V. Varijacijski nizovi, prosječne vrijednosti, varijabilnost svojstva

Varijacijski nizovi je niz numeričkih vrijednosti obilježja.

Glavne karakteristike varijacijskog niza: v - varijanta, p - učestalost njenog pojavljivanja.

Vrste serija varijacija:

prema učestalosti pojavljivanja varijanti: jednostavni - varijanta se javlja jednom, težinski - varijanta se javlja dva ili više puta;

opcije po mjestu: rangirane - opcije su poredane silaznim i uzlaznim redoslijedom, nerangirane - opcije nisu napisane bez određenog redoslijeda;

grupiranjem opcije u grupe: grupirane - opcije se kombiniraju u grupe, negrupirane - opcije nisu grupirane;

opcije po vrijednosti: kontinuirane - opcije su izražene kao cijeli broj i razlomački broj, diskretne - opcije su izražene kao cijeli broj, složene - opcije su predstavljene relativnom ili prosječnom vrijednošću.

Varijacijski niz se sastavlja i izrađuje kako bi se izračunale prosječne vrijednosti.

Oblik zapisa niza varijacija:

8. Prosječne vrijednosti, vrste, način izračuna, primjena u zdravstvu

Prosječne vrijednosti- ukupna generalizirajuća karakteristika kvantitativnih karakteristika. Primjena prosjeka:

1. Okarakterizirati organizaciju rada zdravstvenih ustanova i ocijeniti njihovu djelatnost:

a) u poliklinici: pokazatelji opterećenosti liječnika, prosječan broj posjeta, prosječan broj stanovnika na području;

b) u bolnici: prosječan broj posteljnih dana godišnje; prosječno trajanje boravka u bolnici;

c) u centru za higijenu, epidemiologiju i javno zdravstvo: prosječna površina (ili kubični kapacitet) po 1 osobi, prosječni prehrambeni standardi (bjelančevine, masti, ugljikohidrati, vitamini, mineralne soli, kalorije), sanitarne norme i standardi i dr. ;

2. Karakterizirati tjelesni razvoj (glavne antropometrijske značajke morfološke i funkcionalne);

3. Odrediti medicinske i fiziološke parametre organizma u normalnim i patološkim stanjima u kliničkim i eksperimentalnim studijama.

4. U posebnim znanstvenim istraživanjima.

Razlika između prosječnih vrijednosti i pokazatelja:

1. Koeficijenti karakteriziraju alternativnu značajku koja se pojavljuje samo u nekom dijelu statističkog tima, a koja se može ili ne mora dogoditi.

Prosječne vrijednosti pokrivaju znakove svojstvene svim članovima tima, ali u različitim stupnjevima (težina, visina, dani liječenja u bolnici).

2. Koeficijenti se koriste za mjerenje kvalitativnih značajki. Prosječne vrijednosti su za različita kvantitativna svojstva.

Vrste prosjeka:

aritmetička sredina, njezine karakteristike - standardna devijacija i prosječna pogreška

način i medijan. Moda (Mo)- odgovara vrijednosti svojstva koje se najčešće nalazi u ovoj populaciji. Medijan (ja)- vrijednost atributa, koja zauzima srednju vrijednost u ovoj populaciji. Dijeli niz na 2 jednaka dijela prema broju promatranja. Aritmetička srednja vrijednost (M)- za razliku od moda i medijana, oslanja se na sva opažanja, stoga je važna karakteristika za cjelokupnu distribuciju.

druge vrste prosjeka koji se koriste u posebnim studijama: srednji kvadratni, kubni, harmonijski, geometrijski, progresivni.

Aritmetička sredina karakterizira prosječnu razinu statističke populacije.

Za jednostavnu seriju gdje

∑v – opcija zbroja,

n je broj opažanja.

za ponderirani niz, gdje

∑vr je zbroj umnoška svake opcije i učestalosti njezina pojavljivanja

n je broj opažanja.

Standardna devijacija aritmetička sredina ili sigma (σ) karakterizira raznolikost obilježja

- za jednostavan red

Σd 2 - zbroj kvadrata razlike između aritmetičke sredine i svake opcije (d = │M-V│)

n je broj opažanja

- za ponderirane serije

∑d 2 p je zbroj umnožaka kvadrata razlike između aritmetičke sredine i svake opcije i učestalosti njenog pojavljivanja,

n je broj opažanja.

Stupanj raznolikosti može se procijeniti prema vrijednosti koeficijenta varijacije
. Više od 20% - jaka raznolikost, 10-20% - srednja raznolikost, manje od 10% - slaba raznolikost.

Ako se jedna sigma (M ± 1σ) doda i oduzme od aritmetičke sredine, tada će s normalnom raspodjelom najmanje 68,3% svih varijanti (promatranja) biti unutar ovih granica, što se smatra normom za fenomen koji se proučava. . Ako je k 2 ± 2σ, tada će 95,5% svih opažanja biti unutar ovih granica, a ako je k M ± 3σ, tada će 99,7% svih opažanja biti unutar ovih granica. Dakle, standardna devijacija je standardna devijacija koja omogućuje predviđanje vjerojatnosti pojave takve vrijednosti osobine koja se proučava, a koja je unutar navedenih granica.

Prosječna pogreška aritmetičke sredine ili greška reprezentativnosti. Za jednostavne, ponderirane serije i prema pravilu momenata:

.

Za izračunavanje prosječnih vrijednosti potrebno je: homogenost materijala, dovoljan broj promatranja. Ako je broj opažanja manji od 30, u formulama za izračun σ i m koristi se n-1.

Pri ocjeni dobivenog rezultata veličinom prosječne pogreške koristi se koeficijent pouzdanosti koji omogućuje određivanje vjerojatnosti točnog odgovora, odnosno ukazuje da rezultirajuća pogreška uzorka neće biti veća od stvarne pogreške nastala kao rezultat kontinuiranog promatranja. Posljedično, s povećanjem vjerojatnosti povjerenja, povećava se širina intervala povjerenja, što zauzvrat povećava pouzdanost prosudbe, podršku dobivenog rezultata.

​ Varijacijski niz - niz u kojem se uspoređuju (uzlaznim ili silaznim redoslijedom) opcije i njihove dotične frekvencije

Varijante su zasebni kvantitativni izrazi svojstva. Označava se latiničnim slovom V . Klasično razumijevanje pojma "varijanta" pretpostavlja da se svaka jedinstvena vrijednost značajke naziva varijantom, bez obzira na broj ponavljanja.

Na primjer, u varijacijskom nizu pokazatelja sistoličkog krvnog tlaka izmjerenog u deset bolesnika:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

samo 6 vrijednosti su opcije:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Učestalost je broj koji pokazuje koliko se puta opcija ponavlja. Označava se latiničnim slovom P . Zbroj svih frekvencija (koji je, naravno, jednak broju svih proučavanih) označava se kao n.

U našem primjeru, frekvencije će poprimiti sljedeće vrijednosti:
• za varijantu 110 učestalost P = 1 (vrijednost 110 javlja se kod jednog pacijenta),
• za varijantu 120 učestalost P = 2 (vrijednost 120 javlja se kod dva pacijenta),
• za varijantu 130 učestalost P = 3 (vrijednost 130 javlja se kod tri pacijenta),
• za varijantu 140 učestalost P = 2 (vrijednost 140 javlja se kod dva pacijenta),
• za varijantu 160 učestalost P = 1 (vrijednost 160 javlja se kod jednog pacijenta),
• za varijantu 170 učestalost P = 1 (vrijednost 170 javlja se kod jednog pacijenta),

Vrste serija varijacija:

1. jednostavan- ovo je serija u kojoj se svaka opcija pojavljuje samo jednom (sve frekvencije su jednake 1);
2. suspendiran- serija u kojoj se jedna ili više opcija ponavlja.

Niz varijacija koristi se za opisivanje velikih nizova brojeva; u tom su obliku inicijalno prikazani prikupljeni podaci većine medicinskih studija. Za karakterizaciju niza varijacija izračunavaju se posebni pokazatelji, uključujući prosječne vrijednosti, pokazatelje varijabilnosti (tzv. disperzija), pokazatelje reprezentativnosti podataka uzorka.

Indikatori serije varijacija

1) Aritmetička sredina je generalizirajući pokazatelj koji karakterizira veličinu proučavanog svojstva. Aritmetička sredina se označava kao M , najčešći je tip prosjeka. Aritmetička sredina se izračunava kao omjer zbroja vrijednosti pokazatelja svih jedinica promatranja prema broju svih ispitanih. Metoda za izračunavanje aritmetičke sredine razlikuje se za jednostavne i ponderirane varijacijske serije.

Formula za izračun jednostavna aritmetička sredina:

Formula za izračun ponderirana aritmetička sredina:

M = Σ(V * P)/ n

2) Mod - druga prosječna vrijednost niza varijacija, koja odgovara najčešće ponavljanoj varijanti. Ili, drugačije rečeno, to je opcija koja odgovara najvišoj frekvenciji. Određen kao Mo . Način se izračunava samo za ponderirane serije, budući da se u jednostavnim serijama nijedna od opcija ne ponavlja i sve su frekvencije jednake jedinici.

Na primjer, u nizu varijacija vrijednosti otkucaja srca:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

vrijednost načina je 86, budući da se ova varijanta pojavljuje 3 puta, stoga je njegova frekvencija najveća.

​

3) Medijan - vrijednost opcije, koja dijeli niz varijacija na pola: s obje strane postoji jednak broj opcija. Medijan, kao i aritmetička sredina i modus, odnose se na prosječne vrijednosti. Određen kao Mi

4) Standardna devijacija (sinonimi: standardna devijacija, sigma devijacija, sigma) - mjera varijabilnosti niza varijacija. To je integralni pokazatelj koji objedinjuje sve slučajeve odstupanja varijante od srednje vrijednosti. Zapravo, odgovara na pitanje: koliko daleko i koliko često se opcije šire od aritmetičke sredine. Označava se grčkim slovom σ ("sigma").

Kada je veličina populacije veća od 30 jedinica, standardna devijacija izračunava se pomoću sljedeće formule:

Za male populacije - 30 jedinica promatranja ili manje - standardna devijacija se izračunava pomoću druge formule:

Metoda grupiranja također vam omogućuje mjerenje varijacija(varijabilnost, fluktuacija) znakova. S relativno malim brojem jedinica populacije, varijacija se mjeri na temelju rangiranih nizova jedinica koje čine populaciju. Red se zove rangiran ako su jedinice raspoređene u uzlaznom (silaznom) obilježju.

Međutim, rangirane serije su prilično indikativne kada je potrebna komparativna karakteristika varijacije. Osim toga, u mnogim slučajevima imamo posla sa statističkim agregatima koji se sastoje od velikog broja jedinica, koje je praktički teško prikazati u obliku određene serije. U tom smislu, radi početnog općeg upoznavanja sa statističkim podacima, a posebno radi lakšeg proučavanja varijacije znakova, proučavane pojave i procesi obično se spajaju u skupine, a rezultati grupiranja sastavljaju se u obliku grupnih tablica. .

Ako u tablici grupa postoje samo dva stupca - grupe prema odabranom obilježju (opcije) i broju grupa (učestalosti ili učestalosti), naziva se blizu distribucije.

Raspon distribucije - najjednostavniji tip strukturnog grupiranja prema jednom atributu, prikazan u grupnoj tablici s dva stupca koji sadrže varijante i učestalosti atributa. U mnogim slučajevima, s takvim strukturnim grupiranjem, t.j. sastavljanjem serija distribucije počinje proučavanje polazne statističke građe.

Strukturno grupiranje u obliku niza distribucije može se pretvoriti u pravo strukturno grupiranje ako su odabrane skupine karakterizirane ne samo učestalostima, već i drugim statističkim pokazateljima. Glavna svrha serija distribucije je proučavanje varijacija značajki. Teorija serija distribucije detaljno je razvijena matematičkom statistikom.

Distribucijske serije dijele se na atributivni(grupiranje po atributskim obilježjima, npr. podjela stanovništva po spolu, nacionalnosti, bračnom statusu itd.) i varijacijski(grupiranje po kvantitativnim obilježjima).

Varijacijski nizovi je skupna tablica koja sadrži dva stupca: grupiranje jedinica prema jednom kvantitativnom svojstvu i broj jedinica u svakoj skupini. Intervali u varijacijskom nizu obično su jednaki i zatvoreni. Niz varijacija je sljedeće grupiranje ruskog stanovništva u smislu prosječnog novčanog dohotka po stanovniku (tablica 3.10).

Tablica 3.10

Distribucija stanovništva Rusije prema prosječnom dohotku po glavi stanovnika u razdoblju 2004.-2009

Skupine stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po stanovniku, rub./mjesec	Stanovništvo u skupini, u % od ukupnog broja
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Preko 25.000,00
Sve stanovništvo

Varijacijski nizovi se pak dijele na diskretne i intervalne. Diskretna serije varijacija kombiniraju varijante diskretnih značajki koje variraju unutar uskih granica. Primjer diskretne serije varijacija je distribucija ruskih obitelji prema broju djece koju imaju.

Interval varijacijski nizovi kombiniraju varijante ili kontinuiranih značajki ili diskretnih značajki koje se mijenjaju u širokom rasponu. Intervalni niz je varijacijski niz raspodjele ruskog stanovništva u smislu prosječnog novčanog dohotka po glavi stanovnika.

Diskretni varijacijski nizovi se ne koriste često u praksi. U međuvremenu, njihovo sastavljanje nije teško, budući da je sastav skupina određen specifičnim varijantama koje proučavane karakteristike grupiranja zapravo posjeduju.

Intervalni varijacijski nizovi su rašireniji. Pri njihovom sastavljanju postavlja se teško pitanje broja skupina, kao i veličine intervala koje treba uspostaviti.

Načela za rješavanje ovog pitanja navedena su u poglavlju o metodologiji za izradu statističkih grupa (vidi paragraf 3.3).

Nizovi varijacija su sredstvo sažimanja ili sažimanja različitih informacija u kompaktni oblik; mogu se koristiti za donošenje prilično jasne prosudbe o prirodi varijacije, za proučavanje razlika u znakovima pojava uključenih u skup koji se proučava. Ali najvažnije značenje varijacijskih nizova je da se na njihovoj osnovi izračunavaju posebne generalizirajuće karakteristike varijacije (vidi Poglavlje 7).

varijacijski nazvane serije distribucije izgrađene na kvantitativnoj osnovi. Vrijednosti kvantitativnih obilježja u pojedinim jedinicama populacije nisu konstantne, više ili manje se međusobno razlikuju.

Varijacija- fluktuacija, varijabilnost vrijednosti atributa u jedinicama populacije. Nazivaju se zasebne numeričke vrijednosti svojstva koje se pojavljuju u proučavanoj populaciji opcije vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije čini nužnim dopunjavanje prosječnih vrijednosti pokazateljima koji omogućuju procjenu tipičnosti tih prosjeka mjerenjem fluktuacije (varijacije) osobine koja se proučava.

Prisutnost varijacije posljedica je utjecaja velikog broja čimbenika na formiranje razine svojstva. Ti čimbenici djeluju nejednakom snagom i u različitim smjerovima. Indikatori varijacije koriste se za opisivanje mjere varijabilnosti svojstva.

Zadaci statističkog proučavanja varijacije:

• 1) proučavanje prirode i stupnja varijacije znakova u pojedinim jedinicama populacije;
• 2) utvrđivanje uloge pojedinih čimbenika ili njihovih skupina u varijaciji pojedinih obilježja stanovništva.

U statistici se koriste posebne metode proučavanja varijacije koje se temelje na korištenju sustava pokazatelja, S kojim se mjeri varijacija.

Proučavanje varijacija je bitno. Mjerenje varijacija je neophodno kada se provodi promatranje uzorka, analiza korelacije i varijance itd. Ermolaev O.Yu. Matematička statistika za psihologe: Udžbenik [Tekst] / O.Yu. Ermolaev. - M.: Izdavačka kuća Flint Moskovskog psihološkog i socijalnog instituta, 2012. - 335 str.

Prema stupnju varijacije može se suditi o homogenosti populacije, stabilnosti pojedinačnih vrijednosti obilježja i tipičnosti prosjeka. Na njihovoj osnovi razvijaju se pokazatelji bliskosti odnosa između znakova, pokazatelji za procjenu točnosti selektivnog promatranja.

Postoji varijacija u prostoru i varijacija u vremenu.

Varijacija u prostoru shvaćena je kao fluktuacija vrijednosti obilježja u jedinicama populacije koje predstavljaju odvojene teritorije. Pod varijacijom u vremenu podrazumijeva se promjena vrijednosti atributa u različitim vremenskim razdobljima.

Za proučavanje varijacije u nizu distribucije, sve varijante vrijednosti atributa raspoređene su uzlaznim ili silaznim redoslijedom. Taj se proces naziva rangiranje serije.

Najjednostavniji znakovi varijacije su minimum i maksimum- najmanja i najveća vrijednost atributa u agregatu. Broj ponavljanja pojedinih varijanti vrijednosti obilježja naziva se učestalost ponavljanja (fi). Prikladno je frekvencije zamijeniti frekvencijama - wi. Učestalost - relativni pokazatelj učestalosti, koji se može izraziti u dijelovima jedinice ili postotku i omogućuje vam usporedbu nizova varijacija s različitim brojem opažanja. Izraženo formulom:

gdje Xmax, Xmin - maksimalne i minimalne vrijednosti atributa u agregatu; n je broj grupa.

Za mjerenje varijacije svojstva koriste se različiti apsolutni i relativni pokazatelji. Apsolutni pokazatelji varijacije uključuju raspon varijacije, prosječnu linearnu devijaciju, varijancu, standardnu ​​devijaciju. Relativni pokazatelji fluktuacije uključuju koeficijent oscilacije, relativno linearno odstupanje, koeficijent varijacije.

Primjer pronalaženja niza varijacija

Vježbajte. Za ovaj uzorak:

• a) Pronađite niz varijacija;
• b) Konstruirati funkciju distribucije;

br.=42. Primjeri stavki:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Riješenje.

• a) konstrukcija rangiranog varijacijskog niza:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) konstrukcija diskretnog varijacijskog niza.

Izračunajmo broj grupa u nizu varijacija pomoću Sturgessove formule:

Uzmimo da je broj grupa jednak 7.

Znajući broj grupa, izračunavamo vrijednost intervala:

Radi praktičnosti konstruiranja tablice, uzet ćemo broj grupa jednak 8, interval će biti 1.

Riža. jedan Obujam prodaje robe po trgovini za određeno vremensko razdoblje

(definicija varijacijskog niza; komponente varijacijskog niza; tri oblika varijacijskog niza; svrsishodnost konstruiranja intervalnog niza; zaključci koji se mogu izvući iz konstruiranog niza)

Varijacijski niz je niz svih elemenata uzorka poredanih neopadajućim redoslijedom. Ponavljaju se isti elementi

Varijacijski - to su serije izgrađene na kvantitativnoj osnovi.

Varijacijski niz distribucije sastoji se od dva elementa: varijante i frekvencije:

Varijante su numeričke vrijednosti kvantitativnog svojstva u nizu varijacija distribucije. Mogu biti pozitivne i negativne, apsolutne ili relativne. Dakle, kada grupirate poduzeća prema rezultatima gospodarske aktivnosti, opcije su pozitivne - to je dobit, a negativne brojke - to je gubitak.

Učestalosti su brojevi pojedinačnih varijanti ili svake skupine niza varijacija, tj. ovo su brojevi koji pokazuju koliko se često određene opcije pojavljuju u seriji distribucije. Zbroj svih frekvencija naziva se volumen populacije i određen je brojem elemenata cijele populacije.

Frekvencije su frekvencije izražene kao relativne vrijednosti (frakcije jedinica ili postoci). Zbroj frekvencija je jednak jedan ili 100%. Zamjena frekvencija frekvencijama omogućuje usporedbu varijacijskih nizova s ​​različitim brojem opažanja.

Postoje tri oblika varijacijskih serija: rangirane serije, diskretne serije i intervalne serije.

Rangirani niz je distribucija pojedinačnih jedinica populacije u uzlaznom ili silaznom redoslijedu osobine koja se proučava. Rangiranje olakšava podjelu kvantitativnih podataka u skupine, odmah otkriva najmanje i najveće vrijednosti značajke, ističe vrijednosti koje se najčešće ponavljaju.

Ostali oblici serije varijacija su skupne tablice sastavljene prema prirodi varijacije u vrijednostima svojstva koje se proučava. Po prirodi varijacije razlikuju se diskretni (diskontinuirani) i kontinuirani znakovi.

Diskretni niz je takav varijacijski niz, čija se konstrukcija temelji na znakovima s diskontinuiranom promjenom (diskretni znakovi). Potonji uključuju tarifnu kategoriju, broj djece u obitelji, broj zaposlenih u poduzeću itd. Ovi znakovi mogu imati samo konačan broj određenih vrijednosti.

Diskretni varijacijski niz je tablica koja se sastoji od dva stupca. Prvi stupac označava određenu vrijednost atributa, a drugi - broj populacijskih jedinica s određenom vrijednošću atributa.

Ako znak ima kontinuiranu promjenu (iznos prihoda, radno iskustvo, trošak dugotrajne imovine poduzeća itd., koji može poprimiti bilo koju vrijednost unutar određenih granica), tada se za ovaj znak mora izgraditi niz intervalnih varijacija.

Grupna tablica ovdje također ima dva stupca. Prvi označava vrijednost značajke u intervalu "od - do" (opcije), drugi - broj jedinica uključenih u interval (učestalost).

Frekvencija (učestalost ponavljanja) - broj ponavljanja određene varijante vrijednosti atributa, označen fi , i zbroj učestalosti jednak volumenu proučavane populacije, označen

Gdje je k broj opcija vrijednosti atributa

Vrlo često je tablica dopunjena stupcem u kojem se izračunavaju akumulirane frekvencije S koje pokazuju koliko jedinica populacije ima vrijednost obilježja koja nije veća od te vrijednosti.

Niz diskretne varijacije distribucije je niz u kojem su grupe sastavljene prema značajki koja diskretno varira i ima samo cjelobrojne vrijednosti.

Intervalni varijacijski niz distribucije je niz u kojem atribut grupiranja, koji čini osnovu grupiranja, može poprimiti bilo koje vrijednosti u određenom intervalu, uključujući frakcijske.

Intervalni varijacijski niz je uređeni skup intervala varijacije vrijednosti slučajne varijable s odgovarajućim frekvencijama ili učestalostima vrijednosti veličine koje spadaju u svaku od njih.

Svrsishodno je izgraditi niz intervalne distribucije, prije svega, uz kontinuiranu varijaciju svojstva, a također i ako se diskretna varijacija manifestira u širokom rasponu, tj. broj opcija za diskretnu značajku prilično je velik.

Već iz ovog niza može se izvući nekoliko zaključaka. Na primjer, prosječni element niza varijacija (medijan) može biti procjena najvjerojatnijeg rezultata mjerenja. Prvi i zadnji element varijacijskog niza (tj. minimalni i maksimalni element uzorka) pokazuju širenje elemenata uzorka. Ponekad, ako se prvi ili zadnji element jako razlikuju od ostatka uzorka, tada su isključeni iz rezultata mjerenja, s obzirom da su te vrijednosti dobivene kao rezultat neke vrste grubog kvara, na primjer, tehnologije.