Számítsa ki a 4. rendű determinánst részletes megoldással! A determináns számítása

6. előadás

Mátrixok

6.1. Alapfogalmak

1. definíció.A mátrix egy téglalap alakú számtáblázat.

A mátrix jelzésére zárójeleket vagy dupla függőleges vonalakat használnak:

A mátrixot alkotó számokat mátrixnak nevezzük elemeket, elem mátrixok benne található sor és oszlop.

Számok És (egy mátrix sorainak és oszlopainak száma) sorrendjének nevezzük.

Azt is mondják - mátrix mérete
.

Ha
, mátrix hívott négyzet.

A rövid jelöléshez a jelölést is használják
(vagy
), valamint jelzi, hogy ezek milyen határokon belül változnak És , Például
,
,
. (A bejegyzés így hangzik: mátrix elemekkel ,között változik hogy ,-tól hogy .)

A négyzetmátrixok közül megjegyezzük átlós mátrixok, amelyben minden elem egyenlőtlen indexű (
) egyenlők nullával:

.

Azt fogjuk mondani, hogy az elemek
a főátlón található.

Az űrlap átlós mátrixa

hívott egyetlen mátrix.

A továbbiakban alakmátrixokkal találkozunk

És
,

amelyeket úgy hívnak háromszögű mátrixok, valamint egy oszlopból álló mátrixok:

és egy sor:

(oszlopmátrix és sormátrix).

Olyan mátrixot hívunk, amelynek minden eleme nulla null.

6.2. A rendet meghatározó tényezők n

Adjunk meg egy négyzetes sorrendű mátrixot :

. (6.1)

Mindenféle művet komponálunk különböző sorokban és különböző oszlopokban elhelyezkedő mátrixelemek, pl. formájú termékek

. (6.2)

A (6.2) alakú szorzatok száma egyenlő (elfogadjuk ezt a tényt bizonyítás nélkül).

Mindezeket a termékeket a rendelést meghatározó tagoknak tekintjük , amely a (6.1) mátrixnak felel meg.

A (6.2) faktorok második indexei az első permutációját képezik természetes számok
.

Mondják a számokat És a permutációban vannak inverzió, Ha
, és a permutációban korábban található .

1. példa Hat szám permutációjában,
, számok És ,És ,És ,És ,És inverziókat alkotnak.

A permutációt ún még, ha a benne lévő inverziók száma páros, és páratlan, ha a benne lévő inverziók száma páratlan.

2. példaÁtrendezés
páratlan, és a permutáció
- páros ( inverziók).

2. definíció.A sorrend meghatározója ,a mátrixnak megfelelő(6.1), algebrai összegnek nevezzük tagjai,a következőképpen áll össze:a determináns tagjai mind lehetséges szorzatok mátrix elemek,minden sorból és oszlopból vett egyet,és a kifejezést a jellel veszik"+",ha a második indexek halmaza a számok páros permutációja
,és jellel"–",ha páratlan.

A (6.1) mátrix determinánsát általában a következőképpen jelölik:

.

Megjegyzés. 2. definíció erre
És
a 2. és 3. rend már ismert meghatározóihoz vezet:

,

Transzponálás a mátrix főátlója körül mátrixba való átmenetnek nevezzük
, amelyre a mátrix sorai oszlopok és oszlopok sorok:

.

Azt fogjuk mondani, hogy a meghatározó
a determináns transzponálásával kapott .

Az n sorrenddetermináns tulajdonságai:

1.
(a determináns nem változik a főátló körüli transzponáláskor).

2. Ha a determináns egyik sora nullákból áll, akkor a determináns egyenlő nullával.

3. Két sor átrendezése esetén a determináns csak az előjelét változtatja meg.

4. Egy két azonos karakterláncot tartalmazó determináns egyenlő nullával.

5. Ha a determináns egy bizonyos karakterláncának minden elemét megszorozzuk egy számmal , a determináns szorozva lesz .

6. Egy két arányos egyenest tartalmazó determináns egyenlő nullával.

7. Ha minden elem -a determináns sorai összegként jelennek meg
, akkor a determináns egyenlő két olyan determináns összegével, amelyeknek minden sora, kivéve th, ugyanaz, mint az eredeti determinánsban, és Az egyik determináns -edik sora a következőkből áll , a másikban pedig - től .

3. definíció.A determináns harmadik sorát a fennmaradó sorok lineáris kombinációjának nevezzük,ha ilyen,mit, szorozva soron ,majd hozzáadjuk az összes sort,kivéve th,kapunk sor.

8. Ha egy determináns egyik sora a többi sor lineáris kombinációja, akkor a determináns nulla.

9. A determináns nem fog megváltozni, ha egy másik sor megfelelő elemeit, azonos számmal szorozva hozzáadjuk valamelyik sorának elemeihez.

Megjegyzés. Megfogalmaztuk a karakterláncok determinánsának tulajdonságait. 1. tulajdonság miatt (
) oszlopokra is érvényesek.

A fenti tulajdonságok mindegyike bebizonyosodott a gyakorlati gyakorlatok során
; önkényesnek bizonyíték nélkül elfogadjuk őket.

Ha a determinánsban rendelés elem kiválasztása és húzza át azt az oszlopot és sort, amelynek metszéspontjában található , a fennmaradó sorok és oszlopok alkotják a sorrendhatározót
amelyet úgy hívnak kiskorú döntő , az elemnek megfelelő .

3. példa A determinánsban

elem minor
a meghatározó
.

4. definíció.Algebrai komplementer elem döntő minornak hívják,szorozva
,Ahol - sorszám, - oszlopszám,amelyben a kiválasztott elem található .

4. példa A determinánsban

algebrai komplementer
.

1. tétel (a sorbővítésről).A determináns egyenlő bármely sor összes elemének és algebrai komplementereinek szorzatának összegével.

Az 1. tétel lehetővé teszi, hogy csökkentsük a sorrenddetermináns számítását a számításhoz sorrend meghatározói
.

5. példa. Számítsa ki a negyedrendű determinánst:

.

Használjuk az 1. tételt, és bővítsük ki a determinánst a 4. sorban:

Megjegyzés. Először leegyszerűsítheti a determinánst a 9. tulajdonság segítségével, majd az 1. Tétel segítségével. Ezután a sorrendi determináns kiszámítása számításon múlik csak egy sorrend meghatározó
.

6. példa. Számítsa ki

.

Adja hozzá az első oszlopot a másodikhoz, és az első oszlopot szorozza meg (
), a harmadikra, ennek eredményeként kapunk

.

Most alkalmazzuk az 1. tételt, és kiterjesztjük az utolsó sort:

,

a 4. rendű determináns számítását egy 3. rendű determináns kiszámítására redukáltuk.

,

a harmadrendű determináns számítását csupán egy másodrendű determináns számítására redukáltuk.

7. példa. Számítsa ki a sorrendhatározót :

.

Hozzáadjuk az első sort a másodikhoz, harmadikhoz stb. sor. Térjünk a meghatározóhoz

.

Egy háromszög determinánst kapunk.

Alkalmazható
alkalommal 1. Tétel (bontsa ki az első oszlopot), és kapja meg

.

Megjegyzés. A háromszöghatározó egyenlő a főátló elemeinek szorzatával.

6.3. Alapműveletek mátrixokkal

5. definíció.Két mátrix
,
,
,És
,
,
,egyenlőnek nevezzük őket, ha
.

Rövid bejegyzés:
.

Így két mátrixot egyenlőnek tekintünk, ha azonos sorrendűek, és a megfelelő elemeik egyenlőek.

6. definíció.Két mátrix összege
,
,
,És
,
,
,egy ilyen mátrixot hívnak
,
,
,Mi
.

Más szóval, csak azonos sorrendű mátrixok adhatók hozzá, és az összeadás elemenként történik.

8. példa. Keresse meg a mátrixok összegét

És
.

A 6. definícióval összhangban azt találjuk

.

A mátrixok összeadásának szabálya tetszőleges véges számú tag összegére vonatkozik.

7. definíció.Mátrix termék
,
,
,valós számra egy ilyen mátrixot hívnak
,
,
,amiért
.

Más szóval, egy mátrix számmal való megszorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal, és a kapott termékeket az eredeti helyükön kell hagynia.

9. példa. Keresse meg a lineáris kombinációt
mátrixok

És
.

A 7. definíciót használva azt kapjuk

,
,

.

Mátrixösszeadási műveletek tulajdonságai

és megszorozzuk egy számmal:

1. Az összeadás kommutatív:
.

2. Az összeadás asszociatív:.

3. Van egy nulla mátrix
, kielégíti a feltételt
mindenkinek A.

4. Bármilyen mátrixhoz A van egy ellentétes mátrix IN, kielégíti a feltételt
.

Bármilyen mátrixhoz AÉs INés bármilyen valós szám
a következő egyenlőségek érvényesek:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Ellenőrizzük az 1. tulajdonságot. Jelöljük
,
. Hadd
,

,
. megvan

és mivel az egyenlőség tetszőleges elemre igazolt, az 5. definíció szerint
. Az 1. tulajdonság bevált.

A 2. tulajdonság bizonyítása hasonló módon történik.

Mátrixként vegyük a sorrendi mátrixot
, amelynek minden eleme egyenlő nullával.

Összehajtva bármilyen mátrixszal a 6. definícióban megadott szabály szerint mátrixot készítünk ne változzon, és a 3. tulajdonság igaz.

Ellenőrizzük a 4. tulajdonságot. Let
. Tegyük fel
. Majd
, ezért a 4. tulajdonság igaz.

Az 5-8 tulajdonságok ellenőrzését mellőzzük.

8. definíció.Mátrix termék
,
,
,a mátrixhoz
,
,
,mátrixnak nevezzük
,
,
,elemekkel
.

Rövid bejegyzés:
.

10. példa. Keresse meg a mátrixok szorzatát

És
.

A 8. definícióval összhangban azt találjuk

11. példa. Szorozza meg a mátrixokat

És
.

1. megjegyzés. Elemek száma mátrixsorban egyenlő a mátrixoszlop elemeinek számával (mátrixoszlopok száma egyenlő a mátrix sorainak számával ).

2. megjegyzés. A mátrixban
annyi sor van, ahány a mátrixban , és annyi oszlop van, mint a benn .

3. megjegyzés. Általánosságban elmondható,
(a mátrixszorzás nem kommutatív).

A 3. megjegyzés alátámasztásához elegendő legalább egy példát felhozni.

12. példa. Szorozzuk meg a mátrixokat fordított sorrendben És a 10. példából.

így általában
.

Vegye figyelembe, hogy a speciális esetben az egyenlőség
Talán.

Mátrixok És , amelyre az egyenlőség érvényes
, hívják megváltoztatható, vagy ingázás.

Gyakorlatok.

1. Keresse meg az összes mátrixot, amely ingázik az adott mátrixszal:

A)
;
.

b)

2. Keresse meg az összes olyan másodrendű mátrixot, amelynek négyzete egyenlő a nulla mátrixszal!
.

3. Bizonyítsd be

A mátrixszorzás tulajdonságai:

A szorzás elosztó.
Legyen egy n x n méretű A négyzetmátrix. Meghatározás.
.
A determináns az elemek összes lehetséges szorzatának algebrai összege, amelyet az A mátrix minden oszlopából és sorából veszünk. Ha minden ilyen szorzatban (a determináns tagjában) a tényezők az oszlopok sorrendjében vannak elrendezve (vagyis a szorzatban az a ij elemek második indexei növekvő sorrendben vannak), akkor a (+) előjellel azok olyan termékeket veszünk, amelyeknél az első indexek permutációja páros, a (-) jellel pedig azokat, amelyeknél páratlan.

Itt van az inverziók száma az i 1, i 2, …, i n indexek permutációjában.

1. Determinánsok megtalálásának módszerei
2. Mátrix determinánsa sor- és oszlopbővítéssel minorokon keresztül.

Determináns háromszög alakúra redukálással (Gauss-módszer)

1. A determinánsok tulajdonságai
2. Amikor egy mátrixot transzponálunk, a determinánsa nem változik.
3. Ha egy determináns két sorát vagy két oszlopát felcseréli, a determináns előjelét változtatja, de abszolút értékében nem.
4. Legyen C = AB ahol A és B négyzetmátrixok. Ekkor detC = detA ∙ detB.
5. A két azonos sorral vagy két azonos oszloppal rendelkező determináns egyenlő 0-val. Ha egy bizonyos sor vagy oszlop minden eleme nulla, akkor maga a determináns nulla.
6. A háromszög alakú mátrix determinánsa megegyezik az átlós elemek szorzatával. Az átlós mátrix determinánsa megegyezik a főátlón lévő elemek szorzatával.
7. Ha egy sor (oszlop) minden elemét ugyanazzal a számmal szorozzuk meg, akkor a determináns ezzel a számmal lesz szorozva.
8. Ha egy determináns egy bizonyos sorának (oszlopának) minden elemét két tag összegeként adjuk meg, akkor a determináns egyenlő két determináns összegével, amelyekben ezen egy kivételével minden sor (oszlop) azonos, és ez a sor (oszlop) az első determináns az első, a másodikban pedig a második kifejezés.
9. Jacobi tétele: Ha a determináns egy bizonyos oszlopának elemeihez hozzáadjuk egy másik oszlop megfelelő elemeit, megszorozva egy tetszőleges λ tényezővel, akkor a determináns értéke nem változik.

Így a mátrix determinánsa változatlan marad, ha:

• transzponáló mátrix;
• bármely karakterlánchoz adjon hozzá egy másik karakterláncot tetszőleges számmal megszorozva.

1. feladat. Számítsa ki a determinánst soronkénti vagy oszloponkénti bővítéssel.
Megoldás :xml :xls
1. példa :xml :xls

2. feladat. Számítsa ki a determinánst kétféleképpen: a) a „háromszögek” szabály segítségével; b) vonal mentén történő bővítés.

Megoldás.
a) A mínusz előjelben szereplő kifejezések az oldalátlóhoz képest ugyanígy vannak megszerkesztve.

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
b) A mátrixot a következő formában írjuk fel:

A=

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

Fő meghatározó:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

3. feladat. Adja meg, hogy egy A negyedrendű négyzetmátrix determinánsa mivel egyenlő, ha rangja r(A)=1.
Válasz: det(A) = 0.

Számításuk módszerei

Meghatározás. Kifejezés

negyedrendű determinánsnak nevezzük. Ez a determináns így írható fel:

ahol az elem mollja az i-edik sor és a j-edik oszlop metszéspontjában, és ennek az elemnek az algebrai komplementere.

A (6) képlet az összegző ikon segítségével írható fel:

, (7)

ahol i=1,2,3,4.

A (7) képletet a determináns elemekre való kiterjesztésének nevezzük

i-edik sor. A determináns kiterjesztését a j-edik oszlop elemeibe is írhatjuk:

(8)

ahol j=1,2,3,4.

A determinánsok sorrendjének csökkentésére szolgáló módszer azon alapul, hogy a determináns sorának vagy oszlopának egy kivételével minden elemét nullára fordítjuk a determinánsok tulajdonságainak felhasználásával.

11. példa. Számítsd ki a determinánst

.

Megoldás. Adjuk hozzá az első sor elemeit a második sor elemeihez:

.

Az első sor elemeit megszorozzuk (-2)-vel, és hozzáadjuk a harmadik sor elemeihez:

.

Az első sor elemeit megszorozzuk (-1)-gyel, és hozzáadjuk a negyedik sor elemeihez:

.

Bővítsük ki a kapott determinánst az első oszlop elemeire

Rendezzük át az első két sort, és a determináns előjele egyidejűleg az ellenkezőjére változik, a harmadik oszlop 3 elemének közös tényezőjét a determináns előjelén túlra visszük:

.

Szorozzuk meg az első sor elemeit (-2)-vel, és adjuk hozzá a második sor elemeihez:

.

A kapott determinánst kiterjesztjük a második sor elemeire

12. példa. Számítsd ki a determinánst .

Megoldás. Cseréljük fel az első és a második sort, és a 2. tulajdonság szerint a determináns előjele az ellenkezőjére változik:

.

Először az első sor elemeit szorozzuk meg (-2)-vel, és adjuk hozzá a második és negyedik sor elemeihez, majd az első sor elemeit szorozzuk (-3)-mal, és adjuk hozzá a harmadik sort kapjuk:

.

A második sor elemeit hozzáadjuk a negyedik sor elemeihez:

.

A harmadik sor elemeit megszorozzuk (-1)-gyel, és hozzáadjuk a negyedik sor elemeihez:

.

Olyan háromszögdeterminánst kapunk, amelynek értéke megegyezik a főátló elemeinek szorzatával.

13. példa. Számítsd ki a determinánst

.

Megoldás. Bővítsük ki a determinánst a harmadik sor elemeire

A kapott harmadrendű determinánsokat a háromszögszabály segítségével számítjuk ki

Önálló megoldási feladatok.

1. Számítsa ki a determinánsokat:

2. Oldja meg az egyenleteket:

3. Oldja meg az egyenlőtlenségeket:

4. Számítsa ki a determinánsokat:

Válaszok: 1. a)7; b)26; c)0; d)0; e)30. 2 . a)5; b)2; c)2;

G) 3 . A) b) V) d)[-1;7]. 4 . a) -24; b) -40; c) -9; d) 57; e) -5; e) 1; g)1; h)55; i) 30; j) 48; l)0; m)-1004; n) 150.

Mátrixok

Alapfogalmak

Meghatározás. A mátrix egy téglalap alakú számtáblázat, amely m azonos hosszúságú sort és n azonos hosszúságú oszlopot tartalmaz, és amely a következő formában van felírva

(9)

vagy röviden, , Hol , (pl. ) – sorszám, (azok. ) – oszlopszám, a számokat mátrixelemeknek nevezzük. A mátrixot méretmátrixnak nevezik, és fel van írva. Például. , .

Meghatározás. Két mátrix És egyenlőek egymással, ha méretük egybeesik és a megfelelő elemeik egyenlőek, azaz. , Ha , Hol .

Például. Mivel a mátrixok mérete egybeesik és a megfelelő elemek egyenlőek, ezért a mátrixok egyenlőek, azaz.

Meghatározás. Négyzetnek nevezzük azt a mátrixot, amelyben a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. A méretű négyzetmátrixot n-edrendű mátrixnak nevezzük.

Például. azok. egy másodrendű mátrixot adunk meg.

Meghatározás. Átlónak nevezzük azt a négyzetmátrixot, amelyben a főátlón lévők kivételével minden elem egyenlő nullával.

Mátrix - átlós.

Meghatározás. Az olyan átlós mátrixot, amelyben a főátló minden eleme egyenlő eggyel, azonosságnak nevezzük. A levél jelzi.

vagy .

Meghatározás. A négyzetes mátrixot háromszög alakúnak nevezzük, ha a főátló felett (vagy a főátló alatt) lévő összes elem nulla.

vagy - háromszög alakú mátrixok.

Az n rendű négyzetmátrix fontos jellemzője a determinánsa (vagy determinánsa), amelyet vagy -vel jelölünk. .

Legyen egy n x n méretű A négyzetmátrix. Olyan négyzetmátrix, amelynek determinánsa nem nulla, azaz. , nem degeneráltnak nevezzük. Ellenkező esetben a mátrixot szingulárisnak nevezik.

Például,

Mátrix A– degenerált.

Mátrix IN– nem degenerált.

Meghatározás. Azt a mátrixot, amelynek minden eleme egyenlő nullával, nullának nevezzük, és O betűvel jelöljük.

A mátrixszámításban az O és E mátrixok a 0 és 1 számok szerepét töltik be az aritmetikában.

Meghatározás. Az egy sort tartalmazó mátrixot sormátrixnak nevezzük

Egy számból álló méretű mátrixot ezzel a számmal azonosítunk, azaz. van 3.

Meghatározás. Az adott mátrixot úgy kapjuk meg, hogy minden sorát azonos számú oszlopra cseréljük, az adott mátrixra transzponált mátrixnak nevezzük. Jelölve .

Ha , Azt , Ha , Azt .

A transzponált mátrix a következő tulajdonságokkal rendelkezik: .

A probléma megfogalmazása

A feladat megköveteli, hogy a felhasználó megismerje a numerikus módszerek alapfogalmait, mint például a determináns és az inverz mátrix, illetve ezek számítási módjait. Ez az elméleti jelentés először az alapfogalmakat és definíciókat mutatja be egyszerű és érthető nyelven, amelyek alapján további kutatások zajlanak. Előfordulhat, hogy a felhasználó nem rendelkezik speciális ismeretekkel a numerikus módszerek és a lineáris algebra területén, de ennek a munkának az eredményeit könnyen felhasználhatja. Az érthetőség kedvéért egy C++ programozási nyelven írt programot mutatunk be egy mátrix determinánsának több módszerrel történő kiszámítására. A programot laboratóriumi állványként használják a jelentés illusztrációinak elkészítéséhez. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldási módszereinek tanulmányozása is folyamatban van. Az inverz mátrix kiszámításának haszontalansága bebizonyosodott, így a munka optimálisabb megoldásokat kínál az egyenletek kiszámítása nélkül. Megmagyarázza, miért létezik olyan sok különböző módszer a determinánsok és inverz mátrixok kiszámítására, és kitér ezek hiányosságaira. A determináns számításánál felmerülő hibákat is figyelembe veszik, és értékelik az elért pontosságot. A munka az orosz kifejezések mellett azok angol megfelelőivel is megérti, hogy milyen néven érdemes numerikus eljárásokat keresni a könyvtárakban, és mit jelentenek azok paraméterei.

Alapdefiníciók és legegyszerűbb tulajdonságok

Döntő

Vezessük be egy tetszőleges rendű négyzetmátrix determinánsának definícióját. Ez a meghatározás lesz visszatérő, vagyis ahhoz, hogy megállapítsuk, mi a sorrendi mátrix determinánsa, már tudnia kell, hogy mi a sorrendi mátrix determinánsa. Vegye figyelembe azt is, hogy a determináns csak négyzetmátrixok esetén létezik.

A négyzetmátrix determinánsát vagy det-vel jelöljük.

1. definíció. Döntő négyzetmátrix második rendszámot hívják .

Döntő sorrendű négyzetmátrixot számnak nevezzük

ahol a mátrixból az első sor és oszlop törlésével kapott sorrendi mátrix determinánsa.

Az érthetőség kedvéért írjuk le, hogyan számíthatjuk ki egy negyedrendű mátrix determinánsát:

Megjegyzés. A definíció alapján a harmadrend feletti mátrixok determinánsainak tényleges számítását kivételes esetekben alkalmazzuk. Jellemzően a számítást más algoritmusok segítségével végzik, amelyekről később lesz szó, és amelyek kevesebb számítási munkát igényelnek.

Megjegyzés. Az 1. definícióban pontosabb lenne azt mondani, hogy a determináns egy függvény, amelyet a négyzetes mátrixok sorrendjének halmazán definiálunk, és értékeket vesz fel a számhalmazban.

Megjegyzés. A szakirodalomban a „determináns” kifejezés helyett a „determináns” kifejezést is használják, melynek jelentése megegyezik. A „determináns” szóból a det megjelölés jelent meg.

Tekintsük a determinánsok néhány tulajdonságát, amelyeket állítások formájában fogunk megfogalmazni.

1. állítás. Egy mátrix transzponálásakor a determináns nem változik, azaz .

2. állítás. A négyzetmátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a tényezők determinánsainak szorzatával, azaz.

3. állítás. Ha egy mátrix két sorát felcseréljük, a determináns előjelet vált.

4. állítás. Ha egy mátrixnak két egyforma sora van, akkor a determinánsa nulla.

A jövőben össze kell adnunk karakterláncokat, és meg kell szoroznunk egy karakterláncot egy számmal. Ezeket a műveleteket a sorokon (oszlopokon) ugyanúgy hajtjuk végre, mint a sormátrixokon (oszlopmátrixokon), vagyis elemenként. Az eredmény egy sor (oszlop) lesz, amely általában nem esik egybe az eredeti mátrix soraival. Ha vannak sorok (oszlopok) összeadásának és számmal való szorzásának műveletei, akkor beszélhetünk sorok (oszlopok) lineáris kombinációiról is, azaz numerikus együtthatós összegekről.

5. állítás. Ha egy mátrix egy sorát megszorozzuk egy számmal, akkor a determinánsa megszorozódik ezzel a számmal.

6. állítás. Ha egy mátrix nulla sort tartalmaz, akkor a determinánsa nulla.

7. állítás. Ha a mátrix egyik sora egyenlő egy másikkal, megszorozva egy számmal (a sorok arányosak), akkor a mátrix determinánsa egyenlő nullával.

8. állítás. Legyen a mátrix i-edik sorának alakja . Ezután, ahol a mátrixot úgy kapjuk meg a mátrixból, hogy az i-edik sort a sorra cseréljük, a mátrixot pedig úgy kapjuk meg, hogy az i-edik sort a sorra cseréljük.

9. állítás. Ha a mátrix egyik sorához egy újabb sort adunk, megszorozva egy számmal, akkor a mátrix determinánsa nem változik.

10. állítás. Ha a mátrix egyik sora a többi sor lineáris kombinációja, akkor a mátrix determinánsa egyenlő nullával.

2. definíció. Algebrai komplementer mátrixelemhez egyenlő szám, ahol a mátrixból az i-edik sor és a j-edik oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa. Egy mátrixelem algebrai komplementerét jelöli.

Példa. Hadd . Majd

Megjegyzés. Algebrai összeadásokkal 1 determináns definíciója a következőképpen írható fel:

11. nyilatkozat. A determináns kiterjesztése tetszőleges karakterláncban.

A mátrix determinánsának képlete az

Példa. Számítsa ki .

Megoldás. Használjuk a harmadik sor menti bővítést, ez jövedelmezőbb, mivel a harmadik sorban a három szám közül kettő nulla. Megkapjuk

12. állítás. Egy at sorrendű négyzetmátrix esetén a reláció teljesül: .

13. nyilatkozat. A sorokra megfogalmazott determináns minden tulajdonsága (1-11. állítás) az oszlopokra is érvényes, különösen a j-edik oszlopban a determináns felbontása érvényes és egyenlőség at .

14. nyilatkozat. A háromszög alakú mátrix determinánsa egyenlő a főátló elemeinek szorzatával.

Következmény. Az identitásmátrix determinánsa egyenlő eggyel, .

Következtetés. A fent felsorolt ​​tulajdonságok lehetővé teszik a kellően magas rendű mátrixok determinánsainak megtalálását viszonylag kis mennyiségű számítással. A számítási algoritmus a következő.

Algoritmus nullák létrehozására egy oszlopban. Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a sorrendhatározót. Ha , akkor cserélje fel az első sort és minden olyan sort, amelyben az első elem nem nulla. Ennek eredményeként a determináns , egyenlő lesz az új mátrix ellentétes előjelű determinánsával. Ha minden sor első eleme nulla, akkor a mátrixnak nulla oszlopa van, és az 1., 13. állítás szerint a determinánsa nulla.

Tehát úgy gondoljuk, hogy már az eredeti mátrixban. Az első sort változatlanul hagyjuk. Adja hozzá a második sorhoz az első sort szorozva a számmal. Ekkor a második sor első eleme egyenlő lesz .

Az új második sor fennmaradó elemeit , -vel jelöljük. Az új mátrix determinánsa a 9. állítás szerint egyenlő. Szorozzuk meg az első sort egy számmal, és adjuk hozzá a harmadikhoz. Az új harmadik sor első eleme egyenlő lesz

Az új harmadik sor többi elemét , -vel jelöljük. Az új mátrix determinánsa a 9. állítás szerint egyenlő.

Folytatjuk a nullák megszerzésének folyamatát a sorok első elemei helyett. Végül szorozza meg az első sort egy számmal, és adja hozzá az utolsó sorhoz. Az eredmény egy mátrix, jelöljük, amelynek van alakja

és . A mátrix determinánsának kiszámításához az első oszlopban a kiterjesztést használjuk

Azóta

A jobb oldalon a sorrendi mátrix determinánsa található. Ugyanezt az algoritmust alkalmazzuk rá, és a mátrix determinánsának kiszámítása a sorrendi mátrix determinánsának kiszámítására redukálódik. Addig ismételjük a folyamatot, amíg el nem érjük a definíció szerint kiszámított másodrendű determinánst.

Ha a mátrixnak nincsenek konkrét tulajdonságai, akkor a számítások mennyiségét nem lehet jelentősen csökkenteni a javasolt algoritmushoz képest. Ennek az algoritmusnak egy másik jó tulajdonsága, hogy könnyen használható számítógépes program létrehozására a nagy rendű mátrixok determinánsainak számítására. A determinánsok kiszámítására szolgáló szabványos programok ezt az algoritmust használják kisebb változtatásokkal, amelyek a kerekítési hibák és a bemeneti adatok hibáinak hatásának minimalizálására irányulnak a számítógépes számításokban.

Példa. A mátrix determinánsának kiszámítása .

Megoldás. Az első sort változatlanul hagyjuk. A második sorhoz hozzáadjuk az elsőt, megszorozva a számmal:

A meghatározó nem változik. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az elsőt, megszorozva a számmal:

A meghatározó nem változik. A negyedik sorhoz hozzáadjuk az elsőt, megszorozva a számmal:

A meghatározó nem változik. Ennek eredményeként azt kapjuk

Ugyanezzel az algoritmussal számítjuk ki a jobb oldalon található 3. rendű mátrix determinánsát. Az első sort változatlanul hagyjuk, az első sort a számmal szorozva adjuk hozzá a másodikhoz :

A harmadik sorhoz hozzáadjuk az elsőt, megszorozva a számmal :

Ennek eredményeként azt kapjuk

Válasz. .

Megjegyzés. Bár a számítások során törteket használtunk, az eredmény egész számnak bizonyult. Valójában a determinánsok tulajdonságaival és azzal a ténnyel, hogy az eredeti számok egészek, elkerülhetők a törtekkel végzett műveletek. De a mérnöki gyakorlatban a számok rendkívül ritkán egész számok. Ezért a determináns elemei általában tizedes törtek lesznek, és nem célszerű bármilyen trükköt alkalmazni a számítások egyszerűsítésére.

Inverz mátrix

3. definíció. A mátrix az ún inverz mátrix négyzetmátrixra, ha .

A definícióból az következik, hogy az inverz mátrix a mátrixéval azonos rendű négyzetmátrix lesz (különben az egyik szorzat vagy nem lenne definiálva).

A mátrix inverzét jelöli. Így ha létezik, akkor .

Az inverz mátrix definíciójából az következik, hogy a mátrix a mátrix inverze, azaz . A mátrixokról azt mondhatjuk, hogy egymással inverzek vagy kölcsönösen inverzek.

Ha egy mátrix determinánsa nulla, akkor az inverze nem létezik.

Mivel az inverz mátrix megtalálásához fontos, hogy a mátrix determinánsa egyenlő-e nullával vagy sem, a következő definíciókat vezetjük be.

4. definíció. Nevezzük négyzetmátrixnak elfajzott vagy speciális mátrix, ha , és nem degenerált vagy nem szinguláris mátrix, Ha .

Nyilatkozat. Ha létezik inverz mátrix, akkor az egyedi.

Nyilatkozat. Ha egy négyzetmátrix nem szinguláris, akkor az inverze létezik és (1) ahol az elemek algebrai kiegészítései.

Tétel. A négyzetes mátrix inverz mátrixa akkor és csak akkor létezik, ha a mátrix nem szinguláris, az inverz mátrix egyedi, és az (1) képlet érvényes.

Megjegyzés. Különös figyelmet kell fordítani az inverz mátrixképletben az algebrai összeadások által elfoglalt helyekre: az első index a számot mutatja oszlop, a második pedig a szám vonalak, amelybe be kell írni a számított algebrai összeadást.

Példa. .

Megoldás. A determináns megtalálása

Mivel , akkor a mátrix nem degenerált, és az inverze létezik. Algebrai komplementerek keresése:

Összeállítjuk az inverz mátrixot úgy, hogy a talált algebrai komplementereket úgy helyezzük el, hogy az első index az oszlopnak, a második pedig a sornak feleljen meg: (2)

A kapott mátrix (2) a probléma megoldásaként szolgál.

Megjegyzés. Az előző példában pontosabb lenne a választ így írni:
(3)

A (2) jelölés azonban kompaktabb, és szükség esetén kényelmesebb vele további számításokat végezni. Ezért célszerű a választ a (2) formában írni, ha a mátrixelemek egész számok. És fordítva, ha a mátrix elemei tizedes törtek, akkor jobb, ha az inverz mátrixot faktor nélkül írjuk fel.

Megjegyzés. Az inverz mátrix megtalálásakor elég sok számítást kell végrehajtania, és az algebrai összeadások elrendezésére vonatkozó szabály a végső mátrixban szokatlan. Ezért nagy a hiba valószínűsége. A hibák elkerülése érdekében ellenőrizze: számítsa ki az eredeti mátrix és a végső mátrix szorzatát ilyen vagy olyan sorrendben. Ha az eredmény egy identitásmátrix, akkor az inverz mátrixot helyesen találtuk meg. Ellenkező esetben meg kell keresni a hibát.

Példa. Keresse meg a mátrix inverzét .

Megoldás. - létezik.

Válasz: .

Következtetés. Az inverz mátrix megtalálása az (1) képlet segítségével túl sok számítást igényel. Negyedrendű és magasabb rendű mátrixok esetében ez elfogadhatatlan. Az inverz mátrix megtalálásának tényleges algoritmusát később adjuk meg.

A determináns és az inverz mátrix kiszámítása Gauss-módszerrel

A Gauss-módszer használható a determináns és az inverz mátrix megkeresésére.

Ugyanis a mátrix determinánsa egyenlő a det-vel.

Az inverz mátrixot lineáris egyenletrendszerek Gauss-eliminációs módszerrel történő megoldásával találjuk meg:

Ahol az azonosságmátrix j-edik oszlopa, ott a kívánt vektor.

A kapott megoldásvektorok nyilvánvalóan a mátrix oszlopait alkotják, hiszen .

A determináns képletei

1. Ha a mátrix nem szinguláris, akkor és (a vezető elemek szorzata).

Utasítás

Egy 5x5-ös mátrix determinánsának (Det A) kiszámításához rajzoljon elemeket az első sor mentén. Ehhez vegyük egy adott sor első elemét, és húzzuk ki a mátrixból azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában található. Írja fel a képletet az első és a kapott 4. rendű mátrix determinánsának szorzatára: a11*detM1 - ez lesz az első tag a Det A megtalálásához. A fennmaradó négybites M1 mátrixban később megtalálja a determinánst is. (kiegészítő moll).

Hasonlóképpen húzza ki egymás után a kezdeti mátrix első sorának 2, 3, 4 és 5 elemét tartalmazó oszlopot és sort, és mindegyikhez keresse meg a megfelelő 4x4-es mátrixot. Írja be ezen elemek szorzatait további minorokba: a12*detM2, a13*detM3, a14*detM4, a15*detM5.

Keresse meg a kapott 4. rendű mátrixok determinánsait! Ehhez használja ugyanazt a módszert a dimenzió csökkentésére. Szorozzuk meg az M1 mátrix első b11 elemét a maradék 3x3 mátrix determinánsával (C1). A háromdimenziós mátrix determinánsa könnyen meghatározható a következő képlettel: detC1 = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 - c21* c12*c33 - c13* c22*c31 - c11* c32*c23, ahol cij – a kapott C1 mátrix elemei.

Ezután hasonlóképpen vegyük figyelembe az M1 mátrix második b12 elemét, és számítsuk ki a kapott háromdimenziós mátrix megfelelő további kisebb detC2-jével. Ugyanígy keresse meg az első 4. rendű mátrix 3. és 4. elemének szorzatát. Ezután határozza meg a detM1 mátrix szükséges további mollját. Ehhez a sorbővítési képlet szerint: detМ1 = b11*detC1 - b12*detC2 + b13*detC3 - b14*detC4. Megszerezte az A hely megtalálásához szükséges első kifejezést.

Számítsa ki egy ötödrendű mátrix determinánsának fennmaradó tagjait az egyes negyedrendű mátrixok dimenziójának hasonló csökkentésével. Az utolsó: Det A = a11*detM1 - a12*detM2 + a13*detM3 - a14*detM4 + a15*detM5.

Utasítás

Ennek a műveletnek a legegyszerűbb és legtömörebb megfogalmazása a következő: a mátrixokat a „sorról oszlopra” algoritmussal szorozzuk.

Most többet erről a szabályról, valamint a lehetséges korlátozásokról és funkciókról.

Egy mátrix eggyel való szorzása az eredeti mátrixot önmagává alakítja (egyenértékű a számok szorzásával, ahol az egyik elem 1). Hasonlóképpen, ha nulla mátrixszal szorozunk, nulla mátrixot kapunk.

A műveletben részt vevő mátrixokra vonatkozó fő feltétel a végrehajtás módjából következik: az első mátrixban annyi sornak kell lennie, ahány oszlopnak a másodikban. Nem nehéz kitalálni, hogy különben egyszerűen nincs mit tenni.

Érdemes megjegyezni egy másik fontos szempontot is: a mátrixszorzásnak nincs kommutativitása (vagy „kommutációja”), vagyis A szor B nem egyenlő B-vel A-val. Emlékezzen erre, és ne keverje össze a számok szorzásának szabályával.

Most maga a szorzás tényleges folyamata.

Szorozzuk meg az A mátrixot a jobb oldali B mátrixszal.

Vegyük az A mátrix első sorát, és megszorozzuk annak i-edik elemét a B mátrix első oszlopának i-edik elemével. Az összes eredményt összeadjuk, és a végső mátrixba a11 helyére írjuk.

Ezután ugyanezt tesszük az A mátrix első sorával és a 3., 4. stb. a B mátrix oszlopait, így kitöltve a végső mátrix első sorát.

Most megyünk a második sorba, és ismét megszorozzuk egymás után az összes oszloppal, az elsőtől kezdve. Az eredményt a végső mátrix második sorába írjuk.

Aztán a 3., 4. stb.

Addig ismételjük, amíg az A mátrix összes sorát meg nem szorozzuk a B mátrix összes oszlopával.

Mátrixok hatékony módja a numerikus információk megjelenítésének. Bármely lineáris egyenletrendszer megoldása felírható mátrix (számokból álló téglalap) formájában. A mátrixok szorzásának képessége a felsőoktatásban a Lineáris Algebra kurzusokon tanított egyik legfontosabb készség.

Szükséged lesz

• Számológép

Utasítás

Ennek a feltételnek az ellenőrzésére a legegyszerűbb a következő algoritmus használata - írja be az első mátrix dimenzióját (a*b) alakban. Ekkor a második dimenzió (c*d). Ha b=c - a mátrixok arányosak, akkor szorozhatók.

Ezután hajtsa végre magát a szorzást. Ne feledje – ha két mátrixot megszoroz, egy mátrixot kap. Vagyis a szorzási probléma leredukálódik egy új, (a*d) dimenziójú megoldás megtalálásának problémájára. Az SI-ben a mátrixszorzási probléma így néz ki:
void matrixmult(int m1[n], int m1_sor, int m1_col, int m2[n], int m2_sor, int m2_col, int m3[n], int m3_sor, int m3_col)
( for (int i = 0; i< m3_row; i++)
for (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
for (int k = 0; k< m2_col; k++)
for (int i = 0; i< m1_row; i++)
for (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}

Egyszerűen fogalmazva, egy új mátrix az első mátrix sorelemeinek és a második mátrix oszlopelemeinek szorzatának összege. Ha Ön a harmadik mátrix eleme (1;2), akkor egyszerűen meg kell szoroznia az első mátrix első sorát a második második oszlopával. Ehhez tekintse a kezdeti összeget nullának. Ezután szorozza meg az első sor első elemét a második oszlop első elemével, hozzáadva az értéket az összeghez. Ezt tegye: szorozza meg az első sor i-edik elemét a második oszlop i-edik elemével, és adja hozzá az eredményeket az összeghez, amíg a sor véget nem ér. A teljes összeg lesz a szükséges elem.

Miután megtalálta a harmadik mátrix összes elemét, írja le. Megtaláltad munka mátrixok

Források:

• Oroszország fő matematikai portálja 2019-ben
• hogyan találjuk meg a mátrixok szorzatát 2019-ben

A mátrix determinánsa a lineáris algebra egyik legfontosabb fogalma. A mátrix determinánsa egy négyzetmátrix elemeinek polinomja. A negyedrendű determináns kiszámításához szükség van egy általános szabályra a determináns kiszámításához.

Szükséged lesz

Utasítás

A negyedik négyzetmátrix négy sorból és négy oszlopból áll. Determinánsát az ábrán látható általános rekurzív képlet segítségével számítjuk ki. M indexekkel ennek a mátrixnak egy további minora. A felül 1 indexű, alul 1-től n-ig terjedő indexű n M-es négyzetmátrix mollja a determinánsa a mátrixnak, amelyet az első sor és a j1...jn oszlopok törlésével kapunk az eredetiből. (j1...j4 oszlopok negyedrendű négyzetmátrix esetén ).

Ebből az következik, hogy ennek eredményeként egy negyedrendű négyzetmátrix determinánsa négy tag összege lesz. Minden tag a ((-1)^(1+j))aij szorzata lesz, vagyis a mátrix első sorának egyik tagjának, pozitív vagy előjellel és egy harmadrendű négyzettel ( a négyzetmátrix moll).

Az így kapott minorokat, amelyek harmadrendű mátrixok, egy jól ismert privát formulával kaphatjuk meg új mollok használata nélkül. Egy harmadrendű négyzetmátrix determinánsai az úgynevezett „háromszögszabály” segítségével számíthatók ki. Ebben az esetben nem kell levezetni a determináns kiszámításához szükséges képletet, de megjegyezheti annak geometriai diagramját. Ez az alábbi ábrán látható. Ennek eredményeként |A| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.
Következésképpen a kiskorúak kiszámításra kerülnek, és kiszámítható egy negyedrendű négyzetmátrix determinánsa.

Források:

• hogyan kell kiszámítani a determinánst

Szükséged lesz

• - Microsoft Office Excel program.

Utasítás

Indítsa el a Microsoft Office Excel programot. Az adatbeviteli menüben adja meg a megadott adatokat mátrix determinánsának későbbi kiszámításához. Jelöljön ki egyet a nem foglalt táblázatcellák közül, majd írja be a következő képletet: „=MOPRED(ak:fg)”. Ebben az esetben az ak az adott mátrix bal felső sarkának megfelelő koordinátákat, az fg pedig a jobb alsót jelenti. A determináns lekéréséhez nyomja meg az Enter billentyűt. A kívánt érték megjelenik a kiválasztott üres cellában.

Más értékek kiszámításához használja az Excel funkciót. Ha nem tudja, hogyan kell képleteket használni a Microsoft Office Excel programban, töltse le a témával kapcsolatos szakirodalmat, és elolvasása után meglehetősen könnyű lesz navigálni ebben a programban.

Gondosan tanulmányozza a képletértékek nevét ebben a szoftverben, mivel ha helytelenül adja meg őket, az összes eredmény egyszerre elrontható, különösen azok számára, akik egyszerre több azonos számítást végeznek.

Időnként ellenőrizze a Microsoft Office Excelben kapott számítási eredményeket. Ennek az az oka, hogy idővel változások történhettek a rendszerben, ez különösen azokra vonatkozik, akik sablon szerint végzik a munkát. Mindig jó ötlet lesz még egyszer ellenőrizni több aktuális számítás eredményét egyszerre.

Ezenkívül, amikor képletekkel dolgozik, legyen rendkívül óvatos, és ne engedje, hogy vírusok jelenjenek meg a számítógépén. Még ha egyszer is szüksége van képletekkel végzett műveletekre a Microsoft Office Excelben, tanulmányozza jobban ennek a programnak a funkcionalitását, mivel ezek a készségek segítenek a jövőben jobban megérteni a számviteli automatizálást és az Excel használatát bizonyos feladatok elvégzésére.

Döntő– a mátrixalgebra egyik fogalma. Ez egy négyzetes mátrix, amely négy elemből áll, és a determináns kiszámításához második rendelés, akkor az első sorban lévő bővítési képletet kell használnia.

Utasítás

Döntő négyzet, amelyet különféle számításokban használnak. Nélkülözhetetlen az inverz mátrix, mollok, algebrai összeadások, osztási műveletek megtalálásakor, de leggyakrabban lineáris egyenletrendszerek megoldásánál merül fel a determinánsra való rátérés.

Mátrix második rendelés négy elem gyűjteménye két sorban és oszlopban. Ezek a számok az ismeretlen egyenletrendszer együtthatóinak felelnek meg, amelyeket számos alkalmazott probléma, például közgazdasági probléma mérlegelésekor használnak.

A kompakt mátrix számításokra való átállás két dologban segít gyorsan: egyrészt, hogy van-e megoldásnak megoldása, másrészt meg kell találni. A megoldásnak elégséges feltétele az