სამკუთხედების, კუთხეების და გვერდების სახეები. სამკუთხედის თვისებები

დღეს გეომეტრიის ქვეყანაში მივდივართ, სადაც გავეცნობით სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედებს.

განვიხილოთ გეომეტრიული ფორმები და იპოვეთ მათ შორის „დამატებითი“ (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია მაგალითად

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფიგურები No1, 2, 3, 5 ოთხკუთხედებია. თითოეულ მათგანს თავისი სახელი აქვს (სურ. 2).

ბრინჯი. 2. ოთხკუთხედები

ეს ნიშნავს, რომ „დამატებითი“ ფიგურა არის სამკუთხედი (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. ილუსტრაცია მაგალითად

სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე ხაზზე და სამი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.

პუნქტები ე.წ სამკუთხედის წვეროები, სეგმენტები - მისი პარტიები. სამკუთხედის გვერდები ყალიბდება სამკუთხედის წვეროებზე სამი კუთხეა.

სამკუთხედის ძირითადი მახასიათებლებია სამი მხარე და სამი კუთხე.კუთხის ზომის მიხედვით სამკუთხედებია მწვავე, მართკუთხა და ბლაგვი.

სამკუთხედს მახვილკუთხა ეწოდება, თუ მისი სამივე კუთხე მახვილია, ანუ 90°-ზე ნაკლები (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4. მახვილი სამკუთხედი

სამკუთხედს მართკუთხა ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხეა 90° (სურ. 5).

ბრინჯი. 5. მართკუთხა სამკუთხედი

სამკუთხედს ბლაგვი ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე არის ბლაგვი, ანუ 90°-ზე მეტი (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. ბლაგვი სამკუთხედი

ტოლი გვერდების რაოდენობის მიხედვით სამკუთხედები არის ტოლგვერდა, ტოლგვერდა, სკალენური.

ტოლფერდა სამკუთხედია, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია (სურ. 7).

ბრინჯი. 7. ტოლფერდა სამკუთხედი

ეს მხარეები ე.წ გვერდითიმესამე მხარე - საფუძველი. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

არის ტოლფერდა სამკუთხედები მწვავე და ბლაგვი(ნახ. 8) .

ბრინჯი. 8. მწვავე და ბლაგვი ტოლფერდა სამკუთხედები

ტოლგვერდა არის სამკუთხედი, რომელშიც სამივე გვერდი ტოლია (სურ. 9).

ბრინჯი. 9. ტოლგვერდა სამკუთხედი

ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა კუთხე თანაბარია. ტოლგვერდა სამკუთხედებიყოველთვის მწვავე-კუთხოვანი.

სკალენური სამკუთხედი არის ის, რომელშიც სამივე გვერდს აქვს სხვადასხვა სიგრძე (ნახ. 10).

ბრინჯი. 10. სკალენური სამკუთხედი

დაასრულეთ დავალება. გაანაწილეთ ეს სამკუთხედები სამ ჯგუფად (სურ. 11).

ბრინჯი. 11. დავალების ილუსტრაცია

ჯერ გავანაწილოთ კუთხეების ზომის მიხედვით.

მწვავე სამკუთხედები: No1, No3.

მართკუთხა სამკუთხედები: No2, No6.

ბლაგვი სამკუთხედები: No4, No5.

იგივე სამკუთხედები გავანაწილებთ ჯგუფებად თანაბარი გვერდების რაოდენობის მიხედვით.

სკალენური სამკუთხედები: No4, No6.

ტოლფერდა სამკუთხედები: No2, No3, No5.

ტოლგვერდა სამკუთხედი: No1.

შეხედეთ სურათებს.

დაფიქრდით, რა მავთულისგან იყო დამზადებული თითოეული სამკუთხედი (სურ. 12).

ბრინჯი. 12. დავალების ილუსტრაცია

შეგიძლია ასე იფიქრო.

მავთულის პირველი ნაჭერი დაყოფილია სამ თანაბარ ნაწილად, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ მისგან ტოლგვერდა სამკუთხედი. ის სურათზე მესამეა.

მავთულის მეორე ნაჭერი დაყოფილია სამ სხვადასხვა ნაწილად, ამიტომ მისი გამოყენება შესაძლებელია სკალენის სამკუთხედის შესაქმნელად. სურათზე პირველად არის ნაჩვენები.

მავთულის მესამე ნაჭერი დაყოფილია სამ ნაწილად, სადაც ორ ნაწილს აქვს იგივე სიგრძე, რაც ნიშნავს, რომ მისგან შეიძლება გაკეთდეს ტოლფერდა სამკუთხედი. სურათზე ის მეორეა ნაჩვენები.

დღეს კლასში გავიგეთ სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედების შესახებ.

ცნობები

1. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 1. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
2. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 2. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
3. მ.ი. მორო. მათემატიკის გაკვეთილები: მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები მასწავლებლებისთვის. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
4. მარეგულირებელი დოკუმენტი. სწავლის შედეგების მონიტორინგი და შეფასება. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
5. "რუსეთის სკოლა": პროგრამები დაწყებითი სკოლისთვის. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
6. ს.ი. ვოლკოვა. მათემატიკა: ტესტური სამუშაო. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
7. ვ.ნ. რუდნიცკაია. ტესტები. - მ.: „გამოცდა“, 2012 წ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

საშინაო დავალება

1. დაასრულეთ ფრაზები.

ა) სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება ... რომელიც არ დევს ერთსა და იმავე წრფეზე და ... რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.

ბ) პუნქტები ე.წ … , სეგმენტები - მისი … . სამკუთხედის გვერდები იქმნება სამკუთხედის წვეროებზე ….

გ) კუთხის ზომის მიხედვით სამკუთხედებია ... , ... , ... .

დ) ტოლი გვერდების რაოდენობის მიხედვით სამკუთხედებია ... , ... , ... .

2. დახატე

ა) მართკუთხა სამკუთხედი;

ბ) მახვილი სამკუთხედი;

გ) ბლაგვი სამკუთხედი;

დ) ტოლგვერდა სამკუთხედი;

ე) სკალენური სამკუთხედი;

ე) ტოლფერდა სამკუთხედი.

3. მეგობრებისთვის შექმენით დავალება გაკვეთილის თემაზე.

ყველაზე მარტივი მრავალკუთხედი, რომელსაც სკოლაში სწავლობენ, არის სამკუთხედი. ის უფრო გასაგებია სტუდენტებისთვის და ნაკლებ სირთულეებს აწყდება. მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ განსაკუთრებული თვისებები.

რა ფორმას ჰქვია სამკუთხედი?

ჩამოყალიბებულია სამი წერტილითა და სეგმენტებით. პირველებს უწოდებენ წვეროებს, მეორეებს - გვერდებს. უფრო მეტიც, სამივე სეგმენტი უნდა იყოს დაკავშირებული ისე, რომ მათ შორის კუთხეები ჩამოყალიბდეს. აქედან მოდის "სამკუთხედის" ფიგურის სახელი.

განსხვავებები სახელებში კუთხეებში

ვინაიდან ისინი შეიძლება იყოს მწვავე, ბლაგვი და სწორი, სამკუთხედების ტიპები განისაზღვრება ამ სახელებით. შესაბამისად, ასეთი ფიგურების სამი ჯგუფი არსებობს.

• პირველი. თუ სამკუთხედის ყველა კუთხე მახვილია, მაშინ მას მახვილი დაერქმევა. ყველაფერი ლოგიკურია.

• მეორე. ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედი ბლაგვია. უფრო მარტივი არ შეიძლებოდა.

• მესამე. არის 90 გრადუსის ტოლი კუთხე, რომელსაც მართი კუთხე ეწოდება. სამკუთხედი ხდება მართკუთხა.

განსხვავებები სახელებში გვერდებზე

გვერდების მახასიათებლებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ სამკუთხედების შემდეგ ტიპებს:

ზოგადი შემთხვევაა სკალენი, რომელშიც ყველა მხარე თვითნებური სიგრძისაა;

ტოლფერდა, რომელთა ორ გვერდს აქვს იგივე რიცხვითი მნიშვნელობები;

ტოლგვერდა, მისი ყველა მხარის სიგრძე ერთნაირია.

თუ პრობლემა არ აკონკრეტებს სამკუთხედის კონკრეტულ ტიპს, მაშინ თქვენ უნდა დახაზოთ თვითნებური. რომელშიც ყველა კუთხე მკვეთრია, ხოლო გვერდებს აქვთ სხვადასხვა სიგრძე.

ყველა სამკუთხედისთვის საერთო თვისებები

1. თუ სამკუთხედის ყველა კუთხეს შევკრებთ, მიიღებთ რიცხვს ტოლი 180º. და არ აქვს მნიშვნელობა რა ტიპისაა. ეს წესი ყოველთვის მოქმედებს.
2. სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის რიცხვითი მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე დანარჩენი ორი ერთად დამატებული. უფრო მეტიც, ეს უფრო მეტია, ვიდრე მათი განსხვავება.
3. თითოეულ გარე კუთხეს აქვს მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება ორი შიდა კუთხის დამატებით, რომლებიც არ არის მიმდებარე. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის უფრო დიდია, ვიდრე მის მიმდებარე შიდა.
4. ყველაზე პატარა კუთხე ყოველთვის სამკუთხედის პატარა მხარის საპირისპიროა. და პირიქით, თუ მხარე დიდია, მაშინ კუთხე ყველაზე დიდი იქნება.

ეს თვისებები ყოველთვის მოქმედებს, არ აქვს მნიშვნელობა რა ტიპის სამკუთხედები განიხილება ამოცანებში. ყველა დანარჩენი გამომდინარეობს კონკრეტული მახასიათებლებისგან.

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები

• ფუძის მიმდებარე კუთხეები ტოლია.
• სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან, არის ასევე შუამავალი და ბისექტორი.
• სიმაღლეები, მედიანები და ბისექტრები, რომლებიც აგებულია სამკუთხედის გვერდით გვერდებზე, შესაბამისად ერთმანეთის ტოლია.

ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები

თუ არსებობს ასეთი ფიგურა, მაშინ ჭეშმარიტი იქნება ზემოთ აღწერილი ყველა თვისება. რადგან ტოლგვერდა ყოველთვის ტოლგვერდა იქნება. მაგრამ არა პირიქით, ტოლგვერდა სამკუთხედი სულაც არ იქნება ტოლგვერდა.

• მისი ყველა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და აქვს 60º მნიშვნელობა.
• ტოლგვერდა სამკუთხედის ნებისმიერი მედიანა არის მისი სიმაღლე და ბისექტორი. უფრო მეტიც, ისინი ყველა ერთმანეთის ტოლია. მათი მნიშვნელობების დასადგენად, არსებობს ფორმულა, რომელიც შედგება გვერდის ნამრავლისა და 3-ის კვადრატული ფესვისგან გაყოფილი 2-ზე.

მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები

• ორი მწვავე კუთხე ემატება 90º-ს.
• ჰიპოტენუზის სიგრძე ყოველთვის აღემატება რომელიმე ფეხის სიგრძეს.
• ჰიპოტენუზასთან დახატული მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის მის ნახევარს.
• ფეხი იგივე მნიშვნელობის ტოლია, თუ ის მდებარეობს 30º კუთხის საპირისპიროდ.
• სიმაღლეს, რომელიც გამოყვანილია წვეროდან 90º მნიშვნელობით, აქვს გარკვეული მათემატიკური დამოკიდებულება ფეხებზე: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. აქ: a, b - ფეხები, n - სიმაღლე.

პრობლემები სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედებთან

No1. მოცემულია ტოლფერდა სამკუთხედი. მისი პერიმეტრი ცნობილია და უდრის 90 სმ. უნდა გავარკვიოთ მისი მხარეები. როგორც დამატებითი პირობა: გვერდითი მხარე 1,2-ჯერ პატარაა ძირზე.

პერიმეტრის მნიშვნელობა პირდაპირ დამოკიდებულია რაოდენობებზე, რომლებიც უნდა მოიძებნოს. სამივე მხარის ჯამი მოგცემთ 90 სმ-ს ახლა თქვენ უნდა გახსოვდეთ სამკუთხედის ნიშანი, რომლის მიხედვითაც ის არის ტოლფერდა. ანუ ორი მხარე თანაბარია. თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ განტოლება ორი უცნობით: 2a + b = 90. აქ a არის მხარე, b არის ფუძე.

ახლა დამატებითი პირობის დროა. ამის შემდეგ მიიღება მეორე განტოლება: b = 1.2a. თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ეს გამოთქმა პირველში. გამოდის: 2a + 1.2a = 90. გარდაქმნების შემდეგ: 3.2a = 90. აქედან a = 28.125 (სმ). ახლა ადვილია საფუძვლის გარკვევა. ეს საუკეთესოდ გაკეთებულია მეორე პირობიდან: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (სმ).

შესამოწმებლად, შეგიძლიათ დაამატოთ სამი მნიშვნელობა: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (სმ). ასეა.

პასუხი: სამკუთხედის გვერდებია 28,125 სმ, 28,125 სმ, 33,75 სმ.

No2. ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი არის 12 სმ. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი სიმაღლე.

გამოსავალი. პასუხის საპოვნელად საკმარისია დავუბრუნდეთ იმ მომენტს, სადაც აღწერილი იყო სამკუთხედის თვისებები. ეს არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლის, მედიანისა და ბისექტრის პოვნის ფორმულა.

n = a * √3 / 2, სადაც n არის სიმაღლე და a არის მხარე.

ჩანაცვლება და გამოთვლა იძლევა შემდეგ შედეგს: n = 6 √3 (სმ).

არ არის საჭირო ამ ფორმულის დამახსოვრება. საკმარისია გვახსოვდეს, რომ სიმაღლე სამკუთხედს ორ მართკუთხედად ყოფს. უფრო მეტიც, ეს არის ფეხი და მასში ჰიპოტენუზა არის ორიგინალის მხარე, მეორე ფეხი არის ცნობილი მხარის ნახევარი. ახლა თქვენ უნდა ჩაწეროთ პითაგორას თეორემა და გამოიღოთ სიმაღლის ფორმულა.

პასუხი: სიმაღლეა 6√3 სმ.

No3. მოცემული MKR არის სამკუთხედი, რომელშიც K კუთხე არის 90 გრადუსი, ცნობილია გვერდები MR და KR, ისინი უდრის შესაბამისად 30 და 15 სმ.

გამოსავალი. თუ ნახატს გააკეთებთ, ცხადი ხდება, რომ MR არის ჰიპოტენუზა. უფრო მეტიც, ის ორჯერ დიდია, ვიდრე KR-ის მხარე. თქვენ კვლავ უნდა მიმართოთ თვისებებს. ერთი მათგანი ეხება კუთხეებს. აქედან ირკვევა, რომ KMR კუთხე არის 30º. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი კუთხე P იქნება 60º-ის ტოლი. ეს გამომდინარეობს სხვა თვისებიდან, სადაც ნათქვამია, რომ ორი მახვილი კუთხის ჯამი უნდა იყოს 90º.

პასუხი: კუთხე P არის 60º.

No4. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე. ცნობილია, რომ გარე კუთხე ძირის კუთხიდან არის 110º.

გამოსავალი. ვინაიდან მხოლოდ გარე კუთხეა მოცემული, ეს არის ის, რაც უნდა გამოიყენოთ. იგი ქმნის გაშლილ კუთხეს შიდა კუთხესთან. ეს ნიშნავს, რომ მთლიანობაში ისინი 180º-ს მისცემენ. ანუ სამკუთხედის ფუძის კუთხე ტოლი იქნება 70º. ვინაიდან ის ტოლფერდაა, მეორე კუთხეს იგივე მნიშვნელობა აქვს. რჩება მესამე კუთხის გამოთვლა. ყველა სამკუთხედისთვის საერთო თვისების მიხედვით, კუთხეების ჯამი არის 180º. ეს ნიშნავს, რომ მესამე განისაზღვრება, როგორც 180º - 70º - 70º = 40º.

პასუხი: კუთხეებია 70º, 70º, 40º.

No5. ცნობილია, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის მოპირდაპირე კუთხე არის 90º. ბაზაზე არის მონიშნული წერტილი. მართკუთხა კუთხესთან დამაკავშირებელი სეგმენტი მას ყოფს 1-დან 4-ის თანაფარდობით. თქვენ უნდა გაარკვიოთ პატარა სამკუთხედის ყველა კუთხე.

გამოსავალი. ერთ-ერთი კუთხე შეიძლება განისაზღვროს დაუყოვნებლივ. ვინაიდან სამკუთხედი მართკუთხა და ტოლკუთხედია, მის ფუძესთან განლაგებული იქნება თითოეული 45º, ანუ 90º/2.

მეორე მათგანი დაგეხმარებათ იპოვოთ მდგომარეობა, რომელიც ცნობილია. ვინაიდან ის უდრის 1-დან 4-ს, მაშინ ნაწილები, რომლებზეც ის იყოფა არის მხოლოდ 5. ეს ნიშნავს, რომ სამკუთხედის უფრო მცირე კუთხის გასარკვევად საჭიროა 90º/5 = 18º. რჩება მესამეს გარკვევა. ამისათვის თქვენ უნდა გამოაკლოთ 45º და 18º 180º-ს (სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი). გამოთვლები მარტივია და თქვენ მიიღებთ: 117º.

დღეს გეომეტრიის ქვეყანაში მივდივართ, სადაც გავეცნობით სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედებს.

განვიხილოთ გეომეტრიული ფორმები და იპოვეთ მათ შორის „დამატებითი“ (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია მაგალითად

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფიგურები No1, 2, 3, 5 ოთხკუთხედებია. თითოეულ მათგანს თავისი სახელი აქვს (სურ. 2).

ბრინჯი. 2. ოთხკუთხედები

ეს ნიშნავს, რომ „დამატებითი“ ფიგურა არის სამკუთხედი (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. ილუსტრაცია მაგალითად

სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე ხაზზე და სამი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.

პუნქტები ე.წ სამკუთხედის წვეროები, სეგმენტები - მისი პარტიები. სამკუთხედის გვერდები ყალიბდება სამკუთხედის წვეროებზე სამი კუთხეა.

სამკუთხედის ძირითადი მახასიათებლებია სამი მხარე და სამი კუთხე.კუთხის ზომის მიხედვით სამკუთხედებია მწვავე, მართკუთხა და ბლაგვი.

სამკუთხედს მახვილკუთხა ეწოდება, თუ მისი სამივე კუთხე მახვილია, ანუ 90°-ზე ნაკლები (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4. მახვილი სამკუთხედი

სამკუთხედს მართკუთხა ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხეა 90° (სურ. 5).

ბრინჯი. 5. მართკუთხა სამკუთხედი

სამკუთხედს ბლაგვი ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე არის ბლაგვი, ანუ 90°-ზე მეტი (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. ბლაგვი სამკუთხედი

ტოლი გვერდების რაოდენობის მიხედვით სამკუთხედები არის ტოლგვერდა, ტოლგვერდა, სკალენური.

ტოლფერდა სამკუთხედია, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია (სურ. 7).

ბრინჯი. 7. ტოლფერდა სამკუთხედი

ეს მხარეები ე.წ გვერდითიმესამე მხარე - საფუძველი. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

არის ტოლფერდა სამკუთხედები მწვავე და ბლაგვი(ნახ. 8) .

ბრინჯი. 8. მწვავე და ბლაგვი ტოლფერდა სამკუთხედები

ტოლგვერდა არის სამკუთხედი, რომელშიც სამივე გვერდი ტოლია (სურ. 9).

ბრინჯი. 9. ტოლგვერდა სამკუთხედი

ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა კუთხე თანაბარია. ტოლგვერდა სამკუთხედებიყოველთვის მწვავე-კუთხოვანი.

სკალენური სამკუთხედი არის ის, რომელშიც სამივე გვერდს აქვს სხვადასხვა სიგრძე (ნახ. 10).

ბრინჯი. 10. სკალენური სამკუთხედი

დაასრულეთ დავალება. გაანაწილეთ ეს სამკუთხედები სამ ჯგუფად (სურ. 11).

ბრინჯი. 11. დავალების ილუსტრაცია

ჯერ გავანაწილოთ კუთხეების ზომის მიხედვით.

მწვავე სამკუთხედები: No1, No3.

მართკუთხა სამკუთხედები: No2, No6.

ბლაგვი სამკუთხედები: No4, No5.

იგივე სამკუთხედები გავანაწილებთ ჯგუფებად თანაბარი გვერდების რაოდენობის მიხედვით.

სკალენური სამკუთხედები: No4, No6.

ტოლფერდა სამკუთხედები: No2, No3, No5.

ტოლგვერდა სამკუთხედი: No1.

შეხედეთ სურათებს.

დაფიქრდით, რა მავთულისგან იყო დამზადებული თითოეული სამკუთხედი (სურ. 12).

ბრინჯი. 12. დავალების ილუსტრაცია

შეგიძლია ასე იფიქრო.

მავთულის პირველი ნაჭერი დაყოფილია სამ თანაბარ ნაწილად, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ მისგან ტოლგვერდა სამკუთხედი. ის სურათზე მესამეა.

მავთულის მეორე ნაჭერი დაყოფილია სამ სხვადასხვა ნაწილად, ამიტომ მისი გამოყენება შესაძლებელია სკალენის სამკუთხედის შესაქმნელად. სურათზე პირველად არის ნაჩვენები.

მავთულის მესამე ნაჭერი დაყოფილია სამ ნაწილად, სადაც ორ ნაწილს აქვს იგივე სიგრძე, რაც ნიშნავს, რომ მისგან შეიძლება გაკეთდეს ტოლფერდა სამკუთხედი. სურათზე ის მეორეა ნაჩვენები.

დღეს კლასში გავიგეთ სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედების შესახებ.

ცნობები

1. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 1. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
2. მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა და სხვები: მათემატიკა. მე-3 კლასი: 2 ნაწილად, ნაწილი 2. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2012 წ.
3. მ.ი. მორო. მათემატიკის გაკვეთილები: მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები მასწავლებლებისთვის. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
4. მარეგულირებელი დოკუმენტი. სწავლის შედეგების მონიტორინგი და შეფასება. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
5. "რუსეთის სკოლა": პროგრამები დაწყებითი სკოლისთვის. - მ.: „განმანათლებლობა“, 2011 წ.
6. ს.ი. ვოლკოვა. მათემატიკა: ტესტური სამუშაო. მე-3 კლასი. - მ.: განათლება, 2012 წ.
7. ვ.ნ. რუდნიცკაია. ტესტები. - მ.: „გამოცდა“, 2012 წ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

საშინაო დავალება

1. დაასრულეთ ფრაზები.

ა) სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება ... რომელიც არ დევს ერთსა და იმავე წრფეზე და ... რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.

ბ) პუნქტები ე.წ … , სეგმენტები - მისი … . სამკუთხედის გვერდები იქმნება სამკუთხედის წვეროებზე ….

გ) კუთხის ზომის მიხედვით სამკუთხედებია ... , ... , ... .

დ) ტოლი გვერდების რაოდენობის მიხედვით სამკუთხედებია ... , ... , ... .

2. დახატე

ა) მართკუთხა სამკუთხედი;

ბ) მახვილი სამკუთხედი;

გ) ბლაგვი სამკუთხედი;

დ) ტოლგვერდა სამკუთხედი;

ე) სკალენური სამკუთხედი;

ე) ტოლფერდა სამკუთხედი.

3. მეგობრებისთვის შექმენით დავალება გაკვეთილის თემაზე.

სტანდარტული აღნიშვნები

სამკუთხედი წვეროებით ა, ბდა Cმითითებულია როგორც (იხ. სურათი). სამკუთხედს სამი გვერდი აქვს:

სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით (a, b, c):

სამკუთხედს აქვს შემდეგი კუთხეები:

კუთხის მნიშვნელობები შესაბამის წვეროებზე ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასოებით (α, β, γ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

ევკლიდეს სიბრტყეზე სამკუთხედი შეიძლება ცალსახად განისაზღვროს (შემთხვევამდე) ძირითადი ელემენტების შემდეგი სამეულით:

1. a, b, γ (ტოლობა ორ მხარეს და მათ შორის მდებარე კუთხე);
2. a, β, γ (ტოლობა გვერდზე და ორ მიმდებარე კუთხეზე);
3. a, b, c (ტოლობა სამ მხარეს).

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

1. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ;
2. ორ ფეხზე;
3. ფეხისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ;
4. ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ.

სამკუთხედის ზოგიერთი წერტილი "დაწყვილებულია". მაგალითად, არის ორი წერტილი, საიდანაც ყველა მხარე ჩანს ან 60° ან 120° კუთხით. მათ ეძახიან ტორიჩელის წერტილები. ასევე არის ორი წერტილი, რომელთა პროექცია გვერდებზე დევს რეგულარული სამკუთხედის წვეროებზე. ეს - აპოლონიუსი მიუთითებს. ქულებს და ასეთებს ეძახიან ბროკარდის ქულები.

პირდაპირი

ნებისმიერ სამკუთხედში, სიმძიმის ცენტრი, ორთოცენტრი და წრეწირის ცენტრი დევს იმავე სწორ ხაზზე, ე.წ. ეილერის ხაზი.

სწორი ხაზი, რომელიც გადის წრეწირის ცენტრსა და ლემუნის წერტილს, ეწოდება ბროკარდის ღერძი. მასზე დევს აპოლონიუსის წერტილები. Torricelli წერტილი და Lemoine წერტილი ასევე დევს იმავე ხაზზე. სამკუთხედის კუთხეების გარე ბისექტორების ფუძეები დევს იმავე სწორ ხაზზე, ე.წ. გარე ბისექტორების ღერძი. იმავე წრფეზე დევს ორთოკუთხედის გვერდების შემცველი ხაზების გადაკვეთის წერტილები სამკუთხედის გვერდების შემცველ ხაზებთან. ამ ხაზს ე.წ ორთოცენტრული ღერძი, ის პერპენდიკულარულია ეილერის სწორი ხაზის მიმართ.

თუ სამკუთხედის წრეწირზე ავიღებთ წერტილს, მაშინ მისი გამოსახულებები სამკუთხედის გვერდებზე იქნება იმავე სწორ ხაზზე, ე.წ. სიმსონი პირდაპირააეს წერტილი. სიმსონის დიამეტრულად საპირისპირო წერტილების ხაზები პერპენდიკულურია.

სამკუთხედები

• სამკუთხედს, რომელსაც აქვს წვეროები მოცემულ წერტილში, გამოყვანილია მოცემულ წერტილში ცევიანის სამკუთხედიეს წერტილი.
• გვერდებზე მოცემული წერტილის პროგნოზებში წვეროებით სამკუთხედი ეწოდება სოდან პედლებიანი სამკუთხედიეს წერტილი.
• სამკუთხედს წვეროებით წვეროებზე გავლებული წრფეების გადაკვეთის მეორე წერტილებში და მოცემულ წერტილს შემოხაზული წრით ეწოდება. წრეწირის სამკუთხედი. გარშემოწერილი სამკუთხედი სოდიანი სამკუთხედის მსგავსია.

წრეები

• ჩაწერილი წრე- წრე, რომელიც ეხება სამკუთხედის სამივე მხარეს. ის ერთადერთია. ჩაწერილი წრის ცენტრს ე.წ ცენტრი.
• წრეწირი- წრე, რომელიც გადის სამკუთხედის სამივე წვეროზე. შემოხაზული წრე ასევე უნიკალურია.
• შემოხაზეთ- წრე, რომელიც ეხება სამკუთხედის ერთ მხარეს და დანარჩენი ორი მხარის გაგრძელებას. სამკუთხედში სამი ასეთი წრეა. მათი რადიკალური ცენტრი არის მედიალური სამკუთხედის ჩაწერილი წრის ცენტრი, ე.წ სპაიკერის აზრი.

სამკუთხედის სამი გვერდის შუა წერტილები, მისი სამი სიმაღლის ფუძეები და სამი სეგმენტის შუა წერტილები, რომლებიც აკავშირებენ მის წვეროებს ორთოცენტრთან, დევს ერთ წრეზე ე.წ. ცხრა წერტილიანი წრეან ეილერის წრე. ცხრა წერტილიანი წრის ცენტრი დევს ეილერის ხაზზე. ცხრა წერტილიანი წრე ეხება ჩაწერილ წრეს და სამ წრეს. შემოხაზულ წრესა და ცხრა წერტილის წრეს შორის მიმავალი წერტილი ეწოდება ფოიერბახის წერტილი. თუ თითოეული წვეროდან სამკუთხედის გარეთ დავდებთ სწორ ხაზებს, რომლებიც შეიცავს გვერდებს, ორთოზებს სიგრძით მოპირდაპირე გვერდებზე, მაშინ მიღებული ექვსი წერტილი დევს იმავე წრეზე - კონვეის წრე. სამი წრე შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერ სამკუთხედში ისე, რომ თითოეული მათგანი შეეხოს სამკუთხედის ორ მხარეს და ორ სხვა წრეს. ასეთ წრეებს ე.წ მალფატის წრეები. ექვსი სამკუთხედის შემოხაზული წრეების ცენტრები, რომლებშიც სამკუთხედი იყოფა მედიანებით, დევს ერთ წრეზე, რომელსაც ე.წ. ლამუნის გარშემოწერილობა.

სამკუთხედს აქვს სამი წრე, რომლებიც ეხება სამკუთხედის ორ მხარეს და წრეწირს. ასეთ წრეებს ე.წ ნახევრად წარწერიანიან ვერიერის წრეები. ვერიერის წრეების მიზიდულობის წერტილებს წრეწირთან დამაკავშირებელი სეგმენტები იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. ვერიერის აზრი. იგი ემსახურება როგორც ჰომოთეტის ცენტრს, რომელიც გარდაქმნის წრეწირს ჩაწერილ წრედ. ვერიერის წრეების გვერდებთან შეხების წერტილები დევს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ჩაწერილი წრის ცენტრში.

შემოხაზული წრის მიტანის წერტილებს წვეროებთან დამაკავშირებელი სეგმენტები იკვეთება ერთ წერტილში ე.წ. გერგონის წერტილი, და წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები წრეწირების მიზიდულობის წერტილებთან არის ნაგელის წერტილი.

ელიფსები, პარაბოლები და ჰიპერბოლები

წარწერიანი კონუსი (ელიფსი) და მისი პერსპექტი

უსასრულო რაოდენობის კონუსები (ელიფსები, პარაბოლები ან ჰიპერბოლები) შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში. თუ სამკუთხედში ჩავწერთ თვითნებურ კონუსს და დავუკავშირებთ ტანგენს წერტილებს საპირისპირო წვეროებით, მაშინ მიღებული სწორი ხაზები გადაიკვეთება ერთ წერტილში ე.წ. პერსპექტივაბუჩქები. სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს გვერდზე ან მის გაგრძელებაზე, ამ წერტილში არის ჩაწერილი კონუსი პერსპექტივით.

აღწერილი შტაინერის ელიფსი და მის კერებში გამავალი ცევიანები

თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ელიფსი სამკუთხედად, რომელიც ეხება გვერდებს შუაში. ასეთ ელიფსს ე.წ წარწერიანი შტაინერის ელიფსი(მისი პერსპექტივა იქნება სამკუთხედის ცენტრი). შემოხაზული ელიფსი, რომელიც ეხება გვერდების პარალელურად წვეროებზე გამავალ ხაზებს, ე.წ. აღწერილია შტაინერის ელიფსის მიერ. თუ სამკუთხედს ვაქცევთ რეგულარულ სამკუთხედად აფინური ტრანსფორმაციის („დახრილობის“) გამოყენებით, მაშინ მისი შემოხაზული და შემოხაზული შტაინერის ელიფსი გარდაიქმნება ჩაწერილ და შემოხაზულ წრედ. აღწერილი შტაინერის ელიფსის (სკუტინის წერტილები) ფოკუსებში გამოყვანილი ჩევიანური ხაზები ტოლია (სკუტინის თეორემა). ყველა აღწერილი ელიფსიდან, აღწერილ შტაინერის ელიფსს აქვს ყველაზე მცირე ფართობი, ხოლო ყველა წარწერიანი ელიფსიდან ყველაზე დიდი ფართობი აქვს წარწერილ შტაინერის ელიფსს.

ბროკარდის ელიფსი და მისი პერსპექტივა - Lemoine point

ელიფსს ბროკარდის წერტილებში კერებით ეწოდება ბროკარდის ელიფსი. მისი პერსპექტივა არის Lemoine წერტილი.

ჩაწერილი პარაბოლის თვისებები

კიპერტის პარაბოლა

ჩაწერილი პარაბოლების პერსპექტივები დევს აღწერილ შტაინერის ელიფსზე. ჩაწერილი პარაბოლის ფოკუსი დევს წრეწირზე, ხოლო მიმართულება გადის ორთოცენტრში. პარაბოლას, რომელიც ჩაწერილია სამკუთხედში და რომელსაც აქვს ეილერის მიმართულება, როგორც მისი მიმართულება, ეწოდება კიპერტის პარაბოლა. მისი პერსპექტორი არის შემოხაზული წრისა და შემოხაზული შტაინერის ელიფსის გადაკვეთის მეოთხე წერტილი, ე.წ. შტაინერის წერტილი.

კიპერტის ჰიპერბოლა

თუ აღწერილი ჰიპერბოლა გადის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილში, მაშინ ის ტოლგვერდაა (ანუ მისი ასიმპტოტები პერპენდიკულარულია). ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტების გადაკვეთის წერტილი ცხრა წერტილის წრეზეა.

ტრანსფორმაციები

თუ წვეროებზე გამავალი ხაზები და გვერდებზე არ დევს რომელიმე წერტილი და მათი გაფართოებები აისახება შესაბამის ბისექტორებთან მიმართებაში, მაშინ მათი გამოსახულებებიც გადაიკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ე.წ. იზოგონურად კონიუგირებულითავდაპირველი (თუ წერტილი დევს შემოხაზულ წრეზე, მაშინ მიღებული სწორი ხაზები იქნება პარალელური). ღირსშესანიშნავი წერტილების მრავალი წყვილი იზოგონურად არის შერწყმული: წრე და ორთოცენტრი, ცენტრი და ლემუნის წერტილი, ბროკარდის წერტილები. აპოლონიუსის წერტილები იზოგონალურად შერწყმულია ტორიჩელის წერტილებთან, ხოლო ჩაწერილი წრის ცენტრი იზოგონალურად არის კონიუგირებული თავისთან. იზოგონალური კონიუგაციის მოქმედებით, სწორი ხაზები გარდაიქმნება შემოხაზულ კონუსებად, ხოლო შემოხაზული კონიუგები სწორ ხაზებად. ამრიგად, კიპერტის ჰიპერბოლა და ბროკარდის ღერძი, ჯენზაბეკის ჰიპერბოლა და ეილერის სწორი ხაზი, ფეიერბახის ჰიპერბოლა და შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრების ხაზი იზოგონალურად არის კონიუგატები. იზოგონურად შერწყმული წერტილების სამკუთხედების წრეები ემთხვევა. ჩაწერილი ელიფსების კერები იზოგონალურად შერწყმულია.

თუ სიმეტრიული ცევიანის ნაცვლად ავიღებთ ცევიანს, რომლის ფუძე ისეა დაშორებული გვერდის შუადან, როგორც თავდაპირველის ფუძე, მაშინ ასეთი ცევიანებიც ერთ წერტილში იკვეთება. შედეგად მიღებული ტრანსფორმაცია ე.წ იზოტომური კონიუგაცია. ის ასევე გარდაქმნის სწორ ხაზებს აღწერილ კონუსებად. გერგონისა და ნაგელის წერტილები იზოტომიური კონიუგირებულია. აფინური გარდაქმნების დროს იზოტომურად შერწყმული წერტილები გარდაიქმნება იზოტომურად კონიუგატებულ წერტილებად. იზოტომური კონიუგაციით, აღწერილი შტაინერის ელიფსი გადავა უსასრულოდ შორეულ სწორ ხაზზე.

თუ შემოხაზული წრიდან სამკუთხედის გვერდებით მოწყვეტილ მონაკვეთებში ჩავწერთ წრეებს, რომლებიც ეხება გვერდებს ცევიანების ფუძეებზე, რომლებიც გამოყვანილია გარკვეული წერტილით, შემდეგ კი ამ წრეების მიზიდულობის წერტილებს ვუკავშირებთ შემოხაზულ წრეს. საპირისპირო წვეროები, მაშინ ასეთი სწორი ხაზები გადაიკვეთება ერთ წერტილში. თვითმფრინავის ტრანსფორმაცია, რომელიც ემთხვევა თავდაპირველ წერტილს მიღებულ წერტილს, ეწოდება ისოცირული ტრანსფორმაცია. იზოგონალური და იზოტომური კონიუგატების შემადგენლობა არის იზოცირული ტრანსფორმაციის შემადგენლობა საკუთარ თავთან. ეს კომპოზიცია არის პროექციული ტრანსფორმაცია, რომელიც ტოვებს სამკუთხედის გვერდებს თავის ადგილზე და გარე ბისექტორების ღერძს უსასრულობაში სწორ ხაზად გარდაქმნის.

თუ ჩვენ გავაგრძელებთ ჩევიანის სამკუთხედის გვერდებს გარკვეული წერტილის და ავიღებთ მათ გადაკვეთის წერტილებს შესაბამის გვერდებთან, მაშინ მიღებული გადაკვეთის წერტილები განლაგდება ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. სამხაზოვანი პოლარულიამოსავალი წერტილი. ორთოცენტრული ღერძი არის ორთოცენტრის სამწრფივი პოლარი; ჩაწერილი წრის ცენტრის სამწრფივი პოლარი არის გარე ბისექტორების ღერძი. შემოხაზულ კონუსზე მდებარე წერტილების სამწრფივი პოლარული იკვეთება ერთ წერტილში (მოხაზული წრისთვის ეს არის ლემოინის წერტილი, შემოხაზული შტაინერის ელიფსისთვის ეს არის ცენტრი). იზოგონური (ან იზოტომური) კონიუგაციისა და ტრიწრფივი პოლარულის შემადგენლობა არის ორმაგი ტრანსფორმაცია (თუ წერტილი იზოგონურად (იზოტომურად) კონიუგირებულია წერტილის სამწრფიო პოლარზე, მაშინ წერტილის სამწრფივი პოლარი იზოგონურად (იზოტომურად) წერტილის კონიუგატი, რომელიც მდებარეობს წერტილის სამხაზოვან პოლარზე).

კუბურები

თანაფარდობა სამკუთხედში

შენიშვნა:ამ მონაკვეთში, , არის სამკუთხედის სამი გვერდის სიგრძე და , , არის კუთხეები, რომლებიც დევს შესაბამისად ამ სამი გვერდის მოპირდაპირედ (საპირისპირო კუთხეები).

სამკუთხედის უტოლობა

არადეგენერატულ სამკუთხედში მისი ორი გვერდის სიგრძის ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე, გადაგვარებულ სამკუთხედში ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სამკუთხედის გვერდების სიგრძე დაკავშირებულია შემდეგი უტოლობებით:

სამკუთხედის უტოლობა მეტრიკის ერთ-ერთი აქსიომაა.

სამკუთხედის კუთხის ჯამის თეორემა

სინუსების თეორემა

,

სადაც R არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ა< b < c, то α < β < γ.

კოსინუსების თეორემა

ტანგენტის თეორემა

სხვა კოეფიციენტები

სამკუთხედში მეტრიკული თანაფარდობები მოცემულია:

სამკუთხედების ამოხსნა

სამკუთხედის უცნობი გვერდებისა და კუთხეების გამოთვლა ცნობილებზე დაყრდნობით ისტორიულად "სამკუთხედების ამოხსნას" უწოდებდნენ. გამოყენებულია ზემოთ მოყვანილი ზოგადი ტრიგონომეტრიული თეორემები.

სამკუთხედის ფართობი

სპეციალური შემთხვევების აღნიშვნა

ფართობისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ვექტორების გამოყენებით სივრცეში სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა

სამკუთხედის წვეროები იყოს წერტილებზე , , .

შემოვიღოთ ფართობის ვექტორი. ამ ვექტორის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ფართობს და ის მიმართულია ნორმალურად სამკუთხედის სიბრტყეზე:

დავაყენოთ , სადაც , , არის სამკუთხედის პროგნოზები კოორდინატულ სიბრტყეებზე. ამავე დროს

და ანალოგიურად

სამკუთხედის ფართობი არის.

ალტერნატივა არის გვერდების სიგრძის გამოთვლა (პითაგორას თეორემის გამოყენებით) და შემდეგ ჰერონის ფორმულის გამოყენებით.

სამკუთხედის თეორემები

დეზარგის თეორემა: თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიულია (სამკუთხედების შესაბამის წვეროებზე გამავალი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება), მაშინ მათი შესაბამისი გვერდები იკვეთება იმავე წრფეზე.

სონდას თეორემა: თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიული და ორთოლოგია (ერთი სამკუთხედის წვეროებიდან გამოყვანილი პერპენდიკულური სამკუთხედის შესაბამისი წვეროების მოპირდაპირე გვერდებზე და პირიქით), მაშინ ორთოლოგიის ორივე ცენტრი (ამ პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილები) და ცენტრი. პერსპექტივა დევს იმავე სწორ ხაზზე, პერპენდიკულარულად პერსპექტივის ღერძზე (სწორი ხაზი დეზარგის თეორემიდან).