Magasabb rendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Másodrendű és magasabb rendű differenciálegyenletek

Gyakran csak egy említés differenciál egyenletek kényelmetlenül érzi magát a tanulókban. Miért történik ez? Leggyakrabban azért, mert az anyag alapjainak tanulmányozásakor tudáshiány keletkezik, ami miatt a difúrok további tanulmányozása egyszerűen kínzássá válik. Nem világos, mit tegyünk, hogyan döntsünk, hol kezdjem?

Megpróbáljuk azonban megmutatni, hogy a difúrok nem olyan bonyolultak, mint amilyennek látszik.

Differenciálegyenletek elméletének alapfogalmai

Az iskolából ismerjük a legegyszerűbb egyenleteket, amelyekben meg kell találnunk az ismeretlen x-et. Valójában differenciál egyenletek csak kissé különbözik tőlük – változó helyett x függvényt kell bennük találni y(x) , ami az egyenletet azonossággá alakítja.

D differenciál egyenletek nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ez nem elvont matematika, aminek semmi köze a minket körülvevő világhoz. Sok valódi természeti folyamatot differenciálegyenletekkel írnak le. Például egy húr rezgései, egy harmonikus oszcillátor mozgása, differenciálegyenleteket használva a mechanikai feladatokban, találja meg a test sebességét és gyorsulását. Is DU széles körben használják a biológiában, kémiában, közgazdaságtanban és sok más tudományban.

Differenciálegyenlet (DU) egy egyenlet, amely az y(x) függvény származékait, magát a függvényt, független változókat és egyéb paramétereket tartalmazza különféle kombinációkban.

Sokféle differenciálegyenlet létezik: közönséges differenciálegyenletek, lineáris és nemlineáris, homogén és inhomogén, első és magasabb rendű differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek stb.

A differenciálegyenlet megoldása egy függvény, amely azonossággá alakítja. A távirányítónak vannak általános és speciális megoldásai.

A differenciálegyenlet általános megoldása olyan általános megoldáskészlet, amely az egyenletet azonossággá alakítja. A differenciálegyenlet részleges megoldása olyan megoldás, amely kielégíti a kezdetben meghatározott további feltételeket.

A differenciálegyenlet sorrendjét deriváltjainak legmagasabb rendje határozza meg.

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek egy független változót tartalmazó egyenletek.

Tekintsük a legegyszerűbb, elsőrendű közönséges differenciálegyenletet. Úgy néz ki:

Ez az egyenlet egyszerűen megoldható a jobb oldalának integrálásával.

Példák az ilyen egyenletekre:

Elválasztható egyenletek

Általában az ilyen típusú egyenlet így néz ki:

Íme egy példa:

Egy ilyen egyenlet megoldása során el kell választani a változókat, és formába kell hozni:

Ezt követően marad mindkét alkatrész integrálása és a megoldás megszerzése.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az ilyen egyenletek így néznek ki:

Itt p(x) és q(x) a független változó néhány függvénye, és y=y(x) a kívánt függvény. Íme egy példa egy ilyen egyenletre:

Egy ilyen egyenlet megoldása során leggyakrabban egy tetszőleges állandó változtatásának módszerét alkalmazzák, vagy a kívánt függvényt két másik függvény szorzataként ábrázolják: y(x)=u(x)v(x).

Az ilyen egyenletek megoldásához bizonyos előkészületekre van szükség, és meglehetősen nehéz lesz „egy pillantásra” átvenni őket.

Példa elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet megoldására

Megnéztük tehát a távirányítók legegyszerűbb típusait. Most nézzük meg az egyik megoldását. Legyen ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.

Először is írjuk át a származékot egy ismertebb formában:

Ezután felosztjuk a változókat, vagyis az egyenlet egyik részében összegyűjtjük az összes „én”-t, a másikban pedig az „X-et”:

Most a két rész integrálása van hátra:

Integráljuk és általános megoldást kapunk erre az egyenletre:

Természetesen a differenciálegyenletek megoldása egyfajta művészet. Meg kell értened, hogy milyen típusú egyenletről van szó, és azt is meg kell tanulnod látni, hogy milyen átalakításokat kell vele végrehajtani ahhoz, hogy egyik vagy másik formához vezess, nem is beszélve a megkülönböztetés és az integráció képességéről. A DE megoldásához pedig gyakorlat kell (mint mindenben). És ha jelenleg nincs ideje megérteni a differenciálegyenletek megoldását, vagy a Cauchy-probléma csontként akadt a torkodon, vagy nem tudja, lépjen kapcsolatba szerzőinkkel. Rövid időn belül kész és részletes megoldást adunk Önnek, melynek részleteit bármikor megértheti az Ön számára megfelelő időben. Addig is javasoljuk, hogy nézzen meg egy videót a „Differenciálegyenletek megoldása” témában:

A számítástechnika elmélete inhomogén differenciálegyenletek(DU) ebben a kiadványban nem szerepel, az előző leckékből elegendő információt találhat a kérdés megválaszolásához "Hogyan lehet megoldani egy inhomogén differenciálegyenletet?" Az inhomogén DE mértéke itt nem játszik nagy szerepet, nem sok olyan módszer létezik, amely lehetővé teszi az ilyen DE-k megoldásának kiszámítását. A példákban szereplő válaszok könnyebb elolvasása érdekében a fő hangsúlyt csak a számítási módszerre és tippekre helyezzük, amelyek megkönnyítik a végső függvény levezetését.

1. példa Differenciálegyenlet megoldása
Megoldás: Adott harmadrendű homogén differenciálegyenlet, Sőt, csak a második és harmadik származékot tartalmazza, és nincs függvénye és első deriváltja. Ilyen esetekben alkalmazza a fokozatcsökkentés módszerét differenciálegyenlet. Ehhez adjunk meg egy paramétert - jelöljük a második deriváltot a p paraméteren keresztül

akkor a függvény harmadik deriváltja egyenlő

Az eredeti homogén DE a formára lesz egyszerűsítve

Akkor differenciálokban írjuk redukáljuk egy elválasztott változó egyenletreés integrálással találja meg a megoldást

Ne feledje, hogy a paraméter a függvény második deriváltja

ezért magának a függvénynek a képletének megtalálásához kétszer integráljuk a talált differenciális függést

A függvényben a C 1 , C 2 , C 3 értékek tetszőleges értékekkel egyenlőek.
Így néz ki a séma egyszerűen: keressük meg egy homogén differenciálegyenlet általános megoldását paraméter bevezetésével. A következő feladatok összetettebbek, és belőlük tanul meg harmadrendű inhomogén differenciálegyenleteket megoldani. Van némi különbség a homogén és heterogén szabályozási rendszerek között a számítások tekintetében, amint azt most látni fogja.

2. példa megtalálja
Megoldás: Harmadik rendelésünk van. Ezért a megoldását kettő összege formájában kell keresni - egy homogén egyenlet megoldása és egy inhomogén egyenlet konkrét megoldása

Először döntsük el

Mint látható, csak a függvény második és harmadik deriváltját tartalmazza, magát a függvényt nem. Ez a fajta diff. Az egyenleteket egy paraméter bevezetésével oldjuk meg, amely a viszont csökkenti és leegyszerűsíti az egyenlet megoldásának megtalálását. A gyakorlatban ez így néz ki: legyen a második derivált egyenlő egy bizonyos függvénnyel, akkor a harmadik deriváltnak formálisan a jelölése lesz

A tekintett 3. rendű homogén differenciálegyenletet az elsőrendű egyenletté alakítjuk

ahonnan a változókat elosztva megtaláljuk az integrált
x*dp-p*dx=0;

Javasoljuk a képletek számozását az ilyen feladatoknál, mivel a 3. rendű differenciálegyenlet megoldása 3, a negyedrendű 4 állandó, és így tovább analógia alapján. Most visszatérünk a bevezetett paraméterhez: mivel a második deriváltnak van alakja, akkor integrálva, ha egyszer függőséget kapunk a függvény deriváltjára

és ismételt integrációval azt találjuk egy homogén függvény általános formája

Az egyenlet részleges megoldásaÍrjuk fel változóként, szorozva logaritmussal. Ez abból a tényből következik, hogy a DE jobb (inhomogén) része egyenlő -1/x-szel, és ezzel egyenértékű jelölést kapunk

formában kell keresni a megoldást

Keressük meg az A együtthatót, ehhez számítsuk ki az első és másodrendű deriváltokat

Helyettesítsük be a talált kifejezéseket az eredeti differenciálegyenletbe, és egyenlítsük ki az együtthatókat x azonos hatványai mellett:

Az acél értéke egyenlő -1/2, és alakja

Differenciálegyenlet általános megoldásaírja le a találtak összegeként

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók, amelyek a Cauchy-probléma segítségével finomíthatók.

3. példa Keresse meg a DE harmadrendű integrálját
Megoldás: Egy harmadrendű inhomogén differenciálegyenlet általános integrálját keressük homogén és parciális inhomogén egyenlet megoldásainak összege formájában. Először is, bármilyen típusú egyenlet esetén kezdjük homogén differenciálegyenlet elemzése

A jelenleg ismeretlen függvénynek csak a második és harmadik származékát tartalmazza. Bevezetjük a változók (paraméter) változását: a második deriválttal jelöljük

Ekkor a harmadik derivált egyenlő

Ugyanezeket az átalakításokat végeztük el az előző feladatban is. Ez lehetővé teszi redukáljunk egy harmadrendű differenciálegyenletet a forma elsőrendű egyenletére

Az integrációval azt találjuk

Emlékeztetünk arra, hogy a változók változásának megfelelően ez csak a második derivált

és egy homogén harmadrendű differenciálegyenlet megoldásához kétszer kell integrálni

A jobb oldal típusa alapján (nem egységes rész =x+1), Az egyenletre részmegoldást keresünk a formában

Hogyan lehet tudni, hogy milyen formában keressünk részmegoldást? A differenciálegyenletek tantárgy elméleti részében kellett volna tanítani. Ha nem, akkor csak azt tudjuk javasolni, hogy a függvénynek olyan kifejezést válasszunk, hogy az egyenletbe behelyettesítéskor a legmagasabb deriváltot tartalmazó vagy annál fiatalabb tag az egyenlet inhomogén részéhez hasonló rendű (hasonló) legyen.

Azt hiszem, most már egyértelműbb számodra, honnan származik a privát megoldás típusa. Keressük meg az A, B együtthatókat, ehhez számítsuk ki a függvény második és harmadik deriváltját

és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. A hasonló tagok csoportosítása után megkapjuk a lineáris egyenletet

amelyből a változó azonos hatványaira egyenletrendszert alkotni

és találj ismeretlen acélokat. Helyettesítésük után a függőség fejezi ki

Differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén és a részleges összegével, és alakja van

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók.

4. példa P differenciálegyenlet megoldása
Megoldás: Van egy megoldásunk, amelyet az összegen keresztül fogunk megtalálni. Ismeri a számítási sémát, ezért nézzük tovább homogén differenciálegyenlet

A szabványos módszer szerint írja be a paramétert
Az eredeti differenciálegyenlet olyan formát ölt, ahonnan a változókat elosztva találjuk

Ne feledje, hogy a paraméter megegyezik a második deriválttal
A DE integrálásával megkapjuk a függvény első deriváltját

Ismételt integrációval keresse meg a homogén differenciálegyenlet általános integrálját

Az egyenletre részmegoldást keresünk a formában, mivel a jobb oldal egyenlő
Keressük meg az A együtthatót - ehhez cseréljük be y*-ot a differenciálegyenletbe, és egyenlősítsük az együtthatót a változó azonos hatványainál

A kifejezések behelyettesítése és csoportosítása után megkapjuk a függőséget

ebből az acél egyenlő A=8/3.
Így tudunk írni a DE részleges megoldása

Differenciálegyenlet általános megoldása megegyezik a találtak összegével

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók. Ha a Cauchy feltétel adott, akkor nagyon könnyen definiálhatjuk őket.

Úgy gondolom, hogy az anyag hasznos lesz számodra a gyakorlati órákra, modulokra vagy tesztekre való felkészülés során. A Cauchy-problémát itt nem tárgyaltuk, de a korábbi leckékből általában tudod, hogyan kell csinálni.

Magasabb rendű differenciálegyenletek

A magasabb rendű differenciálegyenletek (DEHE) alapvető terminológiája.

A , ahol n >1 (2)

magasabb rendű differenciálegyenletnek nevezzük, azaz. n-edik sorrend.

DU definíciós terület, n sorrendben van egy régió .

Ezen a tanfolyamon a következő típusú vezérlőrendszereket veszik figyelembe:

Cauchy probléma DU VP:

Adják a távirányítót,
és kezdeti feltételek n/a: számok .

Meg kell találni egy folytonos és n-szer differenciálható függvényt
:

1)
megoldása az adott DE-re -on, azaz.
;

2) teljesíti az adott kezdeti feltételeket: .

Másodrendű DE esetén a probléma megoldásának geometriai értelmezése a következő: a ponton átmenő integrálgörbét keresünk. (x 0 , y 0 ) és egy szögegyütthatós egyenest érintő k = y 0 ́ .

Létezés és egyediség tétel(a Cauchy-probléma megoldásai DE esetében (2)):

Ha 1)
folyamatos (összesen (n+1) érvek) a területen
; 2)
folyamatos (az érvek összessége felett
) -ban, akkor ! a Cauchy-probléma megoldása DE-re, a megadott kezdeti feltételek teljesítésével n/a: .

A régiót a DE egyediség régiójának nevezik.

A VP távirányító általános megoldása (2) – n -paraméteres funkció,
, Ahol
– tetszőleges állandók, amelyek kielégítik a következő követelményeket:

1)

– DE (2) megoldása a ;

2) n/a az egyediség területéről!
:
megfelel az adott kezdeti feltételeknek.

Megjegyzés.

Kapcsolat megtekintése
, amely implicit módon meghatározza a DE (2) általános megoldását, ún általános integrál DU.

Privát megoldás A DE (2) egy adott érték általános megoldásából származik .

VP távirányító integrálása.

A magasabb rendű differenciálegyenletek általában nem oldhatók meg egzakt analitikai módszerekkel.

Határozzuk meg a DUVP egy bizonyos típusát, amely lehetővé teszi a sorrendben történő redukciókat, és négyzetekre redukálható. Tablettázzuk az ilyen típusú egyenleteket és a sorrendjük csökkentésére szolgáló módszereket.

VP DU-k, amelyek lehetővé teszik a rendelések csökkentését

		Rendeléscsökkentési módszer
	A vezérlőrendszer hiányos, nem tartalmaz . Például,	Stb. Után n A többszörös integráció általános megoldást ad a DE-re.
	Az egyenlet nem teljes; egyértelműen nem tartalmazza a szükséges funkciót és ő első származékai. Például,	Helyettesítés -kal csökkenti az egyenlet sorrendjét k egységek.
	Hiányos egyenlet; nyilvánvalóan nem tartalmaz érvet a kívánt funkciót. Például,	Helyettesítés az egyenlet sorrendje eggyel csökken.
	Az egyenlet pontos deriváltja, lehet teljes vagy hiányos. Egy ilyen egyenlet átalakítható (*) ́= (*)́ alakra, ahol az egyenlet jobb és bal oldala néhány függvény pontos deriváltja.	Az egyenlet jobb és bal oldalának az argumentum fölé integrálása eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét.
		Helyettesítés eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét.

A homogén függvény definíciója:

Funkció
változókban homogénnek nevezzük
, Ha


a függvény definíciós tartományának bármely pontján
;

– homogenitási sorrend.

Például egy homogén függvénye a 2. rendű tekintetében
, azaz .

1. példa:

Keresse meg a távirányító általános megoldását
.

DE 3. rendű, hiányos, nem tartalmaz kifejezetten
. Az egyenletet szekvenciálisan háromszor integráljuk.

,

– a távirányító általános megoldása.

2. példa:

Oldja meg a távirányító Cauchy-problémáját
nál nél

.

A másodrendű DE, hiányos, nem tartalmaz kifejezetten .

Helyettesítés
és származéka
eggyel csökkenti a távirányító sorrendjét.

. Kaptunk egy elsőrendű DE-t – a Bernoulli-egyenletet. Ennek az egyenletnek a megoldására a Bernoulli-helyettesítést használjuk:

,

és illessze be az egyenletbe.

Ebben a szakaszban megoldjuk az egyenlet Cauchy-feladatát
:
.

– elsőrendű egyenlet elválasztható változókkal.

A kezdeti feltételeket behelyettesítjük az utolsó egyenlőségbe:

Válasz:
a Cauchy-probléma megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételeket.

3. példa:

Oldd meg a DE-t.

– A 2. rendű DE, hiányos, nem tartalmazza kifejezetten a változót, ezért lehetővé teszi a sorrend eggyel csökkentését helyettesítéssel ill.
.

Megkapjuk az egyenletet
(legyen
).

– 1. rendű DE elválasztó változókkal. Válasszuk szét őket.

– a DE általános integrálja.

4. példa:

Oldd meg a DE-t.

Az egyenlet
egzakt deriváltokban van egyenlet. Igazán,
.

Integráljuk a bal és a jobb oldalt a -hoz képest, azaz.
vagy . 1. rendű DE-t kaptunk elválasztható változókkal, azaz.
– a DE általános integrálja.

Példa5:

Oldja meg a Cauchy-problémát
nál nél .

DE 4. rendű, hiányos, nem tartalmaz kifejezetten
. Ha észrevesszük, hogy ez az egyenlet pontos deriváltokban van, azt kapjuk
vagy
,
. Helyettesítsük be a kezdeti feltételeket ebbe az egyenletbe:
. Vegyünk egy távirányítót
Az első típus 3. rendje (lásd a táblázatot). Integráljuk háromszor, és minden integráció után behelyettesítjük a kezdeti feltételeket az egyenletbe:

Válasz:
- az eredeti DE Cauchy-probléma megoldása.

6. példa:

Oldja meg az egyenletet.

– DE 2. rendű, teljes, homogenitást tartalmaz a tekintetében
. Helyettesítés
csökkenti az egyenlet sorrendjét. Ehhez redukáljuk az egyenletet a formára
, elosztva az eredeti egyenlet mindkét oldalát . És megkülönbözteti a funkciót p:

.

Cseréljük
És
távirányítóban:
. Ez egy elsőrendű egyenlet elválasztható változókkal.

Tekintve, hogy
, kapunk távirányítót ill
– az eredeti DE általános megoldása.

A magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek elmélete.

Alapvető terminológia.

– NLDU sorrendben, ahol folytonos függvények vannak egy bizonyos intervallumon.

Ezt a távirányító folytonossági intervallumának nevezik (3).

Vezessünk be egy (feltételes) differenciáloperátort, a sorrendben

Amikor a függvényre hat, azt kapjuk

Azaz egy harmadrendű lineáris differenciálegyenlet bal oldala.

Ennek eredményeként az LDE írható

Az operátor lineáris tulajdonságai
:

1) – additív tulajdonság

2)
– szám – homogenitás tulajdonság

A tulajdonságok könnyen ellenőrizhetők, mivel ezeknek a függvényeknek a deriváltjai hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek (véges derivált összeg egyenlő véges számú derivált összegével; a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből).

Hogy.
– lineáris operátor.

Vizsgáljuk meg a Cauchy-probléma megoldásának létezését és egyediségét az LDE esetében
.

Oldjuk meg az LDE-t tekintetében
: ,
, – folytonossági intervallum.

Folyamatos függvény a tartományban, deriváltak
folyamatos a területen

Következésképpen az egyediség tartománya, amelyben a Cauchy LDE-probléma (3) egyedi megoldással rendelkezik, és csak a pont megválasztásától függ.
, az összes többi argumentumérték
funkciókat
tetszőlegesen felvehető.

Az OLDE általános elmélete.

– folytonossági intervallum.

Az OLDE megoldások főbb tulajdonságai:

1. Additivitás tulajdonság

(
– OLDE (4) megoldása a )
(
– OLDE (4) megoldása a ).

Bizonyíték:

– OLDE (4) megoldása be

– OLDE (4) megoldása be

Akkor

2. A homogenitás tulajdonsága

( – OLDE (4) megoldása on ) (
(– numerikus mező))

– OLDE (4) megoldása a .

A bizonyíték hasonló.

Az additív és homogenitás tulajdonságait az OLDE lineáris tulajdonságainak nevezzük (4).

Következmény:

(
– OLDE (4) megoldása a )(

– OLDE (4) megoldása a ).

3. ( – OLDE (4) komplex értékű megoldása a )(
az OLDE (4) valós értékű megoldásai a ).

Bizonyíték:

Ha az OLDE (4) megoldása on , akkor az egyenletbe behelyettesítve azonossággá alakítja, azaz.
.

Az operátor linearitása miatt az utolsó egyenlőség bal oldala a következőképpen írható fel:
.

Ez azt jelenti, hogy , azaz az OLDE (4) valós értékű megoldásai a -n.

Az OLDE-ekre vonatkozó megoldások későbbi tulajdonságai a „koncepcióhoz kapcsolódnak lineáris függőség”.

Véges függvényrendszer lineáris függésének meghatározása

Egy függvényrendszerről azt mondjuk, hogy lineárisan függ attól, hogy van-e nem triviális számkészlet
úgy, hogy a lineáris kombináció
funkciókat
ezekkel a számokkal azonosan egyenlő nullával on , azaz.
.n ami helytelen. A tétel bizonyított.differenciál egyenletekmagasabbnagyságrendekkel(4 óra...

Másodrendű és magasabb rendű differenciálegyenletek.
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal.
Példák megoldásokra.

Térjünk át a másodrendű differenciálegyenletekre és a magasabb rendű differenciálegyenletekre. Ha homályos elképzelése van arról, hogy mi a differenciálegyenlet (vagy egyáltalán nem érti, mi az), akkor azt javaslom, hogy kezdje a leckével Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra. Az elsőrendű diffúzok számos megoldási elve és alapkoncepciója automatikusan kiterjed a magasabb rendű differenciálegyenletekre is, ezért nagyon fontos először megérteni az elsőrendű egyenleteket.

Sok olvasónak lehet olyan előítélete, hogy a 2., 3. és egyéb rendelések távirányítóját nagyon nehéz és elérhetetlen dolog elsajátítani. Ez rossz . A magasabb rendű diffúzok megoldásának megtanulása aligha nehezebb, mint a „hétköznapi” elsőrendű DE-k. És néhol még egyszerűbb is, mivel a megoldások aktívan felhasználják az iskolai tananyagot.

Legnepszerubb másodrendű differenciálegyenletek. Másodrendű differenciálegyenlethez Szükségszerűen tartalmazza a második származékot és nem tartalmazza

Megjegyzendő, hogy a babák egy része (sőt, egyszerre mindegyik) hiányozhat az egyenletből, fontos, hogy az apa otthon legyen. A legprimitívebb másodrendű differenciálegyenlet így néz ki:

A gyakorlati feladatokban a harmadrendű differenciálegyenletek sokkal ritkábban fordulnak elő, szubjektív megfigyeléseim szerint az Állami Dumában a szavazatok 3-4%-át kapnák.

Harmadrendű differenciálegyenlethez Szükségszerűen tartalmazza a harmadik származékot és nem tartalmazza magasabb rendű származékok:

A legegyszerűbb harmadrendű differenciálegyenlet így néz ki: – apa otthon van, minden gyerek kimegy sétálni.

Hasonló módon definiálhat 4., 5. és magasabb rendű differenciálegyenleteket. Gyakorlati problémák esetén az ilyen vezérlőrendszerek ritkán hibáznak, azonban megpróbálok releváns példákat hozni.

A gyakorlati feladatokban javasolt magasabb rendű differenciálegyenletek két fő csoportra oszthatók.

1) Az első csoport - az ún sorrendben redukálható egyenletek. Gyerünk!

2) Második csoport – magasabb rendű lineáris egyenletek állandó együtthatókkal. Amit most elkezdünk nézni.

Másodrendű lineáris differenciálegyenletek
állandó együtthatókkal

Elméletben és gyakorlatban kétféle ilyen egyenletet különböztetnek meg: homogén egyenletÉs inhomogén egyenlet.

Homogén másodrendű DE állandó együtthatókkal a következő formája van:
, ahol és a konstansok (számok), és a jobb oldalon – szigorúan nulla.

Mint látható, a homogén egyenletekkel nincs különösebb nehézség, a lényeg az másodfokú egyenlet helyes megoldása.

Néha vannak nem szabványos homogén egyenletek, például egy egyenlet a formában , ahol a második deriváltnál van valamilyen egységtől eltérő (és természetesen nullától eltérő) állandó. A megoldási algoritmus egyáltalán nem változik, nyugodtan meg kell alkotnia egy karakterisztikus egyenletet, és meg kell találnia a gyökereit. Ha a karakterisztikus egyenlet két különböző valódi gyökere lesz, például: , akkor az általános megoldást a szokásos séma szerint írjuk: .

Egyes esetekben az állapot elírása miatt „rossz” gyökerek keletkezhetnek, ilyesmi . Mi a teendő, a választ így kell írni:

A „rossz” konjugált összetett gyökerekkel, mint pl semmi gond, általános megoldás:

vagyis amúgy van általános megoldás. Mert minden másodfokú egyenletnek két gyöke van.

Az utolsó bekezdésben, ahogy ígértem, röviden megvizsgáljuk:

Magasabb rendű lineáris homogén egyenletek

Minden nagyon-nagyon hasonló.

Egy harmadrendű lineáris homogén egyenletnek a következő alakja van:
, hol vannak az állandók.
Ehhez az egyenlethez egy karakterisztikus egyenletet is létre kell hoznia, és meg kell találnia a gyökereit. A karakterisztikus egyenlet, amint azt sokan sejtették, így néz ki:
, és az Akárhogyan is Megvan pontosan három gyökér

Legyen például minden gyökér valódi és különálló: , akkor az általános megoldást a következőképpen írjuk le:

Ha az egyik gyök valódi, a másik kettő pedig konjugált komplex, akkor az általános megoldást a következőképpen írjuk le:

Speciális eset, amikor mindhárom gyök többszöröse (ugyanaz). Tekintsük a 3. rendű legegyszerűbb homogén DE-t magányos apával: . A karakterisztikus egyenletnek három egybeeső nulla gyöke van. Az általános megoldást a következőképpen írjuk:

Ha a karakterisztikus egyenlet például három többszörös gyöke van, akkor az általános megoldás ennek megfelelően a következő:

9. példa

Oldjon meg egy homogén harmadrendű differenciálegyenletet!

Megoldás:Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

, – egy valódi gyökér és két konjugált komplex gyök keletkezik.

Válasz: közös döntés

Hasonlóképpen tekinthetünk egy negyedrendű lineáris homogén egyenletet állandó együtthatókkal: , ahol konstansok.