Kocka négy dimenzióban. Cybercube – az első lépés a negyedik dimenzióba

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mi a négydimenziós tér.

Ez egy egydimenziós tér, vagyis egyszerűen az OX tengely. Bármelyik pontja egy koordinátával jellemezhető.

Most rajzoljuk meg az OY tengelyt merőlegesen az OX tengelyre. Így egy kétdimenziós teret kapunk, vagyis az XOY síkot. A rajta lévő bármely pontot két koordináta jellemez - abszcissza és ordináta.

Rajzoljuk meg az OZ tengelyt merőlegesen az OX és OY tengelyekre. Az eredmény egy háromdimenziós tér, amelyben bármely pontnak van abszcisszája, ordinátája és alkalmazása.

Logikus, hogy a negyedik tengely, az OQ, egyszerre legyen merőleges az OX, OY és OZ tengelyekre. De nem tudunk pontosan megszerkeszteni egy ilyen tengelyt, ezért csak megpróbálhatjuk elképzelni. A négydimenziós térben minden pontnak négy koordinátája van: x, y, z és q.

Most lássuk, hogyan jelent meg a négydimenziós kocka.

A képen egy alak látható egydimenziós térben - egy vonal.

Ha ezt a vonalat párhuzamosan lefordítja az OY tengely mentén, majd összekapcsolja a két eredményül kapott vonal megfelelő végét, akkor négyzetet kap.

Hasonlóképpen, ha az OZ tengely mentén párhuzamosan lefordítja a négyzetet, és összekapcsolja a megfelelő csúcsokat, akkor egy kockát kap.

És ha a kockát párhuzamosan fordítjuk az OQ tengely mentén, és összekapcsoljuk a két kocka csúcsait, akkor négydimenziós kockát kapunk. Mellesleg úgy hívják tesserakt.

Ahhoz, hogy egy kockát síkon rajzoljunk, szüksége van rá projekt. Vizuálisan így néz ki:

Képzeljük el, hogy a levegőben lóg a felszín felett drótvázas modell kocka, vagyis mintha „drótból lenne”, fölötte pedig egy villanykörte. Ha felkapcsolja a villanykörtét, ceruzával nyomon követi a kocka árnyékát, majd kikapcsolja az izzót, a kocka vetülete jelenik meg a felületen.

Térjünk át egy kicsit összetettebb dologra. Nézze meg újra a rajzot a villanykörtével: amint látja, az összes sugár egy ponton konvergál. Ez az úgynevezett távlatpontés építésére használják perspektivikus vetítés(és lehet párhuzamos is, ha az összes sugár párhuzamos egymással. Az eredmény az, hogy nem jön létre a térfogat érzet, de könnyebb, sőt, ha az eltűnési pont elég távol van a vetített tárgytól , akkor a két vetület közötti különbség alig észrevehető). Egy adott pont adott síkra egy eltűnési pont segítségével történő kivetítéséhez egyenes vonalat kell húzni a eltűnési ponton és az adott ponton, majd meg kell keresni az eredményül kapott egyenes és a sík metszéspontját. És ahhoz, hogy egy bonyolultabb alakzatot, mondjuk egy kockát, kivetítsen, minden csúcsát ki kell vetíteni, majd össze kell kötnie a megfelelő pontokat. Megjegyzendő algoritmus a tér altérre vetítéséreáltalánosítható a 4D->3D esetére, nem csak a 3D->2D.

Ahogy mondtam, nem tudjuk pontosan elképzelni, hogy néz ki az OQ tengely, akárcsak a tesseract. De korlátozott képet kaphatunk róla, ha kivetítjük egy kötetre, majd felrajzoljuk a számítógép képernyőjére!

Most beszéljünk a tesseract vetítésről.

A bal oldalon a kocka síkra vetítése, jobb oldalon pedig a tesserakt a térfogatra. Nagyon hasonlóak: egy kocka vetülete úgy néz ki, mint két kicsi és nagy négyzet, amelyek egymáson belül vannak, és amelyek megfelelő csúcsait vonalak kötik össze. A tesserakt vetülete pedig úgy néz ki, mint két kicsi és nagy kocka, amelyek egymásban vannak, és amelyeknek a megfelelő csúcsai össze vannak kötve. De mindannyian láttuk a kockát, és bátran kijelenthetjük, hogy mind a kis négyzet, mind a nagy négyzet, valamint a négy trapéz felül, lent, a kis négyzettől jobbra és balra valójában négyzetek, és egyenlőek. . És a tesseraktban ugyanez van. És egy nagy kocka, egy kis kocka, és hat csonka piramis egy kis kocka oldalán - ezek mind kockák, és egyenlőek.

A programom nem csak egy tesszekrakt vetületét képes egy kötetre rajzolni, hanem el is forgatni. Nézzük meg, hogyan történik ez.

Először is elmondom, mi az a síkkal párhuzamos forgás.

Képzelje el, hogy a kocka az OZ tengely körül forog. Ezután mindegyik csúcsa egy kört ír le az OZ tengely körül.

A kör egy lapos alak. És ezen körök mindegyikének síkjai párhuzamosak egymással, és ebben az esetben párhuzamosak az XOY síkkal. Vagyis nem csak az OZ tengely körüli forgásról beszélhetünk, hanem az XOY síkkal párhuzamos forgásról is.Amint látjuk, az XOY tengellyel párhuzamosan forgó pontoknál csak az abszcissza és az ordináta változik, míg az applikátum marad És valójában csak akkor beszélhetünk egyenes körüli forgásról, ha háromdimenziós térrel van dolgunk. A kétdimenziós térben minden egy pont körül forog, a négydimenziós térben minden egy sík körül forog, az ötdimenziós térben térfogat körüli forgásról beszélünk. És ha el tudjuk képzelni a forgatást egy pont körül, akkor a sík és térfogat körüli forgás elképzelhetetlen. Ha pedig a síkkal párhuzamos forgásról beszélünk, akkor bármely n-dimenziós térben egy pont a síkkal párhuzamosan elfordulhat.

Bizonyára sokan hallottatok már a forgatási mátrixról. A pontot megszorozva vele a síkkal párhuzamosan phi szöggel elforgatott pontot kapunk. Kétdimenziós tér esetében ez így néz ki:

Hogyan kell szorozni: egy phi szöggel elforgatott pont x = az eredeti pont phi*ix szögének koszinusza mínusz az eredeti pont phi*ig szögének szinusza;
a phi szöggel elforgatott pont ig = az eredeti pont phi * ix szögének szinusza plusz az eredeti pont phi * ig szögének koszinusza.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, ahol Xa és Ya az elforgatandó pont abszcissza és ordinátája, Xa` és Ya` pedig a már elforgatott pont abszcissza és ordinátája

A háromdimenziós tér esetében ezt a mátrixot a következőképpen általánosítjuk:

Az XOY síkkal párhuzamos forgás. Mint látható, a Z koordináta nem változik, hanem csak X és Y változik
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (lényegében Za`=Za)

Az XOZ síkkal párhuzamos forgatás. Semmi új,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (lényegében Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

És a harmadik mátrix.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (lényegében Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

A negyedik dimenzióhoz pedig így néznek ki:


Azt hiszem, már érted, mivel kell szorozni, ezért nem részletezem még egyszer. De megjegyzem, ugyanazt csinálja, mint a háromdimenziós térben egy síkkal párhuzamos forgatás mátrixa! Mindkettő csak az ordinátát és az applikációt változtatja meg, a többi koordinátát nem érinti, így háromdimenziós esetben is használható, egyszerűen nem figyelve a negyedik koordinátára.

De a vetítési képlettel nem minden olyan egyszerű. Akárhány fórumot olvastam, egyik vetítési módszer sem működött nálam. A párhuzamos nem volt megfelelő számomra, mivel a vetítés nem mutatna háromdimenziósnak. Egyes vetületi képletekben egy pont megtalálásához meg kell oldani egy egyenletrendszert (és nem tudom, hogyan tanítsam meg a számítógépet ezek megoldására), másokat egyszerűen nem értettem... Általában úgy döntöttem, hogy találja ki a saját utamat. Ehhez vegye figyelembe a 2D->1D vetítést.

A pov jelentése "nézeti pont", a ptp jelentése "pont a kivetítendő ponthoz" (a kivetítendő pont), a ptp pedig a kívánt pont az OX tengelyen.

A povptpB és a ptpptp`A szögek egyenlőek, mint megfelelőek (a szaggatott vonal párhuzamos az OX tengellyel, a povptp egyenes egy metsző).
A ptp` pont x értéke egyenlő a ptp pont x-ével mínusz a ptp`A szakasz hossza. Ezt a szakaszt a ptpptp`A háromszögből találhatjuk meg: ptp`A = ptpA/ptpptp`A szög érintője. Ezt az érintőt a povptpB háromszögből találhatjuk meg: érintő ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Válasz: Xptp`=Xptp-Yptp/ptpptp`A szög érintője.

Ezt az algoritmust itt nem írtam le részletesen, mivel nagyon sok olyan speciális eset van, amikor a képlet valamelyest megváltozik. Ha valakit érdekel nézze meg a program forráskódját, ott minden le van írva kommentben.

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben egy pontot egy síkra vetítsünk, egyszerűen csak két síkot veszünk figyelembe - XOZ-t és YOZ-t, és mindegyikre megoldjuk ezt a problémát. A négydimenziós tér esetében három síkot kell figyelembe venni: XOQ, YOQ és ZOQ.

És végül a programról. Ez így működik: inicializálja a tesseract tizenhat csúcsát -> a felhasználó által beírt parancsoktól függően, forgassa el -> vetítse ki a kötetre -> a felhasználó által megadott parancsoktól függően, forgassa el a vetületét -> vetítse a sík -> rajzol.

A vetítéseket és a forgatásokat magam írtam. Az imént leírt képletek szerint működnek. Az OpenGL-könyvtár vonalakat rajzol és kezeli a színkeverést is. És a tesseract csúcsok koordinátáit a következő módon számítjuk ki:

Az origó középpontjában álló egyenes csúcsainak koordinátái és hossza 2 - (1) és (-1);
- " - " - négyzet - " - " - és egy 2 hosszúságú él:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) és (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Amint látja, egy négyzet egy vonallal az OY tengely felett és egy vonallal az OY tengely alatt van; egy kocka egy négyzet az XOY sík előtt és egy mögötte; A tesserakt egy kocka a XOYZ kötet másik oldalán, és egy ezen az oldalon. De sokkal könnyebben érzékelhető az egyesek és mínusz egyesek váltakozása, ha egy oszlopba vannak írva

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Az első oszlopban egy és mínusz egy váltakozik. A második oszlopban először két plusz, majd két mínusz található. A harmadikban négy plusz egy, majd négy mínusz egy. Ezek voltak a kocka csúcsai. A tesseractban kétszer annyi van belőlük, ezért deklarálásukhoz ciklust kellett írni, különben nagyon könnyen összezavarodhatunk.

A programom anaglifát is tud rajzolni. A 3D szemüveg boldog tulajdonosai sztereoszkópikus képet figyelhetnek meg. A kép rajzolásában nincs semmi bonyolult: egyszerűen rajzoljon két vetületet a síkra, a jobb és a bal szem számára. De a program sokkal vizuálisabbá és érdekesebbé válik, és ami a legfontosabb, jobb képet ad a négydimenziós világról.

Kevésbé jelentős funkciók az egyik él piros megvilágítása, hogy a kanyarokat jobban lehessen látni, valamint a kisebb kényelmi funkciók - a „szem” pontok koordinátáinak szabályozása, a fordulási sebesség növelése és csökkentése.

Archívum a programmal, a forráskóddal és a használati utasítással együtt.

Bakalyar Maria

Tanulmányozzuk a négydimenziós kocka (tesseract) fogalmának megismertetési módszereit, felépítését és egyes tulajdonságait.A kérdés, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát a háromdimenziós lapjaival párhuzamos hipersíkok metszenek , valamint a főátlójára merőleges hipersíkokkal foglalkozik. A többdimenziós analitikai geometria kutatáshoz használt apparátusát vizsgáljuk.

Letöltés:

Előnézet:

Bevezetés………………………………………………………………………………….2

Fő rész………………………………………………………………..4

Következtetések……………………………………………………………..12

Hivatkozások…………………………………………………………..13

Bevezetés

A négydimenziós tér régóta felkeltette mind a professzionális matematikusok, mind a tudomány tanulmányozásától távol álló emberek figyelmét. A negyedik dimenzió iránti érdeklődés abból a feltételezésből fakadhat, hogy háromdimenziós világunk „elmerül” a négydimenziós térben, ahogy a sík „elmerül” a háromdimenziós térben, az egyenes „elmerül” egy sík, és egy pont egy egyenesben van. Emellett a négydimenziós tér fontos szerepet játszik a modern relativitáselméletben (az ún. téridő vagy Minkowski-tér), és egy speciális esetnek is tekinthető.dimenziós euklideszi tér (val).

A négydimenziós kocka (tesseract) egy olyan objektum a négydimenziós térben, amely a lehető legnagyobb mérettel rendelkezik (ahogyan egy közönséges kocka is egy objektum a háromdimenziós térben). Megjegyzendő, hogy közvetlen érdeklődésre is számot tart, nevezetesen megjelenhet a lineáris programozás optimalizálási problémáiban (olyan területként, ahol négy változó lineáris függvényének minimuma vagy maximuma található), és a digitális mikroelektronikában is használatos (amikor elektronikus órakijelző működésének programozása). Ezenkívül a négydimenziós kocka tanulmányozásának folyamata hozzájárul a térbeli gondolkodás és a képzelet fejlődéséhez.

Következésképpen a négydimenziós kocka szerkezetének és sajátos tulajdonságainak tanulmányozása meglehetősen releváns. Érdemes megjegyezni, hogy szerkezetét tekintve a négydimenziós kockát elég jól tanulmányozták. Sokkal érdekesebb a metszeteinek jellege különböző hipersíkokkal. Így ennek a munkának a fő célja a tesserakt szerkezetének tanulmányozása, valamint annak a kérdésnek a tisztázása, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát az egyik háromdimenziós kockával párhuzamos hipersíkok feldarabolnak. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkok segítségével. A négydimenziós térben lévő hipersíkot háromdimenziós altérnek nevezzük. Azt mondhatjuk, hogy egy síkon lévő egyenes egydimenziós hipersík, egy sík háromdimenziós térben kétdimenziós hipersík.

A cél meghatározta a tanulmány céljait:

1) Tanulmányozza a többdimenziós analitikus geometria alapvető tényeit;

2) Tanulmányozza a 0-tól 3-ig terjedő méretű kockák felépítésének jellemzőit;

3) Tanulmányozza a négydimenziós kocka szerkezetét;

4) Analitikusan és geometriailag írjon le egy négydimenziós kockát;

5) Készítsen modelleket háromdimenziós és négydimenziós kockák fejlesztéseiről és központi vetületeiről!

6) A többdimenziós analitikai geometria apparátusával írja le azokat a háromdimenziós objektumokat, amelyek egy négydimenziós kocka és annak egyik háromdimenziós lapjával párhuzamos hipersíkokkal, vagy a főátlójára merőleges hipersíkokkal metszéséből származnak.

Az így nyert információk lehetővé teszik számunkra, hogy jobban megértsük a tesserakt szerkezetét, valamint mély analógiákat azonosítsunk a különböző méretű kockák szerkezetében és tulajdonságaiban.

Fő rész

Először is leírjuk azt a matematikai berendezést, amelyet a tanulmány során használni fogunk.

1) Vektor koordináták: ha, Azt

2) Hipersík egyenlete normálvektorralúgy néz ki, mint Itt

3) Repülőgépek és akkor és csak akkor párhuzamosak

4) Két pont távolságát a következőképpen határozzuk meg: ha, Azt

5) A vektorok ortogonalitásának feltétele:

Először is nézzük meg, hogyan írjunk le egy négydimenziós kockát. Ezt kétféleképpen lehet megtenni - geometrikusan és analitikusan.

Ha a megadás geometriai módszeréről beszélünk, akkor célszerű a kockák felépítésének folyamatát a nulla dimenzióból kiindulva nyomon követni. A nulla dimenziójú kocka egy pont (egyébként vegye figyelembe, hogy egy pont nulla dimenziójú golyó szerepét is betöltheti). Ezután bevezetjük az első dimenziót (az x tengelyt), és a megfelelő tengelyen két pontot (két nulldimenziós kockát) jelölünk meg, amelyek egymástól 1 távolságra vannak. Az eredmény egy szegmens – egy egydimenziós kocka. Azonnal jegyezzünk meg egy jellemzőt: Egy egydimenziós kocka (szakasz) határa (végei) két nulla dimenziós kocka (két pont). Ezután bemutatjuk a második dimenziót (ordináta tengely) és a síkonSzerkesszünk két egydimenziós kockát (két szegmenst), amelyek végei 1 távolságra vannak egymástól (valójában az egyik szakasz a másik ortogonális vetülete). A szegmensek megfelelő végeinek összekapcsolásával négyzetet kapunk - egy kétdimenziós kockát. Ismét megjegyezzük, hogy egy kétdimenziós kocka (négyzet) határa négy egydimenziós kocka (négy szegmens). Végül bemutatjuk a harmadik dimenziót (alkalmazási tengelyt) és konstruáljuk a térbenkét négyzetet úgy, hogy az egyik a másik ortogonális vetülete legyen (a négyzetek megfelelő csúcsai egymástól 1 távolságra vannak). Kössük össze a megfelelő csúcsokat szegmensekkel - kapunk egy háromdimenziós kockát. Látjuk, hogy egy háromdimenziós kocka határa hat kétdimenziós kocka (hat négyzet). A leírt konstrukciók lehetővé teszik a következő minta azonosítását: minden lépésbena dimenziós kocka „megmozdul, nyomot hagyva” bee mérés 1-es távolságban, miközben a mozgás iránya merőleges a kockára. Ennek a folyamatnak a formális folytatása teszi lehetővé, hogy eljussunk a négydimenziós kocka fogalmához. Ugyanis a háromdimenziós kockát a negyedik dimenzió irányába (a kockára merőlegesen) 1 távolságra kényszerítjük. Az előzőhöz hasonlóan eljárva, vagyis a kockák megfelelő csúcsait összekötve, négydimenziós kockát kapunk. Megjegyzendő, hogy geometriailag egy ilyen konstrukció a mi terünkben lehetetlen (hiszen háromdimenziós), de itt logikai szempontból nem találkozunk ellentmondásokkal. Most térjünk át egy négydimenziós kocka analitikai leírására. Formálisan is megkapjuk, analógiával élve. Tehát egy nulldimenziós egységkocka analitikai specifikációja a következő:

Az egydimenziós egységkocka elemzési feladatának formája:

A kétdimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:

A háromdimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:

Most már nagyon könnyű analitikusan ábrázolni egy négydimenziós kockát, nevezetesen:

Amint látjuk, a négydimenziós kocka meghatározásának geometriai és analitikai módszerei is az analógiák módszerét alkalmazták.

Most az analitikus geometria apparátusával megtudjuk, mi a négydimenziós kocka szerkezete. Először is nézzük meg, milyen elemeket tartalmaz. Itt is használhatunk egy analógiát (hipotézis felállítására). Az egydimenziós kocka határai pontok (nulladimenziós kockák), egy kétdimenziós kockáé - szegmensek (egydimenziós kockák), egy háromdimenziós kockáé - négyzetek (kétdimenziós lapok). Feltételezhető, hogy a tesserakt határai háromdimenziós kockák. Ennek bizonyítására tisztázzuk, mit értünk csúcsok, élek és lapok alatt. A kocka csúcsai a sarokpontjai. Vagyis a csúcsok koordinátái lehetnek nullák vagy egyesek. Így kapcsolat derül ki a kocka mérete és csúcsainak száma között. Alkalmazzuk a kombinatorikus szorzatszabályt - hiszen a csúcsmért kocka pontosan rendelkezikkoordináták, amelyek mindegyike egyenlő nullával vagy eggyel (az összes többitől független), akkor összesen vancsúcsok Így bármely csúcs minden koordinátája rögzített és egyenlő lehet vagy . Ha az összes koordinátát rögzítjük (mindegyiket egyenlővé tesszük vagy , a többitől függetlenül), egy kivételével a kocka éleit tartalmazó egyeneseket kapjuk. Az előzőhöz hasonlóan számolhatod, hogy pontosan vannakdolgokat. És ha most rögzítjük az összes koordinátát (mindegyiket egyenlővé tesszük vagy , a többitől függetlenül), néhány kettő kivételével olyan síkokat kapunk, amelyek a kocka kétdimenziós lapjait tartalmazzák. A kombinatorika szabályával azt találjuk, hogy pontosan vannakdolgokat. Ezután hasonlóan - az összes koordináta rögzítése (mindegyik egyenlővé tétele vagy , a többitől függetlenül), néhány három kivételével a kocka háromdimenziós lapjait tartalmazó hipersíkokat kapunk. Ugyanezt a szabályt alkalmazva kiszámítjuk a számukat - pontosanstb. Ez elegendő lesz a kutatásunkhoz. Alkalmazzuk a kapott eredményeket egy négydimenziós kocka szerkezetére, nevezetesen az összes általunk felvett származtatott képletben. Ezért egy négydimenziós kockának van: 16 csúcsa, 32 éle, 24 kétdimenziós lapja és 8 háromdimenziós lapja. Az érthetőség kedvéért definiáljuk analitikusan minden elemét.

Egy négydimenziós kocka csúcsai:

Egy négydimenziós kocka élei ():

Egy négydimenziós kocka kétdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):

Egy négydimenziós kocka háromdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):

Most, hogy a négydimenziós kocka szerkezetét és meghatározásának módszereit kellően részletesen leírtuk, folytassuk a fő cél megvalósítását - a kocka különböző szakaszainak jellegének tisztázását. Kezdjük azzal az elemi esettel, amikor egy kocka szakaszai párhuzamosak az egyik háromdimenziós lapjával. Vegyük például az arccal párhuzamos hipersíkokkal rendelkező szakaszaitAz analitikai geometriából ismert, hogy minden ilyen szakaszt az egyenlet adja megHatározzuk meg analitikusan a megfelelő szakaszokat:

Amint látjuk, analitikai specifikációt kaptunk egy hipersíkban fekvő háromdimenziós egységkockára

Az analógia megállapításához írjuk fel egy háromdimenziós kocka metszetét egy síkkal Kapunk:

Ez egy síkban fekvő négyzet. Az analógia nyilvánvaló.

Négydimenziós kocka metszete hipersíkok szerintteljesen hasonló eredményeket adnak. Ezek is egyetlen háromdimenziós kockák lesznek, amelyek hipersíkban fekszenek illetőleg.

Tekintsük most egy négydimenziós kocka szakaszait, amelyek hipersíkjai merőlegesek a főátlójára. Először is oldjuk meg ezt a problémát egy háromdimenziós kocka esetében. Az egységnyi háromdimenziós kocka meghatározásának fentebb leírt módszerével arra a következtetésre jut, hogy főátlónak például egy végű szakaszt vehetünk fel.És . Ez azt jelenti, hogy a főátló vektorának koordinátái lesznek. Ezért a főátlóra merőleges bármely sík egyenlete a következő lesz:

Határozzuk meg a paraméterváltozás határait. Mert , akkor ezeket az egyenlőtlenségeket tagonként összeadva a következőt kapjuk:

Vagy .

Ha akkor (korlátozások miatt). Ugyanígy – ha, Azt . Szóval, mikor és mikor a vágási síknak és a kockának pontosan egy közös pontja van (És illetőleg). Most jegyezzük meg a következőket. Ha(ismét a változó korlátok miatt). A megfelelő síkok egyszerre három oldalt metszenek, mert különben a vágási sík párhuzamos lenne az egyikkel, ami nem a feltételnek megfelelően történik. Ha, akkor a sík a kocka összes lapját metszi. Ha, akkor a sík metszi az arcokat. Mutassuk be a megfelelő számításokat.

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban, és . A széle ráadásul. Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt:

él egy egyenes vonalban, és.

él egy egyenes vonalban, és.

él egy egyenes vonalban, és.

él egy egyenes vonalban, és.

él egy egyenes vonalban, és.

él egy egyenes vonalban, és.

Ezúttal hat szegmenst kapunk, amelyeknek egymás után közös a vége:

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban, és . Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és . Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és . Vagyis három olyan szegmenst kapunk, amelyeknek páronként közös vége van:Így a megadott paraméterértékekheza sík egy szabályos háromszög mentén metszi a kockát csúcsokkal

Tehát itt van egy átfogó leírás a sík alakokról, amelyeket akkor kapunk, amikor egy kockát a főátlójára merőleges sík metsz. A fő gondolat a következő volt. Meg kell érteni, hogy a sík mely lapjait metszi, mely halmazok mentén metszi őket, és ezek a halmazok hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Például, ha kiderült, hogy a sík pontosan három lapját metszi olyan szakaszok mentén, amelyeknek páronként közös végei vannak, akkor a szakasz egy egyenlő oldalú háromszög (amit a szakaszok hosszának közvetlen kiszámításával bizonyítunk), amelynek csúcsai ezek a végek. a szegmensek közül.

Ugyanazt az apparátust és a szakaszok tanulmányozásának ugyanazt az elképzelését használva a következő tények következtethetők le teljesen analóg módon:

1) Egy négydimenziós egységkocka egyik főátlójának vektorának a koordinátái vannak

2) A négydimenziós kocka főátlójára merőleges bármely hipersík felírható a következő formában:.

3) Egy szekáns hipersík egyenletében a paraméter0 és 4 között változhat;

4) Mikor és egy szekáns hipersíknak és egy négydimenziós kockának van egy közös pontja (És illetőleg);

5) Mikor a keresztmetszet szabályos tetraédert eredményez;

6) Mikor keresztmetszetben az eredmény egy oktaéder lesz;

7) Mikor a keresztmetszet szabályos tetraédert eredményez.

Ennek megfelelően itt a hipersík egy olyan sík mentén metszi a tesseraktumot, amelyen a változók korlátozása miatt háromszög alakú régiót különböztetünk meg (analógia - a sík egy egyenes mentén metszi a kockát, amelyen a változók, egy szegmenst különítettünk el). Az 5) esetben a hipersík pontosan négy háromdimenziós lapját metszi a tesszekraktnak, azaz négy olyan háromszöget kapunk, amelyeknek páronként közös oldalaik vannak, vagyis egy tetraédert alkotnak (ez helyesen számítható ki). A 6) esetben a hipersík pontosan nyolc háromdimenziós lapját metszi a tesszekraktnak, azaz nyolc háromszöget kapunk, amelyeknek egymás után közös oldalaik vannak, vagyis egy oktaédert alkotnak. A 7) eset teljesen hasonló az 5) esethez.

Illusztráljuk ezt egy konkrét példával. Ugyanis egy négydimenziós kocka metszetét vizsgáljuk hipersíkkalA változó korlátozások miatt ez a hipersík a következő háromdimenziós lapokat metszi:Él sík mentén metszi egymástA változók korlátai miatt a következőkkel rendelkezünk:Egy háromszög alakú területet kapunk csúcsokkalTovábbi,háromszöget kapunkAmikor egy hipersík metszi az arcotháromszöget kapunkAmikor egy hipersík metszi az arcotháromszöget kapunkÍgy a tetraéder csúcsai a következő koordinátákkal rendelkeznek. Amint könnyen kiszámítható, ez a tetraéder valóban szabályos.

következtetéseket

A kutatás során tehát a többdimenziós analitikai geometria alapvető tényeit tanulmányoztuk, a 0-tól 3-ig terjedő méretű kockák felépítésének jellemzőit, egy négydimenziós kocka szerkezetét, egy négydimenziós kocka felépítését. analitikusan és geometriailag leírták, háromdimenziós és négydimenziós kockák fejlesztéseinek modelljei és központi vetületei készültek, a háromdimenziós kockák analitikusan leírt objektumok, amelyek egy négydimenziós kocka és annak valamelyik háromdimenziós hipersíkjainak metszéséből származnak. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkokkal.

Az elvégzett kutatás mély analógiák azonosítását tette lehetővé a különböző méretű kockák szerkezetében és tulajdonságaiban. Az alkalmazott analógia technika alkalmazható a kutatásban, pl.dimenziós gömb illdimenziós szimplex. Ugyanis,egy dimenziós gömb pontok halmazaként definiálhatóegy adott ponttól egyenlő távolságra lévő dimenziós tér, amelyet a gömb középpontjának nevezünk. További,egy dimenziós szimplex alkatrészként definiálhatóa méretteret a minimális szám korlátozzadimenziós hipersíkok. Például az egydimenziós szimplex egy szakasz (az egydimenziós tér egy része, amelyet két pont határol), a kétdimenziós szimplex egy háromszög (a kétdimenziós tér egy része, amelyet három vonal határol), a A háromdimenziós szimplex egy tetraéder (a háromdimenziós tér része, amelyet négy sík határol). Végül,a dimenziós szimplexet alkatrészként definiáljukmérettér, korlátozottdimenzió hipersíkja.

Megjegyzendő, hogy annak ellenére, hogy a tesseractot számos tudományterületen alkalmazzák, ez a kutatás még mindig nagyrészt matematikai tanulmány.

Bibliográfia

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Felsőmatematika, 1. kötet – M.: Túzok, 2005 – 284 p.

2) Kvantum. Négydimenziós kocka / Duzhin S., Rubtsov V., 6. sz., 1986.

3) Kvantum. Hogyan rajzolj dimenziós kocka / Demidovich N.B., 1974. 8. sz.

Pontok (±1, ±1, ±1, ±1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:

A tesseraktot nyolc hipersík határolja, amelyeknek a tesserakttal való metszéspontja határozza meg a háromdimenziós lapjait (amelyek közönséges kockák). A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül a tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D lapja, 32 éle és 16 csúcsa van.

Népszerű leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.

Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Tesszarakt építése egy repülőgépen

Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). A négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.

Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.

Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.

A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Előrejelzések

A kétdimenziós térbe

Ezt a szerkezetet nehéz elképzelni, de lehetséges a tesseraktum kétdimenziós vagy háromdimenziós terekbe vetítése. Ráadásul síkra vetítve könnyen megérthető a hiperkocka csúcsainak elhelyezkedése. Ily módon lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem tükrözik a tesszelektumon belüli térbeli kapcsolatokat, de a csúcskapcsolati struktúrát illusztrálják, mint az alábbi példákban:

A harmadik képen a tesszekrakt izometriában látható, az építési ponthoz viszonyítva. Ez az ábrázolás akkor érdekes, ha egy tesseract-ot használunk egy topológiai hálózat alapjaként több processzor összekapcsolásához párhuzamos számításokban.

A háromdimenziós térbe

Egy tesszekrakt háromdimenziós térre vetített egyik vetülete két egymásba ágyazott háromdimenziós kockát ábrázol, amelyek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák háromdimenziós térben eltérő méretűek, de négydimenziós térben egyenlő kockák. Az összes tesserakt kocka egyenlőségének megértéséhez egy forgó tesserakt modellt hoztak létre.

• A hat csonka piramis a tesserakt szélei mentén egyforma hat kocka képe. Azonban ezek a kockák a tesszekrakthoz ugyanúgy tartoznak, mint a négyzetek (lapok) egy kockához. Valójában azonban a tesserakt végtelen számú kockára osztható, ahogy egy kockát végtelen számú négyzetre, vagy egy négyzetet végtelen számú szegmensre.

A tesserakt másik érdekes vetülete a háromdimenziós térre egy rombikus dodekaéder, amelynek négy átlója a rombuszok nagy szögeiben ellentétes csúcspárokat köt össze. Ebben az esetben a tesserakt 16 csúcsából 14 a rombikus dodekaéder 14 csúcsába vetül, és a maradék 2 vetületei a középpontjában esnek egybe. A háromdimenziós térre való ilyen vetítésben az összes egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós oldal egyenlősége és párhuzamossága megmarad.

Sztereó pár

A tesserakt sztereó párját két vetületként ábrázolják a háromdimenziós térben. A tesserakt ezen képét úgy tervezték, hogy a mélységet negyedik dimenzióként jelenítse meg. A sztereó párt úgy nézi meg, hogy mindkét szem csak egyet lát e képek közül, és egy sztereoszkópikus kép jelenik meg, amely reprodukálja a tesserakt mélységét.

Tesseact kicsomagolás

A tesserakt felülete nyolc kockára bontható (hasonlóan ahhoz, ahogy egy kocka felülete hat négyzetre bontható). 261 különböző tesseract minta létezik. A tesszekrakt kibontása kiszámítható az összefüggő szögek grafikonon történő ábrázolásával.

Tesseract a művészetben

• Edwina A. "New Abbott Plain" című művében a hiperkocka narrátorként működik.
• A Jimmy Neutron kalandjai című film egyik epizódjában a "fiú zseni" Jimmy feltalál egy négydimenziós hiperkockát, amely megegyezik Robert Heinlein Glory Road (1963) című regényének összehajtható dobozával.
• Robert E. Heinlein legalább három tudományos-fantasztikus történetben említette a hiperkockákat. A "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built") című művében egy házat írt le, amelyet kicsomagolt tesseraktnak építettek, majd egy földrengés következtében a negyedik dimenzióban "összecsukódott" és "igazi" tesseraktummá vált. .
• Heinlein Glory Road című regénye egy hiper méretű dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.
• Henry Kuttner „All Tenali Borogov” című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, szerkezetében hasonló egy tesserakthoz.
• Alex Garland () regényében a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontására használják, nem pedig magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amely azt hivatott megmutatni, hogy a kognitív rendszernek tágabbnak kell lennie, mint a megismerhetőnek.
• A Cube 2 cselekménye: A Hypercube középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.
• Az Andromeda című televíziós sorozat tesseract generátorokat használ cselekményeszközként. Elsősorban a tér és az idő manipulálására szolgálnak.
• Salvador Dali ("A keresztrefeszítés") festménye (Corpus Hypercubus).
• A Nextwave képregény egy járművet ábrázol, amely 5 tesseract zónát tartalmaz.
• A Voivod Nothingface albumon az egyik szerzemény az „In my hypercube” címet viseli.
• Anthony Pearce Route Cube című regényében a Nemzetközi Fejlesztési Szövetség egyik keringő holdját három dimenzióba tömörített tesseraktnak nevezik.
• A „Black Hole School” sorozat harmadik évadában van egy „Tesseract” epizód. Lucas megnyom egy titkos gombot, és az iskola elkezd „matematikai mozaikszerű alakot ölteni”.
• A „cseszrakt” kifejezés és származéka a „cseszrakt” Madeleine L’Engle „A ránc az időben” című történetében található.
• A TesseracT egy brit djent zenekar neve.
• A Marvel Cinematic Universe filmsorozatban a Tesseract kulcsfontosságú cselekményelem, egy hiperkocka formájú kozmikus műtárgy.
• Robert Sheckley „Egérkisasszony és a negyedik dimenzió” című történetében egy ezoterikus író, a szerző ismerőse úgy próbálja meglátni a tesseraktumot, hogy órákon át bámulja az általa tervezett eszközt: egy lábon lévő golyót, amelybe rudak vannak beledugva. mely kockák vannak felszerelve, mindenféle ezoterikus szimbólumokkal átragasztva. A történet Hinton munkáját említi.
• Az Első Bosszúálló, A Bosszúállók című filmekben. Tesseract - az egész univerzum energiája

Más nevek

• Hexadekachoron Hexadekachoron)
• Octochoron (angol) Octachoron)
• Tetracube
• 4-kocka
• Hiperkocka (ha a dimenziók száma nincs megadva)

Megjegyzések

Irodalom

• Charles H. Hinton. Negyedik dimenzió, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Matematikai karnevál, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Linkek

Oroszul

• Transformator4D program. Négydimenziós objektumok (beleértve a Hypercube-ot is) háromdimenziós vetületeinek modelljeinek kialakítása.
• Egy program, amely egy tesseract felépítését és annak összes affin transzformációját valósítja meg, forráskóddal C++ nyelven.

Angolul

• Mushware Limited – tesseract kimeneti program ( Tesseact Trainer, GPLv2-vel kompatibilis licenc) és egy első személyű lövöldözős játék négydimenziós térben ( Adanaxis; a grafika főleg háromdimenziós; Az operációs rendszer adattáraiban GPL-verzió található).

Poliéder
Helyes (Plátói szilárd anyagok)
Csillagszerű dodekaéder Csillagszerű ikozidodekaéder Csillagszerű ikozaéder Csillagszerű poliéder Csillagszerű oktaéder
Konvex	Arkhimédeszi szilárd testek Kubooktaéder Ikozidodekaéder Csonka tetraéder Csonka oktaéder Csonka ikozaéder Csonka kocka Csonka dodekaéder Rombicuboctahedron Rombicicosidodekaéder Rombikus csonka kubtaéder Rhombic csonka kubtaéder Scsonka csonka oktaéder Scsonka csonka ikozaéder éder Csonka ikozidodekaéder Szabályos prizma Antiprizma Katalán testek Rhombododekaéder Rombothriakontaéder Triakiszthetraéder Tetrakishexaéder Pentakiszdodekaéder Triakiszoktaéder Triakizikozaéder Deltoidális ikozitetraéder Deltoidális hexexontaéder Ötszög ikozitéder Ötszögletű ikozitetraéder Pentagonális hexekaéder Diszgontaéder Teljes térbeli szimmetria nélkül Piramisprizma Bipiramis Antiprizma Zonoéder Párhuzamos romboéder Prismatoid Csonka piramis Pentagondodekaéder Paralleloéder
Képletek, tételek, elméletek
Egyéb

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mi a négydimenziós tér.

Ez egy egydimenziós tér, vagyis egyszerűen az OX tengely. Bármelyik pontja egy koordinátával jellemezhető.

Most rajzoljuk meg az OY tengelyt merőlegesen az OX tengelyre. Így egy kétdimenziós teret kapunk, vagyis az XOY síkot. A rajta lévő bármely pontot két koordináta jellemez - abszcissza és ordináta.

Rajzoljuk meg az OZ tengelyt merőlegesen az OX és OY tengelyekre. Az eredmény egy háromdimenziós tér, amelyben bármely pontnak van abszcisszája, ordinátája és alkalmazása.

Logikus, hogy a negyedik tengely, az OQ, egyszerre legyen merőleges az OX, OY és OZ tengelyekre. De nem tudunk pontosan megszerkeszteni egy ilyen tengelyt, ezért csak megpróbálhatjuk elképzelni. A négydimenziós térben minden pontnak négy koordinátája van: x, y, z és q.

Most lássuk, hogyan jelent meg a négydimenziós kocka.

A képen egy alak látható egydimenziós térben - egy vonal.

Ha ezt a vonalat párhuzamosan lefordítja az OY tengely mentén, majd összekapcsolja a két eredményül kapott vonal megfelelő végét, akkor négyzetet kap.

Hasonlóképpen, ha az OZ tengely mentén párhuzamosan lefordítja a négyzetet, és összekapcsolja a megfelelő csúcsokat, akkor egy kockát kap.

És ha a kockát párhuzamosan fordítjuk az OQ tengely mentén, és összekapcsoljuk a két kocka csúcsait, akkor négydimenziós kockát kapunk. Mellesleg úgy hívják tesserakt.

Ahhoz, hogy egy kockát síkon rajzoljunk, szüksége van rá projekt. Vizuálisan így néz ki:

Képzeljük el, hogy a levegőben lóg a felszín felett drótvázas modell kocka, vagyis mintha „drótból lenne”, fölötte pedig egy villanykörte. Ha felkapcsolja a villanykörtét, ceruzával nyomon követi a kocka árnyékát, majd kikapcsolja az izzót, a kocka vetülete jelenik meg a felületen.

Térjünk át egy kicsit összetettebb dologra. Nézze meg újra a rajzot a villanykörtével: amint látja, az összes sugár egy ponton konvergál. Ez az úgynevezett távlatpontés építésére használják perspektivikus vetítés(és lehet párhuzamos is, ha az összes sugár párhuzamos egymással. Az eredmény az, hogy nem jön létre a térfogat érzet, de könnyebb, sőt, ha az eltűnési pont elég távol van a vetített tárgytól , akkor a két vetület közötti különbség alig észrevehető). Egy adott pont adott síkra egy eltűnési pont segítségével történő kivetítéséhez egyenes vonalat kell húzni a eltűnési ponton és az adott ponton, majd meg kell keresni az eredményül kapott egyenes és a sík metszéspontját. És ahhoz, hogy egy bonyolultabb alakzatot, mondjuk egy kockát, kivetítsen, minden csúcsát ki kell vetíteni, majd össze kell kötnie a megfelelő pontokat. Megjegyzendő algoritmus a tér altérre vetítéséreáltalánosítható a 4D->3D esetére, nem csak a 3D->2D.

Ahogy mondtam, nem tudjuk pontosan elképzelni, hogy néz ki az OQ tengely, akárcsak a tesseract. De korlátozott képet kaphatunk róla, ha kivetítjük egy kötetre, majd felrajzoljuk a számítógép képernyőjére!

Most beszéljünk a tesseract vetítésről.

A bal oldalon a kocka síkra vetítése, jobb oldalon pedig a tesserakt a térfogatra. Nagyon hasonlóak: egy kocka vetülete úgy néz ki, mint két kicsi és nagy négyzet, amelyek egymáson belül vannak, és amelyek megfelelő csúcsait vonalak kötik össze. A tesserakt vetülete pedig úgy néz ki, mint két kicsi és nagy kocka, amelyek egymásban vannak, és amelyeknek a megfelelő csúcsai össze vannak kötve. De mindannyian láttuk a kockát, és bátran kijelenthetjük, hogy mind a kis négyzet, mind a nagy négyzet, valamint a négy trapéz felül, lent, a kis négyzettől jobbra és balra valójában négyzetek, és egyenlőek. . És a tesseraktban ugyanez van. És egy nagy kocka, egy kis kocka, és hat csonka piramis egy kis kocka oldalán - ezek mind kockák, és egyenlőek.

A programom nem csak egy tesszekrakt vetületét képes egy kötetre rajzolni, hanem el is forgatni. Nézzük meg, hogyan történik ez.

Először is elmondom, mi az a síkkal párhuzamos forgás.

Képzelje el, hogy a kocka az OZ tengely körül forog. Ezután mindegyik csúcsa egy kört ír le az OZ tengely körül.

A kör egy lapos alak. És ezen körök mindegyikének síkjai párhuzamosak egymással, és ebben az esetben párhuzamosak az XOY síkkal. Vagyis nem csak az OZ tengely körüli forgásról beszélhetünk, hanem az XOY síkkal párhuzamos forgásról is.Amint látjuk, az XOY tengellyel párhuzamosan forgó pontoknál csak az abszcissza és az ordináta változik, míg az applikátum marad És valójában csak akkor beszélhetünk egyenes körüli forgásról, ha háromdimenziós térrel van dolgunk. A kétdimenziós térben minden egy pont körül forog, a négydimenziós térben minden egy sík körül forog, az ötdimenziós térben térfogat körüli forgásról beszélünk. És ha el tudjuk képzelni a forgatást egy pont körül, akkor a sík és térfogat körüli forgás elképzelhetetlen. Ha pedig a síkkal párhuzamos forgásról beszélünk, akkor bármely n-dimenziós térben egy pont a síkkal párhuzamosan elfordulhat.

Bizonyára sokan hallottatok már a forgatási mátrixról. A pontot megszorozva vele a síkkal párhuzamosan phi szöggel elforgatott pontot kapunk. Kétdimenziós tér esetében ez így néz ki:

Hogyan kell szorozni: egy phi szöggel elforgatott pont x = az eredeti pont phi*ix szögének koszinusza mínusz az eredeti pont phi*ig szögének szinusza;
a phi szöggel elforgatott pont ig = az eredeti pont phi * ix szögének szinusza plusz az eredeti pont phi * ig szögének koszinusza.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, ahol Xa és Ya az elforgatandó pont abszcissza és ordinátája, Xa` és Ya` pedig a már elforgatott pont abszcissza és ordinátája

A háromdimenziós tér esetében ezt a mátrixot a következőképpen általánosítjuk:

Az XOY síkkal párhuzamos forgás. Mint látható, a Z koordináta nem változik, hanem csak X és Y változik
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (lényegében Za`=Za)

Az XOZ síkkal párhuzamos forgatás. Semmi új,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (lényegében Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

És a harmadik mátrix.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (lényegében Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

A negyedik dimenzióhoz pedig így néznek ki:


Azt hiszem, már érted, mivel kell szorozni, ezért nem részletezem még egyszer. De megjegyzem, ugyanazt csinálja, mint a háromdimenziós térben egy síkkal párhuzamos forgatás mátrixa! Mindkettő csak az ordinátát és az applikációt változtatja meg, a többi koordinátát nem érinti, így háromdimenziós esetben is használható, egyszerűen nem figyelve a negyedik koordinátára.

De a vetítési képlettel nem minden olyan egyszerű. Akárhány fórumot olvastam, egyik vetítési módszer sem működött nálam. A párhuzamos nem volt megfelelő számomra, mivel a vetítés nem mutatna háromdimenziósnak. Egyes vetületi képletekben egy pont megtalálásához meg kell oldani egy egyenletrendszert (és nem tudom, hogyan tanítsam meg a számítógépet ezek megoldására), másokat egyszerűen nem értettem... Általában úgy döntöttem, hogy találja ki a saját utamat. Ehhez vegye figyelembe a 2D->1D vetítést.

A pov jelentése "nézeti pont", a ptp jelentése "pont a kivetítendő ponthoz" (a kivetítendő pont), a ptp pedig a kívánt pont az OX tengelyen.

A povptpB és a ptpptp`A szögek egyenlőek, mint megfelelőek (a szaggatott vonal párhuzamos az OX tengellyel, a povptp egyenes egy metsző).
A ptp` pont x értéke egyenlő a ptp pont x-ével mínusz a ptp`A szakasz hossza. Ezt a szakaszt a ptpptp`A háromszögből találhatjuk meg: ptp`A = ptpA/ptpptp`A szög érintője. Ezt az érintőt a povptpB háromszögből találhatjuk meg: érintő ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Válasz: Xptp`=Xptp-Yptp/ptpptp`A szög érintője.

Ezt az algoritmust itt nem írtam le részletesen, mivel nagyon sok olyan speciális eset van, amikor a képlet valamelyest megváltozik. Ha valakit érdekel nézze meg a program forráskódját, ott minden le van írva kommentben.

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben egy pontot egy síkra vetítsünk, egyszerűen csak két síkot veszünk figyelembe - XOZ-t és YOZ-t, és mindegyikre megoldjuk ezt a problémát. A négydimenziós tér esetében három síkot kell figyelembe venni: XOQ, YOQ és ZOQ.

És végül a programról. Ez így működik: inicializálja a tesseract tizenhat csúcsát -> a felhasználó által beírt parancsoktól függően, forgassa el -> vetítse ki a kötetre -> a felhasználó által megadott parancsoktól függően, forgassa el a vetületét -> vetítse a sík -> rajzol.

A vetítéseket és a forgatásokat magam írtam. Az imént leírt képletek szerint működnek. Az OpenGL-könyvtár vonalakat rajzol és kezeli a színkeverést is. És a tesseract csúcsok koordinátáit a következő módon számítjuk ki:

Az origó középpontjában álló egyenes csúcsainak koordinátái és hossza 2 - (1) és (-1);
- " - " - négyzet - " - " - és egy 2 hosszúságú él:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) és (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Amint látja, egy négyzet egy vonallal az OY tengely felett és egy vonallal az OY tengely alatt van; egy kocka egy négyzet az XOY sík előtt és egy mögötte; A tesserakt egy kocka a XOYZ kötet másik oldalán, és egy ezen az oldalon. De sokkal könnyebben érzékelhető az egyesek és mínusz egyesek váltakozása, ha egy oszlopba vannak írva

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Az első oszlopban egy és mínusz egy váltakozik. A második oszlopban először két plusz, majd két mínusz található. A harmadikban négy plusz egy, majd négy mínusz egy. Ezek voltak a kocka csúcsai. A tesseractban kétszer annyi van belőlük, ezért deklarálásukhoz ciklust kellett írni, különben nagyon könnyen összezavarodhatunk.

A programom anaglifát is tud rajzolni. A 3D szemüveg boldog tulajdonosai sztereoszkópikus képet figyelhetnek meg. A kép rajzolásában nincs semmi bonyolult: egyszerűen rajzoljon két vetületet a síkra, a jobb és a bal szem számára. De a program sokkal vizuálisabbá és érdekesebbé válik, és ami a legfontosabb, jobb képet ad a négydimenziós világról.

Kevésbé jelentős funkciók az egyik él piros megvilágítása, hogy a kanyarokat jobban lehessen látni, valamint a kisebb kényelmi funkciók - a „szem” pontok koordinátáinak szabályozása, a fordulási sebesség növelése és csökkentése.

Archívum a programmal, a forráskóddal és a használati utasítással együtt.

A Tesseract egy négydimenziós hiperkocka – egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakockának (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex héjaként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = A tesseraktot nyolc hipersík korlátozza: x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , amelyek metszéspontja maga a tesserakt határozza meg a 3D-s lapokat (amelyek szabályos kockák) A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike metszi egymást, és 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot stb. csúcsok.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). A négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.
Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.
A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.