Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Međusobni raspored linija

Neka je dana neka ravna linija dana linearnom jednadžbom i točka dana svojim koordinatama (x0, y0) koja ne leži na toj ravnici. Potrebno je pronaći točku koja bi bila simetrična danoj točki u odnosu na danu ravnu crtu, odnosno poklapala bi se s njom, ako je ravnina mentalno savijena na pola duž ove ravne crte.

Uputa

1. Jasno je da obje točke - zadana i željena - moraju ležati na istoj pravoj liniji, a ta linija mora biti okomita na zadanu. Dakle, prvi dio problema je pronaći jednadžbu pravca koji bi bio okomit na neki zadani pravac i istovremeno prolazio kroz zadanu točku.

2. Ravnu liniju možemo definirati na dva načina. Kanonska jednadžba ravne linije izgleda ovako: Ax + By + C = 0, gdje su A, B i C konstante. Također, ravna linija se može odrediti pomoću linearne funkcije: y \u003d kx + b, gdje je k kutni eksponent, b je pomak. Ove dvije metode su međusobno zamjenjive i dopušteno je kretati se od jedne do druge. Ako je Ax + By + C = 0, tada je y = – (Ax + C)/B. Drugim riječima, u linearnoj funkciji y = kx + b, kutni eksponent k = -A/B, a pomak b = -C/B. Za zadatak koji je pri ruci ugodnije je zaključivati ​​na temelju kanonske jednadžbe ravne linije.

3. Ako su dvije linije okomite jedna na drugu, a jednadžba prve linije je Ax + By + C = 0, tada bi jednadžba 2. linije trebala biti Bx - Ay + D = 0, gdje je D konstanta. Da bi se našla određena vrijednost D, potrebno je dodatno znati kroz koju točku prolazi okomica. U ovom slučaju to je točka (x0, y0) Prema tome, D mora zadovoljiti jednakost: Bx0 – Ay0 + D = 0, odnosno D = Ay0 – Bx0.

4. Kasnije, nakon pronalaženja okomice, potrebno je izračunati koordinate točke njezina sjecišta sa zadanom. Da biste to učinili, trebate riješiti sustav linearnih jednadžbi: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Njegovo rješenje će dati brojeve (x1, y1) koji služe kao koordinate točka sjecišta linija.

5. Željena točka mora ležati na detektiranoj liniji, a njezina udaljenost od sjecišta mora biti jednaka udaljenosti od sjecišta do točke (x0, y0). Koordinate točke simetrične točki (x0, y0) se stoga mogu pronaći rješavanjem sustava jednadžbi: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ali neka bude lakše. Ako su točke (x0, y0) i (x, y) na jednakoj udaljenosti od točke (x1, y1), a sve tri točke leže na istoj pravoj liniji, tada je: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0. Prema tome, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Zamjenom ovih vrijednosti u drugu jednadžbu prvog sustava i pojednostavljivanjem izraza, lako je osigurati da njegova desna strana postane ista kao lijeva strana. Osim toga, nema smisla pobliže razmatrati prvu jednadžbu, jer je poznato da je točke (x0, y0) i (x1, y1) zadovoljavaju, a točka (x, y) sigurno leži na istom pravcu .

Formulacija problema. Odredite koordinate točke simetrične točki u odnosu na ravninu.

Plan rješenja.

1. Nalazimo jednadžbu pravca koji je okomit na zadanu ravninu i prolazi točkom . Kako je pravac okomit na zadanu ravninu, tada se za njen vektor smjera može uzeti vektor normale ravnine, tj.

.

Stoga će jednadžba pravca biti

.

2. Pronađite točku raskrižje linija i ravnine (vidi problem 13).

3. Točka je središte segmenta, gdje je točka je točka simetrična točki , zato

Zadatak 14. Nađi točku simetričnu točki u odnosu na ravninu.

Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz točku okomitu na danu ravninu bit će:

.

Pronađite točku presjeka pravca i ravnine.

Gdje - točka presjeka pravca i ravnine je središte segmenta, dakle

Oni. .

Homogene ravninske koordinate. Afine transformacije u ravnini.

Neka M x i na

M(x, naMi (x, na, 1) u prostoru (slika 8).

Mi (x, na

Mi (x, na hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentar

h(na primjer, h

Doista, s obzirom h

Komentar

Primjer 1

b) u kutu (slika 9).

1. korak.

2. korak. Kut rotacije 

matricu odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b)

matricu odgovarajuće transformacije.

Primjer 3

 duž x-osi i

1. korak.

matricu odgovarajuće transformacije.

2. korak.

3. korak.

konačno dobiti

Komentar

[R], [D], [M], [T],

Neka M- proizvoljna točka ravnine s koordinatama x i na izračunati s obzirom na zadani pravocrtni koordinatni sustav. Homogene koordinate ove točke su bilo koje trojke simultano različitih brojeva x 1, x 2, x 3, pridruženih zadanim brojevima x i y sljedećim relacijama:

Kod rješavanja problema računalne grafike homogene koordinate se obično uvode na sljedeći način: proizvoljna točka M(x, na) ravnini je pridružena točka Mi (x, na, 1) u prostoru (slika 8).

Imajte na umu da proizvoljna točka na liniji koja povezuje ishodište, točku 0(0, 0, 0), s točkom Mi (x, na, 1) može se dati trostrukim brojevima oblika (hx, hy, h).

Vektor s koordinatama hx, hy je vektor smjera pravca koji spaja točke 0 (0, 0, 0) i Mi (x, na, jedan). Ovaj pravac siječe ravninu z = 1 u točki (x, y, 1), koja jednoznačno određuje točku (x, y) koordinatne ravnine hu.

Dakle, između proizvoljne točke s koordinatama (x, y) i skupa trojki brojeva oblika

(hx, hy, h), h  0,

uspostavljena je korespondencija (jedan na jedan), što nam omogućuje da brojeve hx, hy, h smatramo novim koordinatama ove točke.

Komentar

Homogene koordinate koje se široko koriste u projektivnoj geometriji omogućuju učinkovito opisivanje takozvanih nepravih elemenata (u biti onih u kojima se projektivna ravnina razlikuje od nama poznate euklidske ravnine). Više detalja o novim značajkama koje pružaju uvedene homogene koordinate raspravlja se u četvrtom odjeljku ovog poglavlja.

U projektivnoj geometriji, za homogene koordinate, prihvaća se sljedeća oznaka:

x: y: 1, ili općenito, x 1: x 2: x 3

(podsjetimo se da je ovdje apsolutno potrebno da brojevi x 1, x 2, x 3 istovremeno ne nestaju).

Korištenje homogenih koordinata pokazuje se zgodnim čak i pri rješavanju najjednostavnijih problema.

Razmotrite, na primjer, pitanja koja se odnose na skaliranje. Ako uređaj za prikaz radi samo s cijelim brojevima (ili ako je potrebno raditi samo s cijelim brojevima), tada za proizvoljnu vrijednost h(na primjer, h= 1) točka s homogenim koordinatama

ne može se zamisliti. Međutim, uz razuman izbor h, moguće je osigurati da su koordinate te točke cijeli brojevi. Konkretno, za h = 10, za primjer koji razmatramo, imamo

Razmotrimo još jedan slučaj. Kako rezultati transformacije ne bi doveli do aritmetičkog preljeva, za točku s koordinatama (80000 40000 1000) možete uzeti npr. h=0,001. Kao rezultat, dobivamo (80 40 1).

Navedeni primjeri pokazuju korisnost korištenja homogenih koordinata u proračunima. Međutim, glavna svrha uvođenja homogenih koordinata u računalnu grafiku je njihova nedvojbena pogodnost u primjeni na geometrijske transformacije.

Uz pomoć trojki homogenih koordinata i matrica trećeg reda može se opisati svaka afina transformacija ravnine.

Doista, s obzirom h= 1, usporedite dva unosa: označena * i sljedeću matricu:

Lako je vidjeti da nakon množenja izraza s desne strane zadnje relacije dobivamo obje formule (*) i ispravnu brojčanu jednakost 1=1.

Komentar

Ponekad se u literaturi koristi druga oznaka - oznaka po stupcima:

Ova oznaka je ekvivalentna gornjoj linijskoj notaciji (i dobiva se iz nje transpozicijom).

Elementi proizvoljne matrice afine transformacije nemaju eksplicitno geometrijsko značenje. Dakle, da bi se provelo određeno preslikavanje, odnosno da bi se prema zadanom geometrijskom opisu pronašli elementi odgovarajuće matrice, potrebne su posebne tehnike. Obično se konstrukcija ove matrice, u skladu sa složenošću problema koji se razmatra i gore opisanim pojedinačnim slučajevima, dijeli u nekoliko faza.

U svakoj fazi se traži matrica koja odgovara jednom ili drugom od gore navedenih slučajeva A, B, C ili D, koji imaju dobro definirana geometrijska svojstva.

Ispišimo odgovarajuće matrice trećeg reda.

A. Matrica rotacije, (rotacija)

B. Matrica dilatacije

B. Matrica refleksije

D. Matrica prijenosa (prijevod)

Razmotrimo primjere afinih transformacija ravnine.

Primjer 1

Izgradite matricu rotacije oko točke A (a,b) u kutu (slika 9).

1. korak. Prijenos na vektor - A (-a, -b) za poravnavanje središta rotacije s ishodištem;

matricu odgovarajuće transformacije.

2. korak. Kut rotacije 

matricu odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b) vratiti središte rotacije u prethodni položaj;

matricu odgovarajuće transformacije.

Matrice množimo istim redoslijedom kako su ispisane:

Kao rezultat dobivamo da će željena transformacija (u matričnom zapisu) izgledati ovako:

Elemente dobivene matrice (osobito u zadnjem retku) nije lako zapamtiti. U isto vrijeme, svaka od tri umnožene matrice može se lako konstruirati iz geometrijskog opisa odgovarajućeg preslikavanja.

Primjer 3

Izgradite matricu rastezanja s faktorima rastezanja duž x-osi i duž y-osi i sa središtem u točki A(a, b).

1. korak. Prijenos na vektor -A(-a, -b) za spajanje središta istezanja s ishodištem;

matricu odgovarajuće transformacije.

2. korak. Istezanje duž koordinatnih osi s koeficijentima  odnosno ; transformacijska matrica ima oblik

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b) za vraćanje središta istezanja u prethodni položaj; matrica odgovarajuće transformacije je

Množite matrice istim redoslijedom

konačno dobiti

Komentar

Argumentiranje na sličan način, odnosno razbijanje predložene transformacije na faze poduprte matricama[R], [D], [M], [T], može se konstruirati matrica bilo koje afine transformacije iz njenog geometrijskog opisa.

Pomak se provodi zbrajanjem, a skaliranje i rotacija množenjem.

Transformacija mjerila (dilatacija) u odnosu na ishodište ima oblik:

ili u obliku matrice:

gdje Dx,Dg su faktori skaliranja duž osi, i

- matrica skaliranja.

Za D > 1 dolazi do ekspanzije, za 0<=D<1- сжатие

Zakreni transformaciju u odnosu na ishodište ima oblik:

ili u obliku matrice:

gdje je φ kut rotacije, i

- rotacijska matrica.

Komentar: Stupci i redovi rotacijske matrice su međusobno ortogonalni jedinični vektori. Doista, kvadrati duljina vektora reda jednaki su jedinici:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalarni produkt vektora reda je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Budući da je skalarni produkt vektora A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdje je | A| - duljina vektora A, |B| - duljina vektora B, a ψ je najmanji pozitivni kut između njih, tada iz jednakosti 0 skalarnog umnoška dva vektora reda duljine 1 slijedi da je kut između njih 90 ° .

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste sami pročitali rečenicu =) Međutim, tada će opuštanje pomoći, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajuće dodatke. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : molimo zapamtite matematički znak raskrižja, on će se pojaviti vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da jednakosti

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , a iz druge jednadžbe: , dakle, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civiliziraniji paket:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

Za svaki slučaj, na raskrižju ću postaviti kamen sa pokazivačima:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kashcheija Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Na ovaj način,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) razmatrani problem riješiti verbalno doslovno u nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim razloga ponuditi nešto za neovisno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka, Slavuj Razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označite nepoznatu liniju slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i vektor usmjeravanja pravca "ce" prikladan za konstruiranje pravca "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još se morate natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je dobro poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su dvije (najčešće) prave u ravnini koje se sijeku.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafički način rješavanja sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako jednostavno konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku presjeka svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj akcijskog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju tutoriala:

Par cipela još nije istrošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu sa zadanom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi i uz pomoć točkasti umnožak vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta bit će kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom "ro", npr.: - udaljenost od točke "em" do pravca "de".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i napraviti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, opisat ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućujući vam da brojite obične razlomke. Savjetovao sam mnogo puta i preporučit ću opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer neovisnog rješenja. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dva pravca

Kakav ugao, takav dovratnik:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran grimizni kutak.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove vrlo lako može dobiti negativan rezultat, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva pravca? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje i Prva metoda

Razmotrimo dvije ravne linije dane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva oko neokomitosti linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti ravne linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Pravac u prostoru uvijek se može definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina. Ako je jednadžba jedne ravnine jednadžba druge ravnine, onda je jednadžba pravca dana kao

ovdje nekolinearni
. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravna linija u prostoru.

Kanonske jednadžbe pravca

Svaki vektor različit od nule koji leži na određenoj liniji ili je paralelan s njom naziva se vektor koji usmjerava tu liniju.

Ako je poanta poznata
linija i njen vektor smjera
, tada kanonske jednadžbe pravca imaju oblik:

. (9)

Parametarske jednadžbe pravca

Neka su zadane kanoničke jednadžbe pravca

.

Odavde dobivamo parametarske jednadžbe ravne linije:

(10)

Ove su jednadžbe korisne za pronalaženje točke presjeka pravca i ravnine.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke
i
izgleda kao:

.

Kut između pravaca

Kut između pravaca

i

jednak je kutu između njihovih vektora smjera. Stoga se može izračunati formulom (4):

Uvjet paralelnih pravaca:

.

Uvjet okomitosti ravnina:

Udaljenost točke od pravca

P dana točka
i izravni

.

Iz kanonskih jednadžbi pravca poznata je točka
, koji pripada pravoj, i njegov vektor smjera
. Zatim udaljenost točke
od pravca jednaka je visini paralelograma izgrađenog na vektorima i
. Posljedično,

.

Stanje sjecišta linija

Dva neparalelna pravca

,

sijeku ako i samo ako

.

Međusobni raspored pravca i ravnine.

Neka ravna linija
i stan. Kutak između njih može se pronaći formulom

.

Problem 73. Napiši kanonske jednadžbe pravca

(11)

Riješenje. Da bi se zapisale kanonske jednadžbe pravca (9), potrebno je poznavati bilo koju točku koja pripada pravcu i vektor smjernice pravca.

Nađimo vektor paralelan zadanoj pravoj. Budući da mora biti okomit na normalne vektore tih ravnina, tj.

,
, onda

.

Iz općih jednadžbi ravne linije imamo to
,
. Zatim

.

Od točke
bilo koje točke pravca, tada njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbe pravca, a jedna od njih može biti specificirana, npr.
, nalazimo druge dvije koordinate iz sustava (11):

Odavde,
.

Dakle, kanonske jednadžbe tražene linije imaju oblik:

ili
.

Problem 74.

i
.

Riješenje. Iz kanonskih jednadžbi prvog pravca poznate su koordinate točke
koji pripadaju pravoj, te koordinate vektora pravca
. Iz kanonskih jednadžbi drugog pravca poznate su i koordinate točke
i koordinate vektora smjera
.

Udaljenost između paralelnih pravaca jednaka je udaljenosti točke
iz druge linije. Ova udaljenost izračunava se formulom

.

Nađimo koordinate vektora
.

Izračunajte vektorski produkt
:

.

Problem 75. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno

.

Riješenje. Napišemo jednadžbu ravnine koja je okomita na zadani pravac i prolazi točkom . Kao njegov normalni vektor možemo vektor usmjeravanja uzeti kao ravnu liniju. Zatim
. Posljedično,

Nađimo točku
točka presjeka zadanog pravca i ravnine P. Da bismo to učinili, napišemo parametarske jednadžbe pravca, pomoću jednadžbi (10) dobivamo

Posljedično,
.

Neka
točka simetrična točki
o ovoj liniji. Onda točka
središnja točka
. Za pronalaženje koordinata točke koristimo formule za koordinate sredine segmenta:

,
,
.

Tako,
.

Problem 76. Napiši jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ravnu liniju
i

a) kroz točku
;

b) okomito na ravninu.

Riješenje. Zapišimo opće jednadžbe ove ravne linije. Da biste to učinili, razmotrite dvije jednakosti:

To znači da željena ravnina pripada nizu ravnina s generatorima i njena se jednadžba može napisati u obliku (8):

a) pronaći
i iz uvjeta da ravnina prolazi točkom
, stoga njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine. Zamijenite koordinate točke
u jednadžbu grede ravnina:

Pronađena vrijednost
zamijenimo u jednadžbu (12). dobivamo jednadžbu željene ravnine:

b) pronaći
i iz uvjeta da je željena ravnina okomita na ravninu. Normalni vektor zadane ravnine
, vektor normale željene ravnine (vidi jednadžbu za snop ravnina (12).

Dva su vektora okomita ako i samo ako je njihov točkasti produkt nula. Posljedično,

Zamijenite pronađenu vrijednost
u jednadžbu grede ravnina (12). Dobivamo jednadžbu željene ravnine:

Zadaci za samostalno rješavanje

Problem 77. Dovedite u kanonski oblik jednadžbe pravaca:

1)
2)

Problem 78. Napišite parametarske jednadžbe pravca
, ako:

1)
,
; 2)
,
.

Problem 79. Napiši jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom
okomito na liniju

Problem 80. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom
okomito na ravninu.

Problem 81. Nađi kut između pravaca:

1)
i
;

2)
i

Problem 82. Dokažite paralelne pravce:

i
.

Problem 83. Dokažite okomitost pravaca:

i

Problem 84. Izračunajte udaljenost točke
ravno:

1)
; 2)
.

Problem 85. Izračunaj udaljenost između paralelnih pravaca:

i
.

Problem 86. U jednadžbama ravnih linija
definirati parametar tako da se taj pravac siječe s pravcem i nađi točku njihova sjecišta.

Problem 87. Pokažite da je ravno
paralelno s ravninom
, i ravna linija
leži u ovoj ravnini.

Problem 88. Pronađite točku simetrična točka u odnosu na ravninu
, ako:

1)
, ;

2)
, ;.

Problem 89. Napiši jednadžbu za okomicu spuštenu iz točke
direktno
.

Problem 90. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno
.

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, opisat ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućujući vam da brojite obične razlomke. Savjetovao sam mnogo puta i preporučit ću opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer neovisnog rješenja. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dva pravca

Kakav ugao, takav dovratnik:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran grimizni kutak.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove vrlo lako može dobiti negativan rezultat, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva pravca? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje i Prva metoda

Razmotrimo dvije ravne linije dane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva oko neokomitosti linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti ravne linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Neću skrivati, sam biram ravne linije redoslijedom da je kut pozitivan. Ljepše je, ali ništa više.

Za provjeru rješenja možete uzeti kutomjer i izmjeriti kut.

Druga metoda

Ako su pravci zadani jednadžbama s nagibom i nije okomito, onda orijentiran kut između njih može se pronaći pomoću formule:

Uvjet okomitosti ravnih pravaca izražava se jednakošću, iz koje, usput rečeno, proizlazi vrlo koristan odnos između kutnih koeficijenata okomitih pravaca: , koji se koristi u nekim zadacima.

Algoritam rješenja sličan je prethodnom paragrafu. Ali prvo, prepišimo naše retke u traženom obliku:

Dakle, koeficijenti nagiba:

1) Provjerite jesu li linije okomite:
pa linije nisu okomite.

2) Koristimo formulu:

Odgovor:

Druga je metoda prikladna za korištenje kada su jednadžbe linija početno postavljene s nagibom. Treba napomenuti da ako je barem jedna ravna linija paralelna s ordinatnom osi, tada formula uopće nije primjenjiva, jer za takve ravne linije nagib nije definiran (vidi članak Jednadžba pravca na ravnini).

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati kut između vektora smjera pravaca pomoću formule o kojoj se raspravljalo u lekciji Točkasti umnožak vektora:

Ovdje ne govorimo o usmjerenom kutu, već "samo o kutu", odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete dobiti tup kut (ne onaj koji vam je potreban). U ovom slučaju, morat ćete uzeti u obzir da je kut između linija manji kut i oduzeti rezultirajući ark kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Oni koji žele mogu riješiti problem na treći način. No ipak preporučam da se držite prvog kutno orijentiranog pristupa jer je naširoko korišten.

Primjer 11

Nađi kut između pravaca.

Ovo je primjer "uradi sam". Pokušajte ga riješiti na dva načina.

Nekako je bajka usput izumrla.... Jer nema Kaščeja Besmrtnog. Ima me, i to ne osobito pareno. Da budem iskren, mislio sam da će članak biti puno duži. Ali svejedno ću uzeti nedavno kupljeni šešir s naočalama i otići na kupanje u rujnu jezersku vodu. Savršeno otklanja umor i negativnu energiju.

Vidimo se uskoro!

I zapamtite, Baba Yaga nije otkazana =)

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Riješenje : Pronađite vektor smjera pravca :

Pomoću točke ćemo sastaviti jednadžbu željenog pravca i vektor smjera . Budući da je jedna od koordinata vektora smjera nula, jednadžba prepisati u obliku:

Odgovor :

Primjer 5:Riješenje :
1) Jednadžba pravca napraviti dvije točke :

2) Jednadžba pravca napraviti dvije točke :

3) Odgovarajući koeficijenti za varijable izvan razmjera: , pa se pravci sijeku.
4) Pronađite točku :


Bilješka : ovdje se prva jednadžba sustava množi s 5, zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednadžbe.
Odgovor :