Ako su pokazatelji isti ali su baze različite. Lekcija "množenje i dijeljenje snaga"

Svaka aritmetička operacija ponekad postaje preglomazna za snimanje i pokušavaju je pojednostaviti. Tako je nekad bilo i s operacijom zbrajanja. Ljudima je bilo potrebno ponavljati dodavanja iste vrste, na primjer, kako bi izračunali cijenu stotinu perzijskih tepiha, čija je cijena 3 zlatnika za svaki. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Zbog glomaznosti, mislilo se smanjiti zapis na 3 * 100 = 300. Zapravo, zapis "tri puta sto" znači da trebate uzeti stotinu trostrukih i zbroji ih. Množenje se ukorijenilo, steklo opću popularnost. Ali svijet ne stoji mirno, au srednjem vijeku postalo je potrebno izvršiti ponovljeno množenje iste vrste. Sjećam se stare indijske zagonetke o mudracu koji je kao nagradu za obavljeni posao tražio zrna pšenice u sljedećim količinama: za prvu ćeliju šahovske ploče tražio je jedno zrno, za drugu - dva, za treću - četiri, peti - osam, i tako dalje. Tako se pojavilo prvo množenje potencija, jer je broj zrna bio jednak dva na potenciju broja ćelije. Na primjer, na zadnjoj ćeliji bilo bi 2*2*2*…*2 = 2^63 zrna, što je jednako broju od 18 znakova, što je zapravo i smisao zagonetke.

Operacija dizanja na potenciju prilično se brzo ukorijenila, a također je brzo postalo potrebno provoditi zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje i množenje stupnjeva. Ovo posljednje vrijedi detaljnije razmotriti. Formule za zbrajanje potencija jednostavne su i lako se pamte. Osim toga, vrlo je lako razumjeti odakle dolaze ako se operacija potencije zamijeni množenjem. Ali prvo morate razumjeti elementarnu terminologiju. Izraz a ^ b (čitaj "a na potenciju b") znači da broj a treba pomnožiti sam sa sobom b puta, a "a" se naziva baza stupnja, a "b" je eksponent. Ako su baze potencija iste, onda se formule izvode vrlo jednostavno. Konkretan primjer: pronađite vrijednost izraza 2^3 * 2^4. Da biste znali što bi se trebalo dogoditi, trebali biste pronaći odgovor na računalu prije pokretanja rješenja. Unosom ovog izraza u bilo koji online kalkulator, tražilicu, upisivanjem "množenje potencija s različitim bazama i istim" ili matematički paket, rezultat će biti 128. Sada napišimo ovaj izraz: 2^3 = 2*2*2, i 2^4 = 2 *2*2*2. Ispada da je 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ispada da je umnožak potencija s istom bazom jednak bazi podignutoj na potenciju jednaku zbroju prethodne dvije potencije.

Možda mislite da je ovo slučajnost, ali ne: svaki drugi primjer može samo potvrditi ovo pravilo. Dakle, općenito, formula izgleda ovako: a^n * a^m = a^(n+m) . Također postoji pravilo da je svaki broj na nultu potenciju jednak jedan. Ovdje se treba sjetiti pravila negativnih potencija: a^(-n) = 1 / a^n. To jest, ako je 2^3 = 8, tada je 2^(-3) = 1/8. Koristeći ovo pravilo, možemo dokazati jednakost a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) može se smanjiti i ostaje jedan. Iz toga se izvodi pravilo da je kvocijent potencija s istim bazama jednak toj bazi do stupnja jednakog kvocijentu djelitelja i djelitelja: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Primjer: Pojednostavite izraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Množenje je komutativna operacija, pa se prvo moraju zbrojiti eksponenti množenja: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Zatim se trebate pozabaviti dijeljenjem negativnim stupnjem. Potrebno je od eksponenta dividende oduzeti eksponent djelitelja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. To je ispada da je operacija dijeljenja negativnim stupnjem identična operaciji množenja sličnim pozitivnim eksponentom. Dakle, konačni odgovor je 8.

Postoje primjeri gdje se događa nekanonsko umnožavanje moći. Množenje potencija s različitim bazama vrlo je često puno teže, a ponekad čak i nemoguće. Treba navesti nekoliko primjera različitih mogućih pristupa. Primjer: pojednostavite izraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Očito postoji množenje potencija s različitim bazama. No, treba napomenuti da su sve baze različite potencije trojke. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Koristeći pravilo (a^n) ^m = a^(n*m) , trebate prepisati izraz u prikladnijem obliku: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odgovor: 3^11. U slučajevima kada postoje različite baze, pravilo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n radi za jednake pokazatelje. Na primjer, 3^3 * 7^3 = 21^3. U suprotnom, kada postoje različite baze i pokazatelji, nemoguće je napraviti punu multiplikaciju. Ponekad možete djelomično pojednostaviti ili pribjeći pomoći računalne tehnologije.

Formule snage koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n.

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula točna je u smjeru s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići korijenski broj na ovu potenciju:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupanj od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definiran je kao jedan podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj a do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m stepen ovog broja a.

Pojam diplome iz matematike uvodi se već u 7. razredu na satu algebre. I u budućnosti, tijekom studija matematike, ovaj koncept se aktivno koristi u svojim različitim oblicima. Stupnjevi su prilično teška tema koja zahtijeva pamćenje vrijednosti i sposobnost ispravnog i brzog brojanja. Za brži i bolji rad s diplomama iz matematike osmislili su svojstva diplome. Oni pomažu smanjiti velike izračune, pretvoriti ogroman primjer u jedan broj do neke mjere. Nema toliko svojstava, a sva ih je lako zapamtiti i primijeniti u praksi. Stoga se u članku raspravlja o glavnim svojstvima diplome, kao io tome gdje se primjenjuju.

svojstva stupnja

Razmotrit ćemo 12 svojstava stupnja, uključujući svojstva potencija s istom bazom, i dati primjer za svako svojstvo. Svako od ovih svojstava pomoći će vam da brže riješite probleme sa stupnjevima, kao i spasiti vas od brojnih računskih pogrešaka.

1. svojstvo.

Mnogi ljudi vrlo često zaboravljaju na ovo svojstvo, griješe, predstavljajući broj na nulti stupanj kao nulu.

2. svojstvo.

3. svojstvo.

Morate imati na umu da se ovo svojstvo može koristiti samo pri množenju brojeva, ne radi sa zbrojem! I ne smijemo zaboraviti da se ova i sljedeća svojstva odnose samo na potencije s istom bazom.

4. svojstvo.

Ako se broj u nazivniku podigne na negativnu potenciju, tada se pri oduzimanju stupanj nazivnika uzima u zagradama kako bi ispravno zamijenio znak u daljnjim izračunima.

Svojstvo radi samo kod dijeljenja, ne i kod oduzimanja!

5. svojstvo.

6. svojstvo.

Ovo se svojstvo može primijeniti i obrnuto. Jedinica podijeljena s brojem do nekog stupnja je taj broj na negativnu potenciju.

7. svojstvo.

Ovo se svojstvo ne može primijeniti na zbroj i razliku! Pri podizanju zbroja ili razlike na potenciju koriste se skraćene formule množenja, a ne svojstva potencije.

8. svojstvo.

9. svojstvo.

Ovo svojstvo funkcionira za bilo koji razlomački stupanj s brojnikom jednakim jedan, formula će biti ista, samo će se stupanj korijena mijenjati ovisno o nazivniku stupnja.

Također, ovo se svojstvo često koristi obrnutim redoslijedom. Korijen bilo koje potencije broja može se predstaviti kao taj broj na potenciju jedan podijeljen potencijom korijena. Ovo svojstvo je vrlo korisno u slučajevima kada korijen broja nije ekstrahiran.

10. svojstvo.

Ovo svojstvo ne funkcionira samo s kvadratnim korijenom i drugim stupnjem. Ako su stupanj korijena i stupanj do kojeg je ovaj korijen podignut isti, tada će odgovor biti radikalan izraz.

11. vlasništvo.

Ovo svojstvo morate moći vidjeti na vrijeme prilikom rješavanja kako biste se spasili od velikih kalkulacija.

12. svojstvo.

Svako od ovih svojstava susrest ćete se više puta u zadacima, može biti zadano u čistom obliku ili može zahtijevati neke transformacije i korištenje drugih formula. Dakle, za točno rješenje nije dovoljno poznavati samo svojstva, potrebno je vježbati i povezivati ​​ostala matematička znanja.

Primjena stupnjeva i njihova svojstva

Aktivno se koriste u algebri i geometriji. Diplome iz matematike imaju zasebno, važno mjesto. Uz njihovu pomoć rješavaju se eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, a potencije često kompliciraju jednadžbe i primjere koji se odnose na druge dijelove matematike. Eksponenti pomažu u izbjegavanju velikih i dugih izračuna, lakše je smanjiti i izračunati eksponente. No, da biste radili s velikim ovlastima ili s ovlastima velikih brojeva, morate znati ne samo svojstva stupnja, već i kompetentno raditi s bazama, biti u stanju razložiti ih kako biste si olakšali zadatak. Radi praktičnosti, također biste trebali znati značenje brojeva podignutih na potenciju. Ovo će smanjiti vaše vrijeme rješavanja eliminirajući potrebu za dugim izračunima.

Pojam stupnja ima posebnu ulogu u logaritmima. Budući da je logaritam, u biti, potencija broja.

Formule skraćenog množenja još su jedan primjer upotrebe potencija. Ne mogu koristiti svojstva stupnjeva, oni se rastavljaju prema posebnim pravilima, ali u svakoj skraćenoj formuli množenja uvijek postoje stupnjevi.

Diplome se također aktivno koriste u fizici i informatici. Svi prijevodi u SI sustav vrše se pomoću stupnjeva, au budućnosti se pri rješavanju problema primjenjuju svojstva stupnja. U informatici se aktivno koriste ovlasti dva, radi praktičnosti brojanja i pojednostavljivanja percepcije brojeva. Daljnji izračuni za pretvorbe mjernih jedinica ili izračuni problema, baš kao iu fizici, odvijaju se korištenjem svojstava stupnja.

Stupnjevi su također vrlo korisni u astronomiji, gdje rijetko možete pronaći korištenje svojstava stupnja, ali se sami stupnjevi aktivno koriste za skraćivanje snimanja raznih količina i udaljenosti.

Stupnjevi se također koriste u svakodnevnom životu, kada se računaju površine, volumeni, udaljenosti.

Uz pomoć stupnjeva, vrlo velike i vrlo male vrijednosti zapisane su u bilo kojem području znanosti.

eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe

Svojstva stupnjeva zauzimaju posebno mjesto upravo u eksponencijalnim jednadžbama i nejednadžbama. Ovi zadaci su vrlo česti, kako u školskom kolegiju tako i na ispitima. Sve se one rješavaju primjenom svojstava stupnja. Nepoznanica je uvijek u samom stupnju, stoga, znajući sva svojstva, neće biti teško riješiti takvu jednadžbu ili nejednadžbu.

U prošlom video tutorialu naučili smo da je stupanj određene baze izraz koji je umnožak baze i samog sebe, uzet u iznosu jednakom eksponentu. Proučimo sada neka od najvažnijih svojstava i djelovanja potencija.

Na primjer, pomnožimo dvije različite potencije s istom bazom:

Pogledajmo ovaj prilog u cijelosti:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Izračunavanjem vrijednosti ovog izraza dobivamo broj 32. S druge strane, kao što se može vidjeti iz istog primjera, 32 se može prikazati kao umnožak iste baze (dva), uzet 5 puta. I doista, ako računate, onda:

Stoga se sa sigurnošću može zaključiti da:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ovo pravilo uspješno funkcionira za sve pokazatelje i sve temelje. Ovo svojstvo množenja stupnja proizlazi iz pravila očuvanja značenja izraza tijekom transformacija u produktu. Za bilo koju bazu a, umnožak dvaju izraza (a) x i (a) y jednak je a (x + y). Drugim riječima, pri stvaranju bilo kojeg izraza s istom bazom, konačni monom ima ukupni stupanj formiran zbrajanjem stupnja prvog i drugog izraza.

Predstavljeno pravilo također odlično funkcionira pri množenju nekoliko izraza. Glavni uvjet je da osnovice za sve budu iste. Na primjer:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nemoguće je zbrajati stupnjeve i općenito izvoditi bilo kakve zajedničke radnje snage s dva elementa izraza, ako su im osnove različite.
Kako pokazuje naš video, zbog sličnosti procesa množenja i dijeljenja, pravila zbrajanja potencija tijekom umnoška savršeno se prenose na postupak dijeljenja. Razmotrite ovaj primjer:

Izvršimo transformaciju izraza izraz po član u puni oblik i smanjimo iste elemente u djelitelju i djelitelju:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Krajnji rezultat ovog primjera nije toliko zanimljiv jer je već u tijeku njegovog rješavanja jasno da je vrijednost izraza jednaka kvadratu dva. A to je dvojka koja se dobije oduzimanjem stupnja drugog izraza od stupnja prvog.

Za određivanje stupnja količnika potrebno je od stupnja djelitelja oduzeti stupanj djelitelja. Pravilo djeluje s istom osnovom za sve svoje vrijednosti i za sve prirodne moći. U apstraktnom obliku imamo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definicija za nulti stupanj slijedi iz pravila dijeljenja identičnih baza s potencijama. Očito je sljedeći izraz:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

S druge strane, ako dijelimo na vizualniji način, dobivamo:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kod redukcije svih vidljivih elemenata razlomka uvijek se dobije izraz 1/1, odnosno jedan. Stoga je općenito prihvaćeno da je svaka baza podignuta na nultu potenciju jednaka jedinici:

Bez obzira na vrijednost a.

Međutim, bilo bi apsurdno da je 0 (koja i dalje daje 0 za bilo koje množenje) na neki način jednaka jedinici, tako da izraz poput (0) 0 (nula na nulti stupanj) jednostavno nema smisla, a formula (a) 0 = 1 dodajte uvjet: "ako a nije jednako 0".

Napravimo vježbu. Nađimo vrijednost izraza:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Budući da je baza svugdje ista i jednaka 34, konačna vrijednost će imati istu bazu sa stupnjem (prema gornjim pravilima):

Drugim riječima:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odgovor: Izraz je jednak jedan.