x2 y2 egyenlet. Egyenletek megoldása két változóban

1. Paraméteres lineáris egyenletrendszerek

A paraméteres lineáris egyenletrendszereket ugyanazokkal az alapvető módszerekkel oldjuk meg, mint a közönséges egyenletrendszereket: a helyettesítési módszerrel, az egyenletösszeadás módszerével és a grafikus módszerrel. A lineáris rendszerek grafikus értelmezésének ismerete megkönnyíti a gyökérszámra és azok létezésére vonatkozó kérdés megválaszolását.

1. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek nincs megoldása.

(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.

Megoldás.

Nézzünk több módot ennek a feladatnak a megoldására.

1 út. A tulajdonságot használjuk: a rendszernek nincs megoldása, ha az x előtti együtthatók aránya egyenlő az y előtti együtthatók arányával, de nem egyenlő a szabad tagok arányával (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Akkor nálunk van:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 vagy rendszer

(és 2-3 = 1,
(a ≠ 2.

Az első egyenletből a 2 = 4, tehát figyelembe véve azt a feltételt, hogy a ≠ 2, megkapjuk a választ.

Válasz: a = -2.

2. módszer. Helyettesítő módszerrel oldjuk meg.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Miután az első egyenletben a zárójelekből kivettük az y közös tényezőt, a következőt kapjuk:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

A rendszernek nincsenek megoldásai, ha az első egyenletnek nincsenek megoldásai, azaz

(és 2-4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Nyilván a = ±2, de a második feltételt figyelembe véve a válasz csak mínusz választ ad.

Válasz: a = -2.

2. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Megoldás.

A tulajdonság szerint, ha x és y együtthatóinak aránya azonos, és egyenlő a rendszer szabad tagjainak arányával, akkor végtelen számú megoldása van (azaz a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Ezért 8/a = a/2 = 2/1. Az egyes kapott egyenleteket megoldva azt találjuk, hogy ebben a példában a = 4 a válasz.

Válasz: a = 4.

2. Paraméteres racionális egyenletrendszerek

3. példa

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Megoldás.

Szorozzuk meg a rendszer első egyenletét 2-vel:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

A második egyenletet az elsőből kivonva 5|x|-t kapunk = 4 – a. Ennek az egyenletnek egyedi megoldása lesz a = 4-re. Más esetekben ennek az egyenletnek két megoldása lesz (egy< 4) или ни одного (при а > 4).

Válasz: a = 4.

4. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszer egyedi megoldással rendelkezik.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Megoldás.

Ezt a rendszert grafikus módszerrel oldjuk meg. Így a rendszer második egyenletének grafikonja egy parabola, amelyet az Oy tengely mentén egy egységnyi szegmenssel felfelé emelünk. Az első egyenlet az y = -x egyenessel párhuzamos egyenesek halmazát adja meg (1. ábra). Az ábrán jól látható, hogy a rendszernek akkor van megoldása, ha az y = -x + a egyenes egy (-0,5, 1,25) koordinátájú pontban érinti a parabolát. Ezeket a koordinátákat behelyettesítve az egyenes egyenletbe x és y helyett, megkapjuk az a paraméter értékét:

1,25 = 0,5 + a;

Válasz: a = 0,75.

5. példa.

A helyettesítési módszerrel derítsük ki, hogy az a paraméter melyik értékénél van egyedi megoldása a rendszernek.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Megoldás.

Az első egyenletből kifejezzük y-t és behelyettesítjük a másodikba:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.

A második egyenletet redukáljuk kx = b alakra, aminek egyedi megoldása lesz k ≠ 0-ra.

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Az a 2 + 3a + 2 négyzetháromságot zárójelek szorzataként ábrázoljuk

(a + 2)(a + 1), a bal oldalon pedig kivesszük az x-et a zárójelekből:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Nyilvánvaló, hogy a 2 + 3a nem lehet egyenlő nullával, ezért

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ami azt jelenti, hogy a ≠ 0 és ≠ -3.

Válasz: a ≠ 0; ≠ -3.

6. példa.

A grafikus megoldási módszerrel határozza meg, hogy az a paraméter mely értékénél van a rendszer egyedi megoldása.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Megoldás.

A feltétel alapján megszerkesztünk egy kört, amelynek középpontja az origóban van, és a sugara 3 egységnyi szakaszból áll, ezt adja meg a rendszer első egyenlete

x 2 + y 2 = 9. A rendszer második egyenlete (y = |x| + a) egy szaggatott vonal. Használatával 2. ábra A körhöz viszonyított elhelyezkedésének minden lehetséges esetét figyelembe vesszük. Könnyen belátható, hogy a = 3.

Válasz: a = 3.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenletrendszereket megoldani?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Utasítás

Behelyettesítési módszer Egy változót fejez ki, és behelyettesíti egy másik egyenletbe. Belátása szerint bármilyen változót kifejezhet. Például fejezze ki y-t a második egyenletből:
x-y=2 => y=x-2 Majd behelyettesít mindent az első egyenletbe:
2x+(x-2)=10 Mozgass jobbra mindent „x” nélkül, és számold ki:
2x+x=10+2
3x=12 Ezután, hogy x-et kapjunk, osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal:
x=4 Tehát megtalálta az „x. Keresse meg az "y. Ehhez írja be az „x”-et abba az egyenletbe, amelyből az „y”-t kifejezte:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Csinálj egy ellenőrzést. Ehhez helyettesítse be a kapott értékeket az egyenletekbe:
2*4+2=10
4-2=2
Az ismeretleneket helyesen találták meg!

Egyenletek összeadása vagy kivonása Azonnal szabaduljon meg minden változótól. Esetünkben ez könnyebben megtehető az „y.
Mivel az egyenletben az „y”-nek „+”, a másodikban „-” jele van, akkor elvégezheti az összeadási műveletet, pl. hajtsa be a bal oldalt a balral, a jobb oldalt a jobbal:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertálás:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Helyettesítse be az „x”-et bármely egyenletbe, és keresse meg az „y”-t:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Az 1. módszerrel ellenőrizheti, hogy a gyökerek megfelelően találhatóak-e.

Ha nincsenek egyértelműen meghatározott változók, akkor az egyenleteket kissé át kell alakítani.
Az első egyenletben van „2x”, a másodikban pedig egyszerűen „x”. Ha x-et összeadásakor vagy kivonásakor csökkenteni szeretne, szorozza meg a második egyenletet 2-vel:
x-y=2
2x-2y=4 Ezután vonja ki a másodikat az első egyenletből:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Vegye figyelembe, hogy ha mínusz van a zárójel előtt, akkor nyitás után változtassa az előjeleket az ellenkezőjére:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
keresse meg az y=2x-et bármely egyenletből kifejezve, azaz.
x=4

Videó a témáról

Differenciálegyenletek megoldásánál az x argumentum (vagy fizikai feladatokban a t idő) nem mindig áll rendelkezésre kifejezetten. Mindazonáltal ez egy differenciálegyenlet megadásának leegyszerűsített speciális esete, ami gyakran segít az integrál keresésének egyszerűsítésében.

Utasítás

Tekintsünk egy fizikai problémát, amely egy differenciálegyenletet eredményez, amelyben hiányzik a t argumentum. Ez egy függőleges síkban elhelyezkedő r hosszúságú menetre felfüggesztett m tömegű rezgésekkel kapcsolatos probléma. Az inga mozgásegyenletére akkor van szükség, ha kezdetben mozdulatlan volt, és az egyensúlyi állapotból α szöggel kibillent. Az erőket figyelmen kívül kell hagyni (lásd 1a. ábra).

Megoldás. A matematikai inga egy olyan anyagi pont, amely egy súlytalan és nyújthatatlan menetre van felfüggesztve az O pontban. A pontra két erő hat: a G=mg gravitációs erő és a menet N feszítőereje. Mindkét erő a függőleges síkban fekszik. . Ezért a probléma megoldásához alkalmazhatja egy pont forgómozgásának egyenletét az O ponton átmenő vízszintes tengely körül. Egy test forgási egyenlete az ábrán látható formában van. 1b. Ebben az esetben I az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka; j a menet forgási szöge a ponttal együtt, a függőleges tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban mérve; M az anyagi pontra ható erők nyomatéka.

Számítsa ki ezeket az értékeket. I=mr^2, M=M(G)+M(N). De M(N)=0, mivel az erő hatásvonala átmegy az O ponton. M(G)=-mgrsinj. A „-” jel azt jelenti, hogy az erőnyomaték a mozgással ellentétes irányba irányul. Helyettesítse be a tehetetlenségi nyomatékot és az erőnyomatékot a mozgásegyenletbe, és kapja meg az ábrán látható egyenletet. 1s. A tömeg csökkentésével összefüggés alakul ki (lásd 1d. ábra). Itt nincs vita.

Az egyenletek egész számokban történő megoldása az egyik legrégebbi matematikai probléma. Már a Kr.e. 2. évezred elején. e. A babilóniaiak tudták, hogyan kell két változós egyenletrendszert megoldani. A matematikának ez a területe az ókori Görögországban érte el legnagyobb virágzását. Fő forrásunk Diophantus Aritmetika, amely különféle típusú egyenleteket tartalmaz. Ebben Diophantus (neve után az egyenletek neve Diophantine egyenletek) számos olyan módszert vetít előre a 2. és 3. fokú egyenletek tanulmányozására, amelyek csak a 19. században alakultak ki.

A legegyszerűbb diofantin egyenletek: ax + y = 1 (egyenlet két változóval, első fokú) x2 + y2 = z2 (három változós egyenlet, másodfokú)

Az algebrai egyenleteket a legteljesebben tanulmányozták a 16. és 17. században az algebra egyik legfontosabb problémája.

A 19. század elejére P. Fermat, L. Euler, K. Gauss munkái egy ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú diofantin egyenletet vizsgáltak, ahol a, b, c , d, e, f számok; x, y ismeretlen változók.

Ez egy 2. fokú egyenlet két ismeretlennel.

K. Gauss kidolgozta a másodfokú formák általános elméletét, amely bizonyos típusú egyenletek kétváltozós megoldásának alapja (Diofantine-egyenletek). Nagyszámú specifikus diofantin-egyenlet létezik, amelyek elemi módszerekkel megoldhatók. /p>

Elméleti anyag.

Ebben a munkarészben a matematikai alapfogalmak ismertetésére, terminusok meghatározására kerül sor, valamint a kiterjesztési tétel megfogalmazására a határozatlan együtthatók módszerével kerül sor, amelyeket a kétváltozós egyenletek megoldása során tanulmányoztam és figyelembe vettünk.

1. definíció: Ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú egyenlet, ahol a, b, c, d, e, f számok; Az x, y ismeretlen változókat kétváltozós másodfokú egyenletnek nevezzük.

Egy iskolai matematika szakon az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletet tanulmányozzák, ahol az x szám a, b, c egy változója, egy változóval. Számos módja van ennek az egyenletnek a megoldására:

1. Gyökerek keresése diszkrimináns segítségével;

2. A páros együttható gyökeinek megkeresése in (D1= szerint);

3. Gyökerek keresése Vieta tételével;

4. Gyökerek keresése a binomiális tökéletes négyzetének elkülönítésével.

Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nem léteznek.

2. definíció: Az egyenlet gyöke egy olyan szám, amely egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséget alkot.

3. definíció: Egy kétváltozós egyenlet megoldását számpárnak (x, y) nevezzük, ha az egyenletbe behelyettesítjük, akkor valódi egyenlőséggé alakul.

Az egyenlet megoldásának folyamata nagyon gyakran abból áll, hogy az egyenletet egy ekvivalens egyenlettel helyettesítjük, de egy egyszerűbb megoldással. Az ilyen egyenleteket ekvivalensnek nevezzük.

4. definíció: Két egyenletet ekvivalensnek mondunk, ha az egyik egyenlet minden megoldása a másik egyenlet megoldása, és fordítva, és mindkét egyenletet ugyanabban a tartományban tekintjük.

Kétváltozós egyenletek megoldásához használja az egyenlet teljes négyzetek összegére történő felbontásának tételét (határozatlan együtthatók módszerével).

Az ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) másodrendű egyenlet esetén az a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) kiterjesztést kapjuk.

Fogalmazzuk meg, hogy két változó (1) egyenletére milyen feltételek mellett megy végbe a (2) bővülés.

Tétel: Ha az (1) egyenlet a, b, c együtthatói kielégítik az a0 és 4ab – c20 feltételeket, akkor a (2) kiterjesztést egyedi módon határozzuk meg.

Más szóval, a két változós (1) egyenlet a határozatlan együtthatók módszerével redukálható (2) formára, ha a tétel feltételei teljesülnek.

Nézzünk egy példát a határozatlan együtthatók módszerének megvalósítására.

1. MÓDSZER. Oldja meg az egyenletet a meghatározatlan együtthatók módszerével!

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 0.

1. Ellenőrizzük az a=2, b=1, c=2 tétel feltételeinek teljesülését, ami azt jelenti, hogy a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. A tétel feltételei teljesülnek a (2) képlet szerint;

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, a tétel feltételei alapján az azonosság mindkét része ekvivalens. Egyszerűsítsük le az identitás jobb oldalát.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Azonos változók együtthatóit a hatványaikkal egyenlővé tesszük.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Kapjunk egyenletrendszert, oldjuk meg és keressük meg az együtthatók értékeit.

7. Helyettesítsük be az együtthatókat (2)-be, ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 +0

Így az eredeti egyenlet ekvivalens az egyenlettel

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ez az egyenlet két lineáris egyenletrendszerrel ekvivalens.

Válasz: (-1; 1).

Ha odafigyel a bővítés típusára (3), akkor észreveszi, hogy formailag megegyezik egy teljes négyzet egy változós másodfokú egyenletből való elkülönítésével: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Alkalmazzuk ezt a technikát egy kétváltozós egyenlet megoldásánál. Oldjunk meg egy teljes négyzet kiválasztásával egy két változós másodfokú egyenletet, amelyet a tétel segítségével már megoldottunk.

2. MÓDSZER: Oldja meg a 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 egyenletet.

Megoldás: 1. Képzeljük el a 2x2-t két x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 tag összegeként.

2. Csoportosítsuk a tagokat úgy, hogy a teljes négyzet képletével össze tudjuk hajtani őket!

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Válassza ki a teljes négyzeteket a zárójelben lévő kifejezések közül.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ez az egyenlet egyenértékű egy lineáris egyenletrendszerrel.

Válasz: (-1;1).

Ha összehasonlítja az eredményeket, láthatja, hogy az 1. módszerrel a tétel és a határozatlan együtthatók módszerével megoldott egyenlet, valamint a 2. módszerrel teljes négyzet kinyerésével megoldott egyenlet gyökerei azonosak.

Következtetés: A két változós másodfokú egyenlet kétféleképpen bővíthető négyzetösszeggé:

➢ Az első módszer a határozatlan együtthatók módszere, amely a tételen és a kiterjesztésen (2) alapul.

➢ A második módszer az identitástranszformációk használata, amelyek lehetővé teszik a szekvenciálisan teljes négyzetek kiválasztását.

Természetesen a feladatok megoldásánál a második módszert részesítjük előnyben, mivel nem igényel memorizálást (2) és feltételeket.

Ez a módszer három változós másodfokú egyenletekhez is használható. Egy tökéletes négyzet elkülönítése ilyen egyenletekben munkaigényesebb. Jövőre ilyen jellegű átalakítást végzek.

Érdekes megjegyezni, hogy az f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f alakú függvényt két változó másodfokú függvényének nevezzük. A másodfokú függvények fontos szerepet játszanak a matematika különböző ágaiban:

A matematikai programozásban (kvadratikus programozás)

Lineáris algebrában és geometriában (másodfokú formák)

A differenciálegyenletek elméletében (egy másodrendű lineáris egyenlet kanonikus formára redukálása).

E különféle problémák megoldása során lényegében azt az eljárást kell alkalmazni, hogy egy teljes négyzetet egy másodfokú egyenletből (egy, két vagy több változó) izolálunk.

Azokat az egyeneseket, amelyek egyenleteit két változó másodfokú egyenlete írja le, másodrendű görbéknek nevezzük.

Ez egy kör, ellipszis, hiperbola.

E görbék grafikonjainak elkészítésekor a teljes négyzet szekvenciális elkülönítésének módszerét is alkalmazzák.

Nézzük meg konkrét példákon keresztül, hogyan működik a teljes négyzet szekvenciális kiválasztásának módszere.

Gyakorlati rész.

Oldja meg az egyenleteket a teljes négyzet szekvenciális elkülönítésének módszerével.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1) 2 + (x + y) 2 = 0;

Válasz:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y) 2 + (2y + 1) 2 = 0;

Válasz:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Válasz:(-1;1).

Egyenletek megoldása:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(redukáld a következőre: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Válasz: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(redukáld a következőre: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Válasz: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(redukáld a következőre: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Válasz: (7; -7)

Következtetés.

Ebben a tudományos munkában két másodfokú változót tartalmazó egyenleteket tanulmányoztam és azok megoldási módszereit vizsgáltam. A feladat elkészült, egy rövidebb megoldási mód megfogalmazása és leírása, amely egy teljes négyzet elkülönítésén és az egyenlet ekvivalens egyenletrendszerrel való helyettesítésén alapul, ennek eredményeként a kétváltozós egyenlet gyökereinek megtalálására szolgáló eljárás egyszerűsítették.

A munka fontos pontja, hogy a vizsgált technikát másodfokú függvénnyel kapcsolatos különféle matematikai problémák megoldására, másodrendű görbék készítésére, valamint a kifejezések legnagyobb (legkisebb) értékének megtalálására használják.

Így a két változós másodrendű egyenlet négyzetösszegre bontásának technikájának van a legtöbb alkalmazása a matematikában.

Határozatlan egyenletek természetes számokban.

Állami Oktatási Intézmény „Rechitsa District Lyceum”

Készítette: .

Felügyelő: .

Bevezetés

1. Egyenletek megoldása faktorizációs módszerrel…………4

2. Egyenletek megoldása két változós módszerrel (diszkriminancia módszer)……………………………………………………………………….11

3. Maradék módszer................................................ .....................................................13

4. „Végtelen ereszkedés” módszer................................................. ......................................15

5. Mintavételi módszer……………………………………………………………16

Következtetés................................................. ..............................18

Bevezetés

Én, Slava, a Rechitsa Kerületi Líceumban tanulok, 10. osztályos tanuló.

Minden egy ötlettel kezdődik! Megkértek, hogy oldjak meg egy egyenletet három ismeretlennel 29x+30y+31 z =366. Most ezt az egyenletet problémának tekintem – viccnek, de először törtem az agyamat. Számomra kissé bizonytalanná vált ez az egyenlet, hogyan, milyen módon kell megoldani.

Alatt határozatlan egyenletek meg kell értenünk, hogy ezek egynél több ismeretlent tartalmazó egyenletek. Általában azok az emberek, akik ezeket az egyenleteket megoldják, egész számokban keresik a megoldásokat.

A határozatlan egyenletek megoldása egy nagyon izgalmas és tanulságos tevékenység, amely segíti a tanulók intelligenciájának, megfigyelőkészségének, figyelmességének fejlesztését, valamint a memória és a tájékozódás, a logikus gondolkodás, az elemzés, az összehasonlítás és az általánosítás képességének fejlesztését. Még nem találtam általános módszert, de most elmondok néhány módszert az ilyen egyenletek természetes számokban történő megoldására.

Ezt a témát a jelenlegi matematika-tankönyvek nem mutatják be teljes körűen, az olimpiákon és a központosított teszteken pedig problémákat kínálnak fel. Ez annyira érdekelt és magával ragadott, hogy különféle egyenletek és feladatok megoldása közben egy egész gyűjteményt gyűjtöttem össze saját megoldásaimból, amit tanárommal módszerekre és megoldásokra osztottunk. Tehát mi a munkám célja?

az én cél több változós egyenlet megoldásainak elemzése a természetes számok halmazán.

Először gyakorlati problémákat nézünk meg, majd áttérünk az egyenletek megoldására.

Mekkora egy téglalap oldalainak hossza, ha kerülete számszerűen egyenlő a területével?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N és y€ N

P=S

2x+2y=xy, font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"-szor new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"szer új roman> +font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Válasz: (4:4); (3:6); (6:3).

Keressen módot 47 rubel fizetésére, ha csak három és öt rubel számlát használhat.

Megoldás

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y=14+5K, K€ Z

x és y természetes értékei megfelelnek K = 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

A feladat egy vicc

Bizonyítsuk be, hogy van megoldása a 29x+30y+31 egyenletnek z=336 természetes számokban.

Bizonyíték

Egy szökőév 366 napból és egy hónapból 29 napból, négy hónapból 30 napból áll,

7 hónap – 31 nap.

A megoldás három (1:4:7). Ez azt jelenti, hogy van megoldása az egyenletnek természetes számokban.

1. Egyenletek megoldása faktorizációs módszerrel

1) Oldja meg az x2-y2=91 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

(x-y)(x+y)=91

8 rendszeres megoldás

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y =7

x+y=13

(10:3)

x-y= -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Válasz:( 46:45):(10:3).

2) Oldja meg az x3+91 =y3 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

8 rendszeres megoldás

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:"szer új roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nincs egész számban kifejezett megoldása

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

A maradék 4 rendszernek nincs egész számú megoldása. Az egyik megoldás kielégíti a feltételt.

Válasz: (5:6).

3) Oldja meg az xy=x+y egyenletet természetes számokban!

Megoldás

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1) (x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Megoldás 2 rendszerek

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1= -1

x-1= -1

(0:0)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1=1

x-1=1

(2:2)

Válasz: (2:2).

4) Oldja meg a 2x2+5xy-12y2=28 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y – természetes számok; (x+4 év) € N

(x+4y)≥5

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у=1

x+4y=28

(8:5)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у =4

x+4y=7

2x-3y=2

x+4y=14

természetes számokban nincs megoldás

Válasz: (8:5).

5) Oldja meg az egyenletet 2xy=x2+2y természetes számokban

Megoldás

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1= -1

x-1 = 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

természetes számokban nincs megoldás

Válasz: (2:2).

6) Oldja meg az egyenletet xatz-3 xy-2 xz+ yz+6 x-3 y-2 z= -4 természetes számokban

Megoldás

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y(z-3)-2 z +4=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y(z-3)-2 z +6-2=0

xy(z-3)-2 x(z-3)+ y(z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

6 rendszeres megoldás

z -3 = 1

x +1=1

y -2 = 2

(0 : 4 : 4 )

z-3 = -1

x+1=-1

y-2 = 2

(- 2: 4 : 2 )

HU-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2 =1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3 = -1

x +1 = 2

y -2 = -1

(1:1:2)

z -3=2

x +1= -1

y -2 = -1

(-2:1:5)

Válasz: (1:3:4).

Nézzünk egy számomra bonyolultabb egyenletet.

7) Oldja meg az x2-4xy-5y2=1996 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y) (x+5y) = 1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N, y € N; (x+y)€ N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

nincsenek megoldások

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=499

x+y= 4

nincsenek megoldások

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" time new roman>х-5у=4

x+y=499

nincsenek megoldások

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

nincsenek megoldások

Válasz: x=832, y=166.

Következzünk:az egyenletek faktorizációs módszerrel történő megoldása során rövidített szorzóképleteket, csoportosítási módszert és egy teljes négyzet elkülönítésének módszerét alkalmazzák .

2. Egyenletek megoldása két változóval (diszkrimináns módszer)

1) Oldja meg az 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 egyenletet természetes számokban

Megoldás

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D= (8 év – 2) 2 – 4*5*(5 év 2+2 év+2) = 4 ((4 év – 1) 2 – 5* (5 év 2+2 év+2))

x1,2= font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>=0

y=-1, x=1

Válasz: nincsenek megoldások.

2) Oldd meg a 3(x2+xy+y2)=x+8y egyenletet természetes számokban

Megoldás

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D=(3y-1)2-4*3(3y2-8y)=9y2-6y+1-36y2+96y=-27y2+90y+1

D≥0, -27у2+90у+1≥0

font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>≤у≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>у€ N , y=1, 2, 3. Ezeket az értékeket végignézve megkapjuk (1:1).

Válasz: (1:1).

3) Oldja meg az x4-y4-20x2+28y2=107 egyenletet természetes számokban

Megoldás

Bevezetjük a helyettesítést: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" új római szín: fekete>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"-szor új latin>= 10±font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1= a-4, a2=24-a

Az egyenlet így néz ki:

(a-a+4)(a+a-24)=1

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х2-у2+4=1

x2+y2 – 24=11

természetes számokban nincsenek megoldások;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" szor új római>x2 - y2+4= -1

x2+y2 – 24= -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

x2+y2 – 24= -1 nincs természetes vagy egész szám megoldásaVálasz: (4:3),(2:3).

3. Maradék módszer

Az egyenletek maradék módszerrel történő megoldása során gyakran a következő problémákat alkalmazzák:

A) Milyen maradékokat kaphatunk, ha elosztjuk 3-mal és 4-gyel?

Nagyon egyszerű, ha 3-mal vagy 4-gyel osztjuk, a pontos négyzetek két lehetséges maradékot adnak: 0 vagy 1.

B) Milyen maradékok adhatnak pontos kockát 7-tel és 9-cel osztva?

Ha 7-tel osztjuk, a maradékok a következők lehetnek: 0, 1, 6; és 9-cel osztva: 0, 1, 8.

1) Oldja meg az x2+y2=4 egyenletet! z-1 természetes számokban

Megoldás

x2+y2+1=4 z

Nézzük meg, hogy ennek az egyenletnek a bal és jobb oldala milyen maradványokat eredményezhet, ha elosztjuk 4-gyel. Ha 4-gyel osztjuk, a tökéletes négyzetek csak két különböző maradékot adnak, 0 és 1. Ezután x2+y2+1 4-gyel elosztva 1, 2, 3 és 4 maradékot kapunk. z maradék nélkül felosztva.

Ezért ennek az egyenletnek nincs megoldása.

2) Oldja meg az 1!+2!+3!+ …+x!= y2 egyenletet természetes számokban

Megoldás

a) X=1, 1!=1, majd y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, azaz y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, azaz y=±betűméret:14.0pt;sormagasság:150%; font-family:" times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nem), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, képzeld el a 10-et n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10 n

A 3-ra végződő szám azt jelenti, hogy nem lehet egész szám négyzete. Ezért x≥5-nek nincs megoldása természetes számokban.

Válasz:(3:3) és (1:1).

3) Bizonyítsuk be, hogy a természetes számokban nincsenek megoldások

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy a rendszer megoldható z 2 = 2, 2 + 1, z2 – páratlan szám

z = 2 m +1

y 2 +2 m 2 +2 m , y2– páros szám, y = 2 n , n € N

x2=8 n 3 +7, vagyis x2– páratlan szám és X páratlan, x = 2 r +1, n € N

Cseréljük X És at az első egyenletbe,

2(r2 + r-2n3)=3

Nem lehetséges, hiszen az egyenlet bal oldala osztható kettővel, a jobb oldala viszont nem, ami azt jelenti, hogy a feltevésünk nem helyes, vagyis a rendszernek nincs természetes számbeli megoldása.

4. Végtelen süllyedés módszere

A következő séma szerint oldjuk meg:

Tegyük fel, hogy az egyenletnek van megoldása, valamiféle végtelen folyamatot építünk fel, miközben a probléma értelme szerint ennek a folyamatnak egy páros lépéssel kell véget érnie.

1)Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet 8x4+4y4+2 z4 = t4 természetes számokban nincs megoldása

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy az egyenletnek egész számban van megoldása, akkor ebből az következik

t 4 páros szám, akkor t is páros

t=2t1, t1€ Z

8x4+4y4+2 z 4 = 16t14

4х4+2у4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 páros, akkor z =2 z 1, z 1 € Z

Cseréljük

4x4+2y4+16 z 4 =8t14

y4= 4t14 – 2x4 – 8 z 1 4

x – páros, azaz x=2x, x1€ Akkor Z

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

Így x, y, z , t – páros számok, majd x1, y1, z 1 , t 1 – akár. Akkor x, y, z, t és x1, y1, z 1, t 1 oszthatók 2-vel, azaz, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> ésfont-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>.

Tehát kiderül, hogy a szám kielégíti az egyenletet; 2 többszörösei, és nem számít, hányszor osztjuk el őket 2-vel, mindig olyan számokat kapunk, amelyek 2 többszörösei. Az egyetlen szám, amely teljesíti ezt a feltételt, a nulla. De a nulla nem tartozik a természetes számok halmazába.

5. Minta módszer

1) Keress megoldásokat az egyenletre font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Megoldás

font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+ru

xy-ryh-ru=0

xy-rx-ru+p2=p2

x(y-r)-r(y-r)=p2

(y-r)(x-r)=p2

р2= ±р= ±1= ±р2

6 rendszeres megoldás

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р

x-p=p

y=2p, x=2p

y-r= - r

x-p= - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r = -1

x-p= -1

y = p-1, x = p-1

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р2

x-p= p2

y=p2+p, x=p2+p

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= - р2

x-p= - p2

y=p-p2, x=p-p2

Válasz:(2r:2р), ( 1+р:1+р), (р-1:р-1), (р2+р: р2+р), (р-р2: р-р2).

Következtetés

A határozatlan egyenletek megoldásait jellemzően egész számokban keresik. Azokat az egyenleteket, amelyekben csak egész számú megoldást keresünk, diafantinnak nevezzük.

Egynél több ismeretlen számmal rendelkező egyenletek megoldásait elemeztem természetes számok halmazán. Az ilyen egyenletek annyira változatosak, hogy alig van mód vagy algoritmus a megoldásukra. Az ilyen egyenletek megoldása találékonyságot igényel, és hozzájárul a matematikai önálló munkavégzés készségeinek elsajátításához.

A példákat a legegyszerűbb technikákkal oldottam meg. Az ilyen egyenletek megoldásának legegyszerűbb módja, ha egy változót a többivel fejezünk ki, és kapunk egy kifejezést, amelyet megvizsgálunk, hogy megtaláljuk azokat a változókat, amelyek esetében ez természetes (egész szám).

Ebben az esetben a fogalmak ill az oszthatósággal kapcsolatos tények - például prím- és összetett számok, oszthatóság jelei, prímszámok stb.

Különösen gyakran használják:

1) Ha egy szorzat osztható p prímszámmal, akkor legalább egy tényezője osztható p-vel.

2) Ha a szorzat osztható valamilyen számmal Velés az egyik tényező a számmal való koprím Vel, akkor a második tényezőt elosztjuk Vel.