უტოლობების ამოხსნა მოდელებით. უტოლობა მოდულით

დღეს, მეგობრებო, არ იქნება სნეული და სენტიმენტალურობა. სამაგიეროდ, მე გამოგიგზავნით მე-8-მე-9 კლასის ალგებრის კურსში ერთ-ერთ ყველაზე ძლიერ მოწინააღმდეგესთან, კითხვის გარეშე, ბრძოლაში.

დიახ, თქვენ სწორად გაიგეთ ყველაფერი: ჩვენ ვსაუბრობთ უტოლობებზე მოდულით. ჩვენ განვიხილავთ ოთხ ძირითად ტექნიკას, რომლითაც თქვენ ისწავლით ამგვარი პრობლემების დაახლოებით 90%-ის გადაჭრას. რაც შეეხება დანარჩენ 10%-ს? კარგად, მათზე ვისაუბრებთ ცალკე გაკვეთილზე.

თუმცა, სანამ რომელიმე ტექნიკას გავაანალიზებ, მინდა შეგახსენოთ ორი ფაქტი, რომელიც უკვე უნდა იცოდეთ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ რისკავთ, რომ საერთოდ არ გაიგოთ დღევანდელი გაკვეთილის მასალა.

რაც უკვე უნდა იცოდეთ

როგორც ჩანს, კაპიტანი ცხადყოფს მიანიშნებს, რომ უტოლობების მოდულით გადასაჭრელად თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რამ:

1. როგორ წყდება უთანასწორობა;
2. რა არის მოდული?

დავიწყოთ მეორე პუნქტით.

მოდულის განმარტება

აქ ყველაფერი მარტივია. არსებობს ორი განმარტება: ალგებრული და გრაფიკული. დასაწყისისთვის - ალგებრული:

განმარტება. $x$ რიცხვის მოდული არის ან თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, ან მისი საპირისპირო რიცხვი, თუ ორიგინალი $x$ მაინც უარყოფითია.

ასე წერია:

\[\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

მარტივი სიტყვებით, მოდული არის "რიცხვი მინუს გარეშე". და სწორედ ამ ორმაგობაში (ზოგ ადგილას თქვენ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ თავდაპირველ რიცხვთან, მაგრამ ზოგან მოგიწევთ რაიმე სახის მინუსის ამოღება) სწორედ აქ არის მთელი სირთულე დამწყები სტუდენტებისთვის.

ასევე არსებობს გეომეტრიული განმარტება. ასევე სასარგებლოა ვიცოდეთ, მაგრამ მას მხოლოდ რთულ და ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევებში მივმართავთ, სადაც გეომეტრიული მიდგომა უფრო მოსახერხებელია ვიდრე ალგებრული (სპოილერი: დღეს არა).

განმარტება. მოდით, წერტილი $a$ იყოს მონიშნული რიცხვით წრფეზე. შემდეგ მოდული $\left| x-a \right|$ არის მანძილი $x$ წერტილიდან $a$-მდე ამ წრფეზე.

თუ ნახატს დახატავთ, მიიღებთ ასეთ რამეს:

გრაფიკული მოდულის განმარტება

ამა თუ იმ გზით, მოდულის განმარტებიდან, მისი ძირითადი თვისება დაუყოვნებლივ მოჰყვება: რიცხვის მოდული ყოველთვის არაუარყოფითი სიდიდეა. ეს ფაქტი იქნება წითელი ძაფი, რომელიც გადის მთელ ჩვენს თხრობაში დღეს.

უტოლობების ამოხსნა. ინტერვალის მეთოდი

ახლა გადავხედოთ უტოლობას. ბევრი მათგანია, მაგრამ ახლა ჩვენი ამოცანაა შევძლოთ მათგან ყველაზე მარტივი მაინც ამოხსნათ. ისინი, რომლებიც მცირდება წრფივ უტოლობამდე, ასევე ინტერვალის მეთოდამდე.

მე მაქვს ორი დიდი გაკვეთილი ამ თემაზე (სხვათა შორის, ძალიან, ძალიან სასარგებლო - გირჩევთ მათ შესწავლას):

1. უტოლობების ინტერვალის მეთოდი (განსაკუთრებით ნახეთ ვიდეო);
2. წილადი რაციონალური უტოლობა ძალიან ვრცელი გაკვეთილია, მაგრამ ამის შემდეგ თქვენ საერთოდ არ გექნებათ შეკითხვები.

თუ თქვენ იცით ეს ყველაფერი, თუ ფრაზა "მოდით გადავიდეთ უთანასწორობიდან განტოლებაზე" არ გაგიჩნდებათ კედელთან დარტყმის ბუნდოვანი სურვილი, მაშინ მზად ხართ: კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჯოჯოხეთში გაკვეთილის მთავარ თემაზე :)

1. „მოდული ნაკლებია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ეს არის მოდულების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული პრობლემა. საჭიროა ფორმის უტოლობის ამოხსნა:

\[\მარცხნივ| f\right| \ltg\]

$f$ და $g$ ფუნქციები შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ ჩვეულებრივ ისინი პოლინომებია. ასეთი უტოლობების მაგალითები:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))-2\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|-3 \მარჯვნივ| \lt 2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყველა მათგანი შეიძლება გადაწყდეს სიტყვასიტყვით ერთ ხაზზე შემდეგი სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \მარცხნივ(\Rightarrow \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ)\]

ადვილი მისახვედრია, რომ ჩვენ ვიშორებთ მოდულს, მაგრამ სანაცვლოდ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას (ან, რაც იგივეა, ორი უტოლობის სისტემას). მაგრამ ეს გადასვლა ითვალისწინებს აბსოლუტურად ყველა შესაძლო პრობლემას: თუ მოდულის ქვეშ რიცხვი დადებითია, მეთოდი მუშაობს; თუ უარყოფითია, ის მაინც მუშაობს; და თუნდაც ყველაზე არაადეკვატური ფუნქციით $f$ ან $g$-ის ნაცვლად, მეთოდი მაინც იმუშავებს.

ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა: არ შეიძლებოდა ეს უფრო მარტივი იყოს? სამწუხაროდ, ეს შეუძლებელია. ეს არის მოდულის მთელი აზრი.

თუმცა, საკმარისია ფილოსოფოსი. მოდით გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7\]

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ წინ გვაქვს ფორმის კლასიკური უტოლობა "მოდული ნაკლებია" - გარდასახვაც კი არაფერია. ჩვენ ვმუშაობთ ალგორითმის მიხედვით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7\მარჯვენა ისარი -\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ნუ იჩქარებთ ფრჩხილების გახსნას, რომელსაც წინ უძღვის „მინუსი“: სავსებით შესაძლებელია, რომ თქვენი აჩქარებისას დაუშვათ შეურაცხმყოფელი შეცდომა.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

პრობლემა შემცირდა ორ ელემენტარულ უთანასწორობამდე. მოდით აღვნიშნოთ მათი ამონახსნები პარალელური რიცხვითი წრფეებზე:

კომპლექტების კვეთა

ამ კომპლექტების კვეთა იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0\]

გამოსავალი. ეს ამოცანა ცოტა უფრო რთულია. პირველი, მოდით გამოვყოთ მოდული მეორე ტერმინის მარჯვნივ გადაადგილებით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \lt -3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ცხადია, ჩვენ კვლავ გვაქვს ფორმის უთანასწორობა „მოდული უფრო მცირეა“, ასე რომ, მოდულს ვაშორებთ უკვე ცნობილი ალგორითმის გამოყენებით:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა ყურადღება: ვიღაც იტყვის, რომ მე ცოტა გარყვნილი ვარ ყველა ამ ფრჩხილებით. მაგრამ კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ჩვენი მთავარი მიზანია სწორად ამოხსენით უტოლობა და მიიღეთ პასუხი. მოგვიანებით, როდესაც სრულყოფილად აითვისებთ ამ გაკვეთილზე აღწერილი ყველაფერს, შეგიძლიათ თავად გადააკეთოთ ის, როგორც გსურთ: გახსენით ფრჩხილები, დაამატეთ მინუსები და ა.შ.

დასაწყისისთვის, ჩვენ უბრალოდ მოვიშორებთ მარცხნივ ორმაგ მინუსს:

\[-\left(-3\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(x+1 \მარჯვნივ) =3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა გავხსნათ ყველა ფრჩხილები ორმაგ უტოლობაში:

გადავიდეთ ორმაგ უტოლობაზე. ამჯერად გამოთვლები უფრო სერიოზული იქნება:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( გასწორება)\მარჯვნივ.\]

ორივე უტოლობა კვადრატულია და შეიძლება ამოხსნას ინტერვალის მეთოდით (ამიტომ ვამბობ: თუ არ იცით ეს რა არის, სჯობს ჯერ არ აიღოთ მოდულები). გადავიდეთ განტოლებაზე პირველ უტოლობაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ მარცხენა (x+5 \მარჯვნივ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გამომავალი არის არასრული კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია ელემენტარული გზით. ახლა მოდით შევხედოთ სისტემის მეორე უტოლობას. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ აღვნიშნავთ მიღებულ რიცხვებს ორ პარალელურ წრფეზე (განცალკევებულია პირველი უტოლობისთვის და ცალკე მეორესთვის):

ისევ, ვინაიდან ჩვენ ვხსნით უტოლობათა სისტემას, გვაინტერესებს დაჩრდილული სიმრავლეთა კვეთა: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-5;-2 \მარჯვნივ)$

მე ვფიქრობ, რომ ამ მაგალითების შემდეგ გადაწყვეტის სქემა ძალიან ნათელია:

1. მოდულის იზოლირება ყველა სხვა ტერმინის გადატანით უტოლობის საპირისპირო მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ $\left| ფორმის უტოლობას f\right| \ltg$.
2. მოაგვარეთ ეს უთანასწორობა მოდულის მოშორებით ზემოთ აღწერილი სქემის მიხედვით. რაღაც მომენტში, საჭირო იქნება ორმაგი უთანასწორობიდან გადასვლა ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის სისტემაზე, რომელთაგან თითოეული უკვე შეიძლება ცალკე გადაიჭრას.
3. დაბოლოს, რჩება მხოლოდ ამ ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის ამონახსნების გადაკვეთა - და ეს არის ის, ჩვენ მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

მსგავსი ალგორითმი არსებობს შემდეგი ტიპის უტოლობებისთვის, როდესაც მოდული ფუნქციაზე მეტია. თუმცა, არსებობს რამდენიმე სერიოზული "მაგრამ". ამ "მაგრამ" ახლა ვისაუბრებთ.

2. „მოდული მეტია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ისინი ასე გამოიყურებიან:

\[\მარცხნივ| f\right| \gtg\]

წინას მსგავსი? როგორც ჩანს. და მაინც, ასეთი პრობლემები სულ სხვაგვარად წყდება. ფორმალურად, სქემა შემდეგია:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ განვიხილავთ ორ შემთხვევას:

1. პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ უგულებელყოფთ მოდულს და ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას;
2. შემდეგ, არსებითად, ჩვენ გავაფართოვებთ მოდულს მინუს ნიშნით და შემდეგ ვამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს −1-ზე, ხოლო მე მაქვს ნიშანი.

ამ შემთხვევაში, ვარიანტები გაერთიანებულია კვადრატულ ფრჩხილთან, ე.ი. ჩვენ წინაშე გვაქვს ორი მოთხოვნის კომბინაცია.

კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ: ეს არ არის სისტემა, არამედ მთლიანობა პასუხში სიმრავლეები გაერთიანებულია და არა იკვეთება. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება წინა პუნქტისგან!

ზოგადად, ბევრი სტუდენტი მთლიანად დაბნეულია გაერთიანებებთან და კვეთებთან, ასე რომ, მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ მოვაგვაროთ ეს საკითხი:

• "∪" არის კავშირის ნიშანი. სინამდვილეში, ეს არის სტილიზებული ასო "U", რომელიც ჩვენთან მოვიდა ინგლისური ენიდან და არის "Union"-ის აბრევიატურა, ე.ი. "ასოციაციები".
• "∩" არის გადაკვეთის ნიშანი. ეს სისულელე არსაიდან მოსულა, მაგრამ უბრალოდ "∪"-ს კონტრაპუნქტად გამოჩნდა.

დასამახსოვრებლად კიდევ უფრო გასაადვილებლად, უბრალოდ მიაპყრეთ ფეხები ამ ნიშნებს სათვალეების გასაკეთებლად (უბრალოდ ახლა ნუ დამაბრალებთ ნარკომანიის და ალკოჰოლიზმის ხელშეწყობას: თუ სერიოზულად სწავლობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ უკვე ნარკომანი ხართ):

განსხვავება სიმრავლეთა კვეთასა და გაერთიანებას შორის

რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს შემდეგს: გაერთიანება (მთლიანობა) მოიცავს ელემენტებს ორივე კომპლექტიდან, ამიტომ ის არანაირად არ არის თითოეულ მათგანზე ნაკლები; მაგრამ კვეთა (სისტემა) მოიცავს მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც ერთდროულად არიან როგორც პირველ კომპლექტში, ასევე მეორეში. მაშასადამე, კომპლექტების კვეთა არასოდეს არის უფრო დიდი ვიდრე წყაროს ნაკრები.

ასე უფრო ნათელი გახდა? ეს შესანიშნავია. მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\]

გამოსავალი. ჩვენ ვაგრძელებთ სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\მარცხნივ(5-4x \მარჯვნივ) \\\ბოლო (გასწორება) \ მართალია.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ უთანასწორობას პოპულაციაში:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (გასწორება) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეულ მიღებულ კომპლექტს რიცხვით ხაზზე და შემდეგ ვაკავშირებთ მათ:

კომპლექტების გაერთიანება

აშკარაა, რომ პასუხი იქნება $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

პასუხი: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\]

გამოსავალი. კარგად? არაფერი - ყველაფერი იგივეა. ჩვენ გადავდივართ მოდულის მქონე უტოლობიდან ორი უტოლობის სიმრავლეზე:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვხსნით ყველა უთანასწორობას. სამწუხაროდ, ფესვები იქ არ იქნება ძალიან კარგი:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე უტოლობა ასევე ცოტა ველურია:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა თქვენ უნდა მონიშნოთ ეს რიცხვები ორ ღერძზე - ერთი ღერძი თითოეული უტოლობისთვის. თუმცა, თქვენ უნდა მონიშნოთ ქულები სწორი თანმიმდევრობით: რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით უფრო შორს მოძრაობს წერტილი მარჯვნივ.

და აქ დაყენება გველოდება. თუ ყველაფერი ნათელია $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (პირველის მრიცხველის ტერმინები წილადი ნაკლებია მეორეს მრიცხველში მოცემულ წევრებზე, ამიტომ ჯამი ასევე ნაკლებია, რიცხვებით $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt). (21))(2)$ ასევე არ იქნება სირთულეები (პოზიტიური რიცხვი აშკარად უფრო უარყოფითია), მაშინ ბოლო წყვილთან ყველაფერი არც ისე ნათელია. რომელია უფრო დიდი: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ თუ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? პუნქტების განთავსება რიცხვით ხაზებზე და, ფაქტობრივად, პასუხი იქნება დამოკიდებული ამ კითხვაზე პასუხზე.

ასე რომ შევადაროთ:

\[\begin(მატრიცა) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end (მატრიცა)\]

ჩვენ გამოვყავით ფესვი, მივიღეთ არაუარყოფითი რიცხვები უტოლობის ორივე მხარეს, ასე რომ, გვაქვს უფლება ორივე მხარის კვადრატში:

\[\begin(მატრიცა) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ბოლო(მატრიცა)\]

ვფიქრობ, უაზროა, რომ $4\sqrt(13) \gt 3$, ამიტომ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ბოლო წერტილები ღერძებზე განთავსდება ასე:

მახინჯი ფესვების საქმე

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვხსნით კრებულს, ამიტომ პასუხი იქნება გაერთიანება და არა დაჩრდილული კომპლექტების გადაკვეთა.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

როგორც ხედავთ, ჩვენი სქემა მშვენივრად მუშაობს როგორც მარტივი, ასევე ძალიან რთული პრობლემებისთვის. ამ მიდგომის ერთადერთი „სუსტი წერტილი“ არის ის, რომ თქვენ უნდა სწორად შეადაროთ ირაციონალური რიცხვები (და მერწმუნეთ: ეს არ არის მხოლოდ ფესვები). მაგრამ ცალკე (და ძალიან სერიოზული) გაკვეთილი დაეთმობა შედარების საკითხებს. და ჩვენ მივდივართ.

3. უტოლობები არაუარყოფითი „კუდებით“

ახლა ჩვენ მივდივართ ყველაზე საინტერესო ნაწილზე. ეს არის ფორმის უტოლობები:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt\მარცხნივ| g\right|\]

ზოგადად რომ ვთქვათ, ალგორითმი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ, სწორია მხოლოდ მოდულისთვის. ის მუშაობს ყველა უტოლობაში, სადაც არის გარანტირებული არაუარყოფითი გამონათქვამები მარცხნივ და მარჯვნივ:

რა ვუყოთ ამ ამოცანებს? უბრალოდ გახსოვდეთ:

არაუარყოფითი „კუდების“ მქონე უთანასწორობებში ორივე მხარე შეიძლება აიწიოს ნებისმიერ ბუნებრივ ძალამდე. დამატებითი შეზღუდვები არ იქნება.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავინტერესდებით კვადრატში - ის წვავს მოდულებს და ფესვებს:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ მარცხენა (\sqrt(f) \მარჯვნივ))^(2))=f. \\\ბოლო (გასწორება)\]

უბრალოდ არ აურიოთ ეს კვადრატის ფესვის აღებაში:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\მარცხნივ| f \right|\ne f\]

უთვალავი შეცდომა დაუშვა, როცა სტუდენტს დაავიწყდა მოდულის დაყენება! მაგრამ ეს სრულიად განსხვავებული ამბავია (ეს არის, თითქოს, ირაციონალური განტოლებები), ამიტომ ახლა ამაზე არ შევალთ. მოდით უკეთ გადავწყვიტოთ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. მაშინვე შევამჩნიოთ ორი რამ:

1. ეს არ არის მკაცრი უთანასწორობა. რიცხვითი ხაზის წერტილები პუნქცია იქნება.
2. უტოლობის ორივე მხარე აშკარად არაუარყოფითია (ეს არის მოდულის თვისება: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში, რათა მოვიშოროთ მოდული და მოვაგვაროთ პრობლემა ჩვეულებრივი ინტერვალის მეთოდით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (\ მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(\მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ| \მარჯვნივ) )^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო საფეხურზე ცოტა მოვიტყუე: ტერმინების თანმიმდევრობა შევცვალე მოდულის თანაბარი უპირატესობით (ფაქტობრივად, გამონათქვამი $1-2x$ გავამრავლე −1-ზე).

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2))-((\left(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)-\left(x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(x+2 \ მარჯვენა)\მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(x-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(3x+1 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. გადავიდეთ უტოლობიდან განტოლებაზე:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

აღმოჩენილ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვთა ხაზზე. კიდევ ერთხელ: ყველა წერტილი დაჩრდილულია, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა არ არის მკაცრი!

მოდულის ნიშნის მოშორება

განსაკუთრებით ჯიუტებს შეგახსენებთ: ნიშნებს ვიღებთ ბოლო უტოლობიდან, რომელიც განტოლებაზე გადასვლამდე იყო ჩაწერილი. და ჩვენ ვხატავთ საჭირო უბნებს იმავე უთანასწორობაში. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

აბა, სულ ესაა. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \მარჯვნივ]$.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ|\le \მარცხნივ| ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. ჩვენ ყველაფერს ერთნაირად ვაკეთებთ. კომენტარს არ გავაკეთებ - უბრალოდ გადახედე მოქმედებების თანმიმდევრობას.

მოედანზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\ მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\le ((\მარცხნივ(\მარცხნივ |. ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|. \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))\le ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))-((\ left(((x)^(2))+3x+4 \ მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \მარჯვნივ)\ჯერ \\ & \ჯერ \მარცხნივ(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \მარჯვნივ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ინტერვალის მეთოდი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(-2x-3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)=0 \\ & -2x-3=0\ მარჯვენა ისარი x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

რიცხვთა ხაზის მხოლოდ ერთი ფესვია:

პასუხი არის მთელი ინტერვალი

პასუხი: $x\in \left[ -1.5;+\infty \მარჯვნივ)$.

მცირე შენიშვნა ბოლო დავალების შესახებ. როგორც ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა ზუსტად აღნიშნა, ორივე სუბმოდულური გამონათქვამი ამ უთანასწორობაში აშკარად დადებითია, ამიტომ მოდულის ნიშანი შეიძლება გამოტოვდეს ჯანმრთელობისთვის ზიანის მიყენების გარეშე.

მაგრამ ეს არის აზროვნების სრულიად განსხვავებული დონე და განსხვავებული მიდგომა - მას პირობითად შეიძლება ეწოდოს შედეგების მეთოდი. ამის შესახებ - ცალკე გაკვეთილზე. ახლა მოდით გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე და გადავხედოთ უნივერსალურ ალგორითმს, რომელიც ყოველთვის მუშაობს. მაშინაც კი, როდესაც ყველა წინა მიდგომა უძლური იყო :)

4. ვარიანტების ჩამოთვლის მეთოდი

რა მოხდება, თუ ყველა ეს ტექნიკა არ დაეხმარება? თუ უთანასწორობა ვერ დაიყვანება არაუარყოფით კუდებამდე, თუ შეუძლებელია მოდულის იზოლირება, თუ ზოგადად არის ტკივილი, სევდა, სევდა?

შემდეგ ყველა მათემატიკის „მძიმე არტილერია“ გამოდის სცენაზე - უხეში ძალის მეთოდი. მოდულით უტოლობებთან მიმართებაში ასე გამოიყურება:

1. ჩამოწერეთ ყველა სუბმოდულური გამონათქვამი და დააყენეთ ისინი ნულის ტოლი;
2. ამოხსენით მიღებული განტოლებები და მონიშნეთ ერთ რიცხვით წრფეზე ნაპოვნი ფესვები;
3. სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე მონაკვეთად, რომლის ფარგლებშიც თითოეულ მოდულს აქვს ფიქსირებული ნიშანი და ამიტომ ცალსახად ვლინდება;
4. ამოხსენით უტოლობა თითოეულ ასეთ მონაკვეთზე (შეგიძლიათ ცალ-ცალკე განიხილოთ მე-2 საფეხურზე მიღებული ფესვები-საზღვრები - სანდოობისთვის). შეუთავსეთ შედეგები - ეს იქნება პასუხი.

მაშ როგორ? სუსტი? მარტივად! მხოლოდ დიდი ხნის განმავლობაში. ვნახოთ პრაქტიკაში:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-\frac(3)(2)\]

გამოსავალი. ეს სისულელე არ იშლება უტოლობებით, როგორიცაა $\left| f\right| \lt g$, $\მარცხენა| f\right| \gt g$ ან $\მარცხენა| f\right| \lt \მარცხნივ| g \right|$, ასე რომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ წინ.

ჩვენ ვწერთ სუბმოდულურ გამოსახულებებს, ვატოლებთ მათ ნულს და ვიპოვით ფესვებს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2=0\მარჯვენა ისარი x=-2; \\ & x-1=0\მარჯვენა ისარი x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ჯამში, ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი, რომელიც ყოფს რიცხვთა ხაზს სამ ნაწილად, რომლის ფარგლებშიც თითოეული მოდული გამოვლინდება ცალსახად:

რიცხვითი წრფის დაყოფა სუბმოდულური ფუნქციების ნულებით

მოდით შევხედოთ თითოეულ განყოფილებას ცალკე.

1. მოდით $x \lt -2$. მაშინ ორივე სუბმოდულური გამონათქვამი უარყოფითია და თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\დაწყება(გასწორება) & -\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ) \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ მივიღეთ საკმაოდ მარტივი შეზღუდვა. მოდით გადავკვეთოთ იგი საწყისი ვარაუდით, რომ $x \lt -2$:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\varnothing\]

ცხადია, $x$ ცვლადი არ შეიძლება იყოს ერთდროულად −2-ზე ნაკლები და 1,5-ზე მეტი. ამ სფეროში გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

1.1. ცალკე განვიხილოთ სასაზღვრო შემთხვევა: $x=-2$. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვი თავდაპირველ უტოლობაში და შევამოწმოთ: მართალია?

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1.5 \მარჯვნივ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \მარცხნივ| -3\მარჯვნივ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\მარჯვენა arrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

აშკარაა, რომ გამოთვლების ჯაჭვმა მიგვიყვანა არასწორ უთანასწორობამდე. მაშასადამე, თავდაპირველი უტოლობა ასევე მცდარია და $x=-2$ არ შედის პასუხში.

2. მოდით ახლა $-2 \lt x \lt 1$. მარცხენა მოდული უკვე გაიხსნება „პლუს“-ით, მაგრამ მარჯვენა მაინც გაიხსნება „მინუსით“. ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x+2 \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ კვლავ ვკვეთთ თავდაპირველ მოთხოვნას:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\in \varnothing \]

და ისევ ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, რადგან არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც −2,5-ზე ნაკლები და −2-ზე მეტია.

2.1. და ისევ სპეციალური შემთხვევა: $x=1$. ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ უტოლობას:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1.5 \მარჯვნივ|)_(x=1)) \\ & \მარცხნივ| 3\მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| 0\მარჯვნივ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

წინა „განსაკუთრებული შემთხვევის“ მსგავსად, რიცხვი $x=1$ აშკარად არ შედის პასუხში.

3. ხაზის ბოლო ნაწილი: $x \gt 1$. აქ ყველა მოდული იხსნება პლუს ნიშნით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ბოლო (გასწორება)\ ]

და ისევ ჩვენ ვკვეთთ ნაპოვნი სიმრავლეს თავდაპირველ შეზღუდვას:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\მარცხნივ (4.5;+\infty \მარჯვნივ)\ ]

აბა, ბოლოს და ბოლოს! ჩვენ ვიპოვეთ ინტერვალი, რომელიც იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(4,5;+\infty \მარჯვნივ)$

და ბოლოს, ერთი შენიშვნა, რომელიც შეიძლება გიხსნას სულელური შეცდომებისგან რეალური პრობლემების გადაჭრისას:

უტოლობების ამონახსნები მოდულით, როგორც წესი, წარმოადგენს რიცხვთა წრფეზე უწყვეტ სიმრავლეს - ინტერვალებსა და სეგმენტებს. იზოლირებული წერტილები გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. და კიდევ უფრო იშვიათად, ხდება, რომ ამოხსნის საზღვარი (სეგმენტის დასასრული) ემთხვევა განსახილველი დიაპაზონის საზღვარს.

შესაბამისად, თუ საზღვრები (იგივე „განსაკუთრებული შემთხვევები“) არ არის ჩართული პასუხში, მაშინ ამ საზღვრებიდან მარცხნივ და მარჯვნივ მდებარე უბნები თითქმის რა თქმა უნდა არ ჩაირთვება პასუხში. და პირიქით: პასუხში შემოვიდა საზღვარი, რაც იმას ნიშნავს, რომ მის ირგვლივ რამდენიმე სფეროც იქნება პასუხები.

გაითვალისწინეთ ეს თქვენი გადაწყვეტილებების განხილვისას.

მოდულის შემცველი უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს. მოდით შევხედოთ ზოგიერთ მათგანს.

1) უტოლობის ამოხსნა მოდულის გეომეტრიული თვისების გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რა არის მოდულის გეომეტრიული თვისება: x რიცხვის მოდული არის მანძილი საწყისიდან x კოორდინატით წერტილამდე.

ამ მეთოდის გამოყენებით უტოლობების გადაჭრისას შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა:

1. |x| ≤ ბ,

და უტოლობა მოდულით აშკარად მცირდება ორი უტოლობის სისტემამდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში სურათზე გამოსახული წერტილები იქნება "პუნქცია".

2. |x| ≥ ბ,მაშინ გამოსავლის სურათი ასე გამოიყურება:

და უტოლობა მოდულით აშკარად მცირდება ორი უტოლობის კომბინაციამდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში სურათზე გამოსახული წერტილები იქნება "პუნქცია".

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა |4 – |x|| ≥ 3.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სიმრავლეს:

U [-1;1] U

მაგალითი 2.

ამოხსენით უტოლობა ||x+2| – 3| ≤ 2.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სისტემას.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

ცალ-ცალკე გადავჭრათ სისტემის პირველი უტოლობა. ეს უდრის შემდეგ კომპლექტს:

U[-1; 3].

2) უტოლობების ამოხსნა მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ჯერ შეგახსენებთ მოდულის განმარტება.

|ა| = a თუ ა ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0.

მაგალითად, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა 3|x – 1| ≤ x+3.

გამოსავალი.

მოდულის განმარტების გამოყენებით ჩვენ ვიღებთ ორ სისტემას:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

პირველი და მეორე სისტემების ცალ-ცალკე გადაჭრით, ვიღებთ:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

საწყისი უტოლობის გამოსავალი იქნება პირველი სისტემის ყველა ამონახსნობა და მეორე სისტემის ყველა ამონახვა.

პასუხი: x €.

3) უტოლობების ამოხსნა კვადრატში.

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

გამოსავალი.

მოდით კვადრატში გამოვყოთ უტოლობის ორივე მხარე. ნება მომეცით აღვნიშნო, რომ შეგიძლიათ უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ორივე დადებითია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს მოდულები მარცხნივ და მარჯვნივ, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება.

(| x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ახლა გამოვიყენოთ მოდულის შემდეგი თვისება: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით.

პასუხი: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) უტოლობების ამოხსნა ცვლადების შეცვლით.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

შევიტანოთ ცვლილება y = |2x + 3|.

გადავიწეროთ ჩვენი უთანასწორობა ჩანაცვლების გათვალისწინებით.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

მოდით მარცხნივ კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

მოდით ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით და მივიღოთ:

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

ეს ორმაგი უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემას:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

ცალ-ცალკე გადავჭრათ უტოლობა.

პირველი არის სისტემის ტოლფასი

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

მოვაგვაროთ.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

მეორე უტოლობა აშკარად მოქმედებს ყველა x-ისთვის, რადგან მოდული, განსაზღვრებით, დადებითი რიცხვია. ვინაიდან სისტემის ამონახსნი არის ყველა x, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის პირველ და მეორე უტოლობას, მაშინ თავდაპირველი სისტემის ამონახსნი იქნება მისი პირველი ორმაგი უტოლობა (ბოლოს და ბოლოს, მეორე მართალია ყველა x-სთვის) .

პასუხი: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

უთანასწორობის გადაწყვეტარეჟიმში ონლაინ გამოსავალითითქმის ნებისმიერი მოცემული უთანასწორობა ონლაინ. მათემატიკური უთანასწორობა ონლაინმათემატიკის ამოსახსნელად. იპოვეთ სწრაფად უთანასწორობის გადაწყვეტარეჟიმში ონლაინ. ვებგვერდი www.site გაძლევთ საშუალებას იპოვოთ გამოსავალითითქმის ნებისმიერი მოცემული ალგებრული, ტრიგონომეტრიულიან ტრანსცენდენტული უთანასწორობა ონლაინ. მათემატიკის თითქმის ნებისმიერი დარგის შესწავლისას სხვადასხვა საფეხურზე უნდა გადაწყვიტო უთანასწორობა ონლაინ. იმისთვის, რომ დაუყოვნებლივ მიიღოთ პასუხი და რაც მთავარია ზუსტი პასუხი, გჭირდებათ რესურსი, რომელიც ამის საშუალებას მოგცემთ. მადლობა საიტს www.site უთანასწორობის გადაჭრა ონლაინრამდენიმე წუთი დასჭირდება. www.site-ის მთავარი უპირატესობა მათემატიკური ამოხსნისას უთანასწორობა ონლაინ- ეს არის მოწოდებული პასუხის სიჩქარე და სიზუსტე. საიტს შეუძლია ნებისმიერის გადაჭრა ალგებრული უტოლობები ონლაინ, ტრიგონომეტრიული უტოლობები ონლაინ, ტრანსცენდენტული უთანასწორობები ონლაინდა ასევე უთანასწორობებიუცნობი პარამეტრებით რეჟიმში ონლაინ. უთანასწორობებიემსახურება როგორც მძლავრ მათემატიკურ აპარატს გადაწყვეტილებებიპრაქტიკული პრობლემები. დახმარებით მათემატიკური უტოლობებიშესაძლებელია ფაქტებისა და ურთიერთობების გამოხატვა, რომლებიც ერთი შეხედვით შეიძლება დამაბნეველი და რთული ჩანდეს. უცნობი რაოდენობით უთანასწორობებიშეიძლება მოიძებნოს პრობლემის ფორმულირებით მათემატიკურიენა ფორმაში უთანასწორობებიდა გადაწყვიტოსმიიღო დავალება რეჟიმში ონლაინვებგვერდზე www.site. ნებისმიერი ალგებრული უტოლობა, ტრიგონომეტრიული უტოლობაან უთანასწორობებიშემცველი ტრანსცენდენტულიფუნქციები, რომლებიც შეგიძლიათ მარტივად გადაწყვიტოსონლაინ და მიიღეთ ზუსტი პასუხი. საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების შესწავლისას აუცილებლად წააწყდებით საჭიროებას უთანასწორობის გადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხი ზუსტი უნდა იყოს და დაუყოვნებლივ უნდა მიიღოთ რეჟიმი ონლაინ. ამიტომ ამისთვის მათემატიკური უტოლობების გადაჭრა ონლაინჩვენ გირჩევთ საიტს www.site, რომელიც გახდება თქვენი შეუცვლელი კალკულატორი ალგებრული უტოლობების გადაჭრა ონლაინ, ტრიგონომეტრიული უტოლობები ონლაინდა ასევე ტრანსცენდენტული უთანასწორობები ონლაინან უთანასწორობებიუცნობი პარამეტრებით. პრაქტიკული პრობლემების მოძიებაში ონლაინ გადაწყვეტილებები სხვადასხვა მათემატიკური უტოლობებირესურსი www.. ამოხსნა უთანასწორობა ონლაინთქვენთვის სასარგებლოა მიღებული პასუხის შემოწმება გამოყენებით უთანასწორობის ონლაინ გადაწყვეტავებგვერდზე www.site. თქვენ უნდა დაწეროთ უტოლობა სწორად და მყისიერად მიიღოთ ონლაინ გადაწყვეტა, რის შემდეგაც რჩება მხოლოდ პასუხის შედარება უთანასწორობის გამოსავალთან. პასუხის შემოწმებას დასჭირდება არაუმეტეს ერთი წუთი, ეს საკმარისია უთანასწორობის გადაჭრა ონლაინდა შეადარეთ პასუხები. ეს დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ შეცდომები გადაწყვეტილებადა შეასწორეთ პასუხი დროულად, როცა უთანასწორობის გადაჭრა ონლაინიქნება ეს ალგებრული, ტრიგონომეტრიული, ტრანსცენდენტულიან უთანასწორობაუცნობი პარამეტრებით.

რიცხვების მოდულითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, რიცხვი 6-ის მოდული არის 6, ხოლო -6 რიცხვის მოდული ასევე არის 6.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

იგი დანიშნულია შემდეგნაირად: |6|, | X|, |ა| და ა.შ.

(დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ განყოფილება „ნომრის მოდული“).

განტოლებები მოდულით.

მაგალითი 1 . ამოხსენით განტოლება|10 X - 5| = 15.

გამოსავალი.

წესის მიხედვით, განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

ჩვენ ვწყვეტთ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

უპასუხე: X 1 = 2, X 2 = -1.

მაგალითი 2 . ამოხსენით განტოლება|2 X + 1| = X + 2.

გამოსავალი.

ვინაიდან მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ X+ 2 ≥ 0. შესაბამისად:

X ≥ -2.

მოდით გავაკეთოთ ორი განტოლება:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

ჩვენ ვწყვეტთ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ორივე რიცხვი -2-ზე მეტია. ასე რომ, ორივე არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე: X 1 = -1, X 2 = 1.

მაგალითი 3 . ამოხსენით განტოლება

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

გამოსავალი.

განტოლებას აქვს აზრი, თუ მნიშვნელი არ არის ნული - ეს ნიშნავს თუ X≠ 1. გავითვალისწინოთ ეს პირობა. ჩვენი პირველი ქმედება მარტივია - ჩვენ უბრალოდ არ ვაშორებთ წილადს, არამედ გარდაქმნით მას ისე, რომ მივიღოთ მოდული მისი სუფთა სახით:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს მოდულის ქვეშ. მოდით გადავიდეთ.
რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი - ანუ ის უნდა იყოს ნულზე მეტი ან ნულის ტოლი. შესაბამისად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე პირობა: განტოლების ფესვი უნდა იყოს მინიმუმ 3/4.

წესის მიხედვით, ჩვენ ვადგენთ ორი განტოლების ერთობლიობას და ვხსნით მათ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

ორი პასუხი მივიღეთ. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ისინი საწყისი განტოლების ფესვები.

ჩვენ გვქონდა ორი პირობა: განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი და უნდა იყოს მინიმუმ 3/4. ანუ X ≠ 1, X≥ 3/4. მიღებული ორი პასუხიდან მხოლოდ ერთი შეესაბამება ორივე ამ პირობას - რიცხვს 2. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

უპასუხე: X = 2.

უტოლობა მოდულით.

მაგალითი 1 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 3| < 4

გამოსავალი.

მოდულის წესი ამბობს:

|ა| = ა, თუ ა ≥ 0.

|ა| = -ა, თუ ა < 0.

მოდულს შეიძლება ჰქონდეს როგორც არაუარყოფითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები. ამიტომ ორივე შემთხვევა უნდა განვიხილოთ: X- 3 ≥ 0 და X - 3 < 0.

1) როდის X- 3 ≥ 0 ჩვენი საწყისი უტოლობა რჩება ისეთი, როგორიც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:
X - 3 < 4.

2) როდის X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ფრჩხილების გახსნისას მივიღებთ:

-X + 3 < 4.

ამრიგად, ამ ორი პირობიდან მივედით უთანასწორობის ორი სისტემის გაერთიანებამდე:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

მოდით მოვაგვაროთ ისინი:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ასე რომ, ჩვენი პასუხი არის ორი სიმრავლის გაერთიანება:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

განსაზღვრეთ უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები. ეს არის -1 და 7. უფრო მეტიც X-1-ზე მეტი, მაგრამ 7-ზე ნაკლები.
გარდა ამისა, X≥ 3. ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1-დან 7-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების გამოკლებით.

უპასუხე: -1 < X < 7.

ან: X ∈ (-1; 7).

დანამატები.

1) არსებობს უფრო მარტივი და მოკლე გზა ჩვენი უთანასწორობის გადასაჭრელად - გრაფიკულად. ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ჰორიზონტალური ღერძი (ნახ. 1).

გამოხატულება | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xმე-3 პუნქტამდე ოთხ ერთეულზე ნაკლებია. ღერძზე ვნიშნავთ რიცხვს 3 და ვითვლით 4 განყოფილებას მარცხნივ და მარჯვნივ. მარცხნივ მივალთ -1 წერტილამდე, მარჯვნივ - 7 წერტილამდე. ამრიგად, წერტილები Xჩვენ უბრალოდ ვნახეთ ისინი მათი გამოთვლის გარეშე.

უფრო მეტიც, უტოლობის პირობის მიხედვით, თავად -1 და 7 არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პასუხს:

1 < X < 7.

2) მაგრამ არის კიდევ ერთი გამოსავალი, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე გრაფიკული მეთოდი. ამისათვის ჩვენი უტოლობა უნდა იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სახით:

4 < X - 3 < 4.

მოდულის წესის მიხედვით ხომ ასეა. არაუარყოფითი რიცხვი 4 და მსგავსი უარყოფითი რიცხვი -4 არის უტოლობის ამოხსნის საზღვრები.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

მაგალითი 2 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 2| ≥ 5

გამოსავალი.

ეს მაგალითი მნიშვნელოვნად განსხვავდება წინა მაგალითისგან. მარცხენა მხარე 5-ზე მეტია ან 5-ის ტოლია. გეომეტრიული თვალსაზრისით, უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2 წერტილიდან 5 ერთეულზე ან მეტ მანძილზეა (ნახ. 2). გრაფიკი აჩვენებს, რომ ეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც არის -3-ზე ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი 7-ის. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი უკვე მივიღეთ.

უპასუხე: -3 ≥ X ≥ 7.

გზაზე, ჩვენ ვხსნით იმავე უტოლობას თავისუფალი ტერმინის გადალაგებით მარცხნივ და მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

პასუხი იგივეა: -3 ≥ X ≥ 7.

ან: X ∈ [-3; 7]

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3 . უთანასწორობის ამოხსნა 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

გამოსავალი.

ნომერი Xშეიძლება იყოს დადებითი რიცხვი, უარყოფითი რიცხვი ან ნული. ამიტომ სამივე გარემოება უნდა გავითვალისწინოთ. როგორც მოგეხსენებათ, ისინი გათვალისწინებულია ორ უტოლობაში: X≥ 0 და X < 0. При X≥ 0 ჩვენ უბრალოდ გადავიწერთ ჩვენს თავდაპირველ უტოლობას, როგორც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ახლა მეორე შემთხვევის შესახებ: თუ X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ფრჩხილების გაფართოება:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ორი სისტემა:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები სისტემებში - და ეს ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ორი კვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის ჩვენ უტოლობების მარცხენა მხარეებს ვატოლებთ ნულს.

დავიწყოთ პირველით:

6X 2 - X - 2 = 0.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება - იხილეთ განყოფილება "კვადრატული განტოლება". ჩვენ დაუყოვნებლივ დავასახელებთ პასუხს:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

უტოლობათა პირველი სისტემიდან ვიღებთ, რომ თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1/2-დან 2/3-მდე. ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების გაერთიანებას X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე კვადრატული განტოლება:

6X 2 + X - 2 = 0.

მისი ფესვები:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

დასკვნა: როდის X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

გავაერთიანოთ ორი პასუხი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი: ამონახსნი არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -2/3-დან 2/3-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების ჩათვლით.

უპასუხე: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ან: X ∈ [-2/3; 2/3].

მოდულებთან უტოლობების გამოვლენის მეთოდები (წესები) მოიცავს მოდულების თანმიმდევრულ გამოვლენას სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის ინტერვალების გამოყენებით. საბოლოო ვერსიაში მიიღება რამდენიმე უტოლობა, საიდანაც აღმოჩენილია პრობლემის პირობებს დამაკმაყოფილებელი ინტერვალები ან ინტერვალები.

მოდით გადავიდეთ საერთო მაგალითების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

წრფივი უტოლობა მოდულებით

წრფივში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი წრფივად შედის განტოლებაში.

მაგალითი 1. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ მოდულები გადადის ნულზე x=-1 და x=-2-ზე.

ეს წერტილები რიცხვთა ხაზს ყოფს ინტერვალებად

თითოეულ ამ ინტერვალში ჩვენ ვხსნით მოცემულ უტოლობას. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ ვხატავთ სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის უბნების გრაფიკულ ნახაზებს. ისინი გამოსახულია როგორც უბნები თითოეული ფუნქციის ნიშნებით

ან ინტერვალები ყველა ფუნქციის ნიშნებით.

პირველ ინტერვალში ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს

ვამრავლებთ ორივე მხარეს მინუს ერთზე და უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. თუ ამ წესთან შეგუება გაგიჭირდებათ, მინუსის მოსაშორებლად შეგიძლიათ ნიშნის უკან თითოეული ნაწილი გადაიტანოთ. ბოლოს მიიღებთ

x>-3 სიმრავლის კვეთა იმ ფართობთან, რომელზედაც ამოხსნილია განტოლებები იქნება ინტერვალი (-3;-2). მათთვის, ვისაც გადაწყვეტილებების პოვნა უადვილდება, შეგიძლიათ გრაფიკულად დახაზოთ ამ უბნების კვეთა

ტერიტორიების საერთო გადაკვეთა იქნება გამოსავალი. თუ მკაცრად არათანაბარი, კიდეები არ შედის. თუ მკაცრი არ არის, შეამოწმეთ ჩანაცვლებით.

მეორე ინტერვალზე ვიღებთ

ჯვარი მონაკვეთი იქნება ინტერვალი (-2;-5/3).

გრაფიკულად გამოსავალი ასე გამოიყურება

მესამე ინტერვალზე ვიღებთ

ეს მდგომარეობა არ იძლევა გამოსავალს სასურველ რეგიონში.

ვინაიდან ნაპოვნი ორი ამონახსნი (-3;-2) და (-2;-5/3) ესაზღვრება x=-2 წერტილს, ჩვენც ვამოწმებთ.
ამგვარად, წერტილი x=-2 არის ამონახსნი. ამის გათვალისწინებით ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება (-3;5/3).

გამოსავალი:
მაგალითი 2. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

წერტილები რეალურ ღერძს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს მუდმივი ნიშნის ინტერვალების მიხედვით და ვხსნით უტოლობას.

1) პირველ ინტერვალში ყველა სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ მოდულების გაფართოებისას ვცვლით ნიშანს საპირისპიროზე.

ნაპოვნი x მნიშვნელობების გადაკვეთა განხილულ ინტერვალთან იქნება პუნქტების ნაკრები

2) x=2 და x=3 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია, მეორე და მესამე უარყოფითი. მოდულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

უტოლობა, რომელიც იმ ინტერვალთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვხსნით, იძლევა ერთ ამონახსანს – x=3.

3) x=3 და x=4 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი და მეორე სუბმოდულური ფუნქციები დადებითია, ხოლო მესამე უარყოფითი. ამის საფუძველზე ვიღებთ

ეს პირობა აჩვენებს, რომ მთელი ინტერვალი დააკმაყოფილებს უტოლობას მოდულით.

4) x>4 მნიშვნელობებისთვის ყველა ფუნქციას აქვს დადებითი ნიშნები. მოდულების გაფართოებისას ჩვენ არ ვცვლით მათ ნიშანს.

ნაპოვნი მდგომარეობა ინტერვალთან კვეთაზე იძლევა ამონახსნების შემდეგ კომპლექტს

ვინაიდან უტოლობა ყველა ინტერვალზე წყდება, რჩება x-ის ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის საერთო მნიშვნელობის პოვნა.

გამოსავალი იქნება ორი ინტერვალით

ამით დასრულდა მაგალითი.
მაგალითი 3. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
||x-1|-5|>3-2x

ჩვენ გვაქვს უტოლობა მოდულთან მოდულიდან. ასეთი უთანასწორობები ვლინდება მოდულების ბუდობისას, დაწყებული მათგან, რომლებიც უფრო ღრმაა.

სუბმოდულური ფუნქცია x-1 გარდაიქმნება ნულში x=1-ზე. 1-ს მიღმა უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის ეს არის უარყოფითი და დადებითი x>1-ისთვის. ამის საფუძველზე ვაფართოებთ შიდა მოდულს და განვიხილავთ უტოლობას თითოეულ ინტერვალზე.

პირველი, განიხილეთ ინტერვალი მინუს უსასრულობიდან ერთამდე<-4:

სუბმოდულური ფუნქცია არის ნული x=-4-ზე. მცირე მნიშვნელობებში ის დადებითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებით უარყოფითია. მოდით გავაფართოვოთ მოდული x-ისთვის

იმ ფართობთან კვეთაზე, რომელშიც განვიხილავთ, ვიღებთ გადაწყვეტილებების ერთობლიობას

შემდეგი ნაბიჯი არის მოდულის გაფართოება ინტერვალზე (-4;1)

მოდულის გაფართოების არეალის გათვალისწინებით, ვიღებთ გადაწყვეტის ინტერვალს

დაიმახსოვრე: თუ მოდულების ასეთი დარღვევების დროს მიიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც ესაზღვრება საერთო წერტილს, მაშინ, როგორც წესი, ეს ასევე გამოსავალია.

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეამოწმოთ.

ამ შემთხვევაში ვცვლით x=-4 წერტილს.
ასე რომ x=-4 არის გამოსავალი.

მოდით გავაფართოვოთ შიდა მოდული x>1-ისთვის<6.
სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითი x-ისთვის

მოდულის გაფართოება ვიღებთ

ეს პირობა განყოფილებაში ინტერვალით (1;6) იძლევა ამონახსნების ცარიელ კომპლექტს.

x>6-ისთვის ვიღებთ უტოლობას
ყოველივე ზემოთქმულის გათვალისწინებით, მოდულებთან უთანასწორობის ერთადერთი გამოსავალი იქნება შემდეგი ინტერვალი.

უტოლობა კვადრატული განტოლებების შემცველი მოდულებით

მაგალითი 4. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x^2+3x|>=2-x^2

გამოსავალი:
სუბმოდულური ფუნქცია ქრება x=0, x=-3 წერტილებში.

მინუს ერთის მარტივი ჩანაცვლება
ჩვენ ვადგენთ, რომ ის ნულზე ნაკლებია (-3;0) ინტერვალში და დადებითია მის მიღმა.

მოდით გავაფართოვოთ მოდული იმ ადგილებში, სადაც სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია

რჩება რეგიონების განსაზღვრა, სადაც კვადრატის ფუნქცია დადებითია. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

მოხერხებულობისთვის ვცვლით წერტილს x=0, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (-2;1/2).

ფუნქცია ამ ინტერვალში უარყოფითია, რაც იმას ნიშნავს, რომ გამოსავალი იქნება შემდეგი x კომპლექტები

აქ გადაწყვეტილებების მქონე უბნების კიდეები მითითებულია ფრჩხილებით, ეს გაკეთდა შეგნებულად, შემდეგი წესის გათვალისწინებით.

დაიმახსოვრე: თუ უტოლობა მოდულით, ან მარტივი უტოლობა მკაცრია, მაშინ ნაპოვნი უბნების კიდეები არ არის ამონახსნები, მაგრამ თუ უტოლობები არ არის მკაცრი (), მაშინ კიდეები არის ამონახსნები (მითითებულია კვადრატული ფრჩხილებით).

ამ წესს ბევრი მასწავლებელი იყენებს: თუ მკაცრი უტოლობაა მოცემული და გამოთვლების დროს ამონახსნში ჩაწერთ კვადრატულ ფრჩხილს ([,]), ისინი ამას ავტომატურად ჩათვლიან არასწორ პასუხად. ასევე, ტესტირებისას, თუ მოდულებთან არა მკაცრი უტოლობაა მოცემული, ამონახსნებს შორის მოძებნეთ კვადრატული ფრჩხილების მქონე უბნები.

ინტერვალზე (-3;0), მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვცვლით ფუნქციის ნიშანს საპირისპიროზე

უთანასწორობის გამჟღავნების არეალის გათვალისწინებით, გამოსავალს ექნება ფორმა
წინა არეალთან ერთად ეს მისცემს ორ ნახევარ ინტერვალს

გამოსავალი:
მაგალითი 5. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა<3.

9x^2-|x-3|>=9x-2

მოცემულია არამკაცრი უტოლობა, რომლის სუბმოდულური ფუნქცია ტოლია ნულის x=3 წერტილში.

მცირე მნიშვნელობებისთვის ის უარყოფითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დადებითია. გააფართოვეთ მოდული x ინტერვალზე