Equazione x2 y2. Risolvere equazioni con due variabili

1. Sistemi di equazioni lineari con un parametro

I sistemi di equazioni lineari con un parametro vengono risolti con gli stessi metodi di base dei sistemi di equazioni convenzionali: il metodo di sostituzione, il metodo di addizione di equazioni e il metodo grafico. Conoscere l'interpretazione grafica dei sistemi lineari rende facile rispondere alla domanda sul numero di radici e sulla loro esistenza.

Esempio 1

Trova tutti i valori per il parametro a per il quale il sistema di equazioni non ha soluzioni.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Soluzione.

Diamo un'occhiata a diversi modi per risolvere questo problema.

1 via. Utilizziamo la proprietà: il sistema non ha soluzioni se il rapporto dei coefficienti davanti a x è uguale al rapporto dei coefficienti davanti a y, ma non uguale al rapporto dei termini liberi (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Poi abbiamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 o un sistema

(e 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Dalla prima equazione a 2 \u003d 4, quindi, tenendo conto della condizione che a ≠ 2, otteniamo la risposta.

Risposta: a = -2.

2 vie. Risolviamo con il metodo della sostituzione.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Dopo aver tolto il fattore comune y tra parentesi nella prima equazione, otteniamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Il sistema non ha soluzioni se la prima equazione non ha soluzioni, cioè

(e 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

È ovvio che a = ±2, ma tenendo conto della seconda condizione si dà solo la risposta con meno.

Risposta: a = -2.

Esempio 2

Trova tutti i valori per il parametro a per il quale il sistema di equazioni ha un numero infinito di soluzioni.

(8x + ay = 2,
(ascia + 2a = 1.

Soluzione.

Per proprietà, se il rapporto dei coefficienti in xey è lo stesso ed è uguale al rapporto dei membri liberi del sistema, allora ha un insieme infinito di soluzioni (cioè, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Quindi 8/a = a/2 = 2/1. Risolvendo ciascuna delle equazioni ottenute, scopriamo che a \u003d 4 è la risposta in questo esempio.

Risposta: a = 4.

2. Sistemi di equazioni razionali con un parametro

Esempio 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Soluzione.

Moltiplica la prima equazione del sistema per 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo 5|х| = 4 – A. Questa equazione avrà una soluzione unica per a = 4. In altri casi, questa equazione avrà due soluzioni (per a< 4) или ни одного (при а > 4).

Risposta: a = 4.

Esempio 4

Trova tutti i valori del parametro a per il quale il sistema di equazioni ha una soluzione univoca.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Soluzione.

Risolveremo questo sistema usando il metodo grafico. Quindi, il grafico della seconda equazione del sistema è una parabola, sollevata lungo l'asse Oy di un segmento unitario. La prima equazione definisce l'insieme di rette parallele alla retta y = -x (immagine 1). La figura mostra chiaramente che il sistema ha una soluzione se la retta y \u003d -x + a è tangente alla parabola nel punto con coordinate (-0,5; 1,25). Sostituendo queste coordinate nell'equazione di una retta invece di x e y, troviamo il valore del parametro a:

1,25 = 0,5 + a;

Risposta: a = 0,75.

Esempio 5

Utilizzando il metodo di sostituzione, scoprire a quale valore del parametro a, il sistema ha una soluzione univoca.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Soluzione.

Esprimi y dalla prima equazione e sostituiscila nella seconda:

(y \u003d ah - a - 1,
(ascia + (a + 2) (ascia - a - 1) = 2.

Portiamo la seconda equazione nella forma kx = b, che avrà un'unica soluzione per k ≠ 0. Abbiamo:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Il trinomio quadrato a 2 + 3a + 2 può essere rappresentato come prodotto di parentesi

(a + 2)(a + 1), e a sinistra prendiamo x tra parentesi:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Ovviamente a 2 + 3a non deve essere uguale a zero, quindi,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, che significa a ≠ 0 e ≠ -3.

Risposta: a ≠ 0; ≠ -3.

Esempio 6

Utilizzando il metodo della soluzione grafica, determinare a quale valore del parametro a, il sistema ha una soluzione univoca.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Soluzione.

In base alla condizione, costruiamo un cerchio con un centro all'origine delle coordinate e un raggio di 3 segmenti unitari, è questo cerchio che imposta la prima equazione del sistema

x 2 + y 2 = 9. La seconda equazione del sistema (y = |x| + a) è una linea spezzata. Usando figura 2 consideriamo tutti i possibili casi della sua posizione rispetto al cerchio. È facile vedere che a = 3.

Risposta: a = 3.

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Istruzione

Metodo di sostituzione Esprimere una variabile e sostituirla in un'altra equazione. Puoi esprimere qualsiasi variabile che ti piace. Ad esempio, esprimi "y" dalla seconda equazione:
x-y=2 => y=x-2 Quindi inserisci tutto nella prima equazione:
2x+(x-2)=10 Sposta tutto senza x sul lato destro e conta:
2x+x=10+2
3x=12 Quindi, per "x, dividi entrambi i lati dell'equazione per 3:
x = 4. Quindi, hai trovato "x. Trova "a. Per fare ciò, sostituisci "x" nell'equazione da cui hai espresso "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Fai un controllo. Per fare ciò, sostituisci i valori risultanti nelle equazioni:
2*4+2=10
4-2=2
Sconosciuto trovato correttamente!

Come aggiungere o sottrarre equazioni Sbarazzarsi di qualsiasi variabile in una volta. Nel nostro caso, questo è più facile da fare con "y.
Poiché nell'equazione "y ha un segno" + e nel secondo "-", puoi eseguire un'operazione di addizione, ad es. Aggiungiamo il lato sinistro a sinistra e il lato destro a destra:
2x+y+(x-y)=10+2Converti:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Sostituisci "x" in qualsiasi equazione e trova "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Con il 1° metodo, puoi verificare che le radici siano trovate correttamente.

Se non ci sono variabili chiaramente definite, è necessario trasformare leggermente le equazioni.
Nella prima equazione abbiamo "2x", e nella seconda solo "x. Per ridurre x quando si somma o si sottrae, moltiplicare la seconda equazione per 2:
x-y=2
2x-2y=4 Quindi sottrarre la seconda equazione dalla prima equazione:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3 anni = 6
trova y \u003d 2 "x esprimendo da qualsiasi equazione, ad es.
x=4

Video collegati

Quando si risolvono equazioni differenziali, l'argomento x (o tempo t nei problemi fisici) non è sempre esplicitamente disponibile. Tuttavia, questo è un caso speciale semplificato di impostazione di un'equazione differenziale, che spesso aiuta a semplificare la ricerca del suo integrale.

Istruzione

Si consideri un problema di fisica che porta a un'equazione differenziale priva di un argomento t. Questo è il problema delle vibrazioni di massa m, sospese su un filo di lunghezza r, posto su un piano verticale. L'equazione del moto del pendolo è richiesta se quello iniziale era fermo e deviato dallo stato di equilibrio di un angolo α. Le forze dovrebbero essere trascurate (vedi Fig. 1a).

Soluzione. Un pendolo matematico è un punto materiale sospeso su un filo senza peso e inestensibile nel punto O. Due forze agiscono sul punto: gravità G \u003d mg e tensione del filo N. Entrambe queste forze giacciono su un piano verticale. Pertanto, per risolvere il problema, si può applicare l'equazione del moto rotatorio di un punto attorno all'asse orizzontale passante per il punto O. L'equazione del moto rotatorio di un corpo ha la forma mostrata in fig. 1b. In questo caso I è il momento d'inerzia del punto materiale; j è l'angolo di rotazione della filettatura insieme al punto, contato dall'asse verticale in senso antiorario; M è il momento delle forze applicate al punto materiale.

Calcola questi valori. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Ma M(N)=0, poiché la linea d'azione della forza passa per il punto O. M(G)=-mgrsinj. Il segno "-" significa che il momento di forza è diretto nella direzione opposta al movimento. Sostituisci il momento di inerzia e il momento di forza nell'equazione del moto e ottieni l'equazione mostrata in Fig. 1s. Riducendo la massa, si crea una relazione (vedi Fig. 1d). Non ci sono argomenti qui.

Risolvere equazioni in numeri interi è uno dei più antichi problemi matematici. Già all'inizio del II millennio aC. e. I babilonesi sapevano come risolvere sistemi di tali equazioni con due variabili. Questa area della matematica raggiunse la sua massima prosperità nell'antica Grecia. La fonte principale per noi è l'"Aritmetica" di Diofanto, che contiene vari tipi di equazioni. In esso, Diofanto (dal nome e dal nome delle equazioni - Equazioni diofantee) anticipa una serie di metodi per lo studio delle equazioni di 2° e 3° grado, che si sviluppò solo nel XIX secolo.

Le più semplici equazioni diofantee ax + y = 1 (equazione con due variabili, primo grado) x2 + y2 = z2 (equazione con tre variabili, secondo grado)

Le equazioni algebriche sono state studiate in modo più completo; la loro soluzione è stata uno dei problemi più importanti in algebra nel XVI e XVII secolo.

All'inizio del XIX secolo, i lavori di P. Fermat, L. Euler, K. Gauss studiarono un'equazione diofantea della forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dove a, b, c , d, e, f sono numeri; x, y sono variabili sconosciute.

Questa è un'equazione di 2° grado con due incognite.

K. Gauss ha costruito una teoria generale delle forme quadratiche, che è la base per risolvere alcuni tipi di equazioni con due variabili (equazioni diofantee). Ci sono un gran numero di equazioni diofantee specifiche che possono essere risolte con metodi elementari. /p>

materiale teorico.

In questa parte del lavoro verranno descritti i concetti matematici di base, verranno fornite le definizioni dei termini, verrà formulato il teorema di scomposizione utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti, che sono stati studiati e considerati nella risoluzione di equazioni con due variabili.

Definizione 1: Un'equazione della forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dove a, b, c, d, e, f sono numeri; x, y variabili sconosciute è chiamata equazione di secondo grado con due variabili.

Nel corso di matematica della scuola viene studiata l'equazione quadratica ax2 + inx + c \u003d 0, dove a, b, c del numero x è una variabile, con una variabile. Ci sono molti modi per risolvere una simile equazione:

1. Trovare le radici usando il discriminante;

2. Trovare le radici per un coefficiente pari in (secondo D1 =);

3. Trovare le radici con il teorema di Vieta;

4. Trovare le radici usando la selezione del quadrato pieno del binomio.

Risolvere un'equazione significa trovare tutte le sue radici o dimostrare che non ce ne sono.

Definizione 2: La radice di un'equazione è un numero che, una volta sostituito nell'equazione, forma una vera uguaglianza.

Definizione 3: La soluzione di un'equazione con due variabili è chiamata coppia di numeri (x, y), quando li si sostituisce nell'equazione, si trasforma in una vera uguaglianza.

Il processo di ricerca delle soluzioni di un'equazione molto spesso consiste solitamente nel sostituire l'equazione con un'equazione equivalente, ma più semplice in soluzione. Tali equazioni sono dette equivalenti.

Definizione 4: due equazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione di un'equazione è una soluzione dell'altra equazione, e viceversa, ed entrambe le equazioni sono considerate nella stessa area.

Per risolvere equazioni con due variabili, viene utilizzato il teorema sull'espansione dell'equazione in una somma di quadrati perfetti (con il metodo dei coefficienti indefiniti).

Per l'equazione del secondo ordine ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) c'è una scomposizione a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Formuliamo le condizioni in cui avviene l'espansione (2) per l'equazione (1) di due variabili.

Teorema: Se i coefficienti a, c, c dell'equazione (1) soddisfano le condizioni a0 e 4av - c20, l'espansione (2) è determinata in modo univoco.

In altre parole, l'equazione (1) con due variabili può essere ridotta alla forma (2) usando il metodo dei coefficienti indefiniti, se le condizioni del teorema sono soddisfatte.

Diamo un'occhiata a un esempio di come viene implementato il metodo dei coefficienti indefiniti.

METODO N. 1. Risolvi l'equazione con il metodo dei coefficienti indeterminati

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Verifichiamo il soddisfacimento delle condizioni del teorema, a=2, b=1, c=2, quindi a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Le condizioni del teorema sono soddisfatte e possono essere ampliate dalla formula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, in base alle condizioni del teorema, entrambe le parti dell'identità sono equivalenti. Semplifica il lato destro dell'identità.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Uguagliare i coefficienti per le stesse variabili con le loro potenze.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Ottieni un sistema di equazioni, risolvilo e trova i valori dei coefficienti.

7. Sostituisci i coefficienti in (2), quindi l'equazione assumerà la forma

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Pertanto, l'equazione originale è equivalente all'equazione

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), questa equazione equivale a un sistema di due equazioni lineari.

Risposta: (-1; 1).

Se presti attenzione al tipo di scomposizione (3), puoi vedere che è identico nella forma alla selezione di un quadrato intero da un'equazione quadratica con una variabile: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Applichiamo questo trucco per risolvere un'equazione con due variabili. Risolviamo con l'aiuto della selezione di un quadrato intero l'equazione quadratica con due variabili già risolte usando il teorema.

METODO #2: Risolvi l'equazione 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Soluzione: 1. Rappresentiamo 2x2 come la somma di due termini x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Raggruppiamo i termini in modo tale da poter collassare secondo la formula del quadrato intero.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Selezionare i quadrati interi dalle espressioni tra parentesi.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Questa equazione è equivalente a un sistema di equazioni lineari.

Risposta: (-1;1).

Se confrontiamo i risultati, possiamo vedere che l'equazione risolta con il metodo n. 1 utilizzando il teorema e il metodo dei coefficienti indefiniti e l'equazione risolta con il metodo n. 2 utilizzando la selezione di un quadrato intero hanno le stesse radici.

Conclusione: un'equazione quadratica con due variabili può essere espansa in una somma di quadrati in due modi:

➢ Il primo metodo è quello dei coefficienti indeterminati, che si basa sul teorema e sull'espansione (2).

➢ Il secondo modo è con l'ausilio di trasformazioni identiche, che consentono di selezionare quadrati completi consecutivamente.

Naturalmente, quando si risolvono problemi, è preferibile il secondo metodo, poiché non richiede la memorizzazione dell'espansione (2) e delle condizioni.

Questo metodo può essere applicato anche alle equazioni quadratiche con tre variabili. La selezione del quadrato intero in tali equazioni è più laboriosa. Farò questo tipo di trasformazione l'anno prossimo.

È interessante notare che una funzione avente la forma f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f è chiamata funzione quadratica di due variabili. Le funzioni quadratiche svolgono un ruolo importante in vari rami della matematica:

Nella programmazione matematica (programmazione quadratica)

In algebra lineare e geometria (forme quadratiche)

Nella teoria delle equazioni differenziali (ridurre un'equazione lineare del secondo ordine a una forma canonica).

Quando si risolvono questi vari problemi si deve, infatti, applicare la procedura per estrarre il quadrato intero da un'equazione quadratica (una, due o più variabili).

Le linee le cui equazioni sono descritte da un'equazione quadratica di due variabili sono chiamate curve del secondo ordine.

Questo cerchio, ellisse, iperbole.

Quando si tracciano queste curve, viene utilizzato anche il metodo di selezione successiva del quadrato intero.

Consideriamo come funziona il metodo di selezione successiva di un quadrato completo su esempi specifici.

Parte pratica.

Risolvi le equazioni usando il metodo della selezione successiva del quadrato intero.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Risposta: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Risposta: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Risposta: (-1; 1).

Risolvi equazioni:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(portare alla forma: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Risposta: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(portare al modulo: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Risposta: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(porta al modulo: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Risposta: (7; -7)

Conclusione.

In questo lavoro scientifico sono state studiate equazioni con due variabili di secondo grado, sono stati considerati metodi per risolverli. L'attività è completata, viene formulato e descritto un metodo di soluzione più breve, basato sulla selezione di un quadrato completo e sulla sostituzione dell'equazione con un sistema di equazioni equivalente, di conseguenza, la procedura per trovare le radici di un'equazione con due variabili è semplificata.

Un punto importante del lavoro è che la tecnica in esame viene utilizzata per risolvere vari problemi matematici associati a una funzione quadratica, costruire curve del secondo ordine e trovare il valore più grande (minimo) delle espressioni.

Pertanto, la tecnica di espandere un'equazione del secondo ordine con due variabili in una somma di quadrati ha le applicazioni più numerose in matematica.

Equazioni indefinite in numeri naturali.

Istituzione educativa statale "Rechitsa District Lyceum"

Preparato da: .

Supervisore: .

introduzione

1.Risoluzione di equazioni con il metodo della fattorizzazione…………4

2. Risolvere equazioni con due variabili (metodo discriminante)………………………………………………………………………….11

3. Metodo dei residui ................................................ ....................................13

4. Metodo della "discesa infinita" ................................................ .... .............. quindici

5. Metodo di campionamento………………………………………………………………...16

Conclusione................................................. ........................................diciotto

introduzione

Sono Slava, studio al Rechitsa District Lyceum, una studentessa del 10° grado.

Tutto parte da un'idea! Mi è stato chiesto di risolvere un'equazione con tre incognite 29x + 30y + 31 z =366. Ora considero questa equazione come un compito - uno scherzo, ma per la prima volta mi sono rotto la testa. Per me, questa equazione è diventata un po' indefinita, come risolverla, in che modo.

Sotto equazioni indefinite dobbiamo capire che si tratta di equazioni contenenti più di un'incognita. Di solito, le persone che risolvono queste equazioni cercano soluzioni in numeri interi.

Risolvere equazioni indefinite è un'attività molto eccitante e informativa che contribuisce alla formazione dell'ingegnosità, dell'osservazione, dell'attenzione degli studenti, nonché allo sviluppo della memoria e dell'orientamento, alla capacità di pensare logicamente, analizzare, confrontare e generalizzare. Non ho ancora trovato una tecnica generale, ma ora ti parlerò di alcuni metodi per risolvere tali equazioni in numeri naturali.

Questo argomento non è completamente trattato nei libri di testo di matematica esistenti e i problemi vengono offerti alle olimpiadi e ai test centralizzati. Questo mi ha interessato e affascinato così tanto che durante la risoluzione di varie equazioni e problemi, ho raccolto un'intera raccolta delle mie soluzioni, che abbiamo diviso con l'insegnante in base ai metodi e ai metodi di risoluzione. Allora qual è il mio scopo di lavoro?

Mio obiettivo analizzare soluzioni di equazioni con più variabili sull'insieme dei numeri naturali.

Per cominciare, considereremo problemi pratici, quindi passeremo alla risoluzione delle equazioni.

Qual è la lunghezza dei lati di un rettangolo se il suo perimetro è numericamente uguale alla sua area?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N e y€ N

P=S

2x+2y=xy font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Risposta: (4:4); (3:6); (6:3).

Trova il modo di pagare 47 rubli, se per questo è possibile utilizzare solo banconote da tre e cinque rubli.

Soluzione

5x+3anni=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z

I valori naturali di xey corrispondono a K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Sfida scherzosa

Dimostra che esiste una soluzione all'equazione 29x+30y+31 z=336 in numeri naturali.

Prova

Un anno bisestile ha 366 giorni e un mese ha 29 giorni, quattro mesi hanno 30 giorni,

7 mesi - 31 giorni.

La soluzione è tre (1:4:7). Ciò significa che esiste una soluzione all'equazione in numeri naturali.

1. Risolvere equazioni fattorizzando

1) Risolvi l'equazione x2-y2=91 in numeri naturali

Soluzione

(x-y)(x+y)=91

Sistemi soluzione 8

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Risposta: ( 46:45):(10:3).

2) Risolvi l'equazione x3 + 91 \u003d y3 in numeri naturali

Soluzione

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Sistemi soluzione 8

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

non ha soluzioni in numeri interi

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

I restanti 4 sistemi non hanno soluzioni in numeri interi. La condizione è soddisfatta da una soluzione.

Risposta: (5:6).

3) Risolvi l'equazione xy=x+y in numeri naturali

Soluzione

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Sistemi soluzione 2

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Risposta: (2:2).

4) Risolvi l'equazione 2x2+5xy-12y2=28 in numeri naturali

Soluzione

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3a)(x+4a)=28

x;y - numeri naturali; (x+4 anni)€ N

(x+4y)≥5

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3a=2

x+4y=14

nessuna soluzione in numeri naturali

Risposta: (8:5).

5) risolvere l'equazione 2xy=x2+2y in numeri naturali

Soluzione

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

nessuna soluzione in numeri naturali

Risposta: (2:2).

6) risolvere l'equazione Xaz-3 xy-2 xz+ yz+6 X-3 y-2 z= -4 in numeri naturali

Soluzione

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Sistemi soluzione 6

z -3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Risposta: (1:3:4).

Considera un'equazione più complessa per me.

7) Risolvi l'equazione x2-4xy-5y2=1996 in numeri naturali

Soluzione

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

nessuna soluzione

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

nessuna soluzione

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

nessuna soluzione

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

nessuna soluzione

Risposta: x=832, y=166.

Concludiamo:quando si risolvono le equazioni mediante fattorizzazione, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate, metodo di raggruppamento, metodo di selezione del quadrato intero .

2. Risolvere equazioni con due variabili (metodo discriminante)

1) Risolvi l'equazione 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 in numeri naturali

Soluzione

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1.2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Risposta: non ci sono soluzioni.

2) Risolvi l'equazione 3(x2+xy+y2)=x+8y in numeri naturali

Soluzione

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Analizzando questi valori, abbiamo (1:1).

Risposta: (1:1).

3) Risolvi l'equazione x4-y4-20x2+28y2=107 in numeri naturali

Soluzione

Introduciamo una sostituzione: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

L'equazione è simile a:

(a-a+4)(a+a-24)=1

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

non ci sono soluzioni in numeri naturali;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 nessuna soluzione nei numeri naturali e interiRisposta: (4:3),(2:3).

3. Metodo residuo

Quando si risolvono le equazioni con il metodo residuo, vengono spesso utilizzate le seguenti attività:

A) Che resto può dare divisi per 3 e 4?

È molto semplice, quando divisi per 3 o 4, i quadrati esatti possono dare due possibili resti: 0 o 1.

B) Quali resti possono dare cubi esatti quando divisi per 7 e 9?

Divisi per 7, possono dare i resti: 0, 1, 6; e quando si divide per 9: 0, 1, 8.

1) Risolvi l'equazione x2+y2=4 z-1 in numeri naturali

Soluzione

x2+y2+1=4z

Considera cosa possono dare i resti quando divisi per 4, i lati sinistro e destro di questa equazione. Se divisi per 4, i quadrati esatti possono dare solo due diversi resti 0 e 1. Quindi x2 + y2 + 1 quando divisi per 4 danno i resti 1, 2, 3 e 4 z diviso senza resto.

Pertanto, questa equazione non ha soluzioni.

2) Risolvi l'equazione 1!+2!+3!+ …+x!= y2 in numeri naturali

Soluzione

un) X=1, 1!=1, quindi y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, ovvero y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, cioè y=±dimensione del carattere: 14,0 pt; altezza della linea: 150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nessuno), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, immagina 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Un numero che termina con 3 significa che non può essere il quadrato di un intero. Pertanto, x≥5 non ha soluzioni in numeri naturali.

Risposta:(3:3) e (1:1).

3) Dimostra che non esistono soluzioni in numeri naturali

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Prova

Supponiamo che il sistema sia risolvibile z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - numero dispari

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2è un numero pari, y = 2 n , n € N

x2=8n3 +7, cioè x2è un numero dispari e X dispari, x = 2 r +1, n € N

Sostituto X e a nella prima equazione,

2(r 2 + r -2n 3 )=3

Non è possibile, poiché il lato sinistro dell'equazione è divisibile per due e quello destro non è divisibile, il che significa che la nostra ipotesi non è vera, cioè il sistema non ha soluzioni in numeri naturali.

4. Metodo di discesa infinita

Risolviamo secondo il seguente schema:

Supponiamo che l'equazione abbia una soluzione, stiamo costruendo un certo processo infinito, mentre, secondo il significato stesso del problema, questo processo dovrebbe terminare con un passo pari.

1)Dimostra che l'equazione 8x4+4y4+2 z4 = t4 non ha soluzioni in numeri naturali

Prova

Supponiamo che l'equazione abbia una soluzione in numeri interi, quindi ne consegue

t4 è un numero pari, allora anche t è pari

t=2t1 , t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 è pari, quindi z =2 z 1 , z 1 € Z

Sostituto

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x è pari, cioè x=2x, x1€ Z, quindi

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 a 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Così x, y, z , t – numeri pari, quindi x1, y1, z1,t1 - anche. Allora x, y, z, t e x1, y1, z 1, t 1 sono divisibili per 2, cioè, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> efont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>.

Quindi, si è scoperto che il numero soddisfa l'equazione; sono multipli di 2, e non importa quante volte li dividiamo per 2, otterremo sempre numeri multipli di 2. L'unico numero che soddisfa questa condizione è zero. Ma zero non appartiene all'insieme dei numeri naturali.

5. Metodo di esempio

1) Trova soluzioni all'equazione font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Soluzione

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Sistemi soluzione 6

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

x-p = -1

y=p-1, x=p-1

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

dimensione del carattere: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= -p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Risposta:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Conclusione

Di solito, le soluzioni di equazioni indefinite vengono cercate in numeri interi. Le equazioni in cui si cercano solo soluzioni intere sono dette diofantee.

Ho analizzato le soluzioni di equazioni a più incognite, sull'insieme dei numeri naturali. Tali equazioni sono così diverse che non c'è quasi alcun modo, un algoritmo per risolverle. La soluzione di tali equazioni richiede ingegno e contribuisce all'acquisizione di abilità lavorative indipendenti in matematica.

Ho risolto gli esempi con i metodi più semplici. La tecnica più semplice per risolvere tali equazioni è esprimere una variabile in termini del resto, e otteniamo un'espressione che indagheremo per trovare queste variabili per le quali è naturale (intero).

Allo stesso tempo, i concetti e fatti relativi alla divisibilità, come numeri primi e composti, segni di divisibilità, numeri relativamente primi, ecc.

Particolarmente usato:

1) Se un prodotto è divisibile per un numero primo p, allora almeno uno dei suoi fattori è divisibile per p.

2) Se il prodotto è divisibile per un numero Insieme a e uno dei fattori è coprimi con il numero Insieme a, allora il secondo fattore è divisibile per Insieme a.