Irracionális egyenlőtlenségek megoldása a vizsgából. Néhány javaslat az irracionális egyenlőtlenségek megoldására

T.D. Ivanova

IRRACIÓS EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSÁNAK MÓDSZEREI

CDO és NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Összeállította: T. D. Ivanova

Lektor: Baisheva M.I.– a pedagógiatudományok kandidátusa, a tanszék docense

Matematikai Kar matematikai elemzése

Jakutszki Matematikai és Informatikai Intézet

állami Egyetem

Irracionális egyenlőtlenségek megoldási módszerei: Módszertani kézikönyv

M 34 9-11 évfolyamos tanulóknak / ösz. Ivanova T.D. a Suntar Suntarsky ulustól

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.

A kézikönyv a középiskolás középiskolásoknak, valamint az egyetemre jelentkezőknek szól, mint módszertani útmutatót az irracionális egyenlőtlenségek megoldásához. A kézikönyv részletesen megvizsgálja az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának főbb módszereit, példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására paraméterekkel, és példákat kínál ezek saját megoldására is. A tanárok a kézikönyvet didaktikai anyagként használhatják önálló munkához, miközben áttekintik az „Irracionális egyenlőtlenségek” témát.

A kézikönyv tükrözi a tanár tapasztalatait az „Irracionális egyenlőtlenségek” témakör tanulókkal való tanulmányozása során.

A feladatok felvételi vizsgák anyagaiból, módszertani újságok és folyóiratok, tankönyvek anyagaiból származnak, melyek listája a kézikönyv végén található

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, összeáll., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Előszó 5

Bevezetés 6

I. rész Példák a legegyszerűbb irracionális egyenlőtlenségek megoldására 7

II. szakasz A forma egyenlőtlenségei
>g(x), g(x), g(x) 9

szakasz III. A forma egyenlőtlenségei
;
;

;
13

szakasz IV. Több páros fokú gyököt tartalmazó egyenlőtlenségek 16

V. szakasz. Cseremódszer (új változó bevezetése) 20

szakasz VI. Az f(x) alakú egyenlőtlenségek
0; f(x)0;

szakasz VII. A forma egyenlőtlenségei
25

szakasz VIII. Radikális kifejezés transzformációk használata

az irracionális egyenlőtlenségekben 26

szakasz IX. Irracionális egyenlőtlenségek grafikus megoldása 27

X. szakasz: Vegyes egyenlőtlenségek 31

szakasz XI. Egy függvény monotonitási tulajdonságának felhasználása 41

XII. szakasz. Funkcióhelyettesítési módszer 43

XIII. Példák az egyenlőtlenségek közvetlen megoldására

intervallum módszer 45

szakasz XIV. Példák irracionális egyenlőtlenségek megoldására 46-os paraméterekkel

Irodalom 56

FELÜLVIZSGÁLAT

Ez az oktatási segédlet a 10-11. évfolyamos tanulók számára készült. Amint azt a gyakorlat mutatja, az iskolások és a jelentkezők különös nehézségekkel küzdenek az irracionális egyenlőtlenségek megoldása során. Ennek az az oka, hogy az iskolai matematikában ezt a részt nem veszik kellőképpen figyelembe az ilyen egyenlőtlenségek megoldására. Az iskolai tanárok is hiányt éreznek a módszertani szakirodalomban, ami korlátozott mennyiségű, különböző megközelítéseket és megoldási módokat jelző problémaanyagban nyilvánul meg.

A kézikönyv az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának módszereit tárgyalja. Ivanova T.D. minden szakasz elején bevezeti a tanulókat a módszer fő gondolatába, majd példákat mutat be magyarázatokkal, és önálló megoldásra is kínál problémákat.

Az összeállító a „leghatékonyabb” módszereket alkalmazza az irracionális egyenlőtlenségek feloldására, amelyek a hallgatók tudásának megnövekedett követelményeivel rendelkező felsőoktatási intézményekbe való belépéskor tapasztalhatók.

A jelen kézikönyv elolvasása után a tanulók felbecsülhetetlen értékű tapasztalatot és jártasságot szerezhetnek az összetett irracionális egyenlőtlenségek megoldásában. Úgy gondolom, hogy ez a kézikönyv hasznos lesz a szakos osztályokban dolgozó matematikatanárok, valamint a választható kurzusok fejlesztői számára is.

a pedagógiai tudományok kandidátusa, a Yakut Állami Egyetem Matematikai Analízis Tanszékének docense, Matematikai Kar, Matematikai és Informatikai Intézet

Baisheva M.I.

ELŐSZÓ

A kézikönyv a középiskolás középiskolásoknak, valamint az egyetemre jelentkezőknek szól, mint módszertani útmutatót az irracionális egyenlőtlenségek megoldásához. A kézikönyv részletesen megvizsgálja az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának főbb módszereit, hozzávetőleges példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására, példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására paraméterekkel, és ezek egy részéhez példákat is kínál ezek sajátos megoldására, rövid válaszokat és utasításokat adottak.

A példák elemzésekor és az egyenlőtlenségek önálló megoldása során feltételezzük, hogy a hallgató ismeri a lineáris, másodfokú és egyéb egyenlőtlenségek megoldását, és ismeri az egyenlőtlenségek megoldásának különféle módszereit, különösen az intervallumok módszerét. Az egyenlőtlenség megoldását többféleképpen javasolják.

A tanárok a kézikönyvet didaktikai anyagként használhatják önálló munkához, miközben áttekintik az „Irracionális egyenlőtlenségek” témát.

A kézikönyv tükrözi a tanár tapasztalatait az „Irracionális egyenlőtlenségek” témakör tanulókkal való tanulmányozása során.

A feladatokat a felsőoktatási intézmények felvételi vizsgáinak anyagaiból, „Szeptember elseje”, „Matematika az iskolában”, „Kvantum” matematikával foglalkozó módszertani újságok és folyóiratok, tankönyvek, tankönyvek közül választottuk ki, amelyek listája a kézikönyv végén található. .

BEVEZETÉS

Az irracionális egyenlőtlenségek azok, amelyekben a változók vagy egy változó függvénye a gyökérjel alá kerül.

Az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának fő standard módszere az, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalát egymás után hatványra emeljük, hogy megszabaduljunk a gyökértől. De ez a művelet gyakran idegen gyökerek megjelenéséhez vagy akár a gyökerek elvesztéséhez vezet, pl. egyenlőtlenséghez vezet, amely nem egyenlő az eredetivel. Ezért nagyon gondosan figyelnünk kell a transzformációk ekvivalenciáját, és a változónak csak azokat az értékeit kell figyelembe venni, amelyeknél az egyenlőtlenségnek van értelme:

ha a gyök páros fokú, akkor a gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie, és a gyök értékének szintén nemnegatív számnak kell lennie.

ha a fok gyöke páratlan szám, akkor a gyökkifejezés tetszőleges valós számot vehet fel, és a gyök előjele egybeesik a gyökkifejezés előjelével.

az egyenlőtlenség mindkét oldalát csak akkor lehet egyenletes hatványra emelni, ha először megbizonyosodtunk arról, hogy nem negatívak;

Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanarra a páratlan hatványra emeljük, az mindig egyenértékű transzformáció.

Fejezetén. Példák egyszerű irracionális egyenlőtlenségek megoldására

Példák 1- 6:

Megoldás:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Határozza meg az x legkisebb pozitív egész értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenséget!

13. a) Határozza meg az egyenlőtlenség megoldási intervallumának felezőpontját!

b) Határozza meg az x összes olyan egész értékének számtani középértékét, amelyre az egyenlőtlenségnek van megoldása 4

14. Keresse meg az egyenlőtlenség legkisebb negatív megoldását!

15. a)
;

b)

II. >g(x), g(x) alakú egyenlőtlenségek,g(x)

Ugyanúgy, mint az 1-4. példák megoldásánál, a jelzett típusú egyenlőtlenségek megoldásánál is okoskodunk.

7. példa : Oldja meg az egyenlőtlenséget
> x + 1

Megoldás: DZ egyenlőtlenség: x-3. A jobb oldalon két eset lehetséges:

A) x+ 10 (a jobb oldal nem negatív) vagy b) x + 1

Tekintsük a) Ha x+10, azaz x- 1, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív. Mindkét oldalt négyzetre tesszük: x + 3 >x+ 2x+ 1. Megkapjuk a másodfokú egyenlőtlenséget x+ x – 2 x x - 1, kapunk -1

Tekintsük b) Ha x+1 x x -3

Az a) -1 és b) eset megoldásainak kombinálása x-3, írjuk le a választ: x
.

A 7. példa megoldása során célszerű az összes argumentumot a következőképpen írni:

Az eredeti egyenlőtlenség egyenlő az egyenlőtlenségek rendszereinek halmazával
.

x

Válasz: .

A formai egyenlőtlenségek megoldásának indoklása

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) röviden a következő diagramok formájában írható fel:

ÉN. > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

8. példa :
X.

Megoldás: Az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a rendszerrel

x>0

Válasz: x
.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

És minden esetre emlékeztetünk arra, hogy weboldalunkon megteheti. Épp most ... Hirtelen nem tudod.

Fontos jegyzet!Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a billentyűkombinációt Cmd+R (Mac rendszeren).

ODZ

Emlékszel, mi az ODZ?

Például egy egyenlet négyzetgyököt tartalmaz. A négyzetgyöknek pedig nincs értelme, ha a gyök kifejezés negatív. Vagyis ebben az esetben a DL az egyenlőtlenségek megoldásai.

Nem kell minden gyökérrel rendelkező problémában ODZ-t keresni.

Vegyük például ezt a feladatot:

Négyzetesítéskor azt kapjuk, hogy a radikális kifejezés automatikusan nemnegatív! Akkor minek az extra írás?

De bizonyos esetekben nagyon hasznos lehet. Sőt, néha meg lehet oldani egy példát egyszerűen az ODZ megtalálásával. Például:

De ne felejtsük el, hogy a négyzetgyök mindig nem negatív. Ezért lesz mindig nagyobb. Ez azt jelenti, hogy a probléma megoldása az ODZ lesz:

A forma egyenlőtlenségei.

Természetesen az egyenlőtlenség jele nem feltétlenül szigorú.

Hogyan lehet ezt az egyenlőtlenséget feloldani?

Először is ne feledjük, hogy a függvény monoton, vagyis minél nagyobb a gyök kifejezés, annál nagyobb maga a gyök. Ezért két gyök közül a nagyobb gyök kifejezéssel rendelkező a nagyobb.

De nem véletlenül emlékeztünk nemrég az ODZ-ről. Vannak-e határai ennek az egyenlőtlenségnek?

Valójában ahhoz, hogy az egyenlőtlenségnek értelme legyen, mindkét radikális kifejezésnek nem negatívnak kell lennie:

De mivel az első kifejezés nagyobb, mint a második, elegendő megkövetelni, hogy csak a második legyen nem negatív:

Hogyan fog kinézni ez a szabály, ha az egyenlőtlenség nem szigorú? Mint ez:

Gondold át magad, miért van ez így.

Most az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ami azt jelenti, hogy négyzet alakúak lehetnek:

Most a sablon segítségével oldjuk meg:

Most össze kell hasonlítania a számokat, és. Emlékezzünk a témára:

Ezután a rendszer a következőre változik:

A forma egyenlőtlenségei.

Itt minden egy kicsit egyszerűbb: mivel a gyökér nem negatív, akkor ennek az egyenlőtlenségnek a jobb oldalának nem negatívnak kell lennie:

A fokozat gyökerei nagyobbak

Ha az egyenlőtlenség gyöke nem négyzet, akkor fontos a fokának paritása.

I. Páros fokozatú gyökerek.

Gyökerek stb. fokok nagyon hasonlóak egymáshoz, és a velük való egyenletmegoldás elve teljesen azonos. A helyzet az, hogy a páros gyök mindig négyzetgyökre redukálható (emlékezzen a témára!):

Például:

II. Páratlan fokú gyökerek.

Páratlan erőkkel (,…) minden sokkal egyszerűbb!

A helyzet az, hogy egy páratlan gyök bármilyen számból kivehető! (Ha ezt nem tudtad, emlékezz a témára!)

Mit jelent?

Most már nincsenek további feltételek, nincsenek korlátozások - csak emelünk mindent a szükséges mértékben, és döntünk:

IRRÁCIÓS EGYENLŐTLENSÉGEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Irracionális egyenlőtlenség egy olyan egyenlőtlenség, amely a gyökérben változót tartalmaz

1. A forma egyenlőtlenségei.

2. A formai egyenlőtlenségek ill.

3. A forma egyenlőtlenségei.

4. A forma egyenlőtlenségei.

5. A forma egyenlőtlenségei.

6. Páros fokú gyökerek.

Például:

7. Páratlan fokú gyökerek.

A páratlan gyök bármilyen számból felvehető!

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldottad meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövetsz egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz időd.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor - egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

A témakör feladatainak megfelelő megoldásához tökéletesen el kell sajátítania az elméletet néhány korábbi témakörből, különösen az „Irracionális egyenletek és rendszerek” és a „Racionális egyenlőtlenségek” témakörből. Most pedig írjuk le az irracionális egyenlőtlenségek (vagyis a gyökéregyenlőtlenségek) megoldásánál használt egyik fő tételt. Tehát ha mindkét funkció működik f(x) És g(x) nem negatívak, akkor az egyenlőtlenség:

Egyenértékű a következő egyenlőtlenséggel:

Más szóval, ha egy egyenlőtlenség bal és jobb oldalán nemnegatív kifejezések vannak, akkor ez az egyenlőtlenség nyugodtan emelhető bármilyen hatalomra. Nos, ha a teljes egyenlőtlenséget páratlan hatványra kell emelni, akkor ebben az esetben nem is szükséges megkövetelni, hogy az egyenlőtlenség bal és jobb oldala ne legyen negatív. És így, minden korlátozás nélküli egyenlőtlenség páratlan hatványra emelhető. Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy egy egyenlőtlenség egyenletes hatványra emeléséhez meg kell győződni arról, hogy ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldala nem negatív.

Ez a tétel éppen az irracionális egyenlőtlenségekben válik nagyon relevánssá, pl. a gyökeres egyenlőtlenségekben, ahol a legtöbb példa megoldásához szükséges az egyenlőtlenségek bizonyos fokig emelése. Természetesen az irracionális egyenlőtlenségekben nagyon óvatosan kell figyelembe venni az ODZ-t, amely főként két standard feltételből alakul ki:

• A páros fokok gyökeinek nem negatív kifejezéseket kell tartalmazniuk;
• A törtek nevezője nem tartalmazhat nullákat.

Emlékezzünk arra is A páros gyök értéke mindig nem negatív.

A fentiekkel összhangban, ha egy irracionális egyenlőtlenségnek több mint két négyzetgyöke van, akkor az egyenlőtlenség (vagy más páros hatvány) négyzetre emelése előtt meg kell győződni arról, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalán vannak-e nem negatív kifejezések, pl. négyzetgyökök összege. Ha az egyenlőtlenség egyik oldalán gyökkülönbség van, akkor az ilyen különbség előjeléről semmit sem lehet előre tudni, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenséget nem lehet egyenletes hatványra emelni. Ebben az esetben át kell vinni az előttük mínuszjelekkel rendelkező gyökereket az egyenlőtlenség ellentétes oldalaira (balról jobbra vagy fordítva), így a gyökök előtti mínusz jelek pluszra változnak, és csak a gyökök összegét az egyenlőtlenség mindkét oldalán megkapjuk. Csak ezután lehet a teljes egyenlőtlenséget négyzetre emelni.

A matematika más témáihoz hasonlóan az irracionális egyenlőtlenségek megoldásánál is használható változó helyettesítési módszer. A lényeg az, hogy ne felejtsük el, hogy a csere bevezetése után az új kifejezés egyszerűbbé váljon, és ne tartalmazza a régi változót. Ezenkívül ne felejtse el végrehajtani a fordított cserét.

Maradjunk az irracionális egyenlőtlenségek néhány viszonylag egyszerű, de gyakori típusánál. Az ilyen egyenlőtlenségek első típusa az, amikor két páros fokú gyökeret hasonlítunk össze, azaz formai egyenlőtlenség van:

Ez az egyenlőtlenség mindkét oldalon tartalmaz nemnegatív kifejezéseket, így biztonságosan emelhető 2 hatványára n, amely után, figyelembe véve az ODZ-t, megkapjuk:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az ODZ csak a kisebb radikális kifejezésre van írva. A másik kifejezés automatikusan nagyobb lesz nullánál, mivel nagyobb, mint az első kifejezés, amely viszont nagyobb nullánál.

Abban az esetben, amikor egy páros gyökről feltételezzük, hogy nagyobb, mint valamilyen racionális kifejezés

Az ilyen egyenlőtlenség megoldása két rendszerből álló halmazra való áttéréssel történik:

És végül abban az esetben, amikor a páros fok gyökéről feltételezzük, hogy kisebb, mint valamilyen racionális kifejezés, azaz abban az esetben, ha az alak irracionális egyenlőtlensége van:

Az ilyen egyenlőtlenség megoldását a rendszerbe való átadással hajtjuk végre:

Azokban az esetekben, amikor páratlan fokú két gyökét hasonlítanak össze, vagy egy páratlan fok gyökét nagyobbnak vagy kisebbnek feltételezzük valamilyen racionális kifejezésnél, egyszerűen felemelheti a teljes egyenlőtlenséget a kívánt páratlan fokra, és így megszabadulhat mindentől. a gyökerek. Ebben az esetben nem keletkezik további ODZ, mivel az egyenlőtlenségek korlátok nélkül páratlan hatványra emelhetők, és a páratlan hatványok gyökerei alatt bármilyen előjelű kifejezések lehetnek.

Általánosított intervallum módszer

Abban az esetben, ha van egy összetett irracionális egyenlet, amely nem esik a fent leírt esetek egyikébe sem, és amelyet nem lehet valamilyen hatványra emeléssel megoldani, akkor a általánosított intervallum módszer, ami a következő:

• DL definiálása;
• Alakítsuk át az egyenlőtlenséget úgy, hogy a jobb oldalon nulla legyen (a bal oldalon lehetőleg közös nevezőre redukáljuk, faktorizáljuk stb.);
• Keresse meg a számláló és a nevező összes gyökerét, és ábrázolja őket a számtengelyen, és ha az egyenlőtlenség nem szigorú, festse át a számláló gyökereit, de minden esetben hagyja a nevező gyökereit kipontozva;
• Keresse meg a teljes kifejezés előjelét az egyes intervallumokon úgy, hogy egy adott intervallumból származó számot behelyettesít a transzformált egyenlőtlenségbe. Ebben az esetben a tengely pontjain való áthaladáskor már semmilyen módon nem lehet jeleket váltani. Meg kell határozni egy kifejezés előjelét minden intervallumon úgy, hogy az intervallum értékét behelyettesítjük ebbe a kifejezésbe, és így tovább minden intervallumra. Ez már nem lehetséges (nagyjából ez a különbség az általánosított intervallummódszer és a szokásos között);
• Keresse meg az ODZ és az intervallumok metszetét, amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget, de ne veszítsék el az egyenlőtlenséget kielégítő egyes pontokat (a számláló gyökerei a nem szigorú egyenlőtlenségekben), és ne felejtse el kizárni a válaszból az egyenlőtlenség összes gyökerét. nevező minden egyenlőtlenségben.

• Vissza
• Előre

Hogyan lehet sikeresen felkészülni a CT-re fizikából és matematikából?

A CT-re való sikeres felkészüléshez többek között fizikából és matematikából három legfontosabb feltételnek kell teljesülnie:

1. Tanulmányozza át az összes témát, és töltse ki az ezen az oldalon található oktatási anyagokban található összes tesztet és feladatot. Ehhez semmi sem kell, nevezetesen: minden nap szánjon három-négy órát a CT-re való felkészülésre fizikából és matematikából, elméleti tanulmányozásra és problémák megoldására. A tény az, hogy a CT egy olyan vizsga, ahol nem elég a fizikát vagy a matematikát ismerni, hanem gyorsan és kudarcok nélkül meg kell tudni oldani számos, különböző témájú és változó összetettségű feladatot. Ez utóbbit csak több ezer probléma megoldásával lehet megtanulni.
2. Tanuljon meg minden képletet és törvényt a fizikában, valamint képleteket és módszereket a matematikában. Valójában ez is nagyon egyszerű, a fizikában csak körülbelül 200 szükséges képlet van, a matematikában pedig még egy kicsit kevesebb. Mindegyik tantárgyban körülbelül egy tucat standard módszer található az alapvető bonyolultságú problémák megoldására, amelyek szintén megtanulhatók, és így teljesen automatikusan és nehézségek nélkül megoldják a CT nagy részét a megfelelő időben. Ezek után már csak a legnehezebb feladatokra kell gondolnia.
3. Vegyen részt a fizika és a matematika próbatételének mindhárom szakaszában. Mindegyik RT kétszer látogatható, hogy mindkét lehetőség között döntsön. Ismét a CT-n, a gyors és hatékony problémamegoldó képesség, valamint a képletek és módszerek ismerete mellett képesnek kell lennie az idő megfelelő tervezésére, az erők elosztására, és ami a legfontosabb, a válaszűrlap helyes kitöltésére, anélkül, hogy összetéveszti a válaszok és problémák számát, vagy a saját vezetéknevét. Emellett az RT során fontos megszokni a problémákban a kérdezés stílusát, ami nagyon szokatlannak tűnhet egy felkészületlen személy számára a DT-nél.

Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes megvalósítása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson fel, a maximumot, amire képes.

Hibát talált?

Ha úgy gondolja, hogy hibát talált a képzési anyagokban, kérjük, írja meg e-mailben. Hibát a közösségi oldalon is bejelenthet (). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi a feltételezett hiba. Levele nem marad észrevétlen, vagy kijavítják a hibát, vagy elmagyarázzák, hogy miért nem hiba.

Ebben a leckében az irracionális egyenlőtlenségek megoldásával foglalkozunk, és különféle példákat mutatunk be.

Téma: Egyenletek és egyenlőtlenségek. Egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek

Lecke:Irracionális egyenlőtlenségek

Az irracionális egyenlőtlenségek megoldása során gyakran szükséges az egyenlőtlenség mindkét oldalát valamelyest emelni, ez meglehetősen felelősségteljes művelet. Emlékezzünk a jellemzőkre.

Az egyenlőtlenség mindkét oldala négyzetre emelhető, ha mindkettő nem negatív, csak akkor kapunk valódi egyenlőtlenséget egy valódi egyenlőtlenségből.

Az egyenlőtlenség mindkét oldala kockára vágható, ha az eredeti egyenlőtlenség igaz volt, akkor kockára téve a megfelelő egyenlőtlenséget kapjuk.

Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:

A gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie. A függvény bármilyen értéket felvehet, két esetet kell figyelembe venni.

Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk a négyzetre. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) nagyobb, mint a negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül.

Tehát a következő megoldási sémánk van:

Az első rendszerben nem védjük külön a gyök kifejezést, mivel amikor a rendszer második egyenlőtlensége teljesül, a gyök kifejezésnek automatikusan pozitívnak kell lennie.

1. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:

A diagram szerint továbblépünk két egyenlőtlenségi rendszer egyenértékű halmazára:

Illusztráljuk:

Rizs. 1 - az 1. példa megoldásának illusztrációja

Amint látjuk, amikor megszabadulunk az irracionalitástól, például négyzetesítéskor, rendszerhalmazt kapunk. Néha ez a bonyolult kialakítás egyszerűsíthető. Az így kapott halmazban jogunk van az első rendszert egyszerűsíteni, és ezzel egyenértékű halmazt kapni:

Önálló gyakorlatként szükséges bizonyítani ezen halmazok egyenértékűségét.

Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:

Az előző egyenlőtlenséghez hasonlóan két esetet vizsgálunk:

Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk a négyzetre. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) kisebb, mint a negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség ellentmondásos. Nem kell figyelembe venni a második rendszert.

Egyenértékű rendszerünk van:

Néha az irracionális egyenlőtlenségek grafikusan is megoldhatók. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha a megfelelő gráfok meglehetősen könnyen megszerkeszthetők, és metszéspontjaik megtalálhatók.

2. példa - megoldja az egyenlőtlenségeket grafikusan:

A)

b)

Az első egyenlőtlenséget már megoldottuk, és tudjuk a választ.

Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásához meg kell alkotnia a függvény grafikonját a bal oldalon, és a függvény grafikonját a jobb oldalon.

Rizs. 2. Függvénygrafikonok és

Egy függvény grafikonjának ábrázolásához a parabolát parabolává kell alakítani (az y tengelyhez képest tükrözni), és a kapott görbét 7 egységgel jobbra kell tolni. A grafikon megerősíti, hogy ez a függvény definíciós tartományában monoton csökken.

Egy függvény grafikonja egyenes, és könnyen megszerkeszthető. Az y tengellyel való metszéspont (0;-1).

Az első függvény monoton csökken, a második monoton növekszik. Ha az egyenletnek van gyöke, akkor ez az egyetlen, amely könnyen kitalálható a grafikonból: .

Ha az argumentum értéke kisebb, mint a gyök, a parabola az egyenes felett van. Ha az argumentum értéke három és hét között van, az egyenes a parabola felett halad át.

Megvan a válasz:

Az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának hatékony módszere az intervallum módszer.

3. példa - Oldja meg az egyenlőtlenségeket az intervallum módszerrel:

A)

b)

Az intervallummódszer szerint átmenetileg el kell távolodni az egyenlőtlenségtől. Ehhez mozgassunk mindent az adott egyenlőtlenségben a bal oldalra (a jobb oldalon kapjunk nullát), és vezessünk be egy, a bal oldallal egyenlő függvényt:

Most meg kell vizsgálnunk a kapott függvényt.

ODZ:

Ezt az egyenletet már grafikusan megoldottuk, ezért nem foglalkozunk a gyökér meghatározásával.

Most ki kell választani az állandó előjelű intervallumokat, és meg kell határozni a függvény előjelét minden intervallumon:

Rizs. 3. Előjelállandóság intervallumai például 3

Emlékezzünk vissza, hogy egy intervallum előjeleinek meghatározásához egy próbapontot kell venni, és be kell cserélni a függvénybe, a függvény a kapott előjelet a teljes intervallumban megtartja.

Ellenőrizzük az értéket a határponton:

A válasz egyértelmű:

Tekintsük a következő típusú egyenlőtlenségeket:

Először is írjuk le az ODZ-t:

A gyökök léteznek, nem negatívak, mindkét oldalt négyzetre tudjuk állítani. Kapunk:

Kaptunk egy egyenértékű rendszert:

Az így kapott rendszer leegyszerűsíthető. Ha a második és a harmadik egyenlőtlenség teljesül, az első automatikusan igaz. Nekünk van::

4. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:

A séma szerint járunk el - egyenértékű rendszert kapunk.