Primjeri određenog integrala po dijelovima. Rješavanje integrala online
Prethodno smo za zadanu funkciju, vođeni različitim formulama i pravilima, pronašli njezinu derivaciju. Derivat ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem pronalaženja brzine iz poznatog zakona gibanja, postoji i obrnuti problem - problem obnavljanja zakona gibanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1 Materijalna točka se giba pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). Dakle, za rješavanje problema potrebno je odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Doista
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0 , tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0 . Sada je zakon gibanja jednoznačno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
U matematici se međusobno obrnutim operacijama dodjeljuju različita imena, smišljaju se posebni zapisi, na primjer: kvadriranje (x 2) i vađenje kvadratnog korijena (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arksinus ( arcsin x) i dr. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferencijacija, i inverzna operacija, tj. proces pronalaženja funkcije po zadanoj derivaciji, - integracija.
Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y \u003d f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y" \u003d f "(x). Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne nazivaju "roditeljem" ili "proizvođačem", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y " = f" (x) , primarna slika ili antiderivacija.
Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako \(x \in X \) zadovoljava jednakost F"(x) = f(x)
U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).
Navedimo primjere.
1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x
2) Funkcija y \u003d x 3 je antiderivacija za funkciju y \u003d 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2
3) Funkcija y \u003d sin (x) je antiderivacija za funkciju y \u003d cos (x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)
Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.
Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2 Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).
Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.
Metode integracije
Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)
Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracijske varijable (tj. supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka se traži izračunavanje integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti formule neodređene integralne integracije, dobivamo formulu integracije supstitucije:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izraza poput \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja
Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog računa. Na kolokviju, ispitu studentu se gotovo uvijek nudi rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integral (vidi članak) ili integral za promjenu varijable (vidi članak) ili integral samo na način integracije po dijelovima.
Kao i uvijek, pri ruci bi trebalo biti: Tablica integrala i Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve tiskati. Nastojat ću izložiti sav materijal na dosljedan, jednostavan i pristupačan način, nema posebnih poteškoća u objedinjavanju po dijelovima.
Koji problem rješava integracija po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima - i privatne. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: 
. Ali postoji ovaj: 
je formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi cijelu lekciju (već je lakše).
I odmah popis u studiju. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:
1) , 
, - logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.
2) ,
je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Ovo također uključuje integrale poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali u praksi je to 97 posto, lijepo slovo "e" šepuri se ispod integrala. ... članak ispadne nešto lirski, o da ... stiglo je proljeće.
3) , 
, su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.
4) , - inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi”, pomnoženi nekim polinomom.
Također, neke frakcije se uzimaju u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.
Integrali logaritama
Primjer 1
klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da učitelj u proljeće ima beriberi i mnogo će grditi. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:
Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.
Koristimo formulu za integraciju po dijelovima: 
Formula se primjenjuje s lijeva na desno
Gledamo lijevu stranu:. Očito je da u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti s , a nešto s .
U integralima razmatranog tipa uvijek označavamo logaritam.
Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, pišemo u stupcu:
To jest, jer smo označili logaritam, a za - preostali dio integrand.
Sljedeći korak: pronađite diferencijal:
Diferencijal je gotovo isti kao izvod, već smo razgovarali o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.
Sada nalazimo funkciju. Da bi se našla funkcija potrebno je integrirati desna strana niža jednakost:
Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: .
Usput, evo primjera konačnog rješenja s malim napomenama:
Jedini trenutak u proizvodu sam odmah preuredio i, budući da je uobičajeno pisati množitelj prije logaritma.
Kao što vidite, primjena formule integracije po dijelovima u biti je svela naše rješenje na dva jednostavna integrala.
Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon primjena formule, pojednostavljenje se nužno provodi pod preostalim integralom - u primjeru koji razmatramo smanjili smo integrand za "x".
Napravimo provjeru. Da biste to učinili, morate uzeti derivat odgovora:
Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno riješen.
Tijekom provjere koristili smo pravilo razlikovanja proizvoda: 
. I to nije slučajnost.
Formula za integraciju po dijelovima 
i formula 
To su dva međusobno obrnuta pravila.
Primjer 2
Nađi neodređeni integral.
Integrand je umnožak logaritma i polinoma.
Mi odlučujemo.
Još jednom ću detaljno opisati postupak primjene pravila, ubuduće će primjeri biti kraći, a ako imate poteškoća u rješavanju sami, morate se vratiti na prva dva primjera lekcije .
Kao što je već spomenuto, za je potrebno označiti logaritam (činjenica da je u stupnju nije važna). Označavamo preostali dio integrand.
Pišemo u stupcu:
Prvo nalazimo diferencijal:
Ovdje koristimo pravilo diferenciranja složene funkcije 
. Nije slučajno da već na prvoj lekciji teme Neodređeni integral. Primjeri rješenja Fokusirao sam se na to da se za svladavanje integrala treba "dobiti u ruke" izvodnica. Derivati će se morati suočiti više puta.
Sada nalazimo funkciju, za ovo integriramo desna strana niža jednakost:
Za integraciju smo primijenili najjednostavniju tabelarnu formulu 
Sada ste spremni za primjenu formule 
. Otvaramo ga "zvjezdicom" i "dizajniramo" rješenje u skladu s desnom stranom:
Ispod integrala opet imamo polinom na logaritmu! Stoga se rješavanje ponovno prekida i drugi put se primjenjuje pravilo integracije po dijelovima. Ne zaboravite da se za u sličnim situacijama uvijek označava logaritam.
Bilo bi lijepo kada biste u ovom trenutku mogli usmeno pronaći najjednostavnije integrale i derivacije.
(1) Nemojte se zbuniti u znakovima! Ovdje se vrlo često gubi minus, također imajte na umu da vrijedi minus svima zagrada 
, a ove zagrade moraju biti ispravno otvorene.
(2) Proširite zagrade. Pojednostavit ćemo zadnji integral.
(3) Uzimamo posljednji integral.
(4) “Češljanje” odgovora.
Potreba da se pravilo integracije po dijelovima primijeni dvaput (ili čak triput) nije neuobičajena.
A sada nekoliko primjera za neovisno rješenje:
Primjer 3
Nađi neodređeni integral.
Ovaj primjer je riješen promjenom metode varijable (ili podvođenjem pod predznak diferencijala)! A zašto ne - možete pokušati uzeti u dijelovima, dobit ćete smiješnu stvar.
Primjer 4
Nađi neodređeni integral.
Ali ovaj integral je integriran po dijelovima (obećani razlomak).
Ovo su primjeri za samostalno rješavanje, rješenja i odgovori na kraju lekcije.
Čini se da su u primjerima 3,4 integrandi slični, ali su metode rješenja različite! Upravo je to glavna poteškoća u svladavanju integrala - ako odaberete krivu metodu za rješavanje integrala, onda se s njim možete petljati satima, kao s pravom zagonetkom. Dakle, što više rješavate raznih integrala, to će vam test i ispit biti bolji, lakši. Osim toga, na drugoj godini bit će diferencijalne jednadžbe, a bez iskustva u rješavanju integrala i derivacija tu se nema što raditi.
Logaritmima, možda i više nego dovoljno. Za užinu se mogu sjetiti i da studenti tehnike ženske grudi nazivaju logaritmima =). Usput, korisno je znati napamet grafove glavnih elementarnih funkcija: sinusa, kosinusa, arktangensa, eksponenta, polinoma trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na kugli zemaljskoj
Neću povlačiti, ali sada ćete se sjetiti mnogo toga iz odjeljka Grafovi i funkcije =).
Integrali eksponenta pomnoženi polinomom
Opće pravilo:
Primjer 5
Nađi neodređeni integral.
Koristeći poznati algoritam, integriramo po dijelovima:
Ako imate poteškoća s integralom, trebali biste se vratiti na članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.
Ostaje još samo "pročešljati" odgovor:
Ali ako vaša tehnika izračuna nije baš dobra, ostavite najprofitabilniju opciju kao odgovor. 
ili čak 
Odnosno, primjer se smatra riješenim kada se uzme posljednji integral. To neće biti pogreška, druga je stvar koju učitelj može tražiti da pojednostavi odgovor.
Primjer 6
Nađi neodređeni integral.
Ovo je primjer "uradi sam". Ovaj integral se integrira dva puta po dijelovima. Posebnu pozornost treba obratiti na znakove - lako se zbuniti u njima, također se sjećamo toga - složena funkcija.
O izlagaču se nema što više reći. Mogu samo dodati da su eksponencijal i prirodni logaritam međusobno inverzne funkcije, ovo sam ja na temi zabavnih grafova više matematike =) Stani-stani, ne brini, predavač je trijezan.
Integrali trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom
Opće pravilo: uvijek stoji za polinom
Primjer 7
Nađi neodređeni integral.
Integracija po dijelovima:
Hmmm... i nema se što komentirati.
Primjer 8
Nađi neodređeni integral 
Ovo je primjer rješenja "uradi sam".
Primjer 9
Nađi neodređeni integral
Još jedan primjer s razlomkom. Kao iu prethodna dva primjera, polinom je označen sa.
Integracija po dijelovima: 
Ako imate bilo kakvih poteškoća ili nesporazuma s pronalaženjem integrala, preporučujem pohađanje lekcije Integrali trigonometrijskih funkcija.
Primjer 10
Nađi neodređeni integral 
Ovo je primjer "uradi sam".
Savjet: prije korištenja metode integracije po dijelovima, trebali biste primijeniti neku trigonometrijsku formulu koja pretvara umnožak dviju trigonometrijskih funkcija u jednu funkciju. Formula se također može koristiti u tijeku primjene metode integracije po dijelovima, kome to više odgovara.
To je, možda, sve u ovom paragrafu. Iz nekog razloga prisjetio sam se stiha iz himne Fizičko-matematičkog odsjeka “I sinusni graf val za valom teče po apscisnoj osi” ....
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom
Opće pravilo: uvijek stoji za inverznu trigonometrijsku funkciju.
Podsjećam vas da inverzne trigonometrijske funkcije uključuju arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zbog kratkoće, nazvat ću ih "lukovi"
na izračun integrala 
, koji se pokazuje jednostavnijim od zadanog.
,
,
, gdje 
- polinom, 
- broj koji nije jednak nuli
označavaju polinom 
.
,
,
,
,
, gdje 
je polinom.
odrediti 
, a ostatak integranda kroz 
:
,
, gdje 
- brojevi.
odrediti 
i dvaput primijeniti formulu integracije po dijelovima, vraćajući se kao rezultat na izvorni integral, nakon čega se izvorni integral izražava iz jednakosti.
; b) 
.
, gdje 
je polinom stupnja 
,
je polinom stupnja
.
inače (ako 
) naziva se racionalni razlomak pogrešno.
a pravi racionalni razlomak dijeljenjem brojnika nazivnikom prema pravilu dijeljenja polinoma:
,
je cijeli dio dijeljenja, 
je pravi racionalni razlomak, 
- ostatak dijeljenja.
;
;
;
,
,
,
,
,
,
,
su realni brojevi i 
(to jest, kvadratni trinom u nazivniku III i IV razlomaka nema korijena - diskriminant je negativan) nazivaju se najjednostavniji racionalni razlomci I, II, III i IV vrste.
.
.
. Integral nakon supstitucije dijeli se na dva integrala. Prvi integral se izračunava izdvajanjem derivacije nazivnika u brojniku, čime se dobije tablični integral, a drugi integral se transformira u oblik 
, jer 
, što također daje tablični integral.
;
. Integral nakon supstitucije dijeli se na dva integrala. Prvi integral se izračunava zamjenom 
, a drugi uz pomoć povratnih odnosa.
; b) 
; u) 
.
.
odgovara jednom djeliću oblika 
;
odgovarajući iznos 
razlomci oblika
odgovara djeliću oblika 
;
odgovarajući iznos 
razlomci oblika
. Izjednačavanje koeficijenata pri istim potencijama 
u polinomima lijevog i desnog dijela dobivamo sustav linearnih jednadžbi. Rješavanjem sustava određujemo nesigurne koeficijente.
s lijeve i desne strane bilo kojeg broja, dobivamo točnu jednakost, koja je linearna u odnosu na nepoznate koeficijente. Zamjena tolikih vrijednosti 
, koliko nepoznatih koeficijenata, dobivamo sustav linearnih jednadžbi. Umjesto 
bilo koji brojevi mogu se zamijeniti u lijevom i desnom dijelu, međutim, prikladnije je zamijeniti korijene nazivnika razlomaka.
; b) 
; u) 
.
.
.
, dobivamo:
.
.
.
.
, dobivamo sustav:
.
.
.
.
parcijalne vrijednosti kod kojih faktori nestaju, tj. te vrijednosti zamijenimo u zadnji izraz i dobijemo tri jednadžbe:
; 
;
; 
;
; 
.
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
