რა არის საკუთრივ ვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები. საკუთარი მნიშვნელობები (რიცხვები) და საკუთრივ ვექტორები ამონახსნების მაგალითები

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულები ვებგვერდზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება ვებ გვერდზე, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომლებიც ავტომატურად გენერირებულია Wolfram Alpha-ს მიერ. . გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდი ხელს შეუწყობს საიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. ის დიდი ხანია მუშაობს (და, ვფიქრობ, იმუშავებს სამუდამოდ), მაგრამ უკვე მორალურად მოძველებულია.

თუ თქვენ რეგულარულად იყენებთ მათემატიკურ ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax - სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკურ აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

MathJax-ის გამოყენების დაწყების ორი გზა არსებობს: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს ვებსაიტს, რომელიც ავტომატურად ჩაიტვირთება დისტანციური სერვერიდან საჭირო დროს (სერვერების სია); (2) ჩამოტვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი - უფრო რთული და შრომატევადი - დააჩქარებს თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვას და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და სულ რაღაც 5 წუთში შეძლებთ MathJax-ის ყველა ფუნქციის გამოყენებას თქვენს საიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან ორი კოდის ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდზე:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის და ან ტეგის შემდეგ დაუყოვნებლივ. პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვამთ, გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად უმარტივესი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი ჩამოტვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ ჩასვათ მათემატიკური ფორმულები თქვენი საიტის ვებ გვერდებში.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობით. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის ასაგებად განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად სიბრტყეებით 27 თანაბარ კუბებად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. შედეგი არის ნაკრები, რომელიც შედგება დარჩენილი 20 პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. ამ პროცესის უსასრულოდ გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ მენგერის ღრუბელს.

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემა

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ფორმის სისტემა

გასაგებია, რომ ამ შემთხვევაში , იმიტომ ამ განმსაზღვრელში ერთ-ერთი სვეტის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

ვინაიდან უცნობი ფორმულების მიხედვით გვხვდება , მაშინ იმ შემთხვევაში, როდესაც Δ ≠ 0, სისტემას აქვს უნიკალური ნულოვანი ამონახსნი x = წ = ზ= 0. თუმცა, ბევრ პრობლემაში საინტერესო საკითხია, აქვს თუ არა ერთგვაროვან სისტემას ამონახსნები ნულის გარდა.

თეორემა.

იმისათვის, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია Δ ≠ 0.

ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი. თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მაგალითები.

მატრიცის საკუთრივ ვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები , მიეცით კვადრატული მატრიცა X – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგს. .

ა მიეცით კვადრატული მატრიცა

ბევრ პრობლემაში უნდა გავითვალისწინოთ განტოლება

სადაც λ არის გარკვეული რიცხვი. ნათელია, რომ ნებისმიერი λ-სთვის ამ განტოლებას აქვს ნულოვანი ამონახსნი. რიცხვი λ, რომლისთვისაც ამ განტოლებას აქვს არანულოვანი ამონახსნები, ეწოდებასაკუთარი ღირებულება – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგსმატრიცები მიეცით კვადრატული მატრიცა, ა ასეთი λ ეწოდებასაკუთარი ღირებულება – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგს.

საკუთარი ვექტორი – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგსვიპოვოთ მატრიცის საკუთრივვექტორი . Იმიტომ რომ∙ე X = X , მაშინ მატრიცული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც . გაფართოებული ფორმით, ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც წრფივი განტოლებათა სისტემა. მართლა .

Და, შესაბამისად

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემა კოორდინატების დასადგენად x 1, x 2, x 3ვექტორი მიეცით კვადრატული მატრიცა. იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი, ე.ი.

ეს არის მე-3 ხარისხის განტოლება λ-სთვის. ჰქვია დამახასიათებელი განტოლებასაკუთარი ღირებულება – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგსდა ემსახურება λ-ის საკუთრივ მნიშვნელობების განსაზღვრას.

თითოეული საკუთარი მნიშვნელობა λ შეესაბამება საკუთრივ ვექტორს მიეცით კვადრატული მატრიცა, რომლის კოორდინატები განისაზღვრება სისტემიდან λ-ის შესაბამისი მნიშვნელობით.

ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი. თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ვექტორული ალგებრა. ვექტორის ცნება

ფიზიკის სხვადასხვა დარგის შესწავლისას არის სიდიდეები, რომლებიც მთლიანად განისაზღვრება მათი რიცხვითი მნიშვნელობების მითითებით, მაგალითად, სიგრძე, ფართობი, მასა, ტემპერატურა და ა.შ. ასეთ სიდიდეებს სკალარული ეწოდება. თუმცა, მათ გარდა, არის რაოდენობებიც, რომელთა დადგენის მიზნით, გარდა რიცხვითი მნიშვნელობისა, აუცილებელია აგრეთვე ვიცოდეთ მათი მიმართულება სივრცეში, მაგალითად, სხეულზე მოქმედი ძალა, სიჩქარე და აჩქარება. სხეული, როდესაც ის მოძრაობს სივრცეში, მაგნიტური ველის სიძლიერე სივრცეში მოცემულ წერტილში და ა.შ. ასეთ სიდიდეებს ვექტორულ სიდიდეებს უწოდებენ.

მოდით შემოგთავაზოთ მკაცრი განმარტება.

მიმართული სეგმენტიდავარქვათ სეგმენტი, რომლის ბოლოებთან შედარებით ცნობილია რომელია პირველი და რომელი მეორე.

ვექტორიეწოდება მიმართული სეგმენტი, რომელსაც აქვს გარკვეული სიგრძე, ე.ი. ეს არის გარკვეული სიგრძის სეგმენტი, რომელშიც ერთ-ერთი მისი შემზღუდველი წერტილი აღებულია, როგორც დასაწყისი, ხოლო მეორე, როგორც დასასრული. თუ – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგს- ვექტორის დასაწყისი, ბარის მისი დასასრული, მაშინ ვექტორი აღინიშნება სიმბოლოთი დამატებით, ვექტორი ხშირად აღინიშნება ერთი ასოთი. ნახატზე ვექტორი მითითებულია სეგმენტით, ხოლო მისი მიმართულება ისრით.

მოდული, მაშინ მატრიცული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც სიგრძევექტორს ეწოდება მიმართული სეგმენტის სიგრძე, რომელიც განსაზღვრავს მას. აღინიშნება || ან ||.

ასევე ვექტორებად ჩავრთავთ ეგრეთ წოდებულ ნულოვანი ვექტორს, რომლის დასაწყისი და დასასრული ერთმანეთს ემთხვევა. დანიშნულია. ნულოვანი ვექტორს არ აქვს კონკრეტული მიმართულება და მისი მოდული არის ნული ||=0.

ვექტორებს უწოდებენ კოლინარული, თუ ისინი განლაგებულია იმავე ხაზზე ან პარალელურ ხაზებზე. უფრო მეტიც, თუ ვექტორები და ერთი მიმართულებით არიან, ჩვენ დავწერთ საპირისპიროდ.

იმავე სიბრტყის პარალელურ სწორ ხაზებზე მდებარე ვექტორებს უწოდებენ თანაპლენარული.

ორ ვექტორს ე.წ თანაბარი, თუ ისინი ხაზოვანია, აქვთ ერთი და იგივე მიმართულება და ტოლია სიგრძით. ამ შემთხვევაში ისინი წერენ.

ვექტორთა ტოლობის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ვექტორი შეიძლება ტრანსპორტირდეს თავის პარალელურად, განათავსოს მისი საწყისი სივრცის ნებისმიერ წერტილში.

Მაგალითად .

ხაზოვანი ოპერაციები ვექტორებზე

ვექტორის გამრავლება რიცხვზე.

ვექტორის ნამრავლი და რიცხვი λ არის ახალი ვექტორი, რომ:

ვექტორისა და რიცხვის λ ნამრავლი აღინიშნება .

მაგალითად, არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია იმავე მიმართულებით, როგორც ვექტორი და აქვს ვექტორის ნახევრად დიდი სიგრძე.

დანერგილ ოპერაციას აქვს შემდეგი თვისებები:

ვექტორის დამატება.

მოდით და იყოს ორი თვითნებური ვექტორი. ავიღოთ თვითნებური წერტილი ოდა ააგეთ ვექტორი. ამის შემდეგ წერტილიდან – ზოგიერთი მატრიცა-სვეტი, რომლის სიმაღლე ემთხვევა მატრიცის წესრიგსგადავდოთ ვექტორი. ვექტორი, რომელიც აკავშირებს პირველი ვექტორის დასაწყისს მეორის დასასრულთან, ეწოდება თანხაამ ვექტორების და აღინიშნება .

ვექტორის დამატების ფორმულირებული განმარტება ე.წ პარალელოგრამის წესი, ვინაიდან ვექტორების იგივე ჯამის მიღება შესაძლებელია შემდეგნაირად. პუნქტიდან გადავდოთ ოვექტორები და. ავაშენოთ პარალელოგრამი ამ ვექტორებზე OABC. ვინაიდან ვექტორები, შემდეგ ვექტორი, რომელიც არის წვეროდან გამოყვანილი პარალელოგრამის დიაგონალი ო, აშკარად იქნება ვექტორების ჯამი.

ვექტორის დამატების შემდეგი თვისებების შემოწმება მარტივია.

ვექტორული განსხვავება.

მოცემულ ვექტორთან კოლინარული ვექტორი, სიგრძით ტოლი და საპირისპიროდ მიმართული, ეწოდება საწინააღმდეგოვექტორი ვექტორისთვის და აღინიშნება . საპირისპირო ვექტორი შეიძლება ჩაითვალოს ვექტორის λ = –1 რიცხვზე გამრავლების შედეგად.

კვადრატული მატრიცის საკუთრივვექტორი არის ის, რომელიც მოცემულ მატრიცზე გამრავლებისას მიიღება კოლინარული ვექტორი. მარტივი სიტყვებით, როდესაც მატრიცა მრავლდება საკუთრივ ვექტორზე, ეს უკანასკნელი იგივე რჩება, მაგრამ მრავლდება გარკვეულ რიცხვზე.

განმარტება

საკუთრივ ვექტორი არის არანულოვანი ვექტორი V, რომელიც, როდესაც მრავლდება კვადრატულ მატრიცზე M, თავად ხდება გაზრდილი λ რიცხვით. ალგებრული აღნიშვნით ასე გამოიყურება:

M × V = λ × V,

სადაც λ არის M მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობა.

მოდით შევხედოთ ციფრულ მაგალითს. ჩაწერის გასაადვილებლად, მატრიცაში რიცხვები გამოყოფილი იქნება მძიმით. მოდით მივიღოთ მატრიცა:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

მოდით გავამრავლოთ იგი სვეტის ვექტორზე:

• V = -2;

როდესაც მატრიცას ვამრავლებთ სვეტის ვექტორზე, ასევე ვიღებთ სვეტის ვექტორს. მკაცრი მათემატიკური ენით, 2 × 2 მატრიცის სვეტის ვექტორზე გამრავლების ფორმულა ასე გამოიყურება:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 ნიშნავს M მატრიცის ელემენტს, რომელიც მდებარეობს პირველ რიგში და პირველ სვეტში, ხოლო M22 ნიშნავს ელემენტს, რომელიც მდებარეობს მეორე რიგში და მეორე სვეტში. ჩვენი მატრიცისთვის ეს ელემენტები უდრის M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. სვეტის ვექტორისთვის ეს მნიშვნელობები უდრის V11 = –2, V21 = 1. ამ ფორმულის მიხედვით, ვიღებთ კვადრატული მატრიცის ნამრავლის შემდეგ შედეგს ვექტორზე:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

მოხერხებულობისთვის დავწეროთ სვეტის ვექტორი მწკრივად. ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ კვადრატული მატრიცა ვექტორზე (-2; 1), რის შედეგადაც მივიღეთ ვექტორი (4; -2). ცხადია, ეს არის იგივე ვექტორი, გამრავლებული λ = -2-ზე. ლამბდა ამ შემთხვევაში აღნიშნავს მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობას.

მატრიცის საკუთრივვექტორი არის კოლინარული ვექტორი, ანუ ობიექტი, რომელიც არ ცვლის თავის პოზიციას სივრცეში მატრიცით გამრავლებისას. კოლინარობის ცნება ვექტორულ ალგებრაში გეომეტრიაში პარალელურობის ტერმინის მსგავსია. გეომეტრიულ ინტერპრეტაციაში, კოლინარული ვექტორები არის სხვადასხვა სიგრძის პარალელურად მიმართული სეგმენტები. ევკლიდეს დროიდან ჩვენ ვიცით, რომ ერთ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის წრფეები მის პარალელურად, ამიტომ ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ თითოეულ მატრიცას აქვს უსასრულო რაოდენობის საკუთარი ვექტორები.

წინა მაგალითიდან ირკვევა, რომ საკუთრივ ვექტორები შეიძლება იყოს (-8; 4), და (16; -8), და (32, -16). ეს არის ყველა კოლინარული ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ = -2 საკუთრივ მნიშვნელობას. ამ ვექტორებზე თავდაპირველი მატრიცის გამრავლებისას მაინც მივიღებთ ვექტორს, რომელიც ორიგინალისგან 2-ჯერ განსხვავდება. სწორედ ამიტომ, საკუთარი ვექტორის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას საჭიროა მხოლოდ წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორული ობიექტების პოვნა. ყველაზე ხშირად, n × n მატრიცისთვის არის n რაოდენობის საკუთრივვექტორები. ჩვენი კალკულატორი განკუთვნილია მეორე რიგის კვადრატული მატრიცების ანალიზისთვის, ასე რომ თითქმის ყოველთვის შედეგი იპოვის ორ საკუთრივ ვექტორს, გარდა შემთხვევებისა, როდესაც ისინი ემთხვევა.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ჩვენ წინასწარ ვიცოდით ორიგინალური მატრიცის საკუთრივვექტორი და ნათლად განვსაზღვრეთ ლამბდა რიცხვი. თუმცა, პრაქტიკაში, ყველაფერი პირიქით ხდება: ჯერ იპოვება საკუთარი მნიშვნელობები და მხოლოდ ამის შემდეგ საკუთრივ ვექტორები.

ამოხსნის ალგორითმი

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ორიგინალურ მატრიცას M და შევეცადოთ ვიპოვოთ მისი ორივე საკუთრივვექტორი. ასე რომ, მატრიცა ასე გამოიყურება:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

ჯერ უნდა განვსაზღვროთ λ საკუთრივ მნიშვნელობა, რომელიც მოითხოვს შემდეგი მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლას:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

ეს მატრიცა მიიღება უცნობი λ-ის გამოკლებით მთავარ დიაგონალზე არსებულ ელემენტებს. განმსაზღვრელი განისაზღვრება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

ვინაიდან ჩვენი ვექტორი არ უნდა იყოს ნულოვანი, მივიღებთ მიღებულ განტოლებას, როგორც წრფივად დამოკიდებულს და ვატოლებთ ჩვენს განმსაზღვრელს detA ნულს.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

გავხსნათ ფრჩხილები და მივიღოთ მატრიცის დამახასიათებელი განტოლება:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

ეს არის სტანდარტული კვადრატული განტოლება, რომელიც უნდა გადაწყდეს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

დისკრიმინანტის ფესვი არის sqrt(D) = 14, შესაბამისად λ1 = -2, λ2 = 12. ახლა თითოეული ლამბდა მნიშვნელობისთვის უნდა ვიპოვოთ საკუთრივვექტორი. გამოვხატოთ სისტემის კოეფიციენტები λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

ამ ფორმულაში E არის პირადობის მატრიცა. მიღებული მატრიცის საფუძველზე, ჩვენ ვქმნით წრფივი განტოლებების სისტემას:

2x + 4y = 6x + 12y,

სადაც x და y არის საკუთარი ვექტორული ელემენტები.

მოდით შევაგროვოთ ყველა X მარცხნივ და ყველა Y მარჯვნივ. ცხადია - 4x = 8y. გაყავით გამონათქვამი -4-ზე და მიიღეთ x = –2y. ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მატრიცის პირველი საკუთარი ვექტორი უცნობის ნებისმიერი მნიშვნელობის აღებით (გაიხსენეთ წრფივად დამოკიდებული საკუთრივექტორების უსასრულობა). ავიღოთ y = 1, შემდეგ x = –2. მაშასადამე, პირველი საკუთარი ვექტორი ჰგავს V1 = (–2; 1). დაუბრუნდით სტატიის დასაწყისში. სწორედ ამ ვექტორულ ობიექტზე გავამრავლეთ მატრიცა საკუთარი ვექტორის ცნების საჩვენებლად.

ახლა ვიპოვოთ საკუთარი ვექტორი λ = 12-ისთვის.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

შევქმნათ წრფივი განტოლებათა იგივე სისტემა;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

ახლა ვიღებთ x = 1, შესაბამისად y = 3. ამრიგად, მეორე საკუთრივვექტორი ჰგავს V2 = (1; 3). საწყისი მატრიცის მოცემულ ვექტორზე გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება იგივე ვექტორი გამრავლებული 12-ზე. აქ მთავრდება ამოხსნის ალგორითმი. ახლა თქვენ იცით, როგორ დაადგინოთ ხელით მატრიცის საკუთრივვექტორი.

• განმსაზღვრელი;
• კვალი, ანუ ელემენტების ჯამი მთავარ დიაგონალზე;
• რანგი, ანუ წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების/სვეტების მაქსიმალური რაოდენობა.

პროგრამა მუშაობს ზემოაღნიშნული ალგორითმის მიხედვით, რაც შეძლებისდაგვარად ამცირებს ამოხსნის პროცესს. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ პროგრამაში ლამბდა აღინიშნება ასო "c". მოდით შევხედოთ ციფრულ მაგალითს.

მაგალითი იმისა, თუ როგორ მუშაობს პროგრამა

შევეცადოთ განვსაზღვროთ საკუთრივ ვექტორები შემდეგი მატრიცისთვის:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

მოდით შევიტანოთ ეს მნიშვნელობები კალკულატორის უჯრედებში და მივიღოთ პასუხი შემდეგი ფორმით:

• მატრიცის წოდება: 2;
• მატრიცის განმსაზღვრელი: 18;
• მატრიცული კვალი: 19;
• საკუთრივვექტორის გამოთვლა: c 2 − 19.00c + 18.00 (მახასიათებელი განტოლება);
• Eigenvector გაანგარიშება: 18 (პირველი ლამბდა მნიშვნელობა);
• Eigenvector გაანგარიშება: 1 (მეორე ლამბდა მნიშვნელობა);
• 1 ვექტორის განტოლებათა სისტემა: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2 ვექტორის განტოლებათა სისტემა: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Eigenvector 1: (1; 1);
• Eigenvector 2: (-3.25; 1).

ამრიგად, მივიღეთ ორი წრფივი დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორი.

დასკვნა

წრფივი ალგებრა და ანალიტიკური გეომეტრია სტანდარტული საგნებია ნებისმიერი პირველკურსელი ინჟინერიის მიმართულებისთვის. ვექტორებისა და მატრიცების დიდი რაოდენობა შემზარავია და ადვილია შეცდომების დაშვება ასეთ რთულ გამოთვლებში. ჩვენი პროგრამა საშუალებას მისცემს სტუდენტებს შეამოწმონ თავიანთი გამოთვლები ან ავტომატურად გადაჭრას საკუთარი ვექტორის პოვნის პრობლემა. ჩვენს კატალოგში არის სხვა ხაზოვანი ალგებრის კალკულატორები, გამოიყენეთ ისინი თქვენს სწავლაში ან სამუშაოში.

განმარტება 9.3.ვექტორი Xეწოდება მატრიცის საკუთრივ ვექტორი ა, თუ არის ასეთი რიცხვი λ, რომ თანასწორობა მოქმედებს: აჰ = ლх,ანუ მიმართვის შედეგი Xმატრიცით განსაზღვრული წრფივი ტრანსფორმაცია ა, არის ამ ვექტორის გამრავლება რიცხვზე λ . თავად ნომერი λ ეწოდება მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობა ა.

ჩანაცვლება ფორმულებში (9.3) x` j = λx j,ვიღებთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად:

. (9.5)

ამ წრფივ ერთგვაროვან სისტემას ექნება არატრივიალური ამოხსნა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მთავარი განმსაზღვრელი არის 0 (კრამერის წესი). ამ პირობის ჩაწერით ფორმაში:

ვიღებთ განტოლებას საკუთრივ მნიშვნელობების დასადგენად λ , სახელწოდებით დამახასიათებელი განტოლება. მოკლედ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

| A - λE | = 0, (9.6)

ვინაიდან მისი მარცხენა მხარე შეიცავს მატრიცის განმსაზღვრელს A-λE. მრავალწევრი ნათესავი λ | A - λE| ეწოდება A მატრიცის დამახასიათებელ მრავალწევრს.

დამახასიათებელი მრავალწევრის თვისებები:

1) წრფივი გარდაქმნის დამახასიათებელი პოლინომი არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე. მტკიცებულება. (იხ. (9.4)), მაგრამ აქედან გამომდინარე, . ამრიგად, ეს არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე. ეს ნიშნავს, რომ | A-λE| არ იცვლება ახალ ბაზაზე გადასვლისას.

2) თუ მატრიცა აწრფივი ტრანსფორმაცია სიმეტრიულია (ე.ი. და ij =a ji), მაშინ დამახასიათებელი განტოლების (9.6) ყველა ფესვი რეალური რიცხვია.

საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივვექტორების თვისებები:

1) თუ ირჩევთ საფუძველს საკუთრივ ვექტორებიდან x 1, x 2, x 3, რომელიც შეესაბამება საკუთრივ მნიშვნელობებს λ 1, λ 2, λ 3საკუთარი ღირებულება ა, მაშინ ამ საფუძველზე A წრფივ ტრანსფორმაციას აქვს დიაგონალური ფორმის მატრიცა:

(9.7) ამ თვისების დადასტურება გამომდინარეობს საკუთრივ ვექტორების განმარტებიდან.

2) თუ ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობები აგანსხვავებულია, მაშინ მათი შესაბამისი საკუთრივვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

3) თუ მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი ააქვს სამი განსხვავებული ფესვი, შემდეგ გარკვეულწილად მატრიცა ააქვს დიაგონალური გარეგნობა.

მოდი ვიპოვოთ მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები, შევქმნათ დამახასიათებელი განტოლება: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ვიპოვოთ თითოეული ნაპოვნი მნიშვნელობის შესაბამისი საკუთრივვექტორების კოორდინატები λ. (9.5)-დან გამომდინარეობს, რომ თუ X (1) ={x 1, x 2, x 3) – საკუთრივვექტორის შესაბამისი λ 1 =-2, მაშინ

- კოოპერატიული, მაგრამ გაურკვეველი სისტემა. მისი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს ფორმაში X (1) ={ა,0,-ა), სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი. კერძოდ, თუ მოვითხოვთ, რომ | x (1) |=1, X (1) =

ჩანაცვლება სისტემაში (9.5) λ 2 =3, ჩვენ ვიღებთ სისტემას მეორე საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად - x (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, სად X (2) ={ბ,-ბ,ბ) ან, გათვალისწინებული | x (2) |=1, x (2) =

ამისთვის λ 3 = 6 იპოვნეთ საკუთარი ვექტორი x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={გ,2c,c) ან ნორმალიზებულ ვერსიაში

x(3) = შესამჩნევია რომ X (1) X (2) = აბ–აბ= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = ძვ.წ- 2ძვ.წ + ძვ.წ= 0. ამრიგად, ამ მატრიცის საკუთრივვექტორები წყვილი ორთოგონალურია.

ლექცია 10.

კვადრატული ფორმები და მათი კავშირი სიმეტრიულ მატრიცებთან. სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ ვექტორების და საკუთრივ მნიშვნელობების თვისებები. კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ ფორმამდე.

განმარტება 10.1.რეალური ცვლადების კვადრატული ფორმა x 1, x 2,…, x nამ ცვლადებში ეწოდება მეორე ხარისხის პოლინომი, რომელიც არ შეიცავს პირველი ხარისხის თავისუფალ წევრს და წევრებს.

კვადრატული ფორმების მაგალითები:

(ნ = 2),

(ნ = 3). (10.1)

გავიხსენოთ ბოლო ლექციაში მოცემული სიმეტრიული მატრიცის განმარტება:

განმარტება 10.2.კვადრატულ მატრიცას ეწოდება სიმეტრიული, თუ, ანუ თუ მატრიცის ელემენტები, რომლებიც სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ, ტოლია.

სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებისა და საკუთრივვექტორების თვისებები:

1) სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა რეალურია.

მტკიცებულება (ამისთვის ნ = 2).

მოდით მატრიცა ააქვს ფორმა: . შევქმნათ დამახასიათებელი განტოლება:

(10.2) ვიპოვოთ დისკრიმინანტი:

მაშასადამე, განტოლებას მხოლოდ რეალური ფესვები აქვს.

2) სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივვექტორები ორთოგონალურია.

მტკიცებულება (ამისთვის ნ= 2).

საკუთრივ ვექტორების კოორდინატები და უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებებს.