განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. სიცხადისთვის, გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა:

გამოთვალეთ \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] თუ \

უპირველეს ყოვლისა, მივაქციოთ ყურადღება, რომ ერთი რიცხვი წარმოდგენილია ალგებრული სახით, მეორე კი ტრიგონომეტრიული სახით. საჭიროა მისი გამარტივება და შემდეგ ფორმამდე მიყვანა

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

გამოთქმა \ ამბობს, რომ პირველ რიგში ვაკეთებთ გამრავლებას და აწევას მე-10 ხარისხამდე Moivre ფორმულის გამოყენებით. ეს ფორმულა ჩამოყალიბებულია რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმისთვის.

ჩვენ ვიღებთ:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამრავლების წესების დაცვით, ჩვენ ვაკეთებთ შემდეგს:

ჩვენს შემთხვევაში:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ პი) (3).\]

თუ წილადი \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] სწორია, მივდივართ დასკვნამდე, რომ შეგვიძლია 4 ბრუნი \[(8\pi რად.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

პასუხი: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას სხვა გზით, რაც მთავრდება მე-2 რიცხვის ალგებრულ ფორმაში გადაყვანაზე, შემდეგ გამრავლების შესრულებაზე ალგებრული ფორმით, შედეგის ტრიგონომეტრიულ ფორმად გადაქცევაზე და მოივრის ფორმულის გამოყენებაზე:

სად შემიძლია გადაჭრას განტოლებათა სისტემა რთული რიცხვებით ონლაინ?

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით. რთული რიცხვების ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი განმარტებები. ამ მიმოხილვის სტატიის მთავარი მიზანია ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. ასე რომ, კომპლექსურ რიცხვს დაერქმევა ფორმის რიცხვი, სად z = a + biა, ბ - რეალური რიცხვები, რომლებსაც უწოდებენ რთული რიცხვის ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებს, შესაბამისად და აღნიშნავენ.
a = Re(z), b=Im(z)მე წარმოსახვით ერთეულს უწოდებენ.მე 2 = -1 . კერძოდ, ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად: a = a + 0i , სადაც a არის რეალური. თუდა a = 0 b ≠ 0

, მაშინ რიცხვს ჩვეულებრივ უწოდებენ წმინდა წარმოსახვით.
ახლა მოდით წარმოვიდგინოთ მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე. განვიხილოთ ორი რთული რიცხვიდა z 2 = a 2 + b 2 i.

განვიხილოთ რთული რიცხვების ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი განმარტებები. ამ მიმოხილვის სტატიის მთავარი მიზანია ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. ასე რომ, კომპლექსურ რიცხვს დაერქმევა ფორმის რიცხვი.

რთული რიცხვების სიმრავლე აფართოებს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს, რაც თავის მხრივ აფართოებს რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს და ა.შ. ინვესტიციების ეს ჯაჭვი ჩანს ფიგურაში: N - ნატურალური რიცხვები, Z - მთელი რიცხვები, Q - რაციონალური, R - რეალური, C - რთული.

რთული რიცხვების წარმოდგენა

ალგებრული აღნიშვნა.

განვიხილოთ რთული რიცხვი რთული რიცხვების ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი განმარტებები. ამ მიმოხილვის სტატიის მთავარი მიზანია ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. ასე რომ, კომპლექსურ რიცხვს დაერქმევა ფორმის რიცხვიკომპლექსური რიცხვის ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ალგებრული. წინა ნაწილში უკვე დეტალურად განვიხილეთ ჩაწერის ეს ფორმა. შემდეგი ვიზუალური ნახატი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება

ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ნახატიდან ჩანს, რომ რიცხვი რთული რიცხვების ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი განმარტებები. ამ მიმოხილვის სტატიის მთავარი მიზანია ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. ასე რომ, კომპლექსურ რიცხვს დაერქმევა ფორმის რიცხვიშეიძლება სხვანაირად დაიწეროს. აშკარაა რომ a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, აქედან გამომდინარე z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) რთული რიცხვის არგუმენტი ეწოდება. რთული რიცხვის ეს წარმოდგენა ეწოდება ტრიგონომეტრიული ფორმა. აღნიშვნის ტრიგონომეტრიული ფორმა ზოგჯერ ძალიან მოსახერხებელია. მაგალითად, მოსახერხებელია მისი გამოყენება კომპლექსური რიცხვის ასამაღლებლად მთელ რიცხვამდე, კერძოდ, თუ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, ეს z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ამ ფორმულას ე.წ მოივრის ფორმულა.

საჩვენებელი ფორმა.

განვიხილოთ z = rcos(φ) + rsin(φ)i- რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით, ჩაწერეთ სხვა ფორმით z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφბოლო ტოლობა გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან, რითაც მივიღეთ რთული რიცხვის ჩაწერის ახალი ფორმა: z = reiφ, რომელსაც ე.წ საჩვენებელი. აღნიშვნის ეს ფორმა ასევე ძალიან მოსახერხებელია რთული რიცხვის ხარისხზე ასაყვანად: z n = r n e inφ, აქ ნარ არის აუცილებელი მთელი რიცხვი, მაგრამ შეიძლება იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი. აღნიშვნის ეს ფორმა საკმაოდ ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად.

უმაღლესი ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

წარმოვიდგინოთ, რომ გვაქვს კვადრატული განტოლება x 2 + x + 1 = 0. ცხადია, ამ განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია და მას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ გამოდის, რომ ამ განტოლებას ორი განსხვავებული რთული ფესვი აქვს. ასე რომ, უმაღლესი ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა ამბობს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ პოლინომს აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ზუსტად n რთული ფესვი, მათი სიმრავლის გათვალისწინებით. ეს თეორემა ძალიან მნიშვნელოვანი შედეგია მათემატიკაში და ფართოდ გამოიყენება. ამ თეორემის მარტივი დასკვნა არის ის, რომ არსებობს ზუსტად n განსხვავებული ძირი n ხარისხის ერთიანობის.

დავალებების ძირითადი ტიპები

ამ განყოფილებაში განიხილება მარტივი ამოცანების ძირითადი ტიპები, რომლებიც მოიცავს კომპლექსურ რიცხვებს. პირობითად, კომპლექსურ რიცხვებთან დაკავშირებული პრობლემები შეიძლება დაიყოს შემდეგ კატეგორიებად.

მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება კომპლექსურ რიცხვებზე.
მრავალწევრების ფესვების პოვნა კომპლექსურ რიცხვებში.
კომპლექსური რიცხვების ძალამდე აყვანა.
ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან.
რთული რიცხვების გამოყენება სხვა ამოცანების გადასაჭრელად.

ახლა მოდით გადავხედოთ ამ პრობლემების გადაჭრის ზოგად მეთოდებს.

რთული რიცხვებით უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებები შესრულებულია პირველ ნაწილში აღწერილი წესების მიხედვით, მაგრამ თუ რთული რიცხვები წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით, მაშინ ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ისინი ალგებრულ ფორმაში და შეასრულოთ მოქმედებები ცნობილი წესების მიხედვით.

მრავალწევრების ფესვების პოვნა, როგორც წესი, მოდის კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნამდე. დავუშვათ, რომ გვაქვს კვადრატული განტოლება, თუ მისი დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, მაშინ მისი ფესვები რეალური იქნება და შეიძლება მოიძებნოს ცნობილი ფორმულის მიხედვით. თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, ე.ი. D = -1∙a 2, სად აარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ დისკრიმინანტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც D = (ია) 2, აქედან გამომდინარე √D = i|a|და შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უკვე ცნობილი ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის.

მაგალითი. დავუბრუნდეთ ზემოთ ნახსენებ კვადრატულ განტოლებას x 2 + x + 1 = 0.
დისკრიმინანტი - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ ფესვები:

კომპლექსური რიცხვების ძლიერებამდე აყვანა შეიძლება განხორციელდეს რამდენიმე გზით. თუ თქვენ გჭირდებათ კომპლექსური რიცხვის ალგებრული სახით აყვანა მცირე ხარისხზე (2 ან 3), მაშინ ამის გაკეთება შეგიძლიათ პირდაპირი გამრავლებით, მაგრამ თუ სიმძლავრე უფრო დიდია (პრობლემებში ის ხშირად გაცილებით დიდია), მაშინ საჭიროა ჩაწერეთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით და გამოიყენეთ უკვე ცნობილი მეთოდები.

მაგალითი. განვიხილოთ z = 1 + i და აწიეთ მეათე ხარისხამდე.
ჩავწეროთ z ექსპონენციალური ფორმით: z = √2 e iπ/4.
მერე z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
დავუბრუნდეთ ალგებრულ ფორმას: z 10 = -32i.

კომპლექსური რიცხვებიდან ფესვების ამოღება არის ინვერსიული მოქმედება და, შესაბამისად, შესრულებულია ანალოგიურად. ფესვების ამოსაღებად ხშირად გამოიყენება რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა.

მაგალითი. მოდით ვიპოვოთ ერთიანობის მე-3 ხარისხის ყველა ფესვი. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით z 3 = 1 განტოლების ყველა ფესვს, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს ექსპონენციალური ფორმით.
ჩავანაცვლოთ განტოლებაში: r 3 e 3iφ = 1 ან r 3 e 3iφ = e 0 .
აქედან გამომდინარე: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, შესაბამისად φ = 2πk/3.
სხვადასხვა ფესვები მიიღება φ = 0, 2π/3, 4π/3.
ამიტომ 1, e i2π/3, e i4π/3 არის ფესვები.
ან ალგებრული ფორმით:

ბოლო ტიპის პრობლემები მოიცავს პრობლემების უზარმაზარ მრავალფეროვნებას და არ არსებობს მათი გადაჭრის ზოგადი მეთოდები. აი ასეთი დავალების მარტივი მაგალითი:

იპოვეთ თანხა sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

მიუხედავად იმისა, რომ ამ პრობლემის ფორმულირება არ მოიცავს კომპლექსურ რიცხვებს, მათი დახმარებით მისი მარტივად გადაჭრა შესაძლებელია. მის გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი წარმოდგენები:

თუ ჩვენ ახლა შევცვლით ამ წარმოდგენას ჯამით, მაშინ პრობლემა დაიყვანება ჩვეულებრივი გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამებამდე.

დასკვნა

რთული რიცხვები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში ამ მიმოხილვის სტატიაში განიხილება კომპლექსური რიცხვების ძირითადი ოპერაციები, აღწერილია სტანდარტული ამოცანების რამდენიმე ტიპი და მოკლედ აღწერილია რთული რიცხვების შესაძლებლობების უფრო დეტალური შესწავლა გამოიყენეთ სპეციალიზებული ლიტერატურა.

ლიტერატურა

ამოხსენით განტოლებები რთული რიცხვებით ონლაინ. როგორ ამოხსნათ რთული განტოლება მათემატიკაში

გამონათქვამები, განტოლებები და განტოლებათა სისტემები
რთული რიცხვებით

დღეს კლასში ვივარჯიშებთ კომპლექსურ რიცხვებთან ტიპურ მოქმედებებს, ასევე დავეუფლებით გამონათქვამების, განტოლებების და განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ტექნიკას, რომელსაც ეს რიცხვები შეიცავს. ეს ვორქშოპი გაკვეთილის გაგრძელებაა და ამიტომ თუ არ ხართ კარგად გათვითცნობიერებული თემაში, გთხოვთ მიჰყევით ზემოთ მოცემულ ბმულს. ისე, უფრო მომზადებული მკითხველებისთვის გირჩევთ დაუყოვნებლივ გახურდეთ:

მაგალითი 1

გამოხატვის გამარტივება , თუ . შედეგი წარმოადგინეთ ტრიგონომეტრიული ფორმით და დახაზეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე.

გამოსავალი: ასე რომ, თქვენ უნდა შეცვალოთ "საშინელი" ფრაქცია, განახორციელოთ გამარტივებები და გადაიყვანოთ შედეგი რთული რიცხვივ ტრიგონომეტრიული ფორმა. პლუს ნახატი.

რა არის საუკეთესო გზა გადაწყვეტილების ფორმალიზებისთვის? უფრო მომგებიანია ეტაპობრივად „დახვეწილ“ ალგებრულ გამონათქვამთან გამკლავება. ჯერ ერთი, ყურადღება ნაკლებად იფანტება და მეორეც, თუ დავალება არ მიიღება, შეცდომის პოვნა ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

1) ჯერ გავამარტივოთ მრიცხველი. მოდით ჩავანაცვლოთ მასში მნიშვნელობა, გავხსნათ ფრჩხილები და დავაფიქსიროთ ვარცხნილობა:

...დიახ, ასეთი კვაზიმოდო კომპლექსური რიცხვებიდან მოვიდა...

შეგახსენებთ, რომ გარდაქმნების დროს გამოიყენება სრულიად მარტივი რამ - მრავალწევრების გამრავლების წესი და უკვე ბანალური ტოლობა. მთავარია სიფრთხილე გქონდეს და ნიშნებმა არ დაიბნე.

2) ახლა მოდის მნიშვნელი. თუ, მაშინ:

ყურადღება მიაქციეთ, რა უჩვეულო ინტერპრეტაციაშია გამოყენებული კვადრატული ჯამის ფორმულა. ალტერნატიულად, აქ შეგიძლიათ განახორციელოთ გადაწყობა ქვეფორმულა შედეგები ბუნებრივია იგივე იქნება.

3) და ბოლოს, მთელი გამოთქმა. თუ, მაშინ:

წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ მნიშვნელის კონიუგატურ გამოხატულებაზე. ამავე დროს, განაცხადის მიზნებისათვის კვადრატული განსხვავების ფორმულებიჯერ უნდა (და უკვე აუცილებელია!)უარყოფითი რეალური ნაწილი დადეთ მე-2 ადგილზე:

და ახლა მთავარი წესი:

ჩვენ არ ვჩქარობთ! ჯობია უსაფრთხოდ ითამაშო და დამატებითი ნაბიჯი გადადგა.
გამოთქმებში, განტოლებებში და სისტემებში რთული რიცხვებით, თავხედური სიტყვიერი გამოთვლებით უფრო მღელვარე, ვიდრე ოდესმე!

ბოლო საფეხურზე კარგი შემცირება იყო და ეს უბრალოდ დიდი ნიშანია.

შენიშვნა : მკაცრად რომ ვთქვათ, აქ მოხდა რთული რიცხვის დაყოფა კომპლექსურ რიცხვზე 50 (გახსოვდეთ ეს). ამ ნიუანსზე აქამდე ჩუმად ვიყავი და ამაზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

ასოთი ავღნიშნოთ ჩვენი მიღწევა

წარმოვადგინოთ მიღებული შედეგი ტრიგონომეტრიული ფორმით. ზოგადად რომ ვთქვათ, აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ნახაზის გარეშე, მაგრამ რადგან ეს საჭიროა, ახლა ამის გაკეთება გარკვეულწილად უფრო რაციონალურია:

გამოვთვალოთ რთული რიცხვის მოდული:

თუ დახატავთ 1 ერთეულზე. = 1 სმ (2 ნოუთბუქის უჯრედი), შემდეგ მიღებული მნიშვნელობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ჩვეულებრივი სახაზავის გამოყენებით.

მოდი ვიპოვოთ არგუმენტი. ვინაიდან რიცხვი მდებარეობს მე-2 კოორდინატთა კვარტალში, მაშინ:

კუთხე მარტივად შეიძლება შემოწმდეს პროტრატორით. ეს არის ნახატის უდავო უპირატესობა.

ამრიგად: – საჭირო რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით.

მოდით შევამოწმოთ:
, რაც გადამოწმებას საჭიროებდა.

მოსახერხებელია სინუსის და კოსინუსების უცნობი მნიშვნელობების პოვნა ტრიგონომეტრიული ცხრილი.

უპასუხე:

მსგავსი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

გამოხატვის გამარტივება , სად . დახატეთ მიღებული რიცხვი კომპლექსურ სიბრტყეზე და ჩაწერეთ ექსპონენციალური ფორმით.

ეცადეთ არ გამოტოვოთ გაკვეთილები. ისინი შეიძლება მარტივი ჩანდეს, მაგრამ ვარჯიშის გარეშე, "გუბეში მოხვედრა" არ არის მხოლოდ მარტივი, არამედ ძალიან მარტივი. მაშასადამე, ჩვენ „ხელს ვკიდებთ“.

ხშირად პრობლემას აქვს ერთზე მეტი გამოსავალი:

მაგალითი 3

გამოთვალეთ თუ,

გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, მივაქციოთ ყურადღება თავდაპირველ პირობას - ერთი რიცხვი წარმოდგენილია ალგებრულად, ხოლო მეორე ტრიგონომეტრიული სახით და თუნდაც გრადუსით. მოდით დაუყოვნებლივ გადავიწეროთ იგი უფრო ნაცნობი ფორმით: .

რა ფორმით უნდა განხორციელდეს გამოთვლები? გამოხატვა აშკარად მოიცავს პირველ გამრავლებას და შემდგომ აწევას მე-10 ხარისხამდე მოივრის ფორმულა, რომელიც ჩამოყალიბებულია რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმისთვის. ასე რომ, უფრო ლოგიკური ჩანს პირველი რიცხვის გადაქცევა. მოდი ვიპოვოთ მისი მოდული და არგუმენტი:

ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გასამრავლებლად:
თუ, მაშინ

წილადის სწორად გაკეთების შემდეგ მივდივართ დასკვნამდე, რომ შეგვიძლია 4 ბრუნი „გადატრიალდეს“. (მოხარული):

მეორე გამოსავალიარის მე-2 რიცხვის გადაქცევა ალგებრულ ფორმაში , შეასრულეთ გამრავლება ალგებრული ფორმით, გადააკეთეთ შედეგი ტრიგონომეტრიულ ფორმაში და გამოიყენეთ მოივრის ფორმულა.

როგორც ხედავთ, არის ერთი "დამატებითი" მოქმედება. მსურველებს შეუძლიათ მიიღონ გადაწყვეტილება და დარწმუნდნენ, რომ შედეგები იგივეა.

პირობა არაფერს ამბობს საბოლოო რთული რიცხვის ფორმაზე, ასე რომ:

უპასუხე:

მაგრამ "სილამაზისთვის" ან მოთხოვნით, შედეგი ადვილი წარმოსადგენია ალგებრული ფორმით:

საკუთარ თავზე:

მაგალითი 4

გამოხატვის გამარტივება

აქ უნდა გვახსოვდეს მოქმედებები გრადუსით, თუმცა სახელმძღვანელოში არ არის ერთი სასარგებლო წესი, აქ არის: .

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს ორ სტილში. პირველი ვარიანტია მუშაობა ორირიცხვები და წილადებთან კარგად ყოფნა. მეორე ვარიანტი არის თითოეული რიცხვის წარმოდგენა როგორც ორი რიცხვის კოეფიციენტი: და მოიცილეთ ოთხსართულიანი სტრუქტურა. ფორმალური თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა როგორ გადაწყვეტთ, მაგრამ არის არსებითი განსხვავება! გთხოვთ, კარგად დაფიქრდეთ:
რთული რიცხვია;
არის ორი რთული რიცხვის ( და ) კოეფიციენტი, მაგრამ კონტექსტიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ ასეც თქვათ: რიცხვი წარმოდგენილია როგორც ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტი.

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

გამონათქვამები კარგია, მაგრამ განტოლებები უკეთესია:

განტოლებები რთული კოეფიციენტებით

რით განსხვავდებიან ისინი "ჩვეულებრივი" განტოლებისგან? შანსები =)

ზემოაღნიშნული კომენტარის გათვალისწინებით, დავიწყოთ ამ მაგალითით:

მაგალითი 5

ამოხსენით განტოლება

და დაუყოვნებელი პრეამბულა "ცხელი ქუსლებზე": თავდაპირველადგანტოლების მარჯვენა მხარე განლაგებულია, როგორც ორი რთული რიცხვის (და 13) კოეფიციენტი და, შესაბამისად, ცუდი იქნებოდა მდგომარეობის გადაწერა რიცხვით. (თუმცა ეს არ გამოიწვევს შეცდომას). ეს განსხვავება, სხვათა შორის, უფრო ნათლად ჩანს წილადში - თუ, შედარებით რომ ვთქვათ, მაშინ ეს მნიშვნელობა პირველ რიგში გაგებულია, როგორც განტოლების "სრული" რთული ფესვი, და არა როგორც რიცხვის გამყოფი და განსაკუთრებით არა როგორც რიცხვის ნაწილი!

გამოსავალიპრინციპში, ასევე შეიძლება გაკეთდეს ეტაპობრივად, მაგრამ ამ შემთხვევაში თამაში არ ღირს სანთელი. საწყისი ამოცანაა ყველაფრის გამარტივება, რაც არ შეიცავს უცნობ "z"-ს, რის შედეგადაც განტოლება დაიყვანება ფორმამდე:

ჩვენ დამაჯერებლად ვამარტივებთ შუა წილადს:

ჩვენ გადავიტანთ შედეგს მარჯვენა მხარეს და ვპოულობთ განსხვავებას:

შენიშვნა : და კიდევ ერთხელ ვამახვილებ თქვენს ყურადღებას საგულისხმო პუნქტზე - აქ ჩვენ არ გამოვაკლეთ რიცხვი რიცხვს, არამედ წილადები მივიღეთ საერთო მნიშვნელამდე! უნდა აღინიშნოს, რომ უკვე გადაჭრის პროცესში არ არის აკრძალული რიცხვებთან მუშაობა: თუმცა, განხილულ მაგალითში ეს სტილი უფრო მავნეა ვიდრე სასარგებლო =)

პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ გამოვხატავთ "ზეტს":

ახლა თქვენ შეგიძლიათ კვლავ გაყოთ და გაამრავლოთ კონიუგატზე, მაგრამ საეჭვოდ მსგავსი რიცხვები მრიცხველსა და მნიშვნელში გვთავაზობს შემდეგ ნაბიჯს:

უპასუხე:

შესამოწმებლად, მოდით ჩავანაცვლოთ მიღებული მნიშვნელობა ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარეს და განვახორციელოთ გამარტივებები:

– მიიღება ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე, რითაც ფესვი სწორად არის ნაპოვნი.

...ახლა, ახლა... მე შენთვის უფრო საინტერესოს ვიპოვი... აი შენ:

მაგალითი 6

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება მცირდება ფორმამდე, რაც ნიშნავს რომ ის წრფივია. ვფიქრობ, მინიშნება ნათელია - წადი!

რა თქმა უნდა... როგორ შეგიძლია მის გარეშე ცხოვრება:

კვადრატული განტოლება რთული კოეფიციენტებით

კლასში რთული რიცხვები დუმებისთვისჩვენ გავიგეთ, რომ რეალურ კოეფიციენტებთან კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს შერწყმული რთული ფესვები, რის შემდეგაც ჩნდება ლოგიკური კითხვა: რატომ არ შეიძლება, სინამდვილეში, თავად კოეფიციენტები იყოს რთული? ნება მომეცით ჩამოვაყალიბო ზოგადი შემთხვევა:

კვადრატული განტოლება თვითნებური რთული კოეფიციენტებით (რომელთაგან 1 ან 2 ან სამივე შეიძლება იყოს, კერძოდ, მოქმედი)აქვს ორი და მხოლოდ ორირთული ფესვი (შესაძლოა, ერთი ან ორივე ძალაშია). ამავე დროს, ფესვები (როგორც რეალური, ასევე არანულოვანი წარმოსახვითი ნაწილით)შეიძლება ემთხვეოდეს (იყოს მრავლობითი).

კვადრატული განტოლება რთული კოეფიციენტებით წყდება იმავე სქემის გამოყენებით, როგორც "სკოლის" განტოლება, გამოთვლის ტექნიკაში გარკვეული განსხვავებებით:

მაგალითი 7

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები

გამოსავალი: წარმოსახვითი ერთეული პირველ რიგში მოდის და, პრინციპში, შეგიძლიათ მისგან თავის დაღწევა (ორივე მხარის გამრავლება)თუმცა, ამის განსაკუთრებული საჭიროება არ არის.

მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს:

არ დავკარგოთ თავისუფალი წევრის "მინუსი"! ...შეიძლება ყველასთვის გაუგებარი იყოს - განტოლებას სტანდარტული სახით გადავწერ :

მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი:

და აქ არის მთავარი დაბრკოლება:

ფესვის ამოღების ზოგადი ფორმულის გამოყენება (იხილეთ სტატიის ბოლო პუნქტი რთული რიცხვები დუმებისთვის) გართულებულია რადიკალური რთული რიცხვის არგუმენტთან დაკავშირებული სერიოზული სირთულეებით (თვითონ ნახეთ). მაგრამ არსებობს კიდევ ერთი, "ალგებრული" გზა! ჩვენ ვეძებთ ფესვს ფორმაში:

ორივე გვერდი გავაფორმოთ კვადრატში:

ორი რთული რიცხვი ტოლია, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:

სისტემის გადაჭრა უფრო ადვილია შერჩევით (უფრო საფუძვლიანი გზაა გამოვხატოთ მე-2 განტოლებიდან - ჩავანაცვლოთ 1-ში, მივიღოთ და ამოხსნათ ორგანზომილებიანი განტოლება). თუ დავუშვებთ, რომ პრობლემის ავტორი არ არის მონსტრი, ჩვენ წამოვაყენეთ ჰიპოთეზა, რომ და არის მთელი რიცხვები. 1-ლი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ "x" მოდულიმეტი ვიდრე "Y". გარდა ამისა, დადებითი პროდუქტი გვეუბნება, რომ უცნობები ერთი და იგივე ნიშნისაა. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე და მე-2 განტოლებაზე ფოკუსირებით, ჩვენ ვწერთ ყველა წყვილს, რომელიც ემთხვევა მას:

აშკარაა, რომ სისტემის 1-ლი განტოლება აკმაყოფილებს ბოლო ორი წყვილს, შესაბამისად:

შუალედური შემოწმება არ დააზარალებს:

რაც შესამოწმებელი იყო.

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ როგორც "სამუშაო" root ნებისმიერიმნიშვნელობა. გასაგებია, რომ უმჯობესია ვერსიის მიღება „მინუსების“ გარეშე:

ჩვენ ვიპოვით ფესვებს, არ გვავიწყდება, სხვათა შორის, რომ:

უპასუხე:

მოდით შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი ფესვები განტოლებას :

1) შევცვალოთ:

ნამდვილი თანასწორობა.

2) შევცვალოთ:

ნამდვილი თანასწორობა.

ამრიგად, გამოსავალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

იმ პრობლემის მიხედვით, რაც ახლა განვიხილეთ:

მაგალითი 8

იპოვეთ განტოლების ფესვები

უნდა აღინიშნოს, რომ კვადრატული ფესვი წმინდა კომპლექსურირიცხვების ამოღება მარტივია ზოგადი ფორმულის გამოყენებით , სად , ამიტომ ორივე მეთოდი ნაჩვენებია ნიმუშში. მეორე სასარგებლო შენიშვნა ეხება იმ ფაქტს, რომ მუდმივის ფესვის წინასწარი ამოღება საერთოდ არ ამარტივებს ამოხსნას.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაისვენოთ - ამ მაგალითში მცირე შიშით გაქცევთ :)

მაგალითი 9

ამოხსენით განტოლება და შეამოწმეთ

გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

სტატიის ბოლო პუნქტი ეძღვნება

განტოლებათა სისტემა რთული რიცხვებით

დავისვენოთ და... არ დავიძაბოდეთ =) განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა - ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით:

მაგალითი 10

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა. პასუხი წარმოადგინეთ ალგებრული და ექსპონენციალური ფორმებით, ნახატზე გამოსახეთ ფესვები.

გამოსავალი: პირობა თავისთავად მიგვანიშნებს, რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, ანუ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს ყველასსისტემის განტოლება.

სისტემა ნამდვილად შეიძლება გადაწყდეს "ბავშვური" გზით (გამოხატოს ერთი ცვლადი მეორის თვალსაზრისით) , თუმცა მისი გამოყენება ბევრად უფრო მოსახერხებელია კრამერის ფორმულები. გამოვთვალოთ მთავარი განმსაზღვრელისისტემები:

, რაც ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ვიმეორებ, რომ ჯობია დრო დაუთმოთ და რაც შეიძლება დეტალურად დაწეროთ ნაბიჯები:

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს წარმოსახვით ერთეულზე და ვიღებთ 1 ფესვს:

ანალოგიურად:

მიიღება შესაბამისი მარჯვენა მხარეები და ა.შ.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

წარმოვადგინოთ ფესვები ექსპონენციალური ფორმით. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

1) – „ორის“ არქტანგენსი გამოითვლება „ცუდად“, ამიტომ ვტოვებთ ასე:

კატეგორიები

სკრინინგი

კიდურების ულტრაბგერა

ულტრაბგერის სახეები

მუცლის ღრუს ულტრაბგერა

გულმკერდის ულტრაბგერა

პოპულარული სტატიები

	თანამშრომელი და მიყენებული მატერიალური ზიანი: როცა პასუხობენ ხელფასით
	გონორეა ლათინური სახელი
	მეთოდოლოგიური შემუშავება „უსაფრთხოების ზომები ფიზიკური ვარჯიშისა და სპორტის დროს“ ტრავმების ზოგადი მახასიათებლები
	სოკოები და ბაქტერიები მიკროორგანიზმები სოკოები მცენარეები ცხოველები
	ისტორიები უჯრედების აღმოჩენისა და შესწავლის შესახებ