Különböző bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása. Mindent a logaritmikus egyenlőtlenségekről

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Logaritmikus egyenlőtlenségek

Az előző leckéken megismerkedtünk a logaritmikus egyenletekkel, és most már tudjuk, mik ezek és hogyan kell megoldani őket. A mai leckét a logaritmikus egyenlőtlenségek tanulmányozásának szenteljük. Mik ezek az egyenlőtlenségek, és mi a különbség a logaritmikus egyenlet és az egyenlőtlenség megoldása között?

A logaritmikus egyenlőtlenségek olyan egyenlőtlenségek, amelyeknek változója a logaritmusjel alatt vagy annak alapjában jelenik meg.

Vagy azt is mondhatjuk, hogy a logaritmikus egyenlőtlenség olyan egyenlőtlenség, amelyben az ismeretlen értéke, mint a logaritmikus egyenletben, a logaritmus előjele alatt jelenik meg.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek a következő formájúak:

ahol f(x) és g(x) olyan kifejezések, amelyek x-től függenek.

Nézzük ezt a következő példán keresztül: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása előtt érdemes megjegyezni, hogy megoldásukkor hasonlóak az exponenciális egyenlőtlenségekhez, nevezetesen:

Először is, amikor a logaritmusról a logaritmusjel alatti kifejezésekre térünk át, a logaritmus alapját is össze kell hasonlítanunk eggyel;

Másodszor, amikor változók változásával oldunk meg egy logaritmikus egyenlőtlenséget, addig a változáshoz képest egyenlőtlenségeket kell megoldanunk, amíg a legegyszerűbb egyenlőtlenséget nem kapjuk.

De te és én hasonló szempontokat vettünk figyelembe a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásában. Most figyeljünk egy meglehetősen jelentős különbségre. Ön és én tudjuk, hogy a logaritmikus függvénynek korlátozott definíciós tartománya van, ezért amikor a logaritmusokról a logaritmusjel alatti kifejezésekre lépünk, figyelembe kell vennünk a megengedett értékek tartományát (ADV).

Vagyis figyelembe kell venni, hogy egy logaritmikus egyenlet megoldása során Ön és én először megtaláljuk az egyenlet gyökereit, majd ellenőrizzük ezt a megoldást. A logaritmikus egyenlőtlenség megoldása azonban így nem fog működni, mivel a logaritmusról a logaritmusjel alatti kifejezésekre való áttéréskor fel kell írni az egyenlőtlenség ODZ-jét.

Ezenkívül érdemes megjegyezni, hogy az egyenlőtlenségek elmélete valós számokból áll, amelyek pozitív és negatív számok, valamint a 0 számból.

Például, ha az „a” szám pozitív, akkor a következő jelölést kell használnia: a >0. Ebben az esetben ezeknek a számoknak az összege és szorzata is pozitív lesz.

Az egyenlőtlenség megoldásának fő elve az, hogy helyettesítsük egy egyszerűbb egyenlőtlenséggel, de a lényeg, hogy az egyenértékű legyen az adott egyenlőtlenséggel. Továbbá egy egyenlőtlenséget is kaptunk, és újra lecseréltük egy egyszerűbb formájúra stb.

Az egyenlőtlenségek változóval való megoldása során meg kell találni az összes megoldását. Ha két egyenlőtlenségnek ugyanaz az x változója, akkor ezek az egyenlőtlenségek ekvivalensek, feltéve, hogy megoldásaik egybeesnek.

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során emlékezni kell arra, hogy ha a > 1, akkor a logaritmikus függvény növekszik, és ha 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldási módszerei

Most nézzünk meg néhány módszert, amelyek a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során játszódnak le. A jobb megértés és asszimiláció érdekében konkrét példákon keresztül igyekszünk megérteni őket.

Mindannyian tudjuk, hogy a legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségnek a következő alakja van:

Ebben az egyenlőtlenségben V – a következő egyenlőtlenségi jelek egyike:<,>, ≤ vagy ≥.

Ha egy adott logaritmus alapja nagyobb, mint egy (a>1), áttérve a logaritmusról a logaritmusjel alatti kifejezésekre, akkor ebben a változatban az egyenlőtlenség előjele megmarad, és az egyenlőtlenség a következő formában lesz:

ami egyenértékű ezzel a rendszerrel:

Abban az esetben, ha a logaritmus alapja nagyobb nullánál és kisebb egynél (0

Ez egyenértékű ezzel a rendszerrel:

Nézzünk még példákat az alábbi képen látható legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására:

Megoldási példák

Gyakorlat. Próbáljuk meg feloldani ezt az egyenlőtlenséget:

Az elfogadható értékek tartományának megoldása.

Most próbáljuk meg megszorozni a jobb oldalát a következővel:

Lássuk, mire juthatunk:

Most térjünk át a szublogaritmikus kifejezések konvertálására. Annak a ténynek köszönhetően, hogy a logaritmus alapja 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ebből pedig az következik, hogy az általunk kapott intervallum teljes egészében az ODZ-hez tartozik, és egy ilyen egyenlőtlenség megoldása.

Íme a válasz, amit kaptunk:

Mi szükséges a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásához?

Most próbáljuk meg elemezni, mire van szükségünk a logaritmikus egyenlőtlenségek sikeres megoldásához?

Először is koncentrálja minden figyelmét, és próbáljon meg ne hibázni, amikor végrehajtja az ebben az egyenlőtlenségben adott átalakításokat. Emlékeztetni kell arra is, hogy az ilyen egyenlőtlenségek megoldása során kerülni kell az egyenlőtlenségek kiterjedését és összehúzódását, ami idegen megoldások elvesztéséhez vagy megszerzéséhez vezethet.

Másodszor, a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során meg kell tanulnia logikusan gondolkodni, és meg kell értenie az olyan fogalmak közötti különbséget, mint például az egyenlőtlenségek rendszere és az egyenlőtlenségek halmaza, hogy könnyen választhasson megoldásokat az egyenlőtlenségre, miközben a DL vezérli.

Harmadszor, az ilyen egyenlőtlenségek sikeres megoldásához mindenkinek tökéletesen ismernie kell az elemi függvények összes tulajdonságát, és világosan meg kell értenie jelentésüket. Az ilyen függvények nem csak logaritmikus, hanem racionális, hatványos, trigonometrikus stb. függvények is, egyszóval mindazok, amelyeket az iskolai algebra során tanultál.

Amint látja, a logaritmikus egyenlőtlenségek témájának tanulmányozása után semmi sem nehéz megoldani ezeket az egyenlőtlenségeket, feltéve, hogy gondosan és kitartóan éri el céljait. Az egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatos problémák elkerülése érdekében a lehető legtöbbet kell gyakorolnia, különféle feladatok megoldásában, és ugyanakkor emlékeznie kell az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának alapvető módszereire és rendszereire. Ha nem sikerül megoldani a logaritmikus egyenlőtlenségeket, alaposan elemezze a hibáit, hogy a jövőben ne térjen vissza hozzájuk.

Házi feladat

A téma jobb megértése és a tárgyalt anyag egységesítése érdekében oldja meg a következő egyenlőtlenségeket:

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során gyakran adódnak problémák változó logaritmusalappal. Így a forma egyenlőtlensége

egy standard iskolai egyenlőtlenség. Ennek megoldására általában egy egyenértékű rendszerkészletre való átállást használnak:

Ennek a módszernek a hátránya, hogy hét egyenlőtlenséget kell megoldani, nem számítva két rendszert és egy sokaságot. Már ezekkel a másodfokú függvényekkel is sok időt vehet igénybe a sokaság megoldása.

Lehetséges alternatív, kevésbé időigényes módszert javasolni ennek a standard egyenlőtlenségnek a megoldására. Ehhez a következő tételt vesszük figyelembe.

1. Tétel. Legyen egy X halmazon folytonos növekvő függvény. Ekkor ezen a halmazon a függvény növekményének előjele egybe fog esni az argumentum növekményének előjelével, azaz. , Hol .

Megjegyzés: ha egy X halmazon folyamatosan csökkenő függvény, akkor .

Térjünk vissza az egyenlőtlenséghez. Térjünk át a decimális logaritmusra (bármelyikre léphetünk, amelynek állandó bázisa nagyobb, mint egy).

Most már használhatja a tételt, és észreveszi a függvények növekedését a számlálóban és a nevezőben. Szóval igaz

Ennek eredményeként a válaszhoz vezető számítások száma körülbelül a felére csökken, ami nemcsak időt takarít meg, hanem lehetővé teszi, hogy potenciálisan kevesebb számtani és figyelmetlenségi hiba jöjjön el.

1. példa

Az (1)-el összehasonlítva azt találjuk , , .

Továbblépve a (2) pontra, a következőket fogjuk tudni:

2. példa

Az (1)-el összehasonlítva azt találjuk, hogy , , .

Továbblépve a (2) pontra, a következőket fogjuk tudni:

3. példa

Mivel az egyenlőtlenség bal oldala növekvő függvény, mint és , akkor sok lesz a válasz.

A sok példa, amelyben az 1. téma alkalmazható, könnyen bővíthető a 2. téma figyelembevételével.

Engedd a forgatásra X a , , , függvények definiálva vannak, és ezen a halmazon az előjelek és egybeesnek, azaz. , akkor igazságos lesz.

4. példa

5. példa.

A standard megközelítéssel a példát a következő séma szerint oldjuk meg: a szorzat kisebb, mint nulla, ha a tényezők eltérő előjelűek. Azok. két egyenlőtlenségi rendszerből álló halmazt vizsgálunk, amelyben, ahogy az elején jeleztük, minden egyenlőtlenség további hétre bomlik.

Ha figyelembe vesszük a 2. tételt, akkor a (2) figyelembe vételével minden faktor helyettesíthető egy másik függvénnyel, amelynek az előjele megegyezik ebben a példában O.D.Z.

A 2. Tétel figyelembevételével egy függvény növekményének argumentumnövekedéssel való helyettesítésének módszere nagyon kényelmesnek bizonyul a tipikus C3 egységes államvizsga-problémák megoldásában.

6. példa.

7. példa.

. Jelöljük. Megkapjuk

. Vegye figyelembe, hogy a csere a következőket jelenti: . Visszatérve az egyenlethez, azt kapjuk .

8. példa.

Az általunk használt tételekben nincs korlátozás a függvényosztályokra vonatkozóan. Ebben a cikkben példaként a tételeket logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására alkalmaztuk. A következő néhány példa bemutatja a módszer ígéretét más típusú egyenlőtlenségek megoldására.

A logaritmikus egyenlőtlenségek sokfélesége közül a változó bázisú egyenlőtlenségeket külön vizsgáljuk. Ezeket egy speciális képlettel oldják meg, amelyet valamilyen oknál fogva ritkán tanítanak az iskolában:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

A „∨” jelölőnégyzet helyett tetszőleges egyenlőtlenségjelet helyezhet el: többet vagy kevesebbet. A lényeg az, hogy mindkét egyenlőtlenségben az előjelek azonosak legyenek.

Így megszabadulunk a logaritmusoktól, és a problémát racionális egyenlőtlenségre redukáljuk. Ez utóbbi sokkal könnyebben megoldható, de a logaritmusok elvetésekor plusz gyökök jelenhetnek meg. Levágásukhoz elég megtalálni az elfogadható értékek tartományát. Ha elfelejtette egy logaritmus ODZ-jét, erősen ajánlom, hogy ismételje meg – lásd: „Mi a logaritmus”.

Mindent, ami az elfogadható értékek tartományával kapcsolatos, le kell írni és külön kell megoldani:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ez a négy egyenlőtlenség egy rendszert alkot, és egyszerre kell teljesülniük. Ha megtaláltuk az elfogadható értékek tartományát, nem marad más hátra, mint metszeni azt a racionális egyenlőtlenség megoldásával – és kész a válasz.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Először írjuk ki a logaritmus ODZ-jét:

Az első két egyenlőtlenség automatikusan teljesül, de az utolsót ki kell írni. Mivel egy szám négyzete akkor és csak akkor nulla, ha maga a szám nulla, így van:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je nulla kivételével minden szám: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Most megoldjuk a fő egyenlőtlenséget:

A logaritmikus egyenlőtlenségről áttérünk a racionális egyenlőtlenségre. Az eredeti egyenlőtlenségnek van egy „kisebb, mint” előjele, ami azt jelenti, hogy az eredményül kapott egyenlőtlenségnek is kell lennie egy „kisebb, mint” előjelnek. Nálunk:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Ennek a kifejezésnek a nullái: x = 3; x = -3; x = 0. Sőt, x = 0 a második multiplicitás gyöke, ami azt jelenti, hogy ezen áthaladva a függvény előjele nem változik. Nálunk:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ez a halmaz teljes mértékben benne van a logaritmus ODZ-jében, ami azt jelenti, hogy ez a válasz.

Logaritmikus egyenlőtlenségek konvertálása

Az eredeti egyenlőtlenség gyakran eltér a fentitől. Ez könnyen kijavítható a logaritmusokkal végzett munka szabványos szabályaival – lásd: „A logaritmusok alapvető tulajdonságai”. Ugyanis:

1. Bármely szám logaritmusként ábrázolható adott bázissal;
2. Az azonos bázisú logaritmusok összege és különbsége helyettesíthető egy logaritmussal.

Külön szeretném emlékeztetni az elfogadható értékek tartományára. Mivel az eredeti egyenlőtlenségben több logaritmus is lehet, meg kell találni mindegyik VA értékét. Így a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának általános sémája a következő:

1. Határozza meg az egyenlőtlenségben szereplő egyes logaritmusok VA értékét;
2. Csökkentse az egyenlőtlenséget egy standardra a logaritmusok összeadási és kivonási képleteivel;
3. Oldja meg a kapott egyenlőtlenséget a fenti séma segítségével!

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Keressük meg az első logaritmus definíciós tartományát (DO):

Intervallum módszerrel oldjuk meg. A számláló nulláinak megkeresése:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Ezután - a nevező nullái:

x − 1 = 0;
x = 1.

A koordináta nyílon nullákat és jeleket jelölünk:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). A második logaritmusnak ugyanaz a VA. Ha nem hiszi, megnézheti. Most átalakítjuk a második logaritmust úgy, hogy az alap kettő legyen:

Amint látja, a logaritmus alapjában és előtti hármasai csökkentek. Két azonos bázisú logaritmust kaptunk. Adjuk össze őket:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Megkaptuk a standard logaritmikus egyenlőtlenséget. A képlet segítségével megszabadulunk a logaritmusoktól. Mivel az eredeti egyenlőtlenség „kisebb, mint” jelet tartalmaz, a kapott racionális kifejezésnek is kisebbnek kell lennie nullánál. Nálunk:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Két készletet kaptunk:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Válaszjelölt: x ∈ (−1; 3).

Már csak metszeni kell ezeket a halmazokat - megkapjuk az igazi választ:

Minket a halmazok metszéspontja érdekel, ezért olyan intervallumokat választunk, amelyek mindkét nyílon árnyékoltak. Kapjuk x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - minden pont kilyukadt.

Egy egyenlőtlenséget logaritmikusnak nevezünk, ha logaritmikus függvényt tartalmaz.

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldási módszerei két dolgot kivéve nem különböznek egymástól.

Először is, amikor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére lépünk, kövessük a keletkező egyenlőtlenség jelét. Ez betartja a következő szabályt.

Ha a logaritmikus függvény alapja nagyobb, mint $1$, akkor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére haladva az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha viszont kisebb, mint $1$, akkor az ellenkezőjére változik. .

Másodszor, minden egyenlőtlenség megoldása egy intervallum, ezért a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségének megoldása végén két egyenlőtlenség rendszerét kell létrehozni: ennek a rendszernek az első egyenlőtlensége a szublogaritmikus függvények egyenlőtlensége lesz, a második pedig a logaritmikus egyenlőtlenségben szereplő logaritmikus függvények definíciós tartományának intervalluma lesz.

Gyakorlat.

Oldjuk meg az egyenlőtlenségeket:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

A logaritmus alapja $2>1$, tehát az előjel nem változik. A logaritmus definícióját felhasználva a következőket kapjuk:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )