აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები და რამდენი? განტოლება და მისი ფესვები: განმარტებები, მაგალითები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაქტორების პროდუქტი (ფაქტორირებული):
.

შემდეგ ვივარაუდოთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განვიხილოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ დახაზავთ ფუნქციას
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
ზე, გრაფიკი კვეთს x-ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს.

ქვემოთ მოცემულია ასეთი გრაფიკების მაგალითები.

კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული სასარგებლო ფორმულები

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სად
; .

ასე რომ, მივიღეთ მეორე ხარისხის მრავალწევრის ფორმულა სახით:
.
ეს აჩვენებს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულია, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების ფესვი (2.1). იმის გამო, რომ ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს ჩვეულებრივ მრავალჯერადს უწოდებენ. ანუ, მათ მიაჩნიათ, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება (3.1):
.
(1-თან) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, .

ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.
;
;

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:

ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს x ღერძს (ღერძს). ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.
;
;
.

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:

განტოლებების ამოხსნა მათემატიკაში განსაკუთრებულ ადგილს იკავებს. ამ პროცესს წინ უძღვის თეორიის მრავალსაათიანი შესწავლა, რომლის დროსაც სტუდენტი სწავლობს განტოლებების ამოხსნას, მათი ტიპის განსაზღვრას და უნარს სრულყოფილად ავტომატიზაციამდე მიაქვს. თუმცა, ფესვების ძიებას ყოველთვის არ აქვს აზრი, რადგან ისინი შეიძლება უბრალოდ არ არსებობდეს. არსებობს სპეციალური ტექნიკა ფესვების მოსაძებნად. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ფუნქციებს, მათ განმარტების სფეროებს, ასევე შემთხვევებს, როდესაც მათი ფესვები აკლია.

რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?

განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ არ არსებობს x რეალური არგუმენტები, რომლებისთვისაც განტოლება იდენტურია ჭეშმარიტი. არასპეციალისტისთვის ეს ფორმულირება, ისევე როგორც მათემატიკური თეორემებისა და ფორმულების უმეტესობა, გამოიყურება ძალიან ბუნდოვანი და აბსტრაქტული, მაგრამ ეს თეორიულად არის. პრაქტიკაში ყველაფერი ძალიან მარტივი ხდება. მაგალითად: განტოლებას 0 * x = -53 არ აქვს ამონახსნი, რადგან არ არსებობს x რიცხვი, რომლის ნამრავლი ნულთან ერთად სხვა რამეს იძლევა ნულის გარდა.

ახლა ჩვენ განვიხილავთ განტოლებების ყველაზე ძირითად ტიპებს.

1. წრფივი განტოლება

ძირითადად, წრფივი განტოლებები წყდება უბრალოდ რიცხვითი ნაწილის ერთ ნაწილზე და x-ის შინაარსის მეორეზე გადატანით. შედეგი არის mx = n ფორმის განტოლება, სადაც m და n რიცხვებია, ხოლო x უცნობია. x-ის საპოვნელად, უბრალოდ გაყავით ორივე მხარე m-ზე. შემდეგ x = n/m. წრფივი განტოლებების უმეტესობას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ფესვები ან უსასრულოდ ბევრია, ან საერთოდ არ არის ფესვები. როდესაც m = 0 და n = 0, განტოლება იღებს ფორმას 0 * x = 0. ასეთი განტოლების ამონახსნი იქნება აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი.

თუმცა, რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?

m = 0-სთვის და n = 0-ისთვის განტოლებას არ აქვს ფესვები რეალური რიცხვების სიმრავლეში. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ამ განტოლებებს არ აქვთ ფესვები.

2. კვადრატული განტოლება

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 a = 0-ის ფორმის განტოლება. ყველაზე გავრცელებული ამოხსნა არის დისკრიმინანტი. კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის პოვნის ფორმულაა: D = b 2 - 4 * a * c. შემდეგი არის ორი ფესვი x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0-სთვის განტოლებას ორი ფესვი აქვს, D = 0-სთვის ერთი ფესვი. მაგრამ რომელ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები? კვადრატული განტოლების ფესვების რაოდენობაზე დაკვირვების უმარტივესი გზა არის ფუნქციის გრაფიკის დახატვა, რომელიც არის პარაბოლა. a > 0-ისთვის ტოტები მიმართულია ზემოთ, a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ვიზუალურად განსაზღვროთ ფესვების რაოდენობა დისკრიმინანტის გაანგარიშების გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ პარაბოლის წვერო და დაადგინოთ რა მიმართულებით არის მიმართული ტოტები. წვეროს x კოორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით: x 0 = -b / 2a. ამ შემთხვევაში, წვეროს y კოორდინატი იპოვება მხოლოდ x 0 მნიშვნელობის საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით.

კვადრატულ განტოლებას x 2 - 8x + 72 = 0 არ აქვს ფესვები, რადგან მას აქვს უარყოფითი დისკრიმინანტი D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლა არ ეხება x-ღერძს და ფუნქცია არასოდეს იღებს მნიშვნელობას 0, შესაბამისად, განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განიხილება ტრიგონომეტრიულ წრეზე, მაგრამ ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. ამ სტატიაში განვიხილავთ ორ ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას და მათ განტოლებებს: sinx და cosx. ვინაიდან ეს ფუნქციები ქმნიან ტრიგონომეტრიულ წრეს რადიუსით 1, |sinx| და |cosx| არ შეიძლება იყოს 1-ზე მეტი. მაშ, რომელ სინქსის განტოლებას არ აქვს ფესვები? განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები sinx ფუნქციის გრაფიკი.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია სიმეტრიულია და აქვს 2pi-ის გამეორების პერიოდი. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 1, ხოლო მინიმალური -1. მაგალითად, გამონათქვამს cosx = 5 არ ექნება ფესვები, რადგან მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა ერთზე მეტია.

ეს არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმარტივესი მაგალითი. სინამდვილეში, მათ გადაჭრას შეიძლება დასჭირდეს მრავალი გვერდი, რომლის ბოლოს ხვდები, რომ არასწორი ფორმულა გამოიყენე და ყველაფერი თავიდან უნდა დაიწყო. ხანდახან ფესვების სწორად პოვნის შემთხვევაშიც კი დაგავიწყდებათ OD-ზე შეზღუდვების გათვალისწინება, რის გამოც პასუხში ჩნდება დამატებითი ფესვი ან ინტერვალი და მთელი პასუხი შეცდომად გადაიქცევა. ამიტომ, მკაცრად დაიცავით ყველა შეზღუდვა, რადგან ყველა ფესვი არ ჯდება ამოცანის ფარგლებში.

4. განტოლებათა სისტემები

განტოლებათა სისტემა არის განტოლებათა ერთობლიობა, რომლებიც გაერთიანებულია ხვეული ან კვადრატული ფრჩხილებით. ხვეული ფრჩხილები მიუთითებს იმაზე, რომ ყველა განტოლება შესრულებულია ერთად. ანუ, თუ ერთ განტოლებას მაინც არ აქვს ფესვები ან ეწინააღმდეგება მეორეს, მთელ სისტემას არ აქვს გამოსავალი. კვადრატულ ფრჩხილებში მითითებულია სიტყვა "ან". ეს ნიშნავს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას მაინც აქვს ამონახსნი, მაშინ მთელ სისტემას აქვს ამონახსნი.

c სისტემის პასუხი არის ცალკეული განტოლების ყველა ფესვის სიმრავლე. და ხვეული ბრეკეტების მქონე სისტემებს მხოლოდ საერთო ფესვები აქვთ. განტოლებათა სისტემები შეიძლება შეიცავდეს სრულიად განსხვავებულ ფუნქციებს, ამიტომ ასეთი სირთულე არ გვაძლევს საშუალებას დაუყოვნებლივ ვთქვათ რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პრობლემურ წიგნებსა და სახელმძღვანელოებში არის სხვადასხვა ტიპის განტოლებები: ის, რომელსაც ფესვები აქვს და ის, რომელსაც არა აქვს. პირველ რიგში, თუ ფესვებს ვერ პოულობთ, არ იფიქროთ, რომ საერთოდ არ არსებობს. შესაძლოა სადმე შეცდომა დაუშვით, მაშინ უბრალოდ გულდასმით უნდა გადაამოწმოთ თქვენი გადაწყვეტილება.

ჩვენ განვიხილეთ ყველაზე ძირითადი განტოლებები და მათი ტიპები. ახლა შეგიძლიათ გაიგოთ რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები. უმეტეს შემთხვევაში, ამის გაკეთება რთული არ არის. განტოლებების ამოხსნაში წარმატების მიღწევა მხოლოდ ყურადღებას და კონცენტრაციას მოითხოვს. ივარჯიშეთ მეტი, ეს დაგეხმარებათ მასალის ნავიგაციაში ბევრად უკეთ და სწრაფად.

ასე რომ, განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ:

• ხაზოვან განტოლებაში mx = n მნიშვნელობა არის m = 0 და n = 0;
• კვადრატულ განტოლებაში, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია;
• cosx = m / sinx = n ფორმის ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში, თუ |m| > 0, |n| > 0;
• განტოლებათა სისტემაში ხვეული ფრჩხილებით, თუ ერთ განტოლებას მაინც არ აქვს ფესვები და კვადრატული ფრჩხილებით, თუ ყველა განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მას შემდეგ რაც შევისწავლით თანასწორობის ცნებას, კერძოდ, მათ ერთ-ერთ ტიპს - რიცხვითი ტოლობების, შეგვიძლია გადავიდეთ სხვა მნიშვნელოვან ტიპზე - განტოლებაზე. ამ მასალის ფარგლებში განვმარტავთ რა არის განტოლება და მისი ფესვი, ჩამოვაყალიბებთ ძირითად განმარტებებს და მოვიყვანთ განტოლებების სხვადასხვა მაგალითებს და ვიპოვით მათ ფესვებს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

განტოლების ცნება

როგორც წესი, განტოლების კონცეფცია ისწავლება სკოლის ალგებრის კურსის დასაწყისში. შემდეგ ის ასე განისაზღვრება:

განმარტება 1

განტოლებაუწოდა ტოლობა უცნობი რიცხვით, რომელიც უნდა მოიძებნოს.

ჩვეულებრივია უცნობის აღნიშვნა მცირე ლათინური ასოებით, მაგალითად, t, r, m და ა.შ., მაგრამ x, y, z ყველაზე ხშირად გამოიყენება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლება განისაზღვრება მისი ჩაწერის ფორმით, ანუ თანასწორობა იქნება განტოლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის გარკვეულ ფორმამდე დაიყვანება - ის უნდა შეიცავდეს ასოს, მნიშვნელობას, რომელიც უნდა მოიძებნოს.

მოდით მოვიყვანოთ უმარტივესი განტოლებების რამდენიმე მაგალითი. ეს შეიძლება იყოს x = 5, y = 6 და ა.შ. ფორმის ტოლობები, ასევე ისეთები, რომლებიც მოიცავს არითმეტიკულ მოქმედებებს, მაგალითად, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x. = 3.

ფრჩხილების ცნების შესწავლის შემდეგ ჩნდება ფრჩხილებით განტოლების კონცეფცია. მათ შორისაა 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 და ა.შ. ასო, რომელიც უნდა მოიძებნოს, შეიძლება გამოჩნდეს არაერთხელ, მაგრამ რამდენჯერმე, მაგ. , მაგალითად, განტოლებაში x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . ასევე, უცნობი შეიძლება განთავსდეს არა მხოლოდ მარცხნივ, არამედ მარჯვნივ ან ორივე ნაწილში ერთდროულად, მაგალითად, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ან 8 x. − 9 = 2 (x + 17) .

გარდა ამისა, მას შემდეგ, რაც სტუდენტები გაეცნობიან მთელი რიცხვების, რეალისტების, რაციონალური, ნატურალური რიცხვების, ასევე ლოგარითმების, ფესვების და ძალების ცნებებს, ჩნდება ახალი განტოლებები, რომლებიც მოიცავს ყველა ამ ობიექტს. ასეთი გამონათქვამების მაგალითებს ცალკე სტატია მივუძღვენით.

მე-7 კლასის სასწავლო გეგმაში პირველად ჩნდება ცვლადი ცნება. ეს არის ასოები, რომლებსაც შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობის მიღება (დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ სტატია რიცხვითი, ასოების და ცვლადი გამონათქვამების შესახებ). ამ კონცეფციის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ განტოლება:

განმარტება 2

განტოლებაარის ტოლობა, რომელიც მოიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს.

ანუ, მაგალითად, გამონათქვამი x + 3 = 6 x + 7 არის განტოლება x ცვლადთან და 3 y − 1 + y = 0 არის განტოლება y ცვლადთან.

ერთ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ცვლადი, მაგრამ ორი ან მეტი. მათ, შესაბამისად, უწოდებენ განტოლებებს ორი, სამი ცვლადით და ა.შ. მოდით ჩამოვწეროთ განმარტება:

განმარტება 3

განტოლებები ორი (სამი, ოთხი ან მეტი) ცვლადით არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობების შესაბამის რაოდენობას.

მაგალითად, 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ფორმის ტოლობა არის განტოლება ერთი x ცვლადით, ხოლო x − z = 5 არის განტოლება ორი ცვლადით x და z. სამი ცვლადის მქონე განტოლების მაგალითი იქნება x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

განტოლების ფესვი

როდესაც განტოლებაზე ვსაუბრობთ, მაშინვე ჩნდება მისი ფესვის ცნების განსაზღვრის აუცილებლობა. შევეცადოთ ავხსნათ რას ნიშნავს ეს.

მაგალითი 1

ჩვენ გვეძლევა გარკვეული განტოლება, რომელიც მოიცავს ერთ ცვლადს. თუ უცნობი ასოს რიცხვს შევცვლით, განტოლება ხდება რიცხვითი ტოლობა - ჭეშმარიტი ან მცდარი. ასე რომ, თუ განტოლებაში a + 1 = 5 შევცვლით ასოს რიცხვით 2, მაშინ ტოლობა გახდება მცდარი, ხოლო თუ 4, მაშინ სწორი ტოლობა იქნება 4 + 1 = 5.

ჩვენ უფრო გვაინტერესებს ზუსტად ის მნიშვნელობები, რომლითაც ცვლადი გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობად. მათ ფესვებს ან ხსნარებს უწოდებენ. მოდით ჩამოვწეროთ განმარტება.

განმარტება 4

განტოლების ფესვიისინი უწოდებენ ცვლადის მნიშვნელობას, რომელიც აქცევს მოცემულ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.

ფესვს ასევე შეიძლება ეწოდოს გამოსავალი, ან პირიქით - ეს ორივე ცნება ერთსა და იმავეს ნიშნავს.

მაგალითი 2

ავიღოთ მაგალითი ამ განმარტების გასარკვევად. ზემოთ მივეცით განტოლება a + 1 = 5. განმარტების მიხედვით, ფესვი ამ შემთხვევაში იქნება 4, რადგან ასოს ნაცვლად ჩანაცვლებისას ის იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას და ორი არ იქნება ამონახსნები, რადგან ის შეესაბამება არასწორ ტოლობას 2 + 1 = 5.

რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს ერთ განტოლებას? აქვს თუ არა ყველა განტოლებას ფესვი? მოდით ვუპასუხოთ ამ კითხვებს.

ასევე არსებობს განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ ერთი ფესვი. მაგალითი იქნება 0 x = 5. ჩვენ შეგვიძლია მასში ჩავანაცვლოთ უსასრულო რაოდენობის სხვადასხვა რიცხვი, მაგრამ არცერთი მათგანი არ გადააქცევს მას ნამდვილ ტოლობაში, რადგან 0-ზე გამრავლება ყოველთვის იძლევა 0-ს.

ასევე არსებობს განტოლებები, რომლებსაც აქვთ რამდენიმე ფესვი. მათ შეიძლება ჰქონდეთ ფესვების სასრული ან უსასრულო რაოდენობა.

მაგალითი 3

ასე რომ, განტოლებაში x − 2 = 4 არის მხოლოდ ერთი ფესვი - ექვსი, x 2 = 9-ში ორი ფესვი - სამი და მინუს სამი, x · (x − 1) · (x − 2) = 0 სამი ფესვი - ნული, ერთი და ორი, x=x განტოლებაში უსაზღვროდ ბევრი ფესვია.

ახლა განვმარტოთ, როგორ სწორად დავწეროთ განტოლების ფესვები. თუ არცერთი არ არის, მაშინ ჩვენ ვწერთ: "განტოლებას არ აქვს ფესვები". ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ ცარიელი ნაკრების ნიშანი ∅. თუ ფესვები არსებობს, მაშინ ჩვენ ვწერთ მათ გამოყოფილი მძიმეებით ან აღვნიშნავთ, როგორც კომპლექტის ელემენტებს, ვამაგრებთ მათ ხვეულ ბრეკეტებში. ასე რომ, თუ რომელიმე განტოლებას აქვს სამი ფესვი - 2, 1 და 5, მაშინ ვწერთ - 2, 1, 5 ან (- 2, 1, 5).

დასაშვებია ფესვების დაწერა მარტივი ტოლობების სახით. ასე რომ, თუ განტოლებაში უცნობი აღინიშნება ასო y-ით, ხოლო ფესვები არის 2 და 7, მაშინ ვწერთ y = 2 და y = 7. ზოგჯერ ასოებს ემატება ხელმოწერები, მაგალითად, x 1 = 3, x 2 = 5. ამ გზით ჩვენ მივუთითებთ ფესვების რიცხვებს. თუ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, მაშინ პასუხს ვწერთ რიცხვითი ინტერვალის სახით ან ვიყენებთ ზოგადად მიღებულ აღნიშვნას: ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება N, მთელი რიცხვები - Z, რეალური რიცხვები - R. ვთქვათ, თუ უნდა დავწეროთ, რომ განტოლების ამონახსნი იქნება ნებისმიერი მთელი რიცხვი, მაშინ ვწერთ, რომ x ∈ Z და თუ რომელიმე რეალური რიცხვი ერთიდან ცხრამდე, მაშინ y ∈ 1, 9.

როდესაც განტოლებას აქვს ორი, სამი ფესვი ან მეტი, მაშინ, როგორც წესი, ჩვენ ვსაუბრობთ არა ფესვებზე, არამედ განტოლების ამონახსნებზე. მოდით ჩამოვაყალიბოთ განტოლების ამოხსნის განმარტება რამდენიმე ცვლადით.

განმარტება 5

ორი, სამი ან მეტი ცვლადის მქონე განტოლების ამონახსნი არის ცვლადის ორი, სამი ან მეტი მნიშვნელობა, რომლებიც მოცემულ განტოლებას სწორ რიცხვობრივ ტოლად აქცევს.

მოდით ავხსნათ განმარტება მაგალითებით.

მაგალითი 4

ვთქვათ, გვაქვს გამონათქვამი x + y = 7, რომელიც არის განტოლება ორი ცვლადით. პირველის ნაცვლად ერთი ჩავანაცვლოთ, მეორეს კი ორი. ჩვენ მივიღებთ არასწორ ტოლობას, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელობების ეს წყვილი არ იქნება ამ განტოლების გამოსავალი. თუ ავიღებთ წყვილს 3 და 4, მაშინ ტოლობა ხდება ჭეშმარიტი, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიპოვეთ გამოსავალი.

ასეთ განტოლებებს ასევე შეიძლება არ ჰქონდეს ფესვები ან მათი უსასრულო რაოდენობა. თუ გვჭირდება ორი, სამი, ოთხი ან მეტი მნიშვნელობის ჩაწერა, მაშინ ვწერთ მათ ფრჩხილებში მძიმეებით გამოყოფილი. ანუ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში, პასუხი ასე გამოიყურება (3, 4).

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს. მათი ამოხსნის ალგორითმს დეტალურად განვიხილავთ განტოლებების ამოხსნისადმი მიძღვნილ სტატიაში.

თუ ტექსტში შენიშნეთ შეცდომა, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter