Forgástest térfogatának kiszámítása határozott integrál segítségével. Egy forgástest térfogata
I. Forgástestek térfogatai. Előzetesen tanulmányozza át a XII. fejezet 197., 198. bekezdését G. M. Fikhtengolts tankönyvéből * Elemezze részletesen a 198. bekezdésben szereplő példákat.
508. Számítsa ki egy ellipszis Ox tengely körüli forgatásával létrejövő test térfogatát!
És így,
530. Határozza meg az y = sin x szinuszos ív Ox tengelye körüli forgatás által képzett felületét az X = 0 pontból az X = It pontba.
531. Számítsa ki egy h magasságú és r sugarú kúp felületét!
532. Számítsa ki a képződött felületet!
az astroid x3 -)- y* - a3 forgása az Ox tengely körül.
533. Számítsa ki a görbe hurkának 18 ug - x (6 - x) z Ox tengely körüli elforgatásával keletkező felületet!
534. Határozza meg a tórusz felületét, amelyet az X2 - j - (y-3)2 = 4 kör Ox tengely körüli elforgatása eredményez.
535. Számítsa ki az X = költség, y = asint az Ox tengely körüli kör forgásával képzett felületet!
536. Számítsa ki az x = 9t2, y = St - 9t3 görbe hurkának az Ox tengely körüli elforgatásával kialakuló felületet!
537. Határozza meg az x = e*sint, y = el költség görbe ívének Ox tengely körüli elforgatásával képzett felületet
t = 0-tól t = —-ig.
538. Mutassuk meg, hogy az x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) cikloid ív Oy tengely körüli forgásával keletkező felület egyenlő 16 u2 o2-vel.
539. Határozza meg a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet!
540. Határozza meg a lemniszkátus forgása által alkotott felületet! 
A sarki tengely körül.
További feladatok a IV
Síkfigurák területei
541. Keresse meg a görbe által határolt régió teljes területét 
És az Ox tengely.
542. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És az Ox tengely.
543. Keresse meg a régió területének azt a részét, amely az első kvadránsban található, és amelyet a görbe határol
l koordinátatengelyek.
544. Keresse meg a benne lévő régió területét
hurkok: 
545. Keresse meg a görbe egy hurok által határolt terület területét:
546. Keresse meg a hurkon belüli régió területét: 
547. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És az Ox tengely.
548. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És az Ox tengely.
549. Keresse meg az Oxr tengely által határolt terület területét
egyenes és görbe 
Hogyan számítsuk ki a forgástest térfogatát
határozott integrál használatával?
Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban sok érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a felület területét; forgatás és még sok más. Szóval jó móka lesz, légy optimista!
Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Bemutatott? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:
- az abszcissza tengely körül;
- az ordináta tengelye körül.
Ez a cikk mindkét esetet megvizsgálja. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondom, hogyan találja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Ez nem annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.
Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
tengely körül lapos alak
Számítsa ki egy test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengely körüli elforgatásával kapunk.
Megoldás: Mint a terület megtalálásának problémájában, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell alkotni egy vonalak által határolt ábrát, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet adja meg a tengelyt. Az oldalakon megtudhatja, hogyan lehet egy rajzot hatékonyabban és gyorsabban elkészíteni Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiÉs . Ez egy kínai emlékeztető, és ezen a ponton nem fogok tovább időzni.
A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figura a tengely körül forog. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta vagyok bármit is tisztázni a referenciakönyvben, úgyhogy továbbmegyünk.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?
Egy forgástest térfogata a képlet segítségével számítható ki:
A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami nagyon logikus.
Számítsuk ki egy forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.
Határozza meg egy olyan test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengelye körüli elforgatással hoz létre , ,
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, amelyet a , és a vonalak határolnak.
Megoldás: Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.
Számítsuk ki a forgástest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát -vel.
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk: 
1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt fordulatszám térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így: 
Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy szoba 18 négyzetméternyi folyadékot iszik meg, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Felhívjuk figyelmét, hogy minden eset a sávban fordul elő, vagyis az integráció kész korlátai tulajdonképpen adottak. Rajzolja le helyesen a trigonometrikus függvények grafikonjait, hadd emlékeztessem a ról szóló tananyagra gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Célszerű legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
Forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég a tesztmunkában. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája A második módszer a tengely mentén történő integráció, amely lehetővé teszi, hogy ne csak fejleszthesse készségeit, hanem megtanítsa megtalálni a legjövedelmezőbb megoldási utat. Ennek gyakorlati életértelme is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
Mindenkinek ajánlom, még komplett bábuknak is. Sőt, a második bekezdésben tanult anyag felbecsülhetetlen segítséget nyújt a kettős integrálok kiszámításához.
Adott egy lapos ábra, amelyet a , , vonalak határolnak.
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot szeretnéd elolvasni, mindenképpen az elsőt olvasd el először!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Készítsünk egy rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Előttünk egy triviális parabola, amely „az oldalán fekszik”.
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Miért rossz ebben az esetben a szokásos megoldás? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok alatt gyökök vannak, és az integrálban lévő gyökök nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítésében is zavarba jöhet. Valójában az integrálok persze nem ölők, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.
Létezik racionálisabb megoldás is: inverz függvényekre váltásból és a tengely mentén történő integrálásból áll.
Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először is nézzük a parabolát:
Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:
Egyenes vonallal egyszerűbb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.
! jegyzet: A tengely mentén be kell állítani az integráció határait szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Kérem, figyelje meg, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.
Válasz:
2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.
De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható 
, ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.
Válasz: 
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő térfogattal.
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak és egy tengely határol.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az érdeklődők a „szokásos” módon is megtalálhatják egy figura területét, ezzel ellenőrizve az 1. pontot. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz, más hangerővel, mellesleg a helyes választ (akik is szeretik a feladatokat megoldani).
A feladat két javasolt pontjának teljes megoldása az óra végén található.
Igen, és ne felejtse el jobbra dönteni a fejét, hogy megértse a forgástesteket és az integráció határait!
Már épp befejezni készültem a cikket, de ma egy érdekes példát hoztak csak az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának megtalálására. Friss:
Számítsa ki a görbék és görbék által határolt alak tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát.
Megoldás: Készítsünk rajzot:
Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Itt van egy érdekes grafikon egy páros függvényről...
A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:
A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit – a képletben a függvény négyzetes: , így egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami nagyon logikus.
Számítsuk ki egy forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.
2. példa
Határozza meg egy olyan test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengelye körüli elforgatással hoz létre , ,
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, amelyet a , és a vonalak határolnak.
Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.
Számítsuk ki a forgástest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát -vel.
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt fordulatszám térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így: 
Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amelyeket Perelman (nem az) vett észre a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy szoba 18 négyzetméternyi folyadékot iszik meg, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben írt, nagyon jól fejleszti, ahogy a humorista mondta, gondolkodást, és megtanítja az embert eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Nemrég nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még a humanisták számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni, hogy szabadidőt kínáltam, a műveltség és a széles látókör a kommunikációban nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Vegyük figyelembe, hogy a zenekarban minden megtörténik, vagyis gyakorlatilag kész korlátai vannak az integrációnak. Próbálja meg helyesen megrajzolni a trigonometrikus függvények grafikonjait, ha az argumentumot kettővel osztjuk: akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Próbálj meg legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerintés pontosabban fejezze be a rajzot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég a tesztmunkában. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája a második módszer a tengely mentén történő integráció, amely lehetővé teszi, hogy ne csak készségeit fejlessze, hanem megtanítsa megtalálni a legjövedelmezőbb megoldási utat. Ennek gyakorlati életértelme is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
5. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet a , , vonalak határolnak.
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot akarja elolvasni, először Szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Készítsünk egy rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Egy triviális parabola áll előttünk, amely „az oldalán fekszik”.
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Miért rossz ebben az esetben a szokásos megoldás? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok gyökök, az integrálban lévő gyökök pedig nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítése közben összezavarodhat. Valójában az integrálok persze nem ölők, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.
Létezik racionálisabb megoldás is: inverz függvényekre váltásból és a tengely mentén történő integrálásból áll.
Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először is nézzük a parabolát:
Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:
Egyenes vonallal egyszerűbb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.
! Megjegyzés: A tengely mentén be kell állítani az integrációs határokat szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Kérem, figyelje meg, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.
Válasz:
2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.
De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható 
, ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.
Válasz: 
Azonban nem egy beteges pillangó.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő térfogattal.
6. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak és egy tengely határol.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Kivéve síkfigura területének meghatározása egy határozott integrál segítségével (lásd 7.2.3.) a téma legfontosabb alkalmazása az egy forgástest térfogatának kiszámítása. Az anyag egyszerű, de az olvasónak fel kell készülnie: meg kell tudni oldani határozatlan integrálok közepes bonyolultságú, és alkalmazza a Newton-Leibniz formulát határozott integrál, n Erős rajzkészségre is szükség van. Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban számos érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a test felületét; és még sok más. Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Bemutatott? ... Most ez az ábra is elforgatható, és kétféleképpen forgatható:
– az x tengely körül ;
– az ordinátatengely körül .
Nézzük mindkét esetet. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
Lapos alak tengely körüli elforgatásával keletkezett test térfogatának kiszámítása ÖKÖR
1. példa
Számítsa ki egy test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengely körüli elforgatásával kapunk.
Megoldás: Akárcsak a terület megtalálásának problémája, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis repülőn XOY meg kell alkotni egy alakzatot, amelyet a vonalak határolnak, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet a tengelyt határozza meg. A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figura kék árnyalatú, ez az, amely a tengely körül forog. A forgatás eredményeként egy enyhén tojásdad repülő csészealj keletkezik, két éles csúccsal a tengelyen ÖKÖR, szimmetrikusan a tengelyre ÖKÖR. Valójában a testnek van matematikai neve, nézd meg a kézikönyvben.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát? Ha egy test tengely körüli forgás eredményeként jön létreÖKÖR, szellemileg kis vastagságú párhuzamos rétegekre oszlik dx, amelyek merőlegesek a tengelyre ÖKÖR. Az egész test térfogata nyilvánvalóan egyenlő az ilyen elemi rétegek térfogatának összegével. Minden réteg, mint egy kerek citromszelet, alacsony henger magasságú dxés alapsugárral f(x). Ekkor egy réteg térfogata a π alapterület szorzata f 2 hengermagasságonként ( dx), vagy π∙ f 2 (x)∙dx. A teljes forgástest területe pedig az elemi térfogatok összege, vagy a megfelelő határozott integrál. A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:
.
Az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait. Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van. Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt ÖKÖR. Ez nem változtat semmit - a képletben a függvény négyzetes: f 2 (x), És így, egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami nagyon logikus. Számítsuk ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:
.
Amint már megjegyeztük, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a legfontosabb az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert ez a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.
2. példa
Határozzuk meg a tengely körüli forgással létrejövő test térfogatát! ÖKÖR vonallal határolt ábra , , .
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
3. példa
Számítsa ki a kapott test térfogatát a , , és vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával.
Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy lapos alakot, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet x= 0 adja meg a tengelyt OY:
A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor egy tengely körül forog ÖKÖR az eredmény egy lapos, szögletes fánk (két kúpos felületű alátét).
Számítsuk ki a forgástest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége. Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor egy tengely körül forog ÖKÖR az eredmény egy csonka kúp. Jelöljük ennek a csonkakúpnak a térfogatát -vel V 1 .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatja ÖKÖR, akkor ugyanazt a csonka kúpot kapod, csak egy kicsit kisebbet. Jelöljük a térfogatát V 2 .
Nyilvánvaló, hogy a mennyiségi különbség V = V 1 - V 2 a „fánkunk” kötete.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt fordulatszám térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így:
A terület megtalálásának problémájához hasonlóan magabiztos rajzkészségre van szükség - ez szinte a legfontosabb (mivel maguk az integrálok gyakran könnyűek). Képes és gyors grafikonkészítési technikákat sajátíthat el a tananyagok és a gráfok geometriai transzformációi segítségével. De valójában az órán már többször beszéltem a rajzok fontosságáról.
Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban sok érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ívhosszt, a forgásfelületet és sok minden mást; több. Szóval jó móka lesz, légy optimista!
Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Bemutatott? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:
– az abszcissza tengely körül;
– az ordinátatengely körül.
Ez a cikk mindkét esetet megvizsgálja. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondom, hogyan találja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Ez nem annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.
Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
tengely körül lapos alak
1. példa
Számítsa ki egy test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengely körüli elforgatásával kapunk.
Megoldás: Mint a terület megtalálásának problémájában, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell alkotni egy vonalak által határolt ábrát, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet adja meg a tengelyt. Az oldalakon megtudhatja, hogyan lehet egy rajzot hatékonyabban és gyorsabban elkészíteni Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiÉs Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ez egy kínai emlékeztető, és ezen a ponton nem fogok tovább időzni.
A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figura a tengely körül forog. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta vagyok bármit is tisztázni a referenciakönyvben, úgyhogy továbbmegyünk.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?
Egy forgástest térfogata a képlet segítségével számítható ki:
A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami nagyon logikus.
Számítsuk ki egy forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz:
Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.
2. példa
Határozza meg egy olyan test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengelye körüli elforgatással hoz létre , ,
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, amelyet a , és a vonalak határolnak.
Megoldás: Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.
Számítsuk ki a forgástest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát -vel.
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk: 
1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt fordulatszám térfogata:
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így:
Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy szoba 18 négyzetméternyi folyadékot iszik meg, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz az 1950-ben megjelent Perelman könyv nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, gondolkodást, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Nemrég nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még a humanisták számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni, hogy szabadidőt kínáltam, a műveltség és a széles látókör a kommunikációban nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Felhívjuk figyelmét, hogy minden eset a sávban fordul elő, vagyis az integráció kész korlátai tulajdonképpen adottak. Rajzolja le helyesen a trigonometrikus függvények grafikonjait, hadd emlékeztessem a ról szóló tananyagra gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Célszerű legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
Forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég a tesztmunkában. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája a második módszer a tengely mentén történő integráció, amely lehetővé teszi, hogy ne csak készségeit fejlessze, hanem megtanítsa megtalálni a legjövedelmezőbb megoldási utat. Ennek gyakorlati életértelme is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
Mindenkinek ajánlom, még komplett bábuknak is. Sőt, a második bekezdésben tanult anyag felbecsülhetetlen segítséget nyújt a kettős integrálok kiszámításához.
5. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet a , , vonalak határolnak.
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot akarja elolvasni, először Szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Készítsünk egy rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Egy triviális parabola áll előttünk, amely „az oldalán fekszik”.
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Miért rossz ebben az esetben a szokásos megoldás? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok gyökök, az integrálban lévő gyökök pedig nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítése közben összezavarodhat. Valójában az integrálok persze nem ölők, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.
Létezik racionálisabb megoldás is: inverz függvényekre váltásból és a tengely mentén történő integrálásból áll.
Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először is nézzük a parabolát:
Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:
Egyenes vonallal egyszerűbb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.
! jegyzet: A tengely mentén be kell állítani az integráció határait szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Kérem, figyelje meg, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.
Válasz:
2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:
Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.
De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható 
, ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.
Válasz: 
Azonban nem egy beteges pillangó.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő térfogattal.
6. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak és egy tengely határol.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az érdeklődők a „szokásos” módon is megtalálhatják egy figura területét, ezzel ellenőrizve az 1. pontot. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz, más hangerővel, mellesleg a helyes választ (akik is szeretik a feladatokat megoldani).
A feladat két javasolt pontjának teljes megoldása az óra végén található.
Igen, és ne felejtse el jobbra dönteni a fejét, hogy megértse a forgástesteket és az integráció határait!
