რა არის სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი

1) სამკუთხედის კუთხეების ჯამია 180°.

მტკიცებულება

მოდით, "ABC" იყოს თვითნებური სამკუთხედი, დავხატოთ სწორი ხაზი B წვეროზე, AC-ის პარალელურად BC სწორი ხაზის საპირისპირო გვერდები DBC და ACB ტოლია, როგორც შიდა განლაგება, რომელიც წარმოიქმნება BC პარალელური ხაზებით, B და C კუთხით ABD სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის ABD და BAC კუთხეების ჯამს, ვინაიდან ეს არის ცალმხრივი შიდა კუთხეები AB-ის სეკანტისთვის, მაშინ მათი ჯამი უდრის 180°-ს.
2) სამკუთხედის გარე კუთხე მოცემულ წვეროზე არის სამკუთხედის კუთხის მიმდებარე კუთხე ამ წვეროზე.

თეორემა: სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის მიმდებარედ.

მტკიცებულება. მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემით
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
ამას მოჰყვება
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
თეორემა დადასტურებულია.

თეორემიდან გამომდინარეობს:
სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.
3) სამკუთხედის კუთხეების ჯამი = 180 გრადუსი. თუ ერთ-ერთი კუთხე მართია (90 გრადუსი), დანარჩენი ორიც არის 90. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული მათგანი 90-ზე ნაკლებია, ანუ მახვილია. თუ ერთი კუთხე ბლაგვია, მაშინ დანარჩენი ორი 90-ზე ნაკლებია, ანუ აშკარად მკვეთრია.
4) ბლაგვი - 90 გრადუსზე მეტი
მწვავე - 90 გრადუსზე ნაკლები
5) ა. სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია.
ბ. ფეხები და ჰიპოტენუზა
6) 6°. თითოეულ სამკუთხედში უფრო დიდი კუთხე დევს დიდი მხარის საპირისპიროდ და პირიქით: უფრო დიდი კუთხე დევს დიდი კუთხის საპირისპიროდ. ნებისმიერ სეგმენტს აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი შუა წერტილი.
7) პითაგორას თეორემის მიხედვით: ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, რაც ნიშნავს, რომ ჰიპოტენუზა თითოეულ ფეხზე მეტია.
8) --- იგივეა, რაც 7
9) სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია. და თუ სამკუთხედის თითოეული გვერდი მეტია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე, მაშინ კუთხეების ჯამი იქნება 180-ზე მეტი, რაც შეუძლებელია. ამრიგად, სამკუთხედის თითოეული გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე.
10) ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.
ვინაიდან ეს სამკუთხედი მართკუთხაა, მისი ერთ-ერთი კუთხე მართია, ანუ უდრის 90 გრადუსს.
მაშასადამე, დანარჩენი ორი მახვილი კუთხის ჯამი არის 180-90=90 გრადუსი.
11) 1. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომელშიც A კუთხე არის მართი კუთხე, კუთხე B = 30 გრადუსი და კუთხე C = 60. მოდით, ABC სამკუთხედს დავურთოთ ტოლი სამკუთხედი ABD. ვიღებთ BCD სამკუთხედებს, რომლებშიც კუთხე B = კუთხე D = 60 გრადუსი, შესაბამისად DC = BC. მაგრამ კონსტრუქციის მიხედვით AC არის 1/2 BC, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.2. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს, მაშინ ამ ფეხის მოპირდაპირე კუთხე უდრის 30 გრადუსს, მოდით განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომლის ფეხი AC უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. მოდით დავურთოთ სამკუთხედს ABC ტოლი სამკუთხედი ABD. იღებს ტოლგვერდა სამკუთხედს BCD. ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეები ერთმანეთის ტოლია (რადგან თანაბარი კუთხეები ტოლი გვერდების საპირისპიროდ მდებარეობს), ამიტომ თითოეული მათგანი = 60 გრადუსი. მაგრამ კუთხე DBC = 2 კუთხე ABC, შესაბამისად კუთხე ABC = 30 გრადუსი, რაც დასამტკიცებელია.

ეს თეორემა ასევე ჩამოყალიბებულია სახელმძღვანელოში ლ.ს. და პოგორელოვის სახელმძღვანელოში A.V. . ამ სახელმძღვანელოებში ამ თეორემის მტკიცებულებები მნიშვნელოვნად არ განსხვავდება და, შესაბამისად, ჩვენ წარმოგიდგენთ მის დადასტურებას, მაგალითად, A.V.

თეორემა: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°

მტკიცებულება. მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. მოდით გავავლოთ ხაზი B წვეროზე AC წრფის პარალელურად. მოდი დავნიშნოთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები BC სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს იყოს (ნახ. 6).

კუთხეები DBC და ACB ტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი ცრუები, რომლებიც წარმოიქმნება BC სექანტით პარალელური სწორი ხაზებით AC და BD. მაშასადამე, B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ABD კუთხის ტოლია. ხოლო სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის ABD და BAC კუთხეების ჯამს. ვინაიდან ეს არის ცალმხრივი შიდა კუთხეები პარალელური AC და BD და სეკანტური AB-სთვის, მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურებულია.

ამ მტკიცებულების იდეა არის პარალელური ხაზის დახატვა და მიუთითოს, რომ საჭირო კუთხეები ტოლია. მოდით აღვადგინოთ ასეთი დამატებითი კონსტრუქციის იდეა ამ თეორემის დასამტკიცებლად სააზროვნო ექსპერიმენტის კონცეფციის გამოყენებით. თეორემის დადასტურება სააზროვნო ექსპერიმენტის გამოყენებით. ასე რომ, ჩვენი სააზროვნო ექსპერიმენტის საგანია სამკუთხედის კუთხეები. მოდი ის გონებრივად მოვათავსოთ ისეთ პირობებში, რომლებშიც მისი არსი შეიძლება გამოვლინდეს განსაკუთრებული დარწმუნებით (სტადია 1).

ასეთი პირობები იქნება სამკუთხედის კუთხეების ისეთი განლაგება, რომელშიც მათი სამივე წვერო იქნება გაერთიანებული ერთ წერტილში. ასეთი კომბინაცია შესაძლებელია, თუ დავუშვებთ კუთხეების „გადაადგილების“ შესაძლებლობას სამკუთხედის გვერდების გადაადგილებით დახრილობის კუთხის შეცვლის გარეშე (ნახ. 1). ასეთი მოძრაობები არსებითად არის შემდგომი გონებრივი გარდაქმნები (სტადია 2).

სამკუთხედის კუთხეებისა და გვერდების აღნიშვნით (ნახ. 2), "მოძრაობით" მიღებული კუთხეები, ამით გონებრივად ვქმნით გარემოს, კავშირების სისტემას, რომელშიც ვათავსებთ ჩვენს აზროვნების საგანს (სტადია 3).

AB წრფე, რომელიც „მოძრაობს“ BC წრფეზე და მასზე დახრილობის კუთხის შეცვლის გარეშე, 1 კუთხეს გადააქვს კუთხე 5-ზე, ხოლო „მოძრაობს“ AC ხაზის გასწვრივ, გადააქვს კუთხე 2-ზე 4-ზე. ვინაიდან ასეთი „მოძრაობით“ AB წრფე. არ ცვლის დახრის კუთხეს AC და BC წრფეებზე, მაშინ დასკვნა აშკარაა: a და a1 სხივები AB-ის პარალელურია და ერთმანეთში გარდაიქმნება, ხოლო b და b1 სხივები BC და AC გვერდების გაგრძელებაა, შესაბამისად. ვინაიდან კუთხე 3 და კუთხე b და b1 სხივებს შორის ვერტიკალურია, ისინი ტოლია. ამ კუთხეების ჯამი უდრის ბრუნვის კუთხეს aa1 - რაც ნიშნავს 180°-ს.

დასკვნა

ნაშრომში განხორციელდა ზოგიერთი სასკოლო გეომეტრიული თეორემების „კონსტრუირებული“ მტკიცებულებები სააზროვნო ექსპერიმენტის სტრუქტურის გამოყენებით, რომელმაც დაადასტურა ჩამოყალიბებული ჰიპოთეზა.

წარმოდგენილი მტკიცებულება ეფუძნებოდა ისეთ ვიზუალურ და სენსორულ იდეალიზაციებს: „შეკუმშვა“, „გაჭიმვა“, „მოცურება“, რამაც შესაძლებელი გახადა ორიგინალური გეომეტრიული ობიექტის განსაკუთრებული სახით გარდაქმნა და მისი არსებითი მახასიათებლების გამოკვეთა, რაც დამახასიათებელია აზრისთვის. ექსპერიმენტი. ამ შემთხვევაში, სააზროვნო ექსპერიმენტი მოქმედებს, როგორც გარკვეული „შემოქმედებითი ინსტრუმენტი“, რომელიც ხელს უწყობს გეომეტრიული ცოდნის გაჩენას (მაგალითად, ტრაპეციის შუა ხაზის ან სამკუთხედის კუთხეების შესახებ). ასეთი იდეალიზაციები შესაძლებელს ხდის მტკიცების მთელი იდეის, „დამატებითი კონსტრუქციის“ განხორციელების იდეის გააზრებას, რაც საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ სკოლის მოსწავლეების მიერ ფორმალური დედუქციური მტკიცების პროცესის უფრო ცნობიერი გაგების შესაძლებლობაზე. გეომეტრიული თეორემები.

სააზროვნო ექსპერიმენტი არის გეომეტრიული თეორემების მოპოვებისა და აღმოჩენის ერთ-ერთი ძირითადი მეთოდი. აუცილებელია შემუშავდეს მეთოდის სტუდენტისთვის გადაცემის მეთოდოლოგია. ღია რჩება კითხვა მეთოდის „მიღებისთვის“ მისაღები სტუდენტის ასაკის შესახებ, ამ გზით წარმოდგენილი მტკიცებულებების „გვერდითი ეფექტების“ შესახებ.

ეს საკითხები შემდგომ შესწავლას საჭიროებს. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ერთი რამ ცხადია: სააზროვნო ექსპერიმენტი ავითარებს თეორიულ აზროვნებას სკოლის მოსწავლეებში, არის მისი საფუძველი და, შესაბამისად, საჭიროა აზროვნების ექსპერიმენტის უნარის განვითარება.

თეორემა. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი ორი მართი კუთხის ტოლია.

ავიღოთ სამკუთხედი ABC (სურ. 208). ავღნიშნოთ მისი შიდა კუთხეები 1, 2 და 3 რიცხვებით. დავამტკიცოთ ეს

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

მოდით დავხატოთ სამკუთხედის ზოგიერთი წვეროდან, მაგალითად B, სწორი ხაზი MN AC-ის პარალელურად.

B წვეროზე მივიღეთ სამი კუთხე: ∠4, ∠2 და ∠5. მათი ჯამი არის სწორი კუთხე, ამიტომ ის უდრის 180°-ს:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

მაგრამ ∠4 = ∠1 არის შიდა ჯვარედინი კუთხეები პარალელური ხაზებით MN და AC და სეკანტი AB.

∠5 = ∠3 - ეს არის შიდა განივი კუთხეები MN და AC პარალელური ხაზებით და BC სკანტით.

ეს ნიშნავს, რომ ∠4 და ∠5 შეიძლება შეიცვალოს მათი ტოლებით ∠1 და ∠3.

ამიტომ, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. თეორემა დადასტურებულია.

2. სამკუთხედის გარე კუთხის თვისება.

თეორემა. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.

ფაქტობრივად, სამკუთხედში ABC (ნახ. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, მაგრამ ასევე ∠ВСD, ამ სამკუთხედის გარე კუთხე, რომელიც არ არის მიმდებარე ∠1 და ∠2, ასევე უდრის 180°-ს. - ∠3.

ამრიგად:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

ამიტომ, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

სამკუთხედის გარე კუთხის გამომუშავებული თვისება განმარტავს სამკუთხედის გარე კუთხის შესახებ ადრე დადასტურებული თეორემის შინაარსს, რომელშიც ნათქვამია მხოლოდ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე უფრო დიდია, ვიდრე სამკუთხედის ყოველი შიდა კუთხე, რომელიც არ არის მიმდებარე; ახლა დადგენილია, რომ გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე ორივე შიდა კუთხის ჯამს.

3. 30° კუთხით მართკუთხა სამკუთხედის თვისება.

თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი, რომელიც მდებარეობს 30° კუთხის საპირისპიროდ, უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

ACB მართკუთხა სამკუთხედში B კუთხე იყოს 30°-ის ტოლი (სურ. 210). მაშინ მისი სხვა მახვილი კუთხე იქნება 60°-ის ტოლი.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ფეხი AC უდრის AB ჰიპოტენუზის ნახევარს. მოდით გავაფართოვოთ ფეხი AC მარჯვენა კუთხის C წვეროს მიღმა და გამოვყოთ CM სეგმენტი AC სეგმენტის ტოლი. დავუკავშიროთ M წერტილი B წერტილს. მიღებული სამკუთხედი ВСМ უდრის სამკუთხედს ACB. ჩვენ ვხედავთ, რომ ABM სამკუთხედის თითოეული კუთხე უდრის 60°-ს, ამიტომ ეს სამკუთხედი ტოლგვერდა სამკუთხედია.

ფეხი AC უდრის AM-ის ნახევარს და რადგან AM უდრის AB-ს, ფეხი AC უდრის AB ჰიპოტენუზის ნახევარს.

>>გეომეტრია: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სრული გაკვეთილები

გაკვეთილის თემა: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

გაკვეთილის მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნის კონსოლიდაცია და შემოწმება თემაზე: „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი“;
• სამკუთხედის კუთხეების თვისებების დადასტურება;
• ამ თვისების გამოყენება მარტივი პრობლემების გადაჭრაში;
• ისტორიული მასალის გამოყენება მოსწავლეთა შემეცნებითი აქტივობის გასავითარებლად;
• ნახატების აგებისას სიზუსტის უნარის დანერგვა.

გაკვეთილის მიზნები:

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემის გადაჭრის უნარები.

გაკვეთილის გეგმა:

1. სამკუთხედი;
2. თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ;
3. დავალებების მაგალითები.

სამკუთხედი.

ფაილი:O.gif სამკუთხედი- უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით და სამი სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.
სივრცეში სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთ სიბრტყეს.
ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად - ამ პროცესს ე.წ სამკუთხედი.
არსებობს მათემატიკის ნაწილი, რომელიც მთლიანად ეძღვნება სამკუთხედების კანონების შესწავლას - ტრიგონომეტრია.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

ფაილი:T.gif სამკუთხედის კუთხის ჯამის თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის კლასიკური თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება" :

მიეცით Δ ABC. B წვეროზე გავავლოთ (AC) პარალელურ წრფე და მოვნიშნოთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები იყოს BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს. მაშინ კუთხე (DBC) და კუთხე (ACB) ტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი მდგომი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტი (BC). მაშინ B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის კუთხეს (ABD). მაგრამ კუთხე (ABD) და კუთხე (BAC) ABC სამკუთხედის A წვეროსთან არის შიდა ცალმხრივი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტი (AB), და მათი ჯამი არის 180°. ამრიგად, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურებულია.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის მიმდებარედ.

მტკიცებულება:

მიეცით Δ ABC. წერტილი D დევს AC წრფეზე ისე, რომ A დევს C და D შორის. მაშინ BAD არის სამკუთხედის კუთხის გარე A წვეროზე და A + BAD = 180°. მაგრამ A + B + C = 180° და, შესაბამისად, B + C = 180° - A. აქედან გამომდინარე, BAD = B + C. შედეგი დადასტურებულია.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.

დავალება.

სამკუთხედის გარე კუთხე არის სამკუთხედის ნებისმიერი კუთხის მიმდებარე კუთხე. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამის, რომლებიც არ არიან მიმდებარე.
(ნახ.1)

გამოსავალი:

მოდით Δ ABC ∠DAС იყოს გარე (ნახ. 1). შემდეგ ∠DAC = 180°-∠BAC (მიმდებარე კუთხეების თვისებით), სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემით ∠B+∠C = 180°-∠BAC. ამ ტოლობებიდან ვიღებთ ∠DAС=∠В+∠С

საინტერესო ფაქტი:

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი" :

ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე ნაკლებია.ევკლიდიუს გეომეტრიაში ის ყოველთვის უდრის 180-ს. რიმანის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე მეტია.

მათემატიკის ისტორიიდან:

ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.) თავის ნაშრომში "ელემენტები" იძლევა შემდეგ განმარტებას: "პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან და განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით გაშლილნი, არ ხვდებიან ერთმანეთს".
პოსიდონიუსი (ძვ. წ. I ს.) "ორი სწორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში, ერთმანეთისგან თანაბრად დაშორებული"
ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა პაპუსმა (ძვ. წ. III ს.) შემოიტანა პარალელური ხაზების სიმბოლო - ნიშანი =. შემდგომში ინგლისელმა ეკონომისტმა რიკარდომ (1720-1823) გამოიყენა ეს სიმბოლო ტოლობის ნიშნად.
მხოლოდ მე-18 საუკუნეში დაიწყეს პარალელური ხაზებისთვის სიმბოლოს გამოყენება - ნიშანი ||.
თაობებს შორის ცოცხალი კავშირი ერთი წუთითაც არ წყდება. ძველი ბერძნები, დაკვირვებებისა და პრაქტიკული გამოცდილების საფუძველზე, გამოიტანეს დასკვნები, გამოთქვეს ჰიპოთეზები, შემდეგ კი, მეცნიერთა შეხვედრებზე - სიმპოზიუმებზე (სიტყვასიტყვით "დღესასწაული") - ისინი ცდილობდნენ ამ ჰიპოთეზების დასაბუთებას და დამტკიცებას. ამ დროს გაჩნდა განცხადება: "სიმართლე იბადება კამათში".

კითხვები:

1. რა არის სამკუთხედი?
2. რას ამბობს თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ?
3. რა არის სამკუთხედის გარე კუთხე?