Mennyi a szögek összege egy háromszögben. Háromszög szögeinek összege

1) Egy háromszög szögeinek összege 180°.

Bizonyíték

Legyen "ABC" tetszőleges háromszög. Rajzoljunk egy egyenest a B csúcson keresztül, párhuzamosan az AC egyenessel (az ilyen egyenest euklideszi egyenesnek nevezzük). Jelölje meg rajta a D pontot úgy, hogy az A és D pontokon legyen A BC egyenes szemközti oldalai. A DBC és ACB szögek egyenlőek a keresztben fekvő belső szögekkel, amelyeket a BC szekáns alkot az AC és BD párhuzamos egyenesekkel. Ezért a háromszög B és C csúcsaiban lévő szögeinek összege megegyezik az ABD szöggel Egy háromszög mindhárom szögének összege egyenlő az ABD és BAC szögek összegével.Mivel ezek a szögek egyoldalúak párhuzamos AC és BD esetén az AB szögben, így összegük 180°. A tétel bizonyítva .
2) A háromszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely a háromszögnek ebben a csúcsban bezárt szögével szomszédos.

Tétel: Egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két olyan szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Bizonyíték. Legyen ABC a megadott háromszög. A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel szerint
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
ez arra utal
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
A tétel bizonyítást nyert.

A tételből az következik:
A háromszög külső szöge nagyobb, mint a háromszög bármely szöge, amely nem szomszédos vele.
3) A háromszög szögeinek összege = 180 fok. Ha az egyik szög derékszögű (90 fok), akkor a másik kettő is 90. Ez azt jelenti, hogy mindegyik kisebb, mint 90, azaz hegyesek. ha az egyik szög tompaszögű, akkor a másik kettő 90-nél kisebb, vagyis egyértelműen hegyes.
4) tompa - több mint 90 fok
akut - kevesebb, mint 90 fok
5) a. Olyan háromszög, amelyben az egyik szög 90 fokos.
b. Lábak és hypotenusa
6) 6°. Mindegyik háromszögben a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben van, és fordítva: a nagyobb szög a nagyobb szöggel szemben van. Minden szakasznak egy és csak egy felezőpontja van.
7) A Pitagorasz-tétel szerint: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, ami azt jelenti, hogy a hipotenusz nagyobb, mint az egyes lábak
8) --- ugyanaz, mint a 7
9) Egy háromszög szögeinek összege 180 fok. és ha a háromszög mindkét oldala nagyobb lenne, mint a másik két oldal összege, akkor a szögek összege nagyobb lenne 180-nál, ami lehetetlen. Ezért a háromszög mindkét oldala kisebb, mint a másik két oldal összege.
10) Bármely háromszög szögeinek összege 180 fok.
Mivel ez a háromszög derékszögű, az egyik szöge derékszögű, azaz egyenlő 90 fokkal.
Ezért a másik két hegyesszög összege 180-90=90 fok.
11) 1. Tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelyben A szög derékszög, B szög = 30 fok és C szög = 60. Csatlakoztassunk az ABC háromszöghez egy egyenlő ABD háromszöget. BCD háromszögeket kapunk, amelyekben B = D szög = 60 fok, tehát DC = BC. De a konstrukció szerint az AC 1/2 BC, amit bizonyítani kellett.2. Ha egy derékszögű háromszög szára egyenlő a befogó felével, akkor az ezzel a szárral bezárt szög 30 fokkal. Bizonyítsuk be. Tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelynek AC szára egyenlő az AC befogó felével. Csatlakoztassunk az ABC háromszöghez egy egyenlő ABD háromszöget. Egy BCD egyenlő oldalú háromszöget kap. Egy egyenlő oldalú háromszög szögei egyenlőek egymással (mivel az egyenlő szögek egyenlő oldalakkal szemben helyezkednek el), így mindegyik = 60 fok. De DBC szög = 2 ABC szög, tehát ABC szög = 30 fok, amit bizonyítani kellett.

Ezt a tételt L. S. Atanasyan is megfogalmazza a tankönyvben. , és Pogorelov A.V. tankönyvében. . Ennek a tételnek a bizonyítása ezekben a tankönyvekben nem különbözik jelentősen, ezért bemutatjuk a bizonyítását például A. V. Pogorelov tankönyvéből.

Tétel: Egy háromszög szögeinek összege 180°

Bizonyíték. Legyen ABC a megadott háromszög. Rajzoljunk egy egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC egyenessel. Jelöljük rajta a D pontot úgy, hogy az A és D pont a BC egyenes ellentétes oldalán legyen (6. ábra).

A DBC és ACB szögek megegyeznek a belső keresztben fekvő szögekkel, amelyeket a BC szekáns alkot az AC és BD párhuzamos egyenesekkel. Ezért a háromszög szögeinek összege a B és C csúcsokban egyenlő az ABD szöggel. És egy háromszög mindhárom szögének összege egyenlő az ABD és BAC szögek összegével. Mivel ezek egyoldalú belső szögek párhuzamos AC és BD és AB szekáns esetén, ezek összege 180°. A tétel bizonyítást nyert.

Ennek a bizonyítéknak az az ötlete, hogy egy párhuzamos vonalat húzzunk, és jelezzük, hogy a szükséges szögek egyenlőek. Rekonstruáljuk egy ilyen kiegészítő konstrukció gondolatát úgy, hogy a gondolatkísérlet fogalmával bizonyítjuk ezt a tételt. A tétel bizonyítása gondolatkísérlet segítségével. Tehát gondolatkísérletünk tárgya egy háromszög szögei. Helyezzük őt mentálisan olyan körülmények közé, amelyekben a lényege különös biztonsággal feltárható (1. szakasz).

Ilyen feltételek a háromszög sarkainak olyan elrendezése, amelyben mindhárom csúcsuk egy pontban egyesül. Egy ilyen kombináció akkor lehetséges, ha a dőlésszög megváltoztatása nélkül lehetővé tesszük a sarkok „mozgatását” a háromszög oldalainak mozgatásával (1. ábra). Az ilyen mozgások lényegében későbbi mentális átalakulások (2. szakasz).

A háromszög szögeinek és oldalainak kijelölésével (2. ábra), a „mozgással” kapott szögekkel, ezzel mentálisan kialakítjuk azt a környezetet, összefüggésrendszert, amelyben gondolati tárgyunkat elhelyezzük (3. szakasz).

Az AB vonal, amely a BC vonal mentén „mozog” anélkül, hogy megváltoztatná a dőlésszögét, átviszi az 1-es szöget az 5-ös szögbe, az AC egyenes mentén „mozgó” szöget pedig a 2-es szöget a 4-es szögbe. Mivel ilyen „mozgás” esetén az AB egyenes nem változtatja meg az AC és BC egyenesek dőlésszögét, akkor nyilvánvaló a következtetés: az a és a1 sugarak párhuzamosak AB-vel és átalakulnak egymásba, a b és b1 sugarak pedig a BC, illetve AC oldalak folytatásai. Mivel a 3. szög és a b és b1 sugarak közötti szög függőleges, egyenlőek. Ezen szögek összege megegyezik az aa1 elforgatott szöggel, ami 180°-ot jelent.

KÖVETKEZTETÉS

A dolgozatban néhány iskolai geometriai tétel „konstruált” bizonyítását végeztem el, egy gondolatkísérlet szerkezetének felhasználásával, amelyek megerősítették a megfogalmazott hipotézist.

A bemutatott bizonyítékok olyan vizuális és érzékszervi idealizációkon alapultak: „kompresszió”, „nyújtás”, „csúszás”, amelyek lehetővé tették az eredeti geometriai objektum sajátos átalakítását és a gondolatra jellemző lényeges tulajdonságainak kiemelését. kísérlet. Ebben az esetben a gondolatkísérlet egy bizonyos „kreatív eszközként” működik, amely hozzájárul a geometriai ismeretek megjelenéséhez (például egy trapéz középvonaláról vagy egy háromszög szögeiről). Az ilyen idealizálások lehetővé teszik a bizonyítás egész gondolatának megragadását, a „kiegészítő konstrukció” végrehajtásának gondolatát, amely lehetővé teszi számunkra, hogy beszéljünk arról, hogy az iskolások tudatosabban megérthetik a formális deduktív bizonyítási folyamatot. geometriai tételek.

A gondolatkísérlet a geometriai tételek megszerzésének és felfedezésének egyik alapvető módszere. Módszertan kidolgozása szükséges a módszer hallgatóhoz való átadásához. Nyitott marad a kérdés a módszer „elfogadására” alkalmas tanuló életkoráról, az így bemutatott bizonyítékok „mellékhatásairól”.

Ezek a kérdések további tanulmányozást igényelnek. De mindenesetre egy biztos: a gondolatkísérlet fejleszti az elméleti gondolkodást az iskolásokban, ez az alapja, ezért a gondolatkísérletezés képességét fejleszteni kell.

Tétel. Egy háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Vegyünk egy ABC háromszöget (208. ábra). Jelöljük belső szögeit 1, 2 és 3 számokkal. Bizonyítsuk be

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Rajzoljunk át a háromszög valamelyik csúcsán, például B-n, egy AC-vel párhuzamos MN egyenest.

A B csúcsban három szöget kaptunk: ∠4, ∠2 és ∠5. Összegük egyenes szög, ezért egyenlő 180°-kal:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

De ∠4 = ∠1 belső keresztirányú szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és AB szekánssal.

∠5 = ∠3 - ezek belső keresztirányú szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és BC szekánssal.

Ez azt jelenti, hogy ∠4 és ∠5 helyettesíthető ∠1 és ∠3 értékekkel.

Ezért ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. A tétel bizonyítást nyert.

2. Háromszög külső szögének tulajdonsága.

Tétel. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Valójában az ABC háromszögben (209. ábra) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, de ∠ВСD is ennek a háromszögnek a külső szöge, amely nem szomszédos ∠1 és ∠2, szintén 180°. -∠3.

És így:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Ezért ∠1 + ∠2= ∠BCD.

A háromszög külső szögének származtatott tulajdonsága tisztázza a háromszög külső szögére vonatkozó, korábban bizonyított tétel tartalmát, amely csak azt mondta ki, hogy a háromszög külső szöge nagyobb, mint a vele nem szomszédos háromszög minden belső szöge; most megállapítottuk, hogy a külső szög egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével.

3. 30°-os szögű derékszögű háromszög tulajdonsága.

Tétel. Egy derékszögű háromszög 30°-os szöggel szemben fekvő szára egyenlő a befogó felével.

Legyen B szög az ACB derékszögű háromszögben 30° (210. ábra). Ekkor a másik hegyesszöge 60° lesz.

Bizonyítsuk be, hogy az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével. Hosszabbítsuk meg az AC szakaszt a C derékszög csúcsán túl, és tegyünk félre egy CM szakaszt, amely megegyezik az AC szakasszal. Kössük össze az M pontot a B ponttal. A kapott ВСМ háromszög egyenlő az ACB háromszöggel. Látjuk, hogy az ABM háromszög minden szöge 60°, ezért ez a háromszög egyenlő oldalú háromszög.

Az AC láb egyenlő az AM felével, és mivel AM egyenlő az AB-vel, az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével.

>>Geometria: Egy háromszög szögeinek összege. Teljes leckék

ÓRA TÉMA: Egy háromszög szögeinek összege.

Az óra céljai:

• A tanulók tudásának megszilárdítása és tesztelése a következő témában: „Háromszög szögeinek összege”;
• A háromszög szögei tulajdonságainak bizonyítása;
• Ennek a tulajdonságnak az alkalmazása egyszerű problémák megoldásában;
• Történelmi anyag felhasználása a tanulók kognitív tevékenységének fejlesztésére;
• A pontosság készségének elsajátítása rajzok készítésekor.

Az óra céljai:

• Tesztelje a tanulók problémamegoldó képességeit.

Tanterv:

1. Háromszög;
2. Tétel a háromszög szögeinek összegéről;
3. Példafeladatok.

Háromszög.

Fájl: O.gif Háromszög- a legegyszerűbb sokszög, amelynek 3 csúcsa (szöge) és 3 oldala van; a sík három pont által határolt része és ezeket a pontokat páronként összekötő három szakasz.
A tér három pontja, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, egy és csak egy síknak felel meg.
Bármely sokszög háromszögekre osztható - ezt a folyamatot nevezik háromszögelés.
A matematikának van egy része, amely teljes egészében a háromszögek törvényeinek tanulmányozásával foglalkozik - Trigonometria.

Tétel a háromszög szögeinek összegéről.

Fájl:T.gif A háromszög szögösszeg tétele az euklideszi geometria klasszikus tétele, amely kimondja, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°.

Bizonyíték" :

Legyen adott Δ ABC. Rajzoljunk (AC)-vel párhuzamos egyenest a B csúcson, és jelöljük meg rajta a D pontot úgy, hogy az A és D pontok a BC egyenes ellentétes oldalain legyenek. Ekkor a szög (DBC) és a szög (ACB) megegyezik a BD és AC párhuzamos egyenesekkel és a szekánssal (BC) keresztben fekvő belső keresztben. Ekkor a háromszög B és C csúcsában lévő szögeinek összege egyenlő a szöggel (ABD). De az ABC háromszög A csúcsánál lévő szög (ABD) és szög (BAC) belső egyoldalú a BD és AC párhuzamos egyenesekkel és a szekánssal (AB), és ezek összege 180°. Ezért egy háromszög szögeinek összege 180°. A tétel bizonyítást nyert.

Következmények.

Egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két olyan szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Bizonyíték:

Legyen adott Δ ABC. A D pont az AC egyenesen van úgy, hogy A C és D között van. Ekkor a BAD kívül esik a háromszög A csúcsánál bezárt szögén, és A + BAD = 180°. De A + B + C = 180°, és ezért B + C = 180° – A. Ennélfogva ROSSZ = B + C. A következmény bizonyított.

Következmények.

A háromszög külső szöge nagyobb, mint a háromszög bármely szöge, amely nem szomszédos vele.

Feladat.

A háromszög külső szöge a háromszög bármely szögével szomszédos szög. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két, vele nem szomszédos szögének összegével.
(1. ábra)

Megoldás:

Legyen Δ ABC ∠DAС külső (1. ábra). Ekkor ∠DAC = 180°-∠BAC (a szomszédos szögek tulajdonsága alapján), a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel alapján ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Ezekből az egyenlőségekből kapjuk a ∠DAС=∠В+∠С

Érdekes tény:

Egy háromszög szögeinek összege" :

A Lobacsevszkij-geometriában a háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180. Az euklideszi geometriában mindig egyenlő 180-al. A Riemann geometriában a háromszög szögeinek összege mindig nagyobb, mint 180.

A matematika történetéből:

Eukleidész (Kr. e. 3. század) „Elemek” című művében a következő meghatározást adja: „A párhuzamos vonalak olyan vonalak, amelyek ugyanabban a síkban vannak, és mindkét irányban korlátlanul meghosszabbodva, egyik oldalon sem találkoznak egymással.”
Posidonius (Kr. e. 1. század) „Két egyenes vonal ugyanabban a síkban, egymástól egyenlő távolságra”
Az ókori görög tudós Pappus (Kr. e. III. század) bevezette a párhuzamos vonalak szimbólumát - az = jelet. Ezt követően Ricardo (1720-1823) angol közgazdász egyenlőségjelként használta ezt a szimbólumot.
Csak a 18. században kezdték el használni a szimbólumot a párhuzamos vonalakra - a || jelet.
A generációk közötti élő kapcsolat egy pillanatra sem szakad meg, nap mint nap tanuljuk az őseink által felhalmozott tapasztalatokat. Az ókori görögök megfigyelések és gyakorlati tapasztalatok alapján következtetéseket vontak le, hipotéziseket fogalmaztak meg, majd a tudósok találkozóin - szimpóziumokon (szó szerint "lakoma") - megpróbálták ezeket a hipotéziseket alátámasztani és bizonyítani. Akkoriban felmerült a kijelentés: „Az igazság vitában születik”.

Kérdések:

1. Mi az a háromszög?
2. Mit mond a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel?
3. Mekkora a háromszög külső szöge?