადამე, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს: ფაქტორში გადაიტანეთ მძიმით სწორ ადგილას, ეს გახდება 23-ის ტოლი, შემდეგ თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული მთელი რიცხვები:

ეს პროდუქტი 10-ჯერ აღემატება ნამდვილ პროდუქტს. ამიტომ 10-ჯერ უნდა შევამციროთ, რისთვისაც მძიმით გადავიტანოთ ერთი ადგილი მარცხნივ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

28 2,3 = 64,4.

გადამოწმების მიზნით შეგიძლიათ დაწეროთ ათობითი წილადი მნიშვნელით და შეასრულოთ მოქმედება ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, ე.ი.

2) 12,27 0,021.

განსხვავება ამ მაგალითსა და წინა მაგალითს შორის არის ის, რომ აქ ორივე ფაქტორი წარმოდგენილია როგორც ათობითი წილადები. მაგრამ აქ, გამრავლების პროცესში, მძიმებს არ მივაქცევთ ყურადღებას, ანუ დროებით გავამრავლებთ 100-ჯერ, ხოლო მამრავლს 1000-ჯერ, რაც პროდუქტს 100000-ჯერ გაზრდის. ამრიგად, 1227-ის 21-ზე გამრავლებით მივიღებთ:

1 227 21 = 25 767.

იმის გათვალისწინებით, რომ მიღებული პროდუქტი 100 000-ჯერ დიდია ნამდვილ პროდუქტზე, ახლა ჩვენ უნდა შევამციროთ ის 100 000-ჯერ მასში მძიმის სწორად დაყენებით, მაშინ მივიღებთ:

32,27 0,021 = 0,25767.

მოდით შევამოწმოთ:

ამგვარად, ორი ათობითი წილადის გასამრავლებლად საკმარისია, მძიმეების ყურადღების გარეშე, გავამრავლოთ ისინი მთელ რიცხვებად და ნამრავლში გამოვყოთ იმდენი ათობითი ადგილი მარჯვენა მხარეს მძიმით, რამდენიც იყო მრავლობითში და მამრავლში. მულტიპლიკატორი ერთად.

ბოლო მაგალითმა მიიღო პროდუქტი ხუთი ათობითი ადგილით. თუ ასეთი დიდი სიზუსტე არ არის საჭირო, მაშინ ათობითი წილადი მრგვალდება. დამრგვალებისას უნდა გამოიყენოთ იგივე წესი, რაც მითითებულია მთელი რიცხვებისთვის.

§ 110. გამრავლება ცხრილების გამოყენებით.

ათწილადების გამრავლება ზოგჯერ შეიძლება გაკეთდეს ცხრილების გამოყენებით. ამ მიზნით შეგიძლიათ, მაგალითად, გამოიყენოთ ის გამრავლების ცხრილები ორნიშნა რიცხვებისთვის, რომელთა აღწერაც ადრე იყო მოცემული.

1) გაამრავლეთ 53 1,5-ზე.

53-ს გავამრავლებთ 15-ზე. ცხრილში ეს ნამრავლი უდრის 795-ს. ჩვენ ვიპოვეთ ნამრავლი 53 15-ზე, მაგრამ ჩვენი მეორე კოეფიციენტი იყო 10-ჯერ ნაკლები, რაც ნიშნავს, რომ ნამრავლი უნდა შემცირდეს 10-ჯერ, ე.ი.

53 1,5 = 79,5.

2) გაამრავლეთ 5.3 4.7-ზე.

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ცხრილში 53-ის ნამრავლს 47-ზე, ეს იქნება 2491, მაგრამ რადგან ჩვენ გავზარდეთ ნამრავლი და მამრავლი სულ 100-ჯერ, შედეგად მიღებული ნამრავლი 100-ჯერ მეტია, ვიდრე უნდა იყოს; ასე რომ, ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს პროდუქტი 100-ჯერ:

5,3 4,7 = 24,91.

3) გაამრავლეთ 0,53 7,4-ზე.

პირველ რიგში, ცხრილში ვხვდებით პროდუქტს 53 74-ზე; ეს იქნება 3,922, მაგრამ მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავზარდეთ მამრავლი 100-ჯერ, ხოლო მამრავლი 10-ჯერ, ნამრავლი გაიზარდა 1000-ჯერ. ასე რომ, ჩვენ ახლა უნდა შევამციროთ ის 1000-ჯერ:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. ათობითი წილადების გაყოფა.

ჩვენ განვიხილავთ ათობითი წილადების გაყოფას ამ თანმიმდევრობით:

1. ათობითი წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე,

1. ათობითი წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

1) გაყავით 2.46 2-ზე.

გავყავით 2 ჯერ მთლიანზე, შემდეგ მეათედზე და ბოლოს მეასედზე.

2) 32.46 გაყავით 3-ზე.

32,46: 3 = 10,82.

3 ათეული გავყავით 3-ზე, შემდეგ დავიწყეთ 2-ის 3-ზე გაყოფა; ვინაიდან დივიდენდის (2) ერთეულების რაოდენობა გამყოფზე (3) ნაკლებია, უნდა ჩავსვათ 0 კოეფიციენტში; შემდგომ, დანარჩენზე ავიღეთ 4 მეათედი და გავყავით 24 მეათედი 3-ზე; მიიღო 8 მეათედი კოეფიციენტში და ბოლოს გაყო 6 მეასედი.

3) გაყავით 1.2345 5-ზე.

1,2345: 5 = 0,2469.

აქ კოეფიციენტში პირველი ადგილი არის ნულოვანი რიცხვები, რადგან ერთი მთელი რიცხვი არ იყოფა 5-ზე.

4) გაყავით 13.58 4-ზე.

ამ მაგალითის თავისებურება ის არის, რომ როდესაც ჩვენ მივიღეთ 9 მეასედი კოეფიციენტში, აღმოვაჩინეთ ნაშთი 2 ასეულის ტოლი, ეს ნაშთი გავყავით მეათასედებად, მივიღეთ 20 მეათასედი და დავასრულეთ გაყოფა.

წესი.ათწილადი წილადის მთელ რიცხვზე დაყოფა ხდება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გაყოფა და მიღებული ნაშთები გარდაიქმნება ათწილად წილადებად, უფრო და უფრო პატარა; გაყოფა გრძელდება მანამ, სანამ ნაშთი ნულის ტოლია.

2. ათწილადის გაყოფა ათწილადზე.

1) გაყავით 2.46 0.2-ზე.

ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გავყოთ ათობითი წილადი მთელ რიცხვზე. დავფიქრდეთ, შესაძლებელია თუ არა დაყოფის ამ ახალი შემთხვევის წინაზე დაყვანა? ერთ დროს ჩვენ განვიხილეთ კოეფიციენტის შესანიშნავი თვისება, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ის უცვლელი რჩება, როდესაც დივიდენდი და გამყოფი ერთდროულად იზრდება ან მცირდება იმავე რაოდენობის ჯერ. ჩვენ შეგვიძლია ადვილად გავყოთ ჩვენთვის მოცემული რიცხვები, თუ გამყოფი იქნება მთელი რიცხვი. ამისათვის საკმარისია მისი 10-ჯერ გაზრდა, ხოლო სწორი კოეფიციენტის მისაღებად საჭიროა დივიდენდის გაზრდა იმავე ოდენობით, ანუ 10-ჯერ. შემდეგ ამ რიცხვების გაყოფა შეიცვლება შემდეგი რიცხვების გაყოფით:

უფრო მეტიც, აღარ იქნება საჭირო დეტალებში ცვლილებების შეტანა.

მოდით გავაკეთოთ ეს დაყოფა:

ასე რომ 2.46: 0.2 = 12.3.

2) გაყავით 1,25 1,6-ზე.

გამყოფს (1,6) გავზრდით 10-ჯერ; რომ კოეფიციენტი არ შეიცვალოს, დივიდენდს გავზრდით 10-ჯერ; 12 მთელი რიცხვი არ იყოფა 16-ზე, ამიტომ ვწერთ 0-ზე და 125 მეათედს ვყოფთ 16-ზე, ვიღებთ 7 მეათედს კოეფიციენტში და დარჩენილია 13. ნულის მინიჭებით 13 მეათედს ვყოფთ მეათედებად და ვყოფთ 130 მეათედს 1-ზე. და ა.შ. გთხოვთ გაითვალისწინოთ შემდეგი:

ა) როდესაც კონკრეტულში არ არის მთელი რიცხვები, მაშინ მათ ადგილას იწერება ნულოვანი რიცხვები;

ბ) როდესაც დივიდენდის ციფრის ნაშთზე მიმატების შემდეგ მიიღება რიცხვი, რომელიც არ იყოფა გამყოფზე, მაშინ წილადში იწერება ნული;

გ) როცა დივიდენდის ბოლო ციფრის ამოღების შემდეგ გაყოფა არ მთავრდება, მაშინ ნარჩენზე ნულების მიმატებით გაყოფა გრძელდება;

დ) თუ დივიდენდი არის მთელი რიცხვი, მაშინ ათწილად წილადზე გაყოფისას მას ზრდიან ნულების მიმატებით.

ამრიგად, რიცხვის ათწილად წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა ჩააგდოთ მძიმით გამყოფში, შემდეგ კი დივიდენდი გაზარდოთ იმდენჯერ, რამდენჯერაც გაიზარდა გამყოფი მასში მძიმის ჩაგდებისას და შემდეგ შეასრულოთ გაყოფა შესაბამისად. ათობითი წილადის მთელ რიცხვზე გაყოფის წესი.

§ 112. მიახლოებითი კოეფიციენტები.

წინა აბზაცში ჩვენ გადავხედეთ ათობითი წილადების გაყოფას და ყველა ჩვენ მიერ ამოხსნილ მაგალითში გაყოფა დასრულებულია, ანუ ზუსტი კოეფიციენტი იქნა მიღებული. თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში, ზუსტი კოეფიციენტის მიღება შეუძლებელია, რამდენადაც არ უნდა გავაგრძელოთ გაყოფა. აქ არის ერთი ასეთი შემთხვევა: გაყავით 53 101-ზე.

ჩვენ უკვე მივიღეთ ხუთი ციფრი კოეფიციენტში, მაგრამ გაყოფა ჯერ არ დასრულებულა და არ არსებობს იმედი, რომ ის ოდესმე დამთავრდება, რადგან დანარჩენში ჩვენ ვიწყებთ ნომრებს, რომლებიც ადრე უკვე შეგვხვდა. კოეფიციენტში რიცხვებიც განმეორდება: აშკარაა, რომ 7 რიცხვის შემდეგ უსასრულოდ გამოჩნდება რიცხვი 5, შემდეგ 2 და ა.შ. ასეთ შემთხვევებში გაყოფა წყდება და შემოიფარგლება კოეფიციენტის პირველი რამდენიმე ციფრით. ამ კოეფიციენტს ე.წ ახლობლები.ჩვენ მაგალითებით გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შესრულდეს გაყოფა.

ვთქვათ, რომ ჩვენ უნდა გავყოთ 25 3-ზე. ცხადია, ზუსტი კოეფიციენტი, გამოსახული როგორც მთელი რიცხვი ან ათწილადი, ვერ მიიღება ასეთი გაყოფისგან. ამიტომ, ჩვენ ვეძებთ სავარაუდო კოეფიციენტს:

25: 3 = 8 და დარჩენილი 1

სავარაუდო კოეფიციენტი არის 8; ის, რა თქმა უნდა, ზუსტ კოეფიციენტზე ნაკლებია, რადგან არის ნაშთი 1. ზუსტი კოეფიციენტის მისაღებად, თქვენ უნდა დაამატოთ ის წილადი, რომელიც მიიღება 1-ის ტოლი ნაშთის 3-ზე გაყოფით ნაპოვნ სავარაუდო კოეფიციენტს, ე.ი. , 8-მდე; ეს იქნება წილადი 1/3. ეს ნიშნავს, რომ ზუსტი კოეფიციენტი გამოისახება როგორც შერეული რიცხვი 8 1/3. ვინაიდან 1/3 არის სწორი წილადი, ანუ წილადი, ერთზე ნაკლები, მაშინ, გადაგდება, ჩვენ დავუშვებთ შეცდომა, რომელიც ერთზე ნაკლები. კოეფიციენტი 8 იქნება მიახლოებითი კოეფიციენტი ერთიანობამდე მინუსით.თუ 8-ის ნაცვლად 9-ს ავიღებთ კოეფიციენტში, მაშინ ასევე დავუშვებთ შეცდომას, რომელიც ერთზე ნაკლებია, რადგან მთლიან ერთეულს კი არ დავამატებთ, არამედ 2/3-ს. ასეთი კერძო ანდერძი მიახლოებითი კოეფიციენტი ერთის ფარგლებში ჭარბი.

ახლა ავიღოთ სხვა მაგალითი. ვთქვათ, უნდა გავყოთ 27 8-ზე. ვინაიდან აქ არ მივიღებთ ზუსტ კოეფიციენტს, რომელიც გამოხატულია მთელი რიცხვით, ჩვენ ვეძებთ სავარაუდო კოეფიციენტს:

27: 8 = 3 და დარჩენილი 3.

აქ შეცდომა უდრის 3/8-ს, ის ნაკლებია ერთიანობაზე, რაც ნიშნავს, რომ მიახლოებითი კოეფიციენტი (3) აღმოჩნდა ზუსტი ნაკლის მქონესთან. გავაგრძელოთ დაყოფა: დარჩენილი 3 გავყოთ მეათედებად, მივიღებთ 30 მეათედს; გაყავით ისინი 8-ზე.

მეათედების ადგილზე მივიღეთ 3, ხოლო დანარჩენში 6 მეათედი. თუ შემოვიფარგლებით 3.3 რიცხვით და გავაუქმებთ დარჩენილ 6-ს, მაშინ დავუშვებთ მეათედზე ნაკლებ შეცდომას. რატომ? რადგან ზუსტი კოეფიციენტი მიიღებოდა, როცა 6 მეათედი 8-ზე გაყოფის შედეგს 3.3-ს დავუმატებდით; ეს დაყოფა გამოიღებს 6/80-ს, რაც მეათედზე ნაკლებია. (შეამოწმეთ!) ამრიგად, თუ კოეფიციენტში თავს ვიზღუდავთ მეათედებით, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვიპოვეთ კოეფიციენტი. ზუსტი მეათედი(მინუსით).

გავაგრძელოთ გაყოფა სხვა ათწილადის საპოვნელად. ამისათვის ვყოფთ 6 მეათედს მეასედებად და ვიღებთ 60 მეასედს; გაყავით ისინი 8-ზე.

კოეფიციენტში მესამე ადგილზე აღმოჩნდა 7, დანარჩენში კი 4 მეასედი; თუ მათ გავაგდებთ, დავუშვებთ მეასედზე ნაკლებ შეცდომას, რადგან 4 მეასედი გაყოფილი 8-ზე ნაკლებია მეასედზე. ასეთ შემთხვევებში ამბობენ, რომ კოეფიციენტი ნაპოვნია ზუსტი მეასედამდე(მინუსით).

მაგალითში, რომელსაც ახლა ვუყურებთ, შეგვიძლია მივიღოთ ზუსტი კოეფიციენტი გამოხატული ათობითი წილადის სახით. ამისათვის საკმარისია ბოლო ნაშთი, 4 მეასედი, გავყოთ მეათასედებად და გავყოთ 8-ზე.

თუმცა, შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში შეუძლებელია ზუსტი კოეფიციენტის მიღება და ადამიანმა უნდა შემოიფარგლოს მისი მიახლოებითი მნიშვნელობებით. ახლა ჩვენ გადავხედავთ ამ მაგალითს:

40: 7 = 5,71428571...

რიცხვის ბოლოს მოთავსებული წერტილები მიუთითებს, რომ გაყოფა არ არის დასრულებული, ანუ ტოლობა არის მიახლოებითი. ჩვეულებრივ, სავარაუდო ტოლობა იწერება შემდეგნაირად:

40: 7 = 5,71428571.

ჩვენ ავიღეთ კოეფიციენტი რვა ათობითი ადგილით. მაგრამ თუ ასეთი დიდი სიზუსტე არ არის საჭირო, შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ კოეფიციენტის მხოლოდ მთელი ნაწილით, ანუ რიცხვით 5 (უფრო ზუსტად 6); მეტი სიზუსტისთვის შეიძლება მეათედების გათვალისწინება და 5,7-ის ტოლი კოეფიციენტის აღება; თუ რაიმე მიზეზით ეს სიზუსტე არასაკმარისია, მაშინ შეგიძლიათ შეჩერდეთ მეასედებზე და აიღოთ 5,71 და ა.შ. მოდით, ცალკეული კოეფიციენტები ჩამოვწეროთ და დავასახელოთ.

პირველი სავარაუდო კოეფიციენტი ზუსტია ერთ 6-მდე.

მეორე » » » მეათედამდე 5.7.

მესამე » » » მეასედამდე 5.71.

მეოთხე » » » მეათასედამდე 5.714.

ამგვარად, იმისთვის, რომ იპოვოთ ზუსტი კოეფიციენტი ზოგიერთზე, მაგალითად, მე-3 ათწილადზე (ანუ მეათასედამდე), შეწყვიტეთ გაყოფა, როგორც კი ეს ნიშანი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ § 40-ში მითითებული წესი.

§ 113. პროცენტების შემცველი უმარტივესი ამოცანები.

ათწილადების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაკეთებთ კიდევ რამდენიმე პროცენტულ პრობლემას.

ეს პრობლემები ისეთივეა, როგორიც ჩვენ გადავწყვიტეთ ფრაქციების განყოფილებაში; მაგრამ ახლა ჩვენ დავწერთ მეასედებს ათობითი წილადების სახით, ანუ აშკარად განსაზღვრული მნიშვნელის გარეშე.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ მარტივად გადახვიდეთ ჩვეულებრივი წილადიდან ათწილადზე მნიშვნელობით 100. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე:

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს, თუ როგორ იცვლება რიცხვი % (პროცენტიანი) სიმბოლოთი ათწილადი წილადით 100 მნიშვნელით:

ახლა განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა.

1. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.ერთ სოფელში მხოლოდ 1600 ადამიანი ცხოვრობს. სასკოლო ასაკის ბავშვების რაოდენობა მთლიანი მოსახლეობის 25%-ს შეადგენს. რამდენი სკოლის ასაკის ბავშვია ამ სოფელში?

ამ ამოცანაში თქვენ უნდა იპოვოთ 25%, ანუ 0,25, 1600-დან, პრობლემა მოგვარებულია გამრავლებით.

1600 0.25 = 400 (ბავშვები).

აქედან გამომდინარე, 1600-დან 25% არის 400.

ამ ამოცანის გასაგებად, სასარგებლოა გავიხსენოთ, რომ მოსახლეობის ყოველ ასეულზე 25 სკოლის ასაკის ბავშვია. მაშასადამე, სასკოლო ასაკის ყველა ბავშვის რაოდენობის საპოვნელად, ჯერ შეგიძლიათ გაიგოთ რამდენი ასეული არის რიცხვში 1600 (16) და შემდეგ გაამრავლოთ 25 ასობით რიცხვზე (25 x 16 = 400). ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გადაწყვეტის მართებულობა.

დავალება 2.შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს ყოველწლიურად აძლევენ 2%-იან ანაზღაურებას. რამდენ შემოსავალს მიიღებს მეანაბრე წელიწადში, თუ სალაროში ჩადებს: ა) 200 მანეთს? ბ) 500 მანეთი? გ) 750 მანეთი? დ) 1000 რუბლი.?

ოთხივე შემთხვევაში პრობლემის გადასაჭრელად დაგჭირდებათ მითითებული თანხებიდან 0,02-ის გამოთვლა, ანუ თითოეული ეს რიცხვი უნდა გამრავლდეს 0,02-ზე. მოდით გავაკეთოთ ეს:

ა) 200 0.02 = 4 (რუბ.),

ბ) 500 0.02 = 10 (რუბ.),

გ) 750 0.02 = 15 (რუბ.),

დ) 1000 0.02 = 20 (რუბ.).

თითოეული ეს შემთხვევა შეიძლება შემოწმდეს შემდეგი მოსაზრებებით. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს აძლევენ შემოსავალს 2%-ს, ანუ შემნახველში შეტანილი თანხის 0,02-ს. თუ თანხა იყო 100 რუბლი, მაშინ მისგან 0,02 იქნებოდა 2 რუბლი. ეს ნიშნავს, რომ ყოველ ასეულს მოაქვს ინვესტორს 2 მანეთი. შემოსავალი. ამიტომ, თითოეულ განხილულ შემთხვევაში, საკმარისია გაერკვნენ, რამდენი ასეულია მოცემულ რიცხვში და გავამრავლოთ 2 რუბლი ამ ასობით. მაგალითში ა) არის 2 ასეული, რაც ნიშნავს

2 2 = 4 (რუბ.).

მაგალითში დ) არის 10 ასეული, რაც ნიშნავს

2 10 = 20 (რუბ.).

2. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

დავალება 1.სკოლამ გაზაფხულზე დაამთავრა 54 მოსწავლე, რაც მთლიანი ჩარიცხვის 6%-ს შეადგენს. რამდენი მოსწავლე იყო სკოლაში გასულ სასწავლო წელს?

ჯერ განვმარტოთ ამ ამოცანის მნიშვნელობა. სკოლამ დაამთავრა 54 მოსწავლე, რაც შეადგენს მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 6%-ს, ანუ სკოლის ყველა მოსწავლის 6 მეასედს (0,06). ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიცით მოსწავლეთა ნაწილი, რომელიც გამოხატულია რიცხვით (54) და წილადით (0,06) და ამ წილადიდან უნდა ვიპოვოთ მთელი რიცხვი. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ჩვეულებრივი დავალება, ვიპოვოთ რიცხვი მისი წილადიდან (§90, პუნქტი 6). ამ ტიპის პრობლემები წყდება გაყოფით:

ეს ნიშნავს, რომ სკოლაში მხოლოდ 900 მოსწავლე იყო.

ასეთი ამოცანების შემოწმება სასარგებლოა შებრუნებული ამოცანის ამოხსნით, ანუ ამოცანის ამოხსნის შემდეგ, სულ მცირე, თავში უნდა გადაჭრათ პირველი ტიპის ამოცანა (მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა): აიღეთ ნაპოვნი რიცხვი ( 900) როგორც მოცემულია და იპოვეთ მისი პროცენტი მითითებული ამოხსნილ ამოცანაში, კერძოდ:

900 0,06 = 54.

დავალება 2.ოჯახი თვეში საკვებზე ხარჯავს 780 რუბლს, რაც მამის ყოველთვიური შემოსავლის 65%-ია. განსაზღვრეთ მისი ყოველთვიური შემოსავალი.

ამ ამოცანას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც წინა. იგი იძლევა ყოველთვიური შემოსავლის ნაწილს, გამოხატული რუბლით (780 რუბლი) და მიუთითებს, რომ ეს ნაწილი არის მთლიანი შემოსავლის 65%, ანუ 0,65. და რასაც თქვენ ეძებთ არის მთელი შემოსავალი:

780: 0,65 = 1 200.

აქედან გამომდინარე, საჭირო შემოსავალი არის 1200 რუბლი.

3. რიცხვების პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.სკოლის ბიბლიოთეკაში მხოლოდ 6000 წიგნია. მათ შორის არის 1200 წიგნი მათემატიკაში. მათემატიკის წიგნების რამდენი პროცენტია ბიბლიოთეკაში არსებული წიგნების საერთო რაოდენობა?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ (§97) მსგავსი პრობლემები და მივედით დასკვნამდე, რომ ორი რიცხვის პროცენტის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვების თანაფარდობა და გაამრავლოთ იგი 100-ზე.

ჩვენს პრობლემაში უნდა ვიპოვოთ 1200 და 6000 რიცხვების პროცენტული თანაფარდობა.

ჯერ ვიპოვოთ მათი თანაფარდობა და შემდეგ გავამრავლოთ 100-ზე:

ამრიგად, 1200 და 6000 რიცხვების პროცენტი არის 20. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკის წიგნები ყველა წიგნის საერთო რაოდენობის 20%-ს შეადგენს.

შესამოწმებლად, მოდით გადავჭრათ საპირისპირო პრობლემა: ვიპოვოთ 20% 6000-დან:

6 000 0,2 = 1 200.

დავალება 2.ქარხანამ 200 ტონა ქვანახშირი უნდა მიიღოს. 80 ტონა უკვე ჩაბარებულია ქარხანაში ნახშირის რამდენი პროცენტით?

ეს პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი პროცენტია ერთი რიცხვი (80) მეორეს (200). ამ რიცხვების შეფარდება იქნება 80/200. გავამრავლოთ 100-ზე:

ეს ნიშნავს, რომ ნახშირის 40% მიწოდებულია.

მე. ათწილადი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად უნდა გაყოთ წილადი ამ რიცხვზე, რადგან ნატურალური რიცხვები იყოფა და მთელი ნაწილის გაყოფის დასრულებისას დააყენოთ მძიმით.

მაგალითები.

შეასრულეთ გაყოფა: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

გამოსავალი.

მაგალითი 1) 96,25: 5.

"კუთხით" ვყოფთ ისევე, როგორც ნატურალური რიცხვები იყოფა. მას შემდეგ რაც ჩვენ ჩამოვწერთ ნომერს 2 (მეათეების რიცხვი არის პირველი ციფრი ათწილადის შემდეგ დივიდენდში 96, 2 5), კოეფიციენტში ვსვამთ მძიმით და ვაგრძელებთ დაყოფას.

უპასუხე: 19,25.

მაგალითი 2) 4,78: 4.

ჩვენ ვყოფთ როგორც ნატურალური რიცხვები იყოფა. კოეფიციენტში ჩავსვამთ მძიმით როგორც კი მოვაშორებთ 7 - პირველი ციფრი ათწილადის შემდეგ დივიდენდში 4, 7 8. შემდგომში ვაგრძელებთ დაყოფას. 38-36-ის გამოკლებისას ვიღებთ 2-ს, მაგრამ გაყოფა არ სრულდება. როგორ ვიმოქმედოთ? ჩვენ ვიცით, რომ ნულები შეიძლება დაემატოს ათობითი წილადის ბოლოს - ეს არ შეცვლის წილადის მნიშვნელობას. ვანიჭებთ ნულს და ვყოფთ 20-ს 4-ზე. ვიღებთ 5-ს - გაყოფა დასრულდა.

უპასუხე: 1,195.

მაგალითი 3) 183,06: 45.

გაყავით 18306 45-ზე. კოეფიციენტში მძიმით ვსვამთ რიცხვს როგორც კი ამოიღებთ. 0 - პირველი ციფრი ათწილადის შემდეგ დივიდენდში 183, 0 6. ისევე, როგორც მე-2 მაგალითში), 36 რიცხვს უნდა მივანიჭოთ ნული - სხვაობა 306 და 270 რიცხვებს შორის.

უპასუხე: 4,068.

დასკვნა: ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფისას კერძო ჩვენ დავსვამთ მძიმით მაშინვე მას შემდეგ რაც ჩამოვიღებთ ფიგურას დივიდენდის მეათედში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველა ხაზგასმულია ნომრები წითლად ამ სამ მაგალითში მიეკუთვნება კატეგორიას დივიდენდის მეათედი.

II. ათობითი წილადის 10, 100, 1000 და ა.შ. გასაყოფად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი წერტილი მარცხნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.

მაგალითები.

შეასრულეთ დაყოფა: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

გამოსავალი.

ათობითი წერტილის მარცხნივ გადატანა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენი ნული არის ერთის შემდეგ გამყოფში. ასე რომ, ათობითი წილადის გაყოფისას 10 ჩვენ გადავიტანთ დივიდენდში მძიმით მარცხენა ერთი ციფრი; როდესაც იყოფა 100 - გადაიტანე მძიმით დატოვა ორი ციფრი; როდესაც იყოფა 1000 გადაიყვანეთ ამ ათობითი წილადში მძიმით სამი ციფრი მარცხნივ.

37. გაყოფა ათობითი წილადზე

დავალება.მართკუთხედის ფართობია 2,88 დმ2, ხოლო სიგანე 0,8 დმ. რა არის მართკუთხედის სიგრძე?

გამოსავალი 2,88 დმ 2 = 288 სმ 2 და 0,8 დმ = 8 სმ, მაშინ მართკუთხედის სიგრძეა 288: 8, ანუ 36 სმ = 3,6 დმ. ჩვენ აღმოვაჩინეთ რიცხვი 3.6 ისეთი, რომ 3.6 0.8 = 2.88. ეს არის 2,88-ის კოეფიციენტი გაყოფილი 0,8-ზე.

პასუხი 3.6 შეიძლება მიიღოთ დეციმეტრების სანტიმეტრებად გადაყვანის გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ გამყოფი 0.8 და დივიდენდი 2.88 10-ზე (ანუ გადაიტანეთ მძიმით მათში ერთი ციფრი მარჯვნივ) და 28.8 გავყოთ 8-ზე. ისევ მივიღებთ: .

რიცხვის ათწილადზე გაყოფა, აუცილებელი:
1) დივიდენდში და გამყოფში გადაიტანეთ მძიმით მარჯვნივ იმდენი ციფრით, რამდენიც არის გამყოფში ათობითი წერტილის შემდეგ;
2) ამის შემდეგ გავყოთ ნატურალურ რიცხვზე.

მაგალითი 1.გაყავით 12.096 2.24-ზე. გადაიტანეთ მძიმით დივიდენდში და გამყოფეთ 2 ციფრი მარჯვნივ. ვიღებთ ნომრებს 1209.6 და 224.

მას შემდეგ და .

მაგალითი 2.გაყავით 4.5 0.125-ზე. აქ თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით დივიდენდში და გამყოფოთ 3 ციფრი მარჯვნივ. ვინაიდან დივიდენდს აქვს მხოლოდ ერთი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, ჩვენ დავუმატებთ ორ ნულს მის მარჯვნივ. მძიმის გადატანის შემდეგ ვიღებთ 4500 და 125 რიცხვებს.

მას შემდეგ და .

1 და 2 მაგალითებიდან ირკვევა, რომ რიცხვის არასწორ წილადზე გაყოფისას ეს რიცხვი მცირდება ან არ იცვლება, მაგრამ სათანადო ათობითი წილადზე გაყოფისას იზრდება: , a .

გაყავით 2.467 0.01-ზე. დივიდენდში და გამყოფში მძიმის 2 ციფრით მარჯვნივ გადატანის შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ კოეფიციენტი უდრის 246,7: 1-ს, ანუ 246,7-ს. ეს ნიშნავს 2.467: 0.01 = 246.7. აქედან ვიღებთ წესს:

ათწილადის გაყოფა 0.1-ზე; 0,01; 0.001, თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით მასში მარჯვნივ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ნულები გამყოფში ერთის წინ (ანუ გავამრავლოთ ის 10, 100, 1000).

თუ არ არის საკმარისი რიცხვები, ჯერ უნდა დაამატოთ რამდენიმე ნული წილადის ბოლოს.

მაგალითად,.

1443. იპოვე კოეფიციენტი და შეამოწმე გამრავლებით:

ა) 0,8: 0,5; ბ) 3.51: 2.7; გ) 14.335: 0.61.

1444. იპოვე კოეფიციენტი და შეამოწმე გაყოფით:

ა) 0,096: 0,12; 6)0.126:0.9; გ) 42.105: 3.5.

1445. შეასრულეთ გაყოფა:

1446. ჩამოწერეთ გამოთქმები:

ა) a და 2,6-ის ჯამის გაყოფის კოეფიციენტი b-სა და 8,5-ის სხვაობაზე;
ბ) x-ისა და 3,7-ის და 3,1-ისა და y კოეფიციენტის ჯამი.

1447. წაიკითხეთ გამოთქმა:

ა) m: 12.8 - n: 4.9; ბ) (x + 0.7) : (y + 3.4); გ) (ა: ბ) (8: გ).

1448. ადამიანის ნაბიჯი არის 0,8 მ რამდენი ნაბიჯის გადადგმაა საჭირო 100 მ მანძილზე?

1449. ალიოშამ მატარებლით 162,5 კმ გაიარა 2,6 საათში რამდენად სწრაფად მიდიოდა მატარებელი?

1450. იპოვეთ 1 სმ 3 ყინულის მასა, თუ 3,5 სმ 3 ყინულის მასა არის 3,08 გ.

1451. თოკი ორ ნაწილად გაიჭრა. ერთი ნაწილის სიგრძე 3,25 მ, ხოლო მეორე ნაწილის სიგრძე პირველზე 1,3-ჯერ ნაკლებია. რა იყო თოკის სიგრძე?

1452. პირველ შეკვრაში იყო 6,72 კგ ფქვილი, რაც 2,4-ჯერ მეტია მეორე შეფუთვაზე. რამდენი კილოგრამი ფქვილია ორივე ტომარაში?

1453. ბორიამ გაკვეთილების მომზადებაზე 3,5-ჯერ ნაკლები დრო დახარჯა, ვიდრე სასეირნოდ. რამდენი დრო დასჭირდა ბორის გასეირნებას და საშინაო დავალების მომზადებას, თუ გასეირნებას 2,8 საათი დასჭირდა?