Ekstremne, maksimalne i minimalne vrijednosti funkcija. Oznaka: lokalni ekstrem

$E \podskup \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni maksimum u točki $x_(0) \in E$ ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da za sve $x \in U$ vrijedi nejednakost $f\left(x\right) \leqslant f \lijevo(x_(0)\desno)$.

Lokalni maksimum naziva se strog , ako se susjedstvo $U$ može odabrati na takav način da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\lijevo(x\desno)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni minimum u točki $x_(0) \in E$ ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da za sve $x \in U$ vrijedi nejednakost $f\left(x\right) \geqslant f \lijevo(x_(0)\desno)$.

Kaže se da je lokalni minimum strog ako se susjedstvo $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstrem kombinira koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorem (nužan uvjet za ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u točki $x_(0) \in E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem iu ovoj točki, tada je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Jednakost nultom diferencijalu je ekvivalentna činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je . Označimo $\phi \lijevo(t\desno) = f \lijevo(x_(0)+th\desno)$, gdje je $h$ proizvoljni vektor. Funkcija $\phi$ definirana je za dovoljno male modulo vrijednosti od $t$. Štoviše, u odnosu na , on je diferencijabilan i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum na x $0$. Dakle, funkcija $\phi$ pri $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \lijevo(x_(0)\desno) = 0$, tj. funkcija $f$ u točki $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Točke u kojima je diferencijal jednak nuli, tj. oni kod kojih su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarni. kritične točke funkcije $f$ su one točke u kojima $f$ nije diferencijabilan ili je jednak nuli. Ako je točka stacionarna, tada još ne slijedi da funkcija ima ekstrem u ovoj točki.

Primjer 1
Neka $f \lijevo(x,y\desno)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tako da je $\left(0,0\right)$ stacionarna točka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj točki. Doista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini točke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2
Funkcija $f \lijevo(x,y\desno) = x^(2) − y^(2)$ ima ishodište koordinata kao stacionarna točka, ali je jasno da u ovoj točki nema ekstrema.

Teorem (dovoljan uvjet za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dva puta kontinuirano diferencijabilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka $x_(0) \in E$ bude stacionarna točka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \lijevo(x_(0)\desno)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ , tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, naime minimum ako je oblik pozitivno-određen i maksimum ako je oblik niječno-određen;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ neodređen, tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ nema ekstrem.

Upotrijebimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292) . Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u točki $x_(0)$ jednake nuli, dobivamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ djelomični x_(j)) \lijevo(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, tada je desna strana pozitivna za bilo koji vektor $h$ dovoljno male duljine.
Dakle, došli smo do zaključka da je u nekoj okolini točke $x_(0)$ nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zadovoljena ako je samo $ x \neq x_ (0)$ (stavljamo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u točki $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum, čime je prvi dio našeg teorema dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \lijevo(h_(1)\desno)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \lijevo(h_(2)\desno)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tada dobivamo $$f \lijevo(x_(0)+th_(1)\desno)−f \lijevo(x_(0)\desno) = \frac(1)(2) \lijevo[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \lijevo(th_(1)\desno) \desno] = \frac(1)(2) t^(2) \ lijevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno male $t>0$, desna strana je pozitivan. To znači da u bilo kojem susjedstvu točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, dobivamo da u bilo kojoj okolini točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno s prethodnim, znači da funkcija $f$ nema ekstrem u točki $x_(0)$.

Razmotrimo poseban slučaj ovog teorema za funkciju $f \left(x,y\right)$ od dvije varijable definirane u nekom susjedstvu točke $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i imaju kontinuirane parcijalne derivacije prvog i drugog reda. Neka $\left(x_(0),y_(0)\right)$ bude stacionarna točka i neka $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \lijevo(x_(0) ,y_(0)\desno), a_(12)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično x \djelomično y) \lijevo(x_( 0) , y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično y^(2)) \lijevo(x_(0), y_(0)\desno ). $$ Tada prethodni teorem ima sljedeći oblik.

Teorema
Neka $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Zatim:

1. ako je $\Delta>0$, tada funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $\left(x_(0),y_(0)\right)$, odnosno minimum ako je $a_(11)> 0$ , a maksimalno ako je $a_(11)<0$;
2. ako $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Nalazimo stacionarne točke;
2. Diferencijal 2. reda nalazimo u svim stacionarnim točkama
3. Koristeći dovoljan uvjet za ekstremum funkcije nekoliko varijabli, razmatramo diferencijal drugog reda u svakoj stacionarnoj točki

1. Istražite funkciju do ekstrema $f \lijevo(x,y\desno) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Riješenje

   Pronađite parcijalne derivacije 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavite i riješite sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Iz 2. jednadžbe izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ — zamijenimo u 1. jednadžbu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ desno )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobivene su 2 stacionarne točke:
   1) $y=0 \Desna strelica x = 0, M_(1) = \lijevo(0, 0\desno)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lijevo(\frac(1)(2), 1\desno)$
   Provjerimo ispunjenje uvjeta dovoljnog ekstrema:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za točku $M_(1)= \lijevo(0,0\desno)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(0,0\desno)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za točku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(1,\frac(1)(2)\desno)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, pa postoji ekstrem u točki $M_(2)$, a budući da je $A_(2)>0 $, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Točka $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna točka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Riješenje

   Pronađite stacionarne točke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavite i riješite sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Desna strelica \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \lijevo(-1, 2\desno)$ je stacionarna točka.
   Provjerimo ispunjenje uvjeta dovoljnog ekstremuma: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(-1,2\desno)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: nema ekstrema.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka dovršena

Informacija

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali, Lokalni ekstremi funkcija mnogih varijabli.

Već ste prije polagali test. Ne možete ga ponovo pokrenuti.

Test se učitava...

Morate se prijaviti ili registrirati kako biste započeli test.

Morate dovršiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

rezultate

Točni odgovori: 0 od 4

Tvoje vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 bodova (0 )

Vaš rezultat je zabilježen na ploči s najboljim rezultatima

1. S odgovorom
2. Odjavio

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Ispravno


Ne kako treba


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Je li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Ekstremi

Ekstrem funkcije

Definicija ekstrema

Funkcija y = f(x) zove se povećavajući se (opadajući) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ako diferencijabilna funkcija y \u003d f (x) na segmentu raste (opada), tada je njezin izvod na ovom segmentu f " (x )> 0

(f"(x)< 0).

Točka x oko nazvao lokalna maksimalna točka (minimum) funkcije f (x ) ako postoji okolina točke x o, za sve točke od kojih vrijedi nejednakost f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Pozivaju se maksimalne i minimalne točke ekstremne točke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine ekstremi.

ekstremne točke

Nužni uvjeti za ekstrem . Ako točka x oko je točka ekstrema funkcije f (x), tada ili f " (x o ) = 0, ili f(x o ) ne postoji. Takve se točke nazivaju kritično, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj točki. Ekstreme funkcije treba tražiti među njezinim kritičnim točkama.

Prvi dovoljan uvjet. Neka x oko - kritična točka. Ako f" (x ) pri prolasku kroz točku x oko mijenja znak plus u minus, a zatim na točku x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne mijenja predznak pri prolasku kroz kritičnu točku, tada u točki x oko nema ekstrema.

Drugi dovoljan uvjet. Neka funkcija f(x) ima
f" (x ) u blizini točke x oko a druga derivacija u samoj točki x o. Ako f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je lokalna točka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, tada se mora ili koristiti prvi dovoljan uvjet ili uključiti više.

Na segmentu, funkcija y \u003d f (x) može doseći najmanju ili najveću vrijednost bilo u kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.

Primjer 3.22.

Riješenje. Jer f " (

Zadaci za pronalaženje ekstrema funkcije

Primjer 3.23. a

Riješenje. x i g g
0 ≤ x≤
> 0, dok x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije kvadrat. jedinice).

Primjer 3.24. p ≈

Riješenje. str
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22.Nađite ekstreme funkcije f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riješenje. Jer f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), zatim kritične točke funkcije x 1 \u003d 2 i x 2 \u003d 3. Ekstremne točke mogu biti samo na ovim bodova. Budući da pri prolasku kroz točku x 1 \u003d 2 derivat mijenja predznak s plusa na minus, tada u ovoj točki funkcija ima maksimum. Prolaskom kroz točku x 2 \u003d 3, derivat mijenja predznak s minusa na plus, stoga u točki x 2 \u003d 3 funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u bodovima
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.

Primjer 3.23.U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravokutni prostor tako da je s tri strane ograđen žičanom mrežom, a s četvrte strane naliježe na zid. Za ovo postoji a dužni metri mreže. U kojem će omjeru stranica imati najveću površinu?

Riješenje.Označite strane stranice kroz x i g. Površina mjesta je jednaka S = xy. Neka g je duljina stranice uz zid. Tada prema uvjetu mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdje je
0 ≤ x≤ a /2 (duljina i širina jastučića ne mogu biti negativne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Jer x = a /4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz tu točku. Za x a /4 S "> 0, dok x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kvadrat. jedinice). Budući da je S kontinuirano uključen i da su njegove vrijednosti na krajevima S(0) i S(a /2) jednake nuli, tada će pronađena vrijednost biti najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica u danim uvjetima problema je y = 2x.

Primjer 3.24.Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični rezervoar zapremine V=16 p ≈ 50 m 3. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika (polumjer R i visina H) da bi se za njegovu izradu potrošilo najmanje materijala?

Riješenje.Ukupna površina cilindra je S = 2 str R(R+H). Poznata nam je zapremina cilindra V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Dakle, S(R) = 2 str (R2+16/R). Nalazimo izvod ove funkcije:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI

točke u kojima poprima najveće ili najmanje vrijednosti u domeni definicije; takve se točke nazivaju također točke apsolutnog maksimuma ili apsolutnog minimuma. Ako je f definiran na topološkoj razmak X, zatim točka x 0 nazvao točka lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), ako takva točka postoji x 0, da je za ograničenje funkcije koja se razmatra na ovo susjedstvo, točka x 0 je apsolutni maksimum (minimum) točka. Razlikovati točke strogog i nestrogog maksimuma (mini m u m a) (apsolutnog i lokalnog). Na primjer, točka tzv točka nestriktnog (striktnog) lokalnog maksimuma funkcije f, ako postoji takva okolina točke x 0,što vrijedi za sve (odnosno f(x) x0). )/

Za funkcije definirane na konačnodimenzionalnim domenama, u smislu diferencijalnog računa, postoje uvjeti i kriteriji da određena točka bude lokalna maksimalna (minimalna) točka. Neka je funkcija f definirana u određenoj okolini kutije x 0 realne osi. Ako a x 0 - točka nestriktnog lokalnog maksimuma (minimuma) i u ovoj točki postoji f"( x0), tada je jednak nuli.

Ako je dana funkcija f diferencijabilna u okolini točke x 0, osim, možda, same ove točke, u kojoj je kontinuirana, i izvodnice f" sa svake strane točke x0čuva stalni znak u ovom susjedstvu, zatim kako bi x0 bila točka strogog lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), potrebno je i dovoljno da derivacija promijeni predznak s plusa na minus, tj. da f "(x)> 0 na x<.x0 i f"(x)<0 при x>x0(odnosno od minusa do plusa: f"(X) <0 na x<x0 i f"(x)>0 kada x>x 0). Međutim, ne za svaku funkciju diferencijabilnu u okolini točke x 0, može se govoriti o promjeni predznaka izvoda u ovom trenutku. . "

Ako funkcija f ima u točki x 0 t izvedenice, štoviše, kako bi se x 0 je točka strogog lokalnog maksimuma, potrebno je i dovoljno da τ bude paran i da f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Neka funkcija f( x 1 ..., x str] je definiran u n-dimenzionalnom susjedstvu točke i diferencijabilan je u ovoj točki. Ako je x (0) nestriktna lokalna maksimalna (minimalna) točka, tada je funkcija f u toj točki jednaka nuli. Ovaj uvjet je ekvivalentan jednakosti nuli u ovoj točki svih parcijalnih derivacija 1. reda funkcije f. Ako funkcija ima 2. kontinuiranu parcijalnu derivaciju na x(0), sve njene 1. derivacije nestaju na x(0) i diferencijal 2. reda na x(0) je negativan (pozitivan) kvadratni oblik, tada je x(0) točka strogog lokalnog maksimuma (minimuma). Poznati su uvjeti za M. i M. T. diferencijabilne funkcije, kada su određena ograničenja nametnuta promjenama u argumentima: jednadžbe ograničenja su zadovoljene. Nužni i dovoljni uvjeti za maksimum (minimum) realne funkcije, koja ima složeniju strukturu, proučavaju se u posebnim granama matematike: npr. konveksna analiza, matematičko programiranje(vidi također Maksimiziranje i minimizacija funkcije). M. i m.t. funkcije definirane na mnogostrukosti proučavaju se u varijacijski račun općenito, i M. i m.t. za funkcije definirane na funkcijskim prostorima, tj. za funkcionale, u varijacijski račun. Postoje i različite metode numeričkog aproksimativnog nalaza M. i m. t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Osnove matematičke analize, 3. izdanje, 1. dio, M., 1971.; KudrjavcevL. L. D. Kudrjavcev.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što je "MAKSIMALNA I MINIMALNA BODOVA" u drugim rječnicima:

Diskretni Pontryaginov maksimalni princip za vremenski diskretne procese upravljanja. Za takav proces, M. p. možda neće biti zadovoljen, iako za njegov kontinuirani analog, koji se dobiva zamjenom operatora konačne razlike s diferencijalnim ... ... Matematička enciklopedija

Teorem koji izražava jedno od glavnih svojstava modula analitike. funkcije. Neka je f(z) regularna analitička ili holomorfna funkcija p-kompleksnih varijabli u domeni D kompleksnog brojevnog prostora koji nije konstanta, M. m. s. u ... ... Matematička enciklopedija

Najveće i, sukladno tome, najmanje vrijednosti funkcije koja uzima stvarne vrijednosti. Naziva se točka domene definicije dotične funkcije u kojoj ona ima maksimum ili minimum. odnosno maksimalna točka ili minimalna točka ... ... Matematička enciklopedija

Pogledajte Maksimum i minimum funkcije, Maksimum i minimum točke... Matematička enciklopedija

Vrijednost kontinuirane funkcije koja je maksimalna ili minimalna (vidi Točke maksimuma i minimuma). Izraz LE ... Matematička enciklopedija

Indikator- (Indikator) Indikator je informacijski sustav, supstanca, uređaj, uređaj koji prikazuje promjene bilo kojeg parametra Indikatori grafikona Forex valutnog tržišta, što su i gdje se mogu preuzeti? Opis MACD indikatora, ... ... Enciklopedija investitora

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Ekstremno (značenja). Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na danom skupu. Točka u kojoj je dostignut ekstrem je ... ... Wikipedia

Diferencijalni račun je grana matematičke analize koja proučava koncepte derivacije i diferencijala i kako se oni mogu primijeniti na proučavanje funkcija. Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija jedne varijable ... Wikipedia

Lemniskata i njezini trikovi Bernoullijeva lemniskata je ravna algebarska krivulja. Definiran kao geometrijsko mjesto točaka, umnožak ... Wikipedia

Divergencija- (Divergencija) Divergencija kao indikator Strategija trgovanja s MACD divergencijom Sadržaj Sadržaj Odjeljak 1. na. Odjeljak 2. Divergencija kako. Divergencija je izraz koji se koristi u ekonomiji da označi kretanje duž divergentnih ... ... Enciklopedija investitora

Promjena funkcije u određenoj točki i definirana je kao granica prirasta funkcije do prirasta argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tablicu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju s nulom (u ovom slučaju x2=0).

Pronađite vrijednost zadane varijable. To će biti vrijednosti za koje će ovaj izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izrazu umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. Na primjer:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Dobivene vrijednosti nanesite na koordinatni pravac i za svaku od dobivenih izračunajte predznak derivacije. Na koordinatnoj liniji označene su točke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju do intervala -1 možete odabrati vrijednost -2. Za -1 do 1 možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1 odaberite 2. Zamijenite te brojeve u izvodu i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju će derivacija s x = -2 biti jednaka -0,24, tj. negativan i bit će znak minus na ovom intervalu. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovaj interval se stavlja znak. Ako je x=1, tada će derivat također biti jednak -0,24 i stavlja se minus.

Ako izvodnica pri prolasku kroz točku na koordinatnoj liniji promijeni predznak iz minusa u plus, tada je to točka minimuma, a ako iz plusa u minus, onda je to točka maksimuma.

Slični Videi

Koristan savjet

Da biste pronašli derivat, postoje online usluge koje izračunavaju potrebne vrijednosti i prikazuju rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći izvedenicu do 5 naloga.

Izvori:

• Jedan od servisa za izračun izvedenica
• maksimalna točka funkcije

Točke maksimuma funkcije zajedno s točkama minimuma nazivaju se točkama ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju na ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputa

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i provodi se analizom prve i druge derivacije funkcije. Prije početka istraživanja provjerite pripada li navedeni raspon vrijednosti argumenata dopuštenim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x, vrijednost argumenta x=0 nije važeća. Ili za funkciju Y=tg(x), argument ne može imati vrijednost x=90°.

Provjerite je li funkcija Y diferencijabilna u cijelom zadanom intervalu. Nađite prvu derivaciju Y". Očito je da prije nego što dođe do lokalne maksimalne točke funkcija raste, a kada prođe kroz maksimum, funkcija postaje padajuća. Prva derivacija u svom fizičkom značenju karakterizira brzinu promjene funkcije. Dok funkcija raste, brzina tog procesa je pozitivna vrijednost.Prolaskom kroz lokalni maksimum funkcija počinje opadati, a brzina procesa promjene funkcije postaje negativna. Prijelaz brzine promjene funkcije kroz nulu javlja se u točki lokalnog maksimuma.

Za funkciju se kaže da ima unutarnju točku
područja D lokalni maksimum(minimum) ako postoji takva okolina točke
, za svaku točku
koji zadovoljava nejednakost

Ako funkcija ima u točki
lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da ima u ovoj točki lokalni ekstrem(ili samo ekstremno).

Teorema (nužan uvjet za postojanje ekstrema). Ako diferencijabilna funkcija dosegne ekstrem u točki
, zatim svaki parcijalni izvod funkcije prvog reda nestaje u ovom trenutku.

Točke u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nestaju nazivaju se stacionarne točke funkcije
. Koordinate tih točaka mogu se pronaći rješavanjem sustava iz jednadžbe

.

Nužni uvjet za postojanje ekstrema u slučaju diferencijabilne funkcije može se ukratko formulirati na sljedeći način:

Postoje slučajevi kada u nekim točkama neke parcijalne derivacije imaju beskonačne vrijednosti ili ne postoje (dok su ostale jednake nuli). Takve se točke nazivaju kritične točke funkcije. Ove točke također treba smatrati "sumnjivim" za ekstrem, kao i one stacionarne.

U slučaju funkcije dviju varijabli, nužni uvjet za ekstrem, naime jednakost nuli parcijalnih derivacija (diferencijala) u točki ekstrema, ima geometrijsku interpretaciju: tangentna ravnina na površinu
u ekstremnoj točki mora biti paralelan s ravninom
.

20. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema

Ispunjenje nužnog uvjeta za postojanje ekstrema u nekom trenutku uopće ne jamči postojanje ekstrema tamo. Kao primjer možemo uzeti posvuda diferencijabilnu funkciju
. I njezine parcijalne derivacije i sama funkcija nestaju u točki
. Međutim, u bilo kojem susjedstvu ove točke postoje oba pozitivna (velika
) i negativan (manji
) vrijednosti ove funkcije. Stoga, u ovoj točki, po definiciji, nema ekstrema. Stoga je potrebno znati dostatne uvjete pod kojima je točka za koju se sumnja da ima ekstremum točka ekstrema funkcije koja se proučava.

Razmotrimo slučaj funkcije dviju varijabli. Pretpostavimo da funkcija
je definirana, kontinuirana i ima kontinuirane parcijalne derivacije do i uključujući drugi red u blizini neke točke
, koja je stacionarna točka funkcije
, odnosno zadovoljava uvjete

,
.

Uvedimo oznaku:

Teorema (dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema). Neka funkcija
zadovoljava gornje uvjete, naime: diferencijabilan u nekoj okolini stacionarne točke
i dvaput je diferencijabilna u samoj točki
. Onda ako

Ako
zatim funkcija
u točki
doseže

lokalni maksimum na
i

lokalni minimum na
.

Općenito, za funkciju
dovoljan uvjet za postojanje u točki
lokalniminimum(maksimum) je pozitivan(negativan) određenost drugog diferencijala.

Drugim riječima, sljedeća tvrdnja je istinita.

Teorema . Ako u točki
za funkciju

za bilo koji koji nije jednak nuli u isto vrijeme
, tada u ovom trenutku funkcija ima minimum(sličan maksimum, ako
).

Primjer 18.Pronađite lokalne točke ekstrema funkcije

Riješenje. Nađite parcijalne derivacije funkcije i izjednačite ih s nulom:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo dvije moguće točke ekstrema:

Nađimo parcijalne derivacije drugog reda za ovu funkciju:

U prvoj stacionarnoj točki , dakle, i
Stoga su za ovu točku potrebna daljnja istraživanja. Vrijednost funkcije
u ovom trenutku je nula:
Unaprijediti,

na

a

na

Stoga, u bilo kojem susjedstvu točke
funkcija
uzima velike vrijednosti
, i manji
, a time i u točki
funkcija
, po definiciji, nema lokalni ekstrem.

Na drugoj stacionarnoj točki



stoga, stoga, budući
zatim u točki
funkcija ima lokalni maksimum.