რა არის მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი. მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი: პოვნის მაგალითები, პრობლემები და დეტალური გადაწყვეტილებები

ეს სტატია: „მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი“ ეძღვნება ფორმის გაურკვევლობის ფარგლებში გამჟღავნებას:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ და $ ^\infty $.

ასევე, ასეთი გაურკვევლობები შეიძლება გამოვლინდეს ექსპონენციალური ფუნქციის ლოგარითმის გამოყენებით, მაგრამ ეს არის სხვა ამოხსნის მეთოდი, რომელიც განხილული იქნება სხვა სტატიაში.

ფორმულა და შედეგები

ფორმულამეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტი იწერება შემდეგნაირად: $$ \lim_(x \ to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \დაახლოებით 2.718 $$

ფორმულიდან გამომდინარეობს შედეგები, რომლებიც ძალიან მოსახერხებელია მაგალითების გადასაჭრელად ლიმიტებით: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( სადაც ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \ to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \ to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

აღსანიშნავია, რომ მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ექსპონენციალურ ფუნქციაზე, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ბაზა მიდრეკილია ერთიანობისკენ. ამისათვის ჯერ გონებრივად გამოთვალეთ ბაზის ლიმიტი, შემდეგ კი გამოიტანეთ დასკვნები. ეს ყველაფერი განხილული იქნება გადაწყვეტილებების მაგალითებში.

გადაწყვეტილებების მაგალითები

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტილებების მაგალითებს პირდაპირი ფორმულის გამოყენებით და მისი შედეგები. ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ შემთხვევებს, როდესაც ფორმულა არ არის საჭირო. საკმარისია მხოლოდ მზა პასუხის ჩაწერა.

მაგალითი 1

იპოვეთ ლიმიტი $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

გამოსავალი

მოდით ჩავანაცვლოთ უსასრულობა ლიმიტში და შევხედოთ გაურკვევლობას: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ ვიპოვოთ ფუძის ზღვარი: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ ჩვენ მივიღეთ ერთის ტოლი ბაზა, რაც ნიშნავს, რომ უკვე შეგვიძლია გამოვიყენოთ მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტი. ამისათვის მოდით მოვარგოთ ფუნქციის საფუძველი ფორმულაზე გამოკლებით და ერთის დამატებით: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ ჩვენ ვუყურებთ მეორე დასკვნას და ვწერთ პასუხს: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ ნახოთ გაანგარიშების მიმდინარეობა და მიიღოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ თქვენი შეფასება!

უპასუხე

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

მაგალითი 4

ამოხსენით ლიმიტი $ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

გამოსავალი

ჩვენ ვპოულობთ ბაზის ლიმიტს და ვხედავთ, რომ $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტი. სტანდარტული გეგმის მიხედვით ვამატებთ და ვაკლებთ ხარისხს: $$ \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\ to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ წილადს ვასწორებთ მე-2 ნოტის ფორმულას. ლიმიტი: $$ = \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ ახლა მოდით დავარეგულიროთ ხარისხი. სიმძლავრე უნდა შეიცავდეს $ \frac(3x^2-2)(6) $ ფუძის მნიშვნელის ტოლ წილადს. ამისათვის გაამრავლეთ და გაყავით ხარისხი მასზე და განაგრძეთ ამოხსნა: $$ = \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\ to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ ლიმიტი, რომელიც მდებარეობს სიმძლავრის $ e $-ზე, უდრის: $ \lim_(x\ to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. ამიტომ, გადაწყვეტის გაგრძელება გვაქვს:

უპასუხე

$$ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

მოდით შევხედოთ შემთხვევებს, როდესაც პრობლემა მსგავსია მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მსგავსი, მაგრამ მისი გადაჭრა შესაძლებელია მის გარეშე.

სტატიაში: „მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი: გადაწყვეტილებების მაგალითები“ გაანალიზებულია ფორმულა, მისი შედეგები და მოცემულია ამ თემაზე არსებული პრობლემების საერთო ტიპები.

მტკიცებულება:

ჯერ დავამტკიცოთ თეორემა მიმდევრობის შემთხვევისთვის

ნიუტონის ბინომიალური ფორმულის მიხედვით:

ვივარაუდოთ, რომ მივიღებთ

ამ თანასწორობიდან (1) გამომდინარეობს, რომ n-ის მატებასთან ერთად იზრდება მარჯვენა მხარეს დადებითი ტერმინების რაოდენობა. გარდა ამისა, როგორც n იზრდება, რიცხვი მცირდება, შესაბამისად მნიშვნელობები იზრდება. ამიტომ თანმიმდევრობა იზრდება და (2)*ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ის შეზღუდულია. შეცვალეთ ტოლობის მარჯვენა მხარეს თითოეული ფრჩხილი ერთით, მარჯვენა მხარე გაიზრდება და მივიღებთ უტოლობას

გავამყაროთ მიღებული უტოლობა, შევცვალოთ წილადების მნიშვნელებში მდგომი 3,4,5, ... რიცხვი 2: ფრჩხილებში ჯამს ვპოულობთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულის გამოყენებით: ამიტომ (3)*

ასე რომ, მიმდევრობა შემოიფარგლება ზემოდან და უტოლობები (2) და (3) დაკმაყოფილებულია: მაშასადამე, ვაიერშტრასის თეორემაზე (მიმდევრობის კონვერგენციის კრიტერიუმი) საფუძველზე, მიმდევრობა მონოტონურად იზრდება და შემოიფარგლება, რაც იმას ნიშნავს, რომ აქვს ლიმიტი, რომელიც აღინიშნება ასო ე. იმათ.

იმის ცოდნა, რომ მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი ჭეშმარიტია x-ის ბუნებრივ მნიშვნელობებზე, ჩვენ ვამტკიცებთ მეორე შესანიშნავ ზღვარს რეალური x-ისთვის, ანუ ვამტკიცებთ, რომ . განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

1. მოდით, x-ის თითოეული მნიშვნელობა ჩასმული იყოს ორ დადებით რიცხვს შორის: ,სად არის x-ის მთელი რიცხვი. => =>

თუ , მაშინ ამიტომ, ლიმიტის მიხედვით ჩვენ გვაქვს

ლიმიტების არსებობის კრიტერიუმზე (შუალედური ფუნქციის ლიმიტის შესახებ).

2. დაე . მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება − x = t, მაშინ

ამ ორი შემთხვევიდან გამომდინარეობს, რომ რეალური x-ისთვის.

შედეგები:

9 .) უსასრულო მცირეთა შედარება. თეორემა უსასრულოდ მცირე ზომის ეკვივალენტებით ლიმიტში ჩანაცვლების შესახებ და თეორემა უსასრულოების ძირითადი ნაწილის შესახებ.

დაუშვით ფუნქციები a( x) და ბ( x) – ბ.მ. ზე x ® x 0 .

განმარტებები.

1) ა ( x) დაურეკა უსასრულოდ მცირე უფრო მაღალი რიგის ვიდრე ბ (x) თუ

დაწერე: ა( x) = o(b( x)) .

2) ა ( x) დაბ( x)ეძახიან ერთი და იგივე რიგის უსასრულო პატარა, თუ

სადაც CÎℝ და C¹ 0 .

დაწერე: ა( x) = ო(ბ( x)) .

3) ა ( x) დაბ( x) ეძახიან ექვივალენტი , თუ

დაწერე: ა( x) ~ ბ( x).

4) ა ( x) უსასრულოდ მცირე რიგის k ნათესავი
აბსოლუტურად უსასრულობ( x), თუ უსასრულოდ მცირეა ( x)და(ბ( x))კ აქვთ იგივე წესრიგი, ე.ი. თუ

სადაც CÎℝ და C¹ 0 .

თეორემა 6 (უსასრულოდ მცირე ზომის ეკვივალენტებით ჩანაცვლების შესახებ).

დაეა ( x), ბ( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– ბ.მ. x-ზე ® x 0 . თუა ( x) ~ 1 ( x), ბ( x) ~ b 1 ( x),

რომ

დადასტურება: მოდით ა( x) ~ 1 ( x), ბ( x) ~ b 1 ( x), მაშინ

თეორემა 7 (უსრულოდ მცირეს ძირითადი ნაწილის შესახებ).

დაეა ( x)დაბ( x)– ბ.მ. x-ზე ® x 0 , დაბ( x)– ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრეა ( x).

= , a წლიდან b( x) – უფრო მაღალი რიგით ვიდრე a( x), შემდეგ, ე.ი. საწყისი გასაგებია რომ ა( x) + ბ( x) ~ ა( x)

10) ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში (ეპსილონ-დელტას ენაზე, გეომეტრიული ზღვრები) ცალმხრივი უწყვეტობა. უწყვეტობა ინტერვალზე, სეგმენტზე. უწყვეტი ფუნქციების თვისებები.

1. ძირითადი განმარტებები

დაე ვ(x) განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მიდამოში x 0 .

განმარტება 1. ფუნქცია f(x) დაურეკა უწყვეტი წერტილში x 0 თუ თანასწორობა მართალია

შენიშვნები.

1) თეორემის 5 §3 ძალით, ტოლობა (1) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

მდგომარეობა (2) – ფუნქციის უწყვეტობის განსაზღვრა წერტილში ცალმხრივი ლიმიტების ენაზე.

2) ტოლობა (1) ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ისინი ამბობენ: „თუ ფუნქცია უწყვეტია წერტილში x 0, მაშინ ლიმიტის ნიშანი და ფუნქცია შეიძლება შეიცვალოს."

განმარტება 2 (ელ-დ ენაზე).

ფუნქცია f(x) დაურეკა უწყვეტი წერტილში x 0 თუ"e>0 $d>0 ასეთი, რა

თუ x OU( x 0, დ) (ანუ | x – x 0 | < d),

შემდეგ ვ(x)ÎU( ვ(x 0), ე) (ანუ | ვ(x) – ვ(x 0) | < e).

დაე x, x 0 Î დ(ვ) (x 0 - ფიქსირებული, x -თვითნებური)

აღვნიშნოთ: დ x= x – x 0 – არგუმენტის ზრდა

დ ვ(x 0) = ვ(x) – ვ(x 0) – ფუნქციის ზრდა pointx-ზე 0

განმარტება 3 (გეომეტრიული).

ფუნქცია f(x) ზე დაურეკა უწყვეტი წერტილში x 0 თუ ამ მომენტში არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდა შეესაბამება ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას, ე.ი.

დაუშვით ფუნქცია ვ(x) განისაზღვრება ინტერვალზე [ x 0 ; x 0 + დ) (ინტერვალზე ( x 0 – დ; x 0 ]).

განმარტება. ფუნქცია f(x) დაურეკა უწყვეტი წერტილში x 0 უფლება (დატოვა ), თუ თანასწორობა მართალია

აშკარაა რომ ვ(x) წერტილში უწყვეტია x 0 Û ვ(x) წერტილში უწყვეტია x 0 მარჯვნივ და მარცხნივ.

განმარტება. ფუნქცია f(x) დაურეკა უწყვეტი ინტერვალით ე ( ა; ბ) თუ ის უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში.

ფუნქცია f(x) სეგმენტზე უწყვეტი ეწოდება [ა; ბ] თუ ის უწყვეტია ინტერვალზე (ა; ბ) და აქვს ცალმხრივი უწყვეტობა სასაზღვრო წერტილებში(ანუ უწყვეტი წერტილში ამარჯვნივ, წერტილში ბ- მარცხნივ).

11) შესვენების წერტილები, მათი კლასიფიკაცია

განმარტება. თუ ფუნქცია f(x) განსაზღვრულია x წერტილის რაღაც მიმდებარედ 0 , მაგრამ არ არის უწყვეტი ამ ეტაპზე ვ(x) x წერტილში უწყვეტი ეწოდება 0 , და თავად წერტილი x 0 მოუწოდა შესვენების წერტილი ფუნქციები ვ(x) .

შენიშვნები.

1) ვ(x) შეიძლება განისაზღვროს წერტილის არასრულ სამეზობლოში x 0 .

შემდეგ განიხილეთ ფუნქციის შესაბამისი ცალმხრივი უწყვეტობა.

2) Þ წერტილის განმარტებიდან x 0 არის ფუნქციის წყვეტის წერტილი ვ(x) ორ შემთხვევაში:

ა) U( x 0, დ)О დ(ვ), მაგრამ ამისთვის ვ(x) თანასწორობა არ მოქმედებს

ბ) U * ( x 0, დ)О დ(ვ) .

ელემენტარული ფუნქციებისთვის შესაძლებელია მხოლოდ ბ) შემთხვევა.

დაე x 0 - ფუნქციის შესვენების წერტილი ვ(x) .

განმარტება. წერტილი x 0 დაურეკა შესვენების წერტილი მე ერთგვარი თუ ფუნქცია f(x)აქვს სასრული საზღვრები მარცხნივ და მარჯვნივ ამ ეტაპზე.

თუ ეს ზღვრები ტოლია, მაშინ წერტილი x 0 დაურეკა მოსახსნელი შესვენების წერტილი , წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნახტომის წერტილი .

განმარტება. წერტილი x 0 დაურეკა შესვენების წერტილი II ერთგვარი თუ f ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც(x)ამ ეტაპზე თანაბარია¥ ან არ არსებობს.

12) უწყვეტი ფუნქციების თვისებები ინტერვალზე (ვაიერშტრასის (დამტკიცების გარეშე) და კოშის თეორემა

ვაიერშტრასის თეორემა

მოდით, ფუნქცია f(x) იყოს უწყვეტი ინტერვალზე, მაშინ

1)f(x) შემოიფარგლება

2) f(x) იღებს მის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალზე

განმარტება: m=f ფუნქციის მნიშვნელობას უწოდებენ უმცირესს, თუ m≤f(x) ნებისმიერი x€ D(f).

m=f ფუნქციის მნიშვნელობა ითვლება ყველაზე დიდი, თუ m≥f(x) ნებისმიერი x € D(f).

ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ყველაზე მცირე/დიდი მნიშვნელობა სეგმენტის რამდენიმე წერტილში.

f(x 3)=f(x4)=მაქს

კოშის თეორემა.

დაე, ფუნქცია f(x) იყოს უწყვეტი სეგმენტზე და x იყოს რიცხვი, რომელიც შეიცავს f(a)-სა და f(b)-ს შორის, მაშინ არის მინიმუმ ერთი წერტილი x 0 € ისეთი, რომ f(x 0)= g.

ახლა, მშვიდი სულით, გადავიდეთ განხილვაზე საოცარი საზღვრები.
ჰგავს .

x ცვლადის ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვადასხვა ფუნქციები, რაც მთავარია, რომ ისინი 0-ისკენ მიდრეკილნი არიან.

აუცილებელია ლიმიტის გამოთვლა

როგორც ხედავთ, ეს ზღვარი ძალიან ჰგავს პირველ ღირსშესანიშნავს, მაგრამ ეს მთლად ასე არ არის. ზოგადად, თუ შეამჩნევთ ცოდვას ლიმიტში, მაშინ დაუყოვნებლივ უნდა იფიქროთ იმაზე, შესაძლებელია თუ არა პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენება.

ჩვენი წესის No1 მიხედვით, x-ის ნაცვლად ვცვლით ნულს:

ჩვენ ვიღებთ გაურკვევლობას.

ახლა შევეცადოთ მოვაწყოთ პირველი მშვენიერი ლიმიტი. ამისათვის მოდით გავაკეთოთ მარტივი კომბინაცია:

ასე რომ, ჩვენ ვაწყობთ მრიცხველს და მნიშვნელს, რათა გამოვყოთ 7x. ახლა უკვე გამოჩნდა ნაცნობი ღირსშესანიშნავი ზღვარი. მიზანშეწონილია მისი ხაზგასმა, როდესაც გადაწყვეტთ:

მოდით შევცვალოთ გამოსავალი პირველი შესანიშნავი მაგალითით და მივიღოთ:

წილადის გამარტივება:

პასუხი: 7/3.

როგორც ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია.

ჰგავს , სადაც e = 2.718281828... არის ირაციონალური რიცხვი.

x ცვლადის ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვადასხვა ფუნქციები, რაც მთავარია, რომ ისინი მიდრეკილნი არიან .

აუცილებელია ლიმიტის გამოთვლა

აქ ჩვენ ვხედავთ ხარისხის არსებობას ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, რაც ნიშნავს, რომ შესაძლებელია მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენება.

როგორც ყოველთვის, ჩვენ გამოვიყენებთ წესს No1 - ჩანაცვლება x ნაცვლად:

ჩანს, რომ x-ზე ხარისხის ფუძე არის , ხოლო მაჩვენებელი არის 4x > , ე.ი. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გაურკვევლობას:

მოდით გამოვიყენოთ მეორე მშვენიერი ზღვარი ჩვენი გაურკვევლობის გამოსავლენად, მაგრამ ჯერ მისი ორგანიზება გვჭირდება. როგორც ხედავთ, ჩვენ უნდა მივაღწიოთ ყოფნას ინდიკატორში, რისთვისაც ჩვენ ავწევთ საფუძველს 3x-მდე და ამავე დროს 1/3x-მდე, ისე რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს:

არ დაგავიწყდეთ ხაზი გავუსვათ ჩვენს მშვენიერ ლიმიტს:

აი ესენი არიან სინამდვილეში საოცარი საზღვრები!
თუ ჯერ კიდევ გაქვთ რაიმე შეკითხვა პირველი და მეორე შესანიშნავი საზღვრები, მაშინ თავისუფლად ჰკითხეთ მათ კომენტარებში.
შეძლებისდაგვარად ყველას ვუპასუხებთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მასწავლებელთან ამ თემაზე.
მოხარული ვართ შემოგთავაზოთ თქვენს ქალაქში კვალიფიციური დამრიგებლის არჩევის სერვისები. ჩვენი პარტნიორები სწრაფად შეარჩევენ თქვენთვის კარგ მასწავლებელს ხელსაყრელი პირობებით.

არ არის საკმარისი ინფორმაცია? - შეგიძლია!

შეგიძლიათ ჩაწეროთ მათემატიკური გამოთვლები რვეულებში. გაცილებით სასიამოვნოა ინდივიდუალურად ჩაწერა ბლოკნოტებში ლოგოთი (http://www.blocnot.ru).

პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი ხშირად გამოიყენება ზღვრების გამოსათვლელად, რომელიც შეიცავს სინუსს, რკალს, ტანგენტს, არქტანგენტს და ნულის გაყოფის შედეგად წარმოქმნილ განუსაზღვრელობას.

ფორმულა

პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის ფორმულა არის: $$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ $ \alpha\ to 0 $-ისთვის ვიღებთ $ \sin\alpha \ 0 $-მდე, შესაბამისად, გვაქვს ნულები მრიცხველში და მნიშვნელში. ამრიგად, პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმულა საჭიროა $ \frac(0)(0) $ გაურკვევლობის გამოსავლენად.

ფორმულის გამოსაყენებლად, ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

1. სინუსში შემავალი გამონათქვამები და წილადის მნიშვნელი ერთნაირია
2. წილადის სინუსში და მნიშვნელში გამოსახულებები ნულისკენ მიდრეკილია

ყურადღება! $ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ მართალია სინუსში და მნიშვნელში გამოსახულებები იგივეა, მაგრამ $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\ to 0 $-ზე. მეორე პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ასე რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა!

შედეგები

დავალებებში საკმაოდ იშვიათად შეგიძლიათ ნახოთ წმინდა პირველი მშვენიერი ლიმიტი, რომელშიც დაუყოვნებლივ ჩაწერეთ პასუხი. პრაქტიკაში, ყველაფერი ცოტა უფრო რთულად გამოიყურება, მაგრამ ასეთი შემთხვევებისთვის სასარგებლო იქნება პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის შედეგების ცოდნა. მათი წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად გამოთვალოთ საჭირო ლიმიტები.

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

გადაწყვეტილებების მაგალითები

განვიხილოთ პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი, მისი ამოხსნის მაგალითები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და გაურკვევლობის შემცველი ლიმიტების გამოსათვლელად $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

მაგალითი 1

გამოთვალეთ $ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x) (4x) $

გამოსავალი

მოდით შევხედოთ ლიმიტს და შევამჩნიოთ, რომ ის შეიცავს სინუსს. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით $ x = 0 $ მრიცხველში და მნიშვნელში და მივიღებთ გაურკვევლობას ნულის გაყოფა ნულზე: $$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ უკვე ორი ნიშანია იმისა, რომ მშვენიერი ლიმიტი უნდა გამოვიყენოთ, მაგრამ არის პატარა ნიუანსი: ჩვენ არ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ გამოვიყენოთ ფორმულა, რადგან სინუს ნიშნის ქვეშ გამოხატული გამოხატულება განსხვავდება მნიშვნელისგან. და ჩვენ გვჭირდება ისინი თანაბარი. მაშასადამე, მრიცხველის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მას ვაქცევთ $2x$-ად. ამისათვის ჩვენ ამ ორს წილადის მნიშვნელიდან ცალკე ფაქტორად ამოვიღებთ. ასე გამოიყურება: $$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ გთხოვთ გაითვალისწინეთ, რომ დასასრულს $ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ იქნა მიღებული ფორმულის მიხედვით. თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ ნახოთ გაანგარიშების მიმდინარეობა და მიიღოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ თქვენი შეფასება!

უპასუხე

$$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

მაგალითი 2

იპოვეთ $ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

გამოსავალი

როგორც ყოველთვის, ჯერ უნდა იცოდეთ გაურკვევლობის ტიპი. თუ ის იყოფა ნულზე ნულზე, მაშინ ყურადღებას ვაქცევთ სინუსის არსებობას: $$ \lim_(x\ 0-მდე) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ ეს გაურკვევლობა საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმულა, მაგრამ გამოსახვა მნიშვნელიდან არ არის სინუსის არგუმენტის ტოლი? აქედან გამომდინარე, ფორმულა არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას "პირდაპირ". აუცილებელია წილადის გამრავლება და გაყოფა სინუსის არგუმენტზე: $$ = \lim_(x\ 0-მდე) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))(2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ ახლა ჩამოვწერთ ლიმიტების თვისებებს: $$ = \lim_(x\ 0-მდე) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \ to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ მეორე ზღვარი ზუსტად შეესაბამება ფორმულას და ტოლია ერთს: $$ = \lim_(x\ 0-მდე) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\ to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ ჩაანაცვლეთ $ x = 0 $ წილადში და მივიღებთ გაურკვევლობას $ \frac(0)(0) $. მის აღმოსაფხვრელად საკმარისია აიღოთ $ x $ ფრჩხილებიდან და შეამციროთ: $$ = \lim_(x\ 0-მდე) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\ 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$

უპასუხე

$$ \lim_(x\ 0-მდე) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

მაგალითი 4

გამოთვალეთ $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

გამოსავალი

დავიწყოთ გამოთვლა $ x=0 $ ჩანაცვლებით. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გაურკვევლობას $ \frac(0)(0) $. ლიმიტი შეიცავს სინუსს და ტანგენტს, რაც მიანიშნებს სიტუაციის შესაძლო განვითარებაზე პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის ფორმულის გამოყენებით. გადავიყვანოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ფორმულად და შედეგად: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ მრიცხველში და მნიშვნელში არის გამონათქვამები, რომლებიც შეესაბამება ფორმულას და შედეგებს. სინუს არგუმენტი და ტანგენტის არგუმენტი იგივეა შესაბამისი მნიშვნელებისთვის $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

უპასუხე

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

სტატიაში: „პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი, გადაწყვეტილებების მაგალითები“ ისაუბრა შემთხვევებზე, როდესაც მიზანშეწონილია ამ ფორმულის გამოყენება და მისი შედეგები.

მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმულა არის lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. წერის სხვა ფორმა ასე გამოიყურება: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

როდესაც ვსაუბრობთ მეორე საყურადღებო ზღვარზე, საქმე გვაქვს 1 ∞ ფორმის გაურკვევლობასთან, ე.ი. ერთიანობა უსასრულო ხარისხით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მოდით განვიხილოთ პრობლემები, რომლებშიც გამოდგება მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამოთვლის შესაძლებლობა.

მაგალითი 1

იპოვეთ ლიმიტი lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

გამოსავალი

შევცვალოთ საჭირო ფორმულა და ჩავატაროთ გამოთვლები.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

ჩვენი პასუხი უსასრულობის ძალაზე ერთი აღმოჩნდა. ამოხსნის მეთოდის დასადგენად ვიყენებთ გაურკვევლობის ცხრილს. ავირჩიოთ მეორე საყურადღებო ლიმიტი და შევცვალოთ ცვლადები.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

თუ x → ∞, მაშინ t → - ∞.

ვნახოთ, რა მივიღეთ ჩანაცვლების შემდეგ:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

პასუხი: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ლიმიტი lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.

გამოსავალი

შევცვალოთ უსასრულობა და მივიღოთ შემდეგი.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

პასუხში ისევ მივიღეთ იგივე, რაც წინა პრობლემაში, შესაბამისად, შეგვიძლია ისევ გამოვიყენოთ მეორე მშვენიერი ლიმიტი. შემდეგი, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ მთელი ნაწილი დენის ფუნქციის ბაზაზე:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

ამის შემდეგ ლიმიტი იღებს შემდეგ ფორმას:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

ცვლადების ჩანაცვლება. დავუშვათ, რომ t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; თუ x → ∞, მაშინ t → ∞.

ამის შემდეგ, ჩვენ ვწერთ იმას, რაც მივიღეთ თავდაპირველ ლიმიტში:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

ამ ტრანსფორმაციის შესასრულებლად ჩვენ გამოვიყენეთ ლიმიტებისა და ძალების ძირითადი თვისებები.

პასუხი: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ლიმიტი lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5.

გამოსავალი

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

ამის შემდეგ, ჩვენ უნდა გადავცვალოთ ფუნქცია მეორე დიდი ლიმიტის გამოსაყენებლად. მივიღეთ შემდეგი:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

ვინაიდან ახლა ჩვენ გვაქვს იგივე მაჩვენებლები წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში (უდრის ექვსს), წილადის ზღვარი უსასრულობაში ტოლი იქნება ამ კოეფიციენტების თანაფარდობის უფრო მაღალი ხარისხებით.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ჩანაცვლებით მივიღებთ მეორე შესანიშნავ ზღვარს. ეს ნიშნავს, რომ:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

პასუხი: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.

დასკვნები

გაურკვევლობა 1 ∞, ე.ი. უსასრულო სიმძლავრის ერთიანობა არის ძალაუფლება-კანონის გაურკვევლობა, ამიტომ მისი გამოვლენა შესაძლებელია ექსპონენციური სიმძლავრის ფუნქციების საზღვრების პოვნის წესების გამოყენებით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter