ინვერსიული მატრიცის პოვნა იდენტურობის მატრიცის მეშვეობით. უმაღლესი მათემატიკა

ინვერსიის მსგავსია ბევრ თვისებაში.

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 5

✪ როგორ მოვძებნოთ მატრიცის ინვერსია - bezbotvy

✪ ინვერსიული მატრიცა (2 გზა პოვნა)

✪ ინვერსიული მატრიცა #1

✪ 2015-01-28. ინვერსიული 3x3 მატრიცა

✪ 2015-01-27. ინვერსიული მატრიცა 2x2

სუბტიტრები

შებრუნებული მატრიცის თვისებები

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), სად det (\displaystyle \\det)აღნიშნავს განმსაზღვრელს.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))ორი კვადრატული ინვერსიული მატრიცისთვის A (\displaystyle A)და B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), სად (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))ნიშნავს ტრანსპოზიციურ მატრიცას.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))ნებისმიერი კოეფიციენტისთვის k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• თუ საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა, (b არის არანულოვანი ვექტორი) სადაც x (\displaystyle x)არის სასურველი ვექტორი და თუ A − 1 (\displaystyle A^(-1))არსებობს, მაშინ x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ან ამოხსნის სივრცის განზომილება არის ნულზე მეტი, ან საერთოდ არ არის ამონახსნები.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის მეთოდები

თუ მატრიცა შექცევადია, მაშინ შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთ-ერთი შემდეგი მეთოდი:

ზუსტი (პირდაპირი) მეთოდები

გაუს-იორდანიის მეთოდი

ავიღოთ ორი მატრიცა: ადა მარტოხელა ე. წარმოვადგინოთ მატრიცა აიდენტურობის მატრიცას გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებით, მწკრივების გასწვრივ გარდაქმნების გამოყენებით (შეგიძლიათ ასევე გამოიყენოთ გარდაქმნები სვეტების გასწვრივ, მაგრამ არა შერეული). ყოველი ოპერაციის პირველ მატრიცაზე გამოყენების შემდეგ, იგივე ოპერაცია მეორეზე. როდესაც პირველი მატრიცის შემცირება ერთეულ ფორმამდე დასრულდება, მეორე მატრიცა ტოლი იქნება A−1.

გაუსის მეთოდის გამოყენებისას პირველი მატრიცა მარცხნივ გამრავლდება ერთ-ერთ ელემენტარულ მატრიცზე. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(ტრანსვექცია ან დიაგონალური მატრიცა მთავარ დიაგონალზე, გარდა ერთი პოზიციისა):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \მარჯვენა ისარი \ლამბდა =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\წერტილები &&&\\0&\წერტილები &1&-a_(მ-1მ)/a_(მმ)&0&\წერტილები &0\\0&\წერტილები &0&1/a_(მმ)&0&\წერტილები &0\\0&\წერტილები &0&-a_( მ+1მ)/a_(მმ)&1&\წერტილები &0\\&&&\წერტილები &&&\\0&\წერტილები &0&-a_(ნმ)/a_(მმ)&0&\წერტილები &1\ბოლო(ბმატრიცა))).

მეორე მატრიცა ყველა ოპერაციის გამოყენების შემდეგ იქნება ტოლი Λ (\displaystyle \Lambda), ანუ ის იქნება სასურველი. ალგორითმის სირთულე - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

ალგებრული კომპლემენტის მატრიცის გამოყენება

მატრიცა მატრიცის შებრუნებული A (\displaystyle A), შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

სად adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- მიმდებარე მატრიცა;

ალგორითმის სირთულე დამოკიდებულია O det განმსაზღვრელი გამოთვლის ალგორითმის სირთულეზე და უდრის O(n²)·O det.

LU/LUP დაშლის გამოყენება

მატრიცული განტოლება A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))შებრუნებული მატრიცისთვის X (\displaystyle X)შეიძლება ჩაითვალოს კოლექციად n (\displaystyle n)ფორმის სისტემები A x = b (\displaystyle Ax=b). აღვნიშნოთ მე (\displaystyle i)მატრიცის ე სვეტი X (\displaystyle X)მეშვეობით X i (\displaystyle X_(i)); მერე A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), იმიტომ რომ მე (\displaystyle i)მატრიცის ე სვეტი I n (\displaystyle I_(n))არის ერთეული ვექტორი e i (\displaystyle e_(i)). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შებრუნებული მატრიცის პოვნა n განტოლების ამოხსნაზე მოდის ერთი და იგივე მატრიცით და სხვადასხვა მარჯვენა მხარით. LUP დაშლის (O(n³) დრო) შესრულების შემდეგ, თითოეული n განტოლების ამოხსნას სჭირდება O(n²) დრო, ამიტომ სამუშაოს ეს ნაწილი ასევე მოითხოვს O(n³) დროს.

თუ მატრიცა A არ არის სინგულარული, მაშინ LUP დაშლა შეიძლება გამოითვალოს მისთვის P A = L U (\displaystyle PA=LU). დაე P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). შემდეგ შებრუნებული მატრიცის თვისებებიდან შეგვიძლია დავწეროთ: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). თუ ამ ტოლობას გაამრავლებთ U-ზე და L-ზე, შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმის ორი ტოლობა U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))და D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). ამ ტოლობებიდან პირველი არის n² წრფივი განტოლებების სისტემა n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))საიდანაც ცნობილია მარჯვენა მხარეები (სამკუთხა მატრიცების თვისებებიდან). მეორე ასევე წარმოადგენს n² წრფივი განტოლებების სისტემას n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))საიდანაც ცნობილია მარჯვენა მხარეები (ასევე სამკუთხა მატრიცების თვისებებიდან). ისინი ერთად წარმოადგენენ n² თანასწორობის სისტემას. ამ ტოლობების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია რეკურსიულად განვსაზღვროთ D მატრიცის ყველა n² ელემენტი. შემდეგ ტოლობიდან (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. ვიღებთ ტოლობას. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU დაშლის გამოყენების შემთხვევაში, არ არის საჭირო D მატრიცის სვეტების პერმუტაცია, მაგრამ გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს მაშინაც კი, თუ მატრიცა A არასიგოლარულია.

ალგორითმის სირთულე არის O(n³).

განმეორებითი მეთოდები

შულცის მეთოდები

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\ begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\ბოლო(შემთხვევები)))

შეცდომის შეფასება

საწყისი მიახლოების არჩევა

აქ განხილული განმეორებითი მატრიცის ინვერსიის პროცესებში საწყისი მიახლოების არჩევის პრობლემა არ გვაძლევს საშუალებას მივიჩნიოთ ისინი, როგორც დამოუკიდებელი უნივერსალური მეთოდები, რომლებიც კონკურენციას უწევენ პირდაპირი ინვერსიის მეთოდებს, რომლებიც დაფუძნებულია, მაგალითად, LU მატრიცების დაშლაზე. არსებობს რამდენიმე რეკომენდაცია არჩევისთვის U 0 (\displaystyle U_(0)), პირობის შესრულების უზრუნველყოფა ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (მატრიცის სპექტრული რადიუსი ერთიანობაზე ნაკლებია), რაც აუცილებელია და საკმარისია პროცესის კონვერგენციისთვის. თუმცა, ამ შემთხვევაში, პირველ რიგში, საჭიროა იცოდეთ ზემოდან შებრუნებული მატრიცის A ან მატრიცის სპექტრის შეფასება. A A T (\displaystyle AA^(T))(კერძოდ, თუ A არის სიმეტრიული დადებითი განსაზღვრული მატრიცა და ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), მაშინ შეგიძლიათ აიღოთ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)სად ; თუ A არის თვითნებური არასინგულარული მატრიცა და ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), მაშინ იჯერებენ U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), სადაც ასევე α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\მარჯვნივ)); თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიტუაცია და ისარგებლოთ ამით ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), დააყენე U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). მეორეც, თავდაპირველი მატრიცის ამ გზით დაზუსტებისას ამის გარანტია არ არსებობს ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)იქნება პატარა (ალბათ აღმოჩნდება კიდეც ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), და კონვერგენციის მაღალი რიგის მაჩვენებელი დაუყოვნებლივ არ გამოვლინდება.

მაგალითები

მატრიცა 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- ბ.გ))(\ დასაწყისი(ბმატრიცა)\,\,\,დ&\!\!-b\\-c&\,a\\\ბოლო(ბმატრიცა)).) 2x2 მატრიცის ინვერსია შესაძლებელია მხოლოდ იმ პირობით, რომ.

a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0) მოცემული მატრიცისთვის შებრუნებული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომელიც ამრავლებს თავდაპირველს, რომელიც იძლევა იდენტურობის მატრიცას: შებრუნებული მატრიცის არსებობის სავალდებულო და საკმარისი პირობაა, რომ ორიგინალის განმსაზღვრელი არ იყოს ტოლი. ნულამდე (რაც თავის მხრივ გულისხმობს, რომ მატრიცა უნდა იყოს კვადრატი). თუ მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ მას სინგულარული ეწოდება და ასეთ მატრიცას არ აქვს შებრუნებული. უმაღლეს მათემატიკაში ინვერსიული მატრიცები მნიშვნელოვანია და გამოიყენება რიგი ამოცანების გადასაჭრელად. მაგალითად, onინვერსიული მატრიცის პოვნა აშენდა განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მატრიცული მეთოდი. ჩვენი სერვისის საიტი იძლევა საშუალებასგამოთვალეთ ინვერსიული მატრიცა ონლაინ

.

ორი მეთოდი: გაუს-იორდანიის მეთოდი და ალგებრული დამატებების მატრიცის გამოყენებით. პირველი მოიცავს ელემენტარული გარდაქმნების დიდ რაოდენობას მატრიცის შიგნით, მეორე მოიცავს ყველა ელემენტის განმსაზღვრელი და ალგებრული დამატებების გამოთვლას. მატრიცის განმსაზღვრელი ონლაინ გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი სხვა სერვისი - მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება ონლაინ

იპოვეთ საიტის ინვერსიული მატრიცავებგვერდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთინვერსიული მატრიცა ონლაინ რეჟიმში სწრაფი და უფასო. საიტზე, გათვლები კეთდება ჩვენი სერვისის გამოყენებით და შედეგი მოცემულია დეტალური გადაწყვეტით საპოვნელადინვერსიული მატრიცა . სერვერი ყოველთვის იძლევა მხოლოდ ზუსტ და სწორ პასუხს. ამოცანები განსაზღვრებითინვერსიული მატრიცა ონლაინ რეჟიმში , აუცილებელია, რომ განმსაზღვრელიმატრიცები იპოვეთ საიტის ინვერსიული მატრიცაარ იყო ნულოვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში სწრაფი და უფასო. საიტზე, გათვლები კეთდება ჩვენი სერვისის გამოყენებით და შედეგი მოცემულია დეტალური გადაწყვეტით საპოვნელადიტყობინება ინვერსიული მატრიცის პოვნის შეუძლებლობას იმის გამო, რომ თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. პოვნის ამოცანა გვხვდება მათემატიკის მრავალ ფილიალში, არის ალგებრის ერთ-ერთი ყველაზე ძირითადი ცნება და მათემატიკური ინსტრუმენტი გამოყენებითი ამოცანებისთვის. დამოუკიდებელიინვერსიული მატრიცის განმარტება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, დიდ დროს, გამოთვლებს და დიდ ზრუნვას, რათა თავიდან იქნას აცილებული ბეჭდური შეცდომები ან მცირე შეცდომები გამოთვლებში. ამიტომ ჩვენი სერვისიგაგიადვილებთ ამოცანას და გახდება შეუცვლელი ინსტრუმენტი მათემატიკური ამოცანების გადასაჭრელად. თუნდაც შენ იპოვნეთ შებრუნებული მატრიცათავად, ჩვენ გირჩევთ შეამოწმოთ თქვენი გადაწყვეტა ჩვენს სერვერზე. შეიყვანეთ თქვენი ორიგინალური მატრიცა ჩვენს ვებსაიტზე. გამოთვალეთ ინვერსიული მატრიცა ონლაინ და შეამოწმეთ თქვენი პასუხი. ჩვენი სისტემა არასოდეს უშვებს შეცდომებს და პოულობს ინვერსიული მატრიცამოცემული განზომილება რეჟიმში ონლაინმყისიერად! საიტზე იპოვეთ საიტის ინვერსიული მატრიცასიმბოლოების ჩანაწერები დაშვებულია ელემენტებში მატრიცები, ამ შემთხვევაში ინვერსიული მატრიცა ონლაინ რეჟიმშიზოგადი სიმბოლური სახით იქნება წარმოდგენილი.

განმარტება 1:მატრიცას სინგულარული ეწოდება, თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

განმარტება 2:მატრიცას უწოდებენ არაერთგულს, თუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.

მატრიცა "A" ეწოდება ინვერსიული მატრიცა, თუ პირობა A*A-1 = A-1 *A = E (ერთეული მატრიცა) დაკმაყოფილებულია.

კვადრატული მატრიცა შექცევადია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის არ არის სინგულარული.

შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის სქემა:

1) გამოთვალეთ "A" მატრიცის განმსაზღვრელი თუ ∆ A = 0, მაშინ ინვერსიული მატრიცა არ არსებობს.

2) იპოვეთ "A" მატრიცის ყველა ალგებრული დანამატი.

3) შექმენით ალგებრული დამატებების მატრიცა (Aij)

4) ალგებრული კომპლემენტების მატრიცა (Aij )T

5) გადანაწილებული მატრიცა გავამრავლოთ ამ მატრიცის დეტერმინანტის ინვერსიზე.

6) შეასრულეთ შემოწმება:

ერთი შეხედვით შეიძლება რთულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ძალიან მარტივია. ყველა ამონახსნები ეფუძნება მარტივ არითმეტიკულ ოპერაციებს ამოხსნისას მთავარია არ აგერიოთ „-“ და „+“ ნიშნებში და არ დაკარგოთ ისინი.

ახლა ერთად გადავჭრათ პრაქტიკული პრობლემა შებრუნებული მატრიცის გამოთვლით.

ამოცანა: იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა "A", რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე:

ჩვენ ყველაფერს ვხსნით ზუსტად ისე, როგორც მითითებულია შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის გეგმაში.

1. პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ, არის მატრიცის "A" განმსაზღვრელის პოვნა:

ახსნა:

ჩვენ გავამარტივეთ ჩვენი განმსაზღვრელი მისი ძირითადი ფუნქციების გამოყენებით. ჯერ მე-2 და მე-3 სტრიქონებს დავუმატეთ პირველი ხაზის ელემენტები, გამრავლებული ერთ რიცხვზე.

მეორეც შევცვალეთ განმსაზღვრელი მე-2 და მე-3 სვეტები და მისი თვისებების მიხედვით შევცვალეთ მის წინ ნიშანი.

მესამე, ჩვენ ამოვიღეთ მეორე ხაზის საერთო ფაქტორი (-1), რითაც კვლავ შევცვალეთ ნიშანი და ის გახდა დადებითი. ჩვენ ასევე გავამარტივეთ ხაზი 3 ისევე, როგორც მაგალითის დასაწყისში.

გვაქვს სამკუთხა განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტები დიაგონალის ქვემოთ უდრის ნულს, ხოლო თვისებით 7 უდრის დიაგონალური ელემენტების ნამრავლს. ბოლოს მივიღეთ ∆ A = 26, შესაბამისად, ინვერსიული მატრიცა არსებობს.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. შემდეგი ნაბიჯი არის მატრიცის შედგენა მიღებული დანამატებიდან:

5. გაამრავლეთ ეს მატრიცა დეტერმინანტის შებრუნებულზე, ანუ 1/26-ზე:

6. ახლა ჩვენ უბრალოდ უნდა შევამოწმოთ:

ტესტის დროს მივიღეთ საიდენტიფიკაციო მატრიცა, შესაბამისად, გამოსავალი ჩატარდა აბსოლუტურად სწორად.

ინვერსიული მატრიცის გამოთვლის 2 გზა.

1. ელემენტარული მატრიცის ტრანსფორმაცია

2. ინვერსიული მატრიცა ელემენტარული გადამყვანის მეშვეობით.

ელემენტარული მატრიცის ტრანსფორმაცია მოიცავს:

1. სტრიქონის გამრავლება რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი.

2. რომელიმე სტრიქონს რიცხვით გამრავლებული კიდევ ერთი წრფის დამატება.

3. შეცვალეთ მატრიცის რიგები.

4. ელემენტარული გარდაქმნების ჯაჭვის გამოყენებით ვიღებთ სხვა მატრიცას.

ა -1 = ?

1. (ა|ე) ~ (ე|ა -1 )

2.ა -1 * A = E

მოდით შევხედოთ ამას პრაქტიკული მაგალითის გამოყენებით რეალური რიცხვებით.

ვარჯიში:იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა.

გამოსავალი:

მოდით შევამოწმოთ:

მცირე განმარტება გამოსავალზე:

ჯერ გადავწყვიტეთ მატრიცის 1 და 2 რიგები, შემდეგ გავამრავლეთ პირველი მწკრივი (-1-ზე).

ამის შემდეგ გავამრავლეთ პირველი მწკრივი (-2) და დავამატეთ მატრიცის მეორე მწკრივს. შემდეგ გავამრავლეთ ხაზი 2 1/4-ზე.

ტრანსფორმაციის ბოლო ეტაპი იყო მეორე ხაზის 2-ზე გამრავლება და პირველის დამატება. შედეგად, ჩვენ გვაქვს იდენტურობის მატრიცა მარცხნივ, შესაბამისად, ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა მარჯვნივ.

შემოწმების შემდეგ დავრწმუნდით, რომ გადაწყვეტილება სწორი იყო.

როგორც ხედავთ, ინვერსიული მატრიცის გამოთვლა ძალიან მარტივია.

ამ ლექციის დასასრულს ასევე მინდა ცოტა დრო გავატარო ასეთი მატრიცის თვისებებზე.

მატრიცული ალგებრა - ინვერსიული მატრიცა

ინვერსიული მატრიცა

ინვერსიული მატრიცაარის მატრიცა, რომელიც, როდესაც მრავლდება როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ მოცემულ მატრიცზე, იძლევა იდენტურობის მატრიცას.
ავღნიშნოთ მატრიცის შებრუნებული მატრიცა ამეშვეობით, მაშინ განმარტების მიხედვით ვიღებთ:

სად ე- პირადობის მატრიცა.
კვადრატული მატრიცადაურეკა არა განსაკუთრებული (არადეგენერატი) თუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნული. თორემ ჰქვია განსაკუთრებული (გადაგვარებული) ან მხოლობითი.

თეორემა მოქმედებს: ყველა არაერთგულ მატრიცას აქვს შებრუნებული მატრიცა.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ოპერაცია ეწოდება მიმართვამატრიცები. განვიხილოთ მატრიცის ინვერსიის ალგორითმი. მიეცით არასიგნორული მატრიცა ნ- რიგი:

სადაც Δ = დეტ ა ≠ 0.

ელემენტის ალგებრული დამატებამატრიცები ნ-მე ბრძანება აეწოდება გარკვეული ნიშნით აღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ( ნ–1) წაშლით მიღებული შეკვეთა მე-მე ხაზი და ჯმატრიცის მერვე სვეტი ა:

შევქმნათ ე.წ მიმაგრებულიმატრიცა:

სადაც არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატები ა.
გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის მწკრივის ელემენტების ალგებრული დამატებები ამოთავსებულია მატრიცის შესაბამის სვეტებში Ã , ანუ მატრიცა ტრანსპონირებულია ამავე დროს.
მატრიცის ყველა ელემენტის გაყოფით Ã Δ-ით - მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა ა, შედეგად ვიღებთ შებრუნებულ მატრიცას:

მოდით აღვნიშნოთ ინვერსიული მატრიცის რამდენიმე განსაკუთრებული თვისება:
1) მოცემული მატრიცისთვის ამისი შებრუნებული მატრიცა ერთადერთია;
2) თუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა, მაშინ მარჯვენა უკუდა მარცხენა უკანა მხარესმატრიცები ემთხვევა მას;
3) სპეციალურ (სიგნოლურ) კვადრატულ მატრიცას არ აქვს შებრუნებული მატრიცა.

ინვერსიული მატრიცის ძირითადი თვისებები:
1) ინვერსიული მატრიცის განმსაზღვრელი და თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი ორმხრივია;
2) კვადრატული მატრიცების ნამრავლის შებრუნებული მატრიცა უდრის ფაქტორების შებრუნებული მატრიცის ნამრავლს, აღებული საპირისპირო თანმიმდევრობით:

3) ტრანსპონირებული ინვერსიული მატრიცა უდრის მოცემული ტრანსპონირებული მატრიცის შებრუნებულ მატრიცას:

მაგალითი გამოთვალეთ მოცემული მატრიცის ინვერსია.

მატრიცა A -1 ეწოდება შებრუნებულ მატრიცას A მატრიცის მიმართ, თუ A*A -1 = E, სადაც E არის n-ე რიგის იდენტურობის მატრიცა. ინვერსიული მატრიცა შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

მომსახურების მიზანი. ამ სერვისის ონლაინ გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ალგებრული კომპლემენტები, ტრანსპონირებული მატრიცა A T, მოკავშირე მატრიცა და შებრუნებული მატრიცა. გადაწყვეტილება ხორციელდება პირდაპირ ვებგვერდზე (ონლაინ) და უფასოა. გაანგარიშების შედეგები წარმოდგენილია ანგარიშში Word და Excel ფორმატში (ანუ შესაძლებელია გადაწყვეტის შემოწმება). იხილეთ დიზაინის მაგალითი.

ინსტრუქციები. ამოხსნის მისაღებად აუცილებელია მატრიცის განზომილების მითითება. შემდეგი, შეავსეთ მატრიცა A ახალ დიალოგურ ფანჯარაში.

მატრიცის განზომილება 2 3 4 5 6 7 8 9 10

აგრეთვე ინვერსიული მატრიცა ჟორდანო-გაუსის მეთოდის გამოყენებით

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი

1. ტრანსპონირებული მატრიცის პოვნა A T.
2. ალგებრული კომპლემენტების განმარტება. ჩაანაცვლეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი მისი ალგებრული დანამატით.
3. ინვერსიული მატრიცის შედგენა ალგებრული დამატებებიდან: შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი იყოფა თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის ინვერსია.

შემდეგი ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმიწინას მსგავსი, ზოგიერთი საფეხურის გარდა: ჯერ გამოითვლება ალგებრული დანამატები, შემდეგ კი დგინდება მოკავშირე მატრიცა C.

1. დაადგინეთ არის თუ არა მატრიცა კვადრატული. თუ არა, მაშინ ამისთვის არ არსებობს ინვერსიული მატრიცა.
2. მატრიცის A დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ის არ არის ნულის ტოლი, ვაგრძელებთ ამონახსნებს, წინააღმდეგ შემთხვევაში შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს.
3. ალგებრული კომპლემენტების განმარტება.
4. გაერთიანების (ერთობლივი, მიმდებარე) მატრიცის შევსება.
5. შებრუნებული მატრიცის შედგენა ალგებრული მიმატებიდან: მიმდებარე მატრიცის C თითოეული ელემენტი იყოფა თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის ინვერსია.
6. ისინი ამოწმებენ: ამრავლებენ თავდაპირველ და მიღებულ მატრიცებს. შედეგი უნდა იყოს იდენტურობის მატრიცა.

მაგალითი No1. მოდით დავწეროთ მატრიცა ფორმაში: