Izračunavanje obujma rotacijskog tijela pomoću određenog integrala. Volumen tijela revolucije

I. Volumeni tijela revolucije. Prethodno proučite XII. poglavlje, str. 197, 198, prema udžbeniku G. M. Fikhtengoltsa* Detaljno analizirajte primjere dane na str. 198.

508. Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom elipse oko osi x.

Na ovaj način,

530. Nađite površinu površine koja nastaje rotacijom oko osi Ox luka sinusoide y \u003d sin x od točke X \u003d 0 do točke X \u003d It.

531. Izračunajte površinu stošca visine h i polumjera r.

532. Izračunajte površinu koju čine

rotacija astroida x3 -) - y* - a3 oko x-osi.

533. Izračunajte površinu površine koja nastaje inverzijom petlje krivulje 18 y-x(6-x)r oko x-osi.

534. Nađite površinu torusa koja nastaje rotacijom kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 oko x-osi.

535. Izračunajte površinu plohe koja nastaje rotacijom kruga X = a trošak, y = asint oko osi Ox.

536. Izračunajte površinu površine koja nastaje rotacijom petlje krivulje x = 9t2, y = St - 9t3 oko osi Ox.

537. Nađite površinu površine koja nastaje rotacijom luka krivulje x = e * sint, y = el cost oko osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Pokažite da je površina nastala rotacijom luka cikloide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) oko osi Oy, jednaka 16 u2 o2.

539. Nađi plohu dobivenu rotacijom kardioide oko polarne osi.

540. Nađite površinu plohe koja nastaje rotacijom lemniskate oko polarne osi.

Dodatni zadaci za IV. poglavlje

Površine ravnih figura

541. Nađite cijelu površinu područja omeđenog krivuljom I os Oh.

542. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

543. Nađite dio područja regije koji se nalazi u prvom kvadrantu i omeđen krivuljom

l koordinatne osi.

544. Odredite površinu unutarnje površine

petlje:

545. Nađite područje regije ograničene jednom petljom krivulje:

546. Pronađite područje područja koje se nalazi unutar petlje:

547. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

548. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

549. Odredite površinu područja omeđenog osi Oxr

ravno i krivo

Kako izračunati volumen tijela rotacije
pomoću određenog integrala?

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu, uz pomoć određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površina rotacije i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Pitam se tko je što predstavio ... =))) Već smo pronašli njegovo područje. Ali, osim toga, ova se figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko x-osi;
- oko y-osi.

U ovom će članku biti riječi o oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Kao bonus, vratit ću se na problem pronalaženja površine figure, i reći vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Čak i nije toliki bonus jer se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

ravna figura oko osi

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao iu problemu područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno, na ravnini je potrebno izgraditi lik omeđen linijama , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os . Kako racionalnije i brže izraditi crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i . Ovo je kineski podsjetnik i ne stajem na ovom mjestu.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, a upravo se ta figura okreće oko osi, a kao rezultat rotacije dobije se takav leteći tanjur blago jajolikog oblika, koji je simetričan u odnosu na os. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali previše je lijeno da nešto odredimo u referentnoj knjizi, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Volumen tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvijek nenegativan, što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Mogu biti kubični centimetri, mogu biti kubični metri, mogu biti kubični kilometri itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Odredi obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Nacrtajte ravnu figuru na crtežu, omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Označimo volumen ovog krnjeg stošca kao .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenima je upravo onoliki koliko ima naša "krafna".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (drugi) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba tijekom cijelog života popije tekućinu zapremine sobe od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom zapreminom.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog pravcima , , gdje je .

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve stvari događaju u pojasu, drugim riječima, zapravo su dana gotova ograničenja integracije. Ispravno crtajte grafove trigonometrijskih funkcija, podsjetit ću vas na gradivo lekcije o geometrijske transformacije grafova: ako je argument djeljiv s dva: , tada se grafovi razvlače duž osi dva puta. Poželjno je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama točnije dovršiti crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko osi

Drugi odlomak bit će još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela rotacije oko y-osi također je prilično čest gost u testovima. U prolazu će se razmotriti problem pronalaženja površine figure drugi način - integracijom duž osi, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas također naučiti kako pronaći najprofitabilnije rješenje. Ima i praktično značenje! Kako se s osmijehom prisjetila moja profesorica metodike matematike, mnogi su joj maturanti zahvaljivali riječima: „Vaš predmet nam je puno pomogao, sada smo učinkoviti menadžeri i optimalno upravljamo svojim osobljem.“ I ovom prilikom joj izražavam veliku zahvalnost, tim više što stečeno znanje koristim namjenski =).

Preporučujem svima za čitanje, čak i potpunim lutkama. Štoviše, asimilirani materijal drugog odlomka bit će od neprocjenjive pomoći u izračunavanju dvostrukih integrala.

S obzirom na ravnu figuru omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.
2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugi odlomak, svakako prvo pročitajte prvi!

Riješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija definira gornju granu parabole, a funkcija definira donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola, koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se pronaći na "uobičajen" način, koji je razmatran u lekciji. Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Štoviše, područje figure nalazi se kao zbroj područja:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zato:

Što nije u redu s uobičajenim rješenjem u ovom slučaju? Prvo, postoje dva integrala. Drugo, korijeni pod integralima, a korijeni u integralima nisu dar, štoviše, može se zabuniti u zamjeni limita integracije. Zapravo, integrali, naravno, nisu smrtonosni, ali u praksi je sve mnogo tužnije, samo sam pokupio "bolje" funkcije za zadatak.

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prijelazu na inverzne funkcije i integraciju duž osi.

Kako prijeći na inverzne funkcije? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pozabavimo se parabolom:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

S ravnom linijom sve je lakše:

Sada pogledajte os: molimo povremeno nagnite glavu udesno za 90 stupnjeva dok objašnjavate (ovo nije šala!). Slika koja nam je potrebna nalazi se na segmentu koji je označen crvenom točkastom linijom. Štoviše, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Što se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž osi strogo odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem odlomku zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobiva se izvorni integrand, što znači da je integracija izvedena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela revolucije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen tijela revolucije treba pronaći kao razliku između volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo ovaj volumen s .

Rotiramo lik, zaokružen zelenom bojom, oko osi i označavamo ga kroz volumen rezultirajućeg tijela revolucije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Kako se razlikuje od formule iz prethodnog odlomka? Samo slovima.

I tu je prednost integracije o kojoj sam maloprije govorio, puno ju je lakše pronaći nego preliminarno podići integrand na 4. potenciju.

Odgovor:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, tada će ispasti potpuno drugačije tijelo revolucije, drugačijeg, naravno, volumena.

Dana je ravna figura omeđena linijama i osi.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite područje ravne figure omeđene ovim linijama integracijom preko varijable .
2) Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim linijama oko osi.

Ovo je primjer "uradi sam". Oni koji žele također mogu pronaći područje figure na "uobičajen" način, čime završavaju test iz točke 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko osi, tada ćete dobiti potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, točan odgovor (također za one koji vole rješavati).

Cjelovito rješenje dvije predložene stavke zadatka na kraju sata.

Oh, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno kako biste razumjeli rotacijska tijela i integraciju!

Htio sam, već je bilo, završiti članak, ali danas su donijeli zanimljiv primjer samo za pronalaženje volumena tijela rotacije oko y-osi. Svježe:

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog krivuljama i .

Riješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo s grafovima još nekih funkcija. Tako zanimljiv graf parne funkcije....

Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: , dakle volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

Primjer 2

Odredi obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Oslikajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravimo da jednadžba definira os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Označimo volumen ovog krnjeg stošca kao .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (nije isto) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba tijekom cijelog života popije tekućinu zapremine sobe od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom zapreminom.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u doista je bio najbolji. Ista Perelmanova knjiga, koju je napisao 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je rekao humorist, razmišljanje i uči vas tražiti originalna nestandardna rješenja problema. Nedavno sam ponovno pročitao neka poglavlja s velikim zanimanjem, preporučujem ga, dostupan je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smiješiti što sam predložio bespontovy razonoda, erudicija i široki pogledi u komunikaciji su sjajna stvar.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog pravcima , , gdje je .

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve događa u bendu, drugim riječima, dana su gotovo gotova ograničenja integracije. Također pokušajte pravilno nacrtati grafove trigonometrijskih funkcija, ako je argument podijeljen s dva: , tada su grafovi dvaput rastegnuti duž osi. Pokušajte pronaći barem 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama i učiniti crtež točnijim. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko osi

Drugi odlomak bit će još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela rotacije oko y-osi također je prilično čest gost u testovima. U prolazu će se razmotriti problem pronalaženja površine figure drugi način - integracija duž osi, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas i naučiti kako pronaći najprofitabilnije rješenje. Ima i praktično značenje! Kako se s osmijehom prisjetila moja profesorica metodike matematike, mnogi su joj maturanti zahvaljivali riječima: „Vaš predmet nam je puno pomogao, sada smo učinkoviti menadžeri i optimalno upravljamo svojim osobljem.“ I ovom prilikom joj izražavam veliku zahvalnost, tim više što stečeno znanje koristim namjenski =).

Primjer 5

S obzirom na ravnu figuru omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.
2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugi odlomak, prvi nužno procitaj prvu!

Riješenje: Zadatak se sastoji od dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija definira gornju granu parabole, a funkcija definira donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola, koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Zato:

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prijelazu na inverzne funkcije i integraciju duž osi.

Kako prijeći na inverzne funkcije? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pozabavimo se parabolom:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

S ravnom linijom sve je lakše:

! Napomena: Treba postaviti granice integracije duž osi strogo odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem odlomku zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobiva se izvorni integrand, što znači da je integracija izvedena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela revolucije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen tijela revolucije treba pronaći kao razliku između volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo ovaj volumen s .

Rotiramo lik, zaokružen zelenom bojom, oko osi i označavamo ga kroz volumen rezultirajućeg tijela revolucije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Kako se razlikuje od formule iz prethodnog odlomka? Samo slovima.

I tu je prednost integracije o kojoj sam maloprije govorio, puno ju je lakše pronaći nego preliminarno podići integrand na 4. potenciju.

Odgovor:

Međutim, boležljiv leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, tada će ispasti potpuno drugačije tijelo revolucije, drugačijeg, naravno, volumena.

Primjer 6

Dana je ravna figura omeđena linijama i osi.

Osim pronalaženje površine ravnog lika pomoću određenog integrala (vidi 7.2.3.) najvažnija primjena teme je proračun obujma tijela rotacije. Gradivo je jednostavno, ali čitatelj mora biti pripremljen: potrebno je znati riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu u određeni integral, n Potrebne su i dobre vještine crtanja. Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; koristeći određeni integral, možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu tijelo i još mnogo toga. Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Sada se ova figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko x-osi ;

- oko y-osi .

Pogledajmo oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom ravnog lika oko osi VOL

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno u avionu XOY potrebno je konstruirati lik omeđen linijama, a pritom ne zaboraviti da jednadžba definira os. Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije dobiva se takav leteći tanjur blago jajolikog oblika s dva oštra vrha na osi. VOL, simetričan u odnosu na os VOL. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, pogledajte u priručniku.

Kako izračunati volumen tijela rotacije? Ako je tijelo nastalo kao rezultat rotacije oko osiVOL, mentalno je podijeljen u paralelne slojeve male debljine dx koji su okomiti na os VOL. Volumen cijelog tijela očito je jednak zbroju volumena takvih elementarnih slojeva. Svaki sloj, poput okrugle kriške limuna, visok je nizak cilindar dx i s polumjerom baze f(x). Tada je volumen jednog sloja umnožak osnovne površine π f 2 do visine cilindra ( dx), odnosno π∙ f 2 (x)∙dx. A područje cijelog tijela revolucije je zbroj elementarnih volumena ili odgovarajući određeni integral. Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

Kako postaviti granice integracije "a" i "be" lako je pogoditi iz završenog crteža. Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli. U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi VOL. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: f 2 (x), Tako, volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je sasvim logično. Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što smo već primijetili, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Zato što je to najuniverzalnija formulacija. Mogu biti kubični centimetri, mogu biti kubični metri, mogu biti kubični kilometri itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Odredi obujam tijela nastalog rotacijom oko osi VOL lik omeđen linijama , , .

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog pravcima , , i .

Riješenje: Nacrtajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da je jednadžba x= 0 određuje os OY:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okreće oko osi VOL ispada ravna kutna peciva (podloška s dvije konusne površine).

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela. Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi VOLšto rezultira krnjim stošcem. Označimo obujam tog krnjeg stošca kao V 1 .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru zarotiramo oko osi VOL, tada također dobijete krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s V 2 .

Očito, razlika u glasnoći V = V 1 - V 2 je volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku crtanja grafova uz pomoć metodičkih materijala i geometrijskih transformacija grafova. Ali, zapravo, više puta sam govorio o važnosti crteža u lekciji.

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu, uz pomoć određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu rotacija i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, budite optimistični!

- oko apscisne osi;
- oko y-osi.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

ravna figura oko osi

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao iu problemu područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno, na ravnini je potrebno izgraditi lik omeđen linijama , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os . Kako racionalnije i brže izraditi crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik i ne stajem na ovom mjestu.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Volumen tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule: