Koja je druga izvanredna granica. Drugo značajno ograničenje: primjeri nalaza, problemi i detaljna rješenja

Ovaj članak: “Druga izvanredna granica” posvećen je otkrivanju unutar granica nesigurnosti oblika:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ i $ ^\infty $.

Također, takve se nesigurnosti mogu otkriti korištenjem logaritma eksponencijalne funkcije, ali to je druga metoda rješenja, koja će biti obrađena u drugom članku.

Formula i posljedice

Formula druga izvanredna granica je napisana kako slijedi: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( gdje ) e \približno 2,718 $$

Iz formule proizlazi posljedice, koje je vrlo zgodno koristiti za rješavanje primjera s granicama: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( gdje ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Vrijedno je napomenuti da se drugo izvanredno ograničenje ne može uvijek primijeniti na eksponencijalnu funkciju, već samo u slučajevima kada baza teži jedinici. Da biste to učinili, prvo mentalno izračunajte granicu baze, a zatim izvucite zaključke. O svemu tome bit će riječi u primjerima rješenja.

Primjeri rješenja

Pogledajmo primjere rješenja koja koriste izravnu formulu i njezine posljedice. Također ćemo analizirati slučajeve u kojima formula nije potrebna. Dovoljno je zapisati samo gotov odgovor.

Primjer 1

Pronađite granicu $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Riješenje

Zamijenimo beskonačnost u granicu i pogledajmo nesigurnost: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Nađimo granicu baze: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Dobili smo bazu jednaku jedan, što znači da već možemo primijeniti drugu značajnu granicu. Da bismo to učinili, prilagodimo bazu funkcije formuli oduzimanjem i dodavanjem jednog: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Pogledajmo drugi korolar i zapišimo odgovor: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Primjer 4

Riješite granicu $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Riješenje

Pronalazimo granicu baze i vidimo da je $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, što znači da možemo primijeniti drugu izvanrednu granicu. Prema standardnom planu, dodajemo i oduzimamo jedan od baze stupnja: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Razlomak prilagođavamo formuli 2. note. ograničiti: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sada prilagodimo stupanj. Potencija mora sadržavati razlomak jednak nazivniku baze $ \frac(3x^2-2)(6) $. Da biste to učinili, pomnožite i podijelite stupanj s njim i nastavite s rješavanjem: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Granica koja se nalazi u potenciji na $ e $ jednaka je: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Stoga, nastavljajući rješenje imamo:

Odgovor

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Ispitajmo slučajeve u kojima je problem sličan drugoj izvanrednoj granici, ali se može riješiti bez nje.

U članku: “The Second Remarkable Limit: Examples of Solutions” analizirana je formula, njezine posljedice i dane su uobičajene vrste problema na ovu temu.

Dokaz:

Dokažimo prvo teorem za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da s porastom n raste broj pozitivnih članova na desnoj strani. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa vrijednosti se povećavaju. Stoga slijed rastući, i (2)*Pokazujemo da je ograničen. Svaku zagradu na desnoj strani jednakosti zamijenimo jednom, desna strana će se povećati i dobit ćemo nejednadžbu

Pojačajmo dobivenu nejednakost, zamijenimo 3,4,5, ..., koji stoje u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbroj u zagradi nalazimo pomoću formule za zbroj članova geometrijske progresije: Stoga (3)*

Dakle, niz je omeđen odozgo, a nejednakosti (2) i (3) su zadovoljene: Stoga, na temelju Weierstrassovog teorema (kriterija za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničena je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. Oni.

Znajući da je druga izvanredna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izvanrednu granicu za pravi x, to jest, dokazujemo da . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja: gdje je cjelobrojni dio x. => =>

Ako , onda Dakle, prema granici Imamo

Na temelju kriterija (o limitu srednje funkcije) postojanja limita

2. Neka . Napravimo, dakle, zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizlazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Usporedba infinitezimala. Teorem o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentnim u limitu i teorem o glavnom dijelu infinitezimalnih.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. na x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1)a( x) nazvao infinitezimal višeg reda od b (x) Ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) I b( x)se zovu infinitezimale istog reda, Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) I b( x) se zovu ekvivalent , Ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4)a( x) nazivamo infinitezimalnim reda k relativno
apsolutno infinitezimalno b( x), ako je infiniteziman a( x)I(b( x)) k imaju isti redoslijed, tj. Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentima).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Da

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Zatim

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).

Neka a( x)I b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a budući da b( x) – viši red od a( x), tada, tj. iz jasno je da a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u točki (u jeziku epsilon-delta, geometrijske granice) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva neprekidnih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definirana u nekoj okolini točke x 0 .

DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 ako je jednakost istinita

Bilješke.

1) Na temelju teorema 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku

Uvjet (2) – definicija kontinuiteta funkcije u točki u jeziku jednostranih limita.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: “ako je funkcija kontinuirana u točki x 0, tada se predznak limita i funkcija mogu zamijeniti."

DEFINICIJA 2 (u e-d jeziku).

Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 Ako"e>0 $d>0 takav, Što

ako x OU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

zatim f(x)ÎU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 – fiksno, x - proizvoljan)

Označimo: D x= x – x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – prirast funkcije u točki x 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

Funkcija f(x) uključeno nazvao kontinuirano u točki x 0 ako u ovom trenutku infinitezimalni prirast u argumentu odgovara infinitezimalnom prirastu u funkciji, tj.

Neka funkcija f(x) definiran je na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINICIJA. Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 desno (lijevo ), ako je jednakost istinita

Očito je da f(x) kontinuirana je u točki x 0 Û f(x) kontinuirana je u točki x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. Funkcija f(x) nazvao neprekidno za interval e ( a; b) ako je kontinuirana u svakoj točki ovog intervala.

Funkcija f(x) nazivamo kontinuiranim na segmentu [a; b] ako je kontinuirana na intervalu (a; b) a ima jednosmjerni kontinuitet u graničnim točkama(tj. kontinuirano u točki a s desne strane, u točki b- lijevo).

11) Prijelomne točke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako funkcija f(x) definirana u nekoj okolini točke x 0 , ali nije kontinuirano u ovoj točki, dakle f(x) nazivamo diskontinuiranom u točki x 0 , i sama točka x 0 naziva prijelomna točka funkcije f(x) .

Bilješke.

1) f(x) može se definirati u nepotpunoj okolini točke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije Þ točke x 0 je prijelomna točka funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)O D(f) , ali za f(x) jednakost ne vrijedi

b) U * ( x 0 , d)O D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 – prijelomna točka funkcije f(x) .

DEFINICIJA. Točka x 0 nazvao prijelomna točka ja Nekako if funkcija f(x)ima konačne granice lijevo i desno u ovoj točki.

Ako su ove granice jednake, tada je točka x 0 nazvao uklonjiva točka prekida , inače - točka skoka .

DEFINICIJA. Točka x 0 nazvao prijelomna točka II Nekako ako je barem jedna od jednostranih limesa funkcije f(x)u ovom trenutku je jednak¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija neprekidnih na intervalu (Weierstrassov (bez dokaza) i Cauchyjev teorem

Weierstrassov teorem

Neka je tada funkcija f(x) kontinuirana na intervalu

1)f(x) je ograničeno na

2) f(x) ima najmanju i najveću vrijednost na intervalu

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koji x€ D(f).

Kaže se da je vrijednost funkcije m=f najveća ako je m≥f(x) za bilo koji x € D(f).

Funkcija može poprimiti najmanju/najveću vrijednost u nekoliko točaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i x je broj sadržan između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna točka x 0 € takva da je f(x 0)= g

Sada, mirne duše, prijeđimo na razmatranje divne granice.
izgleda kao .

Umjesto varijable x mogu biti prisutne razne funkcije, glavno je da teže 0.

Potrebno je izračunati granicu

Kao što vidite, ova je granica vrlo slična prvoj izvanrednoj, ali to nije u potpunosti točno. Općenito, ako primijetite grijeh u limitu, tada biste trebali odmah razmisliti o tome je li moguće koristiti prvo značajno ograničenje.

Prema našem pravilu br. 1, zamijenit ćemo nulu umjesto x:

Dobivamo neizvjesnost.

Pokušajmo sada sami organizirati prvu prekrasnu granicu. Da bismo to učinili, napravimo jednostavnu kombinaciju:

Stoga organiziramo brojnik i nazivnik da bismo istaknuli 7x. Sada se već pojavilo poznato izvanredno ograničenje. Preporučljivo je istaknuti ga prilikom odlučivanja:

Zamijenimo rješenje prvog izvanrednog primjera i dobijemo:

Pojednostavljivanje razlomka:

Odgovor: 7/3.

Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno.

Izgleda kao , gdje je e = 2,718281828... iracionalan broj.

Umjesto varijable x mogu biti prisutne razne funkcije, glavno je da teže .

Potrebno je izračunati granicu

Ovdje vidimo prisutnost stupnja pod znakom granice, što znači da je moguće koristiti drugu značajnu granicu.

Kao i uvijek, koristit ćemo pravilo br. 1 - zamijeniti x umjesto:

Vidi se da je na x baza stupnja , a eksponent 4x > , tj. dobivamo nesigurnost oblika:

Iskoristimo drugu divnu granicu da otkrijemo svoju neizvjesnost, ali prvo je moramo organizirati. Kao što vidite, moramo postići prisutnost u indikatoru, za što podižemo bazu na potenciju 3x, a istovremeno na potenciju 1/3x, tako da se izraz ne mijenja:

Ne zaboravite istaknuti naše prekrasno ograničenje:

To je ono što oni zapravo jesu divne granice!
Ako još imate pitanja o prva i druga divna granica, onda ih slobodno pitajte u komentarima.
Odgovorit ćemo svima koliko je to moguće.

Također možete raditi s učiteljem na ovoj temi.
Zadovoljstvo nam je ponuditi vam usluge odabira kvalificiranog učitelja u vašem gradu. Naši partneri će za vas brzo odabrati dobrog učitelja po povoljnim uvjetima.

Nema dovoljno informacija? - Možeš !

Matematičke izračune možete zapisivati ​​u bilježnice. Mnogo je ugodnije pisati pojedinačno u bilježnice s logotipom (http://www.blocnot.ru).

Prva značajna granica često se koristi za izračunavanje granica koje sadrže sinus, arksinus, tangens, arktangens i rezultirajuće nesigurnosti nule podijeljene s nulom.

Formula

Formula za prvu značajnu granicu je: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Napominjemo da za $ \alpha\to 0 $ dobivamo $ \sin\alpha \to 0 $, stoga imamo nule u brojniku i nazivniku. Stoga je formula prve značajne granice potrebna da bi se otkrile nesigurnosti $ \frac(0)(0) $.

Za primjenu formule moraju biti ispunjena dva uvjeta:

1. Izrazi sadržani u sinusu i nazivniku razlomka su isti
2. Izrazi u sinusu i nazivniku razlomka teže nuli

Pažnja! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Iako su izrazi ispod sinusa i u nazivniku isti, međutim $ 2x ^2+1 = 1 $, za $ x\to 0 $. Drugi uvjet nije ispunjen, pa formulu NE MOŽETE primijeniti!

Posljedice

Dosta rijetko u zadacima možete vidjeti čistu prvu divnu granicu, u koju biste odmah mogli upisati odgovor. U praksi sve izgleda malo kompliciranije, ali za takve slučajeve bit će korisno znati posljedice prve izvanredne granice. Zahvaljujući njima, možete brzo izračunati potrebne granice.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Primjeri rješenja

Razmotrimo prvu izvanrednu granicu, primjere njezina rješenja za izračun granica koje sadrže trigonometrijske funkcije i nesigurnost $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Primjer 1

Izračunajte $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Riješenje

Pogledajmo granicu i primijetimo da ona sadrži sinus. Zatim, zamijenimo $ x = 0 $ u brojnik i nazivnik i dobijemo nultu nesigurnost podijeljenu s nulom: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Već dva znaka da moramo primijeniti divnu granicu, ali postoji mala nijansa: ne možemo odmah primijeniti formulu, budući da se izraz pod znakom sinusa razlikuje od izraza u nazivniku. I trebamo ih ravnopravne. Stoga ćemo pomoću elementarnih transformacija brojnika pretvoriti u $2x$. Da bismo to učinili, uzet ćemo dva iz nazivnika razlomka kao poseban faktor. Izgleda ovako: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Molimo imajte na umu da je na kraju $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ dobiveno prema formuli. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Primjer 2

Pronađite $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Riješenje

Kao i uvijek, prvo morate znati vrstu neizvjesnosti. Ako je nula podijeljena s nulom, tada obraćamo pozornost na prisutnost sinusa: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Ova nam nesigurnost omogućuje korištenje formule prve značajne granice, ali izraz iz nazivnika nije jednak argumentu sinusa? Stoga se formula ne može primijeniti "direktno". Potrebno je pomnožiti i podijeliti razlomak s argumentom sinusa: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Sada zapisujemo svojstva granica: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Druga granica točno odgovara formuli i jednaka je na jedan: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Ponovno zamijenimo $ x = 0 $ u razlomak i dobit ćemo nesigurnost $ \frac(0)(0) $. Da biste ga eliminirali, dovoljno je uzeti $ x $ iz zagrada i smanjiti ga za: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Odgovor

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Primjer 4

Izračunajte $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Riješenje

Počnimo izračun sa supstitucijom $ x=0 $. Kao rezultat, dobivamo nesigurnost $ \frac(0)(0) $. Granica sadrži sinus i tangens, što daje naslutiti mogući razvoj situacije pomoću formule prve izvanredne granice. Pretvorimo brojnik i nazivnik razlomka u formulu i posljedicu: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Sada vidimo da u brojniku i nazivniku postoje izrazi koji odgovaraju formuli i posljedicama. Argument sinusa i argument tangensa isti su za odgovarajuće nazivnike $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Odgovor

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

U članku: “Prvo izvanredno ograničenje, primjeri rješenja” govorilo se o slučajevima u kojima je preporučljivo koristiti ovu formulu i njezinim posljedicama.

Formula za drugu izvanrednu granicu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Drugi način pisanja izgleda ovako: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Kada govorimo o drugoj značajnoj granici, imamo posla s nesigurnošću oblika 1 ∞, tj. jedinica do beskonačnog stupnja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrimo probleme u kojima će biti korisna sposobnost izračunavanja druge izvanredne granice.

Primjer 1

Odredi granicu lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Riješenje

Zamijenimo traženu formulu i izvršimo izračune.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Ispostavilo se da je naš odgovor jedan na potenciju beskonačnosti. Za određivanje metode rješenja koristimo tablicu nesigurnosti. Izaberimo drugu značajnu granicu i napravimo promjenu varijabli.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ako je x → ∞, tada je t → - ∞.

Da vidimo što smo dobili nakon zamjene:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Odgovor: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Primjer 2

Izračunajte granicu lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Riješenje

Zamijenimo beskonačnost i dobijemo sljedeće.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

U odgovoru smo opet dobili isto što i u prethodnom problemu, dakle, opet možemo koristiti drugu izvanrednu granicu. Zatim moramo odabrati cijeli dio u osnovi funkcije snage:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Nakon toga granica poprima sljedeći oblik:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Zamijenite varijable. Pretpostavimo da je t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ako je x → ∞, tada je t → ∞.

Nakon toga zapisujemo što smo dobili u izvornom limitu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Za izvođenje ove transformacije koristili smo osnovna svojstva limita i ovlasti.

Odgovor: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Primjer 3

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Riješenje

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Nakon toga, trebamo transformirati funkciju da primijenimo drugu veliku granicu. Dobili smo sljedeće:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Budući da sada imamo iste eksponente u brojniku i nazivniku razlomka (jednak šest), granica razlomka u beskonačnosti bit će jednaka omjeru tih koeficijenata na višim potencijama.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Zamjenom t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dobivamo drugu izvanrednu granicu. Znači što:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Odgovor: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

zaključke

Nesigurnost 1 ∞, tj. jedinstvo na beskonačnu potenciju nesigurnost je zakona snage, stoga se može otkriti pomoću pravila za pronalaženje granica eksponencijalnih potencijskih funkcija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter