კვადრატული ფესვი. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

გილოცავთ: დღეს ჩვენ გადავხედავთ ფესვებს - ერთ-ერთი ყველაზე დამაფიქრებელი თემა მე-8 კლასში :)

ბევრი ადამიანი იბნევა ფესვებს არა იმიტომ, რომ ისინი რთულია (რა არის ამაში რთული - რამდენიმე განმარტება და კიდევ რამდენიმე თვისება), არამედ იმიტომ, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობაში ფესვები ისეთი ჯუნგლებშია განსაზღვრული, რომ მხოლოდ თავად სახელმძღვანელოების ავტორები შეუძლია გაიგოს ეს ნაწერი. და მაშინაც მხოლოდ ერთი ბოთლი კარგი ვისკით. :)

ამიტომ, ახლა მე მოგცემთ ფესვის ყველაზე სწორ და კომპეტენტურ განმარტებას - ერთადერთი, რომელიც ნამდვილად უნდა გახსოვდეთ. შემდეგ კი აგიხსნით: რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო და როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში.

მაგრამ ჯერ ერთი დაიმახსოვრე მნიშვნელოვანი წერტილი, რომლის შესახებ ბევრი სახელმძღვანელოს შემდგენელი რატომღაც „ავიწყდება“:

ფესვები შეიძლება იყოს ლუწი ხარისხის (ჩვენი საყვარელი $\sqrt(a)$, ისევე როგორც ყველა სახის $\sqrt(a)$ და ლუწი $\sqrt(a)$) და კენტი ხარისხის (ყველა სახის $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ და ა.შ.). და კენტი ხარისხის ფესვის განმარტება გარკვეულწილად განსხვავდება ლუწისაგან.

ფესვებთან დაკავშირებული ყველა შეცდომის და გაუგებრობის ალბათ 95% იმალება ამ გარყვნილ „გარკვეულ განსხვავებულში“. მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ გავარკვიოთ ტერმინოლოგია:

განმარტება. ფესვიც კი ნ$a$ რიცხვიდან არის ნებისმიერი არაუარყოფითირიცხვი $b$ ისეთია, რომ $((b)^(n))=a$. ხოლო იგივე $a$ რიცხვის კენტი ფესვი არის ზოგადად ნებისმიერი რიცხვი $b$, რომლისთვისაც იგივე თანასწორობაა: $((b)^(n))=a$.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ფესვი აღინიშნება ასე:

\(ა)\]

რიცხვს $n$ ასეთ აღნიშვნით ეწოდება ძირეული მაჩვენებლები, ხოლო რიცხვს $a$ ეწოდება რადიკალური გამოხატულება. კერძოდ, $n=2$-ისთვის ვიღებთ ჩვენს „საყვარელ“ კვადრატულ ფესვს (სხვათა შორის, ეს არის ლუწი ხარისხის ფესვი), ხოლო $n=3$-ისთვის ვიღებთ კუბურ ფესვს (კენტი ხარისხი), რომელიც არის ასევე ხშირად გვხვდება პრობლემებსა და განტოლებებში.

მაგალითები. კლასიკური მაგალითები კვადრატული ფესვები:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სხვათა შორის, $\sqrt(0)=0$ და $\sqrt(1)=1$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $((0)^(2))=0$ და $((1)^(2))=1$.

ასევე გავრცელებულია კუბის ფესვები - არ უნდა შეგეშინდეთ მათი:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კარგი, რამდენიმე "ეგზოტიკური მაგალითი":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ არ გესმით რა განსხვავებაა ლუწ და კენტ ხარისხს შორის, ხელახლა წაიკითხეთ განმარტება. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია!

ამასობაში განვიხილავთ ფესვების ერთ უსიამოვნო მახასიათებელს, რის გამოც დაგვჭირდა ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განმარტების შემოღება.

რატომ არის საჭირო ფესვები საერთოდ?

განმარტების წაკითხვის შემდეგ, ბევრი სტუდენტი იკითხავს: "რას ეწეოდნენ მათემატიკოსები, როცა ამას მოიფიქრეს?" და მართლაც: რისთვის არის საჭირო ყველა ეს ფესვი?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ცოტა ხნით უკან დავბრუნდეთ დაწყებითი კლასები. დაიმახსოვრეთ: იმ შორეულ დროში, როცა ხეები უფრო გამწვანებული იყო და პელმენი უფრო გემრიელი, ჩვენი მთავარი საზრუნავი რიცხვების სწორად გამრავლება იყო. ისე, რაღაც "ხუთი ხუთზე - ოცდახუთი", ეს ყველაფერია. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვები არა წყვილებში, არამედ სამეულებში, ოთხჯერ და ზოგადად მთლიან სიმრავლეებში:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \ბოლო(გასწორება)\]

თუმცა, ეს არ არის მთავარი. ხრიკი განსხვავებულია: მათემატიკოსები ზარმაცები არიან, ამიტომ მათ გაუჭირდათ ათი ხუთეულის გამრავლების ასე ჩამოწერა:

ამიტომაც გამოვიდნენ დიპლომები. რატომ არ უნდა დაწეროთ ფაქტორების რაოდენობა ზემოწერის სახით გრძელი სტრიქონის ნაცვლად? რაღაც ამდაგვარი:

ძალიან მოსახერხებელია! ყველა გამოთვლა საგრძნობლად მცირდება და 5183-ის ჩასაწერად არ დაგჭირდებათ პერგამენტის ფურცლებისა და ბლოკნოტების დახარჯვა. ამ ჩანაწერს რიცხვის ძალა ერქვა, მასში მრავალი თვისება აღმოჩნდა, მაგრამ ბედნიერება ხანმოკლე აღმოჩნდა.

გრანდიოზული სასმელის წვეულების შემდეგ, რომელიც მხოლოდ ხარისხების "აღმოჩენისთვის" მოეწყო, ზოგიერთმა განსაკუთრებით ჯიუტმა მათემატიკოსმა მოულოდნელად იკითხა: "რა მოხდება, თუ ვიცით რიცხვის ხარისხი, მაგრამ თავად რიცხვი უცნობია?" ახლა, მართლაც, თუ ვიცით, რომ გარკვეული რიცხვი $b$, ვთქვათ, მე-5 ხარისხში იძლევა 243-ს, მაშინ როგორ გამოვიცნოთ რის ტოლია თავად რიცხვი $b$?

ეს პრობლემა ბევრად უფრო გლობალური აღმოჩნდა, ვიდრე ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. იმის გამო, რომ აღმოჩნდა, რომ "მზა" ძალების უმეტესობისთვის არ არსებობს ასეთი "საწყისი" ნომრები. თავად განსაჯეთ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((ბ)^(3))=64\მარჯვენა arrow b=4\cdot 4\cdot 4\rightarrow b=4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რა მოხდება, თუ $((b)^(3))=50$? გამოდის, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გარკვეული რიცხვი, რომელიც თავის თავზე სამჯერ გამრავლებისას მოგვცემს 50-ს. მაგრამ რა არის ეს რიცხვი? ის აშკარად მეტია 3-ზე, ვინაიდან 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ანუ ეს რიცხვი სადღაც სამიდან ოთხს შორისაა, მაგრამ ვერ გაიგებთ რის ტოლია.

სწორედ ამიტომ გამოვიდნენ მათემატიკოსებმა $n$th ფესვები. სწორედ ამიტომ შემოვიდა რადიკალური სიმბოლო $\sqrt(*)$. აღვნიშნოთ თავად რიცხვი $b$, რომელიც მითითებული ხარისხით მოგვცემს ადრე ცნობილ მნიშვნელობას

\[\sqrt[n](a)=b\მარჯვენა ისარი ((b)^(n))=a\]

მე არ ვკამათობ: ხშირად ეს ფესვები ადვილად გამოითვლება - ჩვენ ვნახეთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი ზემოთ. მაგრამ მაინც, უმეტეს შემთხვევაში, თუ თქვენ ფიქრობთ თვითნებურ რიცხვზე და შემდეგ ცდილობთ მისგან თვითნებური ხარისხის ფესვის ამოღებას, საშინელი უბედურება დაგემუქრებათ.

რა არის იქ! უმარტივესი და ყველაზე ნაცნობი $\sqrt(2)$ კი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჩვენი ჩვეული ფორმით - როგორც მთელი რიცხვი ან წილადი. და თუ შეიყვანთ ამ რიცხვს კალკულატორში, ნახავთ ამას:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

როგორც ხედავთ, ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვების გაუთავებელი თანმიმდევრობა, რომელიც არ ემორჩილება არანაირ ლოგიკას. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ამ რიცხვის დამრგვალება, რათა სწრაფად შეადაროთ სხვა რიცხვებს. მაგალითად:

\[\sqrt(2)=1.4142...\დაახლოებით 1.4 \lt 1.5\]

ან აი კიდევ ერთი მაგალითი:

\[\sqrt(3)=1.73205...\დაახლოებით 1.7 \gt 1.5\]

მაგრამ ყველა ეს დამრგვალება, პირველ რიგში, საკმაოდ უხეშია; და მეორეც, თქვენ ასევე უნდა გქონდეთ მიახლოებითი მნიშვნელობებით მუშაობა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ დაიჭიროთ რამდენიმე გაუგებარი შეცდომა (სხვათა შორის, შედარების და დამრგვალების უნარი სავალდებულოშემოწმებულია პროფილზე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა).

მაშასადამე, სერიოზულ მათემატიკაში ფესვების გარეშე შეუძლებელია - ისინი $\mathbb(R)$-ის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის იგივე თანაბარი წარმომადგენლები არიან, ისევე როგორც ჩვენთვის დიდი ხანია ნაცნობი წილადები და მთელი რიცხვები.

ფესვის წარმოდგენის შეუძლებლობა $\frac(p)(q)$ ფორმის წილადად ნიშნავს, რომ მოცემული ფესვიარ არის რაციონალური რიცხვი. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და მათი ზუსტად წარმოდგენა შეუძლებელია, გარდა რადიკალური ან ამისთვის სპეციალურად შექმნილი სხვა კონსტრუქციების (ლოგარითმები, სიმძლავრეები, ლიმიტები და ა.შ.) დახმარებით. მაგრამ ამაზე უფრო სხვა დროს.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც, ყველა გამოთვლების შემდეგ, ირაციონალური რიცხვები კვლავ დარჩება პასუხში.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\დაახლოებით 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\დაახლოებით -1.2599... \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბუნებრივია, მიხედვით გარეგნობა root თითქმის შეუძლებელია გამოიცნო რომელი რიცხვები მოვა ათობითი წერტილის შემდეგ. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დაეყრდნოთ კალკულატორს, მაგრამ ყველაზე მოწინავე თარიღის კალკულატორიც კი გვაძლევს მხოლოდ ირაციონალური რიცხვის პირველ რამდენიმე ციფრს. ამიტომ, ბევრად უფრო სწორია პასუხების დაწერა $\sqrt(5)$ და $\sqrt(-2)$ სახით.

სწორედ ამიტომ გამოიგონეს ისინი. პასუხების მოსახერხებლად ჩასაწერად.

რატომ არის საჭირო ორი განმარტება?

ყურადღებიანმა მკითხველმა ალბათ უკვე შენიშნა, რომ მაგალითებში მოცემული ყველა კვადრატული ფესვი დადებითი რიცხვებიდან არის აღებული. ისე, შიგნით როგორც უკანასკნელი საშუალებანულიდან. მაგრამ კუბის ფესვები შეიძლება მშვიდად ამოიღოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან - იქნება ეს დადებითი თუ უარყოფითი.

რატომ ხდება ეს? შეხედეთ $y=(x)^(2))$ ფუნქციის გრაფიკს:

განრიგი კვადრატული ფუნქციაიძლევა ორ ფესვს: დადებითს და უარყოფითს

შევეცადოთ გამოვთვალოთ $\sqrt(4)$ ამ გრაფიკის გამოყენებით. ამისთვის დიაგრამაზე იხაზება ჰორიზონტალური ხაზი $y=4$ (მონიშნულია წითლად), რომელიც კვეთს პარაბოლას ორ წერტილში: $((x)_(1))=2$ და $((x). )_(2)) =-2$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან

პირველი რიცხვით ყველაფერი ნათელია - ის დადებითია, ამიტომ არის ფესვი:

მაგრამ მერე რა ვუყოთ მეორე პუნქტს? თითქოს ოთხს ერთდროულად ორი ფესვი აქვს? ბოლოს და ბოლოს, თუ −2 რიცხვს კვადრატში გამოვყოფთ, ასევე მივიღებთ 4-ს. რატომ არ დავწეროთ $\sqrt(4)=-2$ მაშინ? და რატომ უყურებენ მასწავლებლები ასეთ პოსტებს, თითქოს შენი ჭამა უნდათ? :)

ეს არის უბედურება, თუ არცერთს არ მიმართავ დამატებითი პირობები, მაშინ ოთხმაგს ექნება ორი კვადრატული ფესვი - დადებითი და უარყოფითი. და ნებისმიერ დადებით რიცხვს ასევე ექნება ორი მათგანი. მაგრამ უარყოფით რიცხვებს საერთოდ არ ექნებათ ფესვები - ეს ჩანს იმავე გრაფიკიდან, რადგან პარაბოლა არასოდეს ცვივა ღერძის ქვემოთ. წ, ე.ი. არ იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს.

მსგავსი პრობლემა ჩნდება ყველა ფესვისთვის ლუწი მაჩვენებლით:

1. მკაცრად რომ ვთქვათ, თითოეულ დადებით რიცხვს ექნება ორი ფესვი $n$ ლუწი მაჩვენებლით;
2. უარყოფითი რიცხვებიდან, ფესვი $n$-ით კი საერთოდ არ არის ამოღებული.

სწორედ ამიტომ, $n$ ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრაში კონკრეტულად არის გათვალისწინებული, რომ პასუხი უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი. ასე ვიხსნით გაურკვევლობას.

მაგრამ კენტი $n$-ისთვის ასეთი პრობლემა არ არის. ამის სანახავად გადავხედოთ $y=((x)^(3))$ ფუნქციის გრაფიკს:

კუბის პარაბოლას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, ამიტომ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან

ამ გრაფიკიდან ორი დასკვნის გამოტანა შეიძლება:

1. კუბური პარაბოლას ტოტები, ჩვეულებრივისგან განსხვავებით, უსასრულობისკენ მიდიან ორივე მიმართულებით - ზემოთაც და ქვემოთაც. ამიტომ, რა სიმაღლეზეც არ უნდა დავხატოთ ჰორიზონტალური ხაზი, ეს ხაზი აუცილებლად გადაიკვეთება ჩვენს გრაფიკს. შესაბამისად, კუბის ფესვის აღება ყოველთვის შეიძლება აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან;
2. გარდა ამისა, ასეთი კვეთა ყოველთვის უნიკალური იქნება, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ რომელი რიცხვი ითვლება "სწორ" ფესვად და რომელი უნდა უგულებელყოთ. ამიტომ ფესვების დადგენა კენტი ხარისხისთვის უფრო მარტივია, ვიდრე ლუწი ხარისხისთვის (არაუარყოფითობის მოთხოვნა არ არსებობს).

სამწუხაროა, რომ ეს მარტივი რამარ არის ახსნილი უმეტეს სახელმძღვანელოებში. ამის ნაცვლად, ჩვენი ტვინი იწყებს ამაღლებას ყველა სახის არითმეტიკული ფესვებით და მათი თვისებებით.

დიახ, მე არ ვკამათობ: თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ რა არის არითმეტიკული ფესვი. და ამაზე დეტალურად ვისაუბრებ ცალკე გაკვეთილზე. დღეს ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ მასზე, რადგან ამის გარეშე ყველა ფიქრი $n$-th სიმრავლის ფესვებზე არასრული იქნებოდა.

მაგრამ ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ განმარტება, რომელიც მე ზემოთ მოვიყვანე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ტერმინების სიმრავლის გამო, ისეთი არეულობა დაიწყება თქვენს თავში, რომ საბოლოოდ ვერაფერს გაიგებთ.

საკმარისია გაიგოთ განსხვავება ლუწ და კენტ ინდიკატორებს შორის. ამიტომ, კიდევ ერთხელ შევაგროვოთ ყველაფერი, რაც ნამდვილად უნდა იცოდეთ ფესვების შესახებ:

1. ლუწი ხარისხის ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან და თავისთავად ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია. უარყოფითი რიცხვებისთვის ასეთი ფესვი განუსაზღვრელია.
2. მაგრამ კენტი ხარისხის ფესვი არსებობს ნებისმიერი რიცხვიდან და თავისთავად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: დადებითი რიცხვებისთვის ის დადებითია, ხოლო უარყოფითი რიცხვებისთვის, როგორც თავსახური მიანიშნებს, უარყოფითია.

რთულია? არა, არ არის რთული. გასაგებია? დიახ, ეს სრულიად გასაგებია! ახლა ჩვენ ცოტას ვივარჯიშებთ გამოთვლებით.

ძირითადი თვისებები და შეზღუდვები

ფესვები ბევრია უცნაური თვისებებიდა შეზღუდვები - ამის შესახებ ცალკე გაკვეთილი იქნება. ამიტომ, ახლა განვიხილავთ მხოლოდ ყველაზე მნიშვნელოვან "ხრიკს", რომელიც ეხება მხოლოდ ფესვებს თანაბარი ინდექსით. მოდით დავწეროთ ეს თვისება ფორმულის სახით:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვს გავზრდით ლუწი ხარისხამდე და შემდეგ გამოვყოფთ იმავე სიმძლავრის ფესვს, მივიღებთ არა თავდაპირველ რიცხვს, არამედ მის მოდულს. ეს მარტივი თეორემა, რაც ადვილი დასამტკიცებელია (საკმარისია ცალკე განიხილოს არაუარყოფითი $x$, შემდეგ კი ცალკე განიხილოს უარყოფითი). ამაზე მუდმივად საუბრობენ მასწავლებლები, ეს ყველა სასკოლო სახელმძღვანელოშია მოცემული. მაგრამ როგორც კი მიდგება გადაწყვეტილება ირაციონალური განტოლებები(ანუ რადიკალური ნიშნის შემცველი განტოლებები), მოსწავლეები ერთხმად ივიწყებენ ამ ფორმულას.

საკითხის დეტალურად გასაგებად, მოდით, ერთი წუთით დავივიწყოთ ყველა ფორმულა და შევეცადოთ გამოვთვალოთ ორი რიცხვი პირდაპირ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=?\]

ეს ძალიან მარტივი მაგალითები. ადამიანების უმეტესობა გადაჭრის პირველ მაგალითს, მაგრამ ბევრი ადამიანი ჩერდება მეორეზე. ნებისმიერი ასეთი სისულელის უპრობლემოდ მოსაგვარებლად, ყოველთვის გაითვალისწინეთ პროცედურა:

1. პირველი, რიცხვი ამაღლებულია მეოთხე ხარისხზე. ისე, ეს რაღაც მარტივია. თქვენ მიიღებთ ახალ რიცხვს, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ თუნდაც გამრავლების ცხრილში;
2. ახლა კი ამ ახალი რიცხვიდან აუცილებელია მეოთხე ფესვის ამოღება. იმათ. ფესვებისა და ძალების „შემცირება“ არ ხდება - ეს არის თანმიმდევრული მოქმედებები.

მოდით შევხედოთ პირველ გამონათქვამს: $\sqrt((3)^(4)))$. ცხადია, თქვენ ჯერ უნდა გამოთვალოთ გამოხატულება ფესვის ქვეშ:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

შემდეგ გამოვყოფთ 81 რიცხვის მეოთხე ფესვს:

ახლა იგივე გავაკეთოთ მეორე გამონათქვამთან დაკავშირებით. პირველ რიგში, ჩვენ ვზრდით რიცხვს −3 მეოთხე ხარისხზე, რაც მოითხოვს მის 4-ჯერ გამრავლებას:

\[((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4))=\left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (-3 \მარჯვნივ)=81\]

ჩვენ მივიღეთ დადებითი რიცხვი, რადგან პროდუქტში მინუსების ჯამური რაოდენობა არის 4 და ისინი ყველა გააუქმებენ ერთმანეთს (ბოლოს და ბოლოს, მინუს მინუსს აძლევს პლუსს). შემდეგ კვლავ გამოვყავით ფესვი:

პრინციპში, ეს სტრიქონი ვერ დაიწერა, რადგან უაზროა, რომ პასუხი იგივე იქნებოდა. იმათ. ერთი და იგივე სიმძლავრის თანაბარი ფესვი "წვავს" მინუსებს და ამ თვალსაზრისით შედეგი არ განსხვავდება ჩვეულებრივი მოდულისგან:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \sqrt((3)^(4)))=\მარცხნივ| 3 \მარჯვნივ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=\მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ეს გამოთვლები კარგად ემთხვევა ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრას: შედეგი ყოველთვის არაუარყოფითია და რადიკალური ნიშნის ქვეშ ის ასევე ყოველთვის არ არის. უარყოფითი რიცხვი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფესვი არ არის განსაზღვრული.

შენიშვნა პროცედურის შესახებ

1. აღნიშვნა $\sqrt(((a)^(2)))$ ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ კვადრატში ვაკეთებთ რიცხვს $a$ და შემდეგ ვიღებთ მიღებული მნიშვნელობის კვადრატულ ფესვს. მაშასადამე, შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ ფესვის ნიშნის ქვეშ ყოველთვის არის არაუარყოფითი რიცხვი, ვინაიდან $((a)^(2))\ge 0$ ნებისმიერ შემთხვევაში;
2. მაგრამ აღნიშვნა $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, პირიქით, ნიშნავს, რომ ჯერ ავიღებთ $a$-ის გარკვეული რიცხვის ფესვს და მხოლოდ ამის შემდეგ კვადრატში ვიღებთ შედეგს. ამიტომ, რიცხვი $a$ არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი - ეს არის სავალდებულო მოთხოვნა, შედის განმარტებაში.

ამრიგად, არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შემცირდეს დაუფიქრებლად ფესვები და ხარისხები, რითაც თითქოსდა „გამარტივდეს“ ორიგინალური გამოთქმა. რადგან თუ ფესვს აქვს უარყოფითი რიცხვი და მისი მაჩვენებელი ლუწია, მივიღებთ ამოცანების წყებას.

თუმცა, ყველა ეს პრობლემა აქტუალურია მხოლოდ თუნდაც ინდიკატორებისთვის.

მინუს ნიშნის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ

ბუნებრივია, კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებსაც აქვთ საკუთარი თავისებურება, რაც, პრინციპში, ლუწებთან არ არსებობს. კერძოდ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი უცნაური ხარისხის ფესვების ნიშნის ქვეშ. ეს ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ "გადააგდოთ" ყველა უარყოფითი:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ბოლო (გასწორება)\]

ეს მარტივი თვისება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ბევრ გამოთვლას. ახლა თქვენ არ გჭირდებათ ინერვიულოთ: რა მოხდება, თუ უარყოფითი გამონათქვამი დამალული იყო ფესვის ქვეშ, მაგრამ ფესვის ხარისხი თანაბარი აღმოჩნდა? საკმარისია ყველა მინუსი ფესვების გარეთ „გადააგდოს“, რის შემდეგაც ისინი შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთზე, გაიყოს და საერთოდ ბევრი საეჭვო რამის გაკეთება, რაც „კლასიკური“ ფესვების შემთხვევაში გარანტირებული მიგვიყვანს. შეცდომა.

და აქ სცენაზე ჩნდება სხვა განმარტება - იგივე, რომლითაც უმეტეს სკოლებში იწყებენ ირაციონალური გამონათქვამების შესწავლას. და ამის გარეშე ჩვენი მსჯელობა არასრული იქნებოდა. შეხვდით!

არითმეტიკული ფესვი

ერთი წუთით დავუშვათ, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი რიცხვები ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული. დავივიწყოთ ლუწი/კენტი მაჩვენებლები, დავივიწყოთ ყველა ზემოთ მოცემული განმარტება - ვიმუშავებთ მხოლოდ არაუარყოფით რიცხვებზე. მერე რა?

შემდეგ კი ჩვენ მივიღებთ არითმეტიკულ ფესვს - ის ნაწილობრივ ემთხვევა ჩვენს "სტანდარტულ" განმარტებებს, მაგრამ მაინც განსხვავდება მათგან.

განმარტება. არაუარყოფითი რიცხვის $n$th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი $a$ არის არაუარყოფითი რიცხვი $b$ ისეთი, რომ $((b)^(n))=a$.

როგორც ვხედავთ, პარიტეტი აღარ გვაინტერესებს. ამის ნაცვლად, გამოჩნდა ახალი შეზღუდვა: რადიკალური გამოხატულება ახლა ყოველთვის არაუარყოფითია, ხოლო თავად ფესვი ასევე არაუარყოფითი.

იმის გასაგებად, თუ როგორ განსხვავდება არითმეტიკული ფესვი ჩვეულებრივისგან, გადახედეთ კვადრატისა და კუბური პარაბოლის გრაფიკებს, რომლებსაც უკვე ვიცნობთ:

არითმეტიკული ფესვის საძიებო არე - არაუარყოფითი რიცხვები

როგორც ხედავთ, ამიერიდან ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ის გრაფიკები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კოორდინატთა კვარტალში - სადაც $x$ და $y$ კოორდინატები დადებითია (ან მინიმუმ ნული). აღარ დაგჭირდებათ ინდიკატორის ყურება იმის გასაგებად, გვაქვს თუ არა უფლება ფესვის ქვეშ უარყოფითი რიცხვის ჩასმა. რადგან უარყოფითი რიცხვები პრინციპში აღარ განიხილება.

თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "კარგი, რატომ გვჭირდება ასეთი სტერილური განმარტება?" ან: "რატომ ვერ მივაღწევთ ზემოთ მოცემულ სტანდარტულ განმარტებას?"

ისე, მე მივცემ მხოლოდ ერთ ქონებას, რის გამოც ახალი განმარტება ხდება შესაბამისი. მაგალითად, ექსპონენტაციის წესი:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენ შეგვიძლია რადიკალური გამოხატულება ავიყვანოთ ნებისმიერ სიმძლავრემდე და ამავდროულად გავამრავლოთ ფესვის მაჩვენებელი იმავე სიმძლავრეზე - და შედეგი იქნება იგივე რიცხვი! აქ არის მაგალითები:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \ბოლო(გასწორება)\]

მაშ რა არის დიდი საქმე? რატომ არ შეგვეძლო ამის გაკეთება ადრე? აი რატომ. განვიხილოთ მარტივი გამოთქმა: $\sqrt(-2)$ - ეს რიცხვი საკმაოდ ნორმალურია ჩვენი კლასიკური გაგებით, მაგრამ აბსოლუტურად მიუღებელია არითმეტიკული ფესვის თვალსაზრისით. შევეცადოთ მისი გადაკეთება:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (გასწორება)$

როგორც ხედავთ, პირველ შემთხვევაში, მინუსი ამოვიღეთ რადიკალის ქვეშ (გვაქვს ყველა უფლება, იმიტომ ინდიკატორი უცნაურია), ხოლო მეორეში გამოვიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულა. იმათ. მათემატიკური თვალსაზრისით ყველაფერი კეთდება წესების მიხედვით.

WTF?! როგორ შეიძლება ერთი და იგივე რიცხვი იყოს დადებითიც და უარყოფითიც? არავითარ შემთხვევაში. უბრალოდ, სიძლიერის ფორმულა, რომელიც მშვენივრად მუშაობს დადებით რიცხვებზე და ნულზე, იწყებს სრული ერესის წარმოქმნას უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაში.

სწორედ ასეთი ბუნდოვანებისგან თავის დასაღწევად გამოიგონეს არითმეტიკული ფესვები. მათ ცალკე ეძღვნება დიდი გაკვეთილი, სადაც დეტალურად განვიხილავთ მათ ყველა თვისებას. ასე რომ, ჩვენ ახლა მათზე არ ვისაუბრებთ - გაკვეთილი უკვე ძალიან გრძელი აღმოჩნდა.

ალგებრული ფესვი: მათთვის, ვისაც სურს მეტი იცოდეს

დიდხანს ვფიქრობდი, ეს თემა ცალკე აბზაცში ჩამეტანა თუ არა. ბოლოს გადავწყვიტე აქ დამეტოვებინა. ეს მასალა განკუთვნილია მათთვის, ვისაც სურს ფესვების კიდევ უფრო კარგად გაგება - აღარ არის საშუალო "სკოლის" დონეზე, არამედ ოლიმპიადასთან ახლოს.

ასე რომ: რიცხვის $n$th ფესვის „კლასიკური“ განმარტებისა და ასოცირებული დაყოფის ლუწ და კენტ მაჩვენებლებად გარდა, არსებობს უფრო „ზრდასრული“ განმარტება, რომელიც საერთოდ არ არის დამოკიდებული პარიტეტზე და სხვა დახვეწილობაზე. ამას ალგებრული ფესვი ჰქვია.

განმარტება. ნებისმიერი $a$-ის ალგებრული $n$th ფესვი არის $b$ ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომ $((b)^(n))=a$. ასეთი ფესვებისთვის დადგენილი აღნიშვნა არ არსებობს, ასე რომ, ჩვენ მხოლოდ ტირეს დავდებთ თავზე:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \მარჯვნივ. \მარჯვნივ\) \]

ფუნდამენტური განსხვავება სტანდარტული განმარტებაგაკვეთილის დასაწყისში მოცემულია ის, რომ ალგებრული ფესვი არის არა კონკრეტული რიცხვი, არამედ სიმრავლე. და რადგან ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებთან, ეს ნაკრები მხოლოდ სამი ტიპისაა:

1. ცარიელი ნაკრები. ხდება მაშინ, როცა უარყოფითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ალგებრული ფესვის პოვნა გჭირდებათ;
2. ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან. ამ კატეგორიას მიეკუთვნება კენტი ძალების ყველა ფესვი, ისევე როგორც ლუწი ნულის ხარისხების ფესვები;
3. დაბოლოს, ნაკრები შეიძლება შეიცავდეს ორ რიცხვს - იგივე $((x)_(1))$ და $((x)_(2))=-((x)_(1))$, რაც ვნახეთ გრაფიკის კვადრატული ფუნქცია. შესაბამისად, ასეთი განლაგება შესაძლებელია მხოლოდ დადებითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღებისას.

ბოლო შემთხვევა უფრო დეტალურ განხილვას იმსახურებს. მოდი დავთვალოთ რამდენიმე მაგალითი, რომ გავიგოთ განსხვავება.

მაგალითი. შეაფასეთ გამონათქვამები:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

გამოსავალი. პირველი გამოთქმით ყველაფერი მარტივია:

\[\overline(\sqrt(4))=\მარცხნივ\( 2;-2 \მარჯვნივ\)\]

ეს არის ორი რიცხვი, რომლებიც კომპლექტის ნაწილია. რადგან თითოეული მათგანი კვადრატში იძლევა ოთხს.

\[\overline(\sqrt(-27))=\მარცხნივ\( -3 \მარჯვნივ\)\]

აქ ჩვენ ვხედავთ კომპლექტს, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ნომრისგან. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან ფესვის მაჩვენებლები უცნაურია.

და ბოლოს, ბოლო გამოთქმა:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

ჩვენ მივიღეთ ცარიელი ნაკრები. რადგან არ არსებობს არც ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეოთხე (ანუ ლუწი!) ხარისხზე აყვანისას მოგვცემს უარყოფით რიცხვს -16.

დასკვნითი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: შემთხვევითი არ იყო, რომ ყველგან აღვნიშნე, რომ ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებზე. იმიტომ რომ მეტია რთული რიცხვები— სავსებით შესაძლებელია იქ $\sqrt(-16)$ და ბევრი სხვა უცნაური რამის გამოთვლა.

თუმცა თანამედროვეში სკოლის კურსიმათემატიკაში რთული რიცხვები თითქმის არ გვხვდება. ისინი ამოღებულია სახელმძღვანელოების უმეტესობიდან, რადგან ჩვენი ჩინოვნიკები ამ თემას „ზედმეტად რთულად გასაგებად“ მიიჩნევენ.