B14. Folytonos valószínűségi változó módusa és mediánja

A valószínűségi változók numerikus jellemzői közül mindenekelőtt azokat kell megjegyezni, amelyek a valószínűségi változó numerikus tengelyen elfoglalt helyzetét jellemzik, pl. egy átlagos, hozzávetőleges értéket jelöl, amely köré egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke csoportosul.

Egy valószínűségi változó átlagértéke egy bizonyos szám, amely mintegy „reprezentatív” és helyettesíti azt a hozzávetőleges számításokban. Amikor azt mondjuk: „a lámpa átlagos működési ideje 100 óra” vagy „az átlagos ütközési pont a célhoz képest 2 m-rel jobbra tolódik el”, akkor egy valószínűségi változó egy bizonyos numerikus jellemzőjét jelezzük, amely leírja annak helyét. a numerikus tengelyen, azaz. „helyzeti jellemzők”.

A pozíció jellemzői közül a valószínűségszámításban a legfontosabb szerepet a valószínűségi változó matematikai elvárása játssza, amelyet néha egyszerűen egy valószínűségi változó átlagértékének neveznek.

Tekintsünk egy diszkrét valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei és valószínűségei vannak. Valamilyen számmal jellemeznünk kell egy valószínűségi változó értékeinek helyzetét az x tengelyen, figyelembe véve azt a tényt, hogy ezeknek az értékeknek eltérő a valószínűsége. Erre a célra természetes az értékek ún. „súlyozott átlaga” használata, és az átlagolás során minden értéket ennek az értéknek a valószínűségével arányos „súllyal” kell figyelembe venni. Így kiszámítjuk a valószínűségi változó átlagát, amelyet a következőkkel jelölünk:

vagy tekintettel arra,

. (5.6.1)

Ezt a súlyozott átlagot a valószínűségi változó matematikai várakozásának nevezzük. Így figyelembe vettük a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalmát, a matematikai várakozás fogalmát.

A valószínűségi változó matematikai elvárása egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének és ezen értékek valószínűségeinek szorzatának összege.

Vegyük észre, hogy a fenti megfogalmazásban a matematikai elvárás definíciója szigorúan véve csak diszkrét valószínűségi változókra érvényes; Az alábbiakban ezt a fogalmat a folytonos mennyiségek esetére általánosítjuk.

A matematikai elvárás fogalmának egyértelműbbé tétele érdekében térjünk át egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának mechanikus értelmezésére. Legyenek az abszcissza tengelyen olyan pontok, amelyekben a tömegek összpontosulnak, ill. Ekkor nyilván az (5.6.1) képlettel definiált matematikai elvárás nem más, mint egy adott anyagi pontrendszer súlypontjának abszcisszája.

A valószínűségi változó matematikai elvárása egy sajátos függéssel függ össze a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával nagyszámú kísérlet során. Ez a függőség ugyanolyan típusú, mint a gyakoriság és a valószínűség közötti függés, nevezetesen: nagyszámú kísérlet esetén egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga megközelíti (valószínűségben konvergál) a matematikai elvárásaihoz. A gyakoriság és a valószínűség közötti összefüggés meglétéből következtethetünk hasonló összefüggés meglétére a számtani átlag és a matematikai elvárás között.

Valójában tekintsünk egy diszkrét valószínűségi változót, amelyet egy eloszlási sorozat jellemez:

Ahol .

Végezzünk független kísérleteket, amelyek mindegyikében a mennyiség egy bizonyos értéket vesz fel. Tegyük fel, hogy az érték egyszer jelent meg, az érték egyszer, és az érték egyszer. Magától értetődően,

Számítsuk ki a mennyiség megfigyelt értékeinek számtani átlagát, amit a matematikai elvárással ellentétben jelölünk:

De nincs más, mint egy esemény gyakorisága (vagy statisztikai valószínűsége); ez a frekvencia kijelölhető . Akkor

,

azok. egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga megegyezik a valószínűségi változó összes lehetséges értékének és ezen értékek gyakoriságának szorzatának összegével.

A kísérletek számának növekedésével a gyakoriságok közelednek (valószínűségben konvergálnak) a megfelelő valószínűségekhez. Következésképpen egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga a kísérletek számának növekedésével megközelíti (valószínűségében konvergál) a matematikai elvárásait.

A számtani átlag és a matematikai elvárás fentebb megfogalmazott kapcsolata alkotja a nagy számok törvényének egyik alakjának tartalmát. Ennek a törvénynek a szigorú bizonyítékát a 13. fejezetben fogjuk bemutatni.

Azt már tudjuk, hogy a nagy számok törvényének minden formája kimondja azt a tényt, hogy egyes átlagok nagyszámú kísérlet során stabilak. Itt a számtani átlag stabilitásáról beszélünk azonos mennyiségű megfigyeléssorozatból. Kis számú kísérlet esetén eredményeik számtani átlaga véletlenszerű; a kísérletek számának kellő növekedésével „szinte nem véletlenszerűvé” válik, és stabilizálódva megközelíti az állandó értéket - a matematikai elvárást.

A nagyszámú kísérlet átlagainak stabilitása kísérletileg könnyen igazolható. Például, amikor egy testet laboratóriumban precíz mérlegeken mérünk, a mérés eredményeként minden alkalommal új értéket kapunk; A megfigyelési hiba csökkentése érdekében a testet többször megmérjük, és a kapott értékek számtani átlagát használjuk. Könnyen belátható, hogy a kísérletek (mérések) számának további növekedésével a számtani átlag egyre kevésbé reagál erre a növekedésre, és kellően nagy számú kísérlet esetén gyakorlatilag megszűnik a változás.

A matematikai elvárás (5.6.1) képlete egy diszkrét valószínűségi változó esetének felel meg. Folytonos mennyiség esetén a matematikai elvárást természetesen nem összegként, hanem integrálként fejezzük ki:

, (5.6.2)

ahol a mennyiség eloszlási sűrűsége .

Az (5.6.2) képletet az (5.6.1) képletből kapjuk, ha a benne lévő egyes értékeket egy folyamatosan változó x paraméterrel, a megfelelő valószínűségeket a valószínűségi elemmel, a végső összeget pedig az integrállal helyettesítjük. A jövőben gyakran fogjuk használni ezt a módszert, amellyel a nem folytonos mennyiségekre levezetett képleteket a folytonos mennyiségekre is kiterjesztjük.

A mechanikus értelmezésben a folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása ugyanazt a jelentést tartja - a súlypont abszcisszája abban az esetben, ha a tömeg az abszcissza mentén folyamatosan, sűrűséggel oszlik el. Ez az értelmezés gyakran lehetővé teszi a matematikai elvárás megtalálását az integrál kiszámítása nélkül (5.6.2), egyszerű mechanikai megfontolások alapján.

Fentebb bevezettük a mennyiség matematikai elvárásának jelölését. Számos esetben, amikor egy mennyiség konkrét számként szerepel a képletekben, kényelmesebb egy betűvel jelölni. Ezekben az esetekben egy érték matematikai elvárását a következőképpen jelöljük:

A jelöléseket és a matematikai elvárásokat a jövőben párhuzamosan alkalmazzuk, a képletek egy-egy rögzítésének kényelmességétől függően. Egyezzünk meg abban is, hogy szükség esetén a „matematikai elvárás” szavakat m.o betűkkel rövidítsük.

Megjegyzendő, hogy a pozíció legfontosabb jellemzője - a matematikai elvárás - nem létezik minden valószínűségi változóra. Olyan valószínűségi változókra is lehet példákat állítani, amelyekre nem létezik matematikai elvárás, mivel a megfelelő összeg vagy integrál divergál.

Vegyünk például egy nem folytonos valószínűségi változót egy eloszlási sorozattal:

Könnyen ellenőrizhető, hogy pl. az elosztási sorozatnak van értelme; az összeg azonban ebben az esetben eltér, ezért az értékre nincs matematikai elvárás. Az ilyen esetek azonban a gyakorlat számára nem érdekesek. Általában az általunk kezelt valószínűségi változóknak korlátozott a lehetséges értékük, és természetesen matematikai elvárásaik is vannak.

Fentebb megadtuk az (5.6.1) és (5.6.2) képleteket, amelyek rendre kifejezik a matematikai elvárást egy nem folytonos, illetve egy folytonos valószínűségi változóra.

Ha egy mennyiség vegyes típusú mennyiségekhez tartozik, akkor matematikai elvárását egy képlet fejezi ki a következő képlettel:

, (5.6.3)

ahol az összeg kiterjed minden olyan pontra, ahol az eloszlásfüggvény nem folytonos, az integrál pedig minden olyan területre, ahol az eloszlásfüggvény folytonos.

A pozíció jellemzői közül a legfontosabb - a matematikai elvárás - mellett a gyakorlatban a pozíció egyéb jellemzőit is alkalmazzák, különösen egy valószínűségi változó módusát és mediánját.

Egy valószínűségi változó módusa a legvalószínűbb értéke. A "legvalószínűbb érték" kifejezés szigorúan véve csak nem folytonos mennyiségekre vonatkozik; folytonos mennyiség esetén a módusz az az érték, amelynél a valószínűségi sűrűség maximális. Egyezzünk meg abban, hogy a módot betűvel jelöljük. ábrán. Az 5.6.1 és 5.6.2 a nem folytonos és a folytonos valószínűségi változók módját mutatja.

Ha az eloszlási sokszögnek (eloszlási görbének) több maximuma van, akkor az eloszlást „multimodálisnak” nevezzük (5.6.3. és 5.6.4. ábra).

Néha vannak olyan eloszlások, amelyeknek a minimuma középen van, nem pedig a maximum (5.6.5. és 5.6.6. ábra). Az ilyen disztribúciókat „antimodálisnak” nevezik. Az antimodális eloszlásra példa az 5. példa 5.1. pontjában kapott eloszlás.

Általános esetben egy valószínűségi változó módusa és matematikai elvárása nem esik egybe. Abban az esetben, ha az eloszlás szimmetrikus és modális (azaz van módusa), és van egy matematikai elvárás, akkor az egybeesik az eloszlás módusával és szimmetriaközéppontjával.

Egy másik helyzetjellemzőt gyakran használnak - egy valószínűségi változó úgynevezett mediánját. Ezt a karakterisztikát általában csak folytonos valószínűségi változókra használják, bár formálisan meg lehet határozni egy nem folytonos változóhoz is.

Egy valószínűségi változó mediánja annak értéke, amelyre

azok. ugyanilyen valószínű, hogy a valószínűségi változó kisebb vagy nagyobb lesz, mint . Geometriailag a medián annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe által határolt területet felezik (5.6.7. ábra).

A lecke célja: fogalmat alkotni a tanulókban egy számhalmaz mediánjáról és az egyszerű numerikus halmazok kiszámításának képességéről, megszilárdítani a számkészlet számtani átlagának fogalmát.

Az óra típusa: új tananyag magyarázata.

Felszerelés: tábla, tankönyv szerk. Yu.N Tyurina „Valószínűségelmélet és statisztika”, számítógép projektorral.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Tájékoztassa az óra témáját, és fogalmazza meg céljait.

2. Korábbi ismeretek frissítése.

Kérdések diákoknak:

• Mi egy számhalmaz számtani középértéke?
• Hol található a számtani középérték a számok halmazán belül?
• Mi jellemzi egy számhalmaz számtani középértékét?
• Hol használják gyakran egy számhalmaz számtani középértékét?

Szóbeli feladatok:

Keresse meg egy számhalmaz számtani átlagát:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Házi feladat ellenőrzése projektorral ( 1. számú melléklet):

Tankönyv: 12. sz. (b, d), 18. sz. (c, d)

3. Új anyag tanulmányozása.

Az előző leckében egy olyan statisztikai jellemzővel ismerkedtünk meg, mint egy számhalmaz számtani átlaga. Ma egy másik statisztikai jellemzőnek – a mediánnak – szentelünk leckét.

Nem csak a számtani átlag mutatja meg, hogy a számegyenesen hol találhatók bármely halmaz számai és hol van a középpontjuk. Egy másik mutató a medián.

Egy számhalmaz mediánja az a szám, amely a halmazt két egyenlő részre osztja. A „medián” helyett mondhatjuk, hogy „közepes”.

Először nézzünk meg példákat a medián megtalálására, majd adjunk meg egy szigorú definíciót.

Tekintsük a következő szóbeli példát projektor használatával ( 2. függelék)

A tanév végén 11 7. osztályos tanuló teljesítette a 100 méteres futás normatíváját. A következő eredményeket rögzítették:

Miután a srácok lefutották a távot, Petya odalépett a tanárhoz, és megkérdezte, mi az eredménye.

„A legtöbb átlagos eredmény: 16,9 másodperc” – válaszolta a tanár.

"Miért?" – lepődött meg Petya. – Végül is az összes eredmény számtani átlaga hozzávetőlegesen 18,3 másodperc, és több mint egy másodperccel jobban futottam. És általában véve, Katya eredménye (18,4) sokkal közelebb áll az átlaghoz, mint az enyém.”

„Átlagos az eredményed, hiszen öten futottak jobban nálad, öten pedig rosszabbul. Vagyis pont a közepén vagy” – mondta a tanár. [2]

Írjon fel egy algoritmust egy számhalmaz mediánjának megtalálásához:

1. Rendezzünk egy számkészletet (készítsünk rangsorolt ​​sorozatot).
2. Ugyanakkor húzza át egy adott számkészlet „legnagyobb” és „legkisebb” számát, amíg egy vagy két szám nem marad.
3. Ha egy szám maradt, akkor az a medián.
4. Ha két szám maradt, akkor a medián a maradék két szám számtani átlaga lesz.

Kérd meg a tanulókat, hogy önállóan fogalmazzák meg egy számhalmaz mediánjának meghatározását, majd olvassák el a medián két definícióját a tankönyvben (50. o.), majd nézzék meg a tankönyv 4. és 5. példáját (50-52. o.)

Megjegyzés:

Felhívjuk a hallgatók figyelmét egy fontos tényre: a medián gyakorlatilag érzéketlen a számkészletek egyéni szélsőértékeinek jelentős eltéréseire. A statisztikákban ezt a tulajdonságot stabilitásnak nevezik. A statisztikai mutató stabilitása nagyon fontos tulajdonság, amely megvéd minket a véletlenszerű hibáktól és az egyedi megbízhatatlan adatoktól.

4. A tanult anyag konszolidálása.

Számok megoldása a tankönyvből a 11. „Medián” bekezdéshez.

Számkészlet: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Számkészlet: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Számhalmaz: 3,4,11,17,21

b) Számkészlet: 17,18,19,25,28

c) Számok halmaza: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Következtetés: a páratlan számú tagból álló számhalmaz mediánja megegyezik a középen lévő számmal.

a) Számkészlet: 2, 4, 8 , 9.

Me = (4+8):2=12:2=6

b) Számkészlet: 1,3, 5,7 ,8,9.

Me = (5+7):2=12:2=6

A páros számú tagot tartalmazó számhalmaz mediánja egyenlő a középen lévő két szám összegének felével.

A tanuló az alábbi osztályzatokat kapta algebrából a negyedév során:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Keresse meg ennek a halmaznak az átlagát és mediánját. [3]

Rendezzük a számkészletet: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Csak 10 szám van, a medián meghatározásához vegyük a két középső számot, és keressük meg a félösszegüket.

Me = (5+5):2 = 5

Kérdés a diákoknak: Ha tanár lennél, milyen osztályzatot adnál erre a tanulóra a negyedévben? Válaszát indokolja.

A cég elnöke 300 000 rubel fizetést kap. három helyettese fejenként 150 000 rubelt, negyven alkalmazottat - fejenként 50 000 rubelt kap. a takarítónő fizetése pedig 10 000 rubel. Keresse meg a fizetések számtani átlagát és mediánját a vállalatnál. Az alábbi tulajdonságok közül melyiket hasznosítja az elnök reklámcélokra?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (dörzsölés)

3. feladat (Kérje meg a tanulókat, hogy oldják meg maguk, vetítsék ki a problémát projektorral)

A táblázat az oroszországi legnagyobb tavak és tározók hozzávetőleges vízmennyiségét mutatja köbméterben. km. (3. függelék) [ 4 ]

A) Határozza meg a víz átlagos térfogatát ezekben a tározókban (számtani átlag);

B) Határozza meg a víz térfogatát a tározó átlagos méretében (az adatok mediánja);

K) Véleménye szerint ezek közül a jellemzők közül melyik – a számtani átlag vagy a medián – írja le jobban egy tipikus nagy oroszországi tározó térfogatát? Magyarázza meg válaszát.

a) 2459 köbméter km

b) 60 cu. km

c) Medián, mert az adatok olyan értékeket tartalmaznak, amelyek nagyon különböznek az összes többitől.

Feladat 4. Szóbeli.

A) Hány szám van egy halmazban, ha kilencedik tagja a mediánja?

B) Hány szám van egy halmazban, ha annak mediánja a 7. és 8. tag számtani középértéke?

C) Egy hét számból álló halmazban a legnagyobb szám 14-gyel nő. Megváltoztatja-e ez a számtani átlagot és a mediánt?

D) A halmazban lévő számok mindegyikét 3-mal növeljük. Mi történik a számtani átlaggal és a mediánnal?

Az édességeket a boltban súly szerint értékesítik. Hogy megtudja, hány cukorka van egy kilogrammban, Masha úgy döntött, hogy megkeresi egy cukorka súlyát. Több cukorkát is kimért, és a következő eredményeket érte el:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Mindkét jellemző alkalmas egy cukorka súlyának becslésére, mert nem nagyon különböznek egymástól.

Tehát a statisztikai információk jellemzésére a számtani átlagot és a mediánt használjuk. Sok esetben előfordulhat, hogy az egyik jellemzőnek nincs értelme (például a közúti balesetek idejére vonatkozó információk birtokában aligha van értelme ezen adatok számtani átlagáról beszélni).

1. Házi feladat: 11. bekezdés, 3,4,9,11.
2. Óra összefoglalója. Visszaverődés.

Irodalom:

1. Yu.N. Tyurin et al. „Valószínűségelmélet és statisztika”, MTsNMO Kiadó, OJSC „Moszkva tankönyvek”, Moszkva 2008.
2. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev „A statisztika és valószínűség alapjai”, DROFA, Moszkva 2004.
3. „Matematika” újság 2007. 23. sz.
4. A valószínűségszámítás és a statisztika tesztjének bemutató változata a 7. évfolyamra, 2007/2008-as tanévben. év.

Divat() folytonos valószínűségi változó értéke, amely megfelel a valószínűségi sűrűség maximális értékének.

Középső() A folytonos valószínűségi változó az értéke, amelyet az egyenlőség határoz meg:

B15. A binomiális eloszlás törvénye és numerikus jellemzői. Binomiális eloszlás ismételt független kísérleteket ír le. Ez a törvény határozza meg egy esemény egyszeri előfordulását független kísérletekben, ha az esemény bekövetkezésének valószínűsége ezekben a kísérletekben nem változik kísérletről próbára. Valószínűség:

,

ahol: egy kísérletben egy esemény bekövetkezésének ismert valószínűsége, amely kísérletről kísérletre nem változik;

– annak valószínűsége, hogy a kísérletben egy esemény nem következik be;

– az esemény meghatározott számú előfordulása a kísérletekben;

– az elemek kombinációinak száma .

B15. Egységes eloszlási törvény, eloszlásfüggvény és sűrűség grafikonjai, numerikus jellemzők. Folytonos valószínűségi változót veszünk figyelembe egyenlően elosztott, ha a valószínűségi sűrűsége a következő alakú:

Várható érték egyenletes eloszlású valószínűségi változó:

Diszperzió a következőképpen számolható:

Szórásígy fog kinézni:

.

B17. Exponenciális eloszlási törvény, eloszlásfüggvény és sűrűség grafikonjai, numerikus jellemzők. Exponenciális eloszlás A folytonos valószínűségi változó egy olyan eloszlás, amelyet a valószínűségi sűrűség következő kifejezése ír le:

,

ahol egy állandó pozitív érték.

A valószínűségi eloszlás függvény ebben az esetben a következő formájú:

Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárását az általános képlet alapján kapjuk meg, figyelembe véve, hogy amikor:

.

Ezt a kifejezést részenként integrálva a következőket kapjuk: .

Az exponenciális eloszlás varianciáját a következő kifejezéssel kaphatjuk meg:

.

A valószínűségi sűrűség kifejezést behelyettesítve a következőket kapjuk:

Az integrált részenkénti kiszámításával kapjuk: .

B16. Normál eloszlási törvény, eloszlásfüggvény és sűrűség grafikonjai. Szabványos normál eloszlás. Visszavert normál eloszlási függvény. Normál egy olyan valószínűségi változó eloszlását nevezzük, amelynek valószínűségi sűrűségét a Gauss-függvény írja le:

hol van a szórás;

– egy valószínűségi változó matematikai elvárása.

A normál eloszlás sűrűséggráfját normál Gauss-görbének nevezzük.

B18. Markov egyenlőtlensége. Általános Csebisev-egyenlőtlenség. Ha egy valószínűségi változóhoz x létezik, akkor bárkire igaz Markov egyenlőtlenség .

Ebből következik általánosított Csebisev-egyenlőtlenség: Legyen a függvény monoton növekvő és nem negatív -on. Ha egy valószínűségi változóhoz x létezik, akkor az egyenlőtlenség bárkire érvényes .

B19. A nagy számok törvénye Csebisev formában. A jelentése. A nagy számok törvényének következménye Csebisev formában. A nagy számok törvénye Bernoulli formában. Alatt nagy számok törvénye A valószínűségszámításban számos tételt megértenek, amelyek mindegyike megállapítja nagyszámú kísérleti adat átlagértékének aszimptotikus közelítését egy valószínűségi változó matematikai elvárásaihoz. Ezeknek a tételeknek a bizonyítása Csebisev egyenlőtlenségén alapul. Ezt az egyenlőtlenséget egy lehetséges értékekkel rendelkező diszkrét valószínűségi változó figyelembevételével kaphatjuk meg.

Tétel. Legyen véges sorozat független valószínűségi változók, ugyanazzal a matematikai elvárással és szórással, ugyanazzal az állandóval korlátozva:

Ezután bármilyen szám is legyen , az esemény valószínűsége

egységre hajlamos .

Csebisev tétele kapcsolatot hoz létre a valószínűségelmélet, amely egy valószínűségi változó teljes értékkészletének átlagos jellemzőit veszi figyelembe, és a matematikai statisztika között, amely ennek a változónak egy korlátozott értékkészletén működik. Azt mutatja, hogy egy bizonyos valószínűségi változó kellően nagy számú mérése esetén ezeknek a méréseknek az értékeinek számtani átlaga megközelíti a matematikai elvárást.

20-BAN. A matematikai statisztika tárgya és feladatai. Általános és mintapopulációk. Kiválasztási módszer. Matematikai statisztika– a matematikai módszerek tudománya a statisztikai adatok rendszerezésére és felhasználására tudományos és gyakorlati következtetések levonására, a valószínűség elméletére alapozva.

A matematikai statisztika vizsgálati tárgyai a véletlenszerű események, mennyiségek és függvények, amelyek a vizsgált véletlenszerű jelenséget jellemzik. A következő események véletlenszerűek: egy pénzes sorsjegy nyerése, az ellenőrzött termék előírt követelményeknek való megfelelése, a jármű üzemelése első hónapjában zavartalan működés, a napi munkarend teljesítése a vállalkozó által.

Mintapopuláció véletlenszerűen kiválasztott objektumok gyűjteményének nevezzük.

Általános népesség nevezze meg az objektumok halmazát, amelyből a minta készül.

21-KOR. Kiválasztási módszerek.

Kiválasztási módszerek: 1 Kiválasztás, amely nem igényli az általános sokaság részekre osztását. Ide tartozik a) egyszerű véletlenszerű mintavétel ismétlés nélkül és b) egyszerű véletlenszerű ismételt mintavétel. 2) Kiválasztás, amelyben a sokaságot részekre osztják. Ide tartozik a) tipikus kiválasztás, b) mechanikai kiválasztás és c) soros kiválasztás.

Egyszerű véletlen kiválasztásnak nevezzük, melynek során az objektumokat egyenként kinyerjük a sokaságból.

Tipikus kiválasztásnak nevezzük, amelyben az objektumok nem a teljes sokaságból, hanem annak minden „tipikus” részéből kerülnek kiválasztásra.

Mechanikai szelekciónak nevezzük, amelyben a sokaságot mechanikusan annyi csoportra osztjuk, ahány objektum szerepel a mintában, és minden csoportból kiválasztunk egy objektumot.

Sorozatszám szelekciónak nevezzük, amelyben az objektumokat nem egyenként választják ki az általános sokaságból, hanem „sorozatokban”, amelyeket folyamatos felmérésnek vetnek alá.

B22. Statisztikai és variációs sorozatok. Az empirikus eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Variációs sorozatok diszkrét és folytonos valószínűségi változókhoz. Vegyünk egy mintát az általános sokaságból, és a vizsgált paraméter értékét egyszer, egyszer stb. Ráadásul a minta mérete. A megfigyelt értékeket ún lehetőségek, és a növekvő sorrendben írt opciók sorrendje a variációs sorozat. A megfigyelések számát ún frekvenciák, és kapcsolatuk a minta méretével - relatív gyakoriságok.Variációs sorozat táblázattal ábrázolható, például:

x			…..
n			….

Statisztikai mintaeloszlás nevezze meg az opciók listáját és a hozzájuk tartozó relatív gyakoriságukat. A statisztikai eloszlás a következőképpen ábrázolható:

x			…..
w			….

hol vannak a relatív gyakoriságok.

Empirikus eloszlásfüggvény függvényt hívunk, amely minden x értékhez meghatározza az X esemény relatív gyakoriságát

A matematikai elváráson és diszperzión kívül a valószínűségszámítás számos numerikus jellemzőt használ, amelyek az eloszlás bizonyos jellemzőit tükrözik.

Meghatározás. Egy X valószínűségi változó Mo(X) módusa a legvalószínűbb értéke(amire a valószínűség r g vagy valószínűségi sűrűség

Ha a valószínűség vagy a valószínűségi sűrűség egynél több pontban eléri a maximumot, akkor az eloszlást hívjuk kombinált(3.13. ábra).

Divat Moha), milyen valószínűséggel R ( vagy a valószínűségi sűrűséget (p(x) elér egy globális maximumot) nevezzük legvalószínűbb jelentése valószínűségi változó (a 3.13. ábrán ez az Mo(X) 2).

Meghatározás. Egy X folytonos valószínűségi változó mediánja Ме(Х) az értéke, amelyekre

azok. annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x a mediánnál kisebb értéket vesz fel Szőrme) vagy nagyobb annál, azonos és egyenlő 1/2. Geometriailag függőleges egyenes vonal x = Szőrme), áthalad egy ponton, amelynek abszcisszán egyenlő Szőrme), az eloszlási görbe jód alakjának területét két egyenlő részre osztja (3.14. ábra). Nyilván a ponton x = Szőrme) az eloszlásfüggvény egyenlő 1/2, azaz. P(én(X))= 1/2 (3.15. ábra).

Vegyük észre a valószínűségi változó mediánjának egy fontos tulajdonságát: az X valószínűségi változó C állandó értéktől való eltérésének abszolút értékének matematikai elvárása minimális akkor, amikor ez a C állandó egyenlő a Me(X) = m mediánnal, azaz

(a tulajdonság hasonló egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérése minimális négyzetének (3,10") tulajdonságához).

O 3.15. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó módusát, mediánját és matematikai elvárásait X s valószínűségi sűrűség f(x) = 3x 2 xx esetén.

Megoldás. Az eloszlási görbe a ábrán látható. 3.16. Nyilvánvaló, hogy a φ(x) valószínűségi sűrűség maximális at x= Mo(X) = 1.

Középső Szőrme) = b a (3.28) feltételből kapjuk:

ahol

Számítsuk ki a matematikai elvárást a (3.25) képlet segítségével:

A pontok kölcsönös elrendezése M(X)>Me(X) És Moha) ábrán látható abszcissza növekvő sorrendben. 3.16. ?

A fent említett numerikus jellemzők mellett a kvantilisek és százalékpontok fogalmát használják a valószínűségi változó leírására.

Meghatározás. Kvantilis szint y-kvantilis )

egy valószínűségi változónak ezt az x q értékét nevezzük , amelynél az eloszlásfüggvénye egyenlő értéket vesz fel meghal.

Néhány kvantilis különleges nevet kapott. Nyilvánvalóan a fentiek bevezették középső a valószínűségi változó egy 0,5 szintű kvantilis, azaz. Me(X) = x 05. A dg 0 2 5 és x 075 kvantiliseket rendre elnevezték Alsó És felső kvartilisK

A kvantilis fogalmához szorosan kapcsolódik a fogalom százalékponttal. Alatt YuOuHo-noy pont kvantilis utal x x (( , azok. egy olyan valószínűségi változó értéke X, ahol

0 Példa 3.16. A 3.15. példa adatai alapján keresse meg a kvantilist x 03 és a valószínűségi változó 30%-a X.

Megoldás. A (3.23) képlet szerint az eloszlásfüggvény

A (3.29) egyenletből megtaláljuk a 0 s kvantilist, azaz. x $ 3 =0,3, innen L "oz -0,67. Keressük a valószínűségi változó 30%-os pontját X, vagy kvantilis x 0 7, az egyenletből. x $ 7 = 0,7, ahonnan x 0 7 «0,89. ?

A valószínűségi változók numerikus jellemzői közül különösen fontosak a pillanatok - kezdeti és központi.

Meghatározás. A kezdő pillanatEgy X valószínűségi változó k-edik sorrendje ennek a mennyiségnek a k-edik hatványának matematikai elvárása :

Meghatározás. Központi pillanataz X valószínűségi változó k-edik sorrendje egy X valószínűségi változó k-edik eltérésének matematikai elvárása a matematikai elvárásától:

Képletek a diszkrét valószínűségi változók momentumainak kiszámításához (értékek felvétele x 1 p,) és folytonos (cp(x) valószínűségi sűrűséggel) táblázatban adjuk meg. 3.1.

3.1. táblázat

Könnyen észrevehető, hogy mikor k = 1 valószínűségi változó első kezdeti momentuma x a matematikai elvárása, azaz. h x = M[X) = a, nál nél Nak nek= 2 másodperc központi momentum - diszperzió, i.e. p 2 = T)(X).

A p A központi momentumok a kezdeti momentumokkal fejezhetők ki, de a képletekkel:

stb.

Például c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX2 +Za2X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X2)+Za 2M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (a levezetés során figyelembe vettük, hogy A = M(X)= V, nem véletlenszerű érték). ?

Fentebb megjegyeztük, hogy a matematikai elvárás M(X), vagy az első kezdeti momentum, az átlagértéket vagy pozíciót, egy valószínűségi változó eloszlásának középpontját jellemzi x a számtengelyen; diszperzió ó), vagy a második központi momentum p 2, - s t s - eloszlási diszperziós csonk x viszonylag M(X). Az elosztás részletesebb leírásához a magasabb megbízások pillanatait használjuk.

Harmadik központi pont A p 3 az eloszlás aszimmetriájának (ferdeségének) jellemzésére szolgál. Mérete egy véletlenszerű kocka. A dimenzió nélküli mennyiség eléréséhez el kell osztani o 3-mal, ahol a a valószínűségi változó szórása X. A kapott érték A hívott valószínűségi változó aszimmetria együtthatója.

Ha az eloszlás szimmetrikus a matematikai elváráshoz képest, akkor az aszimmetria-együttható A = 0.

ábrán. A 3.17. ábra két eloszlási görbét mutat: I. és II. Az I. görbe pozitív (jobb oldali) aszimmetriájú (L > 0), a II. görbe negatív (bal oldali) aszimmetriával (L)

Negyedik központi pont A p 4 az eloszlás meredekségének (élességének vagy laposságának) jellemzésére szolgál.

Várható érték. Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó x, véges számú értéket vesz fel xén valószínűségekkel Rén, az összeg neve:

Matematikai elvárás folytonos valószínűségi változó xértékei szorzatának integráljának nevezzük x a valószínűségi eloszlás sűrűségéről f(x):

(6b)

Nem megfelelő integrál (6 b) abszolút konvergensnek tételezzük fel (egyébként azt mondják, hogy a matematikai elvárás M(x) nem létezik). A matematikai elvárás jellemzi átlagos érték valószínűségi változó x. Dimenziója egybeesik a valószínűségi változó dimenziójával.

A matematikai elvárás tulajdonságai:

Diszperzió. Variancia valószínűségi változó x a számot úgy hívják:

A szórás az szórási jellemző valószínűségi változó értékek xátlagos értékéhez képest M(x). A variancia dimenziója egyenlő a valószínűségi változó négyzetes dimenziójával. A variancia (8) és a matematikai elvárás (5) definíciója alapján egy diszkrét valószínűségi változóra és (6) egy folytonos valószínűségi változóra, hasonló kifejezéseket kapunk a variancia számára:

(9)

Itt m = M(x).

Diszperziós tulajdonságok:

Szórás:

(11)

Mivel a szórásnak ugyanaz a dimenziója, mint egy valószínűségi változónak, gyakrabban használják a szóródás mértékeként, mint a variancia mértékeként.

Az elosztás pillanatai. A matematikai elvárás és a diszperzió fogalma a valószínűségi változók numerikus jellemzőinek általánosabb koncepciójának speciális esetei. elosztási pillanatok. A valószínűségi változó eloszlásának pillanatait egy valószínűségi változó néhány egyszerű függvényének matematikai elvárásaiként mutatjuk be. Szóval, a rendelés pillanata k ponthoz képest x A 0-t matematikai elvárásnak nevezzük M(x–x 0 )k. Pillanatok az eredetről x= 0 hívják kezdeti pillanatokés jelölésük:

(12)

Az első sorrend kezdeti momentuma a vizsgált valószínűségi változó eloszlásának középpontja:

(13)

Pillanatok az elosztási központról x= m hívják központi pontokés jelölésük:

(14)

A (7)-ből az következik, hogy az elsőrendű központi momentum mindig nulla:

A központi momentumok nem függenek a valószínűségi változó értékeinek eredetétől, mivel állandó értékkel eltolva VAL VEL elosztási központja azonos értékkel tolódik el VAL VEL, és a középponttól való eltérés nem változik: x – m = (x – VAL VEL) – (m – VAL VEL).
Most már ez nyilvánvaló diszperzió- Ezt másodrendű központi momentum:

Aszimmetria. Harmadik rendű központi momentum:

(17)

értékelésére szolgál eloszlási aszimmetriák. Ha az eloszlás szimmetrikus a pontra x= m, akkor a harmadrendű központi momentum egyenlő lesz nullával (mint minden páratlan sorrendű központi momentum). Ezért ha a harmadrendű központi momentum eltér nullától, akkor az eloszlás nem lehet szimmetrikus. Az aszimmetria nagyságát dimenzió nélküli módszerrel értékeljük aszimmetria együttható:

(18)

Az aszimmetria-együttható előjele (18) jobb vagy bal oldali aszimmetriát jelez (2. ábra).

Rizs. 2. Az eloszlási aszimmetria típusai.

Felesleg. Negyedrendű központi momentum:

(19)

értékelésére szolgál az ún többlet, amely az eloszlás középpontja közelében lévő eloszlási görbe meredekségének (csúcsosságának) mértékét határozza meg a normál eloszlási görbéhez képest. Mivel normál eloszlás esetén a kurtosis értéke a következő:

(20)

ábrán. A 3. ábra példákat mutat be eloszlási görbékre, amelyek különböző görtózisértékekkel rendelkeznek. Normál eloszláshoz E= 0. A normálnál hegyesebb görbék pozitív görbülettel rendelkeznek, a laposabbak negatív görbék.

Rizs. 3. Változó fokú meredekségű eloszlási görbék (kurtózis).

A magasabb rendű nyomatékokat általában nem használják a matematikai statisztika mérnöki alkalmazásaiban.

Divat diszkrét a valószínűségi változó a legvalószínűbb értéke. Divat folyamatos valószínűségi változó annak értéke, amelynél a valószínűségi sűrűség maximális (2. ábra). Ha az eloszlási görbének van egy maximuma, akkor az eloszlást hívjuk unimodális. Ha egy eloszlási görbének több maximuma van, akkor az eloszlást hívjuk kombinált. Néha vannak olyan eloszlások, amelyek görbéinek minimuma van, nem pedig maximuma. Az ilyen eloszlásokat ún antimodális. Általános esetben egy valószínűségi változó módusa és matematikai elvárása nem esik egybe. Speciális esetben azért modális, azaz módussal, szimmetrikus eloszlással és feltéve, hogy van matematikai elvárás, ez utóbbi egybeesik az eloszlás módusával és szimmetriaközéppontjával.

Középső valószínűségi változó x- ez a jelentése Meh, amelyre érvényes az egyenlőség: i.e. ugyanilyen valószínű, hogy a valószínűségi változó x kevesebb vagy több lesz Meh. Mértanilag középső annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe alatti területet ketté kell osztani (2. ábra). Szimmetrikus modális eloszlás esetén a medián, a módus és a matematikai elvárás megegyezik.