A parametrikusan adott második derivált megkeresése. Paraméteresen definiált függvény deriváltja

Eddig olyan síkon lévő egyenesek egyenleteit vettük figyelembe, amelyek közvetlenül összekötik ezen egyenesek pontjainak aktuális koordinátáit. Az egyenes meghatározásának azonban gyakran más módszerét is alkalmazzák, amelyben az aktuális koordinátákat egy harmadik változó függvényének tekintik.

Legyen adott egy változó két függvénye

ugyanazokra a t értékekre tekintve. Ekkor a t ezen értékei közül bármelyik megfelel egy bizonyos értéknek és egy bizonyos y értéknek, tehát egy bizonyos pontnak. Amikor a t változó átfut a függvények definíciós tartományának összes értékén (73), a pont egy bizonyos C egyenest ír le a síkban. A (73) egyenleteket ennek az egyenesnek a paraméteres egyenleteinek nevezzük, a változót pedig hívjuk egy paraméter.

Tegyük fel, hogy a függvénynek van egy inverz függvénye, ha ezt a függvényt behelyettesítjük a (73) egyenletek közül, megkapjuk az egyenletet

y függvényként kifejezve

Egyezzünk meg abban, hogy ezt a függvényt a (73) egyenletek paraméteresen adják meg. Az ezekből az egyenletekből a (74) egyenletbe való átmenetet paraméter eliminációnak nevezzük. Ha a paraméteresen definiált függvényeket vizsgáljuk, a paraméter kizárása nemcsak hogy nem szükséges, de gyakorlatban sem mindig lehetséges.

Sok esetben sokkal kényelmesebb, ha a paraméterek különböző értékei vannak, a (73) képletekkel kiszámítani az y argumentum és függvény megfelelő értékeit.

Nézzünk példákat.

Példa 1. Legyen egy tetszőleges pont egy körön, amelynek középpontja az R origóban van. Ennek a pontnak a derékszögű x és y koordinátáit a poláris sugara és polárszöge fejezi ki, amelyet itt t-vel jelölünk, a következőképpen: lásd I. fejezet, 3. §, 3. bekezdés):

A (75) egyenleteket kör paraméteres egyenleteinek nevezzük. A paraméter bennük a poláris szög, amely 0 és - között változik.

Ha a (75) egyenleteket tagonként négyzetbe adjuk és összeadjuk, akkor az azonosság miatt a paraméter megszűnik, és a derékszögű koordinátarendszerben egy kör egyenletét kapjuk, amely két elemi függvényt határoz meg:

Ezen függvények mindegyike paraméteresen van megadva a (75) egyenletekkel, de ezeknek a függvényeknek a paramétertartománya eltérő. Közülük az elsőnek; Ennek a függvénynek a grafikonja a felső félkör. A második függvény grafikonja az alsó félkör.

2. példa Tekintsünk egyszerre egy ellipszist

és egy kör, amelynek középpontja az origóban van és sugara a (138. ábra).

Az ellipszis minden M pontjához hozzárendeljük a kör egy N pontját, amelynek abszcissza megegyezik az M ponttal, és vele az Ox tengelyének ugyanazon az oldalán található. Az N pont, tehát az M pont helyzetét teljesen meghatározza a pont t poláris szöge. Ebben az esetben a közös abszcisszára a következő kifejezést kapjuk: x = a. Az ellipszis egyenletéből megtaláljuk az M pont ordinátáját:

A jelet azért választottuk, mert az M pont ordinátájának és az N pont ordinátájának azonos előjelűnek kell lennie.

Így az alábbi paraméteres egyenleteket kapjuk az ellipszisre:

Itt a t paraméter 0 és .

Példa 3. Tekintsünk egy kört, amelynek középpontja az a) pontban és sugara a, és amely nyilvánvalóan érinti az x tengelyt az origóban (139. ábra). Tegyük fel, hogy ez a kör csúszás nélkül gördül az x tengely mentén. Ekkor a kör M pontja, amely a kezdeti pillanatban egybeesett a koordináták origójával, egy cikloidnak nevezett egyenest ír le.

Vezessük le a cikloid parametrikus egyenleteit úgy, hogy t paraméternek a kör MSV elfordulási szögét vesszük, amikor fix pontját O pozícióból M pozícióba mozgatjuk. Ekkor az M pont koordinátáira és y-jára a következő kifejezéseket kapjuk:

Tekintettel arra, hogy a kör csúszás nélkül gördül a tengely mentén, az OB szakasz hossza megegyezik a BM ív hosszával. Mivel a BM ív hossza egyenlő az a sugár és a t középponti szög szorzatával, akkor . Ezért . De ezért,

Ezek az egyenletek a cikloid paraméteres egyenletei. Amikor a t paraméter 0-ról körre változik, egy teljes fordulatot tesz. Az M pont a cikloid egyik ívét írja le.

A t paraméter itt való kizárása nehézkes kifejezésekhez vezet, és gyakorlatilag nem praktikus.

A vonalak paraméteres meghatározását különösen gyakran használják a mechanikában, és a paraméter szerepét az idő tölti be.

4. példa Határozzuk meg egy fegyverből kilőtt lövedék röppályáját, amelynek kezdeti sebessége a vízszinteshez képest a szöget zár be. A légellenállást és a lövedék méreteit figyelmen kívül hagyjuk, anyagi szempontnak tekintjük.

Válasszunk egy koordináta-rendszert. A koordináták origójának vegyük a lövedék torkolattól való kiindulási pontját. Irányítsuk az Ox tengelyt vízszintesen, az Oy tengelyt pedig függőlegesen, és helyezzük őket egy síkra a pisztolytorkolattal. Ha nem lenne gravitációs erő, akkor a lövedék egyenes vonalban mozogna, a szöget bezárva az Ox tengellyel, és a t időpontban megtette volna a távolságot nak nek: . A gravitáció miatt a lövedéknek ekkorra egy bizonyos mértéket függőlegesen le kell ereszkednie, ezért a valóságban a t időpontban a lövedék koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Ezek az egyenletek állandó mennyiségeket tartalmaznak. Amikor t változik, a lövedék pályapontjának koordinátái is megváltoznak. Az egyenletek a lövedékpálya paraméteres egyenletei, amelyekben a paraméter az idő

Kifejezés az első egyenletből és behelyettesítése a

a második egyenlet, a lövedék röppályájának egyenletét a következő formában kapjuk meg: Ez a parabola egyenlete.

Fontolja meg egy olyan vonal meghatározását egy síkon, amelyben az x, y változók egy harmadik t változó függvényei (úgynevezett paraméter):

Mindegyik értékhez t bizonyos értékek egy bizonyos intervallumból bizonyos értékeknek felelnek meg xÉs y, a, ezért a sík egy bizonyos M (x, y) pontja. Amikor t végigfut egy adott intervallum összes értéken, majd a ponton M (x, y) ír le néhány sort L. A (2.2) egyenleteket parametrikus egyenes egyenleteknek nevezzük L.

Ha az x = φ(t) függvény inverz t = Ф(x), akkor ezt a kifejezést az y = g(t) egyenletbe behelyettesítve y = g(Ф(x)) kapjuk, ami megadja y függvényében x. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a (2.2) egyenletek határozzák meg a függvényt y paraméteresen.

1. példa Hadd M(x,y)– tetszőleges pont egy sugarú körön Rés középpontjában az origó áll. Hadd t– szög a tengely között Ökörés sugár OM(lásd 2.3. ábra). Akkor x, y keresztül fejeződnek ki t:

A (2.3) egyenletek egy kör paraméteres egyenletei. Zárjuk ki a t paramétert a (2.3) egyenletekből. Ehhez minden egyenletet négyzetre emelünk, és összeadjuk, így kapjuk: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) vagy x 2 + y 2 = R 2 – a kör egyenlete a derékszögben. koordináta-rendszer. Két függvényt határoz meg: E függvények mindegyikét paraméteres egyenletek (2.3) adják meg, de az első függvényre és a másodikra.

2. példa. Paraméteres egyenletek

definiáljon egy ellipszist féltengelyekkel a, b(2.4. ábra). A paraméter kizárása az egyenletek közül t, megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

3. példa. Cikloidnak nevezzük azt az egyenest, amelyet egy körön fekvő pont ír le, ha ez a kör csúszás nélkül gördül egyenesen (2.5. ábra). Mutassuk be a cikloid parametrikus egyenleteit. Legyen a gördülő kör sugara a, pont M, amely a cikloidot írja le, a mozgás kezdete egybeesett a koordináták origójával.

Határozzuk meg a koordinátákat x, y pont M miután a kör egy szögben elfordult t
(2.5. ábra), t = ÐMCB. Ívhossz M.B. egyenlő a szakasz hosszával O.B. mivel a kör csúszás nélkül gördül, ezért

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – költség = a(1 – költség).

Tehát megkapjuk a cikloid parametrikus egyenleteit:

Paraméter megváltoztatásakor t 0-tól 2π a kör forog egy fordulatot, és a pont M egy cikloid egyik ívét írja le. A (2.5) egyenletek azt adják y függvényében x. Bár a funkció x = a(t – sint) van egy inverz függvénye, de nem elemi függvényekkel van kifejezve, tehát a függvény y = f(x) nem elemi függvényekkel fejeződik ki.

Tekintsük egy paraméteresen meghatározott függvény differenciálódását a (2.2) egyenletekkel. Az x = φ(t) függvénynek egy bizonyos t változási intervallumon inverz függvénye van t = Ф(x), Akkor y = g(Ф(x)). Hadd x = φ(t), y = g(t) származékai vannak, és x"t≠0. Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint y"x=y"t×t"x. Az inverz függvény megkülönböztetésének szabálya alapján tehát:

A kapott (2.6) képlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a paraméteresen meghatározott függvény deriváltját.

Példa 4. Legyen a függvény y, attól függ x, paraméteresen van megadva:

Megoldás. .
5. példa Keresse meg a lejtőt k a cikloid érintője a paraméter értékének megfelelő M 0 pontban.
Megoldás. A cikloid egyenletekből: y" t = asint, x" t = a(1 – költség), Ezért

Érintő meredeksége egy pontban M0 egyenlő az at értékkel t 0 = π/4:

DIFFERENCIÁLIS FUNKCIÓ

Legyen a függvény a pontban x 0 származéka van. A-prioritás:
ezért a határérték tulajdonságai szerint (1.8. pont), ahol a– végtelenül kicsi at Δx → 0. Innen

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Mivel Δx → 0, a (2.7) egyenlőség második tagja magasabb rendű infinitezimális, összehasonlítva , ezért Δy és f " (x 0) × Δx ekvivalensek, végtelenül kicsik (f "(x 0) ≠ 0 esetén).

Így a Δy függvény növekménye két tagból áll, amelyek közül az első f "(x 0) × Δx fő rész Δy növekmény, lineáris Δx-hez képest (f "(x 0)≠ 0 esetén).

Differenciális Az f(x) függvényt az x 0 pontban a függvény növekményének fő részének nevezzük, és ezt jelöljük: dy vagy df(x0). Ennélfogva,

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)

1. példa Keresse meg egy függvény differenciálját dyés a Δy függvény növekménye az y = x 2 függvényre:
1) önkényes xés Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Megoldás

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ha x 0 = 20, Δx = 0,1, akkor Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Írjuk fel a (2.7) egyenlőséget a következő formában:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

A Δy növekmény különbözik a differenciáltól dyΔx-hez képest magasabb rendű infinitezimálisra, ezért a közelítő számításoknál a Δy ≈ dy közelítő egyenlőséget használjuk, ha Δx elég kicsi.

Figyelembe véve, hogy Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), egy közelítő képletet kapunk:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

2. példa. Hozzávetőlegesen számoljon.

Megoldás. Fontolgat:

A (2.10) képlet segítségével megkapjuk:

Tehát ≈ 2,025.

Tekintsük a differenciál geometriai jelentését df(x 0)(2.6. ábra).

Rajzoljunk egy érintőt az y = f(x) függvény grafikonjára az M 0 pontban (x0, f(x 0)), legyen φ a KM0 érintő és az Ox tengely közötti szög, majd f"( x 0) = tanφ ΔM0NP-ből:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). De PN az érintő ordináta növekménye, amikor x változik x 0-ról x 0 + Δx értékre.

Következésképpen az f(x) függvény különbsége az x 0 pontban egyenlő az érintő ordinátájának növekedésével.

Keressük meg a függvény differenciálját
y = x. Mivel (x)" = 1, akkor dx = 1×Δx = Δx. Feltételezzük, hogy az x független változó differenciája egyenlő a növekményével, azaz dx = Δx.

Ha x egy tetszőleges szám, akkor a (2.8) egyenlőségből df(x) = f "(x)dx, ahonnan .
Így egy y = f(x) függvény deriváltja egyenlő a differenciáljának az argumentum differenciáljához viszonyított arányával.

Tekintsük egy függvény differenciáljának tulajdonságait.

Ha u(x), v(x) differenciálható függvények, akkor a következő képletek érvényesek:

Ezen képletek bizonyítására egy függvény összegének, szorzatának és hányadosának derivált képleteit használjuk. Bizonyítsuk be például a (2.12) képletet:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Tekintsük egy komplex függvény differenciálját: y = f(x), x = φ(t), azaz. y = f(φ(t)).

Ekkor dy = y" t dt, de y" t = y" x ×x" t, tehát dy =y" x x" t dt. Figyelembe véve,

hogy x" t = dx, azt kapjuk, hogy dy = y" x dx =f "(x)dx.

Így az y = f(x) komplex függvény differenciáljának, ahol x =φ(t), alakja dy = f "(x)dx, ugyanaz, mint abban az esetben, ha x független változó. Ez a tulajdonság nak, nek hívják a differenciál alakjának változatlansága A.

Legyen a függvény paraméteres módon megadva:
(1)
ahol valamilyen paraméternek nevezett változó. És legyen a függvényeknek deriváltjai a változó egy bizonyos értékénél. Ezenkívül a függvénynek van egy inverz függvénye is a pont bizonyos környezetében. Ekkor az (1) függvénynek van deriváltja a pontban, amelyet paraméteres formában a következő képletek határoznak meg:
(2)

Itt és a függvények deriváltjai és a változó (paraméter) vonatkozásában. Gyakran a következőképpen írják őket:
;
.

Ekkor a (2) rendszer a következőképpen írható fel:

Bizonyíték

Feltétel szerint a függvénynek inverz függvénye van. Jelöljük úgy
.
Ekkor az eredeti függvény összetett függvényként ábrázolható:
.
Keressük meg a deriváltját az összetett és inverz függvények megkülönböztetésének szabályai alapján:
.

A szabály bevált.

Bizonyítás a második módon

Keressük meg a deriváltot a második módon, a függvény deriváltjának definíciója alapján a pontban:
.
Bemutatjuk a jelölést:
.
Ekkor az előző képlet a következő alakot veszi fel:
.

Használjuk ki, hogy a függvénynek van egy inverz függvénye a pont közelében.
Vezessük be a következő jelölést:
; ;
; .
Osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét:
.
Nál nél , . Akkor
.

A szabály bevált.

Magasabb rendű származékok

A magasabb rendű származékok megtalálásához többszöri differenciálást kell végrehajtani. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy paraméteresen definiált függvény másodrendű deriváltját a következő formában:
(1)

A (2) képlet segítségével megtaláljuk az első deriváltot, amelyet szintén paraméteresen határozunk meg:
(2)

Jelöljük az első deriváltot a változóval:
.
Ezután egy függvény második deriváltjának a változóhoz való megkereséséhez meg kell találnia a függvény első deriváltját a változóhoz képest. Egy változó változótól való függését is paraméteres módon határozzuk meg:
(3)
Összehasonlítva (3) az (1) és (2) képletekkel, azt kapjuk, hogy:

Most fejezzük ki az eredményt a és függvényeken keresztül. Ehhez helyettesítsük be és alkalmazzuk a derivált törtképletet:
.
Akkor
.

Innen megkapjuk a függvény második deriváltját a változóhoz képest:

Paraméteres formában is megadjuk. Ne feledje, hogy az első sor a következőképpen is írható:
.

Folytatva a folyamatot, egy harmadik és magasabb rendű változóból kaphat függvények deriváltjait.

Megjegyezzük, hogy nem kell jelölést bevezetnünk a származékra. Ezt így írhatod:
;
.

1. példa

Keresse meg a paraméteresen meghatározott függvény deriváltját:

Megoldás

Találunk származékokat és tekintetében.
A származékok táblázatából a következőket találjuk:
;
.
Jelentkezünk:

.
Itt .

.
Itt .

A szükséges származék:
.

Válasz

2. példa

Keresse meg a paraméterrel kifejezett függvény deriváltját:

Megoldás

Bontsuk ki a zárójeleket a hatványfüggvények és gyökök képleteivel:
.

A származék megkeresése:

.

A származék megkeresése. Ehhez bevezetünk egy változót, és alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

.

Megtaláljuk a kívánt származékot:
.

Válasz

3. példa

Keresse meg az 1. példában paraméteresen definiált függvény másod- és harmadrendű deriváltját:

Megoldás

Az 1. példában megtaláltuk az elsőrendű származékot:

Bemutatjuk a megnevezést. Ekkor a függvény derivált a -hoz képest. Paraméteresen van megadva:

Ahhoz, hogy megtaláljuk a második deriváltot -re vonatkozóan, meg kell találnunk az első deriváltot -re vonatkozóan.

Tegyünk különbséget a szerint.
.
Az 1. példában megtaláltuk a származékát:
.
A másodrendű derivált a következő tekintetében egyenlő az elsőrendű származékkal:
.

Megtaláltuk tehát a másodrendű deriváltot a parametrikus forma tekintetében:

Most megtaláljuk a harmadrendű származékot. Bemutatjuk a megnevezést. Ezután meg kell találnunk a függvény elsőrendű deriváltját, amelyet paraméteresen adunk meg:

Keresse meg a derivált tekintetében . Ehhez átírjuk egyenértékű formában:
.
Tól től
.

A harmadrendű derivált az alábbiak tekintetében egyenlő az elsőrendű származékkal:
.

Megjegyzés

Nem kell megadnia a és változókat, amelyek a és származékai. Akkor így írhatod:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Válasz

Paraméteres ábrázolásban a másodrendű derivált alakja a következő:

Harmadrendű származék.

A függvény többféleképpen megadható. Ez attól függ, hogy milyen szabályt használnak a meghatározásához. A függvény megadásának kifejezett formája y = f (x). Vannak esetek, amikor a leírása lehetetlen vagy kényelmetlen. Ha sok pár (x; y) van, amelyet ki kell számítani a t paraméterhez az (a; b) intervallumon keresztül. Az x = 3 rendszer megoldásához cos t y = 3 sin t 0 ≤ t mellett< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Paraméteres függvény definíciója

Innentől azt kapjuk, hogy x = φ (t), y = ψ (t) egy t ∈ (a; b) értékre van definiálva, és van egy inverz függvénye t = Θ (x) x = φ (t) esetén, akkor egy y = ψ alakú függvény parametrikus egyenletének megadásáról beszélünk (Θ (x)) .

Vannak esetek, amikor egy függvény tanulmányozásához meg kell keresni a deriváltot x-re vonatkozóan. Tekintsük egy y x " = ψ " (t) φ " (t) alakú, parametrikusan meghatározott függvény deriváltjának képletét, beszéljünk a 2. és n-edrendű deriváltról.

Paraméteresen definiált függvény deriváltjának képletének levezetése

Megvan, hogy x = φ (t), y = ψ (t), definiált és differenciálható t ∈ a esetén; b, ahol x t " = φ " (t) ≠ 0 és x = φ (t), akkor van egy t = Θ (x) alakú inverz függvény.

Először is át kell térnie a paraméteres feladatról egy explicit feladatra. Ehhez meg kell szerezni egy y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) alakú komplex függvényt, ahol van egy x argumentum.

A komplex függvény deriváltjának megtalálására vonatkozó szabály alapján azt kapjuk, hogy y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Ez azt mutatja, hogy t = Θ (x) és x = φ (t) inverz függvények a Θ " (x) = 1 φ " (t) inverz függvény képletéből, akkor y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Térjünk át arra, hogy több példát is megoldjunk egy derivált táblázat segítségével a differenciálási szabály szerint.

1. példa

Határozzuk meg az x = t 2 + 1 y = t függvény deriváltját!

Megoldás

Feltétellel azt kapjuk, hogy φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, innen azt kapjuk, hogy φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Használja a származtatott képletet, és írja be a választ a következő formában:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Válasz: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Ha egy h függvény deriváltjával dolgozik, a t paraméter az x argumentum kifejezését adja meg ugyanazon a t paraméteren keresztül, hogy ne veszítse el a kapcsolatot a derivált értékei és a paraméteresen meghatározott függvény értékei között a amelyeknek ezek az értékek megfelelnek.

Egy parametrikusan adott függvény másodrendű deriváltjának meghatározásához az eredményül kapott függvényen az elsőrendű derivált képletét kell használni, akkor azt kapjuk, hogy

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

2. példa

Határozzuk meg az adott x = cos (2 t) y = t 2 függvény 2. és 2. rendű deriváltját!

Megoldás

Feltétellel azt kapjuk, hogy φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Majd az átalakulás után

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Ebből következik, hogy y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Azt kapjuk, hogy az elsőrendű derivált alakja x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

A megoldáshoz a másodrendű derivált képletet kell alkalmazni. A forma kifejezését kapjuk

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Ezután a másodrendű derivált megadása paraméteres függvény segítségével

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Hasonló megoldás más módszerrel is megoldható. Akkor

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Innentől azt kapjuk

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Válasz: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Hasonló módon megtalálhatóak a parametrikusan meghatározott függvényekkel rendelkező magasabb rendű deriváltak is.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Logaritmikus differenciálás

Elemi függvények származékai

A megkülönböztetés alapszabályai

Funkció differenciál

A függvény növekményének fő lineáris része A D x függvény differenciálhatóságának meghatározásában

D f=f(x)-f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

a függvény differenciáljának nevezzük f(x) azon a ponton x 0 és jelöljük

df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.

A különbség a ponttól függ x 0 és a D növekedésből x. D-n x ugyanakkor független változónak tekintik, tehát minden pontban a differenciál a D növekmény lineáris függvénye x.

Ha függvénynek tekintjük f(x)=x, akkor megkapjuk dx= D x,dy=Adx. Ez összhangban van Leibniz jelölésével

A differenciál geometriai értelmezése egy érintő ordinátájának növekményeként.

Rizs. 4.3

1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Következmény. (vö(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 és a derivált akkor létezik f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

A rövidség kedvéért jelöljük u=u(x), u 0 =u(x 0), akkor

Áthaladás a D-nél x® 0 megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

5) Komplex függvény deriváltja.

Tétel. Ha vannak f¢(x 0), g¢(x 0)és x 0 =g(t 0), majd valamilyen környéken t 0 f komplex függvény van definiálva(g(t)), a t pontban differenciálható 0 És

Bizonyíték.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Osszuk el ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát ( t - t 0) és menjünk a határig t®t 0 .

6) Az inverz függvény deriváltjának kiszámítása.

Tétel. Legyen f folyamatos és szigorúan monoton on[a,b]. Legyen az x pontban 0 Î( a,b)van f¢(x 0)¹ 0 , akkor az x=f inverz függvény -1 (y)az y pontban van 0 származéka egyenlő

Bizonyíték. számolunk f szigorúan monoton növekvő, akkor f -1 (y) folyamatos, monoton növekszik [ f(a),f(b)]. Tegyük fel y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,

y - y 0 =D y. A D inverz függvény folytonossága miatt y®0 Þ D x®0, megvan

A határértékre lépve megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

7) A páros függvény deriváltja páratlan, a páratlan függvény deriváltja páros.

Valóban, ha x® - x 0 , Az - x® x 0 , Ezért

Páros funkcióhoz páratlan funkcióhoz

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(egy x)¢ = a x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x,

Következmény. (a páros függvény deriváltja páratlan)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (bűn x)¢= kötözősaláta x,

9) (cos x)¢=- bűn x,(kötözősaláta x)¢= (bűn( x+ p/2)) ¢= kötözősaláta( x+ p/2)=-bűn x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/sin 2 x.

16)sh x, ch x.

f(x),, amiből az következik f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Ugyanazt a képletet különbözőképpen lehet előállítani f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Példa. Számítsa ki egy függvény deriváltját! f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Pontok geometriai elhelyezkedése egy síkon

függvény gráfjának nevezzük, paraméteresen megadva. Beszélnek egy függvény parametrikus specifikációjáról is.

1. megjegyzés. Ha x, y folyamatos számára [a,b] És x(t) szigorúan monoton a szegmensen (például szigorúan monoton növekszik), majd a [ a,b], a=x(a) , b=x b) függvény meghatározott f(x)=y(t(x)), ahol t(x) – x(t) inverz függvénye. Ennek a függvénynek a grafikonja egybeesik a függvény grafikonjával

Ha a definíciós tartomány egy parametrikusan adott függvény véges számú szegmensre osztható ,k= 1,2,...,n, amelyek mindegyikén van egy funkció x(t) szigorúan monoton, akkor a parametrikusan meghatározott függvény véges számú közönséges függvényre bomlik fk(x)=y(t -1 (x)) domainekkel [ x(a k), x(b k)] szakaszok növelésére x(t) és domainekkel [ x(b k), x(a k)] csökkenő funkciójú területekre x(t). Az így kapott függvényeket egy paraméteresen meghatározott függvény egyértékű ágainak nevezzük.

Az ábra egy paraméteresen meghatározott függvény grafikonját mutatja

A kiválasztott paraméterezéssel a definíciós terület öt szakaszra oszlik, amelyek a sin(2 t), pontosan: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , és ennek megfelelően a gráf öt, ezeknek a szakaszoknak megfelelő egyértelmű ágra bomlik.

Rizs. 4.4

Rizs. 4.5

A pontok azonos geometriai helyéhez eltérő paraméterezést is választhat

Ebben az esetben csak négy ilyen ág lesz. Megfelelnek a szigorú monoton területeknek tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funkciókat bűn (2 t).

Rizs. 4.6

A sin függvény monotonitásának négy szakasza(2 t) egy hosszú szakaszon.

Rizs. 4.7

Mindkét grafikon egy ábrán való ábrázolása lehetővé teszi egy parametrikusan meghatározott függvény grafikonjának közelítő ábrázolását, mindkét függvény monotonitási területeinek felhasználásával.

Példaként tekintsük a szegmensnek megfelelő első ágat tÎ . A szakasz végén a függvény x= bűn (2 t) -1 értéket vesz fel és 1 , ezért ez az ág a [-1,1] helyen lesz meghatározva. Ezek után meg kell nézni a második funkció monotóniás területeit y= kötözősaláta( t), rajta a monotónia két szakasza . Ez lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy az első ágnak két monotonitási szakasza van. Miután megtalálta a grafikon végpontjait, összekötheti azokat egyenes vonalakkal, hogy jelezze a grafikon monotóniájának jellegét. Miután ezt minden ágnál megtettük, megkapjuk a grafikon egyértelmű ágainak monotonitási területeit (az ábrán pirossal vannak kiemelve)

Rizs. 4.8

Az első egyértékű ág f 1 (x)=y(t(x)) , az oldalnak megfelelő számára lesz meghatározva xО[-1,1] . Az első egyértékű ág tÎ , xО[-1,1].

A többi három ágnak is lesz egy definíciós tartománya [-1,1] .

Rizs. 4.9

Második ág tÎ xО[-1,1].

Rizs. 4.10

Harmadik ág tÎ xО[-1,1]

Rizs. 4.11

Negyedik ág tÎ xО[-1,1]

Rizs. 4.12

Megjegyzés 2. Ugyanannak a funkciónak különböző paraméteres beállításai lehetnek. A különbségek magukra a funkciókra vonatkozhatnak x(t), y(t) , és a definíció tartománya ezeket a funkciókat.

Példa különböző paraméteres hozzárendelésekre ugyanazon funkcióhoz

És tО[-1, 1] .

3. megjegyzés. Ha x,y folyamatosan világít , x(t)- szigorúan monoton a szegmensen és vannak származékai y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, akkor van f¢(x 0)= .

Igazán, .

Az utolsó állítás egy paraméteresen meghatározott függvény egyértékű ágaira is vonatkozik.

4.2 A magasabb rendű származékok és differenciálok

Magasabb származékok és differenciálok. Paraméteresen megadott függvények differenciálása. Leibniz képlete.