დიფერენციალურის გამოყენებით, დაახლოებით გამოთვალეთ ეს მნიშვნელობა. გაანგარიშების მიახლოება დიფერენციალური გამოყენებით

განვიხილოთ ფართოდ გავრცელებული პრობლემა დიფერენციალის გამოყენებით ფუნქციის მნიშვნელობის სავარაუდო გამოთვლაზე.

აქ და შემდგომში ჩვენ ვისაუბრებთ პირველი რიგის დიფერენციალებზე, ჩვენ ხშირად ვიტყვით უბრალოდ "დიფერენციალური". დიფერენციალების გამოყენებით სავარაუდო გამოთვლების პრობლემას აქვს გადაწყვეტის მკაცრი ალგორითმი და, შესაბამისად, განსაკუთრებული სირთულეები არ უნდა წარმოიშვას. ერთადერთი ის არის, რომ არის პატარა ჩიხები, რომლებიც ასევე გაიწმინდება. ასე რომ, ჯერ თავისუფლად ჩაყვინთეთ თავში.

გარდა ამისა, სექცია შეიცავს ფორმულებს გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების საპოვნელად. მასალა ძალიან სასარგებლოა, რადგან შეცდომები უნდა გამოითვალოს სხვა პრობლემებში.

მაგალითების წარმატებით ათვისების მიზნით, თქვენ უნდა შეძლოთ ფუნქციების წარმოებულების პოვნა მინიმუმ საშუალო დონეზე, ასე რომ, თუ დიფერენციაციასთან დაკავშირებით სრულიად წაგებული ხართ, გთხოვთ, დაიწყოთ წარმოებულის პოვნა წერტილშიდა თან დიფერენციალის პოვნა წერტილში. ტექნიკური საშუალებებიდან დაგჭირდებათ მიკროკალკულატორი სხვადასხვა მათემატიკური ფუნქციით. შეგიძლიათ გამოიყენოთ MS Excel-ის შესაძლებლობები, მაგრამ ამ შემთხვევაში ეს ნაკლებად მოსახერხებელია.

გაკვეთილი შედგება ორი ნაწილისაგან:

– მიახლოებითი გამოთვლები ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური მნიშვნელობის გამოყენებით წერტილში.

– მიახლოებითი გამოთვლები ორი ცვლადის ფუნქციის მნიშვნელობის ჯამური დიფერენციალის გამოყენებით წერტილში.

განხილული დავალება მჭიდრო კავშირშია დიფერენციალური ცნებასთან, მაგრამ რადგან ჯერ არ გვაქვს გაკვეთილი წარმოებულებისა და დიფერენციალების მნიშვნელობის შესახებ, შემოვიფარგლებით მაგალითების ფორმალური განხილვით, რაც სავსებით საკმარისია იმისათვის, რომ ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ. მათ.

მიახლოებითი გამოთვლები ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოყენებით

პირველ აბზაცში ერთი ცვლადის ფუნქცია არეგულირებს. როგორც ყველამ იცის, იგი აღინიშნება წან მეშვეობით ვ(x). ამ ამოცანისთვის ბევრად უფრო მოსახერხებელია მეორე აღნიშვნის გამოყენება. მოდით პირდაპირ გადავიდეთ პოპულარულ მაგალითზე, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში:

მაგალითი 1

გამოსავალი:გთხოვთ, დააკოპიროთ თქვენს ნოუთბუქში სამუშაო ფორმულა სავარაუდო გაანგარიშებისთვის დიფერენციალური გამოყენებით:

დავიწყოთ ამის გარკვევა, აქ ყველაფერი მარტივია!

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის შექმნა. პირობის მიხედვით შემოთავაზებულია გამოვთვალოთ რიცხვის კუბური ფესვი: , ამიტომ შესაბამის ფუნქციას აქვს ფორმა: .

ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ ვიპოვოთ სავარაუდო მნიშვნელობა.

მოდით შევხედოთ მარცხენა მხარეფორმულები და გონებაში ჩნდება აზრი, რომ რიცხვი 67 უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმით. რა არის ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა? მე გირჩევთ შემდეგ ალგორითმს: გამოთვალეთ ეს მნიშვნელობა კალკულატორზე:

– აღმოჩნდა 4 კუდით, ეს გადაწყვეტის მნიშვნელოვანი სახელმძღვანელოა.

როგორც x 0 აირჩიეთ „კარგი“ მნიშვნელობა, ისე რომ ფესვი მთლიანად მოიხსნას. ბუნებრივია, ეს მნიშვნელობა x 0 უნდა იყოს რაც შეიძლება ახლოს 67-მდე.

Ამ შემთხვევაში x 0 = 64. მართლაც, .

შენიშვნა: შერჩევისასx 0 ჯერ კიდევ არის სირთულე, უბრალოდ შეხედეთ გამოთვლილ მნიშვნელობას (ამ შემთხვევაში აიღეთ უახლოესი მთელი ნაწილი (ამ შემთხვევაში 4) და ასწიეთ საჭირო სიმძლავრემდე (ამ შემთხვევაში ). შედეგად, გაკეთდება სასურველი არჩევანი x 0 = 64.

თუ x 0 = 64, შემდეგ არგუმენტის ზრდა: .

ასე რომ, რიცხვი 67 წარმოდგენილია ჯამის სახით

ჯერ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში x 0 = 64. სინამდვილეში, ეს უკვე გაკეთდა ადრე:

დიფერენციალური წერტილის პოვნა ხდება ფორმულით:

- თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკოპიროთ ეს ფორმულა თქვენს ნოუთბუქში.

ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ თქვენ უნდა აიღოთ პირველი წარმოებული:

და იპოვნეთ მისი ღირებულება წერტილში x 0:

.

ამრიგად:

ყველაფერი მზადაა! ფორმულის მიხედვით:

ნაპოვნი სავარაუდო მნიშვნელობა საკმაოდ ახლოს არის 4.06154810045 მნიშვნელობასთან, რომელიც გამოითვლება მიკროკალკულატორის გამოყენებით.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის ნამატების შეცვლით მისი დიფერენციალით.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. დამწყებთათვის, პირველ რიგში, გირჩევთ, გამოთვალოთ ზუსტი მნიშვნელობა მიკროკალკულატორზე, რათა გაარკვიოთ, რა რიცხვი აიღოთ. x 0 და რომელი – Δ-სთვის x. უნდა აღინიშნოს, რომ Δ xამ მაგალითში უარყოფითი იქნება.

ზოგს შეიძლება გაუკვირდეს, რატომ არის საჭირო ეს დავალება, თუ ყველაფერი მშვიდად და უფრო ზუსტად შეიძლება გამოითვალოს კალკულატორზე? ვეთანხმები, დავალება სულელური და გულუბრყვილოა. მაგრამ შევეცდები ცოტათი გავამართლო. პირველ რიგში, ამოცანა ასახავს დიფერენციალური ფუნქციის მნიშვნელობას. მეორეც, ძველ დროში, კალკულატორი თანამედროვე დროში იყო რაღაც პირადი ვერტმფრენი. მე თვითონ ვნახე, როგორ ამოაგდეს ოთახის ზომის კომპიუტერი ერთ-ერთი ინსტიტუტიდან სადღაც 1985-86 წლებში (რადიომოყვარულები მოდიოდნენ მთელი ქალაქიდან ხრახნებით და რამდენიმე საათის შემდეგ განყოფილებიდან მხოლოდ საქმე დარჩა. ). ფიზიკის განყოფილებაში ანტიკვარიატიც გვქონდა, თუმცა ისინი უფრო მცირე ზომის იყვნენ - დაახლოებით მაგიდის ზომით. ასე ებრძოდნენ ჩვენი წინაპრები სავარაუდო გამოთვლების მეთოდებს. სატრანსპორტოა ცხენიანი ეტლიც.

ასეა თუ ისე, პრობლემა რჩება უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში და მისი გადაჭრა მოუწევს. ეს არის მთავარი პასუხი თქვენს კითხვაზე =).

მაგალითი 3

გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის მნიშვნელობა დიფერენციალის გამოყენებით წერტილში x= 1.97. გამოთვალეთ უფრო ზუსტი ფუნქციის მნიშვნელობა ერთ წერტილში x= 1,97 მიკროკალკულატორის გამოყენებით, შეაფასეთ გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა.

ფაქტობრივად, ამ ამოცანის მარტივად გადაფორმება შესაძლებელია შემდეგნაირად: „გამოთვალეთ სავარაუდო მნიშვნელობა დიფერენციალური გამოყენებით"

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ნაცნობ ფორმულას:

ამ შემთხვევაში, უკვე მოცემულია მზა ფუნქცია: . კიდევ ერთხელ მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო იმ ფაქტზე, რომ ფუნქციის აღსანიშნავად „თამაშის“ ნაცვლად მისი გამოყენება უფრო მოსახერხებელია. ვ(x).

მნიშვნელობა x= 1.97 უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმაში x 0 = Δ x. აქ უფრო ადვილია, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 1.97 ძალიან ახლოს არის "ორთან", ასე რომ ის თავის თავს გვთავაზობს x 0 = 2. და, შესაბამისად: .

გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში x 0 = 2:

ფორმულის გამოყენებით , გამოვთვალოთ დიფერენციალი იმავე წერტილში.

ჩვენ ვპოულობთ პირველ წარმოებულს:

და მისი მნიშვნელობა ამ ეტაპზე x 0 = 2:

ამრიგად, დიფერენციალი წერტილში:

შედეგად, ფორმულის მიხედვით:

დავალების მეორე ნაწილი არის გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომის პოვნა.

ფუნქციის გაზრდის სავარაუდო მნიშვნელობა

საკმარისად მცირე მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის ზრდა დაახლოებით უდრის მის დიფერენციალს, ე.ი. დი » დი და ამიტომ

მაგალითი 2.იპოვეთ y= ფუნქციის ნამატის სავარაუდო მნიშვნელობა, როდესაც x არგუმენტი იცვლება x 0 =3 მნიშვნელობიდან x 1 =3.01-მდე.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ ფორმულა (2.3). ამისათვის მოდით გამოვთვალოთ

X 1 - x 0 = 3.01 - 3 = 0.01, მაშინ

დუ" .

ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა წერტილში

y = f(x) ფუნქციის ზრდის განმარტების შესაბამისად x 0 წერტილში, როდესაც არგუმენტი Dx (Dx®0) იზრდება, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) და ფორმულა (3.3) შეიძლება დაიწეროს

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევები (3.4) არის გამონათქვამები:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4 გ)

აქ, როგორც ადრე, ვარაუდობენ, რომ Dx®0.

მაგალითი 3.იპოვეთ f(x) = (3x -5) 5 ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობა x 1 =2.02 წერტილში.

გამოსავალი. გამოთვლებისთვის ვიყენებთ ფორმულას (3.4). წარმოვადგენთ x 1 როგორც x 1 = x 0 + Dx. შემდეგ x 0 = 2, Dx = 0.02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

მაგალითი 4.გამოთვალეთ (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

გამოსავალი

1. გამოვიყენოთ ფორმულა (3.4a). ამისათვის წარმოვიდგინოთ (1.01) 5 სახით (1+0.01) 5.

შემდეგ, თუ ვივარაუდებთ, რომ Dx = 0.01, n = 5, მივიღებთ

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. 1/6-ის (1 - 0.006) სახით (3.4a) წარმოდგენით, ვიღებთ

(1 - 0.006) 1/6 » 1 + .

3. იმის გათვალისწინებით, რომ ln(1.02) = ln(1 + 0.02) და Dx=0.02 დაშვებით, ფორმულის გამოყენებით (3.4b) ვიღებთ

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. ანალოგიურად

ln = ln(1 - 0.05) 1/5 = .

იპოვნეთ ფუნქციის ნამატების სავარაუდო მნიშვნელობები

155. y = 2x 3 + 5 როდესაც x არგუმენტი იცვლება x 0 = 2-დან x 1 = 2.001-მდე

156. y = 3x 2 + 5x + 1 x 0 = 3 და Dx = 0.001

157. y = x 3 + x - 1 x 0 = 2 და Dx = 0.01

158. y = ln x x 0 = 10-ზე და Dx = 0.01

159. y = x 2 - 2x x 0 = 3-ზე და Dx = 0.01

იპოვნეთ ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობები

160. y = 2x 2 - x + 1 წერტილში x 1 = 2.01

161. y = x 2 + 3x + 1 x 1 = 3.02-ზე

162.y= წერტილში x 1 = 1.1

163. y= წერტილში x 1 = 3.032

164. y = წერტილში x 1 = 3.97

165. y = sin 2x წერტილში x 1 = 0.015

გამოთვალეთ დაახლოებით

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

ფუნქციების კვლევა და გრაფიკა

ფუნქციის ერთფეროვნების ნიშნები

თეორემა 1 (ფუნქციის გაზრდის (შემცირების) აუცილებელი პირობა) . თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია y = f(x), xО(a; b) იზრდება (მცირდება) ინტერვალზე (a; b), მაშინ ნებისმიერი x 0 О(a; b).

თეორემა 2 (ფუნქციის გაზრდის (შემცირებისთვის) საკმარისი პირობა) . თუ ფუნქციას y = f(x), xО(a; b) აქვს დადებითი (უარყოფითი) წარმოებული ინტერვალის (a; b) თითოეულ წერტილში, მაშინ ეს ფუნქცია იზრდება (მცირდება) ამ ინტერვალზე.

ფუნქციის უკიდურესობა

განმარტება 1. x 0 წერტილს უწოდებენ y = f(x) ფუნქციის მაქსიმალურ (მინიმალურ) წერტილს, თუ x 0 წერტილის d-სამეზობლოდან ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილებულია f(x) უტოლობა.< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) x ¹ x 0-სთვის.

თეორემა 3 (ფერმატი) (ექსტრემის არსებობის აუცილებელი პირობა) . თუ წერტილი x 0 არის y = f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი და ამ წერტილში არის წარმოებული, მაშინ

თეორემა 4 (პირველი საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის) . დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს დიფერენცირებადი x 0 წერტილის d-მეზობლებში. შემდეგ:

1) თუ წარმოებული x 0 წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს (+)-დან (-), მაშინ x 0 არის მაქსიმალური წერტილი;

2) თუ წარმოებული x 0 წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს (-)-დან (+), მაშინ x 0 არის მინიმალური წერტილი;

3) თუ წარმოებული არ ცვლის ნიშანს x 0 წერტილში გავლისას, მაშინ x 0 წერტილში ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი.

განმარტება 2.წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ქრება ან არ არსებობს, ეწოდება პირველი ტიპის კრიტიკული წერტილები.

პირველი წარმოებულის გამოყენებით

1. იპოვეთ y = f(x) ფუნქციის D(f) განსაზღვრების დომენი.

3. იპოვეთ პირველი სახის კრიტიკული წერტილები.

4. მოათავსეთ კრიტიკული წერტილები y = f(x) ფუნქციის D(f) განსაზღვრის დომენში და განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი იმ ინტერვალებში, რომლებშიც კრიტიკული წერტილები ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.

5. აირჩიეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში.

მაგალითი 1.გამოიკვლიეთ ფუნქცია y = x 3 - 3x 2 ექსტრემისთვის.

გამოსავალი. პირველი წარმოებულის გამოყენებით ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ალგორითმის შესაბამისად, გვაქვს:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - პირველი სახის კრიტიკული წერტილები.

წარმოებული x = 0 წერტილის გავლისას

ცვლის ნიშანს (+)-დან (-), ამიტომ ის არის წერტილი

მაქსიმალური. x = 2 წერტილში გავლისას ნიშანი იცვლება (-)-დან (+), ამიტომ ეს არის მინიმალური წერტილი.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

მაქსიმალური კოორდინატები (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

მინიმალური კოორდინატები (2; -4).

თეორემა 5 (მეორე საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის) . თუ ფუნქცია y = f(x) არის განსაზღვრული და ორჯერ დიფერენცირებადი x 0 წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში, და, მაშინ x 0 წერტილში f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმალური if და მინიმალური თუ .

ფუნქციის უკიდურესობის პოვნის ალგორითმი

მეორე წარმოებულის გამოყენებით

1. იპოვეთ y = f(x) ფუნქციის D(f) განსაზღვრების დომენი.

2. გამოთვალეთ პირველი წარმოებული

ერთის მხრივ, დიფერენციალის გამოთვლა ბევრად უფრო მარტივია, ვიდრე ნამატის გამოთვლა, მეორეს მხრივ, dy≈∆y და ამ შემთხვევაში დაშვებული ცდომილება შეიძლება მოხდეს თვითნებურად მცირე Δx-ის შემცირებით. ეს გარემოებები ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელს ხდის ∆y მნიშვნელობით dy. მიახლოებითი ტოლობიდან dy≈∆y, იმის გათვალისწინებით, რომ ∆y = f(x) – f(x 0), და dy=f'(x 0)(x-x 0), ვიღებთ f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), სადაც x-x 0 = ∆x.
მაგალითი. გამოთვალეთ.
გამოსავალი. ფუნქციის აღებით გვაქვს: . თუ დავუშვებთ x 0 =16 (ჩვენ თვითონ ვირჩევთ ისე, რომ ფესვი ამოღებულია), ∆x = 0.02, მივიღებთ .

მაგალითი. გამოთვალეთ f(x) = e x ფუნქციის მნიშვნელობა x=0.1 წერტილში.
გამოსავალი. x 0-სთვის ვიღებთ რიცხვს 0, ანუ x 0 =0, შემდეგ ∆x=x-x 0 =0.1 და e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. ცხრილის მიხედვით, e 0.1 ≈1.1052. შეცდომა უმნიშვნელო იყო.
მოდით აღვნიშნოთ დიფერენციალის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება. დიფერენციალური dy=f’(x)dx-ის პოვნის ფორმულა სწორია როგორც იმ შემთხვევაში, როდესაც xდამოუკიდებელი ცვლადია და იმ შემთხვევაში, როცა x- ახალი ცვლადის ფუნქცია ტ. დიფერენციალის ამ თვისებას ეწოდება მისი ფორმის უცვლელობის თვისება. მაგალითად, y=tg(x) ფუნქციისთვის დიფერენციალი დაიწერება სახით მიუხედავად იმისა, თუ არა x დამოუკიდებელი ცვლადი ან ფუნქცია. თუ x– ფუნქცია კონკრეტულად არის მითითებული, მაგალითად x=t 2, შემდეგ შეიძლება გავაგრძელოთ dy-ის გამოთვლა, რისთვისაც ვპოულობთ dx=2tdt და ჩავანაცვლებთ მას ადრე მიღებულ გამოსახულებაში dy:
.
თუ (2) ფორმულის ნაცვლად გამოვიყენებდით არაინვარიანტულ ფორმულას (1), მაშინ იმ შემთხვევაში, როდესაც x არის ფუნქცია, ჩვენ ვერ გავაგრძელებთ dy-ის გამოთვლას ანალოგიურად, რადგან ∆x, ზოგადად, არ ემთხვევა dx.

1. ფუნქციის ნაზრდის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა

მაგალითი. ფუნქციის დიფერენციალური კონცეფციის გამოყენებით, გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის ცვლილება როდესაც არგუმენტი იცვლება 5-დან 5.01-მდე.

ვიპოვოთ ფუნქციის დიფერენციალი . მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები X 0 = 5, დ X= 0.01. ვიღებთ

2. ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა

მაგალითი. გამოთვალეთ სავარაუდო მნიშვნელობა დიფერენციალური 1.998 5 გამოყენებით.

განვიხილოთ ფუნქცია სად X= 1.998. მოდი დავშალოთ X on X 0 და დ X (X = X 0+D X), მოდით X 0 = 2, შემდეგ D X = - 0,002.

მოდი ვიპოვოთ ღირებულება , ,

შემდეგ 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები და დიფერენცილები

დაე, ფუნქცია f(x) იყოს დიფერენცირებადი რაღაც ინტერვალზე. შემდეგ, მისი დიფერენცირებით, ვიღებთ პირველ წარმოებულს

თუ ვიპოვით f¢(x) ფუნქციის წარმოებულს, მივიღებთ მეორე წარმოებულიფუნქციები f(x).

იმათ. y¢¢ = (y¢)¢ ან .

.

დიფერენციალური გამოთვლების ძირითადი თეორემები

1. როლის თეორემა. თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე, დიფერენცირებადია ინტერვალში (a, b) და ფუნქციის მნიშვნელობები ინტერვალის ბოლოებში უდრის f(a) = f(b), მაშინ ინტერვალში (a, b) არის მინიმუმ ერთი წერტილი c (a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

როლის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა. როლის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა ისაა, რომ თუ თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია ინტერვალზე (a, b), არის წერტილი c ისეთი, რომ მრუდის შესაბამის წერტილში y = f(x) ტანგენსი პარალელურია. ხარის ღერძი. შეიძლება იყოს რამდენიმე ასეთი წერტილი ინტერვალზე, მაგრამ თეორემა აცხადებს მინიმუმ ერთი ასეთი წერტილის არსებობას.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ინტერვალის ერთ წერტილში მაინც [ ა; ბ] ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი, მაშინ ფუნქციის წარმოებული f(x)შეიძლება ნულამდე არ წავიდეს. მაგალითად, ფუნქცია წ=1-½ x½ არის უწყვეტი ინტერვალზე [-1; +1], დიფერენცირებადი (-1;+1) წერტილის გარდა x 0 = 0 და ვ(-1) = ვ(1) = 0, ე.ი. როლის თეორემის პირობა ირღვევა ერთ წერტილში x 0 = 0 (მასში ფუნქცია არ არის დიფერენცირებული). აშკარაა, რომ ფუნქციის გრაფიკის არცერთ წერტილში [-1; 1] გრაფიკის ტანგენტი არ არის 0 ღერძის პარალელურად x.

როლის თეორემა რამდენიმეა შედეგები :

1) თუ ფუნქცია f(x)სეგმენტზე [ ა, ბ] აკმაყოფილებს როლის თეორემას და f(a) = f(b) = 0, მაშინ არის მინიმუმ ერთი წერტილი ს, ა< с < b , ისეთივე როგორც f¢(c) = 0. იმათ. ფუნქციის ორ ნულს შორის არის მინიმუმ ერთი წერტილი, სადაც ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია.

2) თუ განხილულ ინტერვალზე ( ა, ბ) ფუნქცია f(x)აქვს წარმოებული ( ნ-1) რიგი და ნჯერ ქრება, მაშინ არის მინიმუმ ერთი წერტილი ინტერვალში, რომელშიც წარმოებული ( ნ–1)-ე რიგი უდრის ნულს.

2. ლაგრანჟის თეორემა. თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე და დიფერენცირებადია ინტერვალში (a, b), მაშინ ამ ინტერვალში არის მინიმუმ ერთი წერტილი c (a< c < b), такая, что .

ეს ნიშნავს, რომ თუ თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია გარკვეულ ინტერვალზე, მაშინ ფუნქციის ზრდის შეფარდება ამ ინტერვალზე არგუმენტის ზრდასთან უდრის წარმოებულის მნიშვნელობას რომელიმე შუალედურ წერტილში.

როლის ზემოთ განხილული თეორემა ლაგრანჟის თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

გამოთქმა ე.წ ლაგრანგის სასრული ზრდის ფორმულა.

ლაგრანჟის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

დაე, დაკმაყოფილდეს ლაგრანჟის თეორემის პირობები, მაშინ მართებულია ლაგრანჟის ფორმულა სასრულ ნამატებისთვის.

დაუშვით ქულები ადა ბგრაფიკზე მოთავსებულ ფუნქციებს აქვთ კოორდინატები ა (ა; ვ(ა)), ბ (ბ; ვ(ბ)), მაშინ აშკარაა, რომ წილადის მნიშვნელობა უდრის აკორდის დახრილობის კუთხის ტანგენტს. AB O ღერძამდე x, ე.ი. .

Მეორეს მხრივ, ვ "(გ) = ტგა. ასე რომ, წერტილში x= გფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი წ= f(x)მრუდის რკალი დამღუპველი აკორდის პარალელურად AB. ეს არის ლაგრანჟის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

3. კოშის თეორემა. თუ ფუნქციები f(x)და g(x)უწყვეტი სეგმენტზე და დიფერენცირებადი ინტერვალში (a, b) და g¢(x) 10ამ ინტერვალის არცერთ წერტილში, მაშინ არის მინიმუმ ერთი წერტილი გ(ა< c < b), ისეთი, რომ თანასწორობა მოქმედებს:

.

იმათ. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციების ნამატების თანაფარდობა უდრის წარმოებულების შეფარდებას წერტილში თან.

კოშის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ადვილია იმის შემოწმება, რომ კოშის თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა ემთხვევა ლაგრანჟის თეორემის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

სავარაუდო გამოთვლები დიფერენციალური გამოყენებით

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ საერთო პრობლემას დიფერენციალის გამოყენებით ფუნქციის მნიშვნელობის სავარაუდო გამოთვლაზე. აქ და შემდგომში ვისაუბრებთ პირველი რიგის დიფერენციალებზე, მე ხშირად ვიტყვი "დიფერენციალურს". დიფერენციალების გამოყენებით სავარაუდო გამოთვლების პრობლემას აქვს გადაწყვეტის მკაცრი ალგორითმი და, შესაბამისად, განსაკუთრებული სირთულეები არ უნდა წარმოიშვას. ერთადერთი ის არის, რომ არის პატარა ჩიხები, რომლებიც ასევე გაიწმინდება. ასე რომ, ჯერ თავისუფლად ჩაყვინთეთ თავში.

გარდა ამისა, გვერდი შეიცავს ფორმულებს გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომის საპოვნელად. მასალა ძალიან სასარგებლოა, რადგან შეცდომები უნდა გამოითვალოს სხვა პრობლემებში. ფიზიკოსებო სად არის თქვენი ტაში? =)

მაგალითების წარმატებით ათვისების მიზნით, თქვენ უნდა შეძლოთ ფუნქციების წარმოებულების პოვნა მინიმუმ საშუალო დონეზე, ასე რომ, თუ დიფერენცირებასთან დაკავშირებით სრულიად წაგებული ხართ, გთხოვთ, გაკვეთილით დაიწყოთ. როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ასევე გირჩევთ სტატიის წაკითხვას უმარტივესი პრობლემები წარმოებულებთან, კერძოდ აბზაცები წარმოებულის პოვნის შესახებ წერტილშიდა დიფერენციალის პოვნა წერტილში. ტექნიკური საშუალებებიდან დაგჭირდებათ მიკროკალკულატორი სხვადასხვა მათემატიკური ფუნქციით. შეგიძლიათ გამოიყენოთ Excel, მაგრამ ამ შემთხვევაში ეს ნაკლებად მოსახერხებელია.

სემინარი შედგება ორი ნაწილისგან:

– მიახლოებითი გამოთვლები ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოყენებით.

– მიახლოებითი გამოთვლები ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალური გამოყენებით.

ვის რა სჭირდება? სინამდვილეში, შესაძლებელი გახდა სიმდიდრის ორ გროვად დაყოფა, იმ მიზეზით, რომ მეორე პუნქტი ეხება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების გამოყენებას. მაგრამ რა ვქნა, მიყვარს გრძელი სტატიები.

სავარაუდო გამოთვლები
ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოყენებით

მოცემული დავალება და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა უკვე განხილულია გაკვეთილზე რა არის წარმოებული? და ახლა ჩვენ შემოვიფარგლებით მაგალითების ფორმალური განხილვით, რაც სავსებით საკმარისია მათი ამოხსნის სასწავლად.

პირველ აბზაცში ერთი ცვლადის ფუნქცია არეგულირებს. როგორც ყველამ იცის, იგი აღინიშნება ან . ამ ამოცანისთვის ბევრად უფრო მოსახერხებელია მეორე აღნიშვნის გამოყენება. მოდით პირდაპირ გადავიდეთ პოპულარულ მაგალითზე, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში:

მაგალითი 1

გამოსავალი:გთხოვთ, დააკოპიროთ სამუშაო ფორმულა სავარაუდო გაანგარიშებისთვის დიფერენციალური გამოყენებით თქვენს ნოუთბუქში:

დავიწყოთ ამის გარკვევა, აქ ყველაფერი მარტივია!

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის შექმნა. პირობის მიხედვით შემოთავაზებულია გამოვთვალოთ რიცხვის კუბური ფესვი: , ამიტომ შესაბამის ფუნქციას აქვს ფორმა: . ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ ვიპოვოთ სავარაუდო მნიშვნელობა.

მოდით შევხედოთ მარცხენა მხარეფორმულები და გონებაში ჩნდება აზრი, რომ რიცხვი 67 უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმით. რა არის ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა? მე გირჩევთ შემდეგ ალგორითმს: გამოთვალეთ ეს მნიშვნელობა კალკულატორზე:
– აღმოჩნდა 4 კუდით, ეს გადაწყვეტის მნიშვნელოვანი სახელმძღვანელოა.

ჩვენ ვირჩევთ "კარგ" მნიშვნელობას, როგორც ისე რომ ფესვი მთლიანად მოიხსნას. ბუნებრივია, ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს რაც შეიძლება ახლოს 67-მდე. ამ შემთხვევაში: . ნამდვილად: .

შენიშვნა: როდესაც არჩევისას კვლავ სირთულეები წარმოიქმნება, უბრალოდ შეხედეთ გამოთვლილ მნიშვნელობას (ამ შემთხვევაში ), აიღეთ უახლოესი მთელი ნაწილი (ამ შემთხვევაში 4) და ასწიეთ საჭირო სიმძლავრემდე (ამ შემთხვევაში). შედეგად გაკეთდება სასურველი არჩევანი: .

თუ , მაშინ არგუმენტის ნამატია: .

ასე რომ, რიცხვი 67 წარმოდგენილია ჯამის სახით

პირველ რიგში, მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში. სინამდვილეში, ეს უკვე გაკეთდა ადრე:

დიფერენციალური წერტილის პოვნა ხდება ფორმულით:
- ასევე შეგიძლიათ დააკოპიროთ ის თქვენს ნოუთბუქში.

ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ თქვენ უნდა აიღოთ პირველი წარმოებული:

და იპოვეთ მისი მნიშვნელობა წერტილში:

ამრიგად:

ყველაფერი მზადაა! ფორმულის მიხედვით:

ნაპოვნი მიახლოებითი მნიშვნელობა საკმაოდ ახლოს არის მნიშვნელობასთან , გამოითვლება მიკროკალკულატორის გამოყენებით.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის ნამატების შეცვლით მისი დიფერენციალით.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. დამწყებთათვის, პირველ რიგში, გირჩევთ, გამოთვალოთ ზუსტი მნიშვნელობა მიკროკალკულატორზე, რათა გაარკვიოთ რომელი რიცხვი არის აღებული, როგორც , და რომელი რიცხვი - როგორც . უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მაგალითში ის უარყოფითი იქნება.

ზოგს შეიძლება გაუკვირდეს, რატომ არის საჭირო ეს დავალება, თუ ყველაფერი მშვიდად და უფრო ზუსტად შეიძლება გამოითვალოს კალკულატორზე? ვეთანხმები, დავალება სულელური და გულუბრყვილოა. მაგრამ შევეცდები ცოტათი გავამართლო. პირველ რიგში, ამოცანა ასახავს დიფერენციალური ფუნქციის მნიშვნელობას. მეორეც, ძველ დროში, კალკულატორი თანამედროვე დროში იყო რაღაც პირადი ვერტმფრენი. მე თვითონ ვნახე, როგორ გადმოაგდეს 1985-86 წლებში ადგილობრივი პოლიტექნიკური ინსტიტუტიდან ოთახის ზომის კომპიუტერი (რადიომოყვარულები ხრახნებით მთელი ქალაქიდან მოდიოდნენ და რამდენიმე საათის შემდეგ მხოლოდ კეისი დარჩა. ერთეული). ჩვენს ფიზიკა-მათემატიკის განყოფილებაში იყო ანტიკვარიატიც, თუმცა ისინი უფრო მცირე ზომის იყვნენ - დაახლოებით მერხის ზომის. ასე ებრძოდნენ ჩვენი წინაპრები სავარაუდო გამოთვლების მეთოდებს. სატრანსპორტოა ცხენიანი ეტლიც.

ასეა თუ ისე, პრობლემა რჩება უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში და მისი გადაჭრა მოუწევს. ეს არის მთავარი პასუხი თქვენს კითხვაზე =)

მაგალითი 3

წერტილში. მიკროკალკულატორის გამოყენებით გამოთვალეთ ფუნქციის უფრო ზუსტი მნიშვნელობა წერტილში, შეაფასეთ გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა.

ფაქტობრივად, იგივე დავალება, მისი მარტივად გადაფორმება შესაძლებელია შემდეგნაირად: „გამოთვალეთ სავარაუდო მნიშვნელობა დიფერენციალური გამოყენებით"

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ნაცნობ ფორმულას:
ამ შემთხვევაში, უკვე მოცემულია მზა ფუნქცია: . კიდევ ერთხელ, მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო იმ ფაქტზე, რომ მისი გამოყენება უფრო მოსახერხებელია.

მნიშვნელობა უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმით. აქ უფრო ადვილია, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 1.97 ძალიან ახლოს არის "ორთან", ასე რომ, ის თავისთავად გვთავაზობს. Და, შესაბამისად: .

ფორმულის გამოყენებით , გამოვთვალოთ დიფერენციალი იმავე წერტილში.

ჩვენ ვპოულობთ პირველ წარმოებულს:

და მისი ღირებულება წერტილში:

ამრიგად, დიფერენციალი წერტილში:

შედეგად, ფორმულის მიხედვით:

დავალების მეორე ნაწილი არის გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომის პოვნა.

გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა

აბსოლუტური გაანგარიშების შეცდომანაპოვნია ფორმულით:

მოდულის ნიშანი გვიჩვენებს, რომ ჩვენ არ გვაინტერესებს რომელი მნიშვნელობაა მეტი და რომელი ნაკლები. Მნიშვნელოვანი, რამდენად შორსსავარაუდო შედეგი გადახრილია ზუსტი მნიშვნელობიდან ამა თუ იმ მიმართულებით.

შედარებითი გაანგარიშების შეცდომანაპოვნია ფორმულით:
, ან იგივე:

შედარებითი შეცდომა გვიჩვენებს რა პროცენტითსავარაუდო შედეგი გადახრილია ზუსტი მნიშვნელობიდან. არსებობს ფორმულის ვერსია 100%-ზე გამრავლების გარეშე, მაგრამ პრაქტიკაში მე თითქმის ყოველთვის ვხედავ ზემოხსენებულ ვერსიას პროცენტებით.

მოკლე მითითების შემდეგ, დავუბრუნდეთ ჩვენს პრობლემას, რომელშიც გამოვთვალეთ ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა დიფერენციალური გამოყენებით.

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა მიკროკალკულატორის გამოყენებით:
, მკაცრად რომ ვთქვათ, ღირებულება ჯერ კიდევ სავარაუდოა, მაგრამ ჩვენ მიგვაჩნია ზუსტი. ასეთი პრობლემები ჩნდება.

მოდით გამოვთვალოთ აბსოლუტური შეცდომა:

გამოვთვალოთ ფარდობითი შეცდომა:
მიღებულ იქნა პროცენტის მეათასედი, ასე რომ დიფერენციალმა მხოლოდ შესანიშნავი მიახლოება უზრუნველყო.

პასუხი: , აბსოლუტური გაანგარიშების შეცდომა, ფარდობითი გამოთვლის შეცდომა

შემდეგი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის მნიშვნელობა დიფერენციალის გამოყენებით წერტილში. გამოთვალეთ ფუნქციის უფრო ზუსტი მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში, შეაფასეთ გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა.

საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ბევრმა შენიშნა, რომ ფესვები ჩნდება ყველა განხილულ მაგალითში. ეს არ არის შემთხვევითი უმეტეს შემთხვევაში, განხილული პრობლემა რეალურად გვთავაზობს ფუნქციებს ფესვებთან.

მაგრამ ტანჯული მკითხველისთვის, მე ამოთხარე მცირე მაგალითი არქსინით:

მაგალითი 5

გამოთვალეთ დაახლოებით ფუნქციის მნიშვნელობა დიფერენციალის გამოყენებით წერტილში

ეს მოკლე, მაგრამ ინფორმატიული მაგალითი ასევე თქვენთვისაა, რომ თავად გადაჭრათ. და ცოტა დავისვენე, რათა განახლებული ენერგიით განმეხილა სპეციალური დავალება:

მაგალითი 6

გამოთვალეთ დაახლოებით დიფერენციალური გამოყენებით, დაამრგვალეთ შედეგი ორ ათწილადამდე.

გამოსავალი:რა არის ახალი ამოცანაში? მდგომარეობა მოითხოვს შედეგის დამრგვალებას ორ ათწილადამდე. მაგრამ ეს არ არის საქმე, მე ვფიქრობ, რომ სკოლის დამრგვალების პრობლემა არ არის თქვენთვის რთული. ფაქტია, რომ ჩვენ გვაძლევენ ტანგენტს არგუმენტით, რომელიც გამოხატულია გრადუსით. რა უნდა გააკეთო, როცა გთხოვენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გრადუსით ამოხსნას? მაგალითად და ა.შ.

გადაწყვეტის ალგორითმი ფუნდამენტურად იგივეა, ანუ აუცილებელია, როგორც წინა მაგალითებში, გამოიყენოს ფორმულა

მოდით დავწეროთ აშკარა ფუნქცია

მნიშვნელობა უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმით. სერიოზულ დახმარებას გაუწევენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი. სხვათა შორის, ვისაც არ აქვს დაბეჭდილი, გირჩევთ ამის გაკეთებას, რადგან უმაღლესი მათემატიკის შესწავლის მთელი კურსის განმავლობაში მოგიწევთ იქ ყურება.

ცხრილის გაანალიზებისას ჩვენ ვამჩნევთ "კარგ" ტანგენტს, რომელიც ახლოს არის 47 გრადუსთან:

ამრიგად:

წინასწარი ანალიზის შემდეგ გრადუსი უნდა გარდაიქმნას რადიანად. დიახ, და მხოლოდ ამ გზით!

ამ მაგალითში შეგიძლიათ გაიგოთ პირდაპირ ტრიგონომეტრიული ცხრილიდან, რომ . გრადუსების რადიანად გადაქცევის ფორმულის გამოყენება: (ფორმულები შეგიძლიათ იხილოთ იმავე ცხრილში).

შემდეგი არის ფორმული:

ამრიგად: (ჩვენ ვიყენებთ მნიშვნელობას გამოთვლებისთვის). შედეგი, როგორც ეს მოითხოვს პირობას, მრგვალდება ორ ათწილადამდე.

პასუხი:

მაგალითი 7

გამოთვალეთ მიახლოებით დიფერენციალური გამოყენებით, დაამრგვალეთ შედეგი სამ ათწილადამდე.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული, ჩვენ ხარისხებს ვაქცევთ რადიანებად და ვიცავთ გადაწყვეტის ჩვეულებრივ ალგორითმს.

სავარაუდო გამოთვლები
ორი ცვლადის ფუნქციის სრული დიფერენციალის გამოყენებით

ყველაფერი ძალიან, ძალიან მსგავსი იქნება, ასე რომ, თუ ამ გვერდს მიხვედით სპეციალურად ამ ამოცანისთვის, მაშინ პირველ რიგში გირჩევთ გადახედოთ წინა აბზაცის მინიმუმ რამდენიმე მაგალითს.

აბზაცის შესასწავლად თქვენ უნდა შეძლოთ პოვნა მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულებისად ვიქნებოდით მათ გარეშე? ზემოხსენებულ გაკვეთილზე მე აღვნიშნე ორი ცვლადის ფუნქცია ასოს გამოყენებით. განსახილველ ამოცანასთან დაკავშირებით უფრო მოსახერხებელია ექვივალენტური აღნიშვნის გამოყენება.

როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, პრობლემის პირობა შეიძლება ჩამოყალიბდეს სხვადასხვა გზით და შევეცდები გავითვალისწინო ყველა შემხვედრი ფორმულირება.

მაგალითი 8

გამოსავალი:როგორც არ უნდა იყოს დაწერილი პირობა, ფუნქციის აღსანიშნავად თავად ამონახსნში, ვიმეორებ, უმჯობესია გამოვიყენოთ არა ასო „z“, არამედ .

და აქ არის სამუშაო ფორმულა:

ის, რაც ჩვენ წინ გვაქვს, სინამდვილეში წინა აბზაცის ფორმულის უფროსი დაა. ცვლადი მხოლოდ გაიზარდა. რა ვთქვა, მე თვითონ გადაწყვეტის ალგორითმი ფუნდამენტურად იგივე იქნება!

პირობის მიხედვით საჭიროა წერტილის ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნა.

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 3.04 ფორმაში. ფუნთუშა თავად ითხოვს ჭამას:
,

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 3.95 როგორც . ჯერი დადგა კოლობოკის მეორე ნახევარში:
,

და ნუ უყურებთ მელას ყველა ხრიკს, არის კოლობოკი - ის უნდა ჭამოთ.

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში:

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დიფერენციალს წერტილში ფორმულის გამოყენებით:

ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულებიპირველი შეუკვეთეთ და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები წერტილში.

გამოვთვალოთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები წერტილში:

სრული დიფერენციალი წერტილში:

ამრიგად, ფორმულის მიხედვით, ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა წერტილში:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა წერტილში:

ეს მნიშვნელობა აბსოლუტურად ზუსტია.

შეცდომები გამოითვლება სტანდარტული ფორმულების გამოყენებით, რომლებიც უკვე განხილულია ამ სტატიაში.

აბსოლუტური შეცდომა:

შედარებითი შეცდომა:

პასუხი:, აბსოლუტური შეცდომა: , ფარდობითი შეცდომა:

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა წერტილში მთლიანი დიფერენციალურის გამოყენებით შეაფასეთ აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ვინც ამ მაგალითს დააკვირდება, შეამჩნევს, რომ გაანგარიშების შეცდომები ძალიან, ძალიან შესამჩნევი აღმოჩნდა. ეს მოხდა შემდეგი მიზეზის გამო: შემოთავაზებულ პრობლემაში არგუმენტების მატება საკმაოდ დიდია: . ზოგადი ნიმუში ასეთია: რაც უფრო დიდია ეს მატება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, მით უფრო დაბალია გამოთვლების სიზუსტე. ასე, მაგალითად, მსგავსი წერტილისთვის ნამატები იქნება მცირე: , და სავარაუდო გამოთვლების სიზუსტე ძალიან მაღალი იქნება.

ეს თვისება ასევე ეხება ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში (გაკვეთილის პირველი ნაწილი).

მაგალითი 10

გამოსავალი: მოდით გამოვთვალოთ ეს გამოხატულება დაახლოებით ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალის გამოყენებით:

განსხვავება მაგალითებიდან 8-9 არის ის, რომ ჩვენ ჯერ უნდა ავაშენოთ ორი ცვლადის ფუნქცია: . ვფიქრობ, ყველას ესმის ინტუიციურად, თუ როგორ არის შედგენილი ფუნქცია.

მნიშვნელობა 4.9973 ახლოს არის "ხუთთან", შესაბამისად: , .
მნიშვნელობა 0.9919 ახლოს არის "ერთთან", ამიტომ, ჩვენ ვვარაუდობთ: , .

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში:

ჩვენ ვპოულობთ დიფერენციალს ერთ წერტილში ფორმულის გამოყენებით:

ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ პირველი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს წერტილში.

წარმოებულები აქ არ არის უმარტივესი და ფრთხილად უნდა იყოთ:

;

.

სრული დიფერენციალი წერტილში:

ამრიგად, ამ გამოთქმის სავარაუდო ღირებულებაა:

მოდით გამოვთვალოთ უფრო ზუსტი მნიშვნელობა მიკროკალკულატორის გამოყენებით: 2.998899527

მოდით ვიპოვოთ შედარებითი გაანგარიშების შეცდომა:

პასუხი: ,

მხოლოდ ზემოაღნიშნულის ილუსტრაცია, განხილულ პრობლემაში, არგუმენტების მატება ძალიან მცირეა და შეცდომა ფანტასტიკურად მცირე აღმოჩნდა.

მაგალითი 11

ორი ცვლადის ფუნქციის სრული დიფერენციალის გამოყენებით, გამოთვალეთ ამ გამოხატვის დაახლოებით მნიშვნელობა. გამოთვალეთ იგივე გამოხატულება მიკროკალკულატორის გამოყენებით. შეაფასეთ გამოთვლის ფარდობითი შეცდომა პროცენტულად.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ამ ტიპის დავალების ყველაზე გავრცელებული სტუმარი არის გარკვეული სახის ფესვები. მაგრამ დროდადრო არის სხვა ფუნქციები. და ბოლოს მარტივი მაგალითი დასვენებისთვის:

მაგალითი 12

ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალის გამოყენებით გამოთვალეთ ფუნქციის დაახლოებით მნიშვნელობა if

გამოსავალი უფრო ახლოს არის გვერდის ბოლოში. კიდევ ერთხელ, ყურადღება მიაქციეთ საგაკვეთილო ამოცანების ფორმულირებას პრაქტიკაში, ფორმულირება შეიძლება განსხვავებული იყოს, მაგრამ ეს ძირეულად არ ცვლის ამოხსნის არსს და ალგორითმს.

მართალი გითხრათ, ცოტა დავიღალე, რადგან მასალა ცოტა მოსაწყენი იყო. ეს არ იყო პედაგოგიური სტატიის დასაწყისში ამის თქმა, მაგრამ ახლა უკვე შესაძლებელია =) მართლაც, გამოთვლითი მათემატიკის პრობლემები, როგორც წესი, არც ისე რთულია, არც თუ ისე საინტერესო, მთავარია, ალბათ, არ დაუშვა შეცდომა. ჩვეულებრივ გამოთვლებში.

დაე, თქვენი კალკულატორის გასაღებები არ წაიშალოს!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:
Ამ შემთხვევაში: , ,

ამრიგად:
პასუხი:

მაგალითი 4: გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:
Ამ შემთხვევაში: , ,