A második figyelemre méltó határ kiszámítása. Online számológép Megoldási határok

A "figyelemre méltó határ" kifejezést széles körben használják a tankönyvekben és oktatási segédanyagokban, hogy olyan fontos identitásokra utaljanak, amelyek jelentősen segítenek. egyszerűsítse a munkát határokat találni.

De ahhoz tudjon hozni határait a figyelemre méltónak, alaposan meg kell nézni, mert ezek nem közvetlenül jelentkeznek, hanem gyakran következmények formájában, további kifejezésekkel és tényezőkkel ellátva. Előbb azonban az elmélet, aztán a példák, és sikerülni fog!

Az első csodálatos határ

Tetszett? Könyvjelző

Az első figyelemre méltó határérték a következőképpen van felírva ($0/0$ formájú bizonytalanság):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Az első figyelemre méltó határ következményei

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Megoldási példák: 1 csodálatos határ

1. példa Számítási korlát $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Megoldás. Az első lépés mindig ugyanaz - behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

A $\left[\frac(0)(0)\right]$ formájú bizonytalanságot kaptuk, amit meg kell oldani. Ha jobban megnézzük, az eredeti határ nagyon hasonlít az első figyelemre méltóhoz, de nem esik egybe vele. A mi feladatunk a hasonlóság megteremtése. Alakítsuk át így – nézzük meg a szinusz alatti kifejezést, tegyük ugyanezt a nevezőben (viszonylagosan szorozzuk és osszuk el $3x$-tal), tovább csökkentjük és egyszerűsítjük:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Fent megkaptuk az első csodálatos határt: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( feltételes helyettesítést tett ) y=3x. $$ Válasz: $3/8$.

2. példa Számítási korlát $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Megoldás. Behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Alakítsuk át a határt, az első csodálatos határt leegyszerűsítve (háromszor!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Válasz: $9/16$.

3. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5) korlátot.$$

Megoldás. De mi van akkor, ha a trigonometrikus függvény alatt összetett kifejezés található? Nem számít, és itt is ugyanúgy járunk el. Először ellenőrizze a bizonytalanság típusát, cserélje be a $x=0$-t a függvénybe, és kapja meg:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Szorozd és oszd $2x^3+3x$-val:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\jobb] = $$

Megint megvan a bizonytalanság, de ebben az esetben ez csak egy töredéke. Csökkentsük a számlálót és a nevezőt $x$-tal:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Válasz: $3/5$.

A második csodálatos határ

A második figyelemre méltó határ a következőképpen van felírva (a $1^\infty$ alak határozatlansága):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

A második figyelemre méltó határ következményei

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Megoldási példák: 2 csodálatos határ

4. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) korlátot.$$

Megoldás. Ellenőrizzük a bizonytalanság típusát, cseréljük be a $x=\infty$-t a függvénybe, és kapjuk:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

A $\left$ alak bizonytalanságát kaptuk. A határ a második figyelemre méltó értékre csökkenthető. Alakítsuk át:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

A zárójeles kifejezés valójában a második csodálatos határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t=- 3x/2$, szóval

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Válasz:$e^(-2/3)$.

5. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) korlátot.$ $

Megoldás. Helyettesítsd be a $x=\infty$ függvényt, és kapd meg a $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ alak bizonytalanságát. És szükségünk van $\left$-ra. Tehát kezdjük a zárójeles kifejezés átalakításával:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\jobbra)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \jobbra)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\jobbra)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

A zárójeles kifejezés valójában a második csodálatos határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, tehát

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Számos csodálatos határ van, de a leghíresebb az első és a második csodálatos határ. Ezekben a határértékekben az a figyelemre méltó, hogy széles körben használják őket, és számos probléma esetén más határértékek megtalálására is használhatók. Ezt fogjuk megtenni a lecke gyakorlati részében. Ahhoz, hogy a problémákat az első vagy a második figyelemre méltó határra csökkentve megoldjuk, nem szükséges felfedni a bennük rejlő bizonytalanságokat, mivel ezeknek a határoknak az értékeit már régóta levezették a nagy matematikusok.

Az első figyelemre méltó határ egy végtelenül kis ív szinuszának ugyanazon ívhez viszonyított arányának határértéke, radián mértékkel kifejezve:

Térjünk át a problémák megoldására az első figyelemre méltó határon. Megjegyzés: ha egy trigonometrikus függvény a határjel alatt van, ez szinte biztos jele annak, hogy ez a kifejezés az első figyelemre méltó határértékre redukálható.

1. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Helyette helyettesítés x a nulla bizonytalansághoz vezet:

.

A nevező szinusz, ezért a kifejezés az első figyelemre méltó határig redukálható. Kezdjük az átalakítást:

.

A nevezőben - három x szinusza, a számlálóban pedig csak egy x van, ami azt jelenti, hogy három x-et kell kapnia a számlálóban. Miért? Bemutatni 3 x = aés megkapja a kifejezést.

És elérkeztünk az első figyelemre méltó határ egy változatához:

mert nem mindegy, hogy ebben a képletben milyen betű (változó) van X helyett.

Megszorozzuk x-et hárommal, és azonnal elosztjuk:

.

A megjelölt első figyelemre méltó határnak megfelelően lecseréljük a tört kifejezést:

Most végre megoldhatjuk ezt a határt:

.

2. példa Találd meg a határt.

Megoldás. A közvetlen helyettesítés ismét a „nulla osztás nullával” bizonytalansághoz vezet:

.

Az első figyelemre méltó határérték eléréséhez szükséges, hogy a számlálóban a szinusz jel alatti x és a nevezőben csak az x azonos együtthatójú legyen. Legyen ez az együttható egyenlő 2-vel. Ehhez képzeljük el az x aktuális együtthatót az alábbiak szerint, törtekkel végrehajtva, így kapjuk:

.

3. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Behelyettesítéskor ismét a "nulla osztva nullával" bizonytalanságot kapjuk:

.

Valószínűleg már érted, hogy az eredeti kifejezésből megkaphatod az első csodálatos határt szorozva az első csodálatos határértékkel. Ehhez a számlálóban lévő x és a nevezőben lévő szinusz négyzetét azonos tényezőkre bontjuk, és hogy az x-re és a szinuszra azonos együtthatókat kapjunk, a számlálóban lévő x-et elosztjuk 3-mal és azonnal megszorozzuk 3-mal. Kapjuk:

.

4. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Ismét megkapjuk a "nulla osztva nullával" bizonytalanságot:

.

Megkaphatjuk az első két figyelemre méltó határérték arányát. A számlálót és a nevezőt is elosztjuk x-szel. Ezután, hogy a szinuszokban és az x-ben lévő együtthatók egybeesjenek, megszorozzuk a felső x-et 2-vel és azonnal elosztjuk 2-vel, az alsó x-et pedig megszorozzuk 3-mal és azonnal osztjuk 3-mal.

5. példa Találd meg a határt.

Megoldás. És ismét a "nulla osztva nullával" bizonytalansága:

A trigonometriából emlékszünk, hogy az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, a nulla koszinusza pedig eggyel egyenlő. Átalakításokat végzünk, és megkapjuk:

.

6. példa Találd meg a határt.

Megoldás. A határjel alatti trigonometrikus függvény ismét az első figyelemre méltó határ alkalmazásának ötletét sugallja. A szinusz és a koszinusz arányaként ábrázoljuk.

A fenti cikkből megtudhatod, hogy mi a határ, és mivel eszik - ez NAGYON fontos. Miért? Lehet, hogy nem érted, mik a determinánsok, és sikeresen oldod meg őket, esetleg egyáltalán nem érted, mi az a származék, és megtalálod őket az "ötösön". De ha nem érti, mi a határ, akkor nehéz lesz gyakorlati feladatokat megoldani. Ezenkívül nem lesz felesleges megismerkedni a döntések tervezési mintáival és a tervezésre vonatkozó ajánlásaimmal. Minden információ egyszerű és hozzáférhető módon jelenik meg.

A leckéhez pedig a következő módszertani anyagokra van szükségünk: Figyelemre méltó határokés Trigonometrikus képletek. Az oldalon megtalálhatóak. A legjobb, ha kinyomtatja a kézikönyveket - ez sokkal kényelmesebb, ráadásul gyakran offline is kell hozzáférni.

Mi a figyelemre méltó a csodálatos korlátokban? E határok figyelemreméltósága abban rejlik, hogy a híres matematikusok legnagyobb elméi igazolták őket, és a hálás leszármazottaknak nem kell szörnyű korlátoktól szenvedniük a trigonometrikus függvények, logaritmusok és fokozatok halomával. Vagyis a határok megtalálásakor elméletileg igazolt, kész eredményeket fogunk használni.

Számos figyelemre méltó korlát létezik, de a gyakorlatban a részidős hallgatóknak az esetek 95%-ában két figyelemre méltó korlát van: Az első csodálatos határ, A második csodálatos határ. Megjegyzendő, hogy történelmileg kialakult nevekről van szó, és amikor például az „első figyelemre méltó határról” beszélnek, akkor ez egy nagyon konkrét dolgot ért, és nem valami, a plafonról vett véletlenszerű határt.

Az első csodálatos határ

Tekintsük a következő határértéket: (a "ő" natív betű helyett a görög "alfa" betűt fogom használni, ez kényelmesebb az anyag bemutatása szempontjából).

A határok megtalálására vonatkozó szabályunk szerint (lásd a cikket Korlátok. Megoldási példák) megpróbálunk nullát behelyettesíteni a függvénybe: a számlálóban nullát kapunk (nulla szinusza nulla), a nevezőben nyilván szintén nullát. Így a forma bizonytalanságával állunk szemben, amit szerencsére nem kell nyilvánosságra hozni. A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy:

Ezt a matematikai tényt ún Az első csodálatos határ. Nem fogok elemző bizonyítást adni a határnak, de a geometriai jelentését megvizsgáljuk a leckében. végtelenül kicsi függvények.

Gyakorlati feladatokban gyakran másként is elrendezhetők a funkciók, ez nem változtat semmit:

– ugyanaz az első csodálatos határ.

De a számlálót és a nevezőt nem tudod magad átrendezni! Ha az alakban határértéket adunk meg, akkor azt ugyanabban a formában kell megoldani anélkül, hogy bármit átrendeznénk.

A gyakorlatban nem csak egy változó működhet paraméterként, hanem elemi függvény, komplex függvény is. Csak az a fontos, hogy nullára hajoljon.

Példák:
, , ,

Itt , , , , és minden zümmög - az első csodálatos határ érvényesül.

És itt a következő bejegyzés – eretnekség:

Miért? Mivel a polinom nem nullára, hanem ötre hajlik.

A kérdés egyébként a visszatöltésre vonatkozik, de mi a határ ? A válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban nem minden olyan zökkenőmentes, szinte soha nem ajánlják fel egy diáknak, hogy oldjon meg egy ingyenes limitet és szerezzen könnyű kreditet. Hááát... írom ezeket a sorokat, és eszembe jutott egy nagyon fontos gondolat - elvégre jobbnak tűnik a „szabad” matematikai definíciókra, képletekre fejből emlékezni, ez felbecsülhetetlen segítség lehet a tesztben, amikor a kérdés a „kettő” és a „három” között dől el, és a tanár úgy dönt, hogy feltesz egy egyszerű kérdést a tanulónak, vagy felajánlja a legegyszerűbb példa megoldását („talán (a) még tudja, mit?!”).

Térjünk át a gyakorlati példákra:

1. példa

Találd meg a határt

Ha szinust észlelünk a határban, akkor ennek azonnal el kell gondolkodnia az első figyelemreméltó határérték alkalmazásának lehetőségéről.

Először megpróbáljuk behelyettesíteni a 0-t a határjel alatti kifejezésben (ezt gondolatban vagy piszkozaton tesszük):

Tehát van egy határozatlanságunk a formának, annak feltétlenül jelezze döntés meghozatalában. A határjel alatti kifejezés úgy néz ki, mint az első csodálatos határ, de ez nem egészen az, a szinusz alatt van, hanem a nevezőben.

Ilyenkor magunknak kell megszerveznünk az első csodás határt, mesterséges eszköz segítségével. A gondolatmenet a következő lehet: „a szinusz alatt van, ami azt jelenti, hogy a nevezőbe is be kell jutnunk”.
És ez nagyon egyszerűen történik:

Vagyis a nevezőt ebben az esetben mesterségesen megszorozzuk 7-tel, és elosztjuk ugyanazzal a héttel. Most a lemez ismerős formát öltött.
Amikor a feladatot kézzel rajzolják meg, célszerű egy egyszerű ceruzával megjelölni az első csodálatos határt:

Mi történt? Valójában a bekarikázott kifejezés egységgé alakult, és eltűnt a termékben:

Most már csak a háromszintes töredéktől kell megszabadulni:

Aki elfelejtette a többszintes törtek egyszerűsítését, kérjük, frissítse az anyagot a kézikönyvben Forró iskolai matematikai képletek .

Kész. Végső válasz:

Ha nem szeretne ceruzajeleket használni, akkor a megoldást így formázhatja:

“

Az első figyelemre méltó határt használjuk

“

2. példa

Találd meg a határt

Ismét egy törtet és egy szinust látunk a határban. Megpróbáljuk a nullát behelyettesíteni a számlálóban és a nevezőben:

Valóban van bennünk bizonytalanság, és ezért meg kell próbálnunk megszervezni az első figyelemre méltó határt. A leckén Korlátok. Megoldási példák figyelembe vettük azt a szabályt, hogy ha bizonytalanságunk van, akkor a számlálót és a nevezőt tényezőkké kell alakítanunk. Itt - ugyanaz, a fokozatokat szorzatként (szorzóként) mutatjuk be:

Az előző példához hasonlóan ceruzával körvonalazzuk a csodálatos határokat (itt kettő van belőlük), és jelezzük, hogy ezek hajlamosak egyre:

Valójában kész a válasz:

A következő példákban nem fogok művészetet csinálni a Paintben, arra gondolok, hogyan kell helyesen elkészíteni a megoldást egy jegyzetfüzetben - már érted.

3. példa

Találd meg a határt

A határjel alatti kifejezésben nullát helyettesítünk:

Bizonytalanság merült fel, amelyet nyilvánosságra kell hozni. Ha van érintő a határértékben, akkor azt szinte mindig a jól ismert trigonometrikus képlet szerint alakítják át szinuszra és koszinuszra (egyébként a kotangenssel is kb. ugyanezt teszik, lásd a módszertani anyagot Forró trigonometrikus képletek Az oldalon Matematikai képletek, táblázatok és referenciaanyagok).

Ebben az esetben:

A nulla koszinusza egyenlő eggyel, és könnyen megszabadulhatunk tőle (ne felejtsük el megjelölni, hogy egyre hajlamos):

Így ha a határértékben a koszinusz SZORZÓ, akkor durván fogalmazva egységgé kell alakítani, ami eltűnik a szorzatban.

Itt minden egyszerűbbnek bizonyult, szorzások és osztások nélkül. Az első figyelemre méltó határ is egységgé alakul és eltűnik a termékben:

Ennek eredményeként a végtelent kapjuk, ez megtörténik.

4. példa

Találd meg a határt

Megpróbáljuk a nullát behelyettesíteni a számlálóban és a nevezőben:

A kapott bizonytalanság (a nulla koszinusza, mint emlékszünk, egyenlő eggyel)

A trigonometrikus képletet használjuk. Írd fel! Valamilyen oknál fogva nagyon gyakoriak az e képletet használó korlátok.

Kivesszük a határ ikonon túli állandó szorzókat:

Szervezzük meg az első figyelemre méltó határt:

Itt egyetlen csodálatos határunk van, amely eggyé válik és eltűnik a termékben:

Szabaduljunk meg a három történettől:

A limit valóban megoldott, jelezzük, hogy a maradék szinusz nullára hajlik:

5. példa

Találd meg a határt

Ez a példa bonyolultabb, próbálja meg kitalálni saját maga:

Egyes határok a változó megváltoztatásával az 1. figyelemre méltó határig csökkenthetők, erről kicsit később olvashatsz a cikkben Limit megoldási módszerek.

A második csodálatos határ

A matematikai elemzés elmélete bebizonyította, hogy:

Ezt a tényt ún második figyelemre méltó határ.

Referencia: irracionális szám.

Nem csak egy változó működhet paraméterként, hanem összetett függvény is. Csak az a fontos, hogy törekedjen a végtelenségre.

6. példa

Találd meg a határt

Amikor a határjel alatti kifejezés a hatalomban van - ez az első jele annak, hogy meg kell próbálnia alkalmazni a második csodálatos határt.

De először, mint mindig, megpróbálunk egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a kifejezésbe, hogy ez milyen elv szerint történik, azt a leckében elemeztük Korlátok. Megoldási példák.

Könnyen belátható, hogy mikor a fokszám alapja és a kitevő - , azaz bizonytalan a forma:

Ez a bizonytalanság éppen a második figyelemre méltó határ segítségével derül ki. De ahogy az gyakran megesik, a második csodálatos határ nem egy ezüsttálcán van, hanem mesterségesen kell megszervezni. A következőképpen érvelhet: ebben a példában a paraméter azt jelenti, hogy az indikátorban is rendszerezni kell. Ehhez az alapot hatványra emeljük, és hogy a kifejezés ne változzon, hatványra emeljük:

Amikor a feladatot kézzel készítettük, ceruzával megjelöljük:

Szinte minden készen van, az iszonyatos fokozatból csinos levél lett:

Ezzel egyidejűleg maga a határérték ikon átkerül a jelzőbe:

7. példa

Találd meg a határt

Figyelem! Ez a fajta korlátozás nagyon gyakori, kérjük, nagyon figyelmesen tanulmányozza ezt a példát.

Megpróbálunk végtelenül nagy számot behelyettesíteni a határjel alatti kifejezésben:

Az eredmény egy bizonytalanság. De a második figyelemre méltó határ a forma bizonytalanságára vonatkozik. Mit kell tenni? Átalakítani kell a diploma alapját. Így érvelünk: a nevezőben van , ami azt jelenti, hogy a számlálóban is rendszerezni kell.

Bizonyíték:

Először bizonyítsuk be a tételt a sorozat esetére

Newton binomiális képlete szerint:

Feltéve, hogy megkapjuk

Ebből az (1) egyenlőségből következik, hogy n növekedésével a jobb oldalon lévő pozitív tagok száma nő. Ráadásul ahogy n növekszik, csökken a szám, így a mennyiségek is növekedés. Ezért a sorrend növekszik, míg (2)* Mutassuk meg, hogy korlátos. Az egyenlőség jobb oldalán minden zárójelet eggyel helyettesítünk, a jobb oldal növekszik, megkapjuk az egyenlőtlenséget

Erősítjük a kapott egyenlőtlenséget, a törtek nevezőiben álló 3,4,5, ... helyére 2-es számot írunk: Az összeget zárójelben találjuk a geometriai haladás tagjai összegének képletével: Ezért (3)*

Így a sorozat felülről korlátos, míg a (2) és (3) egyenlőtlenségek teljesülnek: Ezért a Weierstrass-tétel (egy sorozat konvergenciájának kritériuma) alapján a sorozat monoton növekszik és korlátos, ami azt jelenti, hogy van egy határa, amelyet e betűvel jelölünk. Azok.

Tudva, hogy a második figyelemre méltó határ igaz x természetes értékeire, igazoljuk a második figyelemre méltó határt valós x-re, azaz bebizonyítjuk, hogy . Vegyünk két esetet:

1. Legyen minden x érték két pozitív egész között: , ahol x egész része. => =>

Ha , akkor Ezért a határérték szerint Nekünk van

A határértékek megléte alapján (köztes függvény határán).

2. Hagyjuk . Végezzünk helyettesítést − x = t, akkor

Ebből a két esetből az következik valódi x-hez.

Következmények:

9 .) Infinitezimálisok összehasonlítása. Az infinitezimálisok ekvivalensekkel való helyettesítésére vonatkozó tétel a határértékben és a tétel az infinitezimálisok fő részére.

Legyen az a( x) és b( x) – b.m. nál nél x ® x 0 .

DEFINÍCIÓK.

1) a( x) hívott végtelenül magasabb rendű, mint b (x) ha

Írd le: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) és b( x)hívott azonos rendű infinitezimálisok, ha

ahol Cнℝ és C¹ 0 .

Írd le: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) és b( x) hívott egyenértékű , ha

Írd le: a( x) ~ b( x).

4) a( x) tekintetében infinitezimális k rendnek nevezzük
nagyon végtelenül kicsi b( x), ha végtelenül kicsi a( x)és(b( x)) k ugyanaz a sorrend, pl. ha

ahol Cнℝ és C¹ 0 .

TÉTEL 6 (az infinitezimálisok ekvivalensekkel való helyettesítéséről).

Hadd a( x), b( x), egy 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. x-nél ® x 0 . Ha egy a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

akkor

Bizonyíték: Legyen a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), akkor

TÉTEL 7 (a végtelenül kicsi fő részéről).

Hadd a( x)és b( x)– b.m. x-nél ® x 0 , és b( x)– b.m. magasabb rendű mint a( x).

= , a mivel b( x) – magasabb rendű, mint a( x), akkor , azaz tól től világos, hogy a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Funkciókontinuitás egy pontban (az epszilon-delta határok nyelvén, geometriai) Egyoldali folytonosság. Folytonosság intervallumon, szakaszon. A folytonos függvények tulajdonságai.

1. Alapvető definíciók

Hadd f(x) a pont valamely szomszédságában van meghatározva x 0 .

MEGHATÁROZÁS 1. f függvény(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 ha az egyenlőség igaz

Megjegyzések.

1) A 3. § 5. tételével az (1) egyenlőség így írható fel

Feltétel (2) - függvény folytonosságának meghatározása egy pontban az egyoldalú határértékek nyelvén.

2) Az egyenlőség (1) így is írható:

Azt mondják: "ha egy függvény folytonos egy ponton x 0 , akkor a határ előjele és a függvény felcserélhető.

2. DEFINÍCIÓ (e-d nyelven).

f függvény(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 ha"e>0 $d>0 ilyen, mit

ha xОU( x 0 , d) (azaz | x – x 0 | < d),

majd f(x)ОU( f(x 0), e) (azaz | f(x) – f(x 0) | < e).

Hadd x, x 0 Î D(f) (x 0 - rögzített, x- tetszőleges)

Jelölje: D x= x-x 0 – argumentumnövekmény

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – függvény növekménye az x pontban 0

3. DEFINÍCIÓ (geometriai).

f függvény(x) a hívott folyamatos egy ponton x 0 ha ezen a ponton az argumentum egy végtelen kis növekménye a függvény végtelen kicsi növekményének felel meg, azaz

Legyen a függvény f(x) a [ x 0 ; x 0 + d) (a intervallumon ( x 0-d; x 0 ]).

MEGHATÁROZÁS. f függvény(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 jobb oldalon (bal ), ha az egyenlőség igaz

Ez nyilvánvaló f(x) folyamatos a pontban x 0 Û f(x) folyamatos a pontban x 0 jobbra és balra.

MEGHATÁROZÁS. f függvény(x) hívott intervallumonként folyamatos e ( a; b) ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

f függvény(x) folytonosnak nevezzük a szakaszon [a; b] ha az intervallumon folyamatos (a; b) és a határpontokon egyoldalú folytonossága van(azaz folyamatos a ponton a igaz, pont b- bal oldalon).

11) Töréspontok, besorolásuk

MEGHATÁROZÁS. Ha az f függvény(x) az x pont valamely szomszédságában van definiálva 0 , de nem folyamatos azon a ponton f(x) nem folytonosnak nevezzük az x pontban 0 , de a lényeg x 0 töréspontnak nevezik függvények f(x) .

Megjegyzések.

1) f(x) a pont hiányos környezetében definiálható x 0 .

Ezután vegyük figyelembe a függvény megfelelő egyoldalú folytonosságát.

2) z definíciójából a pont x 0 a függvény töréspontja f(x) két esetben:

a) U( x 0 , d)н D(f) , de érte f(x) az egyenlőség nem teljesül

b) U * ( x 0 , d)н D(f) .

Az elemi függvényeknél csak a b) eset lehetséges.

Hadd x 0 - a függvény töréspontja f(x) .

MEGHATÁROZÁS. pont x 0 hívott töréspontot én kedves ha az f függvény(x)véges határértékei vannak ezen a ponton a bal és a jobb oldalon.

Ha ráadásul ezek a határértékek egyenlőek, akkor az x pont 0 hívott töréspont , másképp - ugráspont .

MEGHATÁROZÁS. pont x 0 hívott töréspontot II kedves ha az f függvény legalább egyik egyoldali határértéke(x)ezen a ponton egyenlő¥ vagy nem létezik.

12) A szegmensen folytonos függvények tulajdonságai (Weierstrass (bizonyítás nélkül) és Cauchy tételei

Weierstrass-tétel

Legyen az f(x) függvény folytonos a szakaszon, akkor

1)f(x) csak erre korlátozódik

2) f (x) felveszi az intervallum legkisebb és legnagyobb értékét

Meghatározás: Az m=f függvény értékét akkor nevezzük a legkisebbnek, ha m≤f(x) bármely x € D(f) esetén.

Az m=f függvény értékét akkor nevezzük a legnagyobbnak, ha m≥f(x) bármely x ∈ D(f) esetén.

A függvény a szegmens több pontján a legkisebb \ legnagyobb értéket veheti fel.

f(x 3)=f(x 4)=max

Cauchy-tétel.

Legyen az f(x) függvény folytonos a szakaszon, x pedig az f(a) és f(b) közé zárt szám, akkor van legalább egy x 0 € pont, amelyre f(x 0)= g

A második figyelemre méltó határ képlete lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Egy másik írásmód így néz ki: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Amikor a második figyelemre méltó határról beszélünk, egy 1 ∞ alakú bizonytalansággal kell számolnunk, azaz. egység végtelen mértékig.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben szükségünk van a második figyelemre méltó határ kiszámításának képességére.

1. példa

Határozzuk meg a lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 határértéket.

Megoldás

Helyettesítse be a kívánt képletet, és végezze el a számításokat.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Válaszunkban a végtelenség erejéig kaptunk egységet. A megoldási mód meghatározásához a bizonytalanságok táblázatát használjuk. Kiválasztjuk a második figyelemre méltó határt, és megváltoztatjuk a változókat.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Ha x → ∞, akkor t → -∞.

Lássuk, mit kaptunk a csere után:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Válasz: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

2. példa

Számítsa ki a lim x → ∞ x - 1 x + 1 x határértéket.

Megoldás

Helyettesítsd be a végtelent, és kapd meg a következőket.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

A válaszban ismét ugyanazt kaptuk, mint az előző feladatban, ezért ismét használhatjuk a második csodálatos határt. Ezután ki kell választanunk a hatványfüggvény alján lévő egész részt:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Ezt követően a limit a következő formában jelenik meg:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Változókat cserélünk. Tegyük fel, hogy t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ha x → ∞ , akkor t → ∞ .

Ezt követően írjuk fel, hogy mit kaptunk az eredeti limitben:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Ennek az átalakításnak a végrehajtásához a határértékek és a hatványok alapvető tulajdonságait használtuk.

Válasz: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

3. példa

Számítsa ki a lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 határértéket.

Megoldás

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Ezt követően függvénytranszformációt kell végrehajtanunk, hogy alkalmazzuk a második csodálatos határértéket. A következőket kaptuk:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Mivel most ugyanazok a kitevőink vannak a tört számlálójában és nevezőjében (hattal egyenlő), a tört határa a végtelenben egyenlő lesz ezen együtthatók arányával nagyobb hatványokon.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

A t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 helyére cserélve a második figyelemre méltó határt kapjuk. Mit jelent:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Válasz: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

következtetéseket

1 ∞ bizonytalanság, azaz. mértékegysége végtelen mértékig hatványtörvényi bizonytalanság, ezért az exponenciális hatványfüggvények határainak meghatározására vonatkozó szabályok segítségével feltárható.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt